（应用数学专业论文）g凸空间中的连续选择、重合点定理和向量拟均衡问题.pdf

g 凸空间中的连续选择、重合点定理 和向量拟均衡问题 摘要：本文提出了一类新型的广义向量拟均衡问题。为 了得到定义在。凸空间上的这类新型的广义向量拟均衡问题 解的存在定理，我们首先确立g 凸空间上的重合点定理、连 续选择和不动点定理，它们本身是有趣的。然后，利用这些 结果和数值化方法，得n o , - 凸空间上这类广义向量拟均衡问 题解的存在定理和一个极大极小定理。我们的结果推广了 7 】， 1 2 1 # 1 1 8 】中的一些已知结果。作为应用，得到向量变分不等式 和向量优化问题的解。 关键词：向量均衡问题；o 凸空间；连续选择；重合点定理。 堕曼奎兰堕主塑塑生堂垡笙塞 s e l e c t i o nt h e o r e m 、c o i n c i d e n c et h e o r e ma n dv e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e mi ng e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e s a b d t r a e t ：i nt h i s p a p e r , an e wt y p eo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u m p r o b l e mi si n t r o d u c e d i no r d e rt oo b t a i ni t se x i s t e n c et h e o r e m si ng c o n v e xs p a c e s ，a c o i n c i d e n c et h e o r e m ，ac o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e mm a daf i x e dp o i n tt h e o r e mi n g c o n v e xs p a c e sa r ef i r s te s t a b l i s h e d t h e s et h e o r e m st h e m s e l v e sa r ei n t e r e s t i n g t h e n u s i n gt h e s e r e s u l t sa n dt h es c a l a r i z a t i o nm e t h o d ，w ep r o v ee x i s t e n c et h e o r e m sf o rt h e n e w t y p eo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e ma n dam i n i m a xt h e o r e mi n g 。c o n v e xs p a c e s a sa p p l i c a t i o n s ，t h es o l u t i o n so fv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u l i f i e sa n da v e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e ma r ed e r i v e d y a n gj i u y i ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f f uj u n - y i k e yw o r d s ： v e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e m ， g e n e r a l i z e dc o n v e x s p a c e ，c o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m ，c o i n c i d e n c et h e o r e m 。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌史学有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：杨就素 导师签名：傍後文 签字日期：切多年f 月j g 日签字日期：西年f 月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：南昌再乇驴j 业仔阻 通讯地址：南占讯宁j 也碍眵 电话：，孑8 7 。卵缸 邮编：移口争p 护 引论 g 一凸空间的连续选择、重合点定理和向量 拟均衡问题 设y 是非空集合，g ：x x x 斗r ( 实数集) 为一给定的函数，且v x x g ( x ，x ) 0 。 b l u m 和o e t t l i 【5 引进均衡问题( 简记为e p ) ：求x x 满足 ( e p )g ( x ，y ) 0 ，v y 。 均衡问题是一类较广泛的问题，优化问题、 g a s h 均衡问题、不动点、变分不等式 与互补问题均为其特殊情形，它有许多不同的提法与推广( 见 6 】， 1 2 ， 1 4 1 年1 1 【1 8 ) 。均衡问题作为变分不等式有意义的推广，在优化问题、博奕论、工程与力 学、数理经济等诸多方面都有重要的应用，是数学工作者关注的课题。 随着向量优化问题的深入，数学工作者对向量变分不等式和向量均衡问题越 来越感兴趣( 见 1 2 】， 8 - 1 0 】以及附在这些文献后的参考文献) 。 设z 是一拓扑线性空间，p c z 是一闭凸锥，p z ，且其内部i n t p o ， 给定向量值映射f ：j x _ z 。 我们考虑下面两类向量均衡问题( 简记为阳p ) ： 第一类向量均衡问题是：求x x满足 ( 陋p 1 )f ( x ，y ) g i n t p ，v y x ； 第二类向量均衡问题是：求x x 满足 ( 囫哟f ( x ，y ) 硅一p o ) ，砂x 。 南昌大学硕士研究生学位论文 显然，若x 是( 陋蚴的解，则它也是( v e p l ) 的解。到目前为止，大多数的工 作是研究( v e p l ) ，对( 陋p 2 ) 的研究还十分少见。其原因可能是一尸 0 既非开集也 非闭集，给问题的研究带来一定的困难。 本文考虑如下比( v e p ) 更般的问题。设y 是另一非空集合，给定集值映射 s ：x 寸2 。，t ：工。2 ，以及单值映射舻：x y x 工斗z 。 第一类广义向量拟均衡问题( 简记为g v q e p l ) ：求i x 以及y ，( i ) 满足 i s f i l 且 ( g v q e p l )妒( i ，歹，x ) 一p ( i ，y ，习萑一i n t p ，v x s ( i ) ； 第二类广义向量拟均衡问题( 简记为g v q e p 2 ) ：求i x 以及歹丁( 覃) 满足 i 仨s ( i ) 且 ( g v q e p 2 )妒( i ，只x ) 一妒( 孑，只习硭j p 0 ，v x s ( f ) ； ( g v q e p 2 ) 是一类新型的向量拟均衡问题，按照g i a n n e s s i 的想法( 见【1 0 】， p 1 9 8 ) 可称为s t a m p a c c h i a 广义向量拟均衡问题。本文主要讨论( g v q e p 2 ) 的存 在性定理。在文献【7 1 、 1 2 1 、( 1 3 和 1 8 1 的启发下，我们先确立g 凸空间( 定义 见后面) 上的重合点定理、连续选择和不动点定理，然后，利用这些结果与数值 化方法，克服前面所指出的困难，得到广义向量拟均衡问题的解的存在性定理和 一个极大极小定理，我们的结果推广了 7 】、 1 2 和【1 8 】的一些主要结果；作为应 用，得到了向量变分不等式与向量优化问题的解。 二预备知识 本文始终假设所有的拓扑空间都是h a u s d o r f f 的，并设z 是实的拓扑线性空 间，p c z 是一闭凸锥其顶点为z 中的零元素0 ，p z ，其内部i n t p o 今 南昌大学硕士研究生学位论文 后，我们用下面的序关系 v z i ，z 2 z ，z l pz 2 亨z 2 一z l p ； z l 0 ，v x p 、 o ) ) 设a c z ，c o n e ( a ) = t x ：r o ，x a ) 表示a 的锥包 定义2 1 1设( z ，p ) 是序拓扑线性空间，p 的凸子集b 称为是p 的基，如果 v ze p 0 ) ，存在唯一的b b ，f 0 使得z = t b 。 由于b 的凸性、f 和b 的唯一性，易证0 萑b ( 见【l l 】，p 9 ) ；并设o 萑百，这 里雪表示日的闭包；如果z 是局部凸的，由凸集的强分离定理( 【1 l 】，p 7 1 ) ，j ，z + 以及t 0满足v b b ，0 0 ， v = z e z ：i ，( z ) i r 2 ，由于，连续， v 是z 中0 点的一个凸的均衡领域，且 i n f l ( z ) ：z e 占十矿 r 2 ，y n 口= o ，b + v 是凸集，0 正( 口+ 矿) ，易见， 异( b ) = c o n e ( b + v ) 是一闭凸锥，pc 7 昂( b ) ，、 o ) 亡i n t p v ( b ) 。 定义2 2 t 设( z ，p ) 是序拓扑线性空间，给定乎：z _ r ( i ) 称喜是p 一单调的，如果v 口，b z ，口 尸b 有f ( 口) 4 ( b ) ； ( i i ) 称f 是强p 一单调的，如果v a ，b z ，g pb r a b 有f ( 日) f ( 6 ) ； ( i i i ) 称掌是严格p 一单调的，如果v a ，b z ，d pb 有善( “) 考( 6 ) 。 显然，当i n t p a 时，每个强p 一单调泛函也是严格p 一单调的；但反之不对。 任意取定e i n t p 与口z ，定义泛函吃。：z r 如下： 曩。( = ) = m i n t r ：z a + t e p ) ，v z z 。 南昌大学硕士研究生学位论文 由l u c 1 3 知，吃。是连续的，且严格p - 单调，但不是强p 一单调的，并且 ho ( o ) = 0 。 设d a ，用 表示d 的所有非空的有限子集所成的集合；又e ( f ：o ，1 ，h ) 表示彤中的单位向量，其中e o = 0 ，e ，= ( 0 ，1 ，0 ) 第i 位为1 ， 其他为0 ：用。表示以e 0e l ，一，为顶点的标准 维单纯形，即 。= c o ( e o ，e l ，) ) a p a r k 1 5 】引入下面的广义凸空间概念( 简记为g 一凸空间) 。 定义2 3g 一凸空间是由拓扑空间z ，非空子集d cx 以及映射 f ： 斗2 。组成，并有- v g u 性质：w = ( a o ，吼) ，存在连续映射 y ：。一r ( 4 ) 使得对任意的0 i o 挖，有 q s ( c o ( e ，, 州e ，气) ) c r ( 奴，q 。，a i l ) 。 对于g 一凸空间( x ，d ；f ) ，k c x 称为g 一凸的，如果v a ， r ( 彳) c k 。 k 的g 一凸包规定为g - c o ( k ) = n e 匕x ：e 是g 一凸集，k k c e 。 v a ，可记r ( 爿) = f - ：又若d = x ，可用( x ，r ) 表示( ，d ；f ) 。g 一凸 空间可以没有线性结构。由 1 5 知，任何h 一空间，l a s s o n d e 凸空间，拓扑线性空 间中的凸子集都是g 一凸空间；例如，任何凸空间( ，d ) ，n 4 - r 。= c o ( a ) 时， 均变为g 一凸空间。 关于g 一凸空间的进一步性质，可见【1 5 】和 1 7 】。 定义2 4设( x ，r ) 是g 一凸空间，( z ，尸) 是序拓扑线性空间，给定 f ：x z ， ( i ) 称厂是g p 一拟凸的，如果v z z ，：( 厂) = x x ：，( x ) ，z ) 是j 中的 g 一凸子集。 南昌大学硕士研究生学位论文 ( i i ) 称f 是g 一尸一拟凹的，如果一厂是g p 一拟凸的。 注2 1 ：当z = r ，p = 【0 ，+ 。1 时，g p 一拟凸性称为g 一拟凸性。 引理2 1 设( x ，r ) 是g 一凸空间，( z ，p ) 是序拓扑线性空间，给定e i n t p ： 又设f ：x 寸z 是g - p - 拟凸的，则吃。- f 是g 一拟凸的，其中6 1 z 。 证明：设厂是g p 一拟凸的，口z ，r ， 要证= 缸x ：吃厂( x ) s ， 是g 一凸集。 事实上，设爿= 工l ，x 2 ，) 亡，记，。m 。a x 。h 。，( ) ，则f s r ； 所以对任意的f ， 有魄。f ( x ，) 一r 0 ，且 ( h o 。f ( x ，) 一f ) e 一i m e u o ) c p ( 2 1 ) 由吃。的定义和( 2 ，1 ) 式，有 厂( t ) a + 吃。厂( 弦一p = 口+ ( 以。厂( 薯) 一t ) e + t e p a + t e p ( 2 2 ) 记z = a + t e ， 由( 2 2 ) 式， 有，( 一) 部2 ， i = 1 ，2 ，以。 记 d = x x ：，( x ) pz ) ，所以a c d 。因为厂是g p 一拟凸的，所以有f c d ， 于是v x f 。，有厂( x ) pz ，由于吃。是严格p 一单调的，且嚏。( z ) ，故有 h e ，。f ( x ) 吃，。( z ) f r ，这表明f 。c l ，即l r 是g 一凸的a 定义2 5 4 1 设x 是拓扑空间，( z ，p ) 是序拓扑线性空间，给定f ：x _ z ， ( i )称厂是p 一上半连续的( 简记为p 一“矗c ) ，如果v z ez ， x ：z f ( x ) 匹i n t 尸) 是的闭子集； ( i i ) 称，是p 一下半连续的( 简记为尸- i s c ) ，如果一l 厂是尸一“矗c 。 注2 2 ：当z = r ，p = 0 ，伸) 时，p 上( 下) 半连续就是通常的上( 下) 半连续。 南昌大学硕士研究生学位论文 引理2 2 设爿、z 、p 如定义2 - 5 所述，厂：戈_ z 是p 一“ c ，则对任何 固定的p i n t p 、d z ，有吃。厂：爿哼r 是上半连续的。 证明：要证魄。f 是上半连续，即要证v r r ，e = x z ：魄。f i x ) r ) 在 x 中为开集。 记z = a + r e ，先证巨= z x ：z f ( x ) i n t p ) 。 事实上，设州：e ，记f = 吃。，( x ) ，则f 0 ，使得 一5 e i n t p ( z 一，( x ) ) ，所以 ( x ) z 一5 e i n t p = 口+ ( ，一8 ) e i n t pca + ( ，一8 ) e p ，由魄。的定义，有 吃。厂( x ) ，一占 2 7 满足下面条件： ( i ) v x x ，e ( x ) g 且g c o ( e ( x ) ) c f ( x ) ； ( f f ) y ，e 。1 ( y ) 包含紧开子集q c w ( 对于某些y ，q 可能空) 且 c u o , 。 则f 有连续选择，即3 f ：x 斗y 使得厂0 ) y ( x ) ，v x x 且，连续。 证明：v y y ，q 是紧开集，j l x = u ( o ，n x ) ，由于紧，所以存在有 y e y 限集一= y 0 ，m ，一) c y ，使得x 2 p o ( o ，n x ) 。i 匮 g o ，蜀，g 。 是相应于彳的 覆盖 q 护q ，) 的连续单位分解，定义连续映射 ：x 寸。如下： ( x ) = g ，( x ) q = ( 工) q ， v x x ；其中f ，( 砷营蜀( x ) 0 。 因( y ，r ) 是g 一凸空间，故存在连续映射：。一r ( 4 ) 使得对任何 0 兰f o 2 。满足下列条件： ( i ) v x x ，e ( x ) 0 且g c o ( e ( x ) ) c f ( x ) ( 砂y ，e - 1 ( y ) 包含紧开子集q 匕w ( 对于某些y ，q 可能空) 且 x c u 0 。； p e 】 ( f 哟丁是上半连续的，且v y y ，t ( y ) 是x 中的闭零调集。 则f 和t 在x x y 中有重合点。 证明：由( f ) ( i f ) 及定理3 1 可知，可：x 寸y 使得厂( x ) f ( x ) ，v x x 且，连 续。 定义映射s ：a 。_ + 2 。如下： s ( u ) = 丁( p ( “) ) ，v u a 。 由于y 连续以及t 上半连续，所以s 也上半连续，并且v u a 。，s q ) 是闭 的零调集：又因为h 连续，根据s h i o j i 1 6 引理1 ，3 u o ，满足h ( s ( u o ) ) 这样， 3 x o s ( u o ) = 7 1 ( ( “o ) ) ，满足? d 0 = h ( x o ) ：再令y o = 妒( ) ， 则 儿= q ( h ( x o ) ) = f ( x o ) f ( x o )且x oe r ( 妒( ) ) = t ( y o ) ，所以( ，y o ) 是丁和f 的重合点，证完。 南昌大学硕士研究生学位论文 推论3 3 设x 、w 、，如定理3 2 所述，集值映射点、，和7 1 满足定理32 的条件( j ) 和( i i i ) ，条件( j f ) 用下面的( 州代替 ( f f ) e 在x 上有局部交性质； 则f 和r 在x y 中有重合点。 证明：仅需证明定理3 2 的条件( i i ) 成立。 由条件( i ) ，v x x ，e ( x ) o 和由条件( f f ) ，e 在工上有局部交性质， 所咀存在x 的一个开邻域( x ) ，使得：。q ，) e o ) 囝，设j ，：。q ，) e ( z ) ，则 n ( x ) ce 。( y ) ，即知定理3 2 的条件( f f ) 成立，证完。 注3 ，1 ：当y 是h 空问时，推论3 3 就是【1 8 】中的引理l 。 推论3 4设z 、w 、y 如定理3 2 所述，集值映射，和r 满足定理3 2 的条 件( f f ) ( i i i ) ，而( f ) 用下面的( f ) 代替 ( f ) ，v x x ，f ( x ) 是非空g 一凸子集； 则f 和丁在x y 中有重合点。 证明：在定理3 2 中，取e = f 即可，证完。 注3 2 ：当l ，是日空间时，推论3 4 就是 7 】中的定理3 - 1 。 定理3 3 设( x ，r ) 是紧的g 一凸空间，e ，f ：x 斗2 。满足 ( i ) v x x ，e ( x ) 彩且g c o ( e ( x ) ) 仁f ( x ) ： ( f f ) x = u i n t e 一1 ( ，) 。 y e x 则f 在x 中有不动点黾，即x o x 且f ( 蜘) a 证明：在定理3 2 中，取w = y = x ，t = i ( x 上的恒等映射) ， 由定理3 2 即得结论，证完。 推论3 5 设z 如定理3 3 所述，集值映射e 、，满足其中的条件( i ) * n t 面 的条件 南昌大学硕士研究生学位论文 ( f f ) e 在x 上有局部交性质。 刚_ f 在中有不动点。 注3 3 ：当x 是日空间时，推论3 5 是【1 8 】中的引理2 ：若e = f ，则定理3 3 可推出 1 2 】中的定理2 。 满足 推论3 6 ( f a n b r o w d e r 不动点定理) 设( 工，r ) 是紧的g 凸空间，f ：x 斗2 。 ( f ) v x x ， r ( x ) 是非空g 一凸集； ( f f ) v y x ，f 。( y ) 为开集。 则，在x 中有不动点。 证明：在定理3 3 中，取e = f ，v x x ，由( i ) 可知，3 y y ( x ) ，n x f 。( y ) 所以x = u i n t f 一1 ( y ) = u ，。( y ) ，由定理3 3 ，即可得结论，证完。 四、( g v q e p ) 解的存在定理 定理4 1 设( j ，r ) 是紧的g 一凸空间，y 是拓扑空间，( z ，p ) 是序拓扑线性 空间，设t ：z _ 2 7 有非空紧值且上半连续：又设p ：y x x 。z ，并有p 单调 泛函亭：z _ r 满足下面条件： ( f ) f g o 是上半连续的； ( f f ) v x x ，v y y ，善妒( x ，y ，z ) 关于z 是g 拟凸的 ( f f f ) v x x ，3 y t ( x ) 满足0 矽( x ，y ，x ) 0 ( f v ) v x ，z x ，集合( y r ( x ) ：乎妒( z ，y ，：) 0 是零调的 ( v ) 喜( o ) = 0 。 则( i ) 如果f 是强p 单调的，那么j 2 - 以及3 y t ( 2 ) 满足 。 南昌大学硕士研究生学位论文 妒( i ，歹，x ) 仨一p 0 ) ，v x x ( i i ) 如果孝是严格p 单调的，那么j 可x 以及可丁( i ) 满足 妒( i ，歹，茸) g i n t 尸， v x z 。 证明：由( i ) 和t ( x ) 紧可知，v x ，v ，函数y h c q , ( x ，y ，v ) 在r ( z ) 上达到 其最大值，令f ( x ，v ) = m a x 如( z ，y ，v ) y e j l j ) ( a ) 丁为上半连续、有紧值且亭妒是上半连续，由【3 ，p 1 1 9 1 命题2 1 可知， f ( x ，v ) 关于x x 是上半连续； ( b ) v x x ，f ( x ，v ) 关于v z 是g 一拟凸的。 事实上，v r r ，令= v x ：f ( x ，v ) r ，要i t t _ f ( x ，v ) 关于v x 是g - 拟凸 的，即要证l 是g 一凸集； 设a = “，也，k ) c ，则砂r ( x ) ，有 却( x ，y ，u ) f ( x ，v 1 ) ，i = l ，2 ，n 。因为和( x ，y ，z ) 关于z 是0 一拟凸的， 所以v v e r 有亭妒( x ，y , v ) r ，于是，( x ，v ) 2 ，m 。a x 古q ) ( x , y ，v ) r 即r c ，所以 上，是g 一凸集； ( c ) 3 i z 使得v x x ，f ( y ，x ) 0 。 若不然，则v x ，s u x 使得f ( x ，u ) 0 ，定义s ：x 呻2 。如下： s ( x ) = “x ：f ( x ，“) 0 ) ， v x z 易见s ( x ) a ；由上面( b ) 可知，s ( x ) 是g 一凸集；v u z ，有 s 一 ) = x x l d s ( x ) = 红x ：，( x ，“) 0 ) l 由( a ) ，f ( x ，“) 关于x x 是上半 连续，所以s 1 ( “) 为开集，由上面的f 口h b r d w 如r 不动点定理，3 x o x ，使得 x o s ( x o ) 即：f ( x o ，x 0 ) = m a x 和( x o ，y ，x o ) 0 这与条件( i i i ) 矛盾； y c - i x oj ( d ) 珩) 满足和( i ，只工) 0 ， v x x 。 若不然，则砂，( i )均s u 使得知( z ，y ，”) 0 ； 南昌大学硕士研究生学位论文 定义映射f ：7 t ( i ) 斗2 。如下 f ( y ) = 工：孝p ( i ，y ，x ) 0 ) ，v y 7 1 ( i ) ； 则f ( y ) o ，由条件( i i ) 可知，f ( y ) 是g 一凸集 且v z x ，f 。( 石) = j ，t ( y ) ：x f ( y ) ) = y r ( _ ) ：善妒( - ，y ，“) 0 ) ；因为善妒是 上半连续，所以，。( x ) 在，( i ) 中为开集。 又定义h ：x 一2 r ( 如下： - ( x ) = y t ( y ) ：f 妒( i ，y ，z ) 0 ) ，v x x 由( c ) ，v x 工，普罱和( i ，y ，x ) o ，所以v x x ，砂( x ) r ( i ) 使得 如( i ，y ( x ) ，x ) 2 0 ，所以h ( x ) o ：再由条件( i v ) ，何( x ) 是零调的；因为f p 是 上半连续和，( 习紧，所以h ( x ) 在，( 习中为闭，即日有闭图象；再由t ( x - ) 紧可知 日是上半连续的：由定理3 2 可知，f 和h 在中丁( i ) 有重合点，即 3 ( x o ，甄) x x t ( y ) ，满足f ( y o ) 和y o h ( x o ) ，即有勿( i ，y o ，x o ) 0 和 善妒 ，) 0 ，这是矛盾的。 由上( c ) ( d ) 可知， i x ，黟璇) 满足 f 妒( i ，歹，石) 0 ，v x x( 4 1 ) ( e ) 证明结论成立。 若掌是强p 单调的，则妒( i ，歹，x ) 芒一p o ) ，v x x ( 4 2 ) 事实上，若( 4 2 ) 不对，则3 v x 使得妒( i ，歹，v ) 一p o ) ，即妒( i ，歹，1 ，) p0 且妒( i ，歹，v ) 0 ，由于亭是强p 单调的，且专( o ) = 0 ，所以有孝伊( i ，歹，v ) 0 这 与( 4 1 ) 矛盾。 类似可证：若毒是严格p 单调的，则 妒( i ，歹，x ) 硭一i n t p ，协x ，证完。 推论4 1设z 、y 、丁和( z ，p ) 如定理4 1 所述；并设p ”a ， 南昌大学硕士研究生学位论文 c p ：j y x x 斗z ，如果j f p 。使得善妒满足定理4 1 中的条件( f ) 一( f v ) ，则 j i x 以及筇e t ( x ) 满足 够( i ，歹，x ) - p 0 ) ，v x x 。 证明：因为孝p 4 是强p 单调的，目- 4 ( o ) = 0 ，由定理4 1 即得结论，证完。 注4l ：当x 是空阃时，且z = 足，p = 【o ，+ c o ) ，由推论4 1 可得 1 8 】中定 理1 。 推论4 2设j 、y 、丁和( z ，尸) 如定理4 1 所述，又设z 是局部凸空间，且 p 有基b ；妒：x y x x _ z 满足 ( i ) 妒是0 ( b ) 上半连续的； ( | i ) v x x ，y y ，妒( x ，y ，z ) 关于z 是g 一只( 动拟凸的； ( i i i ) v x x ，砂丁( x ) ，使得妒( x ，y ，x ) e 昂( 嚣) ； “v ) 坛，z j ，集合秒，0 ，：妒化只= ) 0 ( 口) 是零调的。 则翦x 以及y ，( i ) 满足 妒( i ，歹，x ) 盛一p o ) ， v x x 。 证明：在定理4 1 中，用( z ，0 ( b ) ) 代替( z ，p ) ，取e a i n t e , ( b ) ，口= 0 z 并令孝= 魄$ ，则掌是连续的、严格0 ( 国单调的，且掌( o ) = 0 ，利用引理2 1 和2 2 ， 易见参p 满足定理4 1 的所有条件，由该定理可得：j i x 以及歹r ( i ) 满足 妒( i ，歹，x ) 硅i n t v p ( b ) ，x ( 4 3 ) 注意p 0 ) c b ( b ) ，由( 4 3 ) 可得结论，证完。 定理4 2 设( 肖，r ) 是紧g 一凸空间，( z ，p ) 是序拓扑线性空间，且 p 4 o ；又设p ：x x 寸z 满足 ( j ) v u x ，妒( x ，, ) 关于石是p 一上半连续的； ( i i ) 3 亭使得掌妒( x ，“) 关于“是g 一拟凸的； 南昌大学硕士研究生学位论文 ( f f f ) v x 爿，伊( x ，x ) p 。 贝0 ( v e p 2 ) 有解，即3 可r 满足 缈( i ，x ) 硅一p o ，v x x 。 证明： 令= 亭妒，则j i x 满足f ( y ，x ) 0 t v x x 。 事实上，若结论不对，则v x x ，均j “使得f ( x ，“) o t 定义s ：x 一2 。如 下： s ( x ) = 1 , 1 x ：f ( x ，“) o ， v x x 易见s ( x ) g ；由上面( f f ) 可知，s ( x ) 是g 一凸集：v “x ，有 s 。( 甜) = x x ：“s ( z ) ) = x x ：，( x ，“) 0 ，由( f ) 和弓理2 3 知，f ( x ，u ) 关于 t x 是上半连续，所以s 。( 甜) 为开集，由上面的f a n b r o w d e r 不动点定理， 3 x o x ，使得x o s ( x o ) ，即f ( x o ，x o ) 0 ，这与条件( i i i ) 矛盾。 由于孝p ”是强p 单调的，r 4 ( 0 ) = 0 ，由上可知矿( i ，x ) 诺一p o ) ，v x x ； 证完。 定理4 3 设( ，r ) 是紧g 凸空间，( e r ) 是另一g 一凸空间，( z ，p ) 是序拓 扑线性空间，p 8 a ；又p ：x x j ，x 斗z 满足 ( i ) t ：x 斗2 7 有局部交性质，v x x ，丁( 功为非空g 一凸集； ( 哟v z x ，伊( x ，y ，z ) 关于( x ，y ) 是尸一上半连续的； ( i i i ) j 乎p “使得f p ( x ，弘z ) 关于z 是g 一拟凸的； 【f v ) v x x ，v y y ，妒( x ，y ，x ) p 。 则茹x 以及歹丁( 习满足 妒( i ，y ，x ) 售一p o ) ，v x x 。 证明：由条件( i ) 及推论3 4 可知，丁有连续选择f ：x 斗y 且v x x ， ( x ) 丁( x ) ；定义妒：x x 斗z 如下： l d 南昌大学硕士研究生学位论文 y ( x ，“) = e ( x ，( x ) ，“) ，v x ，“x 易验证：满足定理4 2 的全部条件，由该定理，j i x 满足 v ( x ，工) g 一， u ， v x 爿 记歹= ，_ ( i ) r ( i ) ，由上式以及缈的定义，易见结论成立，证完。 定理4 4 设鼻、y 如定理4 3 所述，( z ，) 是序拓扑线性空间，又设 ( f ) s ：x 寸2 。，v x x ，s ( x ) 是非空g 一凸集；v z x ，s - 1 ( = ) 为开集； 映射i ：寸2 。是上半连续的，且慨x ，虱x ) = 丽； ( j i ) t ：x 辛2 7 有局部交性质，v x x ，z ( 曲为非空g 一凸集； ( f f f ) 妒：x x r z 呻z ，并存在尸单调泛函f ：z 哼r 使得f 伊连续；v x x ， v y y ，和( x ，y ，z ) 关于2 是g 一拟凸的。 那么( j ) 当# 是强p 单调时，贝i j3 2 - x 以及黟r ( i ) 满足i 吾旺) 且 妒( i ，歹，z ) 一妒( i ，歹，i ) 芒一p 0 ) ，v x s ( 彳) ； ( ) 当f 是严格p 单调时，则j i x 以及琴r ( i ) 满足i j ( i ) 且 妒( i ，歹，z ) 一妒( f ，y ，i ) 萑一i n t p ，v x s ( 覃) ； 证明：由条件( f f ) 及推论3 4 ，t 有连续选择，：x j y 且v x x ， f ( x ) t ( x ) ；定义函数：盖j _ 矗如下： ) f ，( x ，z ) = 如( x ，( x ) ，z ) 如，z x ； 由【1 2 】p 1 7 6 - 1 7 7 定理4 及其证明，j z x 满足i 豆( i ) ，且 杪( 覃，x ) | ；f ，( i ，i ) ，v x 吾( i ) 即 ( i ，i ) = m i n 妒( i ，x ) ，于是 c v t j 善妒( i ，厂( i ) ，i ) = 基璺 ( 蕈，厂( i ) ，x ) ( 4 4 ) ，e 3 【jj 当f 是强p 单调时，则有 妒( i ，厂( i ) ，x ) 一妒( i ，( i ) ，i ) 芒一p 0 ) ， v x s ( )( 4 - 5 ) 南昌大学硕士研究生学位论文 事实上，若( 4 5 ) 式不真，则3 z 亭( z ) 使得 妒( i ，厂( i ) ，z ) p 妒( i ，( i ) ，习，且p ( i ，厂( 覃) ，三) 妒( i ，( i ) ，i ) ；由于善是强p 单调，由上可得：孝妒( i ，( i ) ，z ) 是 零调的。 则下面的变分不等式有解，即存在2 - x 以及y r 何) 满足 诺一p 、 0 ) ， v x x 。 证明：因善是强p 单调，且善( o ) = 0 ，在定理4 1e e ，令 缈( x ，y ，z ) = 容易验证定理4 1 中所有条件成立，所以由此定理可得 i x 以及可7 ( i ) 满足 妒( i ，y ，x ) 萑一p o ) ，v x x 即 盛一p 0 ， v x x 。 6 南昌大学硕士研究生学位论文 推论4 4 ：设盖、e 、z 和p 如推论4 3 所述。如果映射m ：x 斗l ( e ，z ) 连 续，则下面的向量变分不等式有解，即j 2 - x 满足 萑一p 0 ) ，v x x 。 证明：在定理4 2 中，令p ( x ，“) = 注意妒( x ，u ) 关于“x 是线性的，因此v 善p 4 ，f - 妒关于u 是g 一拟凸的：易见 其他条件也满足，由定理4 2 即得结论，证完。 推论4 5 ： 设( x ，r ) 是紧的g 一凸空间，( z ，尸) 是序拓扑线性空阆， p ”o ，假设g ：x 斗z 是p 下半连续；并且 善p 。使得孝g 是g 一拟凸的，则 下面的向量优化问题 m i n ，g ( x ) x 有解，即j 2 - x 满足 g ( x ) 一g ( i ) 硭一p o ) ， v x x 。 证明：在定n 4 2 中，令妒( x ，u ) = g ( 甜) 一g ( x ) ，v x ，“x ；利用引理2 - 3 ，易 见定理4 2 的全部条件满足，由该定理即得结论，证完。 五、极小极大定理 定义5 1 ”1 设、】，均为拓扑空间，厂：x y r ，称，在y 为矽一下半连 续( 简记为w 一， c ) 的，如果v y y ，v r r 且p x ：厂( x ，_ y ) ， g ，存在z 使得y i n t z y ：厂( 一，z ) r ) 。 由定义可知，下半连续函数必为一下半连续。 定理5 1 设( y ，r ) 是g 一凸空间，爿为h a u s d o r f f 拓扑空间，k a ( x ) 为x 的 紧的零调集族。设，g ：x y _ 尺 使得 1 7 南昌大学硕士研究生学位论文 t i ) f ( x ，_ y ) s g ( x ，y ) ，v ( x ，y ) x 】，： ( f f ) 魄x ，f ( x ，) 为g 拟凹的 ( i i i ) f ( x ，y ) 在x 为矿一下半连续 ( f v ) g 为下半连续，且砂y ，v r r 和z 中的任意一个紧的零调集合足 集台 x k ：g ( x ， ，) 为零调的。则 骤粤，( 训) x 鞣) v s u p ，磐g ( 埘) 。 证明：我们用 1 8 1 拘方法( 反证法) 设i 。n f 。s 。u r p f ( x ，y ) 石窦旺) 粤r a ，；i 五n g ( 墨y ) ，则j 口，卢月，使得 i n f s u p yf ( 础) 口 胗石鳊k s u p 。m i n g ( ) ； ( ) v x x ，令o ( x ) = f ( x ) = y y ：f ( x ，y ) 口) 则由( i i ) 可知，o ( x ) 为g 一 凸的，且g c o g ( x ) = f ( x ) ； ( ) v y y ，令t ( y ) = ( x k ：g ( x ，y ) ， 因为 k 。i 肋n f ( ) s ，u ；r p m ，。i 。n g ( 工，y ) ，由下确界性质，3 k 勋( 上) 使得 粤i ，n 。置f g ( x ，y ) ，所以r ( y ) 。；由( f v ) 可知丁有紧的零调值；又因为g 为 下半连续、k 紧，易见t ( y ) 在k 中为闭，所以r 有闭图象；再由k 紧可知t 为 上半连续的； ( m ) n n i n f s 。u 。p r f ( x ，y ) 口，所以帆，g ( x ) a ；由( f f f ) t 砂7 】，使 得x i n t z x ：厂( z ，y ) 口) ，所以x c u ( z x ：，( z ，y ) 鲫； y e y 由( ，) ( ) ( i l i ) 可知，定理3 1 条件满足，所以b x o x ，y o y 使得 x 。t ( y o ) ，y o f ( x o ) ；即有g ( x o ，y o ) 口f ( x o ，y o ) ，这与条件( f ) 矛盾所以 定理结论成立，证完。 注5 1 ：当( y ，r ) 为h 空间时，即得【1 8 1 的定理3 。 南昌大学硕士研究生学位论文 六、致谢 本论文是在导师傅俊义教授的悉心指导下完成的。从选题到最后的修改定 稿，导师都给予了不少帮助。三年来，导师严谨的教学和工作态度时时激励着和 影响着我。在此，衷心地感谢导师给予我的帮助和教诲 感谢南昌大学数学系的许忠义教授，刘理蔚教授三年来对我的帮助和教诲 感谢王三华，郭玲等同学三年来对我学习上和生活上的帮助，和他们在一起 学习是我最大的荣幸! 我衷心地感谢以上提及和因疏忽而未提及的所有关心和帮助我的人们 1 9 南昌大学硕士研究生学位论文 参考文献 【1 】q h a n s a r i ，i vk o n n o va n dj c y a o ，c h a r a c t e r i z a t i o n so fs o l u t i o n sf o r v e c t o re q u i l