（应用数学专业论文）若干类非线性奇异摄动现象的研究.pdf

福建师范大学许国安硕士学位论文 摘要 本文主要运用微分不等式的技巧( 或称为上下解方法) ，在一定条件下证明几类 非缵隍微分方程边值问题( 不带小参数) 解的存在性( 部分内容包括解的唯一性) ，并 在此基础上研究带有小参数的几类奇摄动边值问题，利用边界层函数法，构造了其 高阶渐近解并得到解的一致有效估计本文主要分为四章； 第一章，首先，介绍了奇异摄动理论的背景及前人的一些工作其次，给出上、 下解的概念及n a g u m o 条件，同时给出两个二阶微分不等式的基本结果，及后面会 用到的基本引理 第二章，利用微分不等式技巧，证明了三阶非线性三点边值问题解的存在性及 唯一性，接着运用上述结论，讨论了奇摄动三阶拟线性三点边值问题及三阶半线性 三点边值问题，利用边界层函数法分别构造了其高阶渐近解，并得到渐近解与精确 解的误差估计 第三章，研究具有转向点的二阶拟线性边值问题，在相对弱的条件下证明了解 的存在性并给出了解的一致有效估计，结论可推广到带有多个转向点情形的边值问 题 第四章，处理二阶非缵陆微分方程非线性三点边值问题，利用微分不等式理论 及“打靶法”，证明了解的存在性，并在此基础上讨论奇摄动二阶非线性三点边值 问题，构造了其高阶渐近解及得到解的一致有效估计 关键词：非线性微分方程非线性边值问题 微分不等式转向点奇摄动 僻存在性唯一性 堡塞堡堇奎兰童垦塞堡圭兰堡丝塞 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，b yt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s ，w es t u d yt h ee x i s t e n c e ( o r u n i q u e n e s s lr e s u l t so fs m n e c l a s s e so fb v p ( w i t h o u ts m a l lp a r a m e t e r ) f u r t h e r m o r e ， w ea p p l ys o m eo ft h ee x i s t e n c er e s u l t s ( o ru n i q u e n e s s ) t os i n g u l a rp e r t u r b e db v p w h i c hi n v o l v es m a l lp a r a m e t e r s b yt h em e t h o do fb o u n d a r yl a y e rf u n c t i o n ，w ec o n s t r u c tt h eh i g h e ro r d e ra s y m p t o t i cs o l u t i o na n dg e tt h ee r r o re s t i m a t eo fa s y m p t o t i c s o l u t i o na n de x a c ts o l u t i o nt h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fs i n g u l a r l yp e r t u r b a t i o n t h e o r va n ds o m ei m p o r t a n tr e s u l t so ff o r m e rs c h o l a r sh a v es t u d i e d s e c o n d l y , t h e c o n c e p to fl o w e rs o l u t i o n ，u p p e rs o l u t i o na n dn a g u m oc o n d i t i o n a r es h o w e d ，t w o p r i n c i p a lt h e o r e m so fs e c o n d 、o r d e rd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t ya r ei n t r o d u c e d ，a n ds o m e p r i n c i p a ll e m m a sa r ec i t e dw h i c hw i l lb eu t i l i z e di nt h ef o l l o w e rc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，b yt h et e c h n i c a lo fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y ，w ep r o v et h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nt ot h et h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h i r d o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f u r t h e r m o r e ，b a s e do nf o r m e rr e s u l t s ，w es t u d ys i n g u - l a rp e r t u r b a t i o no ft h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mt ot h i r do r d e rq u a s i l i n e a r d i f f e r e n t i me q u a t i o na n ds e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，c o n s t r u c tt h eh i g h e ro r d e r a s y m p t o t i cs o l u t i o na n dg e tt h ee r r o re s t i m a t eo fa s y m p t o t i cs o l u t i o na n dp e r t u r b e d s o l u t i o n i nc h a p t e r3 ，w es t u d ys i n g u l a r l yp e r t u r b a t i o no fs e c o n do r d e rq u a s i l i n e a rb v p w i t ht u r n i n gp o i n t u n d e rt h ew e a k n e s sc o n d i t i o n ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n t ob v p ，a n dg e tt h ee r r o re s t i m a t eo fs o l u t i o n a n dt h er e s u l to ft h i ss e c t i o nc a nb e e x t e n d e dt ob v pw i t hm u l t i t u r n i n gp o i n t s i nc h a p t e r4 ，b yt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sa n dt h em e t h o do f “s h o o t i n gt a r g e t ”，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nt ot h en o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rs e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n f u r t h e r m o r e ，w es t u d y s i n g u l a rp e r t u r b a t i o no fn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o rs e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f l c r e n t i a le q u a t i o n ，c o n s t r u c tt h eh i g ho r d e ra s y m p t o t i cs o l u t i o n ，a n dg e tt h e e r r o re s t i m a t eo fa s y m p t o t i cs o l u t i o na n de x a c ts o l u t i o n k e y w o r d s ： n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , t u r n i n gp o i n t ，s i n g u l a rp e r t u r b a t i o n ，s o l u t i o n ，e x i s t e n c e ， i i 堡壅堡堡奎兰堡里耋堡圭兰垡丝圣 i i i 福建师范大学许国安硕士学位论文 中文文摘 本文主要运用微分不等式理论，在一定条件下证明几类非线性微分方程边值问 题( 不带小参数) 解的存在性( 部分内容包括解的唯一性) ，并在此基础上研究带有小 参数的几类奇摄动边值问题，利用边界层函数法，构造了其高阶渐近解并得到解的 一致有效估计本文主要分为四章： 第一章，给出上、下解的概念及n a g u m o 条件，同时给出两个二阶微分不等式 的基本结果，及后面会用到的几个基本引理 第二章，在21 中先考虑了三阶非线性三点边值问题t 可删( t ) = ，( ，”，可，掣”( 2 1 ) l ，( n ) = a ，y ( 0 ) = b ，y l ( c ) = c ， 、。 这里n o 0 充分小时，b v p ( 2 2 ) 存在解 y = ( t ，e ) c 3 【a ，c 1 ，满足 j y ( t ，) 一m v ( t ，) jsk s + 1 ， j y l ( ，e ) 一玲( t ，e ) j k e + 1 ， k 为充分大的正数 i v 福建师范大学许国安硕士学位论文 在2 3 中考虑了奇摄动三阶半线性三点边值问题 慨a l 辫v ( o j 篡潞刈吐 s ， i ) = a ( e ) ， ) = b 0 ) ，可( c ) = g ( e ) 、 在2 1 结论的基础上，构造了其高阶渐近解，并得到解的一致有效估计具体结论 如下： 定理2 5 若假设g 1 一g 4 成立，则b v p ( 2 2 1 ) 具有解v o ( r ) ，满足i v o i ，1 ae “，。为某正常数， b v p ( 2 2 2 ) 具有解。( r ) ，满足f f ，f 嵋fs 卢e “一，这里 卢为某一正数，0 0 ，使得对于0 1 + ：时，存在印 0 ，使得对于0 0 ，使得对于 v 福建师范大学许国安硕士学位论文 0 u ：( 亡0 ) ，则当转向点阶数m 掣时，存在e o 0 ， 使得对于0 0 ，使得对于0 1 + 二1 时，存在e o 0 ，使得对于0 se o 时， b v p ( 3 1 ) 存在解= y ( t ，) 满足 y ( ，f ) 一“( ) l ! 西( ，) + 酉( t ，e ) + 琵耳畸面，其中 n ( t ，e ) = 南f 1 0 5 南+ o - 2 i t tz 1 ) 一i 1 ，这里口l = i u j ( 1 ) 一u l ( 1 ) 1 南【i 1 5 舞型】南， 口2 = q 【坚5 舞坐】玎寿可i “j ( t 1 ) 一u ： 。) 卜籍，砸( t ，) = e 南d 3 0 再b + a 4 1 t t 2 1 ) 一；，这里 0 - 3 = ；k ( 。) u k ( t 。) i 南i 避掣】南，( 7 4 = g f 翌拶】杀可j 嵋一u 太( t 。) j 南，e 为 某一充分大的正数 定理37 若假设两一h a 成立，若退化轨道五两是( j 厶) 稳定的，且有 u z 0 ，“：0 ，u 瓷0 ，及吒( 1 ) 0 ，使得对于0 u ：( t ) ，让；( 2 ) 1 正，凡( t 2 ) ，则当转向点阶数 i i ) i ，i i i , 2 学时，存在e 【】 0 ，使得对于0 o 时， b v p ( 3 1 ) 存在解 y = ( ，e ) 满足一n ( t ，e ) 一面( t ，e ) 一匹布( ，e ) 一u ( ) s0 ，其中面( t ，) ，丽( t ，) 福建师范大学许国安硕士学位论文 与定理3 7 一致 第四章，先研究二阶非线性微分方程非线性三点边值问题： y ”( 。) 2 坤m ，) 。 。 i 【( n ) ，y l ( n ) ，g ( 6 ) = 0 ，9 【”( 6 ) ，( c ) ，y l ( c ) = 0 ， 、7 在一定条件下证明了解的存在性( 见4 1 h 1 一风) 然后在此基础上研究奇摄动二 阶非线性微分方程非线性三点边值问题： 蒜嬲甚磊 g y r如吐y ( c 一( c i 吐扣g ， ( 4 s ) 【 恒( n ，) ，( 。，e ) ，e - a ( e ) ，b ( 6 ，e ) ， ，) ，( c ，) ，】= g ( ) ， 、。 构造了其高阶渐近解，并得到了其解的一致有效估计具体结论如下： 定理41 若假设h 1 一b 成立，则边值问题： j ”( 。) = 巾m g ，) ，。 仲m a 妒x 一蚓m 叫i n )上丽 仲，q 俐一蚓叫。【f ) 这里a ( b a ) = m a x 1 n ( n ) 一卢( 6 ) i ，1 d ( b ) 口( n ) 1 注1 ：n a g u m o 条件的满足，保证了微分方程边值问题的解族的紧性 引理1 1 ( j a c k s o n 6 , t h i n 7 3 】) 如果f ( t ，z ，z ) 连续，存在满足( 1 3 ) ，( 1 4 ) 的上 下解，同时关于d ( ) ，卢( t ) 满足n a g u m o 条件，则当n ( o ) sa 卢( o ) ；a ( b ) b 卢( b ) 时，边值问题( 11 ) ，( 1 2 ) 有解x ( t ) c 2 【n ，6 1 且满足估计o ( t ) x ( t ) 卢( t ) 引理1 1 可以被推广为 引理1 2 ( f a h o w e s 【7 , t h i n 2 2 】) 若函数f ( t ，。，z 7 ) 在【a ，6 1xr 2 上连续，且 满足：f ( t ，z ，z 7 ) = o ( i x 个) 当z 7 一o 。，同时存在分段c 2 的连续函数a ( t ) 及卢( t ) ， 即对于区间【n ，6 1 的有限分划o = t o t l t i 一1 “ 0 ( f ( t ，) o ) 定义1 5 ：退化问题( 1 8 ) 的解u = u r ( t ) 在【a , b 】中是强( 弱) 稳定的，如果存 在某一正常数k ，使得在d ( u r ) 中，( t ，y ) - k 0 ( f ( t ，y ) so ) 4 里! 塞丝丝 一 = j = e = = = = = ；= 目；= ；= = = ；= = = = = 一 引理1 3 ( a s c o l i a r z e l a 定理) 【5 0 】 致有界且同等连续的函数族，则从f 子序列 ( t ) ) ，m = 1 ，2 ，) 设f = ，( t ) ) 是定义在o t b 上的一 中必可选取一个在o t b 上的一致收敛的 福建师范大学许国安硕士学位论文 第2 章三阶微分方程三点边值问题及奇摄动 关于三阶微分方程二点、三点边值问题已有很多学者作了一系列研究 4 1 - 4 3 ， 三阶奇摄动二点边值问题也有一系列的结果 4 4 , 4 5 】，但关于三阶奇摄动三点边值问题 的研究还很少见本章先考虑三阶微分方程三点边值问题( b v p ) ： j ( ) 2 坤，y ，y l , y ” 【y l ( ) = a ，y ( o ) = b ，y r ( c ) = c ， 、 这里n 0 c ，利用微分不等式的技巧，证明了在一定条件下b v p ( 2 1 ) 解的存在 性及唯一性，并在此基础上研究奇摄动三阶拟线性三点边值问题 e y = 巾幽y 铀”+ g ( t ，y ，y 7 【y l ( o ，) = a ( ) ，y ( o ，) = b ( e ) ，y l ( c ：e ) = e ( ) ， 、 及奇摄动三阶半线性三点边值问题 is 2 y = f ( t ，y 1 ) ，n z 置筠删一吼m i n d a 协 6 第2 章三阶微分方程三点边值问题及奇摄动 定理2 1 若假设日l ，如成立，则( b v p ) ( 2 1 ) 存在解( t ) c 3 a ，c 】，满足 n m ) 矿( ) ( t ) ，t e a ，c 】，并且当t e a ，0 】时，p ( ) sy ( t ) 墨o ( ) ；当te o ，e 】时， ( y ( t ) y ( t ) p ( t ) 证明：该证明主要分为三部分t 第一部分：通过构造g r e e n 函数 c ( t ，s ) = 0 t s c o s t c a s t 0 a t 0 ，并有i “( t ) 一如( t ) j5m ，这里t e 【口，c j ，因 l a , c l 而有且仅有下列两种情形； ( 1 ) ：存在点t o 【n ，c l 使得u i ( t o ) 一必( t o ) = 肘； 7 蚤一 福建师范大学许国安硕士学位论文 ( 2 ) ：存在点t o a ，c ，使得y i ( t o ) 一y ；( t o ) = 一m 对于情形( 1 ) ，即m 是“( t ) 一必( t ) 在【a ，c 】上的正最大值因而一方面有y g ( t o ) = g ；( t o ) ，”? ( t o ) g ；，( t o ) ；但另一方面，由于在【a l c 】上，i i ( t ) 一醍( t ) ism ，从而 f y l ( t ) 一( ) i i 片i i ( s ) 一；( s ) i d s l m i t i m m a x - a ，0 ，这样就有 ，( t o ) 一；( t o ) = i t o ，y l ( t o ) ，；( t o ) ，y g ( t o ) 】一f t o ，y 2 ( t o ) ，必( t o ) ，；( t o ) 】 = 矗 t o ，q ，g ：( 如) 1 m + 凡p o ，q ，”：( 如) 1 b l ( t ) 一9 2 ( ) 】 m 厶，【t o ，”，y t ( t o ) 】一l 丘 如，f ，q ，? ( o ) l m a x 一a ，c ) ) 0 f 介于y l ( ) 与y 2 ( t ) 之间， 介于y i ( t o ) 与y ：( t o ) 之间这就与”? ( t o ) s 皑( t o ) 产 生矛盾 同理可证，情形( 2 ) 也会产生矛盾定理证明结束 2 2 奇摄动三阶拟线性三点边值问题 我们接下来研究奇摄动三阶拟线性三点边值问题( 2 2 ) ，先作如下假设； 一h i ：退化问题 if ( t ，y o ，) 蚶+ g ( t ，y o ，) = 0 ， iy o ( o ，0 ) = b ( o ) ，蜘( c ，0 ) = g ( o ) 有解y o = y o ( t ，0 ) c 3a ，c 】，设d ( t ) 为正的连续函数，6 a ( t ) d + i ( n ，0 ) - a ( 0 ) i ， 且d ( t ) = 占+ i 可j 。6 0 一a 。it t e a 血, + a + 瓦i ，这里6 。为适当，j 、的正数 令西= “t ，y ，y 1 ) l a t c ，i y y o ( t ，o ) i 5 ，【y 一i 、t ，o ) l d 0 ) ) 面：f ( t ，y ，g ，) ) g ( t ，y ，y ) 在西上n + 2 阶连续可微。且a ( ) ，b ( o ，g ( e ) g ”+ 1 【o ，o ) 令a ( ) = p + 0 扛n + 1 ) ，b ( e ) = e6 。扩+ 0 忙”+ 1 ) ，c ( s ) = e 扩+ d ( e + 1 ) ， 且a o = a ( o ) ，b o = b ( o ) ，c o = e ( o ) h 3 ：f ( t ，y ，y ) - l o ，p o ( 2 9 ) 式可改写为 。警：e 。巾，y ，y ，。n , j , 万d 2 v n + 【，( t y ，玲) 一，( t ，) 】嘴 + ，蹋) 一m u n ，) 】+ d ( e ”+ 1 ) 令h ( t ，y ，y ) = f ( t ，y ，) + 9 ( t ，y ，y 气则 毗y ，k ) 一h ( t ，u n ，) = h ( a , u o ( n ) ，u + ”：) 一h ( a , u o ( 。) ，u ) + 。e k p + 。( 。+ t ) ，厶= 笙止血兰d 唔高垫蚓1 。- 0 由中值定理可知当 g 福建师范大学许国安硕士学位论文 l o i ，m 卜j ”。i ，i u ：lsa ( r ) e “7 ，就有i 厶i b ( r ) e - k ? ( 0 ) 其中a ( r ) ，b ( r ) 为 系数非负的r 的多项式 比较( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 中同次幂的系数可得 l 砖7 = ，竺。( n ) ，“；( n ) + 喵) 喵( 2 1 1 ) 【( o ) a o a o u 6 ( o ) 、 慨盂筹a 掣芝秽h 协切 【”：( o ) = 。= o 。一u ：( o ) 、 这里k ；是由t v o ，v n - 1 ，v o ，嵋- 瑶，”：一。所组成的，也具有厶相同的性质 定理2 3 若假设瓦一瓦成立，则b v p ( 2 1 1 ) 具有解咖( r ) ，满足l u o i ，m i ，i 喵l a e “7 ，a 为某一正常数，b v p ( 2 1 2 ) 存在解( r ) ，满足i 。1 ，i 嵋1 ，i 碟i a 。( r ) e “7 ， 这里a 。( r ) 是关于r 的系数为非负的多项式 证明令u j = z o ，则( 2 1 1 ) 化为 错= f ( a ，u o ( a ) ，“：( 回+ 翔) ， z o ( o ) = 压 容易验证a ( r ) = 一i w o l e 。7 ，卢( r ) = i 压i e “7 是边值问题 茹z o ( i o ! 筹a oz o ( l t 掣0 托。簟 瑚 【) = ，) =， 、。 的下解与上解，这里t = 2 因此由引理1 1 得，上述边值问题必存在解z o c 3a ，c 】满足i 知( r ) l l 石| e 一“晶( r ) = d le 石，( 一。( 。) ，“6 ( 。) + 。( 8 ) 冲，因而j ( r ) l i a l e 。7 ，另一方面，v o = 辱z o ( r ) d r ，从而1 ) 0 ，u ；也具有负指数型 下面用数学归纳法证明定理的后半部分 显然当n = 0 时结论成立 假设0 0 为充分大的正常数 令瓦( z ，y ，2 ) = ，( z ，y ，z ) 瑙+ g ( x ，y ，2 ) ，为了进行解的误差估计。我们作如下假 设； 一h 5 ：瓦( z ，y ，z ) 一l 瓦( z ，y ，z ) i m “ 一n ，c ) p o ，( z ，y ，z ) 百，这里p 是某一 正常数 定理2 4若假设两瓦成立，则当e o 充分小时，s v p ( 2 2 ) 存在解 y = ( t ，e ) c 3 【o ，c l ，满足 l 掣( t ，) 一 ，( t ，) l k e 。+ 1 ，i 可( t ，e ) 一磁( t ，5 ) is k e + 1 ， k 为充分大的正数 证明构造界定函数： o ( ，e ) = y h ( t ，e ) 一k t e + 1 + b 扛) 一y ( o ，e ) ， 卢( t ，) = y - ( t ，) + 七掂。+ 1 + b ( e ) 一】勺( 0 ，) ， k 0 为某一正数然后有 q 心，e ) ：玲( ，e ) 一艇”，y ( t ，e ) = 玲( ，) + 艇+ 1 和r ，( t ，e ) y ( t ，) ， n ( o ) = p ( o ) = b ( ) 同时：e 卢一，0 ，y ，卢) 卢”一g o ，y ，p ) = 瓒一，( ，y ，玲) 瑙一g ( ，y ，玲) + ”，珞，玲i ，t ! + f ( t ，磁) 一 福建师范大学许国安硕士学位论文 s ( t y ，f ) 1 3 “一g ( t ，y ，、 i 0 e n + 1 + 元0 ，y h ，玲) 一元0 ，y ，p ) 7 0 e + 1 + i g ( t ，】儡) i 陋m a x 一n ，c ) + 1 + r o e + 1 】一g ( t ，y ，町) k + 1 f 介于y 与y k 之间，q 介于 与卢之间 由7 i ，当k 上苎生譬l 一时，有e ，( z ，y ，) 卢”+ 口( e y ，卢) 同理可证 o 芝s ( t ，y ，a ) + 口( ，y ，n ，) 所以o ( t ，) ，z ( t ，) 分别是 b v p ( 2 2 ) 的下解与上解同时可验证 无( z ，y ，z ) 满足也 故由定理2 1 得b v p ( 2 2 ) 存在唯一解y = v ( t ，e ) c 3 【o ，c ，满足 l y ( t ，e ) 一y n ( t ，e ) i k e + 1 ， i ( t ，e ) 一y , ( t ，e ) i s ”+ 1 ， k 为充分大的正数 2 3 奇摄动三阶半线性三点边值问题 接下来研究奇摄动三阶半线性三点边值问题b v p ( 2 3 ) ，作如下假设： g l ：设退化问题 s ( t ，y o ，玩) = 0 ， v o ( o ) = b ( o ) ， 有解丽= 而( t ，o ) c a a ，c 】，设丽为正的连续函数，6 i 丙m a x i 耐( a ) 一 i6 + i 耐( o ) 一a ( o ) it 【o ，o + 匀 a ( 0 ) i ，l 菇( c ) 一c ( 0 ) 1 ) + j 且i 两= 5 t b + 6 ，c 一卅，这里 i6 + l 耐( c ) 一g ( o ) 【t 【c 一 ，c 】 0 0 ，( t ，y ，y ) n g 4 ：凡，( t ，y ，y ) 一i h ( t ，y ，引m a x 一a ，c ) h 0 ，( t ，y ，y 7 ) n 设n 阶近似的外解展开式为u n = “。p ，要求满足： n = 0 e 2 础t h = s ( t ，) + 0 ( 。+ 1 ) ， ( 2 1 5 ) 1 2 堑! 塞三堕丝坌查堡三塞望堡堡里墨童塑丝一 ( o ) = b ( e ) + o ( e 1 ) ， ( 2 1 6 ) 其中f ( t ，) = f ( t ，u o ，u ；) + 墨r p + o ( “ r ：缸( t ，u o ，u ：) u ：+ 凡( t ，u o ，u ；) u 。+ 瓦，这里耳由t ，u i ，o = 0 ，1 ，n 一1 ) 组成，鬲= 0 把f 代入( 2 1 5 ) ，( 21 6 ) ，并比较e 同次幂系数得 j f ( t ，u o ，嵋) 2o ， ( 2 1 7 ) 【u d 0 ) = b o 肿，u t 撼+ 讹u 俨挑5 “靠z r( 2 1 8 ) 【u n ( o ) 2b n 由( 2 1 7 ) 可知u o ：丽( ) ，并由( 2 1 8 ) 可逐步唯一地确定出“n c 3a ，c 】，。 l 1 设在t = a 处的n 阶近似内解展开式为v k = e v n ( r ) e ”1 ，r = 宁 令7 哥= u n + v ，要求满足 e 2 - - j _ 1 ”= 仲，巧，巧) + o ( e “+ 1 ) 可- ，( n ) = a ( ) + o ( “) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 1 9 ) 经过变换得5 一- g = ，( t ，7 百，可_ ，) 一，( t ，u ，) + o ( e + 1 ) 巾，巧，西) 一f ( t ，u n ，) = ，( n ，“。( n ) ，u ：( 。) + ”；) 一f ( a , u o ( o ) ，嵋( o ) ) + 至厶扩+ o ( + 1 ) ，厶：o n f ( t , ? n n , y i n 。 ) 。- f ( t , u n , u n ) i 。 厶为形如1 n ! ( m 1 1 ) ! ( 竹b 一1 ) ! r i g n k ! r ，i 批【0 ，u o ( 口) ，札a ( o ) + u 副( m 一1 + “m 。) ( ”m ，一l + u m ，) ( u ：。+ 扎：。) ( + u ) 一，i 批( o ，让o ( o ) ，t 上；( n ) ) u m - u q 西= ) 的项之和，这些项可能重复出现。由中值定理可知，当i v o l ，i u 6 l i v i ，i v l a f r l e k r 时，就有i 厶i 曼b ( r ) e 一r ( o ) ，其中 ( r ) ，b ( r ) 为系数非负的r 的多 项式 比较( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) 同次幂的系数得 fv g ，- f ( a ，u o ( o ) ，u ；( n ) +