（应用数学专业论文）若干非线性矩阵方程的理论与算法.pdf

博士学位论文 摘要 求解非线性矩阵方程是科学与工程计算中重要的问题之一对非线性矩阵方 程的研究已经成为数值代数的一个热点课题本文在已有成果基础上，系统研究 了如下五类具有代表性的非线性矩阵方程 利用k r o n e c l 【e r 积的性质以及b a j l a c h 空间有界序列的收敛原理，我们研究了 方程 x = q + a ( kox c ) r a 的正定解其中a 为舭n 阶复矩阵，q 为礼阶正定矩阵，c 为舭阶半正定矩 阵，o i r i 1 或者，= 一1 当r = 一1 时，该方程来源于一类插值理论问题我们 证明了在7 = 一1 时方程正定解的存在唯一性当0 0 当0 1 时 的情况得到了方程存在正定解的充分条件和必要条件，并给出了方程存在唯一 正定解的几个充分条件此外，我们还对方程进行了扰动分析，给出了方程正定解 的范围以及求解方程正定解的迭代方法数值例子验证了所给迭代方法的可行性 与有效性 关键词：非线性矩阵方程；正定解；t h 彻1 p 8 0 n 度量；k r o n e 妇积；迭代方法；扰 动分析；正规锥；b 缸a c h 空间 i i i 博士学位论文 a b s t r a c t s c l l v i n gt h en o l l u n e a rm a t r i 】( e q u a t i o ni so n e0 fi m p o r t a n tp r o b l e 卫嘀i nt h ea r e 鹪0 f s c i e n c ea n de n g i n e e r i i l gc o m p u t a t i o n t h ei n v e s t i g a t i o nf b rt h en o n h n e a rm a t r i ) 【e ( 1 u a t i o 璐 h a 8b e c 彻ah o tt o p i c0 fm l m e r i c a la l g e b r a o nt h eb 嘁o ft h e 出t 啦r e 池，w es t u d y t h ef 0 u 眺g6 鹏c l a 鼹铅0 fn o 曲e a rm a t r i ) ( e q u a t i o 船盯s t 咖a t i c a u y m a l 【i n gu 舱0 ft h ep r o p e r t i 鹤0 ft h ek r o n e c k e rp r o d u c ta n dt h ep r i n c i p l ef o rt h e m o n o t o n j c 缸db o u n d e d q u e n c ei nt h eb a n a c hs p a u c e ，骶i n v e s t i g a t et h ep 戚t i v ed 醯i l i t e s o l u t i o n0 ft h em a t r i ) ( e q u a t i o n x = q + 4 ( k o x c ) r a ， w h e r e4i 8 觚m n 7 lm a t 血，qi s 觚n ，lp 0 8 i t 蛐m a t 血，gi s 衄m n m n p 0 8 ：m 、e 鳓血d 西n i t em a t 订】【，o | r i l0 r ，= 一1 w h 既r = 一l ，t h i 8m a t r 政i s g e n e r a t e d 丘o ma d a 胬0 fi n t e r p o l a t i o np b l e m w bp r o 、，et h ee 菇s t 印c e 趿d1 l n i q u e n e 鹤 o ft h ep 耐t 溉d e 丘i l i t e8 0 l u t i o n0 ft h ee q u a t i o ni nt h i 88 i t u a t i o n w h e no l r i 1 t h a tt h e e q u a t i o na l w a l y sh 8 u sa 衄i q u ep o s i t i 、，ed e 6 n i t es o l u t i o ni sp r o v e di nt h ec a s et h a tf ( x ) i s a 堆删。砒蛆dn o n e x p a n s m a p a ni t e r a t i v em e t h o di 8p r o p 0 8 e dt 0c o m p u t et 妇 u n i q u es o l u t i o n w bs h o wt h a tt h ei t e r a t 溉m e t h o di sm o r ee 胝t i v e 豁qi n c r e a s 骼a p e r t u r b a t i o nb o l l n df o rt h eu n i q u es o l u t i o ni 8d e r i v 胡 a c c o 诎n gt ob r o u w e r s 五x e dp o i n tt h e o r e ma n db a n a c h s 触dp 砒吐t h e o m m ，w e s t u d yt h ep 戚t i 、7 ed e 鼬t e 耐u t i o no ft h em a t r b 【e q u a t i o n x 。一a x q 4 = q ， w h e r eai 8 缸n n m a 七r i ) 【，qi 8a nn np 0 6 i t i 、e l e 觚t em a t r i ) 【a n d8 ，ta r ep 喇t i 、e 砒e g e r 8 w ep r o 、，et h e 戗i s t e n c e0 ft h em a t 血e q u a t i o n 鲫dg t h er 姐g ef b rt h ep o 酗 i t i 、，ed e 血吐t es o l u t i o n w e 越s od e r i v es 伽跚伍c i e n tc o n d i t i o 璐t h a 七t h ee q u a t i o nh 嬲a u n i q u ep 0 8 i t i v ed e 丘i l i t e8 0 l u t i o n m 洲r ，t h ep e r t u r b a t i o n 眦a l y s i sa n dt h ep e r t u r b 扣 t i o n 搬m df o rt h ee q u a t i o n sp 戚t i wd 枷t e l u t i o n 啪p 脚t 酣t h e 删t 她r e s u n s a r eg e n e r a h z e d 姐di m p w v e d t h ec o r r e c t n e 鼹a n de 胝t i 、，e n 髑a r ed h o w e d 研n 眦e r i c a l e 】【锄p l 铝 t h ef b u 佣，i n gm a t r i ) 【e q u a t i o n x + a 义r a = ， i si n v e s t i g a t e db ym 锄ya u t h o 璐w h e n0 0 时方程( 1 1 0 ) 正定解的情况得到了其正定解存在的两个充要条件，并讨论了在 4 正规时，解的性质及在条件j l a 0 、南下方程正定解的存在性和迭代求解 方法随后， h 踟0 、rvi 蚓，h 够觚0 、rvi ，e l - s a 删sm 叫研究了o 口 1 时方程 ( 1 1 0 ) 有正定解的充分和必要条件p e n gzy 等陋，删考虑了在o 1 两种情况下，方程( 1 1 0 ) 有正定解的新的必要条件和充分条件，并给出了求解方 程的无逆不动点迭代方法r e u r i n g smcb 在其博士论文m 中对于方程( 1 1 0 ) 和 ( 1 1 1 ) 进行了详细的研究 近年来。l i uxg ，g a 0h 【鹋】研究了另外一种推广形式的非线性矩阵方程 x 5 + 4 x 一4 = q ， ( 1 1 2 ) 和 x 。一a x 叫月= q ( 1 1 3 ) 基于不动点理论，在a 为实矩阵，s ，t 为整数且q = ，时，他们给出了方程( 1 1 2 ) ， ( 1 1 3 ) 正定解存在的一些充分和必要条件，并对方程进行了扰动分析，给出了解的 范围及三种迭代方法d usp ，h 0 ujc 【4 9 】从算子的角度研究了方程( 1 1 2 ) 的正定 解，给出了方程存在正定解的充分必要条件是系数矩阵具有某种分解并在a 正 规时，给出了两种迭代方法对方程进行求解d u a nxf ，l i a 0ap 【的】继续研究方程 ( 1 1 2 ) ，利用b r o w e r 不动点定理和b a n a c h 不动点定理，得到了方程( 1 1 2 ) 存在正定 解的一些新的充分条件和必要条件，推广和完善了文【2 8 ，4 8 ，5 1 】的某些结果 一4 一 博士学位论文 2 0 0 8 年，d u a nxf ，l i a oap 等【5 2 】将方程( 1 1 1 ) 进行了推广，对如下形式的 方程 m x 一：a ；x 以a t = q ( 1 1 4 ) t = l 进行了研究，其中o i 盈l 1 基于正规锥上单调算子的不动点定理，证明了该方 程总存在唯一的正定解，并利用多步定常迭代方法对该方程进行了求解h u a n g m j ，h u 蛆gcy ，t s 础tm 嘲利用砌b e r t 投影度量技术和压缩映射原理研究了一 类非线性正算子，得到其存在唯一不动点的条件，并把结果运用到方程( 1 1 4 ) 的一 种特殊情况，即其中蠡= 熹的情形。证明了方程存在唯一正定解随后，l i m y 【5 4 j 利用t h 伽卿度量理论，证明了映射f ( x ) = q + 至1 禽x 氏a 是正定矩阵集上 的严格压缩映射，从而得到方程( 1 1 4 ) 正定解的存在唯一性 上述研究的非线性矩阵方程是具体的2 0 0 1 年，e 1 - s a y e dsm ，砒macm 【5 5 l 开始对这类方程的抽象形式 x + a f ( x ) a = q( 1 1 5 ) 进行研究这里f 是正定矩阵集合上的单调递增连续映射在介f ( q ) a q 的条 件下，利用单调算子的动力学性质，证明了方程( 1 1 5 ) 存在正定解，并给出了方程 存在唯一正定解的充分条件随后，鼬岫缪mcb 酮考虑了在q = ，及映射f 和 系数矩阵a 满足一定条件的情况下，利用b 缸a c h 不动点定理，得到了方程( 1 1 5 ) 在某个区间上存在唯一正定解的充分必要条件2 0 0 9 年，j u n gc ，k 血hm ，l i n l 砂7 】对更一般形式的抽象非线性矩阵方程进行了研究，证明了方程存在着唯一的 正定解 除了上述涉及的非线性矩阵方程之外，二次矩阵方程 a x 2 + b x + c = o ， ( 1 1 6 ) 以及离散和连续的代数c c a t i 方程也得到了许多数值代数专家的关注，成为数值 代数研究的热点课题早在1 8 世纪末，s 姐、，e 8 t e r 就开始对二次多项式矩阵方程 ( 1 1 6 ) 进行了研究并对方程在4 = ，的情形下解的存在性作了深入讨论g u 0x x 删，k 妇hm 【5 9 】，g a 0yh 侧分别在其博士论文中讨论了方程( 1 1 6 ) ，得到了许多 重要结果当a = ，b = 0 时，方程( 1 1 6 ) 转化为矩阵的平方根问题这方面的出 色成果可参见文【6 1 7 9 】而对m c c a t i 方程的研究成果可参见文 5 8 ，6 0 ，8 0 - 8 4 1 由于非线性矩阵方程的应用来源于科学工程计算和物理实验中，这就不可避 免的使得系数矩阵的元素产生误差矩阵方程的扰动分析是研究系数矩阵的微小 扰动对方程解的影响这芦内容成为数值代数又一重要研究领域国内外学者对 非线性矩阵方程扰动分析的主要成果见文【8 5 - 9 5 】 一5 一 若干非线性矩阵方程的理论与算法 1 2 本文的主要内容及创新点 本文系统地研究了如下五类非线性矩阵方程的理论与数值方法 在第二章，我们研究了方程x = q + a ( k o x c ) r a ，其中a 为撕n 阶复 矩阵，q 为礼阶正定矩阵，c 为m n 阶半正定矩阵，o d ) 的求解转化成与其有解性等价的另一个方程求解问题，而转化后的方程的解空间 变成了整个正定矩阵集合构成的集合利用b a n a c h 空间的完备性以及有界序列的 收敛原理证明了原方程存在唯一正定解与文 2 】相比，证明过程得到了简化不 仅如此，本文还将上述r = 一1 的情况作了进一步推广在o 0 0 1 时的情况利用酉矩阵的c s 分解【1 加】技巧，得到了方程存在正定解的一个充分必要条件利用b 姗r 不动点 定理给出了方程存在正定解的几个充分条件和必要条件而且利用标量函数的微 分方法，得到了映射f ( x ) = ，一a 。x 4 在某闭区间为压缩映射的充分必要条件， 从而利用b 她眺压缩原理得到原方程存在唯一正定解的一个充分条件此外，我 们还考虑了系数矩阵a 为正规矩阵的情形，证明了在此情况下方程正定解的存在 性最后对方程进行了扰动分析，给出了方程正定解的范围以及求解方程正定解 的迭代方法数值例子验证了所得结果的正确性 1 3 本文常用的记号 本文常用的记号为： 伊加 全体亿n 阶复矩阵组成的集合 日( 死)全体佗n 阶h e l l 础i a n 矩阵组成的集合 p ( n )全体n n 阶半正定矩阵组成的集合 p ( n )全体t l 仃阶正定矩阵组成的集合 厶钆n 阶单位矩阵 矩阵a 的共轭转置 a - 非奇异方阵a 共轭转置的逆 i l a 0矩阵a 的谱范数 | i a 0 矩阵a 的行和范数 0 a 怙矩阵a 的胁b e n i u s 范数 p ( a )矩阵月的谱半径 a j i f ( a ) ( 入m ( a ) )n n 阶h 鲫咄i a n 矩阵a 的最大( 小) 特征值 仃m ( a ) ( 盯m ( a ) )n 钆阶h e 咖吐乞i a n 矩阵a 的最大( 小) 奇异值 aob 矩阵a ，b 的k r 0 妇积 另外，对于h e 叫t i a n 矩阵x 和y ，文中用x o ( x o ) 表示x 是半正定( 正 定) 的，用x y ( x y ) 表示x y 是半正定的( 正定的) ；用x 【b ，q 表示 一7 一 若干非线性矩阵方程的理论与算法 b x q 用x ( b ，c ) 表示b x c 对于单位矩阵，有时没有注明下标， 可以通过上下文确定其阶数本文中如无特别说明，所指矩阵方程的解都是正定 解 一8 一 博士学位论文 第2 章矩阵方程x = q + a 木( k x c ) r a 的正定解 矩阵方程x = q + ( ，m 固x c ) 1 a 来源于一类插值理论问题1 1 一本章研究 上述方程的推广形式 x = q + a ( kpx g ) r a ，( 2 1 ) 这里r = 一1 或o g ) 内存在唯一的正定解孙在文【8 6 】中对方程的唯一 正定解进行了扰动分析本章对推广后的方程( 2 1 ) 进行讨论，用一种新的比较简 便的方法证明了方程( 2 1 ) 在原有条件下正定解的存在唯一性另外，我们也针对 不同的，i 取值，对方程( 2 1 ) 进行了扰动分析最后对此方程唯一正定解的范围进 行了估计，得到了解的上下界本章假定k q c 2 1 几个引理 引理2 1 1令y = ko x a国= 厶固q qa = 厶圆a ，则方程仁砂与如 下非线性矩阵方程 y = q + a ( koy ) r a( 2 2 ) 的有解性等价而且，若贾是方程俾砂在妒( n ) 内的解，则方程p 砂有一个解 y = ，圆x c p ( 彻) 反之，若y 是方程俾砂的一个正定解，则x = q + a 。y r a 是方程仁j l j 在妒( n ) 内的解 证明方程( 2 1 ) 的两边同时用k 作斯饥e c 后e r 积可得 k 固x k 圆【a ( k x g ) r 刎= k 固q 即 ，mp x c 一( ko ) 【厶o ( kox c ) 】( koa ) = k o q c ( 2 3 ) 把y = kox e国= koq qa = k 圆a 代入( 2 3 ) 式，注意到ko y r = ( koy ) r ，即得( 2 2 ) 因此，若方程( 2 1 ) 在妒( n ) 内有解贾，则方程( 2 2 ) 有解 矿= ，mo 贾一g ；反之，若方程( 2 2 ) 有解矿，我们证明贾= q + p 4 是方程( 2 1 ) 在妒( n ) 内的解显然，贾q ，故k 圆贾 koq g ，即贾妒( n ) 因为 kpx g = ko ( q + 月y ”a ) 一g =k o q c + ( k 圆a ) ( koy ) r ( k 圆a ) = q + a ( koy ) 7 a ， 9 一 若干非线性矩阵方程的理论与算法 又p 是方程( 2 2 ) 的正定解，即囝+ a ( ko 矿) r 五= 矿于是有 i mq 又一c = 零 从而q + a 。( ，mp 贾一c ) 7 a = q + p a = 贾，即贾是方程( 2 1 ) 在妒( n ) 内的解 证毕 引理2 1 2 酬如果a b o ，则当口( o ，1 】时，有a a b a o j 当q 一l ，o ) 时，有b 口a 口 o 有了引理2 1 1 ，我们只需讨论方程( 2 2 ) 的解定义如下映射： ，( x ) = q + a ( kox c ) r 4 ，x 妒( n ) ，( 2 4 ) f ( y ) = 国+ 五( koy ) r a ，y p ( m n ) ( 2 5 ) 映射，与f 在下文分析中将起到重要作用容易看出，映射，在妒( n ) 中的不动点 与f 在p ( 撇) 中的不动点分别为方程( 2 1 ) 与( 2 2 ) 的解记 ，七( x ) = ，【，七一1 ( x ) 1 ，f 七( y ) = f 【p 一1 ( y ) 】，七= 2 ，3 ， 引理2 1 3当r = 一l 时。映射f 有如下性质t ( 1 ) 若k 蚝o ，则f ( k ) f ( m ) q ，j 1 2 ( h ) f 2 ( 蚝) q ( 2 )对w o ，有国f 2 ( y ) f ( 国) ，且映射f 将集合y 旬y f ( 亩) ) 映成自身 ( 3 ) 序列 f 2 七( 亩) ) 是一个单调递增的正定矩阵序列，且收敛于正定矩阵y 一， 即y 一是严的不动点；序列 严七+ 1 ( 国) ) 是一个单调递减的正定矩阵序列，且收敛 于正定矩阵y + ，即y + 也是俨的不动点 ( 4 )映射f 将集合q = y p ( 彻) i y 一y y + ) 映成自身，方程俾剀的 解都在集合j f 2 内特别地，当y 一= y + 时。方程仁剀有唯一解 证明此引理的证明与文【5 5 】中定理2 2 的证明类似，故略去 弓l 理2 1 4令r = 一1 ，叩( t ) t 【l + ，7 ( t ) 】f 2 ( y ) 证明由引理2 1 3 的( 2 ) ，对v y o ，有俨( y ) f ( 国) s 入j i ，f f ( 囝) 】，于是 f 2 ( t y ) 一t 【1 + 刀( t ) 】p ( y ) = 国+ 石。( kpf ( t y ) ) 一1 a t 【1 + 7 ( t ) 】 亩+ a 。( k 固f ( y ) ) 一1 五】 = ( 1 一t ) 亩+ 五【ko ( 国+ t 一1 彳( 厶o y ) 一1 a ) 】一1 a t a ( kof ( y ) ) 一1 4 一亡，7 ( t ) 严( y ) = ( 1 一t ) 国+ t 五【厶 旬+ 五( koy ) 一1 a ) j - 1 五 一t a ( kof ( y ) ) - 1 a 一切( t ) f 2 ( y ) ， 一1 0 一 博士学位论文 由引理2 1 2 可得 陋国+ a ( k 圆y ) 一1 五】一1 【亩+ 五( koy ) 一1 五】一1 ， 故ko 国+ 五( koy ) 一1 a 】1 之ko 【q + a ( k y ) 一1 五】- 1 ， 即 【ko ( t 国+ 石( kpy ) 一1 a ) 】一1 之【ko ( 国+ a ( koy ) 一1 a ) l - 1 因此 t 久 ko ( 国+ 肖( kpy ) 一1 a ) 】一1 五t 五( k f ( y ) ) 一1 五 从而 f 2 ( t y ) 一巩1 + 7 7 ( ) 】俨( y ) ( 1 一t ) 旬一t 7 7 ( ) p ( y ) ( 1 一t ) a m ( 旬) j 一切( t ) a m 【f ( 亩) 】， = ( 1 一t ) 入m ( 亩) j t a m 【f ( 国) 1 ， = 0 即产( t y ) t 1 + 7 ( 亡) 】f 2 ( y ) 证毕 引理2 1 5对呱o ，蚝2o ，有入m ( k ) 砼k ( m ) m 证明对v m o ，圪o ，显然有k 入m ( 蚝) ，入m ( m ) j m ，因此 入j i f ( k ) 蚝a m ( m ) k ( k ) a m ( k ) m 2 2 r = 一1 时方程的正定解及扰动分析 由引理2 1 3 可知，当r = 一1 时，若y + = y 一，则方程( 2 2 ) 存在唯一解，从而 方程( 2 1 ) 的正定解存在唯一在本节最后给出方程( 2 1 ) 的一个扰动结果我们首 先来证明方程( 2 1 ) 正定解的存在唯一性 定理2 2 1矩阵方程俾j ，在t = 一1 时总有唯一的正定解贾，对任意的初始矩阵 凰妒( n ) ，矩阵序列( ，知( 知) 收敛到贾，其中映射，由俾彳，定义 证明由引理2 1 3 可知，存在着矩阵y 一p ( 撇) 与y + p ( 撇) ，使得y + y 一， 且 。f 2 七( 国) = y 一，。l i l nf 2 七十1 ( 国) = y + 露七 下证y 一y + 由引理2 1 5 有y 一啬嗣y + 定义岛= s 婶例y 一t y + ) 则显然 0 岛 + ，我们证明1 假设o o 类似于引理2 1 1 可知方程( 2 7 ) 的有解性等价于如下方程 y = 亩1 + a i ( ，moy ) 一1 a l ( 2 8 ) 的有解性由定理2 2 1 可得方程( 2 7 ) 与( 2 8 ) 有唯一的正定解分别记为墨与m ， 且有 矗= kp 墨一d ， 矗= 亩+ 五哥1 a 容易看出，方程( 2 8 ) 即为方程( 2 2 ) 的扰动方程仍设矿为方程( 2 2 ) 的唯一正定 解则有 矿= 国+ 互( ko 矿) 一1 a ，( 2 9 ) 一1 2 一 博士学位论文 r = ( 国+ 亩) + ( a + a ) ( ，mo 蜀) 一1 ( 互+ 五) ( 2 1 0 ) 结合( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 可得 i l r p i l = i i 国+ 彳 k 固( 哥1 一矿一1 ) 】a + 五。( kp 妨) 一1 五 + a 。( kp 蜀) 一1 互+ 五( k 霸) 一1 a 0 0 国0 + l i a i l 2 i i 哥1 一矿一1 0 + 2 0 a i 川a 洲开1 i i + i l 五1 1 2 0 开1 1 1 又结合p 国，r 国1 可得 且 显然 p - 1 国，开1 国f 1 ， i 野1 一p - 1 0 = l l 开1 ( 穸一r ) p 0 l i 哥1 洲矿- 1j i | i 最一矿0 0 亩_ 1 l i l | 国f 1 i i l i 嗣一p | i 0 互0 = l l koa i l = 0 a i | ，i i a l0 = 0 ko 五i l = 0 a 0 ， i i ko 贾0 = 0 贾0 ，i l a 0 = 0 厶o 4 0 = 0 a l i 故有 | l 霸一p 0 0 国0 + i i a 0 2 0 国一1 川亩f 1 i 靖一矿0 + 2 i i a l l i l a i 亩f 1 0 + i l a i l 2 i | 国f l l i 若 l i a i l 2 i i 亩一1 国f 1 0 o ， ( 2 ) i i a 0 2 i i 国一1 旬f 1 0 o 我们不 难证明由定理2 2 2 中的条件似，可以推导出该条件事实上， koq d = ko ( q + q ) 一( g + g ) = ( k oq c ) + ( ko q 一g ) = 国+ 国 因为亩 o ，亩= ko q 一d o ，故有ko 亩一亏 o 由定理2 2 2 能够看出，当矩阵方程( 2 1 ) 的系数矩阵发生微小变动，即a _ o ，q _ o ，g _ o 时，蜀_ 贾因此，当r = 一1 时，方程( 2 1 ) 的正定解是关于 系数矩阵连续的 2 3 o 1 时方程的正定解及扰动分析 在本节，基于正规锥上单调算子的不动点理论，我们证明方程( 2 1 ) 在o h o ，使得当口z y 时，恒有忙0 i i 即范数 ”0 是半单调的，则称锥p 是正规的 定义2 3 4 删设p 是实b 口他口曲空间e 中的体锥且r ：局_ r 若存在口【o ，1 ) ， 使得 r ( 亡z ) 俨r ( z ) ，v 童r ，o t l ， 则称r 为a 一凹算子；若存在a 【o ，1 ) ，使得 r ( t z ) t a r ( z ) ，、2 r ，o 亡 1 ， 则称r 为( 一一凸算子 引理2 3 1 【9 8 j 设尸是实b 口他n 如空间e 中的正规锥且r ：r r 如果算子r 是 递增且是a 一凹的，或者递减且是( 一口) 一凸的，则算子r 在岛中有唯一的不动点 在全体n 阶h e m m e 矩阵集合日( 他) 中定义谱范数i i 1 l ，则日( n ) 构成一个实的 b a n a c h 空间容易验证全体n 阶h e r 商t e 半正定矩阵集合p ( n ) 是日) 中的一个 锥因此，我们可以在日( n ) 中定义一个偏序，即若x ，y 日( n ) 且y x 尸( n ) 则记x y 因为谱范数是单调的( 即若x y o ，则0 x 0 0 y l | ) 故由定义2 3 3 可知，p ( n ) 是日( n ) 中的一个正规锥 一1 5 若干非线性矩阵方程的理论与算法 定理2 3 1方程俾砂在o i r | 1 时总存在唯一正定解x 妒m ) 证明由引理2 1 1 ，我们首先考虑方程( 2 2 ) 定义 n ( y ) = 国+ a ( koy ) r 互，o ， 1 ，y p ( m 肌) ， ( 2 1 1 ) 尼( y ) = 国+ 互。( koy ) a ，一1 ， o ，y 尸( m n ) ， ( 2 1 2 ) 这里囝= ，moq qa = k 固