（应用数学专业论文）扩展双曲函数法与非线性方程的精确解.pdf

摘要 本文对双曲正切函数法及s i n e c o s i n e 方法，扩展t a n h 函数法，j a c o b i 椭 圆函数展开法，f 一展开法等一些主要的双曲函数方法及其扩展进行了系统 的归纳与总结，揭示了双曲函数法的构造思想与技巧。在此基础上，研究 了一些具有重要意义的非线性数学物理方程。首先，通过寻找一些变换， 把s i n e - g o r d o n 方程。t z i t z e l 一d d 砌一b u l l o u g h 方程，d d d d b u u o u g h m i k h a i l o v 方程，l i o u v i l l e 方程，及广义的长短波方程进彳亍化简然后利用尚亚 东最近提出的扩展双曲函数法，获得这些非线性方程的具一般形式的精确 解。这些解包括全新的孤立波解、奇异行波解和周期波解 关键词 非线性方程：扩展双曲函数法；r i c c a t i 方程；耦合r i c c a t i 方 程；精确解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , h y p e r b o l i ct a n g e n tf u n c t i o nm e t h o da n di t ss o r t i ee x t e n s i o n ss u c h a ss i n e - c o s i n em e t h o d e x t e n d e dt a n hm e t h o d , f - e x p a n s i o nm e t h o da n dj a c o b ie i l i p - t i cf u n c t i o nm e t h o da r es u m m a r i z e d 。t h ei d e aa n dt e c h n i q u eo fh y p e r b o l i cf u n c t i o n m e t h o da l ee x p l o r e d b a s e do nt h es t u d i e s ，s o m ei m p o r t a n tn o n l i n e a rm a t h e m a t - i c a lp h y s i c se q u a t i o n sa r es t u d i e d f i r s t l y , s i n e g o r d o ne q u a t i o n ，t z i t z e i c a - d o d d - b u l l o u g he q u a t i o n ，d o d d b u l l o u g h m i k h a i l o ve q u a t i o n 。l i o u v i l l ee q u a t i o n ，a n da g e n e r a l i z e dl o n g s h o r tw a v ee q u a t i o na r er e d u c e db ys o m e t r a n s f o r m a t i o n s a n dt h e n t h ee x a c ts o l u t i o n so ft h e s ee q u a t i o n sw i l hm o r eg e n e r a lf o r ma o l 埘n c db yu s i n g t h ee x t e n d e dh y p e r b o l i cf u n c t i o nm e t h o dp r o p o s e dr e c e n t l yb ys h a n g t h e s es o l u t i o m i n c l u d es o i n ee n t i r e l yn e ws o l i t a r yw a v es o l u t i o n s , s i n g u l a rt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s , a n d p e r i o d i ct r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s k e y w o r d s n o n l i n e a re q u a t i o n ；e x t e n d e dh y p e r h o f i cf u n c t i o nm e t h o d ；r i c c a f i e q u a t i o n ；c o u p l e dr i c c a t ie q u a t i o n ；e x a c t s o l u t i o n 一一 广州大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担。 学位论文作者签名：捌啼日期莎呷年占月驴日 广州大学学位论文版权使用授权书 本人授权广州大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 广州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文柘者签名：易喇啼日期：j 唧年g 月驴日 导师签名：挪日期：哆年月g 日 第1 章绪论 非线性科学是现代科学的核心，在自然科学中许多现象，如孤波、混 沌、吸引子、分形和逆序结构等都是非线性问题。非线性可以产生一些本质 上全新的现象。而这些现象不可能由线性化模型出发的微扰理论得到，用非 线性化模型来研究客观世界是科学发展的必然。 非线性科学的许多问题都可以归结为求解非线性偏微分方程( 组) 的问 题。非线性偏微分方程( 组) 精确解的研究在理论和应用上具有重要的价值， 因为精确解可以定量地描述非线性偏微分方程( 组) 的许多重要性质，能比较 满意地解释过去很多不能解释的现象；精确解可用来鉴别数值方法和近似方 法的良好与否，利用精确解人们可以验证在相同控制参数条件下得到的数值 解的可靠性，能为重大工程的安全设计提供参考依据和指导作用。因此，非 线性偏微分方程( 组) 的精确求解及其解法研究，一直是近几十年来非线性科 学研究中极为重要和最为活跃的前沿课题和热点问题。 英国物理学家r u s s e l l 于1 8 3 4 年最早发现孤立子现象。限于当时的数学理 论和科学水平，r u s s e l l 无法从理论上给予这种现象以圆满的解释。从那以 后，许多人都尝试通过建立其数学模型从理论上来解释这种现象，但一直末 获成功。1 8 9 5 年，k o r t e w e g 并4 他的学生d ev r i e s 3 0 建立了这一模型，即现 在著名的k d y 方程，尉y 方程的解较好地描述了孤立波现象。 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 在研究基本粒子模型时，对s i n e g o r d o n 方 程做了数值解，结果表明：这个方程产生的孤立波也不散开，即使碰撞后 两个孤立波仍保持原有的形状和速度。这是从未遇到过的奇特现象。1 9 6 5 年，z a b u s k y 等对k d v 方程解做数值模拟，也发现了这种出奇稳定的孤立 波，并命名这种孤立波为孤立子( s o l i t a n ) 这就成了近半个多世纪的精确解 研究的动力和热点问题之一。 随着孤立子问题研究的深入和发展，一大批具有孤立子解的非线性发展 方程已在生物学，光学；天文学，物理学的各个分支等领域中出现，因而对 这些非线性方程及其精确解的研究具有重要的理论研究和实际应用价值 一1 一 广州大学理学硕士学位论文 1 1 非线性偏微分方程的精确解发展情况 非线性偏微分方程( 组) 的精确解在理论和应用上具有重要的价值，这 些解可以很好地解释各种自然现象，例如振动、传播波以及孤立子等。 自从较为一般的反散射方法问世以来，非线性偏微分方程( 组) 的精确求 解及其解法研究逐渐成为一个十分活跃的领域。经过多年不断的努力， 数学家和物理学家发现了一系列构造精确解的有效方法，如反散射方 法，d a r b o u x 变换，b a c k l u n d 变换，h i r o t a 方法，分离变量法，变系数均衡 作用法，p a i n l e v e 分析，l i e 群方法等等。各种求解方法的出现不仅使过去难 以求解的方程得到解决，而且具有重要物理意义的新解不断的被发现，出现了 一个层出不穷的势头 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a z ，m i u r a ( 简称g g k m ) 【2 3 】发现 了k d v 方程的反散射法，利用量子力学中的s c h r o d i n g e r 方程特征值问 题( 正散射问题) 及其反问题( 反散射问题) 之问的关系，通过求解g e l 加n d l e v i t a n m a r c k e n k o 线性积分方程而给出k d v 方程初值问题的解。随 后，l a x 3 1 推广并提高了g g k m 的上述方法，使之能够用于求解其它非 线性偏微分方程，从而逐步形成种比较系统的求解非线性偏微分方程 的方法。1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 【5 l 】将这一方法进行了本质的推广，求 出了高阶k d v 方程，立方非线性s c h r o d i n g e r 方程等的精确解a l o w i t z 等 人【8 ，9 , 1 0 】则将反散射法推广到更一般的情况 与此同时，古老的数学方法b a c k l u 以变换获得新生并发展。 由b a c k l u n d 变换引出的非线性叠加原理将非线性方程的求解问题归结为 纯代数运算，可由已知解叠代得到新解。 1 9 7 1 年，h i r o t a 2 6 提出双线性变换法( 也q h i r o t a 方法) ，它是构造 非线性偏微分方程一孤子解及其b a c k l u n d 变换的一种重要而直接的方 法 2 7 ，2 8 ，2 9 。 1 9 7 5 年，w a h l q u i t 和e s t a b r o o k 【4 1 】提出延拓结构法，以外微分形式为工 具，给出寻找与反散射法相联系的线性特征值问题的系统的方法。 1 9 9 5 年，王明亮等人 4 0 , 4 1 ，4 2 基于非齐次项与最高阶导数项平衡的原 则，将非线性偏微分方程齐次化，线性化，提出了齐次平衡法。随后，范恩 贵等人【2 l 2 3 对齐次平衡法做了多方面的推广，给出了非线性偏微分方程的 多孤子解，相似约化，和非孤波解等的直接方法。z h a n g 等人 5 3 , 5 5 进一步 将齐次平衡法推广到更一般的情形，进一步扩大了齐次平衡法的应用范围 一2 一 1 9 9 2 年，m a l f l i e t 3 6 通过先验地假设非线性偏微分方程的解为双曲 正切函数的组合，从而提出了双曲正切函数展开法。1 9 9 6 年，y a n 1 2 】基 于双曲函数方法的构造思想，提出s i n e c o s i n e 方法。2 0 0 0 年，范恩 贵等【1 8 ，1 9 1 用r c a t t i 方程的特解代替双曲正切函数，获得了新的精确 解。2 0 0 2 年，a e l w a 舰f 等在r i c c n t i 方程方法的基础上提出了改良的扩展 的双曲正切函数方法( m e t f ) 3 8 。 2 0 0 0 年，张桂戍，李志斌【5 】基于双曲正切函数方法思想，利用耦合 的觑c a t t i 方程，提出了一种求解非线性波动方程精确解的双曲函数方法。范 恩贵，尚亚东等许多人 2 0 , 4 4 。3 5 ，1 7 1 对双曲函数法进行了多方面的推广，提出 了双曲函数法的各种扩展形式。 2 0 0 1 年，l u 等人【2 1 】提出了雅可比椭圆函数展开法，求出了许多非线性 偏微分方程的双周期解。p a r k e s 和砒，乃【3 7 】进一步补充和完善了雅可比椭 圆函数展开法，c h e n 等许多人 1 3 ，3 4 ，2 2 ，3 3 1 对雅可比椭圆函数展开法进行了 各种推广和扩展。2 0 0 3 年，z h a n g 等人 5 6 , 4 3 在全面总结双曲正切函数展开 法、雅可比椭圆函数展开法等许多方法的基础上，提出了f - 函数展开法。它 包括了双曲正切函数展开法、雅可比椭圆函数展开法等许多方法。y o m b a 等 人 5 0 , 3 2 。5 4 对f 函数展开法进行了推广和扩展。2 0 0 5 年，y a h 等人【4 8 ，1 4 提 出了s i n e g o r d o n 方程展开法。最近，尚亚东f 4 5 】基于双曲函数法的构造思 想与构造方法，对含参数的耦合l 锐c c a t i 方程的特解形式进行了更一般的假 设。对双曲函数法进行了更进一步的扩展现在，仍不断有许多新的方法被提 出 萝 除了上述比较系统的有效求解方法外，还有其它多种方法，如相似解 方法，p a i n l e v e 截尾展开法，c l a r k s o n k r u s k a l 约化方法( 简称c k 直接方 法) ，及其它积分或变换方法等 总之，如前所述，非线性方程求解方法各种各样，目前尚无一本专著能 够论述精确解的所有方法。各种方法的研究不断推动着非线性发展方程求解 方法与技巧的发展，新的求解方法不断出现。 1 2 本文的研究目的和主要内容 随着双曲函数法的更新与改良，双曲函数法己广泛应用于非线性方程的 求解。特别是近几年来的f 一展开法，椭圆函数法，s e c t a n h 方法等都可以 认为是这种方法的推广应用。 一一 广州大学理学硕士学位论文 本文对双曲正切函数法及s i n e c o s i n e 方法，扩展t a n h 函数法，f 一展 开法，j a c o b i 椭圆函数展开法等一些主要的扩展双曲函数方法进行了系统的 归纳与总结，揭示了双曲函数法的构造思想与技巧。在此基础上，研究了 一些具有重要意义的非线性方程。通过寻找一些变换，把s i 钟一g o r d o n 方 程，t z i t z e i c a d o d d b u l l o u g h 方程，d o d d b u l l o u g h m i k h a i l o v 方程 及l i o u v i u e 方程等一些特殊形式的或耦合的非线性方程进行化简，然后利用 尚亚东最近提出的扩展双曲函数法，对含参数的耦合r i c c a t i 方程的特解的进 行更一般的假设，获得这些非线性方程的更具一般形式的和新的孤波解，周 期解等精确解。 一4 一 第2 章双曲正切函数法及其推广 1 9 9 2 年，m a l f l i e t 3 6 通过先验地假设非线性偏微分方程的解为双曲正 切函数的组合，提出了双曲正切函数展开法。随着方法的不断发展与完 善，双曲函数法已经成为求行波解的基本方法之一。s i n e c o s i n e 方法，扩 展t a n h 函数法，f 一展开法、j a c o b 椭圆函数展开法等都可以认为是这种方法 的推广应用本章着重对这些扩展双曲函数法进行归纳与总结 2 1t a n h 函数法 在直接构造非线性发展方程的精确解的众多方法中，t a n h 函数法是非常 有效的方法之一。双曲正切函数法是建立在多数的非线性演化方程的孤立波 都具有双曲正切函数形式的基础上的。这一方法的出发点就是寻找可表示 为t a n h 函数的多项式形式的解。现在简单介绍双曲正切函数法的主要步骤： 一，通常假设非线性方程的一般形式为 尸m ，讹，锄，t ，) = 0 ( 2 - 1 ) 二、为求行波解，令“( $ ，t ) = 缸( 成) ，其中= 茁一c t 。并且可以知道 瓦0 = 一掣砺d ，岳= p 面d ，昙= 矿嘉 ( 2 2 ) 瓦2 一掣砺，瓦。p 面，丽2 旷刃 z 吐 则利用这些变换可以把方程( 2 一1 ) 约化为方程 q ( 牡，以，) = 0 三、我们假设方程( 2 3 ) 具有下列形式的解 且满足，一1 一，2 ，= t a n h ( 喏) 一5 一 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 广 口 m ：l = 让 厂州大学理学碗士学位论文 四、解的阶数m 通过平衡非线性的d d e 方程的最高阶微分项和和非线 性项的阶数确定。 五、代( 2 _ 4 ) 到( 2 3 ) ，得到关于，的代数多项式，由此得到一组关于参 数啦，p ，c 的非线性代数方程组求解该方程组，可得方程( 2 - 1 ) 的精确解 2 2s i n e c o s i n e 方法 1 9 9 6 年，y a n 1 2 对双曲正切函数法作了一定的改进，提出如下的假设 m 仳( f ) = 耐一1 u ( f ) 如u ( f ) + 晟嘲u ( ) 】+ 山( 2 - 5 ) ；0 并且新的变量u = u ( f ) 满足 d w 面2 眦u ( 2 - 0 闰振亚等对此进行了推广，提出t s i n h c o s h 方法。即将( 2 - 6 ) 中 的s i n w 换成s i n h 0 或c 0 8 h ，。 2 3r i c a t t i 方程方法 2 0 0 0 年，尚亚东脚】在 y i ：1 一护( 2 - 7 ) 的基础上，提出了用 y ，= ( 1 一妒) ，y ，= s ( 1 + y 口) ( 2 - 8 ) 的解代替双衄正切函数，其中，= 4 - 1 ，并用此方法得到了一些非线性方程 新的显式精确解。同年，范恩贵【1 8 】等用r i e a t t i 方程： = b + u 2 6 一 第2 章双曲正切函数法及其推广 的特解来代替双曲正切函数，获得了一些方程的新精确解。 2 0 0 2 年，a e l w a k i l 3 8 等在r i c c a t i 方程方法的基础上提出了改良的扩 展的双曲正切函数方法( m e t f ) 。在这里，a e l w a k i u 对t g ) 的表现形式 进行了改良令 m 乱德) = n o + k 妒( o + 岛( ) 一】 ( 2 - 1 0 ) i f f i l 其中，= 1 + 矿 2 0 0 2 年，范恩贵 2 0 l 对r i c c a t i 方程进行了推广，用r i c c a t i 方程更一般的形 式 = 5 取代正切函数，获得了一些非线性方程更多的显式精确解。 2 4 耦合r i c a t t i 方程展开法 ( 2 1 1 ) 2 0 0 1 年，李志斌，姚若侠【4 1 假设行波约化所得的非线性o d e 的解钍= 笛啦，+ 兰l 吻g ，其中，9 满足耦合的崩耐i 方程组 ，= 一k f g ，9 ，= k ( 1 一9 2 ) ( 2 - 1 2 ) 其中k 为非零常数。容易检验方程组有如下两组特殊解 f = 4 - s e c h ( k z ) ，g = t a n h ( k z ) f = ：l ：c s c h ( k z ) ，g = c o t h ( k z ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 1 这两组解分别满足关系9 2 = 1 一，2 和9 2 = 1 + ，2 2 0 0 0 年，张桂戍、李志斌、段一士【5 】基于双曲正切函数方法，利用耦合 的r i c n t t i 方程，提出了一种求解非线性波动方程精确解的双曲函数方法。它 主要是充分利用含参数的耦合r i c c a t i 方程的解，并用这些解来替换双曲正切 一呷一 广州大学理学硕士学位论文 函数法中的双曲正切函数，将非线性偏微分方程化为一个非线性代数方程 组，从而构造非线性偏微分方程的多重行波解。通过引入两个基本孤波函 数，( ) ，9 ( ) 瓜) = 丽1 g ( 0 - - 磊s i 晤n h 再 其中r 为任意常数，且，g 满足耦合的威o t i 方程： ，嬉) = 一，代冶g ) ，代) = 1 一矿( f ) 一r ，健) 矿= 1 2 r f ( 毒) + ( r 2 1 ) f 2 ( f ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) ( 2 1 5 ) 进一步假设所得非线性d d 刀的解乜= 盘啦，+ 兰1 吩，g ，即可求得非 线性波动方程的孤波解。 1 9 9 2 年，c o n t er o b e r t 1 5 首先提出了投射r i c e a t i 方程方法，用这种 方法得到了l p d e 的许多新的孤波解这种方法在求解时，设 夕为投 射r i c e a t i 方程的特解 熊) = 丽k ( 2 - 1 9 ) g ( 0f f i 而s i n h f( 2 伽 且满足 ，( f ) = 一f ( o g ( o ， ，健) = 1 一矿( f ) 一尝，( o ( 2 - 2 1 ) 两1 一尝) 2 一南= 。 ( 2 - 2 2 ) 2 0 0 3 ：自e ：z h e n y ay n n 4 7 1 拯小了事一船的将射胁 艇青但育洼柚 一3 一 的方法关键在于把( 2 - 2 1 ) 式扩展成为更一般的形式( 2 - 2 3 ) ，代) = s ，德扫( f ) ，矿( ) = r + e 矿( ) 一肛， ) ( 2 - 2 3 ) e=士1，p=constant(2-24) f 1 1 ( 2 - 2 3 ) ，( 2 2 4 ) n - i 得下列解当s = - 1 ，r o 时 当= 1 ，r o 时 由首次积分可知 仇舻黼 枨) = 筹 眯) = 篇s o n “l v 瞅l 十j 眯) - 黼c o t ( vp啦j 十 绺 ( 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) 绯) ：叫r 一印胀) + 生 代” ( 2 2 9 ) 当= 一1 ，r = 1 ，p 一嚣时，方程( 2 2 3 ) 就变成了( 2 - 2 1 ) 2 0 0 4 年，黄定江，张鸿庆【3 】考虑更一般的耦合的r i c c a t i 方程组 ， ) = 一f ( o a ( o ，矿 ) = 1 一护( f ) 一r ，任) 9 2 = 1 2 r f ( ) + ( r 2 + g ) ，2 ) ， = 士1 ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) 并且知道当e = 一1 时 当= 1 时 圳= 丽丽丽1 ，g l ( o = 意尝蒜( 2 - 3 2 ) f 2 ( o = 忑霹1 而，9 2 ( o = 磊s i 露n h 石 ( 2 - 3 3 ) f 3 ( o = 丽1 ，卯( ) = 丽e o s h f ( 2 - 3 4 ) 2 0 0 5 年，v a n z ec h e r t ，x i n w e id i n g 4 9 在c o n t er o b e r t 的投 射威o o 雠l 方程方法的基础上，对， ) ，g ( ) 的形式进行了推广他们设 g ( 0f f i 不面忑i t a n 丙h 亭习西丽 f ( o = 不面i s 再e c 磊h f 丽 很明显( 2 - 3 5 ) ( 2 3 6 ) 包含了( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) 。 2 5j a c o h i 椭圆函数法 ( 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) 2 0 0 1 年，l u 2 1 等提出了j a c o b 椭圆函数法，该法可借助计算机代数系 统得以实现，故得到了广泛的推广和应用。j a c o b 椭圆函数展开法简述如 下：考虑一非线性偏微分方程( 自变量不妨取为两个，d 作行波变换 f 托，毗，t ，) = 0( 2 - 3 7 ) u ( x ，t ) = “( 心) ，f = z d( 2 3 8 ) 第2 章双曲正切函数法及其推广 这里c p 是待定常数，然后将其代入原方程，得到常微分方程( o d e ) 如下； g ( u ，吣，冁，蟓，) = 0 ( 2 - 3 9 ) 假设该o d e 的解为 它的最高阶数为 m 牡篮) = 耐以( 如s 磁+ 啦喇) + b o ( 2 - 4 0 ) 瑚 d ( 钍( ) ) = m ( 2 - 4 1 ) 其中c 喏，s 和娥分别为j a c o b 椭圆正弦函数，j a c o b 椭圆余弦函数和第三 种j a c o b 椭圆函数，且 m 2 = 1 一舻砌2 = 1 一m 2 群f m ( o 0 a o - - 1 , a l - - 2 , a 2 = 0 , b l - - 0 , 6 2 = o ，p = 一、g ( 3 伽 a 2 1 ：七1 = 6 2 一口2 + r 2 o ，c o ，c o ，c o ，c o ，c o ，c o ，c o ，c o ，c o ，r = ； a o = - - 1 , a t = 1 , 眈= 一2 h ，6 1 = = 佤，p = 镀( 3 - 3 3 ) 从2 k l = b 2 一a 2 + r 2 o ，c o ，r = ； a o = - - 1 , a l = 1 , 0 2 = 一2 幻，6 1 = 。，6 2 = 佤p = 一以( 3 均 从3 k l = b 2 一a 2 + r 2 o ，c o ，r = ； a o - - - - - - 1 , a l = - - 1 , 口2 = 一2 ，= 。，6 2 = 厢，卢= 以( 3 3 5 ) a 4 4 ：h = 6 2 一矿+ r 2 o ，c o ，r = ； a o = - l , a l = - l , a 2 = - 2 k l , 6 1 _ 0 6 2 = 瓜胪一锥( 3 3 6 ) a 4 5 ：h = 6 2 一a 2 + r 2 o ，c o ，r = ； 一1 9 一 a o = 一1 ，0 1 = 1 ，n 2 = 一2 k 1 ，6 1 = o ，b 2 = 一、互石，t = 肌6 ：k l - - b 2 一a 2 + r 2 o ，c o ，r = ： ( 3 3 7 ) a o = - - 1 , a l = 1 , 眈= 一2 。= 。，6 2 ；一佤p = 一以( 3 - 3 8 ) 从7 k l = b 2 - - a 2 + r 2 o ，c o ，r = ； a o = - 1 , a l = - - 1 , 眈= - 2 k l , h - 0 6 2 = 一佤p = 以( 3 - 3 9 ) 从8 h = 6 2 一2 + 乃o i c o ，r = ； a o = - - 1 , a l = - 1 , 眈= - 2 蚰_ 0 6 2 = 一4 砺1 , - - - 锥( 3 删 b ：当= 一1 时，k - 1 = 6 2 + a 2 一r 2 ，矿= 譬( c r o ) ，有 b 1 1 ：k 1 = b 2 + n 2 一r 2 = o ，c r n 0 ， 0 4 ) = 1 , a l = - - 2 a 2 = 0 , b l = 0 , 6 2 _ o ，p ：浮 ) b 1 2 ：k 一1 = b 2 + 扩一户= 0 ，c r n 0 ， a o - - - - 1 , a l = - - 2 口2 = 。，6 1 = 。，6 2 = 0 , p = - - v - 虿 ( 3 4 2 ) 鼬小k l _ - b 2 + a 2 一r 2 o ，c o ，c o ，c o ，c o ，c o ，r = ： 0 - 1 ，n ，：- - 1 眈：磁“6 1 i o ，6 2 = 瓜，p = 以( 3 彻 粥2 k l = b 2 - 4 - a 2 一r 2 o ，c o ，r = ： n o ：1 ，口，：_ - 10 2 ：一2 6 1 - o ，6 2 = 瓜，p = 一以( 3 4 8 ) 粥3 k 1 = b 2 - 4 - a 2 一r 2 o ，c o ，r = ； a 0 ：1 ，口。：- _ ，10 2 ：一2 6 l ：。，6 2 ：一瓜，p = 键( 3 4 9 ) b 3 4 ：七一1 = b 2 + a 2 一r 2 o ，c o ，r = ： 口0 ：1 ，n ，：一百1 ，d 2 ；一2 k ，6 1 ；。，6 2 ：一瓜，p ：一以( 3 5 0 ) b a l ：k 1 = 铲+ d 2 - - r 2 o ，c o ，c o ，c o ，c o ，r = ； 丹c ，锄 a o = - 1 , a l = 1 , n 2 = 2 6 1 _ o ，幻= 一瓜舻一属( 3 删 b 4 5 ：后一l = 铲+ t z 2 - - r 2 o ，c o ，c o ，f = z d + 如 t 1 3 ( z ，t ) = 1 + + ( 3 - 6 0 ) + z 同嵩端t ， 其中，口，玩c ，为任意常数，c 0 ，p = + 2 讥缸，t ) = 1 + ，f = z 一矗+ 如 一2 3 一 ( 3 - 6 2 ) 其中，口，b ，c 为任意常数，c 0 ，p = 一 一2 ，= $ 一d + 岛 喊叫) _ 1 + 蕊矿石磊n c 0 8 1 1 、一髻+ 6 舢、一髻一 + 其中，n 6 ，c ，为任意常数, c o , p - - 属扣州+ 缸 一2 嘶一_ l + 忑孺舌而 + 其中，a ，b ，c ，为任意常数，c 0 ，p = 一，f = z d + 岛 铆。”= 1 一否1 忑孑嚣忑1 再瓦 一烈一 ( 3 - 6 3 ) ( 3 - 6 4 ) + 2 她d c 舢意常毵c 帅= 丹，= x - c t - - 岛 一2 瑚。，t ) = 1 5 1 忑孑雾面1 而 2 ( 6 2 一舻+ 击) ( a c o s h 、一j f b , m hv 一j + ) 2 一口8 i 吐雁m 0 8 h 舟 ( 伽h 丹一b s i n h 丹+ ) 。 其中，o 加，c ，为任意常数，c 0 ，p = 一 一2 ，f = z d + 如 毗t ) _ 1 一百1 忑孑西面1 孑弱 ( 3 - 6 5 ) ( 3 - 6 6 ) 竺竺兰垂茎! ! 掌茎( 3 - 6 7 ) 嘲h 一j - t - b s i n h 一：+ ；) 2 其中，口，6 c ，为任意常数，c 。，p = 一以f = 一d + 岛 一2 6 一 ( 3 - 7 0 ) 第3 章s i n e g o r d o n z y 程的精确解 砚s ( z , t ) - - - i 一磊顶再1 五礓再 d c o b n ， 十d s l n n ，三c 十专 + 2 2 ( b 2 一铲+ ) ( a c o s h 屈+ b s i n h 居+ ) 。 其中，n ，6 ，c ，为任意常数, c o , # - - - - 以，f - - - - z - - c t + 如 t h ( z ，t ) = 一1 一：二i 了i i 二i 1 ：二丽 口c h ，毙一6 8 i n h ，挺+ 2 ( 6 2 一舻+ ) ( a c a s h 居一b s i n h 拈+ ) 。 一2 7 一 ( 3 - 7 1 ) ( 3 7 2 ) ( 3 7 3 ) 一2二! 掣茎! 型茎 ( 3 - 7 4 ) ( n 0 0 8 h 、髻一b s i n h v 髻+ ) 2 其中，q6 f c ，为任意常数，c 0 ， v 吾1 ，= x - a + 如 一2 帅忙j 卜1 一忑砺孟丽 1 口c 0 8 h + 6 s i n h ；+ ； 其中，口，6 ，c ，为任意常数, c o , p - - - - 锯f = x - - c t + 岛 t 7 1 8 ( x ，t ) = - - 1 一 一2 8 一 ( 3 - 7 5 ) + 一曩 一 | l 譬 正 一， 一 丽 扣 | 曩 一l c l 一“层土地 = 一一嘧p 胪 万 o n 一 舢 忑 数 + 意 一 钠 k 别 力 6 孤 晌 蛳 叽 丽 一2二! 掣塑竺丛( 3 - 7 6 ) ( a c o s h 长+ 6 s i n h 、长+ ) 2 其中，口，6 ，c 为任意常数, c o , t = - - 以- i c ，f - - - - z - - c t + 缸 b ：当s = 一1 时，k l = b 2 + 0 , 2 一r 2 ，有 蛳( 州) 一= 压丽2 n m ) 其中，n ，玩c ，r 为任意常数，c r n 0 ，f = z d + 岛 呦( 叫) 一石再丽2 n ( 3 7 8 ) 其中，n ，6 c ，r 为任意常数，e r n o ，毒= z d + 岛 + 2 砒t ) = 1 + = 再再1 丽 2 ( 6 2 + 0 2 一；) ( a c o s 厅舶咖丹一；) 2 其中，n ，6 ，c ，为任意常数，c 。，p = 一层= x - c t + 如 一2 切( 州) = 1 一百1 忑再石1 刁甄 2 ( 6 2 + 矿一去) ( n c o s 居+ b s i n 肛+ ) z 其中，。，6 ，c 为任意常数，c 。，p = 以，= x - - d + 如 一3 l 一 ( 3 - 8 4 ) ( 3 8 5 ) t j 2 8 ( 叫) = l 一吾1 忑石i 1 刁弱 一2 2 ( 6 2 + d 2 一击) ( 。c o s 居一b s i n 肛+ ) 。 口s i n 居+ b c o s 居 ( n c o s 居一b s i n 居+ ) 。 其中，n 6 c 为任意常数，c 。，p = 一以f - - - - x - c t + 如 t 协，t ) = - - 1 + 2 ( b 2 + a 2 一；1 ) ( n c o s 、一：f + 6 8 i 、一：f + ；) 2 + z 同意端 其中，口，b ，c 为任意常数，c o ，肛= + 2 ，f = z d + 岛 蛳叫_ - l + 忑再五1 而口0 0 6 、一； 一0 8 m v 一： + 一3 2 一 ( 3 - 8 6 ) ( 3 - 8 8 ) 丽 其中，a ，b , c ，为任意常数，c 0 ，p = 一 一2 ，f = z d + 岛 二! 掣二茎罢堂! ( 3 8 9 ) ( n 啷 一髻+ 6 8 i 一髻+ ) 2 其中，a ，6 ，c ，为任意常数，c 0 ，p = z d + 岛 坳t ) 一1 + 忑再三司罚口。、一i 一0 8 m 、一嚣+ 上 2 ( 6 2 + a 2 一 ) ( c o s 丹一6 咖雁+ z 网蔷蔫 其中，口，6 ，c ，为任意常数, c 0 , * = - - 丹- - - l c ，f = x - - a + 如 州马一1 。忑再东丽o 0 0 8 、一嚣+ d 8 m 、一嚣一i + 一3 3 一 ( 3 - 9 0 ) h ：=一纛 + 2 i n 雁c o s 丹 ( 口c o s 厅+ 6 咖雁一) ： 其中，a ，6 c 为任意常数，c o ，p = + 2 f = z 一矗+ 如 州毛d 一1 。忑再舌再o 。0 8 、一： 一d 鼬、一： 一 2 ( 6 2 - f 口2 一 ) ( 口c 一：f b s i n 、一： 一 ) 2 ( 3 - 9 1 ) ! 竺垂i ! ! 掌i !( 3 - 哟 ( 8 嘲 一：一b s i n 一：f 一 ) 2 其中，o ，b ，c ，为任意常数，c 0 ，弘= 一，= z d + 岛 吲为力一卜忑再东丽口0 0 8 、一錾+ d 锄、一錾一 2 ( 5 2q - 0 2 一i 1 ) ( 口0 0 8 一髻+ 6 咖、一长一) 2 z 网1 其中，n ，b ，c ，为任意常数，c o ，p =f = z 一西+ 岛 酬叫) _ _ 1 一忑再三习罚d 嘲、一： 一6 眦、一：一 一3 一 ( 3 - 9 3 ) 一z 网毒端t s 删 其中 咖c 为任意常数, c o , p - - - 促知茁一d + 缸 由所得拟解。利用变换 如归伊，如t ) = 删 竿 ( 3 9 5 ) 可得方程钍矗= s i n u 的解。根据交换 z = ； + z ) ，牙= ；( t 一$ ) ( 3 - 9 6 ) 即可求得s i n e g o r d o n 方程t 一t 蠊= m n u 的精确解。 特别地，在所求s i n e g o r d o n 方程拟解中，拟解( 3 - 6 1 ) - ( 3 - 6 4 ) 中取a = 士 ，b = o ，白= o 时 心，t ) = t 趟【击扛一训，c 。 如t ) - c o t h 2 【嘉( z 一酬，c 。 拟解( 3 8 7 ) - ( 3 9 0 ) 中取a = 士，b = o ，岛= o 时 咄一= t a n 2 【击( x - n ) l ，c o ( 3 1 0 2 ) 拟解( 3 - 8 3 ) 一( 3 8 6 ) 中取口= 士 ，6 = o ，如= o 时 t ，( 墨t ) = t 觚2 【焘( z 一矗) 】，c o ( 3 - 1 0 3 ) 、，o 口( z ，t ) = c o t 2 【焘( z d ) 】，c o ( 3 - l 、，c 由( 墨t ) = a r c o 乒可得w h 删o z 在文献【6 】中所求成竹e g 0 r d d 扎方程的精 确解 很明显，由拟解( 3 - 5 9 ) ，( 3 - 6 0 ) ，( 3 8 9 ) ，( 3 - 9 0 ) 等可以得到所求s i n e g o r d o n 方程很多新的精确解。 一3 6 第4 章t z i z e i c a d o d d b u l l o u g h ( t d b ) 方程的 精确解 这一章，利用扩展双曲函数方法求解t d b 方程 4 1t z i z e i c a d o d d b u l l o u g h ( t d b ) 方程 对彻b 方程 利用变换 即 蚴2e 1 + e 一2