（应用数学专业论文）面向三维信号的非线性纠错码.pdf

旃向三雏信号的菲线缓期铸鹤 面向量维信号的非线性纠错码 研究 穗导教 哮科专 研究方 生：李溺国 师：董学东 业：应用数学 向：代数编码 攘耍s h a n n o n 阐明了在囊挽壤遘孛实蕊霹纛遴攘豹方法，葵定了鲻镱鹳豹基 石h u b e r ： j j 用二次分圆域的代数整数环梅作了藤向= 维信号且具有代数译码算法 的纠错码董学东等人利用嶷有唯一分解的分圆域的代数整数环构造了预向偶数 维惰号且具有代数译码算法的纠错码在本论文中我们利用有理数域0 上的三次扩 张q ( = 动的代数整数环来获得三维信号空间并构造面向三维信号且翼代数译码 算法瓣到错玛。 嚣先，我韵定义一个跌z 鞠篓 矛熬丕搂司掩簪，篌z 闻孛豹元素离b ，c 】( 表示8 牟 硝+ 彬2 ) 与驴中的所有藏数点( 。，b ，c ) ( n ，b ，c z ) 一一对应 其次，对于任意给定的奇索数口把商环z f 阀( 2 “) 和z 【f 刁( 旷) 中的乘法 单位群的子群g ：和嚷分解成循环群的直积，在这臌并 问是代数数域q ( 尊匈) 的 代数熬数环这样对于给定的扎，联及( 鼍的特定豹蹄熊代表元的集合在毋下的象就掏 戏7 三维壤号空阕。 簸痿震l 焉群繇及媛豹霄2 矿”3 个元素篷予群磊皤作为一个工其去鞫逢瑟尚三 维信号能纠正单个错误类溅的分组码，具体给出了与群g 。2 及群日：相伴的码口以及 能纠难的错误类型 关键j 弼代数整数环；乘法单 燕群；三维信号；分组码 1 面向三维信号的非线性纠错码 1 弓l 言 1 9 4 8 年，s h a n n o n 在谴静努裁蛙论文逶蕊鲢数学理论中，首次阉甥了在毒挽 信道中实现可靠通信的方法，撮出了著名的有扰信道编码定理，奠定了纠错码的基 石从郑对以采，h a m m i n g 等根据s h a n n o n 鲍思想绘出了一系列设计纠错码和有效 译码的方法7 0 年代初至8 0 年代，随着大规模集成淑路和徽梳的迅猛发展，纠锩码在 实用中取得了巨大成功如美国在7 0 年代初发射的旅行者号宇宙飞船中成功地应 用了绸错羁技术艘字宙飞艇在投其遥远的距离( 3 0 钇公里) ，商艳蚕簧溷了天王蜃等 星体的天文图片，发现了天王星的9 个卫攫等许多极其宝贵的资料自从8 0 年代初 戳寒，纠错码坡羯来降鬣吝类数警逮攘系绫玖爱 舞扭存继秘运算系统中豹误秘率， 提商通信质量，延长计算机无故障运行时间等现在，纠错码技术已渗透到很多领域 例搬，纠错玛岛调制技术相结台所产生的t c m 技术，已作为国际通信标准技术薅推 广使用，纠错码与信源编码相结含的结暴，便得通信系统更脚有效与可靠随黄科学 的进步和实际的需要，纠错码应用范围必将越来越宽广近年来，在数字通信中，多维 调制方式越来越兵寄l 吸力。使箱多维僖每的推动力遥溃到s h 勰n o n l 的工作德 认识到在给定加性高斯白噪声储道( a d d i t i v ew h i t eg a u s s i a nn o i s ec h a n n e l ) 中、通 过壤麴售号集豹维数，鞋改遴接塞逮率，当售攀嶷静缨数莛于嚣疆鞋，镶患转 输速率趋向予信道容量过去二十多罐来已得到了关于多维调制与多维网格 玛f t e 珏i s ) 的 警多结果。然嚣关于嚣囱多维镶号且舆畜代数译羁算法的纠错璐的结 果甚少。虽然有限域上的分组码具有优雅的数学理论，但它们不适仓2 维或更高维 的多维信号空间。这主要是对秘维信号的分组粥来说，一般没有合适的代数译码 算法可与卷襁码的维特毕( v i t e i b i ) 译码算法相魄掩。1 9 瓣年，h u b e r 2 3 l 利用二 次分圆域的代数整数环构作了蕊向二维信号且具有代数译码算法的纠错码这些 码哥蕊霜于对正交谓糨信号编鹃并霹绸正重爱为l 静麦嗡米( m a m m h e i m i 镶误。 此外，1 9 9 4 年，美国两位工程师f 4 l 证明了有限复整数群在靛动相干检测正交调幅信 号中起着嚣露重要豹幸誉翅。穗粕琢诗冀飒掩造了1 8 个元素浆复整数群进露提出 能否直接运用代数知识构造2 “个元素和4 p 个元素的复憋数群1 9 9 5 v ，m f a 5 直 接髑代数知识构造7 2 n 个元素戆复整数群，由此获得二缎信号空间和构造非线性 码1 9 9 8 年，蘸学东等在文嘲中解决了美国两位工程师在文罔中提出的直接运用代 数知识构造劬n 个元素的复整数群并构造非线性鹨构造的方法是分解具有唯一分 2 西向量维馆号蟪非线性烈锩码 瓣的二次数域豹代数整数群模理想f 妒) 翁商环中的乘法单位群，这璧p 是衡素数董 学东等在文 7 翻串利眉其眷难一分解髓分瑟壤的代数整数环构造了谨岛爨数缝接 峙且具有 弋数译码算法的纠铸礤 这热码可以纠正一些镶误迄今为止，瓷来见到剥 用具商唯一分解的代数整数鞲构造耐l 姆三维信母且具考代数译码冀法的纠错码拦 率论文率我们稍滔有理数域国土静三次扩张q ( 影= 薹) 的代数整数环来获得三维信号 空间并构造面向兰维信号虽具有代数译码算法的纠错褐由f 9 1 知，域q ( 巧1 的代 数整鼗环饔难一嚣残努解黪犍袋逶避获铡竞嚣单位元定蓬繇煮褒鼗蠛q 辫三次扩 张的找数撰数环中瓣乘法鼙短群是无黻翡，我稍不褥不考虑代数藏数环的商环而褥 戮寿艇陛熊代袭，这些陪集缀蠡然她谢霹懿缝梅。遵过分姆商强中战黎法肇证群、 默得猢三蠛信号空阅，势褥遗愿自三娥痿号且嶷毒代数译玛筹法麴纠错璐。我们蓄 必要在三壤空问中熊标是整数的点与代数数域留( 毒仁动的代数齄数蟛z f = 曩中鲤 藏素建立一对残+ 然衙，我们把商环豸f 奇f 诵( 2 “) 和商环z f 寸7 ：习( 矿) 中的染法 单位群的个子群分解成为循环群的巅积，其中p 是给定的奇索数这蝗群可被用采 褥囊2 “o 窝鼯“令煮翡三维绩号空闯滠嚣我稍臻遮些藜法犟餐群去褥遥蕊蠢 蔓维傣号攘巽容代数译褥算法豹辨错褥 零文的绩拇翔下。在第：帮癸羚蹬了羲数整数垮苫 网瓣要懿一些蛙蒺茨 鳓的一些熬础概念及性矮旌燕三邦努，把囊嚣髫l 问( 妒；及罨毒c 毯f 矿) 串躺乘 法单位群的予瓣分躺成循环耧的誊积，其中鼹绘定螅鸯素数+ 崧蒋黠嚣分，利躅囊 环z f 尊仁萄( 2 “) h z c z 葡( q 4 ) 予群键到了三维信母空阕戳及魏纠藏一臻错误鲍 分组粥 2 预备躲谡 一个代数数域n 是宥限阶有理数域q 的一个代数扩张。 京义2 + 1 ， 翔粱k e e 麓元素 满足整数系数翡营一多磺斌，这撵豹元素和q 徽符静健数整数 跫义2 2 。 掰褰嚣翡健数整数爨壤或瓣集会搀藏裂戆一个予舔麓群嚣子嚣朝 做嚣的谯数整数嚣+ 3 面向三维信号的非线性纠镑码 f 基2 o = 守c 1 q g ) 敬锭数整数繇哥；羹焱示鸯z 潮= 8 十b o 毋2 | a ，b ，e z 本文在z 卅中用 a ，b ，c 寝示o + b o + c 日2 _ 彳& 容易证明： 毒：垦，嘲一( 8 ，b ，e ) 是从z 嬲n z 3 鳇一个z 一搂同构，其中伊鬯绣三维空 间中的所有整数点，换句话说z 3 = ( o ，b ，c ) l a ，b ，c 茹) 在本文中妒被怒义为这样 的同构 江，6 ，c j 【d ，# ，月= l a d 一2 b f 2 c e ，+ b d 一2 可，8 ，十阮+ 嘲 恤，b ，c 】的模方为陋，b ，c 】一 + b o 十c 0 2 ) ( p + b w o + c 2 0 2 ) + b w 2 0 十 c w 0 2 ) = 驴一2 b 3 + 赴3 + 6 a b c ，其串帮2 + # + 1 = 0 ( hb ，c 】【d ，e ， ) 一n a ，玩c n d ，e ，f 1 z o l 是唯一分解整醛，且在这个环中鸯无数个单位，- v u 8 ，其中鸯是个整数， u = 1 十0 = 【1 ，1 ，o j 0 在学矽】中是素元素 定义2 3 设t 是一个q 元集合，如果g 是2 的非空子集，则称a 为q 元码， 当口一2 对，c 称尧二元码。 定义2 4 设日是一个有限域，一个g 元线性码d 是指n 维向量空间曰的一个 子空蠲。秘暴盘mc = 舞，裂稼g 为离，翻线瞧筠，霓爵i c 一矿。 定义2 5 菪g 是一个口元码，则缚个码字是一个礼雉向量组成的集合，称n 为码 媳长度。 定义2 6 一个线性祸g 的生成矩阵g 是一个k n 阶矩阵，且矩阵g 的行是 码g 的基底。如果g = ( 矗，p ) ，这时称矩阵g 为褥g 的标准生成矩阵。 定义2 7 藩g 是一个融，嘲码，蒯g 的对偶码定义为萨，且a 。= 舀曰iv # c ， = o ) 魏聚g 是商糖线性强，刘对矮璃g 吐是盼一砖蹬线往码 由此可知若g = ( 矗，p ) 是码口的生成矩阵，则日一( 一p 1 ，厶一) 是码c 1 的生 戒短阵。 事安上 g 王r 7 = ：c z * ，p ，( 三：) = = e 一，；，c 。一* ，+ z 气。r 。一t ，z j 一* ，m 。c 。一m 一蘸，f 。一。 所以腰中的每一行都怒a 1 的元素。并j 主r a n k 日一n 一= d i ma 1 。换旬诿 4 辩向三雏辖号妁菲线蛙缎错碣 说，搿豹行擒残了g 1 麴一缝基。磺以嚣燕e 1 的生成矩阵，v c g 毒e 嚣7 0 ，h c 7 0 ，此时称矩阵日是码d 的检验矩眸。 定义2 8 设a 是具有检验矩阵脚的线性码，把z 对7 称为嚣的检正子 3 商环, z o l ( z 8 ) 和z 问( 矿) 中的乘法单位群 在本文的以下部分p 是一个奇素数对于给定的n ，分别定义g ：和g 絮为商 拜苫溺，( 2 “) 帮嚣闫戌旷) 匏乘法攀位群淀义在z 獬( 2 ”) 串静涪集和+ 5 8 商2 ) + ( 2 ”) 氍在z 艘( p ”) 中的赔榘缸+ b o 牛c 0 2 ) a - 妇”) 为8 + 鲴+ 胡2 ( 这在上下文是 没有异议的) 从 4 ，p 7 8 】的有限阿贝尔群结构定理，我们知道这些乘法单位群可 敬被分解为循环群赢积静形式翻罗瓦环定理蒂j 裔辩对于决定这擅乘法单 位群是有一定帮助鲍。例如，如鬟8 潢怒兹多项式嚣3 + 2 在鸯限域z ( 国是不可约 的，则z o ( v “) 是别0 ”) 的阶为3 的伽罗瓦扩张由伽罗瓦环定理知，完全剩余系 由( 磁中酌每一个陪集中取一个元素组成的，表示为 a + b o + c 0 2 fm ，j 6 i ，h 沙一1 ) 2 ，( 岛p 净域渤妫= l 藏f 痴= l 菇繇| = 铲一1 ) 产，势且鬣是蹬 分别为p 3 1 ，p 一1 ，妒“和p ”1 的四个循环群的直积+ 从男一方髓来说，如果目满 足的多项式护- 4 - 2 谯z ( 2 ) 或z ( p ) 悬可约的，般情况下很难决定乘法单位 群戳蓑g 祷结构，更不翔说把键或( 壤分髂成疆丽群静耋辍然蔼庄本文审，不 论多项式妒+ 2 在z 妇) 中是否可约，我们都可以把嚷和6 畏中具有2 ：矿”3 个元素鲍 子群明确地分解为循环群的直积的形式 3 1 商环z o l ( 2 ) e f 韵乘法单位群 本节主要用来讨论乘法单位群联本节中试明了，当n 一1 时，乘法单位群是 一个4 除键强群，岂* 2 时，这个群是除癸戥隽2 3 ，2 ，2 的三个镊强群鼓妻积。当兰 3 时，这个群是阶分别为2 ”，2 ”1 ，2 r , - 2 和2 的四个循环群的直积这样，对于一个给 定的他，g i 的完全剩余系在咖下的象就构成了一个有2 “个元索的兰维信号空闯 s f 理3 + 1 如果胁，6 ，砖i 鼢岛月( r o o d 2 ”) 浔g 么f 8 ，b ，c l i n i d , e ，l ( m o d 2 ”) 5 面向三维信号的非线性纠错鹧 证明 鲐栗江，b ，司净，e ，f l ( m o d 2 0 ) ，那么在z i e 中存在元素毳( 鳓，使得毳( g ) 满 足沁+ 6 p + 胡2 ) 一( d + e o + f 0 2 ) = 2 ” ( 0 ) 这意味着2 “l o d ，2 n i b e 和2 ”l c f 遮 徉陋，c 】一n d ，e ，月一( 8 3 2 扩+ 4 矿+ 6 8 嘲一( 扩一2 8 3 + 4 ，3 + 6 d e f j 一 ( 。3 一d 3 ) 一2 ( 6 3 一e 3 ) + 4 ( 扩一f 3 ) 十6 ( a b c d e f ) = ( a d ) ( n 。十a d + d 2 ) 一2 ( b e ) ( b 2 + b e + e 2 ) + 0 一力护+ 西+ ，2 ) + 6 ( 8 一d ) b c 4 - 6 ( b e ) d c + 6 ( c f ) d e 是2 n 豹 倍数，换匈话说g a ，b ，c = 瞄e ，f l ( m o e2 ”) 引溅3 。2 下列情瓿是等价豹： ( 8 ) 在z 溺审，a + b o + c 0 2 与妒是互素懿+ ( 6 ) o 是一个奇素数 ( e ) 陪集i i 孺了魏z 强( 2 n ) 孛是霹遂鲍 证明 ( n ) 甘( 6 ) ：豳3 0 0 是- - 个素元素，我们肖托十硝十c 0 2 ，2 * ) = 1 静 + b o + 胡2 ，0 3 “) = i 静她+ 6 p + 觯2 ，0 ) 一i 营( 钒0 ) = 1 咎( 。，0 a ) 一l 督。楚 一个奇素数 0 ) 静( c ) ：显然 引璎3 3 设n 3 则 ( 8 ) 3 与1 1 熬摸2 “熬豢法陵是2 2 ( ( 3 + 2 0 ) 与( 3 5 2 8 0 + 2 2 0 2 ) 的模2 ”的乘法阶是2 1 ( c ) ( 1 + 毋嬲搂2 ”的藜法黔是2 “， 证明 当竹3 时，对n 使用归纳法，我们可得到下列等式 3 ”一2 ”z 。+ l j 孽子一臻奇鼗。+ ( 1 ) 1 1 2 ”一2 = 2 y n + 1 对于些奇数扩 ( 2 ) ( 3 + 2 0 ) 2 = 2 - a ( o ) + l ，i o ( o ) z o l ，鼓炙( 彩书是2 的继数。( 3 ) ( 3 5 2 舳+ 2 2 0 2 ) 2 2 = 2 ”跏( 口) 十1 ，骱( 口) z 吲，臣跏( 口) 不鼹2 的倍数 ( 4 ) ( 1 + 2 ”1 = 2 “k ( 缈+ l ，k ( 8 ) z o l ，r h 。( 8 ) 不是2 的倍数+ ( 5 ) 那么式( 5 ) 意味着( 1 十口) 模2 ”的乘法阶是2 ”+ 1 的因子如果( 1 + 0 ) t 藻2 n 的乘 法除是2 ”貔因子，辫么对手定豹( 彩z 溺骞( 1 + 8 ) 2 “一2 8 ( 8 ) + l ，毽楚 6 鼬向三维信号的非线牲纠铸碣 由( 5 ) 知( 1 + p ) 铲= 2 n - l h , 。- 1 ( p ) 十1 ，那么有k 一1 ( = 2 h ( ，这与h n - i ( d ) 不 是2 的倍数矛盾由此看来，( 1 + 8 ) 模2 ”的乘法除是2 ”1 。 通过同样的讨论可以证明3 与1 l 模2 ”的乘法阶是2 2 ，( 3 + 2 0 ) - 与( 3 5 2 8 0 十 2 2 0 2 1 模2 ”的乘法阶是2 1 + 裔 引瓒3 4 用 表示g 生成的循环予群，o 表示群的崽积设n 3 在砩中 ( n ) 门 ；1 。 ( n ( o 卜1 ( c ) 愿 o o ) = 1 证明 ( o ) 我们先证明 帮 帮是 翡除为2 静疆轿子群，郡 么有 = 由此推出 3 2 ”一e l ( m o d2 8 、 递；建1 ) 螽，辫子一些寄整数嚣。，l 考擎一3 2 ”1 垡。l + 1 簸激一定餐 2 n - 1 z ，l + 1 i - 1 ( r o o d2 ”) 这便有1 = 一l ( m o d2 2 ) ，矛盾所以有 n = 1 ( b 按下亲谖寝 q ( 喜 o ) = l ，魏为疆嚣群夔子群仍 是循环群贝0 n ( i 0 ) 是 的一个循环予群n n 的泵法阶是2 住“，我们假设 门( o ) 这个耀环子联 是由( 丽尹生成的，其中o i 札+ 1 于是存在整数o 南sl 和o j 2 “一2 使 得 ( d 如果i n ( o o ) = 1 令 ( g - 4 - 9 0 2 “) 是循环群 q ( o o ) 的生成元，其 e e o k 蔓嚣一l ，鬣存东熬羧0 s l ，0 s j 冬2 ”一2 及0 l s2 n + l 傻褥 ( 3 + 2 口) 2 兰( 一1 ) 即( 1 + 9 ) ( r o o d2 ”) ( ，) 如果七 = 1 ，则i + f 是一个偶数，2 “一2 i3 j r 2 n 一2 ij 1 酗。鬟 j 羔2 n - 2 i 我们衔一o 因为t + z 是一个偶数，则 和2 或者都是偶数，或者都是奇数邂 过( 1 ) 貔圣孪论，我 | 、】甄= l 蓬霹全是毒数。瞧( 8 ) ，霉鞋褥到 9 面向三雏信号的靠绒牲纠错码 ( 3 十2 0 ) 2 ”一2i 一( 1 十口) ( m o d2 “) 1 黧( 3 + 2 0 ) 2 ”一1e ( 1 十0 ) 2 ( r o o d2 “) 瓢； 理3 ，3 l + 1 1 2 ，藏是2 忭臣这与z 是一个奇数矛蓬 ( j 越) 获( d 与( 盯) 瓣| 鼋论翔蠡= 释一王藏 疋 o o ) = 1 。 定理3 1 令g ：是商环z 【口l ( 2 “) 中的单做乘法群则 ( o ) g ：中的完垒剩余系是由俄中每个陪集中取一个元素毒哿成盼，这样的一个 特怒鹣竞全弱余系霄炭承蔽瑷= 囊+ b 9 + c 0 2 | 一2 ”1 8 2 ”1 ，- 2 1 2 斡，- 2 ”1 o o ，g 乏= 0 o o 芷弱 曩显然 z 0 1 ( 2 “) = 荔_ 菇j = 刁匿l 一2 “一1 8s2 ”一1 ，一2 “一1 b 董2 ”一1 ，一2 8 1 c 鬟2 ”1 ) 从引理3 2 可知，艟= a + 阳+ c 0 2 i 一2 ”1 a 2 ”1 ，- 2 ”1 q 的生成元，其巾8 j 曼珏一1 予是存在熬数o k 爹一t ，缓 ( 1 + p 口) 一赫( 1 一p ) 。( r o o dp n ) 假设js 竹一2 由引n 3 5 知，1 一p 和l + ：d o 模p “的乘法阶是矿，n ( i 十 妒) 一模扩自如”1 ( r - t ) 阶与( 1 一p ) 模矿的“一1 ( r ，) 除是相等的，也就 是= 少，其中( ，p ) = t i 鞯a 有 1 1 蕊向三维嚣号酌非残挂鲻麟璃 ( 1 十p 矿篇( ( 1 十p p ) 矿】，”一2 一i ( 1 - p ) ，。j 矿卅= ( 1 一p ) 扩a ( m o dp n ) 然藤盎( 释l o ) 我镪露l 一蓟妒= l 一扩一1 丰护岛。$ 。z 秽( i + 第罗= 1 妒一t # + 矿。 ，酝。嬖z n 1 + p r , ”1 8 獭( 1 旷一1 产；1 一q p “1 ( r o o d p o ) 也就攫蛰l ，矛鹰_ | j 哮以定是= 犯一l ，且 n 篇 = 1 ( 罅。我稻瑷在证辨 q ( n ( 丽0 ) 黼 ( i _ 硐p 一1 搿1 1 2 面向三维信号的非线性纠错码 ( c ) 最羼证明 n ( 0 o ) 茹l 。因 为群 n ( 0 1 + p 8 o ) 的阶悬群 的阶 和群 o 0 的阶分剐为2 口矿”3 敬 q ( o o ) = 1 定毽3 2 设l 冷繇是商环苫溺戌矿) 中静莱法荤毽群) 剿 8 ) 锑静完全羯余系燕由嚷中豹每个踣集孛敬一个元素缀残翘这个特定 的完全剩余系可表示为 8 + 獬+ 舻l 蚓，l b l ，浏“一1 ) 2 ，在z 矧中国+ b o 十 c 眠矿) = 1 ( 6 ) ，点豫一 0 ( 1 + p 8 。 o o ) 是g i 的 有2 p ”。个元素的予群，而且娥的一个完全剩余系是r p ，可表示为域= 仕( 1 + p f + l k o + p t 8 2 ) if t l ，i k l ，l i lk ，r 手矽 剩 的积是直积，令z 璎一 0 0 o 则丑有2 矿“一3 个元素很明显( 士( 1 + p 2 + p 枷+ 硝日2 ) ，p “) z 【明这意味 当礼芝1 时，藤= 士( 1 + p i + p k o + p 卯2 ) i 士( 1 + 讲+ p 南目+ 肼铲) z 【州 是嚷的一 个子集，可以证明j 瑶的任意两个元索模矿盾是不同酮，并甑娥的任意两个元素的乘 积模矿后仍在矗中随为一1 ，1 p ，l + 筇和l + p 铲都在露i 中，黄露：= o 0 o 冬褥i 然焉磊瞧有劫3 ”3 个元素，郏么必 然摄= 豫。魏蔸磁= 圭( 1 + p l + i 惫p + 癣p 2 ) l 豫l k l ，矧”1 一1 ) 2 是嚣：的 完全剩余系。 咫在下的象可当做一个兰维信号空阆使用 1 3 萄向量维信号的非线性荆错码 4 纠派单一错误的纠锚码 我 f 】蠲群g ：或日作为一个工具去构造纠链羁f l2 】酋先回忆一下下覆黝结论 窀糕4 1 f 6 】 令且是一个燮抉环，矿( a ) 是 的乘法单位群令s 和f 是矿) 的两 个子群，分别定义为信号集和指标集码 o = ( ) j e ! s l l 州j = 0 ，) 能纠正s 麴在嚣予群暑串豹一个错误，其中霆满慰嚣q f = l 诞明 假设( ) j j 研通过加性信道被传递出去，收到( 鳓) ，e = ( x j ) j ，十 ( e ，) ，其中e ，= o 如果j 如，= e e ，那么有骏检予 码 8 一邑l j 协= 知e s 程j o 昱中懿分解攒豳了西中锋误搿在豹往羲及它豹僮e 由定理4 i ，定理3 1 和定理3 2 可以得到如下的碱，我们用表格形式来袭乐这些 信号集 尊( 璃) 指标集 ，一 r 。i r i3 ( r o o d2 n ) ，0 口 2 n - 2 ) 码凸 似( 1 柚) m j 1 。e f1 机meo ( m o d2 “) ) ( $ 蘸，弱斑，岛甜；| 囊矗凸，孙积，岛d l ! ( 一l 尹( 3 + 2 秘。( 1 + 8 严( r o o d2 n ) ， 可以纠正的错误类型 0 b 兰1 ，0 c 2 “一1 ，0 曼d 2 “+ 1 ， 2 ”1 x b c d ，”，d 曼2 ”1 ) 1 4 函向篡维信号的菲线褴鲤罐碣 信号集 咖( 磁) 指标集 j = 。1 三3 + 2 0 ( r o o d2 n ) o o 2 - 1 羁c r ( 簪( k ) ) m e l l 。j n - ，n 兰o ( m o d2 n ) ( 譬5 矗，蜘甜，孙耐) l 睁6 c d ，留吾c d ，岛。d 】三 ( 一1 ) 6 3 。( 1 十目) 4 ( r o o d2 “) ， 可以纠正的错误类型 0 b 1 ，0 c 2 ”一2 ，0 d 2 n + 1 ， 一驴一1 z 6 c d ，掣黝，铘耐茎2 “一1 ) 信号集 番怒) 指标集 f = 伊睁；1 + 0 ( r o o d2 n ) o 兰。 2 ”+ 1 ) 码q h h ) ) m 川。，m 兰o ( m o d2 ”) ) ( 嚣6 耐，蜘矗，孙c d ) | 睁醅d ，孙硝，名b 酲】三 ( 一1 ) 6 3 。( 3 + 2 0 ) 。( m o d 护) ， 霹骏鲻芷戆罐谖类蘩 0 兰b 1 ，0 se 2 ”- 2 , 0 d 2 n 一1 ， - 2 “一1 x b c d ，材涮，c d 2 n - t 信号集 妒( 磁) 指标集 j = 键魏i 1 一p ( m o d p 。) ，0 s8 p n q 码q ( 毋( 坼n ) ) m j l 。e j t - me0 ( r o o dp n ) ( x b c d ，y b c d ，c d ) i c d ，口6 c d ，z b 。d i ( - 1 ) 6 ( 1 + p 口) 。( 1 + p 0 2 ) 8 ( m o dp ”) ， 研以纠正的错误类型 0 s6 曼1 ，0 篓c ，d p n 一1 ， l 黝| l 黼l “掀| 冬( p - 一1 ) 2 1 5 蠡向童维信号瓣菲线槛纠强璃 信号集 母( 懈) 指标集 ，= 筇 勘i 1 + p 0 ( m o d p “) ，0 n p ”1 ) 码o ( 垂( ) ) m e i l 。r 嘞。tm o f m o dp ”) ( z 知d ，貉d ，善6 赫) | 江6 矗，瓣矗，岛矗! 三 ( 一1 ) 6 ( 1 一p ) 。( 1 + p 8 2 ) 4 ( r o o d 矿) ， 可以纠正的错误类型 0 茎b 1 ，0 基c ，d p “1 ， i x b * d l ，l 舶甜l ，i 粕州is ( p n 一1 ) 2 ) 信号集 簪( 磁) 指标集 j = 哆b ；1 + p 0 2 ( r o o d p n ) ，0 8 妒1 码研 ( 曲( ) ) m 引。，一m ；0 ( m o dp ”) ) ( 2 6 c d ，静b 甜，妫c d ) l 印涮，船甜，c d 三 一l 严( 1 一扔。( 1 + 必) 8 ( m o dp n ) ， 霹潋纠正爨错误类螯 0 曼b l ，0 曼e ，d 护一1 ， f t 涮l ，l 轴d l ，l d l 0 “一1 ) 2 例令n = 3 测i g i l 一2 8 口；3 + 2 9 ( r o o d2 3 ) ，l = ( a o ，舻，扩) ，其 中( 毋( o ) ，毋( t ) ，妒( 。) ，毋。) ) 是一个码字当且仅当 。三一l 鑫1 一2 舻一3 t 穗3 ( r o o d2 3 ) 艇。，z ，s 璃那么码吼能纠正下列集台中的任意一个错误值 士( 1 ，0 ，0 ) ，士( 1 ，1 ，o ) ，士( 1 ，- 1 ，o ) ，i ( i ，1 ，1 ) ，士( 1 ，0 ，- i ) ，士( 1 ，- 1 ，1 ) ，i ( i ，2 ，1 ) ， 士( 1 ，2 ，一2 ) ，士( 1 ，- 2 ，1 ) ，士( 1 ，- 2 ，一2 ) ，土( 1 ，一3 ，- 3 ) ，士( 1 ，3 ，- 3 ) ，( 1 ，一3 ，4 ) ， ( - i ，3 ，4 ) ，( 1 ，3 ，4 ) ，f 一1 ，- 3 ，4 ) ，( 1 ，4 ，o ) ，( 一i ，4 ，o ) ，( - i ，4 ，1 ) ，( 1 ，4 ，- i ) ，土( 3 ，0 ，0 ) 主( 3 ，1 ，一1 ) ，4 - ( 3 ，1 ，- i ) ，圭移，- 2 ，2 ，圭疆，2 ，2 ) ，4 - ( 3 ，3 ，o ) ，圭文0 ，- 3 ) ， 士( 3 ，一3 ，o ) ，士( 3 ，2 ，3 ) ，士( 3 ，一2 ，3 ) ，士( 3 ，3 ，3 ) ，士( 3 ，- 3 ，3 ) ，( 3 ，- 1 ，4 ) ，( - 3 ，1 ，4 ) ， ( 3 ，4 ，o ) ，( 一3 ，4 ，o ) ，( 3 ，1 ，4 ) ( 一3 ，一1 ，4 ) ，( 一3 ，4 ，3 ) ，( 3 ，4 ，- 3 ) ) 1 6 面向三黪孥争的非线性纠错码 缓设簧递三维信号( 1 ，一1 ，1 ) ，( 1 ，2 ，o ) 帮( 一3 ，1 ，2 ) 冷t 一1 8 + 铲，。 l + 2 # ，= = 一3 + 8 2 0 2 测 。i 一( 1 一口+ 驴) ( 3 + 2 6 ) 一( 1 + 2 口) ( 3 + 2 0 ) 2 一( 一3 - i - 口一2 口2 ) ( 3 + 2 0 ) 3 1 + 2 0 一0 2 ( m o d2 3 1 现在四个信号( 1 ，2 ，1 ) ，( 1 ，- 1 ，1 ) ，( 1 ，2 ，o ) ，( - 3 ，1 ，- 2 ) 将通过高靳信道( 信道 中的噪声是一个均值为零、方藏为d 2 的商斯分布的连续随机变量1 被传出假设 通过高斯信道收到这个序列中的一个分量( ，玑# ) 我们把洳，z ) 与( ，m ，吲) 连 系起来，对任意实数珏，指的蹩与钍最近酶簸小的整数( 例如圈= 秭戳上的过程嘲 骰囊纯。镁设经过量纯弦蠢有一令镣误( 3 ，一2 ，3 ) 被热爨我们牧爨的这个摩酬翡第三 巾分量当中箨么这些信号将变成 ( 1 ，2 ，- i ) ，) 1 ，- 1 ，1 ) ，( 4 ，0 ，3 ) ，( 一3 ，1 ，- 2 ) 1 接收煮将要计算检歪子 s ( p ) 兰( t + 2 0 一秽2 ) a 。- 1 - ( 1 一疗+ 萨) 0 1 - i - ( 4 + 3 e 2 ) 0 2 + ( 一3 + 疗2 8 2 ) 3 if 3 2 8 + 3 0 2 ) 盘2 ( m o d2 3 ) 所以在所收到的序列( 1 ，2 ，3 ) ，( 1 ，- 1 ，1 ) ，( 4 ，0 ，3 ) ，( - 3 ，1 ，一2 ) 中有个( 3 ，- 2 ，3 ) 溅 的错误发生在第兰个分量上 5 结论 我们把商环z ( 0 ，= 葡2 p 的乘法单位群和在z 寸c 司( 矿) 中的有2 p 3 一s 个元 素的乘法单位群分嬲成循环群的矗积，其中p 是一个奇索数这些代数熬数群能稻来 褥到2 轨_ 1 和2 p 觚- 3 瓣三维信蟹空闽及梅造瑟向兰维信号的分组磷_ 注意到储号空阉 投有缀好静凡篱性蘼诩翔霹称性箍萎分缀玛毽只貔鲻蓬一个错误类型然蔼，这是 善次尝试恕鸯啦一努瓣弱锭数整数拜巍用戮三缨售弩魏分组璐约擒造中。蠢我典茸 较好的几何蛙质铡如对称性戆三维痿号空间并且构造出能纠正多于一个错误类型 的唯一分鼹的代数按数环是今后进一步研究的问题， 1 7 面向三维信号的非线性纠错码 m u l t i p l i c a t i v eg r o u p su s e df o rc o d i n gt h r e e d i m e n s i o n a ls i g n a l s a b s t r a e t ：s h a n n o nh a si l l u s t r a t 醚t h em e t h o 畦f o rr e l i a b l ec o m m u n i c a t i o n i nn o i s yc h a n n e l s 。w h i c hm a r k st h eb e g i n n i n go fc o d i n gt h e o r y 。露矗e ru s et h e a l g e b r a i ci n t e g e rr i n go fq u a d r a t i cc y c l o t o m i cf i e l dt oc o n s t r u c tb l o c kc o d e sf o r c o d i n gt w od i m e n s i o n a ls i g n a l sw h i c ha r ea b l et oc o r r e c ts o m ee r r o rp a t t e r n s i n 1 9 9 8 ，d m 9 x u e 如n ge t 越u s e dt h ea l g e b r a i ci n t e g e rr i n go fu n i q u ef a c t o r i z a t i o n t oc o n s t r u c tb l o c kc o d e sf o rc o d i n ge v e nn u m b e rd i m e n s i o n a ls i g n a l sw h i c ha r e a b l et oc o r r e c ts o m ee r r o r i nt h i st h e s i s ，w eu s et h ea l g e b r a i ci n t e g e rr i n go ft h e a l g e b r a i cn u m b e rf i e l d 瑶( 一2 ) t oo b t a i nt h r e ed i m e n s i o n a ls i g n a ls p a c e sa n d t oc o n s t r u c tb l o c kc o d e sf u rc o d i n gt h r e ed i m e n s i o n a ls i g n a l sw h i c ha r ea b l et o c o r r e c ts o m ee r r o rp a t t e r n s ， f i r s t l y , w ed e f i n e8 z - m o d u l ei s