（概率论与数理统计专业论文）一般形式的密度估计.pdf

安徽大学硕士学位论文 摘要 摘要 给定一独立同分布的具有相同概率密度函数p ( z ) 的随机变量序列x 1 ，恐， 弱，矗，我们如何去估计p ( 。) 呢? 关于此问题的研究已经取得一定的 成果p ”z e n 讨论了概率密度函数的估计及其众数的决定问题，给出了构建 密度函数p ( z ) 及其众数的函数估计类的方法，且证明了此函数类具有弱相合 性和渐近正态性r y z i n 给出了多元随机变量的密度函数的估计形式，且给出 了该密度函数估计形式具有强相合性所要满足的条件w 妇g 和v h 地i n 提 出了离散分布随机变量的光滑权函效的估计类并证明了在弱正则条件下。该 估计具有强相合性和渐近正态性c m p o s 和d o r e a 给出了核密度估计的一般 形式，并给出了估计量的平均相合性、强相合陛和渐近正态性的证明，但是证 明过程中出现了错误，从而影响了结论的成立本文提出p ( z ) 的一般形式的 密度估计，并证明了估计量的平均相合性、强相合性和渐近正态性推广了文 献【1 5 】中的关于连续型密度和离散型分布核估计的若干结果，最后指出文献 【5 中存在的几处错误并给出正确结论及其证明 关键词：一般形式的密度函数，相合性，渐近正态性 安徽大学硕士学位论文一般形式的密度估计 a b s t r a c t g i v e nas e q u e c eo f i n d e p e n d e n ti d e t i c a l l y 拙t r i b u t e dr a d o mv a r i a b l e s x l ，局 x n ，w i t hc o m m o p r o b a b i l i t yd e n g i t yf u n c t i o np ( 嚣) ，h o wc a w ee s t i m a t e ? p a r z e nd i s c u s s e st h ep r o b l e mo fe s t i r n a t i o o fap r o b a b i u t yd e n s i t yf h n c t i o na n d t h ep r o b l e mo fd e t e r m i n i n gt h em o d eo fap r o b a _ b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o na n ds h o w h a wo n em a yc o n s t r u c taf 缸i l yo fe s t i m a t e so f p 扛) ，a n do ft h em o d e ，w h i c hh a v e w e a kc o n 8 i 8 t e n ta d 蠲y m p t o t i cn o r m a l i t hr y z i ns t a t e 8c o n d i t i o n 8u n d e rw h j c h s t r o gc o n s i s t e n c yo fe s t i m a t 鹊o b t a i n e d w 毫皿ga n dv a n i k i np r e s e n t sac l a s so f s m o o t hw e i g h tf l l n c t i o n 鹤t i m a t o r sf o rd i s c r e t ed i s t r i b u t i 0 t h er e s u l t i n ge s t i m a t o r s a r es t r o n d yc o n s i 8 t e n ta da s y i n p t o t i c a n yn o 皿a lu n d e rm i l dr e g u k n 时c o n d l t i o 雎 c a m p o sa n dd o r e ap r e s e tag e n e r a ic l 船so fk e r n e le s t i m a t e sf o rp ( ) a n dp r o v et h e 8 t o n gc o n 8 i s t e n c ya n da s y m p t o t i cn o r m a l i 咄w h i kt h e r ea r es e v e r a lw r o n 帮i i t s p r o c e s s ，i o l l rp a p e r ，w ep r o p o s eag e n e r 出c l 硇so fk e r n e le s t i m a t e sf o rp ( z ) a n d i t i s8 h o w nt h a to l l rr e s u l t so ns t r o n gc o n s i s t e c ya n da s y m p t o t i cn o r m a l i t yi n c l u d e t h ec l a s s i c a lr e s u l t sf o rc o n t i i m o u sd e n s i t i e sa n de x t e n ds o m er e s u l t so fk e r n e le s t i m a t o r sf o rd i s c r e t ed i s t r i b u t i o i l s a tl a s t ，w 8p o i n tt h ew r o n g si nd o r e a sp a p e ra n d p r e s e n tc o r r e s p o n d i n ge o r r e c tr e s l l l t s k e y w o r d s ：g e n e r a lk e r n e le s t i m a t e ，c o n s i s t e n c y la s y m p t o t i cn o r m a l i t y 独创性声明 f 7 6 5 s 9 0 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得圣像犬乎或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：弓红 签字日期：巾f 年岁月，2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了怨受缀犬躲关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权堙锨丈暂以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：亏纪导师签名：莎悄会手乍学位论文作者签名：百纪导师签名：澎附7 季亍。吝 签字日期：硝年圹月，2 日 签字日期：2 口口厂年岁月2 日 学位论文作者毕业去向： 工作单位：电话： 通讯娥址：邮编： 安徽大学硕士学位论文 第一章引言及若干引理 第一章引言及若干引理 1 1引言 为了估计密度函数p ( 。) ，r 0 8 e n b l a t t ( 1 9 5 6 ) 、p a r z e n ( 1 9 6 2 ) 和v a nr y z i n ( 1 9 6 9 ) 研究了一组具有相合性和渐近正态性的估计量p 。( z ) ，其中p 。( z ) 是对经验分 布函数f n ( 。) 作加权平均： 嘣扣互；k c 警黜，= 去塞k t 半， 其中核函数k ( - ) 和窗宽 = 。 o 经过适当选择，且x 1 ，托，矗是相互 独立的随机变量并具有相同密度，对d 维情况可以把矗换为赤对于整数 集上的离散分布，w a n g 和v a nr y z i n ( 1 9 8 1 ) 提出一组相对频率的加权线性组 合，并证明其相合性和渐近正态性 p 。( ) = ( 危，i ，j ) ( i 以】( j ) ) ? = 一o 。e = l 其中对每个 o 和i ，权函数( ， ，- ) 经过适当选择对 ( o ，1 ) 的权函 数的例子有一致权函数( l ，为固定的整数) 几何权函数 w ( h ，i ，j ) = 嚣 l 一 o 当b 一引= 1 ，2 ，k 当j = i ， 当b i i ， 当j j i l l 当j = i ， 拶 。 ”一 一 1 l ，、l | f j z h 安徽大学硕士学位论文一般形式的密度估计 本文考虑的是一般密度函数的估计问题设x ( u ) ，x ( u ) ，( u ) ，是定 义在同一个概率空间( n ，p ) 上的独立同分布的随机变量序列，v 是可测空 间( e ，) 上的一个a 一有限测度，其中e c ，础为d 维欧氏空间，是由 e 的子集构成的a 域对任意 o ，。e ，在e 上定义核函数( ，z ，) 且定义： 础) = ；耋哪 剐 地 ( 1 1 ) 本文第二部分讨论了p 。( z ) 的平均相合性、强相合性和渐近正态性第 三部分通过实例证明了我们的结果包括了r d 上关于连续型密度函数估计的 一些经典结论，并改进丁关于离散型分布函数核估计的一些结果文章第四 部分指出了文献【5 1 中证明所存在的错误，并给出一个反例说明文献【5 l 中定 理4 的表述以及证明是错误的，并且给出了相应结果的正确表述及证明( 见定 理2 2 ) 1 2若干引理 引理1 1 1 1 】；( 控制收敛定理) 设 墨，n 1 ) 是( n ，尸) 上的可测函数 列，y 是可积的可测函数，若i 赫i y ，则x 。x 时， e x n e x 引理1 2 嘲： ( h o e 髓i n 9 1 9 6 3 ) 设y l ，硷，k ，是独立同分布的随机变量， 具有有限二阶矩若存在有限常数a ，6 ，使得p ( m 陋，叫) ；1 ，那么对任意 2 安徽大学硕士学位论文 第一章引言及若干引理 e o ，有 刚：妻驰泌z 酬一南) ( 1 2 ) 这里口2 = 口2 ( k ) 引理1 3 1 1 1 ： ( b o r e l - c a t e l l i 引理) 设 ，n l 是( q ，4 ，p ) 中的事件序 列，且萎p ( a 。) o ( 1 3 ) 引理1 5 9 】： ( b e r r y - e s s e e n 定理) 设对每个自然数n ， h ：。，也：。，k ：。 为独立同分布的，且 e ( h 。) = 0 口2 ( ：n ) = 1 ，熙n 一女e ( i h ：n | 3 ) = o 3 安徽大学硕士学位论文一般形式的密度估计 则存在与n 无关的常数a o ，对所有的研口实数$ ，有 其中 p ( n 毛塾黜。骂磐 ( 1 4 )p ( n 一k ：nsz ) 一壬( z ) i a o 竺! i ! ；i 半1( 1 4 ) 吣) 圭去e 一譬出 引理1 6 【1 0 1 ：设z 。，鼽是实数列且收敛，则 砖马蝉( z n 十鲰) 2u 晋群。n + 0 乎岛g n ( l 5 ) 引理1 7 ；( f a t o u - l e b e 8 9 u e ) 设( x 。，n21 ) 是( n ，a ，p ) 上的可测函数 列设y 和z 是可积的可测函数，则 z 爿l i m s u p e j hs e l i m 8 u p 矗 n + o 。n x n y2 2 寺昱( 1 碧卺f x n ) s 噜3 警e x n 如果y 矗tx 或y 墨sz 且溉一x ，则： e x n e x 4 安徽大学硕士学位论文第二章主要结果 第二章主要结果 2 1主要推论及引理 设x ( u ) ，x l ( u ) ，( u ) ，是定义于同一个概率空间( n ，p ) 上独立同分 布的随机变量序列，ec 刑，一是可测空间( e ，) 上的一个口有限测度 x ( u ) e ，x 关于一的密度为p ( z ) = 舄鲁首先，我们证明p r 妇ar a o 1 9 8 3 ) 定理2 u 的推广( 引理2 ，1 ) ，并以此作为证明估计量p 。( z ) 具有渐近无 偏性的条件 条件2 1 ：函数( ，z ，) 满足下面的条件：存在 o o 和珞( 。) 使得 一i i 矿( ，z ，g ) l ( d ) 。f 如( z ) o 。 o 以( ，) 。则存在确( z ) 使得 佴0 ( ，石，) i ( 茁) 0 ，使得： 私：i 掣一z is j ， i 孽( ) 一9 ( z ) i e = 0( 2 4 ) 系2 1 ：若z 是函数9 的连续点，则一定有z g ( g ) 5 安徽大学硕士学位论文一般形式的密度估计 证明：由连续点的定义；对任给的e o ，存在d o ，当k z o i 茎d 时 i g ( z ) 一9 ( o ) i e ，= 圣 可：1 可一z 1 d ，i g ( 可) 一g ( 。) 1 e ) = o z l ( g ) 系2 2 ：若x 为离散型随机变量，服从分布p 肛= $ k = p ( ) ，= l ，2 ，3 ，这里z 互不相同，且e 圭 z l ，z 2 ，) 中无聚点，p 为e 上的计数 测度，则g 0 ) = e 证明；因为e 中无聚点，那么对任意蛳e ，对任给的e o ，存在 d o ，使得 q 毛( “：g e ，b z k i 正b ( g ) 一p ) i e ) 所以 p 掣：可e ，l 可一。女i j ，l p ( ”) 一p ( z k ) 【 e ) = o 即 o ( p ) = e 引理2 1 ：设9 是( e ，占) 上v 一可积函数且。g ( 9 ) ，( ，z ，) 满足条 6 安徽大学硕士学位论文第二章主要结果 件2 1 ，则 溉i 厶( ，。，g ) g ( ) 一( 由) 一g ( 。) 厶w ( t 。，) ”( 咖) i = 。 ( 2 5 ) 证明：设z g ( g ) ，则对任给e o ，存在d o ，使得 p 9 ：i 一z f 正b ( 可) 一g ( 。) j e = 0 令o h s o ，定义a = 妇：l 一z l d ) ，则 i 厶( k z ，g ) ( g ( 9 ) 一g ( g ) ) p ( 句) 5 厶i ( ，z ，g ) ( g ( f ) 一g ( z ) ) m 幽) + 1 w ( h ，z ，9 ) 9 ( g ) l p ( 幽) + 1 w ( h ，z ，) i g ( z ) p ( 曲) j a 。 a o 兰i l + 1 2 + 1 3 由( 2 1 ) 和( 2 4 ) 式知： = 厶帆岫川( 9 ( 口) 一g ( 圳哪) s e 瑜( z ) 由硒( z ) 。且g 为”一可积函数知： 六。鳓( 刮g ( 训一( 咖) 。c 在a 。j 二，1 ( ，。，) = 仉7 ( ，z ，) 且i 矸名( ，z ，g ) g ( 9 ) l ( z ) g ( ) ，贝0 由( 2 4 ) 式有 慨( 9 ) 口( g ) 2 o 于是根据控制收敛定理和( 2 3 ) 式知： 牌屯= 慨上。吲 劫咖) m = 五。牌l 坼( 如朋9 ( 咖( 捌】= o 安徽大学硕士学位论文一般形式的密度估计 由v 是一一有限测度知存在取t e ，且v ( 晶) 。，所以存在n o ，使得 六。1 w 。( ，z 洲v ( d f ) 一正。n 晶。i 名( k z ，蚓”( d v ) e ( 2 6 ) 由于a c n 既。c 晶。，所以”( 小n 磊。) ”( 晶。) o 。由( 2 2 ) 式有 厶。n 晶。( 叫v ( 由) = 砀( z ) v ( a 。n 风。) 。 再由( 2 ，3 ) 式以及控制收敛定理有 慨厶。n 既。j 坼( 训v ( 由) = 正。n 既。牌i 坼( k z ，) i ”( 句) = 。 对( 2 6 ) 式两边取上极限有 由e 的任意性知 所以( 2 5 ) 式成立 1 i m s u p i i ( ，z ，) i ( d ) 茎6 _ 0j a o 厶- + 0 条件2 2 ：设。g 扫) ，条件2 1 成立且w ( h ，z ，g ) o ，o h = 。且 撬a n 2 0 ( ，z ，9 ) p ( 曲) = lo o( 2 7 ) j e 推论2 1 ，在条件2 2 下，我们有估计的渐近无偏性 慨e ( p n ( z ) ) 2 p ( z )对任给z g 白) 8 安徽大学硕士学位论文第二章主要结果 让明：凼为 m 扛) - i 善呷，文托) 忙k 1n e ( ( z ) ) = e ( i 圣( ，z ，凰) = e ( ( ，z ，x ) ) 2 厶( ，z ，”) p ( ) v ( 咖) r = l 一 所以由引理2 1 知：当n _ o 。时， e ( p 。( 。) ) = 7 ( h ，。，”) p ( v ) v ( d g ) p ( z ) v 1 7 ( h ，。，p ) v ( d g ) = p ( z ) j ej e 条件2 3 ：设z g ，( 口1 ，条件2 2 满足，目有 存在硒( z ) ，使得 t 3 堍如( 。) 2r ( z ) o 。县n ( $ ) = 。 ( 2 8 ) r h ( z ) i 矿( ，。，掣) 1sk j ( 茁) o 。 o o n = o ，1 ，2 3 ， 9 安徽大学硕士学位论文一般形式的密度估计 则可以验证g 扫) = e 证明：先证o g ( p ) p ( x = o ) = p ( 0 ) = o 对任给e o ，存在d o ，记a = 佃：”e ，l g o l 正旧( 可) 一p ( o ) | e ) 由曼舻曼皓) m 得撬皓剐 即当n 充分大时，圭击 ) = p ( 圣) = o 所以o o 由系2 2 知。对任意的o o 成立 证明：( 反证) 若存在n o ，使得h 。( 。) = p ”：i 一$ 1s o = o 成立 因为 o = ，l n o 所以存在，当n 时，l 。 o 那么o2 ( z ) r n 。( z ) = o ，即有，溉r n ( z ) = o 矛盾! 1 0 安徽大学硕士学位论文第二章主要结果 引理2 2 ：若条件2 3 满足，则我们有核估计的均方相合性 括e ( p n ( z ) 一p ( z ) ) 2 ) = o 对任意z o ( p ) 证明；对任意的a o ，若令 l 矿( 。) ( ，。，可) = r 。【。) ( z ) w 7 1 + 。( ，t ，掣) 那么显然满足条件2 1 下面我们逐条验证： 1 ) 厶1 w 缸) ( 洲v ( 咖) = 上i ( ，z r 。( 刮。i ( ，q 训v ( 由) 凰( z ) 。五i ( ，z ，训v ( 曲) 彤l ( z ) 。凰( z ) 圭师) 6 ) ( 。) i = l r n ( z ) w ( ，z ，可) n w ( h ，口) 。：i ：一。i 6 ) ( v ) 1 s 甄。( z ) 蚝( z ) 圭面而) o oo d ) ( ) 于是由引理2 1 得 概甄。( z ) ( k z ，y ) = o o 骢i 厶扣( ，z ，) p ( ) v ( 却) 一p ( 。) 厶陋b ) ”( 句) i = o ( 2 1 0 ) 记a 2 ( p 。p ) ) = y o r 。扛) ) ，贝0 e ( p 。( z ) 一p ( z ) ) 2 ) = e ( ( p 。( z ) 一。f 劲。( $ ) + f 劲。( z ) 一p ( 。) ) 2 ) = e 伽。( z ) 一( z ) ) 2 + 。够p 。( z ) 一p ( g ) ) 2 = 口2 如。( z ) ) + 目叠。( z ) 一p 扛) ) 2 由推论2 1 知，热( z ) = p ( z ) 下证当n 。时，o r 2 ( p 。( z ) ) 0 由( 1 1 ) 式且x ，x l ，而、相互独立有： n r n ( 。) 口2 ( p 。0 ) ) = r n 扛) ( e ( 2 ( ，z ，x ) ) 一( e 矿( ，。，x ) ) 2 ( 2 1 1 ) 由( 2 8 ) 式 县( z ) ( e ( ，z ，x ) ) 2 = 县恐h 忙) ( 却n ( z ) ) 2 = r ( z ) p 2 0 ) 。， z g 0 ，) 另一方面，令n = 1 ，在( 2 1 0 ) 式中。我们有 点h ( $ ) e ( w 2 ( h ，z ，x ) ) 一p ( z ) 厶( 圯。，g ) ”( 由) i = o 1 2 安徽大学硕士学位论文第二章主要结果 由( 2 1 ) 式和( 2 9 ) 式，对o o ，存在，当n 时 即 n 7 _ ( 。) 盯2 ( z h ( 卫) ) sp ( 工) k l ( z ) 。k b ( z ) 一r ( 墨) p 2 ( z ) + e 3 骢n r n ( z ) a 2 ( p n ( z ) ) o 0 骢p n ( z ) 2 p ( z ) 证明t 由推论2 1 知，只需要证： ，墅器( z ) 一e ( 。) ) = o 一v ( 2 1 2 ) 定义k = ( ，z ，甄) 一e ( ，z ，氟) = 1 ，2 ，3 ，n ，容易证明k 满足弓 理1 2 的条件由( 2 9 ) 式： 则 且 r n ( 霉) w ( h ，互，x ) s k l ( z ) o 。，o h h o e l r ”( z ) 矸7 ( ，z ，x 1 ) f k l ( z ) 。o ，0 o i “( z ) k ls2 k l ( z ) 刊郴鬻h 1 2 3 ，n 1 4 o 下证存在 一2 ( 。) o ，使得： e h 7 ( ，z ，x ) p ( z ) + 卢( 2 1 3 ) 因为e k = o ，由( 2 9 ) 式和推论2 1 得t o ( 万) ，( 妖) = e ( z ) 魄2 ) = r 。( 茁) e ( 2 ( ，z ，x ) ) 一( 刀( ，z ，x ) ) 2 ) sr 。( ) e ( 阿2 ( ，z ，x ) ) j n ( z ) e ( ，。，x ) s 蚯( z ) ( p ( z ) + ) 圭口2 ( z ) 由( 1 2 ) 式，且记 。= 扣：( 。) 一上冶。( z ) i e ) 则有： 聃) _ p 帅) - 隆) 2 e 印 鑫) 地印 赢豸 铤岛 蜘充分丈时 令o = 弘酉毓 即有 由( 2 1 2 ) 式得 p ( a 。) s2 e 印卜佗r 。( 。) n 当凡充分大时 o 。n 尸( 1 p 。( 。) 一砜( 善) l 三e = p 嗉k 2e n = ln = l七= l e e 华 一n r n ( z ) a o( 2 1 4 ) n = l 1 5 安徽大学硕士学位论文 一般形式的密度估计 其中c 是与n 无关的常数由( 2 1 4 ) 式以及b q r e l c a n t e u i 引理知 定理得证 p p ：t i = 骢( p n ( 。) 一旦鼽( z ) ) = o ) = 1 2 2主要结果 在这一部分我们给出本文的两个主要结果 定理2 1 ：记妖= ( h ，z ，) 一e w z ，甄) ，= 1 ，2 ，n ，设o o( 2 1 7 ) 尥( z ) = 1 骢醉厶( z ) 2 ( ，茁，) ”( 由) 则( 2 1 6 ) 成立，且存在与n 无关的常数c 使得； s u p | p ( 唑蒜铲剑叫。) 证明：记k = w ( h ，。，讯) 一e ( 九，。，甄) ，= 1 ，2 ，n e 堕嵴铲趔型焉稿铲 ：；生2 墨! 堡! ! ! ! ! 茎! ! 二墨堡! 垒! ! ! 茎! ! 、瓦r 。( 。) r i ( z ) 口3 ( i 矿( ，o ，x ) ) 对任意e o r n ( z ) d 2 ( w ( ，z ，x ) ) = ( z ) 归( 2 ( ，z ，x ) ) 一e 2 ( ( ，z ，x ) ) = 厶r n ( z ) 彬2 ( 尚”) p ( 可) v ( 由) 一p ( z ) 厶( 。) 2 ( ，。，y ) ”( 由) + p ( 茁) f r 。( 。y l 矿2 ( h ，z ，) p f d 彗) j e h ( 。) 铲( ( z ) ) 1 7 ( 2 ，1 8 ) ( 2 1 9 ) 安徽大学硕士学位论文 一般形式的密度估计 记谚( h ，z ，g ) = r 。( 。) h ，2 ( ，。，) 则易见形满足条件2 1 注意到p ( 。) 是一可积函数，所以对z g ( p ) 由 引理2 1 知： o 骢( 厶( z ) 2 ( ，g ) p ( 口) v ( 匆) 一p ( z ) 厶( z ) 2 ( ，文) | ，( 由) ) = o ( 2 2 0 ) 于是由推论2 1 ，引理1 6 ，条件2 3 ，( 2 1 7 ) 式，( 2 1 9 ) 式、( 2 2 0 ) 式得： 1 骧蝉r n ( 。) a 2 ( ( ，。，x ) ) = p ( z ) 鲍( 。) 一r ( z ) p 2 ( z ) o z g 如) ( 2 2 1 ) 所以 1 骢蝉r ；( z ) 一3 ( ，z ，x ) ) = o ( z ) 一鲍( z ) 一r ( z ) p 2 ( z ) ) j o z g o ) ( 2 2 2 ) 由m i n k o w s k i 不等式以及( 2 9 ) 式知： r ：( 。) e l - 矿( k 。，x ) 一e ( ( ，。，x ) ) 1 3 ) s e ( ，：( 。) ) 3 ( h ，z ，x ) ) + ，；( z ) e ( w ，恤，z ，x ) ) 薪( z ) e ( w ( ，。，x ) ) ， + ，i ( 。) e ( ( ，。，x ) ) ：；扛) e ( p 。扛) ) ) + 蠢( z ) e o 。( z ) ) 于是由条件2 3 和推论2 l 得： l i ms u pr ：扛) e 1 w ( ，z ，x ) 一e ( 矿( ，$ ，x ) ) i 。 s 耳 ( z ) p ( z ) + ，( 。) p ( 。) ) 3 o 。z c ；p )( 2 2 3 ) 1 r 安徽大学硕士学位论文第二章主要结果 田条仟2 3 ，( 2 1 9 ) 甄，( n 2 2 ) 式，( 2 - 2 3 ) 式口j 得( 2 1 5 ) 式厩亚冉由足理2 1 知( 2 1 6 ) 式成立由引理1 5 知t s 鼍pi p ( 旦j 掣s ；) 一圣如) i 砰l p ( 去耋志剑叫刮 妯业斋掣 r ：( ) e i ( h ，。，x ) 一e ( ( ，o ，x ) ) l 。 2 0 1 r _ 一 鬲疋可藉( z ) o r 3 ( ( ，z ，x ) ) 由e 式以及f 2 2 2 1 式。( 2 2 3 1 式推出f 2 1 8 1 式成立 1 9 安徽大学硕士学位论文一般形式的密度估计 第三章主要应用 在这一部分，我们将阐述从我们的结果怎样得出关于连续型分布密度函 数的众所周知的核密度估计结果，且证明文献【1 1 当中的一些离散核也满足我 们的条件下面我们来看几个例子 例3 1t 设x 为连续型随机变量，其密度函数为“) ，p = m ，m 是 上的l e b e s g u e 测度，考虑估计： 施，= 壶耋耳t 宰， d 其中核函数k ( - ) 满足条件如下： 1 ) 0s 耳( 口) sj “ o d l z l 0 0 时 2 n 安徽大学硕士学位论文第三章主要应用 有； 令= 者且i 一z i d 那么 由上给定义知： 又由i 一z i j ，有 $ f d 耳( 。) s 寻熹一 半1 嘧( 早) s i ( ，。，掣) = i 矿( ，z ，f ) 丑：l ：一酬 j ) ( 9 ) = 脚川= 南i 警陋( 罕) 南曼t 圭酢) d 时，w o ( ，毛g ) s 嘉i 苎严( 三) ：j ：一。i 6 ) ( ) 因为： 当 一。时，l 警i _ o 。，由k ( ) 满足的条件3 ) 知；令午= t ， 当 _ o 日于，w j ( h ，z ，g ) 击4 k ( t ) 斗q 即溉w ；( ，z ，) = o 得证这样由推论2 - 1 和引理2 2 可得估计的渐近无偏性 安畿大学硕士学位论文 一般彤式的密度估计 和均万相合性 对弱相合性，需要假定0 骢n = 。，这正是我们的( 2 - 8 ) 式此时： r n ( 加吨咖叫鲥= 嵩 由l 垫n r 。( z ) = j 受n 4 打( 1 + 1 ) = 。得- n + 。 n 。o 撬n = o o 对强相合性，进一步需要假定对任意口 o ，黯le 印( 一n “o ) 。 知：当z c 0 ( p ) ，p ( 。) o 时t p ( z ) j ，2 ( z ) 一r ( z ) p 2 ( z ) = p ( z ) k j ( 。) 一m ( ) p 2 ( z ) = p ( 。) k j ( z ) o 即( 2 1 7 ) 式成立 由定理2 2 可得：存在与n 无关的常数口，使 8 ：p l pc 旦4 兰；群。，一圣c z ，1 蒜c s - ， 注：例3 1 证明了p r a k l s 0r a 0 的定理3 1 2 ( 关于估计的均方相合性) 不需 要假设核函数是偶函数就可以得到。且p r 妇or a 0 的定理3 1 5 是本文引理 2 3 的特殊情况，说明本文结论具有一般性 安徽大学硕士学位论文第三幸主要应用 例3 2 ；考虑估计离散型概率分布函数的权函数类( w a n g 和v a nr y z i n ( 1 9 8 1 ) ) 设x 为非退化的离散型随机变量，服从分布；p 伍= ) = ai z ，其中 z 为整数集合”为z 上的计数测度定义鼽的密度估计为 p 。( i ) = 三w ( ，f ，虬) i zo o ，则： 撬p ( 唑蔷铲剑叫z ) 对任意z r 且对任意自然数n ，存在与n 无关的常数e ，使得 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) g 监娜虬摆 晰一啪卅一嚣 蜷湍 安徽大学硕士学位论文一般形式的密度估计 证明：取e = z ，p ( i ) = 仇，则p ( 。) = ：鬻为x 关于p 的密度，且有 。加) = e ，当n 充分大时， 且有 r n ( i ) = y g ：i 口一i i h ) = p ( 0 ) ) = l = r “) o 。 ，觇r n ( t ) n = o 。 ( t ) ( ，f ，j ) l = i ( ，l ，川l 圭凰( 口) o 具有紧的支撑集，且满足下列条件： k ( z ) o 耳( 。) 如= l 。k ( 圳霉= oj f 护k ( z ) 如 o 显然有i ( ，j ) o 手彬( ，j ) = 1 下证； 溉( h ，i ，j ) 2 ( o ，i ，j ) 2 珠卿 当t = j 时 州5 溉南 = 1 ( 因为舰k ( i ) = o ) 当t j 时 得证 溉哪= 器= 。 j u 例3 4 ：设e 是可数集合，没有聚点设p ( ) 是e 上的概率，v 是e 上的计 数测度，由系2 2 知昱= g ( p ) 取( ，。，”) = 丑。一 。+ 州( y ) ，其中z ，v e ， 2 5 安徽大学硕士学位论文一般形式的密度估计 o = n o 此时，p n ( 。) = 丢喜 。吨。+ | ( 凰) 下面验证( ，。，) 满 足条件2 3 ，且( 2 1 9 ) 式成立 厶( ，。，g ) ”( 匆) = 厶丑。吨。+ 叫v ( 曲) = 堋。一+ 】) s 州z 一；，z + ；】) 圭凰( z ) 毋( 各) 显然 i i ( h ，。，v ) is1 圭z “( z ) o 则有渐近正态性 安徽大学硕士学位论文第四章附注 第四章附注 首先我们指出文献【5 】中定理3 证明中所存在的问题，并给出一个反例说 明文献【5 】中定理4 的表述以及证明是错误的，相应结果的正确表述以及证明 见本文的定理2 2 文献【5 】第1 7 7 页倒数第5 7 行的证明： r n ( z ) 仃2 ( 狐) = 曰( h ( $ ) 瑶) = e ( ，k ( z ) w 2 ( ，毛x ) ) 一蠢( 茁) ( e 形( ，z ，x ) 】2 k l ( z ) 一r ：扛) ) ( e ( ，z ，x ) 一 e l 矿( ，z ，x ) ) 2 ) t k l ( 。) 一( 茹) 【p ( z ) 一p 2 ( 。) + 觑= a 2 ( 。)( 4 1 ) 是不成立的上式第一行右边应等于： e ( r 。 ) w 2 ( ，岔，x ) ) 一 ) ( e i 矿( ，z ，x ) ) 2 另外，( 4 1 ) 式第3 行的a 2 ( z ) = ( k l ( z ) 一砖( 。) ) p ( z ) 一p 2 ( g ) + 用还与n 有关， 这影响了该定理的证明下面的例子表明文献【5 中定理4 的证明有错，且影 响了该定理结论的成立 例4 ，1 ：设x ，x l ，x 2 ，是独立同分布的随机变量序列，p ( x = 1 ) = l ， e = l ，2 ，3 ， 为自然数全体，r 为e 上的计数测度，取 i 矿( ，z ，可) = 丑。一 ，z + 叫( y ) ， z ，e ，o of o rs o m e 岛”不成 立从而文献【5 中的( 1 9 ) 式不成立，这影响了文献【5 】中定理4 的证明以及 其结论的成立。 安徽大学硕士学位论文参考文献 参考文献 【1 】r d s e n b l a t t ，m 舶m a r ko ns o m en o n p a r 锄e t r i ce s t i a t e 8o fad e n s i t yf l 工n c - t i o n a n n m a t h s t a t l s t ，1 9 5 6 ，2 7 ：8 3 2 8 3 7 【2 p a r z e n ，e 呲n u e l o ne s t i m a t i o no fa p r o b a b m t yd e 璐i t yf u n c t i o na d m o d e 【j a n n m a t h s t a t i s t ，1 9 6 2 ，3 3 ( 4 ) ：1 0 6 5 一1 0 7 6 【3 j v mr y z i n o ns t r o n gc o 珊i s t e c yo fd e n s i t ye s t i m a t e 8 j 】a n n m a t h s t a t i s t 1 9 6 9 ，4 0 ( 5 ) ：1 7 6 5 1 7 7 2 4 w 抽gmc ，v a nr y 2 i n ac l a s so f s m o o t he s t i m a t o r sf b rd i s c