（应用数学专业论文）正规可遮空间和正规弱θ可加空间的性质研究.pdf

摘要 摘要 在这篇论文里，给出了正规可遮空间和正规弱0 一可加空间的一系 列性质。特别证明了如下结果： 定理1 如果石= n 。z 以是五一仿紧空间，i 到= 旯，则x 是j 下规可遮 空间当且仅当v f 【】。，n ，。f x ，是正规可遮空间。 定理2 设x = 兀一x ，是可数仿紧空间，则下列三条等价：( 1 ) x 是正规可遮空i e ；( 2 ) v f e 习”，兀w x ，是正规可遮空间；( 3 ) v n e c o ， n ，。彳，是j 下规可遮空间。 定理3 设x = l i m x ，石；，人) ，n = 五，并且每个投射 ：x 寸以是开满射， ( a ) 若x 是名一仿紧的并且每个x 是正规弱口一可加空间，则x 是 正规弱0 一可加空间； ( b ) 若x 是遗传五一仿紧的并且每个x 。是遗传正规的遗传弱0 一可 加空间，则x 是遗传正规的遗传弱口一可加空间。 定理4( 1 ) 设彳是亚紧空间，x = 只，f 为相对x 的基一 亚紧闭子集，则x 是基一亚紧的；( 2 ) x 是基一亚紧空间，若m c x 是疋 集，且国( m ) = ) ，则m 为基一亚紧空间； 关键词：逆极限；五一仿紧性；基一亚紧空间；正规弱芝一可加空间。 堕塑堡! ；盔兰堡兰笪笙奎 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，as e r i e so fp r o p e r t i e so fn o r m a ls c r e e n a b l es p a c e s a n d n o r m a la n dw e a k l y _ a - r e f i n a b l e s p a c e s a r e g i v e n i ti sp r o v e d e m p h a s i z e l yt h a t ： t h e o r e m l l e tx = i - i 二x ，b e 五一p a r a c o m p a c t ，i x l = 五，t h e ni ti s n o r m ra l ( 。s c r e e n a b l es p a c ei f f n e fz i sn 。r m a ls c r e e n a b l es p a c ef o re v e r y f f x l 枷 1。 t h e o r e m 2f o rc o u n t a b l ep a r a c o m p a c ex = 1 7 删置，t h ef o l l o w i n 2 sa r e e q u i v a l e n t ：( 1 ) x i sn 。r m a ls c r e e n a b l es p a c e ；( 2 ) v f i 】柚，兀。二z i s n o r m a ls c r e e n a b l e s p a c e ；( 3 ) v n 脚，1 1 ，自“ii s n o r m a ls c r e e n a b l e np t h e o r e m 3l e tx2l i 。m ，万；，a ) ，i a i2a ， a n d e v e r y 冗口：x _ x ，b e o p e na n do n t o m a p p i n g ，0 1 、i fxi s 小p a r a c o m p a c t a n d e v e r y x ，i s n o r m a la n dw e a k l y 芝一r e f i n a b l e ， t h e nxi sn o r m a la n dw e a k l y 芝一r e f i n a b l e ；( 2 ) i fxi s h e r e d i t a r i l y 九。p a r a c o m p a c ta n de v e r y x ，i sh e r e d i t a r i l yn o r m a la n dh e r e d i t a r i l y w e a k l y 旦一r e f i n a b t e ，t h e nxi sh e r e d i t a r i l yn o r m a la n dh e r e d i t a r i l y w e a k l y 芝一r e f i n a b l e t h e o r e m 4 ( 1 ) i fxi sm e t a c o m p a c ta n dt h ec o u n t a b l eu n i o no f c l o s e d b a s e m e t a c o m p a c t s e t s r e l a t i v et o x t h e n x i s b a s e m e t a c o m p a c t ；( 2 ) l e t zb e b a s e m e t a c o m p a c t i fm c - x i sa n s e tw i t h 缈) = 缈) ，t h e nzi sb a s e 咀l e t a c o m p a c t k e yw o r d s ：i n v e r s e l i m i t ；五一p a r a c o m p a c t n e s s ；b a s e m e t a c o m p a c t s p a c e s ；n o r m a la n dw e a k l y 旦一r e f i n a b l es p a c e s 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑理王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者导师 学位论文作者签名 m 7 年j 只之日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡王太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛壑堡工太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名解礁 如一年 j 玛 f zb f 第1 章引言 第1 章引言 1 1 论文来源 导师项目研究的是基仿紧空间的遗传性质，对基仿紧空间的研究到目前为 止，成果还不是很多，可以用来借鉴的资料更少，直接研究基仿紧空间的遗传性 质比较困难。本着这个目的，本人阅读了大量文献并进行细致研究，在前人的基 础上大胆猜想。大家都知道两个紧空间的乘积是紧空自j ，仿紧空间与紧空间的乘 积是仿紧的，而两个仿紧空间的乘积未必是仿紧的。有限乘积有此性质，那么无 限乘积性质又是怎样的呢? 本人对正规可遮空自j 、基亚紧空间和正规弱旦一可加 空间作了进一步研究。 1 2 国内外研究现状 拓扑学是继欧几里得几何、解析几何、微分几何、射影几何等之后发展起来 的高度抽象的一门几何学。作为几何学，拓扑学研究空自j 在拓扑变换( 或同胚) 下的不变量或不变性质。迟至2 0 世纪2 0 和3 0 年代，国外才分别出现点集拓扑 和代数拓扑的第一个教本。现在，拓扑学已经形成了点集拓扑( 或称一般拓扑) 、 代数拓扑( 或称组合拓扑学) 、微分拓扑等分支，已经渗入到并沟通了数学的很 多分支，并且通过图形的手段，在其它自然科学和工程技术中有了同益重要的应 用。 只本著名拓扑学家k e i k oc h i b a 在文献 6 中给出了在逆极限运算下正规性 保持不变的结果，最近，文献 4 又证明了正规可遮空间在逆极限运算下的保持性， 得到了如下逆极限定理： 设x = l i i i l 讧。，石；，a j ，l a i = 旯，假设每个投射：x 斗x ，是开满 射，工是a 一仿紧的，如果每个x 。是正规可遮的，则x 是仿紧的。 因而，人们自然要问：正规可遮空间是否有良好的t y c h o n o f f 乘积性质? 本 文就此问题进行研究，获得了无限个乘积因子的t y c h o n o f f 积的两个等价性定 理。 拓扑空间的基和子基是拓扑空间研究中的一个重要概念，由于它比拓扑包含 的元素一般要少，所以，有时用它要比用拓扑讨论空间显得方便和简单。受 7 的启发，本文对已有完善理论的亚紧空间作了推广，引进基一亚紧的概念，并讨 论了它的一些特征和性质。自1 9 9 9 年e g r a b n e r 等人在文献 8 中首先引入了几 乎亚紧空间的概念，并对上述空间进行了初步研究以后，几乎没有人对这类空间 进行过专门研究。度量空间和紧空间是两类应用很广的基本空间，仿紧空问则是 它们二者公共的最成功的推广。无论从理论或应用的角度而言，仿紧空间都是拓 扑学的一个基本而重要的组成部分。它在几何、拓扑、流形和泛函等数学分支中 有重要的应用。仿紧空问理论在其自身发展的同时，深刻地影响并有力的推动着 成都理i ：人学硕十学位论文 一般拓扑学的发展。 2 0 0 3 年，国际著名数学家j o h ne p o r t e r 在国际著名数学杂志t o p o l o g ya n d i t sh p p l i c a t i o n s 2 0 0 3 第1 2 8 期上发表了论文b a s e p a r a c o m p a c ts p a c e s ( 基仿紧空间) ，在此文献中首先提出了比仿紧空自j 结构更加复杂而且更为重要 的“基仿紧空间”的概念，同时对其性质进行了初步研究，并且提出了关于“基 仿紧空间”的四个国际公开问题。 从此，关于“基仿紧空间”的研究引起了国际数学家们的极大兴趣，在2 0 0 5 年国际拓扑学大会上，专家们进行了更加广泛的交流，充分肯定了“基仿紧空间” 性质研究的必要性和重要性，同时提出了在“基仿紧空间”的研究中需要解决的 诸多问题。 拓扑空间的遗传理论是一般拓扑学的重要组成部分。2 0 世纪6 0 年代，一些 著名拓扑学者就开始了对拓扑空间的遗传性质进行了研究，但是，他们研究空间 遗传性质的等价刻画却没有实质性进展。 自2 0 世纪7 0 年代以来，蒲保明教授、刘应明教授以及y y a j i m a ( 日本) 、 k c h i b a ( 同本) 、g g r u e n h a g e ( 美国) 、h j k j u n n i l a ( 芬兰) 等国际著名数 学家就对空间的遗传性进行了深入地研究。1 9 8 6 年h j k j u n n i l a 在国际著名 数学杂志t o p o l o g ya n di t sh p p l i c a t i o n s 上发表了“遗传亚紧空间的一个 等价刻画”，掀起了拓扑空问遗传性研究的新篇章。本课题对丰富、完善和开拓 “基仿紧空间”的理论，为数学的相关分支的理论研究和相应的应用学科研究奠 定良好的基础，并且探索在模糊数学、几何、拓扑、流形和泛函分析等数学分支 中的应用都具有十分重要的意义。 著名数学家k c h i b a 在 6 中给出了在兄一仿紧和遗传a 一仿紧的条件下，正 规性在逆极限运算下仍然保持不变的结果。最近，文献 4 间接地证明了正规可 遮空间在逆极限运算下的保持性。那么，比正规可遮更为复杂的正规弱口一可加 性是否具有类似结果? 本文对正规弱口一可加及遗传正规弱口一可加在逆极限运 算下的保持性，给出了肯定的回答。 证明了如下结果：设x = l i m 忸。，石；，a ，= a ，并且每个投射 石，：x 斗x 。是开满射，( 1 ) 若x 是五一仿紧的并且每个x 。是正规弱0 一可加空 间，则x 是正规弱0 一可加空间；( 2 ) 若z 是z 一仿紧的并且每个x 是遗传正规 的遗传弱0 一可加空间，则x 是遗传正规的遗传弱秽一可加空间。 广义仿紧空间理论，又称为覆盖性质理论，是当代点集拓扑学的一个基本 的重要组成部分。其中亚紧空间与次仿紧空间是仿紧空间的两类最自然的推广。 乘积性研究开始于二十世纪四、五十年代，最初人们发现：两个正规空间的 乘积未必是正规的并且两个仿紧空间的乘积也未必是仿紧的。那么，两个仿紧空 第1 章引言 问其中一个因子空间或两个因子空问需要增加怎样的条件才能保证乘积仍然是 仿紧的? 若是有限个、可数个、无限个仿紧空间是否仍保持相同的性质? 关于这 个问题在国际范围内一直是一个非常引人兴趣的问题。本文依照这一思想，对部 分广义仿紧空间类的乘积做了进一步的研究。 六十至八十年代，国内外不少拓扑学者都积极投入了对正规( 仿紧) 空间乘 积性质的研究，获得了许多重要结果。尽管仿紧空间已有半个世纪的研究历史， 但现今仍处于向纵深发展的阶段。在八十以至九十年代，广义仿紧空间的乘积性 研究发展起来。在国际范围上出现了y y a j i m a ( 日本) 、k c h i b a ( 同本) 、 g g r u e n h a g e ( 美国) 、h j k j u n n i l a ( 芬兰) 等著名的拓扑学家在拓扑空间的 乘积问题上，特别是在对广义仿紧空间类的有限t y c h o n o f f 乘积、可数无限 t y c h o n o f f 乘积、盯一积以及逆极限的研究中取得了许多令人关注的结果。然而， 对于广义仿紧空间类的无限不可数t y c h o n o f f 乘积、逆极限、盯一积、一积是否 具有良好的结果及其应用? 这是当前国内外拓扑学者非常感兴趣并且积极投入 的课题。 1 3 论文创新点 目前，关于基仿紧空间的结果很少，能够借鉴的工具不多，需要创造出新的 研究方法，寻找新的研究途径。如果对问题找不到正面结果，要举出恰当的反例 是比较困难的，需要做大量的工作。由于所研究的基仿紧空间更加复杂，因而要 想获得其等价刻画就显得更加困难，要求具有更高的研究技巧。于是本人对正规 可遮空间、基亚紧和正规弱2 一可加作了进一步研究，获得了几个结论。 成都理i ：人学硕+ 学位论文 第2 章绪论 2 1 拓扑学的发展 拓扑学是继欧几罩得几何、解析几何、微分几何、射影几何等之后发展起 来的高度抽象的- l - j 几何学。作为几何学，拓扑学研究空间在拓扑变换( 或同胚) 下的不变量或不变性质。所谓同胚的空间x 与y 是指x 与y 之间存在双向连续 ( 即互逆且连续) 对应，形象地说就是橡皮泥x 在不允许隔断的情况下可以捏 成y 。拓扑学中同胚的两个空间z 与j ，可不加区别，因此俗称橡皮几何学。 迟至2 0 世纪2 0 和3 0 年代，国外才分别出现点集拓扑和代数拓扑的第一个 教本。现在拓扑学已经形成了点集拓扑( 或称一般拓扑) 、代数拓扑( 或称组合 拓扑学) 、微分拓扑等分支，已经渗入到并沟通了数学的很多分支，并且通过图 形的手段，在其它自然科学和工程技术中有了日益重要的应用。 简单地说，点集拓扑学主要研究局部拓扑性质，用分析方法；代数拓扑学研 究空间的拓扑不变量和空间的拓扑分类问题，用抽象代数方法；微分拓扑学研究 微分流形的微分同胚分类问题，主要用代数拓扑方法；几何拓扑学或低维拓扑学 则用代数拓扑和微分拓扑的方法研究三、四、五维拓扑流形的不变量和它们的拓 扑分类。关于拓扑学的起源，可以回溯到1 8 世纪中叶欧拉的发现，即预测了皂 堡过桥( 或哥尼斯堡七桥) 问题的结果。而康托尔在1 8 7 0 年前后创造了抽象集 合论和点集论。他观察了“任意的”点集，从而成了拓扑学的另一方面的开拓人。 “数学的本质在于自由”，这是康托尔的一贯主张。在他的点集论中有一些最基 本的概念如凝聚点及其伴随的内点、外点、边界、闭集、开集等，都是拓扑学的 概念，即经过拓扑变换不变的概念。 这门点集拓扑学为后来的勒贝格的积分论、测度论的发展所刺激，形成了两 派( 一派为画法集合论，一派为波兰学派) 。 尽管康托尔考察了最一般的点集，但他只采取欧氏空间里的点集。而在数学 分析中的应用要求我们研究更加一般化或“抽象化”空间，即所谓抽象空间的拓 扑学，因此，费勒锡从泛函分析着手研究。 如今，拓扑学已经成为近代纯粹数学的重要分支，它的方法和结果日益渗透 到分析、代数、几何、计算甚至物理学等各个领域。拓扑学中包括点集拓扑和代 数拓扑的最基础的内容已成为当今学习和研究近代纯粹数学的必要基础。 2 2 拓扑学的内容 点集拓扑是拓扑学的一个重要分支，主要研究拓扑空间的自身结构及其间 的连续映射。2 0 世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的前景。 点集拓扑学中的一些需要精确化描述的问题都可以应用集合论来论述。 同胚是拓扑学的一个重要概念，即如果一个映射厂是拓扑映射，那么集合肘 第2 章绪论 和它的象厂( m ) 就叫做同胚。寻求判定拓扑空间m 和是否同胚的一般方法， 也是拓扑学的重要内容。当拓扑空问m 和m 同胚的时候，如果m 连通，那么m 也连通。拓扑空间的连通性性质也是拓扑不变的。 代数拓扑学是拓扑学的另一分支，偏重于代数方法来研究，它的前身是组 合拓扑学。现在点集拓扑学与代数拓扑学又有统一的趋势。 2 3 拓扑学的应用 连续性与离散性这对矛盾在自然现象和社会现象中普遍存在着，数学也可以 粗略地分为连续性与离散性的门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义 的，对于离散性也起着巨大的推动作用。拓扑学的基本内容已经成为现代数学工 作者的常识，拓扑学被广泛应用于其他数学分支。 拓扑学中的纤维理论( 是拓扑乘积的推广) 和微分几何中的联络论一起为 理论物理学中杨一米尔斯规范场论提供了现成的数学框架，犹如2 0 世纪初黎曼 几何学对爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑学 出人意料的发展。 拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展， 需要研究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。微分拓扑学的进 步，促进了分析学向流形上的分析学( 又称大范围分析学) 发展。在托姆的影响 下，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支科学。在复变 函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。 在经济学方面，诺伊曼( j o h ny o nn e u m a n n ，1 9 0 3 - 1 9 5 7 ，匈籍美国数学家) 首先把不动点定理用来证明均衡的存在性。在现代代数理论经济学中，诸如经济 的数学模型、均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分 拓扑学、大范围分析的工具。在系统论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都 有重要应用。 托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变 到质变的转化提供了各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已 经有不少应用。 拓扑学的概念和方法对物理学( 如液晶结构缺陷的分类) 、化学( 如分子的 拓扑构形) 、生物学( 如d n a 的环绕、拓扑异构酶) 都有直接的应用。 拓扑学与各数学领域、各学科领域之间的边缘性研究方兴未艾。 成都理i ：人学硕十学位论文 第3 章预备知识 3 1 记号与术语 本节参照文献 2 。 两个集a 、b 的并、交及差分别表示为： a u b = x ：x 4 蜀江b ， 一n b = x ：石a l t x b ， a - b = 扛：x a r x 茌b 。 这里“”，“岳”分别表示“属于”、“不属于”。空集用表示，4 n b = 痧表示 集a 与集曰不交；一一b = 表示a c b ，也就是x a jx b 。符号“j ”表 示“蕴含”。符号“营”表示“当且仅当”。a c b 时称为4 是b 的子集。如果a c b 且a b 称为4 是丑的真子集，空集是任何集的子集。 以集为元素的集称为集族，或简称为族。集族 爿，) ，r ，或写作 彳，：y f ， 这里r 是指标集。由集组成的序列 4 l ，a ：，a ) 为集族的特例，这时可表示 为臼。 。，或写作 以：行n ) ，这里的指标集是自然数集，或省去指标集记 为 以 或扛。 ：。集族的并、交可表示为u 心a ，i 1 ，e ra ，；在集的序列情况 下则为u 。a 。( 或u ：。以) ，n 。以( 或n ：la 。) 。 设空间工是拓扑空间，工x ，如果x 的子集u 包含着某一开集，这开集 包含着点x ，则称u 是x 的邻域：如果u 是开集，则称u 是x 的开邻域。用( 彩) ， 和蚰分别表示集族 u 彩：x u 和点工的开邻域系； 表示非负整数集，也 表示第一无限序数；c a 和n t a 分别表示集合4 的闭包和内部， 阻】“= f c 4 ：f 是非空有限集 ；j l 表示无限集合的基数；j 表示存在；v 表 示任意；一4 表示为4 的导集；拓扑空间的集族彩= ：口 称为空间x 的 覆盖，如u u o ：口a _ x 。 空间x 的覆盖彩= u 。：口a 称为局部有限的，如果对每一x x ，存在x 的邻域u 神使u ( ”n u 。= ，仅对有限个口a 成立。 设，p ) 是一度量空间，称集s 。k ) = 扛：x x ，p ( x ，) 占 ，为包含点的 开球( 或占开球) 。 对了x ，记s t ( x ，彩) = u u ：u 彩，x u ) ，其中彩是拓扑空间x 的覆盖 ( 集族) ，对彳c z ，记s t ( a ，彩) = u u ：u 彩，u n a 6 ) 。 如果对任一彩7 c 彩，有面下f 矿翮= u 影：u 彩 ，则集族0 2 6 , 称为 闭包保持的。 对于空间，。少和f 均表示为x 上的拓扑。对于集x 和的子集族识 x x ，acx ，记 l 莎。) f ，1 = 尸。：x p j ， 第3 章预备知识 咿) = p 驴：p a a 妒 ， 泸j = p n a ：p 驴 ， 研g ，汐) = u p ) ， ( 爿，沪) = u p 沪：p n a 妒 ， 驴”= 汐c 驴：簇有限吲。 本文所涉及而又未定义的记号和术语以文献 1 为准。 3 2 拓扑空间 本节参照文献 2 。 定义3 2 1 设有集x ，设。少是x 的子集所成的集族满足： ( 1 )丞。夕7 ，￥j ， ( 2 ) 如果u j 矿o = 1 , 2 ，刀) ，则n 翟u j 。少， ( 3 ) 如果u ，矿f ) ，则u 妙，：y f e ， 这罩指标集r 是无限集，则称( z ，。矿) 是拓扑空间。少是这空间的拓扑，矿的元素 称为开集。在没有必要指出z 上的拓扑矿时，通常简单地用j 表示拓扑空间。 定义3 2 。2 设。刃少是集x 上的两个拓扑，且少c 矿，则称拓扑矿 比拓扑矿粗或拓扑矿比拓扑少精。 设集j 上的拓扑z 仅由空集痧和x 组成，则称这拓扑蜀为平凡拓扑，是 最粗的拓扑。设l 少；是由x 的一切子集组成，则称这拓扑少；为离散拓扑，是最 精的拓扑。具有离散拓扑的空间称为离散空间。 定理3 2 3 设彩( x ) 是点工的所有邻域所成集族，则满足： ( l 忪彩g ) ， ( n 2 ) 女【i u 秀i g ) 则z u ， ( ，3 ) 如u 留万g ) ，v 3 u ，则矿留万g ) ， ( 4 ) 虫口u ，v 彩则u n 矿彩0 ) ， ( 5 ) 女日u 彩则存在集懒v c 啵对任何x v ，v 彩g7 ) 。 定理3 2 4 拓扑空间j 中的子集u 是开集当且仅当u 是它的每一点的邻 域。 设对集x 的每一点x 确定了一个子集族彩g ) 满足条件( 1 一5 ) ，我们称 彩g ) 的元素为点x 的邻域，然后利用定理3 2 3 定义开集，由( i ) 、( 3 ) 及( 4 ) ， 所定义的开集族满足拓扑空间的定义3 2 1 的( 1 ) 、( 2 ) 及( 3 ) ，从而x 形成 拓扑空间。这里是以邻域作为原始概念，由此出发定义拓扑空间。 下面导向闭集概念。 定义3 2 5 拓扑空间x 的子集f 称为闭集，如果x 一，是开集。 定理3 2 6 拓扑空间x 的所有闭子集，形成的集族少满足下列条件： 成都理l ：人学硕十学位论文 ( 1 )西j ，工j ， ( 2 ) 如果f ( f = 1 , 2 ，甩) ，则u ：f 矿， ( 3 ) 如果e 9 - y r ) ，贝o n 扛1 ，：，f e 。少。 这罩指标集r 是无限集。 定理3 2 7 设。少是集x 的子集族满足定理3 2 6 中的条件( 1 ) 一( 3 ) ，则 矿正好是拓扑空自j ( ，) 中所有闭集形成的集族，这罩矿= x f ：f 少 。 定义3 2 8 拓扑空间x 中的开集族彩称为这空间的开基，如果每一开集 可以表示为彩中元素的并。 定理3 2 9 开集族彩是开基当且仅当每一开集矿及每一点工矿，存在 u 秀占，使x u c v 。 定理3 2 1 0 设彩是拓扑空间j 的开基，则铝满足： ( 1 ) 西彩， ( 2 ) 如u ，u 2 彩，及x u ln 【，2 ，则存在u 3 彩，使x u 3cu in u 2 ( 3 ) u u ：u 彩 = x 。 定义3 2 1 1 设x 是拓扑空间x 中的一点，点工的邻域所成的集族留g ) 称 为点工的邻域基，如果对工的每一个邻域u ，存在v 留g ) ，使x v c u 。 定理3 2 1 2 设国g ) 是中点工的邻域基，则满足下列条件； ( 1 ) 历矿， ( 2 ) 女口u 穷( x ) 则x u ， ( 3 ) 如【，劈g ) 及矿劈则存在历使形c u n v ， ( 4 ) 如u 国( x ) ，则存在集y 使x 矿c u ，且对每一石矿，存在 w 。野( 一l 满足w c v 。 定义3 2 1 3 设爿是拓扑空间x 的子集，所有包含集一的闭集的交称为集 彳的闭包，也就是包含集彳的最小的闭集，记作一。集爿的每一点称为集a 的接 触点。 由此定义立知，拓扑空间x 的子集a 是闭集，当且仅当a = a ；子集u 是 开集当且仅当x uxu 。 定理3 2 1 4 闭包满足如下条件： ( 1 ) = 妒， ( 2 ) j a ， ( 3 ) 而：j u 否， ( 4 ) a = a 。 ( 1 ) 一( 4 ) 称为闭包公理。 定理3 2 1 5 点x a 当且仅当点z 的每一邻域与4 相交。 第3 章预备知识 定理3 2 1 f i 集u 是点工的邻域当且仅当x 芒彳一u 。 定义3 2 1 7 设4 是拓扑空间x 的子集，一切包含在一内的开集的并称为 集彳的内核，也就是包含在彳内的最大的开集，记作爿o 。 由此定义立知，拓扑空间x 的子集彳是开集，当且仅当4 0 = 彳。 设4 是拓扑空间x 的子集，点x 称为集彳的内点，如果一是点x 的邻域， 也就是存在点工的一个开邻域u g ) c 彳；集a 的一切内点所成集显然是开集，从 而就是集4 的内核。 定理3 2 1 8 设爿是拓扑空间x 的任一子集，则有彳o ：x 一x - a 。 定理3 2 1 9 内核满足如下条件： ( 1 ) x o = x ， ( 2 ) 4 0 c 彳， ( 3 ) ( 4 n b ) o = a o n b o ， ( 4 ) “o r ：彳o 。 定理3 2 2 0 设a 是拓扑空间x 的任一子集，则有j = x 一口一4 ) 0 。 定义3 2 2 l 点工称为集一的聚点或极限点，如果x 彳一再 ；集爿的所有 聚点所成集称为集4 的导集，记作a 4 。 定理3 2 2 2 点石属于一4 当且仅当点x 的每一个邻域包含集爿的异于x 的 一个点。 3 3 仿紧空间 本节参照文献拓扑学( 蒲保明、蒋继光著，四川大学出版社出版) 。 仿紧空间是紧空间的一种最重要的推广，它基于局部有限族这个十分有用 的概念之上。这一类空间的研究，不仅从内容上推广了紧空间理论，而且较大地 发展了覆盖方法，有力地推动了一般拓扑学的发展，特别是广义度量空间理论和 度量化问题的深入发展。仿紧空间在微分流形、代数拓扑和泛函分析中也有重要 的应用。 定义3 3 1 设x 是一个集，翻、历c 弼，称国是彳的一个加细下 列两条成立： ( 1 ) q b 历，鲥“，b c a ， ( 2 ) u 历= u 彳。 在拓扑空间石内，由开集组成的加细简称开加细；闭集组成的叫闭加细。 若彩是z 的一个覆盖，显然彩的每个子覆盖是彩的一个加细。 定义3 3 2 一个空间x 是仿紧的铮x 的每个开覆盖有一个局部有限开 加细。 引理3 3 3 任一空间的每个仃一局部有限开覆盖有一个局部有限加细。 成都理l ：人学硕十学何论文 定理3 3 4 设x 是任意的j 下则空间，则下列各条等价： ( 1 ) 并是仿紧的； ( 2 ) x 的每个开覆盖有一个盯一局部有限开加细； ( 3 ) z 的每个开覆盖有一个局部有限加细； ( 4 ) x 的每个开覆盖有一个局部有限闭加细。 命题3 3 5 正则l i n d e l o f 空间是仿紧的。 定理3 3 6 正则仿紧空间是正规的。 定理3 3 7 瓦仿紧空间是正规的。 定理3 3 8 设z 是一个紧空间，】，是一个仿紧空间，则积空间x y 是仿 紧的。 定义3 3 9 设x 是一个空间且v s s ，无：x 寸j 连续。若v x x ， 兀g ) = 1 ，则称函数族抚l 。是x 上的一个单位分解。 ”6 定义3 3 1 0 设矿r - 优 。是空问x 上的单位分解。 ( 1 ) 称莎是局部有限的x 的覆盖 f 1 】o ，1 】 。是局部有限的； ( 2 ) 称莎从属于彳的覆盖彩 f 1 】o ，l 】 。是彳的一个加细a 引理3 3 1 1设彩是空间z 的一个开覆盖使得x 上有一个单位分解 m 。从属于彩：则彩有一个局部有限开加细。 定理3 3 1 2 设x 是正则空间，则下列各条等价： ( 1 ) z 是仿紧的； ( 2 ) 对于j 的每个开覆盖雹幺x 上有一个局部有限的单位分解从属于铴 ( 3 ) 对于z 的每个开覆盖雹厶x 上有一个单位分解从属于雹幺 3 4 关于基仿紧空间 下面内容参考文献 2 3 、 7 。 文献 7 概述了仿紧空间与t o t a 仿紧空间的关系，指出t o t a 一仿紧性是范 围非常狭窄的一类性质，为了推广t o t a l l y 仿紧空间的性质，p o r t e r 在文献 7 中 定义了b a s e 一仿紧空间，研究了一定的仿紧空间是b a s e 一仿紧空间，如正则 l i n d e l o f 的仿紧空间是b a s e 一仿紧空问等；讨论b a s e 一仿紧性关于闭子集的遗传 性，指出仿紧空间是不是b a s e 一仿紧空间仍是一个未解决的问题。 定义3 4 1 拓扑空间x 称为b a s e 一仿紧的，如果存在x 的一个基。纷有 i 场1 = 工) ，使得对x 的每个开覆盖铭都存在舅c 历是彩的局部有限加细。 定义3 4 2 拓扑空间x 的子集m 称为相对于是b a s e 一仿紧的，如果存 在x 的一个基国有i 历i = ) ，使得m 在x 中的每一个开覆盖( 即x 中的开 基族覆盖m ) 都有局部有限的部分加细国7 c 留使得m c u 贸。 由定义3 4 1 可知，b a s e 一仿紧空间是仿紧空间。再由文献 7 中定理3 3 第3 章预备知识 可知，度量空间是b a s e 一仿紧空间。 定理3 4 3 对于正则空间z ，下列叙述是等价的： ( 1 ) x 是b a s e 一仿紧空间。 ( 2 ) x 存在一个开基国有l 劈i = t 2 j ) ，使得x 的每个开覆盖彩有一个 由君的元素的闭包组成的局部有限的加细。 定理3 4 4 设z 是拓扑空间， t o ：口f 是工的局部有限的闭集族， i f i 甜( ) 且工= u 圪，如果对每个口f ，圪是相对于x 的b a s e 一仿紧子空间， 则x 是b a s e 一仿紧j 的。 引理3 4 5 可数紧的b a s e 一仿紧空间是紧的。 引理3 。4 6b a s e 一仿紧空间的每个闭子集是相对于x 的b a s e 一仿紧空间。 定理3 4 7x 是b a s e 一仿紧空间，若m 是的闭子集，有国( z ) = 国( m ) ， 则肘是b a s e 一仿紧空间。 定理3 4 8 设x 是仿紧空问，如果x = lj f ，对于v i ，f 是相对于x 的 闭的b a s e 一仿紧空间，则x 是b a s e 一仿紧空心： 成都理i ：人学硕+ 学位论文 第4 章主要研究成果 4 1 正规可遮空间的t y c h o n o f f 乘积 r 本著名拓扑学家k e i k oc h i b a 在文献 6 中给出了在逆极限运算下正规性 保持不变的结果，最近，文献 4 又证明了正规可遮空间在逆极限运算下的保持性， 得到了如下逆极限定理： 设义是逆系统 以，兀；，a 的极限，la l = a ，假设每个投射：x 斗k 是开 且到上的，r 是肛仿檗的，如果每个置。是正规可遮的，则x 是仿紧的。 因而，人们自然要问：正规可遮空间是否有良好的t y c h o n o f f 乘积性质? 本 文就此问题进行研究，获得了无限个乘积因子的t y c h o n o f f 积的两个等价性定 理。本文用( 彩) ，和 神分别表示集族 u 彩：x u 和点工的开邻域系；国表示 非负整数集，也表示第一无限序数；c a 和伽纠分别表示集合彳的闭包和内部， k 】。= 沪c 7 a ：f 是非空有限集 ；i l 表示无限集合的基数；j 表示存在；v 表 示任意；a 4 表示为彳的导集；拓扑空间x 的集i l 表示无限集合的基数 下列概念是熟知的，为了方便读者重述如下： 定义l “1 称空间x 是正规的，如果对x 内任意不相交的闭集4 与占， ju n ，v ( f ) ，使得u n v = a 定义2 “1 称空间x 是可遮的，如果x 的每个开覆盖有盯一互外的开加细。 称空问z 是j 下规可遮的当且仅当x 既是正规的又是可遮的。 定义3 “3 设基数旯，空间x 称为旯一仿紧的，如果x 的每个势旯的开覆 盖有一个局部有限的开加细。 定义4 ”1 拓扑空间x 称为可数仿紧空间，如果x 的每一可数开覆盖具有局部 有限的开加细覆盖。 定义5 设五2 ，称空间x 是z 一完满正规的，如果石的每个势 的开覆盖 有仃一离散闭加细矿，使得o 覆盖z 根据定义1 、2 ，显然有下一引理： 引理l 正规可遮空问的闭子空间是正规可遮的。 引理2 ”1 设旯是一个基数，如果空间z 是a 一仿紧的，三是一个定向集且 l i = 五， 以：盯 是x 的一个开覆盖，并且v 盯，p ，当盯p 时，有 以c h p ，则存在x 的开覆盖 巧：盯) ，使得v 盯z ，有c c 以并且v o r ， p z ，当仃p 时，有k ，c k ， 引理3 ”1 设x = f i ，。：x ，是五一仿紧空间，如果v f e 【】“，f i ，。，x 。是正 规空间，则x 是j 下规空间。 引理4 。1 对任意空间x ，下列各条等价； x 是五一完满正规的；x 是正规a 一仿紧的。 第4 章主要研究成果 f 曲是本文的主要结果及其证明： 定理l 如果x = 兀。f x ，是旯一仿紧空间，则x 是正规可遮空间当且仅当 v f 【】”，h ，；，x ，是正规可遮空间。 证明：( 仁) 由引理3 可知，x 正规的。下证：若v f 【】“，h 。f 以是 可遮空间，则z 是可遮空闯。 着v f 【r ，令巧= 兀。，x ，且即：j 一耳表投影映射。特别地，对 盯，令= 气。) ，即乃表x 到以的投影映射。并记乙= k ， 设彩： 玑：口 是x 的任意一个开覆盖，要证彩有一个盯一互外的开加 细。 【】”，v 口，令= u 矿：y 开于耳且矿乙c 玑 ，则 开于昂且乃c 阮 令s = 品= ( u 。：) 磊：f 【r ，则s 是x 的一个定向上升歼覆盖， 即s 是x 的开覆盖且vf ，e e r ，若fc e ，则s ，c 品 事实上，v 工x ，3 口，x u ，j f e 【r ，使得v 盯f ，3 开于 以，x n 。( 吸) c 吮令w = 兀。，则 善xz ，3 n 。，1 ( ) c 吃，故善磊c 品，即 & ：， r 。 , 是y f - 覆盖。其次，vf ，e z r ，fce ，vx 品，3 口，使得x = ( ) 。( ) 榔 【，xz f 3 ( c kx 兀。z f j 0 ) 磊，又k n ，。一，k 开于瑶，故 x 磊c & ，从而s 是石的定向上升开覆盖。 由于x 是 一仿紧的，根据引理2 ，存在工的开覆盖 g ，：，f r ，使得 【】。，d 晖c 品且v f ，e 【r ，若f c e ，则嘭c q v f r ，令耳= 斥一以( j c 晦) ，则 耳c u 。： 事实上，vx 耳，x 舞稚( x c 昭，) ，则有砾1 ( 石) n 僻一甜啄) = o ，故 巧1 ( x ) cc l g yc - 品= ( u m 【，n ) x 磊，从而，膏u m u n v f 【】。，令g = ( i n t r ，) 乙，现在证明 占= c f ：f f 1 ” 是j 的开覆盖。 因为vx x ，3f e 【r ，使得x g f ，3e r ，使得v 盯e ，有吸 开于以，并r x i 1 。巧1 ( ) c 郇令= 1 7 。匹，则 工n 。；巧1 ( 呢) = 噍1 ( w ) c q 取日= e u f ，故砭( w ) c 乃乙事 实上，若y = ( 咒) 。1 ( ) 一乃z 0 ，则( 也。芒磊= 易一刀o ( 工一d g ) ， 3z 石一c ，使得( z ) = ( 只) ，。，因为e c 日，则 死( z ) = 死( z ) = 镌( ( ) 。) = ( 儿) ，。：w 故工1 ( w ) cg f c g 。， 这与z x - c l g 矛盾。从而1 ( w ) c 巧x z 故 成都理l ：大学硕十学位论文 砭1 ( w ) c 肋f ( 乙) e - ( n t 乃) 乙= g 即真。 v f 】”，因巧c u 。，所以 u ，。ut r f ( x - c l g ，) ：口 是巧的 一个开覆盖，因为昂是可遮的，所以3 = u 彰为k 的一个o - - 互外的开 加细。对v ，l 缈，蟛= 嘭：口 是耳的互外开集族，j & x c vo g ，有 嘭c u 砟( x d 瓯) ，从而有巧c u u 。：嘭 因对v 口，v 缈，彩是墨的互夕卜开集族，则 布( 吃) ：口斟是x 的互 外开集族。 另一方面，工是正规的，又x 是a 一仿紧的，根据引理4 知z 是旯一完满正规 的。从而对x 的势s 五的开覆盖占，存在一个盯一离散的闭加细妒= u 。莎：， 使得莎0 覆盖x 故存在x 的一个盯一互外的开加细1 = u 。莎：，使得 v 肌国，9 2 礞：f 【】。 是工的互外开集族，且对v f 【】。，硌c c f 令 兀= 砖n ( 吃) ：， r o g 则夕乙是z 的互外开集族。 事实上，若( f ，口) ( ，) ，贝，( j ”o ，- ! ( 嘭) ) 与( 路n 万( ) ) 必不相交， 否则将与霹或群为z 或耳的互外开集族矛盾。 进一步我们证明夕乙为彩的部分加细。事实上，对v f 】。，v 口， v 疗功，都有嘭c 吒u 砟( 石一c 嗥) ，从而有 砰1 ( 嘭) c 町1 ( u 即仁一曲嘭) ) 又因v f 】。，v m e ， 砖c g c 砾1 ( 乃) ，于是( 砖n 窟f ( 嘭) ) c ( 砾1 ( 乃n ) ) c g ：所以咒。为 彩的部分加细。令 j 9 ：u 。u 夕幺 则是彩的一个盯一互外的开加细。 事实上，只须证明朝夏盖z 即可。对vx x ，| 埘缈，f 】佃， j 砖c g c 砾1 ( 0 ) 从而砟( z ) 巧c u u 戚吃，于是j 玎，口， 即( x ) 吃，从而有x 巧1 ( 吃) 所以膏砖n 巧1 ( 吃) 虼c 舅所以残 x 的一个覆盖，从而y 是彩的一个盯一互外的开加细。所以x 是可遮的。 ( j ) 设x = 兀，。z 以是正规可遮空间，v f f 】“，v 仃一f ，取 x o 以，则由引理l ，x 的闭子空间k = ( 兀，。，以) ：仃一尸 是正规 可遮的。从而n 。，以是正规可遮空间。 定理2 如果x = 兀。z 是可数仿紧空间，则下列三条等价：x 是正规可 遮空间：v f 】“，兀。x ，是j 下规可遮空间；v n ，y i ，。x ，