等差、等比数列的综合问题.doc

专 题2 数列知识网络图解数列递归数列数列求通项数列极限数学归纳法求极限定义原 理等比数列无究递缩数列求和等差数列等比数列概念 性质证题技巧0nn12n ，一、数列的概念、性质例若数到n满足n+1= 若1=则2009的值为（ ）2n1，A. B. C. D.n=则数列n最大项为（ ）A. 1 B. 45 C. 44 D. 2007通项为n=n2 n+1的数列n是递增数列，则实数的取值范围为_二、等差数列、等比数列知识整合等差数列等比数列定义nn1=d（d为常数，n2，nN）为常数，n2，通项公式n=1（n1）d或n=m+（nm）dnn1=1qn-1或nn1=mqn-m前n项和公式 =n1+(q=1)(q1)S= 中项2n=n1+n+1(n2)n2=n1n+1（n2）性质等差数列的性质（1）m，n，p，qN，若mn=pq，则mn=p+q，特别地1n=2+n-1=（2）n=n+b（，b是常数）是n成等差数列的充要条件，（n，n）是直线上的一群孤立的点（3）数列n的前n项和Sn=n2+bn(0)是n成等差数列的充要条件（4）等差数列的单调性d0n为递增数列，Sn有最小值。d0n为递减数列，Sn有最大值d=0n均是等差数列，则（mn+kbn）仍为等差数列，m、k为常数（6）等差数列中依次k项和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d（7）项数为偶数2n的等差数列n,S2n=n(nn1);项数为奇数2n1的等差数列n,有S2n1=(2n1) n(n为中间项)且 等比数列的性质10或10(1)m、n、p、qN，若mn= pq，则mn=pq，特别地1n=2n1=0q1q1（2）当 时，m为递增数列，10100q1q1当 或 时，n为递减数列（3）若n和bn均是等比数列，则nbn仍为等比数列（4）等比数列中依次k项和成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公比为qk（公比q不为1）（5）等比数列中依次k项积成等比数列，记Tn为前n项积，即Tk，成等比数列，其公比为要点 热点 探究例1（1）已知两个等差数列n和bn的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.5（2）已知等差数列n的前n项和为Sn，若OB=6OA195OC，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（ ）A.100 B.101 C.200 D.201（3）与差数列n中，S6=36，Sn=324，Sn6=144，则n=_（4）等差数列n共有2n1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为 （ ）A. 9=10 B. 10 =16 C. 11 =29 D. 12=39例2等差数列n的前n项和为Sn，1=1，S3=9+（1）求数列n的通项n，与前n项和Sn；31+3d=9+1=1（2）设bn=，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列d=2【解析】（1）由已知得 故n=2n1，Sn=n（n）（2）证明：由（1）得bn= n假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p,q,r互不相等)成等比数列，则=bp br,q2pr=0即 (q+)2=（p+）（r+），（q2pr）（2 qpr）=02 qpr=0p，q，rN, = pr，即（pr）2=0，p=r，这与pr矛盾 数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列变式 已知数列n中，1=，点（n，2n+1n）在直线y=x上，其中n=1，2，3（1）令bn=n+1n1，求证：数列bn是等比数列；（2）求数列n的通项；（3）设Sn，Tn分别为数列n，bn的前n项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出；若不存在，则说明理由。解（1）n+2n+11=(n+1n1)（2）1=，221=1 2=（11）= 211= bn=n+1n-1=（）n+1 n1-n=13()n+1 Tn= Sn= 存在使 等差例3 已知数列n为等差数列，公差d0，由n中的部分项组成的数列，为等比数列，其中b1=1，b2=5，b3=17（1）求数列bn的通项公式；（2）记Tn=，求Tn解（1） 又 bn=2.3n-11（2）+（=1+（=+= =n， n为偶数n，n为奇数变式 （理）设数列n的首项1=，且n+1= 记bn=2n1- n=1，2，3，（1）求2，3; （2）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（3）求（b1b2+ bn）(文)数列n的前n项和为Sn，且1=1, n+1=，n=1，2，3，求：（1）2，3，4的值及数列n的通项公式；（2）2+4+6+2n的值三、简单递推数列与数列求和探究点一 基本求和问题例1（1）已知数列n为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和:（2）已知0且1数列n是首项为，公比边也为的等比数列，令bn=n1gan（nN），求数列n的前n项和Snn为奇数n,（3）已知f、（x）=求（0）+n为偶数2n,（4）数列n满足n=解：（1） （2）（3）当时，f、（x1）+ f、（x2）=令 f、（0）+（0）（0）+(n+1)=(n+1) sn=（4）当n=2k时 sn= s2k=(1+3+2k-1)+( 2+4+2k)=，n为奇数当n=2k+1时sn= s2k+1= s2k+2k+1=+2k+1=，n为偶数sn=例2 数列n中,1=8，4=2且满足n+2=2n+1-n，nN（1）求数列n的通项公式；（2）设Sn=，求Sn；（3）设，+ bn，是否存在最大的整数m，使得对任意，均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解析 （1）n=82（n1）=102n（2）由n=102n0 得n5n5时 Sn=1+2+n =8 n+（2）=9nn2n5时 Sn=1+2+567m=（1+2+n）2（1+5）9 nn2 n=5=9 n2n240Sn=9 n2n2-40 n5（3）bn= m32（1）m16（） m16（）=8 m的最大值为7探究点二 用叠加法、累乘法、迭代法求通项公式例3（1）已知数列n满 足1=1，n=n1+ n（n2）则n=_（2）已知数列n满足1=2，n=n12 n1（n2），则n=_（3）在数列n中1=3，n1=，则n=_解（1）探究点三 构造新数列，转化为等差、等比数列问题例4（1）在数列n中，若1=1，n1=2n+3（n1），则该数列的通项n=_(2) 在数列n中，若1=1，n1=2n+3n+1（n1），则该数列的通项n=_(3) 在数列n中，若1=3, n1=则该数列的通项n=_(4)已知数列n满足x1=3, x2=, xn=（xn-1+ xn-2），n=3,4，则数列xn的通项公式为_= 探究点四 归纳猜想证明例5数列n满足n1=2，n0，且（n+1）+=0，又数列bn满bn=（1）求数列的通项n和前n项和Sn（2）求数列bn的前n项和Tn（3）比较Sn与Tn的大小【解答】（1）n0，且（n+1）+-=0，（n+1）或， n0 = 又1=2，所以，n=2n Sn=1+2+n=2(1+2+n)= n2+ n（2）bn=2n-1+1 Tn= b1+ b2+ bn=（2+21+2n-1）+ n=2n+ n1(3)Tn-Sn=2nn21当n=1时，T1S1=21-12-1=0 T1= S1； 当n=2时，T2S2=22-22-1=-1 T2S2 当n=3时，T3S3=23-32-1=-2 T3S3；当n=4时，T4S4=24-42-1=-1， T4S4；当n=5时，T5S5=25-52-1=6 T5S5；当n=6时，T6S6=26-62-1=27， T6S6.猜想：当n5时，TnSn，即2nn2+1.下用数学归纳法证明；当n=5时，前面已验证成立；假设n=k（k5）时命题成立，即2kk21成立，那么当n=k1（k5）时，2k+1=22k2(k2+1)= k2+ k2+2k2+5 k+2k2+2 k+2=( k+1)2+1. 即n=k1（k5）时命题也成立由可知，当k5时，有Tn= Sn; 综上可知：当n=1时，T1= S1;当2n5时，TnSn当n5时，有TnSn。变式 已知数列n的数例，b1=1，b1b2+ b10=145（1）求n的通项bn（1）设数例n的通项n=log（1+）（其中0且1）Sn为n的前n项和，试比较Sn与logbn+1的大小。规律技巧提炼1、若数列n满足1=，n+1=pn+q（p、q数，且p），则数列n是等比数例2、或数列n满足1=, 2=b，n+2= pn+1+则原式可化为n+2An+1=B（n+1An），用待定法求出A、B，从而转化为等比数列求解。3、已知数列n，若满足n-n-1=f （n），则用累乘法，若n= f （n），则求n一般用叠加法；若满足= f （n），可以考虑用迭代法。4、归纳猜想证明体现了由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证法，对培养学生的逻辑思维能力、计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重要作用。5、数列求和的四种常方法：倒序相加、错位相减、裂项相消、分解求和。四、数列与函数、不等于式综合问题nsn0713探究点一 用函数思想研究数列问题例1数列n的通项公式为n=7（）2n-23（）n-1，则数列n的（ ）A.最大项为5，最小项为5 B.最大项为6，最小项为7C.最大项为1，最小项为6 D.最大项为7，最小项为6（2）在等差数列n中，Sn是前n项和，它满足10,d0，S7=S13，则数列Sn中最大项是_探究点二 以函数为载体，考查数列的有关基本知识例2 设函数f（x）=，点A0表示从标原点，点An坐标为（n，f（n）（n若向量n=A0A1+A1A2+An-1An，n是n与i的夹角（其中i=（1，0），设Sn=tan1+tan2+tann，求Sn；（2）已知函数y=g（x）的图象经过坐标原点，其导函数为g（x）=6x2.数列n的前n项和为Sn，点（n，Sn）均在函数y=g（x）的图象上。求数列n的通项公式； 设，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有都成立的最小正整数m【解答】（1）An1An=(n，f（n）)（n1），f（n）)=(（n2）n=（=，当n=1时，1=（1，）也适用.tann= Sn=. （2）依题可设f（x）=x2+bx（0），则f、（x）=2x+b，由f、（x）=6x2得=3，b=2， 所以f（x）=3x22x 又由点（n，Sn）均在函数y=f（x）的图象上，得Sn=3n2-2n当n2时，n=SnSn-1=（3n22n）3（n1）2-2（n-1）=6n5 所以n=6n5 由得= 故Tn=+ 因此，使得成立的m必须且仅需满足，即m10，故满足要求的最小整数m为10变式 已知函数f（x）= （x2） （1）求f（x）的反函数f-1（x）（2）1=1， 求n(3)设Sn=n2，bn=Sn+1Sn是否存在最小的正整数m使对任意，有bn成立？探究点三 数列与函数、不等式的综合问题例3 已知函数f（t）对任意实数x，y都有f（xy）=f（x）f（y）3xy（xy+2）+3，f（1）=1（1）若，试求f（t）的表达式；（2）满足条件f（t）的所有整数能否构成等数列？若能构成等差数列，求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理由；（3）若且t4时，f（t）mt2+（4m+1）t+3m恒成立，求出m的最大值解 （1）令x=t y=1 f（t）f（t1）=3t2+3t2 f（t）f（1）=3（22+33+t2）+3（2+3+t）2（t1）f（t）= t（t1）（t+2）2t3（2）f（t）= t （t1）（t1）（t+2）=0t=3，1，1 等差数列3，1，1或1，1，3（3）（t1）（t3）（t1）m(t1）（t3） mt1 m41=3 m的最大值为3 变式 已知函数f（x）=（I）设n是由正数组成的数列，前n项和为Sn，其中1=3，若点（）在函数y= f（x）的图象上，求证：点（n，Sn）也在函数y= f（x）的图象上；（II）求函数f（x）在区间（1，）内的极值解析 （1）因为f（x）=，所以f（x）= x2+2x， 由点（）在函数y=f（x）的图象上，得即又n0，所以，又因为1=3，所以数列n是以3为首项，2为公差的等差数列 所以Sn=3n+2=n2+2n，所以Sn= f（n），故点（n，Sn）也在函数y= f（x）的图象上 （II）f（x）= x2+2x=x（x+2），由f（x）=0，得x=0或x=2当x变化时f（x）、f（x）的变化情况如下表：x（，2）2（2，0）0（0，+）f（x）+00f（x）极大值极小值注意到（1）=12，从而当12，即21时f（x）的极大值为f（2）=，此时f（x）无极小值；当10，即01时，f（x）的极小值为f（0）=2，此时f（x）无极大值；当2或10或1时，f（x）既无极大值又无极小值五、数列与解析几何的综合问题要点热点探究探究点一 以向量为切入点的数列与解析与综合问题例1：已知i，j分别是x轴，y轴方向上的单位向量，OA1=j, OA2=10j，且An-1An=3 An An+1(n=2，3，4，)，在射线y=x（x0）从下到上依次有点Bi(i=1,2,3,)，OB1=3i+3j且=（n=2，3，4，）（1）求A4A5；（2）求OAn，OBn; （3）求四边形AnAn+1Bn+1Bn面积的最大值解（1）AnAn+1=An-1An A4A5= A1A2=9j=j（2）AnAn+1=9j= OAn=OA1+ A1A2+An-1An=j+9j+3j+yBn+1An+1=依题意Bn-1Bn=2(i+j)BnAnOBn= OB1+ B1B2+ Bn-1Bn=(2n+1)(i+j)xO(3)Sn= SnSn-10 n2时S1S2Sn 探究点二 以函数