（概率论与数理统计专业论文）新型风险函数下的最优再保险.pdf

摘要 在我国，保险经过多年的发展，其社会稳定器的作用已经逐渐显现，并被人 们所熟知和认同。但再保险作为对保险公司自身集聚的风险和保险责任进行再次 分散的有效方式，却并没有得到与保险同步的发展，再保险意识及再保险方式都 还处在不成熟阶段。按照我国加入w t o 对保险业的承诺，从2 0 0 2 年开始，法 定分保将逐年降低，直至2 0 0 6 年完全取消这对保险公司的再保险意识、方式 及各方面都有了更高的要求。由此，关于再保险的研究逐渐得到保险公司的重视， 对再保险的理论探讨也日益增多，特别是有关最优再保险的研究。 对最优再保险的探讨是再保险研究的重要问题，但直到现在也没有建立统一 的标准。除本文讨论的方法外，对最优再保险的评估方法一般有：原保险人分保 后方差最小化( k a l u s z k a ，2 0 0 1 ) 。原保险人分保后效用最大化( y 0 u n g ，1 9 9 9 ) ， 多个保险人之间进行风险交换( b o r e h ，1 9 6 0 ) 等。 本文在g a j e k ，z a g r o d n y ( 2 0 0 3 ) 的研究基础上，提出了两种新的非对称风险 函数并作为度量原保险人分保后风险的工具，同时也增加考虑了再保险人承保后 的风险波动因素，并在标准差保费计算原则下。运用非线性规划理论为基础，在 使得风险函数达到最小的目标下，进行最优再保险安排的推导，得出了显式的解， 并验证了与前人结果的一致性。 关键词：最优再保险，标准差傈费原则，停止损失再保险，变换损失再保险 非线性规划 a b s tr a c t i n c h i n a ，i n s u r a n c e s r o l ea s e q u a l i z e ro fs o c i e t y h a sa p p e a r e da n d r e c o g n i z e dl i t t l eb yl i t t l eb yp e o p l ea f t e rm a n yy e a r s 。d e v e l o p m e n t b u ta s t h e e f f e c t i v ea p p r o a c hf o ri n s u r a n c ec o m p a n i e st od i v e r s et h e i rr i s ka c c u m u l a t e d ， r e i n s u r a n c eh a s n td e v e l o p e di nt h es a m es t e pa si n s u r a n c e c o n s c i o u s n e s s a n dm e t h o d so fr e i n s u r a n c ea r ei na ni m m a t u r es t a g e s i n c eo u rc o u n t r yh a s e n t e r e dt h ew t o 。s t a t u t o r yr e i n s u r a n c ew i l ld e b a s ea tt h er a t eo f2 5 p e ry e a r a n db ec a n c e l l e da l2 0 0 6 t h er e s e a r c h e sa b o u tr e i n s u r a n c ea r em u c h a c c o u n t e d ，e s p e c i a l l yt h eo p t i m a lr e i n s u r a n c ep r o b l e m ( o r p ) t h o u g hi t i st h ec o r ep a r to fr e i n s u r a n c er e s e a r c h 。t h e r eh a s n te s t a b l i s h e d au n i f o m ls t a n d a r df o r0 r p g e n e r a l l y t h e r ea r et h r e ew a y st od i s c u s st h e o r p ：m i n i m i z i n gt h ev a r i a n c eo fi n s u r e r s r i s ka f t e rr e i n s u r a n c e ；m a x i m i z i n g t h eu t i l i t yo fi n s u r e r sa s s e ta f t e rr e i n s u r a n c e ；e x c h a n g i n gr i s kb e t w e e ns e v e r a l i n s u r e r sf o rm a x i m i z i n gt h eo v e r a l lu t i l i t y b a s e do nt h ef o r m e rr e s e a r c h e s t h i sp a p e rp r o p o s e st w ou n s y m m e t r i c a l r i s kf u n c t i o n sa st h ec r i t e r i o n st om e a s u r et h er i s ko fj n s u r e ra f h e rr e i n s u r a n c e t h ef u n c t i o n sc o n s i d e rt h eb e n e f i to fb o t h p a r t i e s i nr e i n s u r a n c et r e a t yb y t a k i n gi n t oa c c o u n tt h ec o m b i n a t i o no ff l u c t u a t i o no ft h e i rr i s k a c c o r d i n g l y , u n d e rt h es t a n d a r dd e v i a t i o np r i n c i p l ew ef i n do u t t h em e t h o d sa n d p a r a m e t e r s w h i c hm i n i m i z et h ed e f i n e dr i s kf u n c t i o n sb y u s i n gt h en o n - l i n e a rp r o g r a m m i n g t h e o r y f i n a l ly jw e v a l i d a t et h ec o n s i s t e n c yo fr e s u l t sb e t w e e nt h i s p a p e ra n d l 1 ef o r m e r p a p e r s k e y w o r d s ：o p t i m a lr e i n s u r a n c e 。s t a n d a r dd e v i a t i o n p r i n c i p l e ，s t o p l o s s r e i n s u r a n c e ，c h a n g e - l o s sr e i n s u r a n c e ，n o n l i n e a rp r o g r a m m i n g 蕉苴硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 汪荣明教授上海市华东师范大学统计系主席 夏荣良副教授上海市华东师范大学统计系 丁邦俊副教授上海市华东师范大学统计系 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 妒p 卜 作者签名：盘坠生 日期：丝丛：! ：! 学位论文授权使用声明 本人竞垒了解华淼师范大学有关保嚣、使月学位论文的规定，学 校寿掇镰瞽学位论文势离鬻家主管部稿或菇指定杭祷送交论文的电 子叛和纸震版。有权将学位论文孀予菲赢利窝的的少羹炱镧并允许论 文避入学校圈书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 勰密蓐道耀本规定。 学位论文作者签名：萄嘉 甚期：呈坠虹 撇钲崭天午 器期：堑羔、 新型风险函数下的最优再保险 第一章引言 1 1 再保险的定义及功能 再保险( r e i n s u r a n c e ) 是保险人在原保险合同的基础上通过签订分保合 同，将其承保责任的一部份或全部转移给其它保险人的一种保险方式。保险人在 接受保险业务时，考虑到风险的分散原理，并斟酌自身承保能力，将风险超额部 份转由其他保险人承保，藕以减少自身的责任，保障经营安全性。所以再保险又 被称之为“保险人的保险”。 据瑞士再保险公司初步估计( 见图一) ，2 0 0 3 年全球有2 0 ，0 0 0 人因自然和人 为臣灾而丧身，因巨灾造成的经济损失预计为6 5 0 亿美元。需要由世界各国的财 产保险公司支付的损失约为1 7 0 亿美元，属于保险公司承保的并超过1 0 亿美元的 损失共有5 起。s i g m a 的统计显示，灾害损失分布于全世界各地。而2 0 0 3 年的自然 巨灾损失远远超过了人为原因的灾害。 自八十年代后期以来，自然灾害每年都会造成上百亿美元的损失( 除去通货 膨胀因素，1 9 8 7 年以来的年平均损失为2 0 0 亿美元) 。2 0 0 3 年的数字进一步证实了 损失走高的趋势，这个情况主要是出于部分地区人口同益稠密，保险价值高度集 中以及面临危险的区域的发展。 图一：1 9 7 0 - 2 0 0 3 年保险损失走势图 ( 资料来源：瑞士再保险公司资讯) 神i n1 2 i o s o ( ) 3 b n 。r 鼬8 i n s u r e di o s s e s19 7 0 2 0 0 3 1 9 7 01 0 7 5 1 0 0 019 0 5 19 9 019 9 5 2 0 0 0 n a t u 。a lc a t a s t r o p h e s 十m e n - m a d e c a t a s t r o p h e s 拍 的 西 佰 坩 5 o 堑型墨堕里塑王塑壁垡受堡堕! 一 面对自然灾害造成的巨大损失，再保险对保险公司特别是财产保险公司的风 险分散起着十分重要的作用。但随着知识水平和经济能力的提高，个人高额保险 单及团体保险的臼渐增多，再保险在人寿保险公司中的重要性也相对提高。因为 再保险业务通常范围很广，它能把不规则的偶发性的巨大自然灾害和意外事故的 责任，在同业之间共同分担。近年来，随着灾害事故频频发生以及损失的不断扩 大趋势，而再保险市场对风险的承担能力有限，出现了巨灾证券化等新方法，使 得风险的分散进一步扩大到证券市场，使得保险人承担的责任能取得更大范围的 平衡。在本文中，我们探讨的主要对象还是传统意义上在原保险人和再保险人之 间进行的再保险活动。 ，综上所述，再保险的基本职能在于分散风险或责任，保险公司为了经营的稳 定，将承保的一部分风险责任在国内和国际范围内分散，使灾害事故责任均衡化， 利用集中起来的保险基金，保障巨大灾害事故的经济损失。此外，保险人可以将 其承保的业务分给再保险人，在不增加自身资本的情况下，接受其他较大，较多 的业务。再保险不但扩大了直接业务的承包能力，增加了业务量。保险人还可以 通过再保险控制损失，稳定自身的业务经营，使每年获得的利润趋于均衡。而从 财务方面看，原保险人可以从再保险中摊回赔款和费用，降低了赔付率及费用率， 从而降低自身的经营成本。在某些再保险方式下( 如每年定期续保计划，修正共 同保险) ，再保险人还需要提取各种准备金，这就在一段时问内增加了原保险人 的资金运用量。同时，因为办理再保险要涉及的知识十分丰富，在风险评估，自 留额的确定，费率的厘定等方面都对保险人的精算水平和业务管理水平有较高的 要求，这有利于原保险人管理水平的提高。最后，在与再保险人的合作中，原保 险人能获得实力雄厚，经验丰富的再保险人关于风险控制，风险评估，甚至产品 开发和售后服务方面的帮助，这些帮助对原保险人是非常有利的。 1 2 再保险市场 1 2 1 再保险市场主体 相对于国外成熟的再保险市场，我国再保险起步较晚。从1 9 7 9 年国内恢复 保险业务至1 9 8 8 年，国内的保险业主体只有中国人民保险公司一家，再保险业 务亦由其专营。此后建立的平安保险和太平洋保险相继开始经营商业分保业务， 堑型墨些璺塑! 塑堡垡! ! 堡堕! 国内的再保险业务实际上大多由商业保险公司兼营。1 9 9 6 年成立中保再保险有 限公司，这爿出现了我国第一家经营再保险业务的专业公司。1 9 9 9 年3 月，中 国再保险公司( 下称“中国再”) 组建成立。在2 0 0 3 年底，中国再重组，成立了 中国再保险( 集团) 公司，并设立三家股份制子公司，其中包括中国财产再保险 股份有限公司，中国人寿再保险股份有限公司。 除了本土的中国再外，越来越多的著名再保险集团也随着中国保险市场的开 放逐步进驻。慕尼黑再在0 3 年1 0 月成立了北京分公司：瑞士再在0 3 年1 2 月成 立了北京分公司：通用科隆再于0 4 年6 月成立了上海分公司。此外还有安裕再， 汉诺威再，法国再，大韩再等再保险公司，都在北京或上海等地设有代表处。这 些知名再保险公司的进入推动着我国再保险市场甚至直接保险市场的发展与完 善。 成熟的再保险人除了作为高风险的承担者，即承担高额风险，次标准休风险 和特殊风险外，还开始与保险人进行更多方面的合作，诸如产品丌发、营销、核 保、风险评估、理赔、风险管理、资产管理等。以人身险为例，平安与瑞士再保 险合作引入了后者的全球核保手册( g u m ) 。此外，科隆再保险公司也参与了多 家保险公司关于新型医保产品的开发。事实上，每家再保险公司都各具特色，这 无疑会极大的繁荣我国再保险市场略显单一的现状。 1 2 2 再保险分保方式 考虑过市场主体，即保险公司的风险可以“向谁分”的问题后，我们再对“如 何分”进行介绍a 针对目前我国再保险尚处于起步阶段的实际情况，一般仍是采 用传统再保险方式。虽然国外现在对一种较新的再保险方式( 财务再保险) 应用得比较多它的主要作用并不在于分散风险，而是出自平衡利润、税务、业 务扩大的考虑，在我国这种方法的使用尚处在一种小范围尝试阶段。因此在我国 这样一个不成熟的保险市场环境下，保险公司进行再保险的首要目的仍然在于风 险分散，况且保险公司的再保险技术还比较薄弱，传统再保险方式因其历史悠久 而显得更为适合。 常用的传统再保险方式分为比例再保险( 包括成数再保险、溢额再保险) 和 非比例再保险( 包括超额赔付再保险、停止损失再保险) 及其他几个简单的变化 堑型垒堕垦塑王塑堡垡受堡堕 一一l 形式，简单易懂，针对不同的风险有较好的分散和控制作用，比例再保险还能帮 保险公司累积经验数掘，使保险公司更好的掌握和分析各类业务的风险特征a 1 2 3 再保险政策的变化 从整个中国再保险市场分保的发展过程来看，9 5 年颁布的中华人民共和 国保险法第1 0 1 条规定，“除人寿保险业务外，保险公司应当将其承保的每笔 业务的百分之二十按照国家有关规定办理再保险”。这项规定一直延续到我国加 入w t o ，我国按照承诺，入世后每年将按5 的比例逐年降低法定分保，直至 2 0 0 6 年完全取消。这项承诺从一定意义上给予保险公司对再保险安排的自主权， 分或不分，如何分均由保险公司自己决定，获得了很大的自主性与灵活性。但这 种灵活性也给保险公司带来不小的挑战，由于长期强制的法定分保，保险公司的 分保意识和分保技术还比较薄弱，再保险的精算理论研究很少。即使近几年对再 保险的研究越来越得到关注，但精算上较多的理论成果，由于过程冗长，结果复 杂，应用背景的缺乏，导致其在实际中的运用仍然相对落后，并没有起到其应有 的指导和参考作用。 在这种背景下，本文在进行各种理论推导时，将充分考虑再保险过程中的各 种实际背景，并把这种思想作为理论推导的前提，融予模型的构建，最后得出最 优再保险形式的显示解，以期在实际的分保过程中有一定的参考价值。 新型风险函数下的馒优再保险 6 第二章预备知识 2 1 标准差保费计算原则 每一份保险合同都明确规定了合同双方的权利和义务，其中很重要的一条就 是投保人只有在支付保险费后，才能享受在保险标的发生损失时从保险公司得到 赔偿的权利。保费计算原理就是这样一种衡量投保人要用怎样的代价以获得该种 保障的准则。很显然，保费的计算与投保人的风险密切相关。对原保险人而言， 再保费由其分出的风险决定。 保费计算原理有很多种，k a l u s z k a ，m ( 2 0 0 1 ) 将其中的一些与风险各阶矩相关 的方法统一为矩保费原理，包括期望值原理( e x p e c t e dv a l u ep r i n c i p l e ) ，方差原 理( v a r i a n c e p r i n c i p l e ) ，修正的方差原理( m o d i f i e dv a r i a n c ep r i n c i p l e ) ，标准差 保费原理( s t a n d a r d d e r i s i o n p r i n c i p l e ) 等。除此之外，常见的还有零效用原理， 平均值原理，分位数原理，最大损失原理。 本文要使用的就是矩保费原理中的标准差保费原理( s t a n d a r dd e v i a t i o n p r i n c i p l e ) ： p = 石( 胄) = e r + p d r ，卢 0 。 设r 为风险随机变量，在本文中则代表原保险人分出的风险，p 为再保险费， d r 为标准差，p 为安全负荷。一个好的保费原理需要满足不同的性质要求，标 准差保费原理就满足以下两条重要性质： 非负安全负荷。即对任意r ，都有p ，e r ： 协调性。即对任意r ，常数c ，万( 月+ c ) = 石( 月) + c 。 2 2 常见的分保方式 设y 为原保险人承保的风险，r 为分出风险，它常表现为】，的一种函数形式， 发生保险事故的时候，再保险人会根据r 的定义对原保险人进行给付。传统再保 险的几种常见形式： 成数再保险( q u o t a s h a r er e i n s u r a n c e ) ： r = a y ，其中0 口s 1 称为成数： 新型风险函数f 的擐优再保险 只= c y 一6 ，+ 二一。二二! a 称为原保险人的自留额； 变换损失再保险( c h a n g e - t o s sr e i n s u r a n c e ) ： r = 口( y _ 6 ) + ，0 口 1 ，6 为原保险人的自留额 有最高限额的停止损失再保险( s t o p 1 0 s sr u l ew i t ham a x i m u m p a y m e n t ) ： r 0y m r = 0 ，及9 = 忸陋m 。，万( 月) p ，若存在这样的一个r 吼，使得 ( r ) j d 且对所有的r 9 ，使得p ( r ) p ( r ) ，则我们称r 在p ( | ) 风险函数下 为最优。 3 3 相关定理的引进 在进行本文的证明前，先引入下面两个定理和引理( g a j i k ，z a g r o d n y ( 2 0 0 3 ) ) 。 给定1 3 0 ，妒：r 斗r + 为个可测的危险函数，以及这样一个分保合同函数 集合孵( 蜀，r ：) = 扣旧( y ) 茎r ( y ) s r 2 ( j ，) i 其r b r ( ) ，r ：( ) 均为吵的可测函数，并假 设： e y o o ： e r ? ( y ) 0 0 ，朋；( y ) o o ； e 妒( y r ( 】，) 一e ( y r ( 】，) ) ) 0 。如果 s ( ) ，五o ，并且r ：【o ，m ) _ 卜0 0 ，十m ) 使得： 对每一个y o 且胄( y ) = r ；( y ) ， 枷u 椭b m 嬲+ 印器巩 对每一个y 2 o f f e r + ( y ) = 吃( y ) ，r i ( j ，) r 2 ( y ) ， 新型风险函数下的最优再保险 枷b 帕b m 嬲+ 帮器鲫 对每一个y o 且蜀( y ) r ( y ) 0 ，并且p p ， 而当m 寸0 ，o l 时， ( 1 ) 式右边趋向于0 。 因此对每一个m 0 ，使得 新型风硷函数下的最优再保险 肌，d f ( y ) + f l 瓜而瓦丙可i p - 总存在一个r ( ) ( 0 , 1 ) ，使得( 1 ) 式成立。 接下来证明使得 c c y 一i 卵c y ，+ 卢、f i 了：i 二乏i j j i ：丽 尸的m 的存在性。 ( 3 ) 式的左边关于m 连续且非增( 补证1 ) 。 m 哼0 时，( 3 ) 式左边趋向于e y + 膨y p 。由于连续性，总存在一个棚0 ， 使得( 3 ) 式成立。我们记所有满足( 3 ) 的肌组成的集合为【0 ，( p ) 】，且此集合 非空。 此外，r ( m ) 关t - m 递减。因为( 3 ) 式左边随所递增丽递减，为满足( 1 ) 式， r ( m ) 必须递减。 现在，我们将，( m ) 代替，代入( 2 ) 式，得到这样一个方程： f ( 卅一y ) d f ( y ) 一( 1 一d ) f “伽。哪( q ( ，( 肌) ，用) 一y ) d f ( y ) = 警瓜磊鬲面葡 。 “ 接下来我们证明存在这样一个m 使得( 4 ) 式成立。 我们注意到q ( r ，m ) 2j ”扩( y ) + r ( 掣+ ( 1 一r ) m ) d f ( y ) = i n ( m y ) d f ( y ) + r r ( y m ) d f ( y ) + m 同时关于m ，连续( 补证1 ) 。 m 呻0 时，o ( r ，m ) 趋向于一个正数，因此( 4 ) 式左端趋向于一个负数，而 右端趋向于一个正数。 另一方面 用斗，( j p ) 时，r 咖) 寸0 ，且较大时，聊 9 ( ，( 研) ，聊) ，因此( 4 ) 式左端 趋向于一个正数，而右端趋向于0 。 新型风险函数下的最优再保险 山上易知，存在这样一个m o ，y ( p ) ) ，使得( 4 ) 式成立。 以上证明说明了确实存在这样的朋 0 ，r ( m ) ( 0 ，1 ) ，使得方程组( 1 ) ，( 2 ) 成立。 在得到m ，的解后，我们将m ，r 代入定义的月，就得到在定义的风险函数 | i d ( ) 下的最优再保险。接下来我们将证明这样一个r 的最优性。 由定理2 ，3 1 叫知，我们只需证明这样的r 满足条件+ 即可。 我们定义： a = 2 f ( m y ) d f ( y ) 一( 1 一a ) p 啪( q ( ，m ) 一一) 卵( y ) 】 ( 5 ) 因为m q ( r ，m ) 时，五 0 ，且d r 0 。 根据r + 的定义，r 不可能等于_ y ，所以条件不用证明。 而根据( 2 ) 式，p = e r + + p z ) r ，所以条件自然满足。 现在我们需要证明条件，对所有使得0 e ( y r + ( 力) 。 通过简单计算易知： q p ，m ) = f y d f ( y ) + r ( ，y + ( 1 一r ) m ) d f ( y ) = f y d f ( y ) 一 y a f ( y ) + r ( + ( 1 一咖4 ) 卵( y ) = f y d f ( y ) 一r ( ( 1 一，) y 一( 1 一咖 ) 卵( y ) = e y e r f y ) m 时， 丑( 卅。b ) 一矽+ 而e r * + 印+ 嘉 = 五- 2 ( y _ ( 1 叫眇研) 一，删一e r + 鲁+ 西2 r 峭_ r ) 一雕) + 2 a r ( y q ( r ，m ) ) 护( y ) + 2 l ( y - q ( m ) ) 计( y ) 一2 e r = 兄一2 ( r y + 0 一r ) 研) 十2 q p ，晰) ) 一e r + 兰+ 2 ，( y - m ) i 一， + 2 口r p q ( ，埘) ) 卵( y ) 十2l ( y - q ( m ) ) 加( 一2 e r = a 一2 m + 2 q ( r ，m ) ) 一2 r f ( y m ) d f ( y ) 一2 e r + 2 a f 州p q ( ，埘) ) 村( y ) + 2 ，( y _ q ( r 坍) ) 卵( y ) = a 一2 m + 2 q ( 咖) ) 一2 0 一r ) r ( y m 渺( y ) 一2 ，r ( y m ) d f ( y ) + 2 a r ( y 一骶m ) ) 呶y ) + 2 l ( y - q ( m ) ) 水( y ) = 一2 m + 2 q ( r ，肼) ) 一z f ( y m ) d f ( y ) + 2 a f p 川沙一q ( ，m ) ) d f ( ，) + 2 。，) ( y q ( m ) ) d f ( 力 新型风险函数下的最优再保险 = + 2 口r ”1 0 q ( ，肼) ) d f ( y ) + 2 j 日q ( r ，m ) d f ( y ) + 2 n ) y d f ( y ) 一2 b ，m ) d f ( y ) 一2 f y d f ( y ) + 2 f y d f ( y ) 一2 f y d f ( y ) 十2 r m d f ( y ) 一2 f m d f ( y ) = 兄+ 2 辟p m ( y 一以r ，掰) ) 拶( y ) + 2 p 州龇m ) d f ( y ) 一2 r ”y d f ( y ) + 2 f y d f ( y ) 一2 i m d f ( y ) = 五+ 2 口f ”1 0 q ( - m ) ) d f ( y ) 一2 r ”( y q ( r ，) ) d f ( y ) + 2 r ( y m ) d f ( y ) = 旯+ 2 f ( y m ) d f ( y ) 2 ( 1 一口) r 州( y 一眠) 妒( y ) 。 由( 5 ) 式可知， a ( 恤b ) 一妒而e r + 筇+ 器= 。 所以条件满足。 现在我们证明条件，对所有使得月= 0 的，即y 州时， “s b ) + 西一妒丽e r + 印+ 嘉 0 a 卜s b ) + 砒小印而e r + 印+ 嘉 = 五一s + ( y ) + 2 口p 哪( y 一龇m ) ) 卵( y ) 十2 l ，( y - q ( m 脚( 小2 e r 一e r + 鲁+ o i n n s ( j ，) 在y s 研范围内有两种可能的取值，所以我们分以下两种情况分 别考虑： ( i ) 当q ( r ，确y m 时， s + ( y ) = 2 ( y r ( y ) 一e ( r r + ( y ) ) ，r = r ：0 且 五= 2 f f ( m y ) d f ( y ) 一( 1 一a ) r 。( 姒m ) 一y ) 拈( y ) 】 新型风险函数下的最优再保险 1 j 2 - s ( y ) + 西+ ( y ) 一筇丽e r * + 帮+ 而r t = 丑一2 0 , 一f o ，) 一e ( r r ( y ) ) ) + 2 口r 啦。一q ( r ，哟) 十2 k 一，神一2 e r 一鲁肼+ o = 丑一2 0 , 一g ，砌) + 2 口f ( 。神抄一g 叻) 抒u o + 2 k o 一，砌一再2 e r 五一2 ( m g r ，神) + 掘r ( p g 砷删 + 2 b o 一，纳h 一2 如m ) d f ( y ) = 2 f | ( m y ) a f ( y ) 一2 ( 1 一r ( ，叻一y ) a f ( y ) 一2 ( m 一，叻) + 2 口r ” 一q ( ，叻) 抒 + 2 l j ( y 一舛，哟一2 如一m ) d f ( y ) = 2 f m d f ( y ) 一2 f y a f o , ) 一2 广州( g ( 删l y ) d f ( y ) + 2 口r ( q p ，哟一力婀d 一2 ( m q ( r ，叻) + 2 d r ”一q ( ，砌) 撕力 + 2 l o 一，螂一2 如一m ) d f ( y ) = 2 r m a t l v ) 一2 f y a f ( y ) 一2 r ，m ) d f ( y ) + 2 r y a f ( y ) + 缸rq ( m ) a f ( y ) 一孙r 删一2 j 。哪) + 2 j o 甜，m ) a f ( y ) 仡r y a e t , y ) 一缸r ，m ) d f ( y ) + 2 l y a p , y ) 一2 圳，喇一2 ：y d f ( y ) + 2 勋呶y ) = 2 f | m d t ；( y ) 一2 f ) 一2 r 神g 神d f 力+ 2 r 砌y a f o , ) 一2 r r r d f ( y ) + 2 r ，曲+ 2 l y d f ( y ) 一2 k ，嘲删一2 加+ 2 跏胡跏 合并后，易得 堑坚墨堕璺塾! 塑壁垡要堡堕旦 = 2 f j 朋删+ 2 f r e d & v ) 一2 f 蒯f ( y ) 一2 r o ( r ，m ) d f ( y ) + 2 f m ) d f ( y ) 一2 l q ( r m ) d f ( y ) + 2 l y 捌一2 f | 删+ 2 r 删一2 j y d f ( y ) = 0 所以，在q ( r ，小) y 卅时，条件成立。 ( 2 ) 当0 y 曼q ( r ，州) 时，因为0 墨口1 j + ( y ) = 2 a ! ( y 一月( ，) 一e ( y r ( y ) ) 2 ( y r ( y ) 一e ( r r ( y ) ) ， 因此由结论( 1 ) 能够直接得到： 五。( 卅西b ) 一印而e r + 矽嘉。 所以，在0 _ y q ( r ，m ) 时，条件同样成立。 至此，我们证得这样的r 满足条件+ 。 根据前一节给出的定理，r 即为最优再保险合同的形式。 以下补证 c，c-一r，by一，”，dfcy，+ji；。=i：ii：ijj：iji；：丽 q p ，m ) = r ( 肌一y ) 卯( y ) + r r ( y - m ) d f ( y ) + m ( 5 ) 分别关于m ，r 连续。 证明：t l i ( 0