（应用数学专业论文）特征函数及其应用.pdf

人连理上人学硕士学位论文 摘要 本文主要研究特征函数的性质及其在概率论中的应用。随机变量的分和函数及具密 度函数是研究随机变量的概率规律的重要工具，但是由于存在着分布函数的分析性质不 好、随机变量和的分布函数计算复杂、连续型与离散型分布函数难以统一等j 、u j 题，使其 在某些问题的研究中存在不足。而特征函数作为分布函数的傅立叶变换，却能在一定程 度上弥补其不足，为研究工作带来方便，并成为概率论中一种重要的分析工具。 本文从特征函数的定义和基本性质出发，对其在不同问题上的应用进行了一些研 究。全文的主要工作如下： 1 特征函数的基本理论 通过对特征函数的介绍，总结出研究特征函数的必要性，进而给出其定义和摹本性 质。 2 特征函数的初步应用 利用特征函数研究对称分布、分布的再生性、辛钦大数定律和连续性定理等问题。 3 多元特征函数的应用 特征函数在多元问题上的推广，包括定义、性质及应用等。 特征函数作为一种重要的分析工具，在概率论某些问题的研究中可以带来很多方 便，使问题简化，因而有着重要的应用。 关键词：特征函数；特征函数的应用；多元特征函数 特征函数及其戍用 c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o na n di t sa p p l i c a t i o n a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sm a i n l yd e d i c a t e dt ot h er e s e a r c ho nt h ep r o p e r t i e so fc h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o na n di t sa p p l i c a t i o n t h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n di t sd e n s i t yo far a n d o mv a r i a b l ei s t h em a i nt o o lf o r t h es t u d yo fp r o b a b i l i t yr u l e s n e v e r t h e l e s st h ew e a ka n a l y s i sp r o p e r t y ，t h e c o m p l e xc a l c u l a t e sa n dt h ed i f j f i c u l t yt ou n i f yc o n t i n u o u sw i t hd i s c r e t ed i s t r i b u t i o nr e s t r i c ti t s a p p l i c a t i o ni ns o m ep r o b l e m sr e s e a r c h a st h ef o u r i e rt r a n s f o r mo fd is t r i b u t i o nf u n c t i o n ， c h a r a c t e r i s t i cm i g h to f f s e ti t sd e f i c i e n c yi nac e r t a i ne x t e n t a n df a c i l i t a t eo u rr e s e a r c hw o r k s oc h a r a c t e r i s t i ch a sb e e nap o w e r f u lt o o lf o rt h es t u d yo fp r o b a b i l i t yt h e o r y s e t t i n go u t f r o mt h ed e f i n i t i o na n db a s i cp r o p e r t i e so fc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ，t h i s d i s s e r t a t i o nm a i n l yr e s e a r c h e st h ea p p l i c a t i o no fi t st h e o r y o u rr e s e a r c he m p h a s i z e so nt h e f o l l o w i n gf o u ra s p e c t s ： 1 b a s i ct h e o r yo fc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n i n t r o d u c et h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n s u m m a r i z et h en e c e s s i t yo fi t sr e s e a r c h e x p l a i ni t s d e f i n i t i o n 2 j u n i o ra p p l i c a t i o no fc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n u s i n gc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ，w er e s e a r c hs y m m e t r i c a ld i s t r i b u t i o n ，t h er e g e n e r a t i o no f d i s t r i b u t i o n ，l o wo fl a r g en u m b e r sa n dc o n t i n u o u sc h a r a c t e rt h e o r e m 3 t h ea p p l i c a t i o no fm u l t i v a r i a t ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n e x t e n dc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o nt ot h em u l t i v a r i a t ep r o b l e m s ，i n c l u d i n gi t sd e f i n i t i o n p r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n a sa n i m p o r t a n ta n a l y s i st o o l ，c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o ni sc o n v e n i e n tf o rs t u d y i n gs o m e p r o b a b i l i t yp r o b l e m sa n dm a ys i m p l i f yt h e m t h e r e f o r ec h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o nh a sb e e n a p p l i e dw i d e l y k e yw o r d s ：c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ；a p p l i c a t i o n ；m u l t i v a r i a t ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n i i 人连理：i ：人学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：挂焦函数丞基廑周 ： 作者签名： 遗自自一日期：斗年月! 生日 导师签名：j 整塑一 日期：哗年厶月幽 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目一挂焦函数丞基廑周 一一一 作者签名： 直目鳕一 日期：塑旱一年 月主三日 大连理工大学硕士学位论文 1 特征函数简介及定义 1 1 特征函数简介 特征函数，是概率论中有重要应用的一个分析工具。用数学分析的术语来说，就足 f o u r i e r s t i e l t j e s 变式。 分布函数及其分布函数的密度无疑是描述随机变量概率规律的最有力的工具，尤其 是它们具有明确的概率含义，故应用分布函数可以方便地解决许多与随机变节有关的概 率问题。正是由于这一点，许多问题都是用分布函数来阐述的。但是，存一砦论题中， 分布函数也表现出某种不足。首先，分布函数本身的分析性质不太好，它只足。个币边 连续的有界非降函数。其次，在研究相互独立的随机变量和的分布的时候，和的分布为 各个分布函数的卷积，卷积的运算非常麻烦，况且分布函数一般不连续，而相互独立的 随机变量和的分布又是概率论中的一个重要研究课题。再如，按分布函数分行，离散型 与连续型泾渭分明。但是像正态分布这种最重要的连续型分布，它的极限都可以足退化 到一点的离散型分布，此时，无法用分布函数给出统一的表示式。以上例证说明分布函 数不能适合我们的某些需要，而必须引用其他的工具作为补允。特征函数足分伽函数的 傅立叶变换，它与分布函数一一对应。虽然特征函数不像分布函数那样具有直观的概率 含义，但它却具有极好的分析性质。因此在处理某些概率问题，特别是在独立随机变量 的分布问题中起着非常重要的作用。如果用连续型随机变量密度函数的f o u r i e r 变换( 即 随机变量的特征函数) 来描述连续型随机变量，将会给研究带来许多便利。 特征函数之所以称为一个重要的工具，其原因可以总结为以下几点： ( 1 ) 分布函数与特征函数之间存在一一对应的关系。因此当求出了随机变量的特征 函数，便可以推知其分布函数。由特征函数的某些性质，可以推知分布函数的相应性质。 不仅如此，在分布函数的某种收敛意义下的极限分布与特征函数的极限函数之间也 存在着对应关系，因此由特征函数的极限函数有时可以推知极限分布函数，冈而推知随 机变量序列的极限分布。 ( 2 ) 特征函数是一种有界连续函数，比分布函数更易于应用分析工具。 ( 3 ) 独立随机变量，特别是独立随机变量和以及与之有关的问题在概率论的发展中 具有重要的地位，要研究独立随机变量和，就要求出它的分布函数。独立随机变量和的分 布函数是各随机变量分布函数的卷积，计算起来是复杂的。而独立随机变量和的特征函 数等于它的各被加项的特征函数的乘积，计算和研究很方便。 特征函数及其应用 1 2 特征函数的定义 设孝，r l 是概率空间( q ，f ，p ) 中两个实值随机变量，由f = f + 研( 其中i 为虚单f 市， i 2 = 一1 ) 定义了一个复值随机变量f ，可以把f 作为实值随机向量( f ，7 7 ) 来处理。例如， f 的数学期望可按线性定义为 e ( f ) = e ( 孝) + f e ( ，7 ) 又如，卤= 卣+ i r l l 与乞= 受+ i r l ：相互独立，当且仅当随机变帚( 舌研) 孑( 晏7 7 1 ) 独市， 当且仅当对于任何b o r e l 函数f ，g 均有 e ( 卣) g ( 乞) = e 厂( 氧) e g ( 色) ( 1 1 ) 我们已知道以下关于两随机变量相互独立的充分必要条件的定理： 定理1 2 1 概率空间( q ，f ，p ) 上两随机变量孝与7 7 相互独立的充分必要条件是， 对于使厂( 孝) 与g o ) 均可积的任何b o r e l 函数f ，g 有 e ( 孝) g ( 刁) = e ( 孝) e g ( 7 7 ) ( 1 2 ) 证明：必要性：因为善与理相互独立，所以埘b o r e l 函数，g ，。( 善) 与g ( | r 7 ) 仍独 立。 又由厂，g 可积，则店也可积，故有 e ( 孝) g ( 刁) = e 厂( 手) e g ( 7 7 ) 充分性：对任何b o r e l 集蜀与岛取 厂( x ) = l 焉( ，) ，g ( x ) = 1 吃( ，) 则由( 1 2 ) 式可推出 大连理工人学硕士学位论文 尸 孝e ，7 7 砬 = 】岛( f ) l 如( 7 7 ) = 1 马( f ) 吐l 如( 7 7 ) = 尸 孝蜀 p 7 7 b 2 此即孝与7 7 相互独立，定理l 得证。 ( 1 2 ) 式实际上是( 1 1 ) 式的二维形式。 定义1 2 1 i 爱f ( x ) 为r = ( - - 0 0 ，+ o o ) 上的一个分布函数，称 巾) = e e i t x 卵( x ) ，f r ( 1 3 ) 为v ( x ) 对应的特征函数。如果f ( x ) 是随机变量孝的分布函数，贝, 1 l j tf ( t ) 也称为孝的特 征函数，此时有 ( ，) = e ( p “。) 对于一切，工r 有1 2 。“i = l ，故( 1 3 ) 式右方积分的模不超过l 。这就是蜕，对于无 论怎样的概率分布，它的特征函数总是唯一确定地存在着，而不像母函数那样只对一部 分概率分布才存在。特征函数的这种普遍性，是它在近代概率论中有广泛心用的原冈之 o 对离散型与连续型这两种常见的概率分布，( 1 3 ) 式分别写作 厂( r ) = p p k ，仇= 尸 孝= x k ) ( 1 4 ) 与 厂( ，) = e e i u p ( x ) 出，p ( x ) 为密度蛹数 ( 1 5 ) 在计算特征函数时，经常会运用e u l e r 公式e ”= c o s t - i - i s i n t ，于是( 1 。5 ) 式化为 巾) = e c 。s 印( x ) d x + i e s l n t x p ( x ) d x ( 1 6 ) 特征函数及其应用 2 特征函数的性质 2 1 特征函数的基本性质 定理2 1 1 设厂( f ) 是由( 1 3 ) 式定义的特征函数，则有： 1 ) i 厂( r ) 怿厂( o ) = 1 ； 2 ) 共轭对称性：f ( - t ) = f ( t ) ； 3 ) f ( t ) 在r ( 一o 。，+ ) 上一致连续； 4 ) 半正定性：任意刀1 ，任意n 个实数，l 乙及甩个复数q ，l 有 巳刁( o - t k ) _ o ( 2 1 ) j = ik = l 5 ) z 嘶( t ) = p 肼兀( b t ) 证明： 1 ) 设f ( x ) 是孝的分布函数，则 巾) = e p 以d f ( x ) i ( t ) l - e l e 舡l a r ( x ) = e d f = i 2 ) 厂( 一，) = e e - i = d f ( x ) = e t d f ( x ) = e e - i = d f ( x ) = 厕 3 ) 考虑，有改变量出，相应的f ( t ) 增量的模 + a t ) 一f ( , ) - - - e 妒似一p 触l 卵( x ) = e i p ( ，+ 譬卜l i p j 譬j p 一譬。l 卵( x ) = e 2 l s i i l 等x p ( x ) 大连理工大学硕士学位论文 上方右式己不含f ，且当a t 专0 时可以任意地小，至此得( f ) 的一致连续性3 ) 。 4 ) ( 2 1 ) 式的左端运用期望的序性得证( f ) 半正定性 攫 a j a k - - f ( t j 一气) = 兰窆 e p “吨卜d f ( x ) q 瓦 ，= l 七= l，= i 七= l 7 2 e 窆j = l 窆k = lq p 叩( i 万p ( x ) = e 瞎a j e i t x 礁) 嘶) = e 陲a j e i t ：卜脚 = e 陟侈卜 5 ) 对任何常数a ，b ，随机变量口+ 够的特征函数 ( ，) = e p 嘶 = e p 小1 = e t a t 乃( 6 ，) ， 这就是性质5 ) 。 定理证毕。 2 2 特征函数的其他性质 定理2 2 1 设随机变量点与彘相互独立则他们之和的特征函数等于各自特征函数 之积， 兀+ 岛( r ) = 兀( ，) 厶( t ) 证明：运用定义立即得证 兀+ 磊( ，) = e ( p ”最p “岛) = e ( p ”南) e ( p “岛) = 龙( ，) 以：( ，) 定理2 2 2 设随机变量缶，l ，己相互独立，兀，l ，矗分别为它们的特征函数，则 特征函数及其应用 r = 轰+ l + 磊的特征函数为厶( f ) = 兀( ，) 厶( f ) l 矗( f ) 定理2 2 2 是定理2 2 1 的推广。 此定理把分布函数的卷积运算化为相应之特征函数的普通乘积，从而大大简化了计 算。易见，对于任意有限个独立随机变量的情形，结论仍然成立。但是此定理的逆不真。 定义2 2 1 如果 五( f ) ，nen ) 是一列特征函数， 岛，ben 是一个离散分布律，即 有 见o ，岛= 1 ， n = l 则称厂( ，) ：= 见五( f ) 是特征函数的凸组合。 n = l 定理2 2 3 特征函数的凸组合还是特征函数。 证明：由于 六( ，) ，be ) 是一列特征函数，所以存在一列分布函数 e ( x ) ，门) ， 使得 z ( r ) = e d = d f , ( x ) ，v 刀 由于分布函数的凸组合还是分布函数， 所以f ( x ) ：= 见e ( x ) 是一个分布函数，有 n = l 厂( r ) = 喜见z ( r ) = 羔n = l 仇p 心织( x ) = p 搬d ( 喜岛c ( ，) ) = e p 妇d f ( x ) ， 所以f ( t ) = 见五( f ) 是特征函数。 n = l 命题2 2 1 随机足标和的特征函数是特征函数的凸组合。 证明：设孝，点，色l 是定义在同一个概率空间上的相互独立的随机变量，服从同一 个分布f ( x ) 。再设y 是与随机变量序列 己，b en ) 定义在同一个概率空间上的只取非负 整数值的随机变量，并且y 是与随机变量序列 色，刀) 相互独立。那么 大连理i ：大学硕十学位论文 s = 彘= s 3 ( v = 即) k = ln = o 就是随机变量序列 己，甩n ) 的随机足标和，简称为随机和。已经知道s 的分仃函数足 f s ( x ) = p ( v = 门妒h ( x ) n = o 如果分别记氏( x ) 的特征函数为g ( t ) ，f ( x ) 的特征函数为厂( ，) ，那么对门n ， f ( x ) 的特征函数就是磊+ l 磊的特征函数，即为f ”( ，) ，而f 叼( x ) 足退化丁0 的随机 变量的分布函数，所以它的特征函数是厂o ( t ) 暑1 ，于是由上一定理立知 g ( ，) = p ( v = ，z ) 厂”( ，) 。 n = o 引理2 2 1 对一切x r 及非负整数n 有 h 州焉瑚 证明：用分部积分可得 ( 2 2 ) r ( 一) ”抛= 筹+ 鬲ir ( 一n + l e m 凼汜3 ， 递归可得知，对一切, 0 有 由此推出估计式 如喜鳟+ 等r ( 一卜“出 岔岩 尼!刀! 南、 7 砉钭器 将式中胛换为i 一1 ，解出右方积分并代入便推出 如骞鳟+ 志1 肛一( 扎) 凼惫岩 七! ( 万一) ! 南、 7 、7 由此可得另一估计式 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 特征函数及其应用 睡钭荨 6 ， 联合( 2 5 ) 与( 2 6 ) 式便得到( 2 2 ) 式，引理证完 这个引理给出指数函数t a y l o r 公式的余项估计，对于较小的h ，我们用( 2 2 ) 式 右端的第一项作为上界，而当h 较大时，则( 2 2 ) 式右方第二项更为有效。我们写出 此估计当n = 0 ，1 ，2 ，时的特例以备7 1 用： p - 1 x l 2 ( 2 7 ) l e “- 1 - i x l 了x 2 ( 2 帅 ( 2 8 ) i p 血一一及+ 手i ( 丢i x l 3 ) 人x 2 易见，对一切x r ，当，z o o 时( 2 2 ) 式的右方趋于0 ， 数的t a y l o r 展式 ( 2 9 ) 从而得到熟知的指数函 扩= 薹鳟 川 汜，。， 进一步地，如果此式右方可逐项对分布函数f ( x ) 取积分，且积分后地级数收敛到 特征函数厂( r ) ，就得到( t ) 的幂级数展式 巾) = 三- 训- e - e ( 孝。) ( 2 11 ) 此式成立的一个必要条件是f 的各阶矩e ( 善) 有限，再者就是要求余项的模趋于0 。 定理2 2 4 如果随机变量善的各阶原点矩有限，那么对一切满足的 l i m 以：o ( 2 1 2 ) t ，亭的特征函数厂( ，) 有展开式( 2 11 ) 成立。 人连理工人学硕十学位论文 证明：运用估计式( 2 。5 ) 立得，在( 2 。1 2 ) 式条件下有 ， 一砉譬眯) l l ( 2 1 3 ) 但下面定理说明，为导出( 2 1 0 ) 不需要( 2 1 2 ) 定理2 2 5 设随机变量孝的k 阶原点矩有限，则其特征函数k 阶可微，且有 厂t ( ，) = j f ( f 善) 。p “掌 ( 2 1 4 ) 证明：先考虑1 阶导数，有 古m + ，) 一肌) _ e i ( e 4 = e p i f f 古( 址f 一一，孝) 运用( 2 8 ) 式，一方面上式右端方括号的模不超过2 例，后者可积；另方面上式右端 方括号的模不超过去a t 孝2 令& 寸0 ，用l e b e s g u e 控制收敛定理得证f 。( ) 存在且有 ( t ) = e ( i c e 瞄) 归纳地重复上述论证便得证( 2 1 4 ) 式。定理得证。 此定理的逆不成立，即特征函数可导不能推出相应的矩存在。 2 3 几种分布的特征函数 离散型分布的特征函数 如果整值随机变量的母函数为g ( s ) ，那么它的特征函数厂( ，) = g ( p 盯) ，由( 1 4 ) 式可以得到。 例1 b e r n o u l l i 分布的特征函数 f ( t ) = q + p e 豇 特征函数及其应用 一一 例2 p o i s s o n 分布的特征函数 巾) = 耖争工一 例3 几何分布的特征函数 巾) = 扩矿k 与 连续型分布的特征函数 例1 指数分布的特征函数 由( 2 2 4 ) 式可以得到 巾) = r 勉嘲c 。s t x d x + i v a e - z * s i n t x d x = 兄( 以+ 以) 用分部积分便得，其中 = 孚以，以= 吾一孚 由此可解出 z2 南， 以= 南 代回便得指数分布的特征函数为 巾) = 帮= 南= ( 舻 例2 均匀分布的特征函数 设刁服从区间( 口，b ) 内的均匀分布。由于它与区间( 一l ，1 ) 上均匀分布随机变量f 有 线性关系 7 72 t + t 告， 故用定理2 1 1 中的性质5 ) 知，可先求孝的特征函数。由( 1 6 ) 式可直接算出孝的 特征函数 乃( ，) = j 1f l c o s 触+ 扎s i n 触= 半 大连理工人学硕十学位论文 这里再函数的可去间断点t = o 处按连续性补设( o ) = 1 。再用性质5 ) f 更# 1g f j ( 口，6 ) 上均匀分布的特征函数 肿摩i - “- 2 - 6 t 乃( 字，) = 丽e i b t _ e a t 例3 几何分布的特征函数 设孝：g e o ( p ) ，则 础) = 抄k = l 矿1 = 蔼k ( ) 2 詈专v= l吁吖( 例4 正态分布的特征函数 设x ：n ( j u ，1 3 2 ) ，分两步求出特征函数 ( 1 ) 令y ：型 仃 ( ，) = i t x - 口, t = e 去p 一譬砂 = ( c 。s t y + i s i n y ) e - 。i d y ： 7 c o s t y e 矿2d y l 2 2 面 令m ) = e c 。s 仳一芎咖 m ) ：一e 夕s i n ( 砂) p 一孚砂 ：e s i n ( 纱) d e 一譬 = s i n ( 纱) p 一等 一e ，c 。s ( 纱) 8 一萼方 即，( ，) 一一( f ) 特征函数及其应用 鬻叫； 1 1 1 心) = 一圭“c ； 贝l j i ( r ) ：一；f 2 当f = o ，( o ) = e e - 专d y = 芴 f 2 m ) = 疡一了 f 2 乃( f ) = e 2 ( 2 ) 求六，x = i t + f l y 六( f ) = 船= e e 靠p + 掣= e ( p 妇p 打刚) ：p 柚p 一手f _ ：p 妒等，= p 柚p 一了= p “一- l 例5 二项分布的特征函数 已知二项分布随机变量是即个相互独立的b e r n o u l l i 随机变量之和，从而二项分布 的特征函数为( ，) = ( g + 严打) 玎。 2 4 反演公式与唯一性定理 由定义e 厂( 卣) g ( 岛) = e ( 卣) e g ( 岛) 及其后的讨论知，特征函数厂( ，) 由其 相应的分布函数按( 1 3 ) 式厂( f ) = e p 衙d f ( x ) ，尺唯一确定。而特征函数也唯一地 确定分布函数。以下建立起分布函数与特征函数之间的一一对应的关系。为此先建立 ( 1 3 ) 式的反演公式，即f o u r i e r 逆变换公式。 引理2 4 1 舰f 型芋= 三s g n 口 其中s g n 口 式参数口的符号函数。 证明：记，( 口，c ) = r 竺了 作积分换元y ：a x ，并注意被积函数是偶函数便得 大连理工大学硕士学位论文 。1 i m 。l ( a , c ) = s g n 斜h l i m 。，c ) l i mi ( 1 ，c ) = 。l i r aj ：c o 挚= 号f - r 将圭= r p 一出代入，( 1 ，c ) 并交换积分次序得 i ( 1 ，c ) = r 旷n 砌 幽 = 州击一击p ( u s i n c c o s c ) d u = 争卜5 鼍笋 当c 一佃时，最后一个积分的被积函数趋于0 且被可积得e “所控制，用l e b e s g u e 控制 收敛定理知它趋于0 。引理于是得证。 定理2 4 1 ( 反演公式) 设( f ) 是由( 2 2 。1 ) 式定义的特征函数，则对任意的a ，b r 有 去 f ( 6 + o ) + ，( 6 ) 一寺 f ( 口+ o ) + f ( 口) ：南去竿( 麓 5 证明：当a = b 时上式左右均为0 ，故不妨设口 b 。考察积分 ，( c ) = 去华沈= 去 e ! 专兰p ”卵( x ) 以 用p - 1 1 ：1 x i 2 式知上述被积函数的模 l e - i r a _ e - a b 斗掣蜘口 从而积分，( c ) 有限，交换积分次序可得 一堑笙里墼丝茎窒旦 据引理知 唯) = 去胍 竿 = 昙印等掣西一r 斗 s i n t ( x b ) = 上。e e ，x - - c ：, c ) 一m 一6 ，c ) 卵( x ) 舰= 喜 ，x - a , c ) 一m _ 6 ，c ) d f ( x ) 可见对一切工及较大c 的此函数有界。将它在( 一o o ，+ ) 上对f ( x ) 的积分l ，( c ) 分割为如 下的5 项，并用l e b e s g u e 控制收敛定理便得到 l i r nj ( c ) 2 k o d f ( x ) + l 口 扣( x ) + b l d f ( x ) + i 扣( x ) + k ，o d f ( x ) = 吉 f ( 6 + o ) + f ( 6 ) 一专 f ( 口+ o ) + f ( 口) 定理得证。 定理2 4 2 ( 唯一性定理) 分布函数由其特征函数唯一确定。 证明：假设g 表示分布函数尸( z ) 的连续点集，f ( t ) 为f ( x ) 得特征函数。则当 a ，b c f 时，反演公式( 2 1 5 ) 变为 f ( 6 ) 一f ( 口) = 熙去专巾) 衍 上式先令口在c f 中趋于哪，便得f ( x ) 在每个6 g 上被厂( ，) 唯一确定：再令6 在c ，中 上升趋于x ，则由分布函数的左连续性得证f ( x ) 在每个x r 上被厂( f ) 唯一确定：任意 x r 以 抽 药 l 减岘 = 晰 瓠 耗蜞 l 1 2 人连理i ：人学硕十学位论文 f ( x ) = 糖熟熙去华( 岫 b e c fd e ( ：f 定理得证。 至此，我们通过定义( 1 3 ) 式与反演公式( 2 1 5 ) 式建立了随机变量得分白函数 与特征函数间的一一对应，这种无一例外的对应，使特征函数称为描述概率分布的又一 工具，成为分布函数的有力补充。 下面用特征函数给出连续型分布的一个充分条件。 定理2 4 3 如果特征函数的模可积，即 e l ：( t ) l a , 佃 ( 2 1 6 ) 则对应的分布函数y ( x ) 为连续型，且其密度为 p ( x ) = 石1p 腑巾) 衍 ( 2 证明：对任意的口耿吃g 且吃山口。对口及吃用反演公式( 2 1 5 ) 及i p “- 1 i sh 2 式可得 f ( b o ) 一拉( ) + f ( 口) 孥e 陋 故由条件( 2 2 ) 知n 专o o 时上式右方趋于0 ，从而左方f ( a + o ) = f ( a ) ，即f ( x ) 连续。再 对任意的x 及缸用反演公式得 f(x+fax)-f(x)dr广i-,0。o型itax 巾砂 缸 。、7 令缸一0 ，一方面上式右方被积函数趋于p 1 髓厂( ，) ，另一方面，用l e x 一1 l h 八2 知被彬 函 数被可积的i 厂( f ) i 所控制，于是用l e b e s g u e 控制收敛定理得证( 2 1 7 ) 式。定理证毕。 特征函数及其应用 3 特征函数的初步应用 3 1 对称分布与对称化 定义3 1 1 称随机变量善是对称的，如果孝与一孝同分布。称一个分布函数f ( x ) 是 对称的，如果它是某个对称的随机变量f 的分布函数，办即 1 - f ( x + o ) = f ( 一x ) ，v x r ( 3 1 ) 定理3 1 1 分布函数f ( x ) 是对称的充分必要条件是它的特征函数厂( ，) 为实值函 数。 证明：如果分布函数f ( x ) 是对称的，那么由( 3 1 ) 式立即推知 s i n t x d f ( x ) = 0 ，坛r 从而得知 巾) = s t x d f ( z ) ， v x r 是实值函数。反之，如果特征函数厂( f ) 为实值函数。假设它是随机变量善的特征函数， 那么就有 e e 蟛= ( ，) = 万刁- - i ( 一f ) = 屁叫= e e n 吲， 这就说明f 与一f 有相同的特征函数，因此有相同的分布函数，亦即孝的分布函数f ( x ) 是 对称的。 3 2 分布的再生性 设轰与彘为随机变量，它们的分布函数分别为e ( x ) 和e ( x ) ，它f f j 的特征函数分 别为石( f ) 和左( f ) 。如果氧与色相互独立，那么卣+ 岛的分布函数为e ( x ) 与五( x ) 的卷 积巧( x ) 十最( x ) ，而螽+ 受的特征函数为彳( f ) 与正( ，) 的乘积彳( ，) 灰( ，) 显然计算乘积 大连理工人学硕士学位论文 要比计算卷积容易得多，而特征函数与分布函数相互唯一确定。因此在研究独立随机变 量之和的分布时，多以特征函数作为工具。 定义3 2 1 设f ( x ；c ) 为分布函数，其中c 为此概率分布的参数。如果有 f ( x ；c 1 ) 宰f ( x ；c 2 ) = f ( x ；q + 巳) ( 3 2 ) 则称此分布关于参数c 有再生性 由定理3 2 1 知， ( 3 2 ) 式可用相应的特征函数等价地写作 厂( x ；q ) 木f ( x ；c 2 ) = f ( x ；q + c 2 ) ( 3 3 ) 在常见分布中，诸如p o i s s o n 分布、正态分布及z 2 分布等，它们的特征函数都是各自参 数的指数函数，满足函数方程( 3 3 ) ，所以都具有再生性。 3 2 1 正态分布的再生性 如果随机变量参与色相互独立，分别服从正态分布( q + 呸，盯? + 暖) 证明：已知随机变量孝服从正态分布n ( a ，盯2 ) 当且仅当孝的特征函数为 疗2 f 2 巾) - - e 肿2 。 因此，如果随机变量轰与磊相互独立，分别服从诈态分布n ( a ，万，2 ) ，j 2 1 ，2 。则 卣+ 岛的特征函数为 巾m 删一p p 一譬 c x p 咄卜譬) 一卜训卜掣 所以点+ 彘服从正态分布( 口。+ a 2 ，彳+ 蠢) 。 3 2 2 is s o n 分布的再生性 如果随机变量鼻与邑相互独立，分别服从p o i s s o n 分布p ( a ) 和尸( 如) ，则氧+ 受的特 特征函数及其应用 征函数为p ( + 如) 。 证明：由于随机变量孝服从p o i s s o n 分布p ( 旯) 当且仅当孝的特征函数为 ( ，) = e x p 五( p 衄- 1 ) 因此，如果随机变量石与受相互独立，分别服从p o i s s o n 分厕，p ( ) 和尸( 毛) ，则 轰+ 磊的特征函数为 ( ，) = 石( ，) 厶( r ) = e x p ( e 瓣一1 ) ) e x p 友( e 胀- 1 ) = e x p ( + 恐) ( p 妇一1 ) ) 所以卣+ 岛服从p o i s s o n 分布p ( + 如) 。 3 2 3 二项分布的再生性 如果随机变量卣与磊相互独立，分别服从二项分布b ( n ；p ) 和曰( 所；p ) ，则卣+ 岛服 从二项分布b ( n + m ；p ) 。 证明：由于随机变量孝服从二项分命8 ( k , p ) 当且仪当孝的特祉函数为 ( ，) = ( 9 + p p “) 2 。因此，如果随机变量卣与岛相互独立，分别服从二项分布b ( 刀；尸) 和 b ( m ；p ) ，则氧+ 色的特征函数为 巾) = 石( f ) 以( 萨( g + 俨”) ”q + p e ) 卅= ( q 十p p “) ” 所以卣+ 色服从二项分布b ( n + m ；p ) 。 3 3 利用特征函数证明辛钦大数定律 定理3 3 1 设卣，彘，l ，是独立同分布随机变量序列，且e 缶= 口则吉荟考山口。 人连理1 ：人学硕：l 学位论文 证明：因为缶，岛，l ，己有相同的分布，所以也有相同的特征函数，记这个特征函数 为缈( ，) 又因为e 专= 口存在，从而特征函数妒( f ) 有展丌式，伊( ，) = 矽( o ) + ( o ) ，+ d ( ，) 再由独立性及特征函数的性质知吉喜毒的特征函数为 缈( 去) ”= - + 砌寺+ 。( 寺) ” 对任意取定的f 牌卜现卜- + d t ( 册p 刎 已知p 删是退化分布的特征函数，相应的分布函数为，( x 一口) 。由连续性定理，去喜考 的分布函数弱收敛于f ( x ) ，因口是常数，则有吉喜毒山以。 3 4 特征函数的连续性定理 分布函数列的弱收敛是一个很有用的概念，但要直接判断一个分布函数的序列是含 弱收敛，有时很麻烦，而判断相应的特征函数序列的收敛。l 峰却律彳丰比较容易，存这种情 形下，我们要用到特征函数的连续性定理。 定理3 4 1 分布函数列e ( x ) 弱收敛于分布函数f ( x ) 的充要条件是相应的特征函 数列丘( f ) 收敛于s ( t ) ，f ( t ) 为f ( x ) 所对应的特征函数。 命题3 4 1二项分布当n p 一a 时渐近于p o i s s o n 分布 在贝努旱试验中，以见代表事件彳在试验中出现的概率，它与试验总数有关。如果 n p , 专名，贝u 当门- - - o og e rb ( k ；n , p ) - i 。s p 一五。 证明：p o i s s o n 分布的特征函数厂( ，) - - e 五e “一1 ) 特征函数及其应用 设 嚣) ( 1 f 聆) 独立同二点分布，即p ( 等= 1 ) 2 以，p ( 胃= o ) 2 q 。，等的特缸e 函 数为无= n p “+ 吼，将巩= 算，r 1 的特征函数记作z ( ，) 因为慨一故见二n 。( 3 纠一知( 三n ) ，于是以， 打 z ( r ) = ( 岛p 豇+ g 。) ”= 一言+ 鲁e n + 。( 去) ”= + 音( p n 一) + 。( 去) ” 由此可得 i o ( o - + e 丑( 以1 ) 即( f ) j 厂( f ) ，于是由连续性定理知本题的结论成立。 命题3 4 2 设厶是服从参数为五的p o i s s o n 分布的随机变量，证明：p o i s s o n 分布当 旯j 时收敛于正态分布，即 憋p ( 等 x ) _ 面1 一班 证明：已的特征函数为厂( ，= e 2 ( - 1 l ，故由特征函数的性质可知玑= 丝4 7 的特征 魄心m 阱仁卜g 书i f f ：耥t , 有 e 窃 小万i t 一瓦t 2 + 份允l e i 去十4 2 7 = 爿t 2 兄。( 去) 专一拿 从而对任意的点列以一o o 有罂鼠( r ) = p 一，而p 一了正是( o ，1 ) 分布的特征函数， 由连续性定理即知分布函数弱收敛于标准正态分布函数， 即 溉p ( 譬 x - 面1 口一譬出。因为五是可以任意选取的，这就意味着 娥p ( 警 x - 面1 口一鲁姗立。 大连理丁大学硕十学何论文 4 多元特征函数 对于多元分布函数同样可以引入其f o u r i e r 变换，即多元特征函数，它有j 一几情 相类似的性质与应用。 4 。1 多元特征函数的定义 定义4 1 1 ，z 元分布函数f ( 五，l ) 的特征函数定义为 巾i l 小le e x p z 喜能p “) ， l 七= lj 如果聆维随机变量磊l 磊的联合分布函数是f ( _ ，l _ ) ，则有 几“) 咄x p z 窆k = l t 此时将( f 。，l 乙) 称为疗维随机变量磊l 彘的联合特征函数。 ( 4 2 ) 可以由卣l 己的联合特征函数厂( ，l 乙) 求出它的各个边缘特征函数。例如卣的( 边 缘) 特征函数就是 z ( f ) = 厂( ，0 ，lo ) = 厂( o l ) = e