等差数列的概念及性质.doc

等差数列的概念及性质一选择题（共12小题）1等差数列an中，a27，a623，则a4（）A11B13C15D172在等差数列an中，a46，a3+a5a10，则公差d（）A1B0C1D23等差数列an的前n项和为Sn，且a8a59，S8S566，则a33（）A82B97C100D1154在等差数列an中，已知a2+a5+a12+a1536，则S16（）A288B144C572D725已知an为递增的等差数列，a4+a72，a5a68，则公差d（）A6B6C2D46在等差数列an中，已知a1与a11的等差中项是15，a1+a2+a39，则a9（）A24B18C12D67已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1+a8+a1212，则S13（）A104B78C52D398等差数列an的前n项和为Sn，若a13，S535，则数列an的公差为（）A2B2C4D79在等差数列an中，若a3+a5+2a104，则S13（）A13B14C15D1610在等差数列an中，若2a86+a11，则a4+a6（）A6B9C12D1811等差数列an中，a2与a4是方程x24x+30的两根，则a1+a2+a3+a4+a5（）A6B8C10D1212等差数列an满足4a3+a113a510，则a4（）A5B0C5D10二填空题（共5小题）13数列an中，若an+1an+3，a2+a826，则a12 14在等差数列an中，a1+3a8+a15120，则3a9a11的值为 15已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若，则 16等差数列an中，前n项和为Sn，a10，S170，S180，则当n 时，Sn取得最小值17等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若，则 三解答题（共5小题）18已知等差数列an的前n项和为Sn，且a37，a5+a726（）求an及Sn；（）令bn（nN+），求证：数列bn为等差数列19已知等差数列an满足a1+a210，a5a34（）求an的通项公式；（）设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6是数列an中的第几项？20在等差数列an中，Sn为其前n项的和，已知 a1+a322，S545（1）求an，Sn；（2）设数列Sn中最大项为Sk，求k及Sk21观察如图数表，问：（1）此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少？（2）此表第n行的各个数之和是多少？（3）2012是第几行的第几个数？22（理）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列（1）若a2c2b2mbc，求实数m的值；（2）若a，求ABC面积的最大值等差数列的概念及性质参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1等差数列an中，a27，a623，则a4（）A11B13C15D17【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【解答】解：等差数列an中，a27，a623，解得a13，d4a4a1+3d3+1215故选：C【点评】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2在等差数列an中，a46，a3+a5a10，则公差d（）A1B0C1D2【分析】根据等差数列的性质和通项公式即可求出【解答】解：a46，a3+a5a10，2a4a4+6d，da41，故选：C【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题3等差数列an的前n项和为Sn，且a8a59，S8S566，则a33（）A82B97C100D115【分析】先求出公差d，再根据求和公式求出a14，即可求出a33【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，且a8a59，3d9，d3，S8S566，8a1+35a1366，a14，a33a1+32d4+323100，故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题4在等差数列an中，已知a2+a5+a12+a1536，则S16（）A288B144C572D72【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可【解答】解：a2+a5+a12+a152（a2+a15）36，a1+a16a2+a1518，S16818144，故选：B【点评】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题5已知an为递增的等差数列，a4+a72，a5a68，则公差d（）A6B6C2D4【分析】a5，a6是方程x22x80的两个根，且a5a6，求解方程得答案【解答】解：an为递增的等差数列，且a4+a72，a5a68，a5+a62，a5，a6是方程x22x80的两个根，且a5a6，a52，a64，da6a56，故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题6在等差数列an中，已知a1与a11的等差中项是15，a1+a2+a39，则a9（）A24B18C12D6【分析】利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值【解答】解：在等差数列an中，a1与a11的等差中项是15，a1+5d15，a1+a2+a39，a1+d3，联立，得a10，d3，a9a1+8d0+2424故选：A【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1+a8+a1212，则S13（）A104B78C52D39【分析】数列an为等差数列，故a1+a8+a12可以用首项和公差表示，进而得到a7，求出S13【解答】解：因为已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1+a8+a123a1+18d3a712，故a74，所以S1313a713452故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差中项，前n项和公式，属于基础题8等差数列an的前n项和为Sn，若a13，S535，则数列an的公差为（）A2B2C4D7【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：a13，S535，53+35，解得d2故选：B【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9在等差数列an中，若a3+a5+2a104，则S13（）A13B14C15D16【分析】由a3+a5+2a104，可得4a74，解得a7，利用S1313a7即可得出【解答】解：a3+a5+2a104，4a74，解得a71，则S1313a713故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10在等差数列an中，若2a86+a11，则a4+a6（）A6B9C12D18【分析】由等差数列an中，2a86+a11，可得a52a8a11，利用a4+a62a5，即可得出【解答】解：由等差数列an中，2a86+a11，a52a8a116，则a4+a62a512故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11等差数列an中，a2与a4是方程x24x+30的两根，则a1+a2+a3+a4+a5（）A6B8C10D12【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质即可得出【解答】解：a2与a4是方程x24x+30的两根，a2+a442a3，解得a32，则a1+a2+a3+a4+a55a310故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12等差数列an满足4a3+a113a510，则a4（）A5B0C5D10【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，4a3+a113a510，4（a1+2d）+（a1+10d）3（a1+4d）10，化为：a1+3d5则a45故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二填空题（共5小题）13数列an中，若an+1an+3，a2+a826，则a1234【分析】先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案【解答】解：an+1an+3，数列an为等差数列，其公差d3，a2+a826，2a1+8d26，a11，a121+11334，故答案为：34【点评】本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题14在等差数列an中，a1+3a8+a15120，则3a9a11的值为48【分析】an为等差数列，所以a1+3a8+a151205a1+35d120a824，然后将3a9a11也表示为用a8表示即可【解答】解：因为数列an为等差数列，所以a1+3a8+a15120可化为5a1+35d120可化为a824，又因为3a9a112a1+14d2a848，故填：48【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题15已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若，则【分析】由等差数列的性质得，由此能求出结果【解答】解：等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，故答案为：【点评】本题考查等差数列的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16等差数列an中，前n项和为Sn，a10，S170，S180，则当n9时，Sn取得最小值【分析】推导出a8+a90，a90，a80，由此能求出当n8时，Sn取得最小值【解答】解：等差数列an中，前n项和为Sn，a10，S170，S180，a90，a9+a100，a90，a100，a10，当n9时，Sn取得最小值故答案为：9【点评】本题考查等差数列的前n项和最小时n的值的求法，考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若，则【分析】由题意可设Snkn（n+1），Tnkn（2n1），（k0）由此求得a8，b9，则答案可求【解答】解，依题意，设Snkn（n+1），Tnkn（2n1），（k0）则a8S8S772k56k16k，b9T9T833k，所以，故填：【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n项和的应用，是中档题三解答题（共5小题）18已知等差数列an的前n项和为Sn，且a37，a5+a726（）求an及Sn；（）令bn（nN+），求证：数列bn为等差数列【分析】（）设等差数列的首项为a1，公差为d，利用等差数列通项公式列出方程组，求出a13，d2，由此能求出an，Sn（）由，能证明数列bn为等差数列【解答】解：（）设等差数列的首项为a1，公差为d，a37，a3+a226由题意得，解得a13，d2，ana1+（n1）d3+2（n1）2n+1n（n+2）证明：（），bn+1bnn+3（n+2）1，数列bn为等差数列【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列的证明，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19已知等差数列an满足a1+a210，a5a34（）求an的通项公式；（）设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6是数列an中的第几项？【分析】（）设an公差为d，由已知列式求得首项与公差，则an可求；（）由b2a38，b3a716，得公比q2，进一步求得b6，代入等差数列的通项公式求得n值得答案【解答】解：（）设an公差为d，由a5a342dd2，由a1+a2102a1+da14，an2n+2；（）由b2a38，b3a716，得公比q2，令an2n+2128，得n63即b6为an中的第63项【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题20在等差数列an中，Sn为其前n项的和，已知 a1+a322，S545（1）求an，Sn；（2）设数列Sn中最大项为Sk，求k及Sk【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出数列的首项与公差，然后求解an，Sn；（2）利用变号的项，求解最值即可【解答】（10分）解：（1）由已知得，所以，所以ana1+（n1）d2n+15；（2）由an0，即2n+150，可得n7，所以S7最大，k7，S749【点评】本题考查等差数列的性质，数列求和以及通项公式的应用，考查计算能力21观察如图数表，问：（1）此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少？（2）此表第n行的各个数之和是多少？（3）2012是第几行的第几个数？【分析】（1）写出此表n行的第1个数，且第n行共有2n1个数，且成等差数列，由此求出第n行的最后一个数；（2）由等差数列的求和公式求出第n行的各个数之和；（3）设2012在第n行，列不等式求出n的值，再计算2012在第该行的第几个数【解答】解：（1）此表n行的第1个数为2n1，第n行共有2n1个数，依次构成公差为1的等差数列；（4分）由等差数列的通项公式，此表第n行的最后一个数是2n1+（2n11）12n1；（8分）（2）由等差数列的求和公式，此表第n行的各个数之和为22n2+22n32n2，或2n12n1+122n2+22n32n2；（8分）（3）设2012在此数表的第n行则2n120122n1，可得n11，故2012在此数表的第11行；（10分）设2012是此数表的第11行的第m个数，而第11行的第1个数为210，因此，2012是第11行的第989个数（12分）【点评】本题考查了等差数列的应用问题，是中档题22（理）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列（1）若a2c2b2mbc，求实数m的值；（2）若a，求ABC面积的最大值【分析】（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知A60，再由余弦定理和条件可得 cos A，由此求得m的值（2）由cos A可得bca2