（科学技术哲学专业论文）欧几里得与阿基米德数学思想之比较.pdf

论文摘要 关于“数学的灵魂是什么? ”这一问题的回答，好像一直是 缭绕着人们的难解之谜。欧几里得、阿基米德这两位古希腊时期 的数学大家提供了许多几何事实，阐明了几何事实之间的关系， 发明了各种证明方法，拟定了某些概念的定义。但是两位大师的 数学思想风格迥然不同，欧几里得的工作侧重于有步骤的对现有 的思想和成果进行整理和加工，属于逻辑型的数学家；阿基米德 的工作的目的是为了发现与解决问题，创造出新的思想与成果， 纯属于直觉型的数学家。本文将通过对两者数学思想的比较，分 析逻辑与直觉在数学发现中的不同作用，从而使人们认识到数学 不只是逻辑演绎推理的并列，更重要的在于寻找到新的顺序排列 的演绎，避免无用的组合，做出那些有用的组合，而这正是依靠 数学家的直觉。因此，数学的灵魂是直觉。 关键词：数学灵魂；数学直觉：数学逻辑；欧几里得；阿基米德 a b s t r a c t w h a ti st h es o u lo fm a t h e m a t i c s ? t h ea n s w e rt ot h eq u e s t i o ni sw i n d i n g a r o u n dp e o p l e sm i n df o r e v e r , w h i c hl o o k sl i k ear i d d e l e e u c l i da n d a r c h i m e d e s ，w h ow e r eb o t hg r e a tm a t h e m a t i c i a n si na n c i e n tg r e e c e ，h a d p r o v i d e ds om a n yf a c t sa b o u tg e o m e t r y , f o r m u l a t e dt h er e l a t i o n so ft h e s e f a c t sa n di n v e n t e daf e wm e t h o d st oc e r t i f i c a t ep r o p s s i t i o n sa n ds oo ni n t h e i rt i m e h o w e v e r , t h es t y l e so ft h e i rm a t h e m a t i c st h o u g h t sa r et o t a l l y d i f f e r e n t e u c l i d sw o r ks t r e s s e dt op r o c e s sa n da r r a n g et h et h o u g h t sa n d a c h i e v e m e n t s ，w h i c hw e r em a d eb yh i ss e n i o r s ，s oh ew a sal o g i s t i c m a t h e m a t i c i a n a r c h i m e d e s sw o r kg o a lw a st od i s c o v e ra n ds o l v e p r o b l e m ss ot h a th ec o u l dc r e a tn e wt h o u g h t sa n da c h i e v e m e n ts oh ew a s ai n t u i t i v em a t h e m a t i c i a n t h r o u g ht h e c o m p a r i s o nb e t w e e n t h e i r m a t h e m a t i c st h o u g h t s ，w ew i l la n a l y s i st h ed i f f e r e n tf u n c t i o n so fl o g i c a n di n t u i t i o ni nm a t h e m a t i c sd i s c o v e r i e si no r d e rt h a tp e o p l ec a n r e c o g n i z et h a tt h eg o a lo fm a t h e m a t i ci sn o to n l yt oa s s e m b l el o g i c a l r e a s o n i n g sb u ta l s ot os e e kf o rn e wa r r a n g e m e n t si nd e d u c t i o no r d e r , a n d t h el a t t e ri sm u c hm o r ei m p o r t a n tw h i c hj u s td e p e n d so nm a t h e m a t i c i a n s i n t u i t i o n t h e r e f o r e a l li n t u i t i o ni st h es o u lo fm a t h e m a t i c s k e y w o r d s ：s o u lo fm a t h e m a t i c s ，i n t u i t i o no fm a t h e m a t i c s ， l o g i co fm a t h e m a t i c s ，a r c h i m e d e s ，e u c l i d 论文独创- 胜声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究 成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均己在论文中做了明确的声明并表 示了谢意。 p、 储雠瓤 论文使用授权声明 勺忑 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 翰导师签名： 日期：，2a 。7 ，z 扩 隐象明 欧几里得与阿基米德数学思想之比较 导言 ( 一) 写作缘由与意义 对“数学灵魂”，一些人会说它新颖，一些人会说它时髦，甚至会有人指责 说这不过是数学界的自夸之词。当然，这些说法都只是误解。事实上，数学和人 类文明的历史共生存。两千多年前，著名的毕达哥拉斯学派就已经说过：“数乃 宇宙的要素”。假如我们静下心来，问一问：思考是什么? 智慧是什么? 科学是 什么? 数学是什么? 我们就不能不感到，似乎总有一种无形的精神氛围几乎 影响着每一件事。这不就是数学之灵魂吗? 日本当代著名数学家、教育家米山国藏先生指出：多数学生进入社会后，几 乎没有机会应用他们在学校学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在 学生毕业后不到一两年就忘掉了。然而不管人们从事什么工作，那种铭刻于大脑 的数学精神和数学思想方法却长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用9 。这 段话深刻揭示了“数学灵魂”的重要性。但是“数学灵魂”究竟是什么昵? 从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期有一种观点认 为“逻辑重于演绎，而直观重于分析”从表面来看，此话不无道理，但深入得想 一下数学逻辑完全依靠逻辑就能够发展吗? “逻辑用于证明，直觉用于发明”这是彭加勒的一个著名观点。一个数学证 明可以是一些基本运算或“演绎推理元素”的一个成功的组合，仿佛是一条从出 发点到目的地的通道，一个个基本运算或演绎推理元素就是这条通道的一个个路 段。当一个成功的证明摆在我们面前时，逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定 能顺利地到达目的地。但是逻辑不能告诉我们，为什么这些路段的选取与这样的 组合可以构成一条通道。事实上，出发不久便会遇上叉路口，也就是遇上了正确 选择构成通道的路段的问题。当我们需要去发现一个数学证明时，必须从远处了 望目标。指导我们了望的能力是直觉。没有直觉，几何学家便会像有些作家那样， 他只是按语法写诗，但却毫无思想。”数学证明不是演绎推理的简单并列，它是 按某种次序安置演绎推理，这些元素安置的顺序比元素本身更为重要。如果我具 有这种次序的感觉，也可以说这种次序的直觉，以便一眼就觉察到作为一个整体 的推理，那么我已无需要害怕我忘记这些元素之一，因为它们之中每一个都在排 列中得到它的指定位置，不要我本人去费心思记忆”9 。 o 苗力田：古希腊哲学，北京：中国人民大学 版社，1 9 8 9 ，第7 页 。徐利治：论数学方法学，济南：山东教育f i i 版杜，2 0 0 1 ，第1 3 页 。彭加勒：科学的价值，北京：光明日报出版社，1 9 9 8 ，第4 3 4 5 页 1 综合上面的分析，可以知道：在理解数学的过程中，领悟推理链中所隐含的 整体性、次序性、和谐性，达到对推理链的整体把握，乃至能够预见证明，这种 领悟需要直觉。在创造数学的过程中，类似的领悟也需要直觉，它能在成功的证 明尚未构成之前做出种种预见。可以根据一个人的直觉的强弱来判定他学习、应 用与研究数学的能力的强弱，在理解或创造数学的过程中，直觉和逻辑的功用是 不同的，推理链能够记载逻辑的功用，却无法记载直觉的功用。因此，数学直觉 乃数学之灵魂。 法国著名数学家让迪厄多内说：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑 是使学生对他所要处理的数学对象有一个可靠的直觉。但经验证明，要达到 这个目的，只能通过长期与所学习的教材打交道，并且不断尝试从所有可能的角 度去了解它。我以为获得直觉的过程，必须经历一个纯形式、表面理解的时 期，然后逐步将理解提高、深化。”。 由此可见，直觉必须以知识的累积和智力的健全为基础，是认识过程中的飞 跃。直觉层面的理解是对数学的本质的理解。它对数学发展的指导作用显而易见。 只有更好的理解数学灵魂，才能更好地适应培养健全的现代人的需要，做好数学 发展工作。 ( 二) 文献综述与论点 对“数学灵魂”一词，也许直到现在连最优秀的科学家们，也尚未得出统一 的定义。在一次中央电视台特别节目科学家谈二十一世纪里，在场的中国科 学院院士或第一流的学者们，最后回答了同一问题：科学灵魂是什么? 结果，每 个人的回答都很精彩，却互不相同。这样的事，同样会发生在“数学灵魂”是什 么的问题上。如果我们去问不同的数学家，它们之所以没有一个确定的定义，绝 不是偶然的。当一个事物具有丰富的、甚至是不可穷尽的内涵时，要用有限的确 定的话语去定义它，显然是不可能的。 关于数学灵魂，一些第一流的科学家是这样谈的： a n 怀特海f a l 觚dn o a hw h i t e h e a d ) 说是“善”，是“创造性”。他曾写过 一篇专论，题目就是数学与善。他揭示了人们认为风马牛不相及的两个事物 间的深刻的内在联系。让人们看到，数学如何通过对和谐与模式的追求，对本质 与真理的把握，而达到心灵的善。 阿尔贝特爱因斯坦认为灵魂就是“永恒”。这位创立了相对论，改变了人 类宇宙观的伟人，把他的后半生献给了探寻统一场论的事业。他力图寻找一组方 程，表达物理世界的几种力之间统一的规律。尽管没有成功，但他确信宇宙有和 谐的规律，而数学就能表达这种永恒的规律。1 9 5 2 年，当爱因斯坦被推荐为以 色列总统时，他谢绝了。他说：“方程对我而言更重要些，因为政治是为当前， ot a d i e u d o n n e ：我们应该讲授“新”数学吗? ，北京：数学译林，1 9 9 8 ( 3 ) ，第7 页 2 而一个方程却是一种永恒的东西。”。杨振宁说面对数学，他有“一种庄严感，一 种神圣感，一种初窥宇宙奥秘的畏惧感。”9 他在多次的演讲和多篇文章中，都曾 谈及物理学的研究模式和物理学之美与数学的关系。他怀着深情回忆数学的群论 对他的重大影响。尤其是，他把近代物理最终归结为三个方程，并指出几乎全部 物理学都可以由此推演出来。望着如此丰富多彩的物理世界，竞被三个方程包容 尽，这位诺贝尔奖得主，被震撼了。 对数学和数学灵魂讲得较为详细的，是著名数学家m 克莱因( m o r r i sk l i n e ) 。 他说：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因 素”，“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰 富内容的知识体系。其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺 术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇 心和对美妙音乐的冥想；甚至可能有时以难以察觉的方式但又无可置疑地影响着 现代历史的进程。”9 如果愿意，我们还可以举出一连串的名人和一连串的精彩的论述。这名单不 只包括自然科学家，也包括人文领域的代表人物。比如，前苏联思想家加里宁说， 数学是锻炼思想的体操。达芬奇说，绘画应遵循黄金分割律。马克思说，任何 学科如果没有被数学化就不能算是真正完美的。甚至，连那个唯心主义的魁首 贝克莱主教，也企图用数学去证明上帝的存在。 然而多年来，数学一直被认为是培养逻辑思维能力的重要学科，甚至认为数 学教育的价值就是培养人的逻辑思维能力，逻辑思维能力的培养成为谈得最多的 话题，有关文献也作了相当的评价。曹才翰。认为：“数学中要培养的数学能力的 核心就是逻辑思维能力。”9 ；任樟辉。先生认为：“逻辑思维是数学思维的核心”， 因此，“应该培养逻辑思维能力和形象思维能力”9 。 虽然逻辑思维的重要性是不言而喻的，但是数学归根到底不是逻辑创造的， “逻辑乃是表现数学的一种方法”。逻辑是使数学知识理论化系统化的手段，逻 辑还有浓缩“数学知识”的作用，在一定程度上逻辑促进数学发展，但又是有条 件的，即没有“非逻辑”的作用，任何真正意义上的数学进步是不可能的。 关于逻辑与直觉的关系刘云章。先生在数学直觉与发展一书中写道：“如 果不想违背感性直觉和意识的规定，那么逻辑的作用只能是使已有公理体系在有 。袁小明：数学史话，济南：山东教育出版社，1 9 8 5 ，第2 1 1 页 。邓东皋、孙小礼等：数学与文化，北京；北京大学i i ；版社，1 9 9 0 第3 1 2 页 。克莱凼著，张理京，张锦炎等译：古今数学思想( 第一册) ，上海：上海科学技术出版社，2 0 0 2 ，第4 页 。外尔；半个世纪的数学载数学史译文集( 续集) ，上海：上海科技出版社，1 9 8 5 ，第2 5 5 页 。曹才翰：( 1 9 3 3 - - 1 9 9 9 ) ，北京师范人学教授，我国著名数学教育家，我国教学教育心理学研究的开创者 和奠基人，为我困课程j 教学论偾t 学) 专业的创建和发展做出丫奠基性贞献 。曾才翰；中学数学教学概论，北京：北京师范人学，1 9 9 1 ，第8 3 页 。任樟辉；浙江帅范人学数理j 信息科学学院副教授。曾任数学系数学教育教研室主任，全国高师数学 教育研究会理事、浙江分会副理事长。专著有数学思维论，并参加编写数学教育学概论等著作4 种，发表数学教育方面的论文2 5 篇。 o 任樟辉：数学思维论，古林：黑龙江出版社，1 9 8 9 ，第7 页 。刘云章：南京师范人学数科院教授，从事课程与教学论( 数学) 方面的教学与研究工作，主要研究方向： 数学的思想方法 3 限的范围内越来越缜密，绝不会超过这个范围”9 ，张奠宙9 先生认为：“数学创 造主要不是靠逻辑。逻辑演绎只是同语反复，出现一个个的重言式，你要创造， 必须提出新的概念，添加新对象，创立新方法，只在逻辑圈子里打转不会有新东 西出来”9 。由此可见，数学直觉思维应该得到应有的重视。 究竟是什么能使数学家有创新呢? 是数学直觉。数学直觉的真谛，是对数学 直觉的探索。在理解数学的过程中，领悟推理链中所隐含的整体性、次序性、和 谐性，达到对推理链的整个把握，乃是能够预见证明这种领悟就是直觉。 数学灵魂的独特之处在于，它的起点是每个人都能理解并能接受的；它建立 在人们普遍承认的公理与直觉之上，借助人类共有的逻辑思维模式去研究，从最 平凡最简单的事物开始，去探寻最深刻、最隐秘的真理。这些真理是任何人都承 认的，并能最广泛地应用自然界和人文科学的一切领域。数学灵魂体现了人类理 智的统一性，体现了人类理智与宇宙万物的和谐性。 本文研究数学的灵魂的主旨和意义在于讨论数学究竞是逻辑的还是直觉的。 当前对此问题的研究分析尚不多见，本文在充分吸取前述的各位自然科学家与社 会科学家等的研究成果的基础上，又不同于他们的研究对象与视角，拟从世界文 明史中首屈一指的古希腊数学出发，研究古希腊的两位伟大的数学家欧几里 得和阿基米德的数学思想入手，特别是他们对几何学的不同处理方式上进行研 究。通过对两者数学思想的对比，以使我们认识到作为逻辑型的数学家，欧几里 得的工作是侧重于把早先的几何学家的个别努力所得的结果和所用的方法加以 系统化，并加以推广形成体系；相反，作为直觉型的数学家，阿基米德的工作是 致力于新的事物，致力于对知识总体的真正增加，他的完善的创作力为后人开辟 了更多的可研究领域，这才是数学的真正灵魂之所在。 数学直觉无疑是本文研究的最终导向和意义所在，研究数学灵魂的目的就是 探讨在数学研究中数学直觉能力的重要性，为数学的研究发展做出应有之贡献。 ( 三) 写作框架与方法 本文的第一部分论述了在欧几里得与阿基米德之前的古希腊数学的发展情 况，指出当时古希腊数学已达到的研究程度与所存在的一些遗留问题，为下文介 绍欧几里得与阿基米德的数学思想做铺挚；第二部分分析欧几里得的数学思想， 从其整理加工前人的成果以建立公理化的数学系统等方面入手，揭示出逻辑型数 学家的特点：第三步部分分析阿基米德的数学思想，从其运用力学方法解决数学 问题，发展与创造了穷竭法、记大数法等方面入手，揭示出直觉型数学家的特点； 第四部分分析数学直觉的作用以及数学逻辑的内在局限性；第五部分将建立在前 四部分的基础上分析逻辑与直觉在数学研究中所起的不同作用，揭示出数学的灵 魂是直觉。其中，第五部分为本文最为关键的部分。 o 刘云章：数学直觉发现，合肥：安徽教育出版社1 9 9 1 。第1 4 7 页 。张奠宙：华东帅范大学数学系教授，长期担任数学分析和函数论课程的教学，数学研究领域为泛函分析 。任樟辉；数学思维论，吉林：黑龙江出版社，1 9 8 9 ，第7 页 4 在写作中，力图采用开放性思维，试图实现多角度的转换。数学逻辑是证明 的工具，数学直觉是发明的工具。一个人数学直觉的强弱决定他创造数学成绩的 大小。 5 第一章古希腊数学简介 在所有的文明古国中，谈起对数学发展的贡献，希腊数学。无疑是最重要的。 古希腊数学最辉煌的阶段应是公元前6 0 0 年到公元前3 0 0 年左右近千年的时问。 现代数学史家们认为：“数学作为一门有组织的、独立的和理性的学科来说，在 公元前6 0 0 年到公元前3 0 0 年之间的古希腊学者登场之前是不存在的”9 。 尽管古希腊数学在世界文明史上是首屈一指的，但遗憾的是前期的数学知识 没有能完整地保存下来。现在人们见到的希腊数学著作主要是来源于拜占庭的希 腊手抄本，是在希腊原著写成后的5 0 0 - - 1 5 0 0 年之间录写的。另外还有希腊著作 的阿拉伯文译本及转译自阿拉伯文的拉丁文译本。尽管如此，古希腊数学在古代 至高无上的地位还是世人所公认的。总的来说，古希腊数学成就主要是相继创立 了几个不同的学派。古典希腊数学是在先后相继的几个中心地点发展期来的，在 每个中心地点，总有无正式组织的成群学者在领袖学者的领导下开展活动。 ( 一) 泰勒斯和他所创立的学派 泰勒斯( 约公元前7 6 世纪) ，出生在小亚细亚南海岸的爱奥尼亚最繁盛的 城市朱留都。他是公认的希腊哲学的鼻祖，创立了爱奥尼亚哲学学派，在哲学上 主张以水、火、空气为基本物质，来探索自然界的规律，认为处处有生命和运动， 他否认神是世界的创造者。这种对自然哲学的探索，对包括数学在内的古希腊科 学的发展，无疑是非常重要的。泰勒斯早先是商人，周游过世界许多地方。在埃 及时，他通过测量杆子和金字塔的影长，求出了金字塔的高度；还利用有关相似 三角形的知识计算船舶到海岸的距离。在数学方面的主要成果有：“圆被任一直 径二等分”；“等腰三角形的两底角相等”；“两直线相交，对顶角相等”；“两个三 角形，有两个角和一条边对应相等，则相等”；“内接于半园的角必为直角”等。 这些成果的意义不仅在于这些定理本身，更重要的是泰勒斯为它们提供了某种逻 辑推理，对命题进行了证明。它标志着证明数学的诞生，人们对客观事物的认识 从感性上升到了理性，这是数学史上的一次飞跃。“也许，现代意义上的数学， 就诞生于这种唯理论的气氛之中”。o ( 二) 毕达哥拉斯和他所创立的学派 继泰勒斯而起的是毕达哥拉斯( 约公元前5 8 0 - - 5 0 0 年) 和他所创立的毕达 哥拉斯学派。他们主要活动在意大利南部一带。学派的观点是：“万物皆数也”， 认为支配自然界一切奥秘的规律就是数。因此就对数的某些性质进行了研究，也 有许多是属于数字神秘主义的东西。毕达哥拉斯学派研究的数学范围主要有：三 角数、四角形数、五边形数、奇数、偶数和质数，以及算术平均、集合平均、黄 金分割等等。最著名的成果是对“勾股定理”( 即毕达哥拉斯定理) 的研究和发 。当然这鹗所说的希腊数学，并不限于希腊本土，而是和通常人们所说的古希腊文明一样，包括地中海沿 岸的欧洲、小哑细听和北部非洲在内的广大地区 。张贵新：数学思想发展史选讲，占林：东北师大出版社，1 9 8 5 ，第1 9 页。 。h 伊大斯：数学史概论，山西人民出版社，1 9 8 6 ，第6 0 页 。h 伊犬斯：数学史概论，山西人民出版社1 9 8 6 ，第5 9 页 6 现“无理数”。毕达哥拉斯学派非常赞赏一切事物都是按照简单的整数比来安排 的。当他们发现有些比( 如正方形对角线与其一边之比) 不能用整数之比表达时， 就感到惊奇不安。他们把这种不能用整数之比表达的称作不可公度的比。这一重 大发现应功于毕达哥拉斯学派的赫帕萨斯( 公元前5 世纪左右) ，但他却被同伙 抛入大海葬身鱼腹，因为他在宇宙问搞出这样一个东西，否定了毕达哥拉斯学派 的信条：“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。”由于这种不可公约量 一无理数的出现，引起了数学的第一次危机。 ( 三) 芝诺及艾利亚学派 芝诺( 约公元前4 9 6 - - 4 3 0 年) 的哲学思想含有辩证法的因素。他企图揭示 运动的矛盾，于是提出了四个悖论，这引起了学术界的极大骚动，余波至今未息。 这四个悖论是：( 1 ) 二分说。一个物体从甲地到乙地，永远不能到达，因为首先 要通过路程的一半，即道路的1 2 ；但要通过一半的一半，即道路的1 4 ；要 通过1 4 ，必先通过1 8 ：这样下去，永无止境。结论是此物不能开始运动， 因为它被道路的无限分割阻碍着。( 2 ) 阿基里斯追龟说。阿基里斯是传说中善 走如飞的英雄，假如阿基里斯的速度是龟的1 0 倍，龟在前面1 0 0 米，当阿基里 斯跑了1 0 0 米到达龟的出发点时，龟已向前走了1 0 米；阿基里斯再追1 0 米，龟 又前进了1 米；阿基罩斯再追1 米，龟又前进了1 1 0 米。这样永远相隔一小段 距离，所以阿基罩斯追龟，永远追不上。( 3 ) 飞箭静止说。飞箭在任何一个确定 的时刻只能占据空问的一个特定的位置，因此在这一瞬间它就静止在这个位置 上，于是所谓运动，只是许多静止的总和。这些问题的提出，说明希腊人已经看 到了“无穷小”与“很小很小”的矛盾，当然他们无法解决这些矛盾。“本来芝 诺很有可能进一步导出极限的思想，但他却因此而否认运动的真实性，认为运动 是感官的错觉，而世界是静止的存在着，当然也就不会得出正确的结论”。该 学派悖论的提出，进一步推动了数学研究的发展。 ( 四) 诡辩学派 诡辩学派发源于雅典，代表人物是爱奥尼亚学派的哲学家安那萨格拉斯、普 罗他哥拉斯、哥尔基亚等人，该学派推崇公开精神，谁想在公开的讨论或辩论中 取得胜利，必须具有雄辩、修辞、哲学、数学及天文等知识，于是“诡辩学派” 便应运而生。 诡辩学派在数学上研究的中心，是提出并研究所谓几何三大难题，这在古希 腊数学史上是非常有名的。( 1 ) 三等分任意角。用圆规、直尺三等分一个任意角。 ( 2 ) 倍立方。求作一立方体，使其体积等于已知立方体的二倍。( 3 ) 化圆为方。 求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题难就难在它要求只能用圆规和 没有刻度的直尺两种工具。围绕这些问题掀起了数学研究的高潮，同时也得出了 许多好的结果及方法。如引起了对圆锥曲线的研究，发现了三次、四次曲线及“割 圆曲线”，得到了“穷竭法”的思想，这都为以后的方程论、群论和极限理论的 。粱宗臣：世界数学史简编，辽宁：人民出版社，1 9 8 1 ，第1 0 5 页， 。胡作玄：第二三次数学危机，nj q ；人民出版社，1 9 8 5 ，第1 5 2 0 页 。丁石孙：数学与教育，湖南：教育出版社，1 9 8 9 ，第2 6 页， 7 产生奠定了基础。 ( 五) 柏拉图学派和原子论学派。 柏拉图( 约公元前4 3 0 - - 3 4 9 年) 非常重视数学，他在雅典及亚历山大城创 建学院，在学园门口写道：“不懂几何者莫入”。柏拉图坚持准确的定义、清楚 的假设和逻辑的证明，这对数学贡献很大。 德谟克利特( 约公元前4 6 0 - - 3 5 7 年) 是原子论学派的创始人。认为万物的 始源只有原子和虚空。“原子”是不可分的物质粒子，永远处于运动状态之中， 这种见解给宗教以毁灭性的打击。在数学方面，他认为线段、面积和立体是由不 可再分的原子构成的。他的思想为古代数学发现数学的新结果提供了重要线索， 也为古希腊数学的高度发展及几何原本的产生奠定了坚实的基础。 。丁石孙；数学与教育，第2 6 页，湖南教育出版社，1 9 8 9 年7 月 8 第二章欧几里得数学思想数学是逻辑的 第一节欧几里得的生平简介 埃及的亚历山大城，是地中海南岸的重要海港，经过托勒密王( p t o l e m y ，希 腊，埃及国王) 苦心经营，逐渐成为新的希腊文化的渊薮，希腊本土这时已经退 居次要地位。欧几里得( e u c l i d ，约公元前3 3 0 - 2 7 5 ) 就生活在这个时代。欧几 里得一生的细节仍然鲜为人知。欧几里得早期在雅典接受教育。他博览群书，汲 取了前人积累起来的大量的几何知识，终于成为一位几何大家，成名之后，受托 勒密王邀请，来到亚历山大教学。 欧几里得是位温良敦厚的教育家，也是一位治学严谨的学者，他反对在做学 问时投机取巧和追求名利的作风。尽管欧几里得简化了他的几何学，国王( 托勒 密王) 还是不理解，希望找一条学习几何的捷径。欧几里得说：“在几何学里， 大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴 言。一次，他的一个学生问他，学会几何学有什么好处? 他幽默地对仆人说：“给 他三个钱币，因为他想从学习中获取实利。”。 欧几里得的重大功绩是编写了几何原本。这是当时整个希腊数学成果、 方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨 大的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时问里一直盛行不衰。它历经多 次翻译和修订，自1 4 8 2 年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。 除了圣经之外，没有任何其他著作的研究、使用和传播范围，能够与几何 原本相比。但几何原本超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响， 却是圣经所无法比拟的。欧几里得的影响是如此深远，以至于欧几里得和几 何学变成了同义语。 无疑，欧几里得是希腊几何的集大成者，在整个数学史上树立了丰碑。 第二节欧几里得的数学思想 从公元前7 世纪到公元前4 世纪，伴随着哲学的发展，古希腊数学，特别是 几何学获得了充分的发展，积累了丰富的材料。在欧几里得之前，古希腊己出现 过毕达哥拉斯、柏拉图、欧多克斯、亚里士多德等众多的数学先知，古希腊的数 学己达到了相当高的水平，要进一步促进数学的发展，同时满足教学的需要，如 何把这些材料整理成“逻辑严密”的系统知识就成了当时希腊数学家的非常重要 且非常艰巨的一项任务，欧几里得的几何原本就是在这个时候成书的。 欧几里得总结了前人的经验和教训，巧妙地把亚里士多得的“逻辑学”和数 学结合起来，精细地选择命题和公理，合理地安排知识的顺序，使之能从很少的 。袁小明；数学史话，济南：山东教育出版社，1 9 8 5 ，第5 页 9 几个原始命题( 或说公理) 开始逻辑地展开。于是，人类历史上的第一部( 我们可以 这样认为) 数学理论著作几何原本诞生了，第一个公理化的逻辑体系出 现了。 欧几里得在原本中从定义、公设和公理开始他的著作，把点定义成为没 有部分的一种东西，线( 现在称为弧或曲线) 是没有宽度的长度，直线是其上各 点无曲折地排列的线；不过他所说的直线是指两端可以延长的线段。他明白地叙 述了的几何公设共5 条，其中最著名的是第5 条，后来称为平行公设。他假定两 点间的连线是唯一的，但没有明确说。他明白地叙述了的一般公理也是5 条，其 中第4 条现在可以解释为：如果两个图形经过移动可以重合，则它们相等( 现在 叫全等) 。这些一般公理的基本思想是：1 几何图形可以从量的方面进行研究： 2 部分图形的量小于整个图形的量。 欧几里得的公设：w 给定两个点，可连接一线段。 线段可无限延长。 给定中心和圆上一点，可以作一个圆。 所有直角彼此相等。 如一直线与两直线相交，且在同侧相交的两个内角和小于两个直角和，则这 两直线经无限延长后必在该侧相交。 欧几里得的公理：9 与同一个东西相等的东西，彼此也相等。 等量加等量，总量仍相等。 等量减等量，余量仍相等。 彼此重合的东西相等。 整体大于部分。 原本共分1 3 篇。第一篇分两节，第一节讲三角形的全等，没有用平行 公设。其中证明了从直线a b 外一点p 至少可以作平行于a b 的一条直线。后来 人们作了长时间的尝试，想用除公设5 以外的公设和公理，证明这种平行线的唯 一性，结果都归失败，但终于导致一个远为重要的成就，即非欧几何的创立，这 是思想史上的一个里程碑。第二节讲平行四边形的等价，以勾股定理结束。第二 篇讲矩形部分；第三、四篇讲圆：第五篇讲比例；第六篇讲面积和相似形；第七、 八、九篇讲数论；第十篇讲不可公度量的分类：第十一篇是关于立体几何的，通 篇用到平行公设；第十一、十二篇讲关于体积的讨论；最后，第十三篇讲正多面 体。 。希思著，兰纪正、 朱恩宽译：欧几里得几何原本，西安：陕西科学技术出版社，2 0 0 3 ，第2 页 。希思著，兰纪正、朱恩宽译：欧几里得几何原本，西安：陕西科学技术出版社，2 0 0 3 ，第3 页 1 0 ( 一) 整理加工前人的成果 在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但 大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。面对前人留 下的材料，以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分 析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，同时增加自己的工作，系统整理加 工成巨著几何原本。我国著名数学家秦元勋曾对几何原本有一段精彩的 评述：“几何学要义( 即几何原本) 这部权威著作的精华在什么地方呢? 当然， 其中的材料非常丰富和美丽，学过几何学的人都是知道的。但是丰富和美丽的材 料不一定就会堆成一部好书。多而且好的衣料要能做成一件好衣服，还要经过好 裁缝师傅的巧手剪裁与精心缝合才行。欧几里得便是几何学史上的好裁缝， 他的剪裁缝合便构成了几何学的体系问题。”。几何发明史上，欧几里得并不算杰 出，但他把前人的许多知识用更简明、逻辑的语言加以阐述，并几乎无遗漏地收 集整理，经创造性地加工熔为一炉，以至之后的2 0 0 0 多年时间内，原则上没有 对其原理增添什么新内容，更不用说去动摇它的权威了。因此我们毫不犹豫地说， 欧几里得是古希腊了不起的数学大家，几何学史上的“好裁缝”与大师。 古希腊最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯 ( t h a l e s ，公元前6 4 0 左右公元前5 4 6 左右) 。据传他曾用一根已知长度的杆子， 通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。后人也把数学之成为 抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角 相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于 半圆的角是直角等的论证。 对几何从经验上升到理论做出重要贡献的有毕达哥拉斯( p y t h a g o r a s ，约公元 前5 8 5 公元前5 0 0 年1 学派。他们注意研究抽象的数学概念，尤其对整数的性质 有出色的研究。他们对数学的最大贡献是发现了毕达哥拉斯定理( 即勾股定理) 和 不可公度比。勾股定理后来成为几何原本关键性的定理之一。有关4 2 与1 不能公度的证明也是由毕达哥拉斯学派给出的。据亚里士多德( a r i s t o t l a ) 说，他 们用的是归缪法一即间接证法。其证明和现今对4 2 为无理数的证法相同。另 外平行线的性质、三角形全等、相似等理论和三角形内角和定理以及平面可用正 三角形、正方形、正六边形填满等事实都被欧几里得精心加工后收入几何原本 之中。 雅典的诡辩学派以著名的三等分任意角、化圆为方和倍立方三大难题为其研 究中心。在试图解决三大难题的过程中，数学家们得到了不少“意外”收获。厄 里城 e l i s ，希腊伯罗奔尼撒( p e l o p o n n e s u s ) 的城市1 的希比亚斯( h i p p i a s ) 在探索三 等分一角时发明了一种新曲线叫割圆曲线( 不过该曲线本身也是不能用尺规做出 的) 。开奥斯的希波克拉茨( h i p p o r a t e s ，公元前五世纪) 在解决化圆为方问题，证 。孙小礼、赵孟养、裘光明、严士健译：数学一它的内容，方法和意义第一卷，北京：科学出版社，1 9 5 8 ， 第9 页 1 1 明了图中1 有阴影的月牙形的面积等于a a o b 的面积的结果。在证明过程中应 用了圆面积之比等于其直径平方之比这一事实( 但未证明) 。 肜、 图1 柏拉图( p l a t o ，约公元前4 2 7 一公元前3 0 7 年1 是那个时代影响最大的哲学家。 柏拉图及其后继者把数学概念看作是抽象图的。柏拉图说数学概念不依赖于经验 而自有其实在性。它们只能为人所发现，并非为人所发明或创造。他是第一个把 严密推理法则加以系统化的人，希腊人最早坚持数学里必须用演绎推理作求证的 唯一方法，并使数学有别于所有其他知识领域或研究领域。柏拉图学派的最重要 发现是圆锥曲线，并对不可公度量作过一些研究。这些都为欧几里得的研究开辟 了道路。 欧多克斯( e u d o x u s ) 是古希腊时代最大的数学家，公元前3 6 8 年左右他和他 的门徒加入柏拉图学派。他在数学上的第一个大贡献是关于比例的一个新理论， 后被欧几里得整理到他的几何原本之中。欧多克斯纯粹用公理演绎的方法创 立的比例论的一切概念是同几何学分不开的，正如几何原本中的一样。这样 就避免了无理数，也为不可公度比提供了逻辑依据。从而使希腊数学家大大推进 了几何学。 古希腊时期匹坦尼的奥托利库斯( a u t o l y c u s ) 是一个天文学家兼几何学家。从 他所著论运动的球知道一些球面几何的定理是当时希腊人已经知道的。且书 中图上的点是用字母来代表的。命题是按逻辑次序排列的。每个命题先作一般性 的陈述，然后再重复，在重复陈述时是明确参照附图，到最后给出证明，这正是 欧几里得著述所采用的风格。 可以这么说，欧几里得整理加工前人零星的成果的方法是出色的，在当时是 了不起的，对后世影响极大。著名数学思想家m 克莱因在古今数学思想 中写道：“欧几里得的著作实际是古希腊时期一些个别发现的整理，这只要把他 书里的内容和我们所知道的较早的数学工作比较一下就可以清楚。特别是原本 一书，不仅是对这门学科讲解的书，同时也是刚过去的那个时代的一本数学史。” 9 从上述对欧几里得以前几何成果的分析，我们充分看到了这一点。 ( 二) 第一次系统地应用公理化方法 欧几里得几何原本的内容固然重要，然而那些内容借以表现的思想方法 。当然古希腊人也因此放弃了真正的代数和无理数 。克藁园著，张理京，张锦炎，江泽涵译：古今数学思想著( 第一册) ，上海：上海科学技术出版社，1 9 7 9 第1 1 页 与形式更为重要。虽然个别命题的陈述方式并非欧几里得所独创，然而整本书的 陈述方式则是欧几里得独创的：开始就提出所有公设与公理，明确地提出所有的 定义，定义的出现以每卷论证所需在各卷前列出，然后有条不紊地、由简单到复 杂地严格地依据逻辑顺序证明一系列定理。几何原本内容之丰富、论证之精 彩和严密被公认为最早用公理法建立起的演绎顺序体系的典范。几体原本是 公理化方法最早应用的巨著，它标志着数学史上第一个较为完整且相当严格的几 何公理化体系的诞生。其重要意义还不在于人类掌握几何知识本身，而在于明确 了一种建立科学理论的模式。 比欧几里得稍晚几十年，阿基米德( a r c h i m e d s ，公元前2 8 7 一公元前2 1 2 年1 依照几何学的方式建立了古希腊的静力学。希腊罗马时代的天文学家托勒密 ( c l a n u d i u sp t o l e m y ，约公元9 0 一1 6 5 年) 曾将他的天文研究建立在“算术和几何学 的无可争论的方法”之上。古希腊阿波罗尼的圆锥曲线论中的4 8 7 个命题， 则直接由几何原本的公理和公设所导出。大科学家牛顿( i s a a cn e w t o n ，公元 1 6 4 2 1 7 2 7 年) 在撰写他的名著自然哲学之数学原理( p h i l o s o p h i a en a t u r a l i s p r i n c i p i am a t h e m a t i c a ，1 6 8 7 年1 中就成功地仿照了欧几里得几何公理的方法。他 在序言中写道：“几何学能应用极少的外来原理，就能够取得那么多的成果，这 真是可称颂的。”。1 8 9 9 年，德国数学家希尔伯特( h i l d e n ，1 8 6 2 - - 1 9 4 3 年) 用现代 观点观察几何原本的优劣，出版了几何基础。他把几何原本中的定 义、公理、公设加以精选、补充与加工，建立一个完整的公理系统，并由此发起 一场公理化运动，把几何原本所体现的公理广泛推广到数学的其他领域之中。 原本采用了数学中最好的语言公理方法来构造体系，把所有的概念 和命题按逻辑的先后有秩序、有层次、有系统地组织和整理起来，这正是欧几里 得的伟大所在。原本极力证明“为什么是这样的道理”。它从公理出发对每一 数学命题进行较严格地逻辑证明。原本使数学命题化、逻辑化和系统化，也 使数学抽象化。原本的主要内容是一系列订立命题，而每一定理是建立在较 严格的逻辑证明的基础之上，概念与概念之间，定理与定理之间有十分严密的逻 辑关系。自从原本创立了公理方法以后，希腊的数学就有了独立的地位，成 了一门独立的科学。于是，在希腊有许多专门从事数学研究的人，几乎著名的数 学家都是为了天文历算或其它实际问题的需要而研究数学。古希腊人重视逻辑推 理能力。古希腊数学的一个显著特点是主张严格地证明，他们认为只有从真理出 发，进行无容置疑的演绎推理才能获得真理。因此，他们要企图证明欧几里得的 “公理公设”，并为此付出了一千多年的努力。 欧几里得对公设与公理的选择费了心机，并显示了他的天赋。无疑，他知道 这样的公设不免或多或少地要提到无限远空间所必然出现的事，而有关无限远空 间所应成立的事实的任何说明，其含意是模糊不清的，然而他认识到这样的公设 不能省掉，于是采取了这样一种说法，提出二直线能交于有限远处的条件。更有 甚者，他在求助于公设以前先证明了无需它们来证的定理。许多希腊人反对公设 。伊萨克牛顿著，王克迪译：自然哲学之数学原理，西安：陕西人民出版社，2 0 0 1 ，第3 页 1 3 5 ，因它不那么一望而知，从而不像别的公设那样容易被人一下子接受。以至随 后的2 0 0 0 多年所有想用其余的公理和公设来证明它的种种尝试，结果都归于失 败。直至1 9 世纪初，德数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家 波约，几乎同时地、独立地从几何原本中的平行公设出发，开创了非欧几何 的新领域。 欧几里得在论证过程中严格遵守逻辑顺序，如对第1 卷中命题5 f 即等腰三角 形两底角相等) 的证明方法比目前许多的初级课本中更严谨。后者在论证这一命 题5 时就假定了角么a 存在角平分线。然而在这个存在性的证明要依靠命题5 。 欧几里得则将a b 延长到f ( 见图2 ) ，将a c 延长到g ，使b f = c g ，于是4 a c f 丝z l a g b ，因而f c = g b ，么a c f = 么a b g ，及么3 = 么4 。现有么c b f _ _ - , d b c g ， 故么5 = z 6 ，所以么1 = 么2 。a f g 图2 几何原本第一卷第4 7 命题是著名的勾股定理：“在直角三角形中，直角 所对的边上的正方形等于夹直角两边上的正方形的和。删其论证方法是属于欧几 里得的。证明的思路是：过a 作a l 平行于b d 或c e ，连接a d 、f c 。正方形 g b 是三角形f b c 的二倍，而三角形f b c 与三角形a b d 全等，所以平行四边形 的b l 等于正方形g b 。类似地证平行四边形c l 等于正方形h c 。所以在边b c 上的正方形等于边b a ! a c 上正方形的和。 这个证明非常 或“新娘的轿椅”。 f d e l 。欧几里得：几何原本，西安：陕西科学技术出版社，2 0 0 3 ，第4 1 页 1 4 明图示称为“修士头巾” 图3 第1 卷第4 8 条命题是勾股定理的逆定理。欧几里得还将勾股定理的结果推 广到更一般的情况，即将边上的“正方形”推广到边上的“相似且有相似位置” 的图形上去，这就是第6 卷第3 1 命题，这是逻辑推理出新命题的典范。 数学公理系统的建立对整个科学的发展起了巨大的推动作用。我们知道，近 代科学诞生于西方，其原因是多方面的。譬如，生产的发展、实验之风的流行、 文艺复兴运动或宗教改革运动带来的思想解放，等等。但我们