（应用数学专业论文）一个四阶微分算子的非线性特征值问题.pdf

中文摘要 摘要：本文研究了一个四阶微分算子 卜“4 + h ( x ，u ，h ，u ”，u ”) “一a “ i “( o ) 一“7 ( o ) 一“( 石) tu t ( 石) = 0 的非线性特征值问题，其中x 0 ，石】，h ( x ，“，“，“”，“。) 为 0 ，石】m 9 t 帆瓣 上的实值连续函数。文中首先利用对称全连续算子的谱理论得到线性 情况下的特征值结果，然后将非线性问题线性化，利用s c h a u d e r 不动 点定理得到一个不动点，而此不动点恰为非线性问题的解，借以证明 特征值的存在及相应的估计。 关键词：全连续算子；特征展开；紧映射；s c h 4 u d e r 不动点定 理 r e s e a r c ho nt h en o n l i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e m o f af o u ro r d e ro r d i n a r yd i f f e r t i a lo p e r a t e r a b s t r a c t ：t h ep r e s e n tp a p e rw il 1r e s e a r c ho nt h en o n li n e a r e i g e n v a l u ep r o b l e mo faf o u ro r d e rd i f f e r t i a lo p e r a t o r u 4 + h ( x ，“，“，un , u u a u “( o ) 一“( o ) 一“( 万) = u ( 万) - 0 w h e r e x e o , z 】a n dh ( x ，“，：球。，“勺i s ar e a lv a l u e dc o n t i n u o u s f u n c t i o nw h i c hd e f i n e do v e r 【o ，石】x m m x9 l 趼t h es p e c t r u mt h e o r y o ft h es y m m e t r i c a lf u ll yc o n ti n u o u s o p e r a t o rc a ng i v e t h e r e s u l t so f1i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e m l i n e a r i z i n gn o n li n e a r e i g e n v a l u ep r o b l e ma n du s i n gs c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h e f i x e dp o i n to ft h i sm a p p i n gc a nb eo b t a i n e d w h i l e ，t h i sf i x e d p o i n ti sj u s tt h es o l u t i o no ft h en o n l i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e m t h e ne i g e n v a l u ee x i s t e n c ei sj u s t i f i e d a n dt h ec o r r e s p n d i n g r e s u l to fn o n l i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e mc a nb eo b t a i n e db y r e s t o r t i n gt ot h el i n e a rp r o b l e mr e s u l t k e y t o r d s ：c o m p l e t e l yc o n t i n u i o u so p e r a t o r ；e i g e n f u n c t i o n ： c o m p a c tw a p p i n g ；s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m 1 引言 微分算子理论是近代量子学、数学物理及工程技术的重要数学工 具之一，对它的研究包括特征值的存在、性质分布、特征函数系的完 备性、反问题等。非线性微分方程是微分方程领域中一个十分重要的 研究课题。尤其是高阶方程，其边值问题十分复杂，处理方法也有很 多种。近几年由于实际需要和理论的要求对微分方程用锥拉压不动点 定理、拓扑度、变分法等，从非线性泛函分析角度给予了其正解的研 究。荆。对线性常微分方程特征值的研究，已经比较完善yt - 1 - 5 1 ，但 在实际问题的研究中，会出现一些非线性特征值问题，在这些问题的 研究中，为了利用已有的线性问题的结果，线性化的处理方法异常重 要。1 9 7 0 年，p h - p , a b i n o w i t z 利用线性方法给出了经典s t u r m l i o u v i l l e 问 题的结果【6 i 。在此之后，h e r yb e r e s t y c k i 又做了进一步的工作【7 j ，他利 用可线性化的方程去逼近，从而把非线性特征值问题与线性特征值问 题联系起来，利用线性问题的结果得到了非线性问题的结果。 曹策问教授在1 9 8 0 年的河南省数学会的论文报告会上，介绍过处 理非线性特征值问题的下述方法：把非线性问题线性化，构造有界凸 闭子集上的一个紧映射，利用s c h a u d e r 不动点定理得该映射的不动点， 而此不动点恰好为非线性特征值问题的解，借以证明特征值的存在性。 应用上述方法，管克英教授对无穷维区间上s t u r m l i o u v i l l e 问题进行了 讨论 8 1 ，杨振德教授对l e g e n d r e 算子，b e s s e l 算子，l a q u e r r e 算子的非线 性扰动问题做了探讨1 9 l 删l ，宋予合教授对有界区间上的一端带奇型的 问题进行了阐述【1 2 1 ，李泽民教授撰文讨论了一个带多点边条件的非线 性特征值问题1 1 3 - - 1 6 1 。 对四阶线性微分方程边值问题及特征值问题在上世纪3 0 年代就 给出了一些特殊边值问题的研究，包括特征值的存在、特征值和特征 函数的估值、展开定理。但对于非线性四阶算子特征值的研究却少见。 本文研究了一个四阶微分算子的非线性特征值问题 c f ，瞄蒜篙t 群i tu 焉笺， 其中石【0 石】，| i l o ，h ，球，“，“勺为 o ，玎】9 l 猊辨虢上的实值连续函数a 文中 首先利用对称全连续算子的谱理论得到线性情况下特征值的相关结 果，然后将非线性问题线性化，利用s c h a u d e r 不动点定理得到一个不动 点，而此不动点恰为非线性问题的解，借以证明该问题特征值的存在 及相应的估计。 2 一个四阶微分算子的线性特征值问题 本文研究以下边值问题 ( e 1 f “l ( u 。) a = ：_ u ，o ( 。) ) + ，qh ( x ( 石) u 川- z u 何, m 将要讨论它的特征值及特征函数系的性质。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 为方便起见，我们把整个复平面划分为2 4 个扇形& ， 4 - 1 k 石s a r g p s 4 - 1 ( 七+ 1 ) 旧。 用皑，吡，鸭，表示1 的所有4 次方根，且魄哦，吐鸭。扇形经过 移动p p + c 而得到一般的区域k ，以后域互和瓯简称为域y 和s 。 ff ( 1 ) u 。g ) 在 0 石】上绝对连续1 。皇 “。如扣1 1 1 ( 3 刁) h u ( o ) - 岛u b ( o 别) - 。) “，p ) l 。j 命题1 1 d 在厶【o 石 中稠密。 命题1 2t 为对称算子。 证明v f ，g d ，则 c 巧培，一c ，如，一【j 二；h 二纠】二， 由( 0 ) “( o ) 如) 。比似) o 知等号右端恒为0 ，故( 巧，g ) ( ，幻) 。 下面我们就在域y 和s 内讨论特征值问题。 2 1 函数 令a p 4 ，方程( 2 1 ) 可以写为： “( 4 ) 一p 4 u 一q ( x ) u ( 2 3 ) 齐次方程“t ”一p 4 “。o 有基本解组e 脚，e j ，e 一，e 一我们利用常数交 易法可得与( 2 3 ) 等价的积分方程： 肛塞c 一扣q 忙蛳如。渺 ( 2 4 ) 这里c l ( f 一1 ，2 ，3 ，4 ) 是任意常数。 容易证明在复平面任一区域矿内方程( 2 i ) 有线性无关的解h 。， “：，鸭，心其中u j - e 脚- 万1 善4 j ：t o i e p , t “) q ( f 扣( f 弦( f 一1 ，2 3 ，4 ) ， 且当洲足够大时，它们在p y 时是解析的，并有： ”扩。【1 + d 剜， q s ， 警i 【删剜， 亿s ， 参e 卜。剜， 亿， 告e 脚卜剜。 亿s ， 由此可只知方程的任意解都可以表示成 h - 印l + 印2 + 0 3 + 劬4 其中c o 。1 ，2 3 4 ) 是任意常数，代入边界条件( 2 2 ) 得到关于c 的齐次 方拜鳎 c , u 1 ( 0 ) + c 2 u 2 ( o ) + i “3 ( 0 ) + c 4 u 4 ( 0 ) a 0 ， c 一：( o ) + c “( o ) + q ( o ) + 印：( 0 ) 一0 ， c , u 。 ) + c 2 0 ) + c 3 扣) + c 4 0 ) - o ， c 一： ) + 印：协) + c 死加) + 印：似) 一0 方程( 2 1 ) 有非零解的充要条件是 ( 2 9 ) 群熊孙o 亿10)u4 砌) 皇卜o ) “：( 0 ) “；( o ) 删；o ( 2 、7 卜。如) ：似) o )缸) i 。 、 l “：协) “； ) “；0 ) “：缸) i 此时问题( e ) 有非平凡解，由此可得： 命题2 1 问题( e ) 的特征值一定是实数。 命题2 2 凡是问题( e ) 的特征值的充要条件是嘶) = 0 命题2 3 砸) 是a 的解析函数，对足够大的i p i ，p e v ，有 m q ) 。p 2 p ”一p ”。”- - e - 脚) 4 + o ( a 4 ) 】。 ( 2 1 1 ) 证明将( 2 5 - 2 8 ) 代入( 2 1 0 ) 即可得。口 命题2 4 问题( e ) 的特征值是可列的，单重的，有下界的。 证明( 1 ) 若特征值集无下界，取协 一一o o 一m ) 为一列特征值， 令p - f 拥，由命题2 3 ，将之代入( 2 1 1 ) 得到 。一地) 一一垂。吨佩一e 咖倜x 产佩一e 一她俩) 4 + o ( p - b 。 不妨取q - f ，她1 ，则上式右端不恒为零故矛盾。 ( 2 ) 对足够大的，在o a r g p 墨手内，q - 一1 ，魄一i ，所以有 ( a ) 。p 2s i n ( p x ) s i n ( i p 石) 4 + o ( p 4 ) 】 令似) p 2s i n ( p r ) s i n ( i p n r ) ，在a 平面上做圆 l 。 a = p 4 鹕p 驯净 在l 内 酴斗陟| 0 ，闭球s ) 皇 妒o ) m l 量肼) 是 o ，石】中的有界 凸子集 任取妒s 似) 将非线性特征值问题线性化为线形特征值问题。 e 阻4 + 0 ，伊，伊，矿，妒”弘- a u ， ( 3 1 ) - o i - 1 , 2 ，3 ，4 ( 3 2 ) 显然，) 是线性问题俾) 中口 ) 一h ( x ，妒，妒，妒”，妒胛) 情形 由2 可知( e ，) 的特征函数系是工：【0 ，石 内一族完备正交系可得： 引理3 1 设，“。，”：。为岛【0 ，玎 中的任一个元素张成线性子空 间v 。( v 。理解为空集矿) ，记九帆，“，“。) 一舯i n f ( t u ，, “u ) ) ，则算子r 的第 n + 1 个特征值为 九。溜丸。，1 ，一t ) - l s u 马p 。i n v f ( 似t u ，, h u j ) - l c 岛l 马l “，h ， 证明设，竹，一。为算子t 的前n 个特征函数，则 九瓴，敛，识。) 一九， 故只须证明： 九婶o ，, 4 l ，u js 九 为此只须找出一个h 上v ，使 篱哪 取“o ) 一砉c 舰o ) 令它满足正交条件， ，) 。荟。；( 张，“，) _ o ( j - 0 ，1 ，2 以一1 ) 这是 个齐次线性方程，含露+ 1 个未知数c 。，c 。，c ：c m ，故一定有非零解。 故 ( 孤，口) - 耋 k 1 2 墨 骞b 1 2 - 丸以，h ) ( 九墨九) 。口 推论 ( 1 ) 霉一 - 参懈。) ，设圳舶脚4 拇的第特 征值，则h ( p ) 一九( g ss u p 护o ) 一q o h p l 证明记s u i ) p q l l 6 ，由于乙一+ ( p 一口) ，得 以哪) 一6 ( g ，“) s 刚) 哦“，砧) + 6 ，h ) 型一6 ! 王兰生尘s ! 型+ 6 婶，卅m ，j婶，h ) 由c o u r a n t 原理有九国) 一6 九( p ) 九( 鼋) + 6 口 ( 2 ) 在 o ，丌 上吼o ) 鼋：，则丸国，) s 九( q ：) ； ( 3 ) 若慨一q l l 。一o一m ) 即( o ) 一致收敛于口o ) ) ， 则九( q 。) 一九q )伽一m ) 。 命题3 1 设伊s ) ，又设( e 。) 的第，l + 1 个特征值为九 ) ，而当 h ；0 时，e 。的第一+ 1 个特征值为x 。，则 i x ( o 一以 s k ! m a x h ( x ，仍伊，妒4 ，妒”) 卜【o ，丌 ，妒s ( m ) ) 。( 3 3 ) 证明由引理1 的推论( 1 ) 有 l 丸( 伊) 一is8 7 p j ( x ，妒，妒：矿。，妒”m ， ( 3 4 ) 矧口 l 而i l 在 o ，万 x 骥趼跚x 9 l 上连续，由妒s ( 肘) 而知， 眇伊忙m ( - o ，1 , 2 ，3 ) 。 故 在孵的有界闭集上 o ，y ，z ，p ，q ) l x 【0 石 ，l _ ) ，i + i z i + l p l + 川墨m ) 上可 以取到最大值k 。口 由命题3 1 得知，对一切妒s ) 有限( 酬墨k f + k 下面考虑皈) 的相应于第弹+ 1 个特征值九( 力的特征函数似， 由于九( 妒) 的秩为1 ，相应于九 ) 的特征函数只能相差一个非零的常数 因子不失一般性，在以下的讨论中可约定帆。，妒l l t 。吖( 否则用砥m “一 代替即可) ；故对一切妒s ( j l f ) ，由慨o ，妒地- m 易知忆o ，训i 。s 肼， 犯，o ，妒地s j l ，o 一1 2 3 ) ，此外我们还有： 命题3 2 存在与m ，疗有关的常数c ，对一切妒s ) ，一致地有： j l l l 搿 ，妒) k 蓝c r 【o ，石】 ( 3 5 ) 证明因h 。 ，妒) 是相应于k ( o 的特征函数，所以有： 一“4 + _ l o ，妒，妒，7 妒”，妒勺ik ( o u 。 即： 4 一j i l ，妒，妒，妒”，妒”) e l 。一九弘。， 卜酬+ j 九( 训) 扛一 而 , l - xb 。f s 肛扎墨村k ( 妒) | s f p 。f + k ， 取上确界可得： f b j 4 l f 。sm ( 2 k + 扣。| ) 三c c ( m ，玎) 口 显然，满足肛。 ，酬l - m 的特征函数共有2 个，h 及一以为了得到 一个单值映射，以下再一次约定相应于九 ) 的特征函数满足： 姆甜一婴球_ o + ， 则相应于特征值丸) 的特征函数o ，妒) 就是存在且唯一的了，换言之， 对每一个妒s 晔) ，由2 中之线性结果( ) 存在第一+ 1 个特征值九 ) 及 相应的特征函数，特征函数经过上次的约定之后，有唯一一个 ，妒) 与 该驴对应，即： 妒一a ) 一口瓴力； 当妒跑遍s ( 肼) 。甲) 的全体构成o s ( m ) 一蕾。肛。i i 。一m 于是得到了一个 从s ( 膨) 到裾( 肘) 的单值映射 q 。：妒一心力。 以下讨论映射q 。的性质，将证明q 。为紧映射为此，我们有： 引理2 为了a c c 。 0 万 是一个列紧集，当且仅当以下两个条件同 时成立 1 。存在常数口，0 ，使一切妒爿，k o l l 。s b 即彳一致有界； 2 。 v f ，o 孙一d ( s ) v o ：z 。) o ，石】当k 7 一工1 c 6 时，对一 切妒彳有f 尹 7 ) 一妒0 叫cs ，即a 等度连续。 命题3 3 v , 4c s ( m ) ，0 。 ，驴) 旧s ( m )f 虬 是c o o 万】中的 列紧集。 证明事实上，我们仅须证明缸 ，) ) 满足引理2 中的两个条件： 1 0 v 5 m ) 有 帆o ，m i 。s 帆0 ，) | i 。- m ， 即甚。o ，m e s ( m ) - 骗- g ； 2 。 v s ，0 , 3 a - 吉，对任意毛，zz e 0 , 万】( 不失一般性，设毛t x z ) ， 当k 一工：l 6 时，由闭区间k ，x ：】上微分中值定理知，j 亭k ，工：) 使下 式成： b 。瓴，“) ) 一o ：，0 ：) mtk ( 亭，倍) x “一工：) 因 ：0 ，s 肛：o ，) | f 。s m 对一切s ( j i f ) 均成立，x 2 - - 而c 音， 7 b 。瓴， 。) ) 一“。o ：，o ：叫。 即缸o ，h s ( m ) 是等度连续的 结合命题3 2 和引理2 ，同理可证0 。 ，9 籽s )i 1 2 3 是 c 。【o ，石】中的列紧集口 命题3 4 v a e s ( m ) ， 0 。 ，枷s 似) j 在c 3 o 石 中按| | | i 。列紧 证明 由命题3 3 ，蕾。o ，) k s 似) 为c 。 o ，j r 】中列紧集，即 0 。x ，s ) 在c 。 o 丌 中存在收敛子列，不妨设为以o ，) 收敛到 z o ) ，即l p 。“) 一z o ) k o 。 又由命题3 3 ，k o ，) h s 似) ) 也为c 。【4 ，扫】中列紧集，故也有 收敛子列。为便于书写，仍记为弛 ，) 1 s 似) ) ，收敛到2 ) ， 即 l 卜：o ，) 一2 0 ) n o ，1 一* 由此可知 “： ，) k s ) ) 一致收敛到2 ) ；而 以。，) ) 一致收敛到 z o ) ，故必有2 ( x ) - z 缸) 同理可证：0 。g ，概s 似) 存在子列 以 ，) 】， 使 ，仰。o ，) + z 。o ) ，o 一1 , 2 ，3 ) ， o 以o ，) 一z o ) | lt 蹇陋，? ，) 一z o ) l i 。_ o ( 七_ ) 7 以( x ，) 】是0 。o ，) l s ( m ) 在c 3 【4 ，6 】中的收敛子列 故 0 。o ，m s ( m ) 为c 3 b ，o e e 的列紧集口 命题3 5q 是连续映射。 证明设，妒s ( 材)i k 一驴忆一。 砸一* ) ， 靠一h ( x ，仍无，确 日一 ，仍妒：妒。，妒”) 因| l 是连续的，故l q 。一q l - - , o ，而由引理1 推论3 得： 哑九帆) 。九仰) ( 3 5 ) 由命题3 4 ，* o ，m s ( m ) 在c 3 k ，6 】中有收敛子列，不妨设为 忙o ，) 一z ( x ) 1 1 。一o ( k - * o o ( 3 - 6 ) 往证：恰有u 。o ，妒) t z o ) 。 由( 3 6 ) 易知： 忆o ，) 一z ( x ) l l 。一0 ； ( 3 6 ) 睁? “) 一z o ) n o l 一1 , 2 , 3 一m ) ； ( 3 7 ) l 受“o ) 一n m u ( x ) 0 ； ( 3 8 ) ，uj 。( o ，) 一z ( o )u 。( t ( 0 ，) 一z 仰( 0 ) 一* ) ； ( 3 9 ) u o ，) 一z p )“? ，) 一z o p ) 一o o ) 。( 3 1 0 ) 又 ，) 满足方程( 3 2 ) ，即 一面d 峨 ，”一n ( ) 一 。，畋，哎，磺) 】“。o ，) ， 在 0 ，x 上积分得 叫融，) + “知，) - j ：九( 樱) 一h ( t ，磺，磺，“，o 扣( f ，( o 、，d t ， 令k 一* ，注意( 3 5 ) 一( 3 9 ) ，即可得： 一z 。o ) + z ”( o ) - i ：h ) 一h ( t ，伊，妒，妒”，矿”) p o ) 出， 两端对工求导得： 一丢( z 4 ) ) + h ( x ，妒，妒：矿。，妒。) z ) - 屯仰) z o ) 。 故z 0 ) 满足( 3 ) ，由于妒o ，) 满足( 3 2 ) ，由( 3 9 ) 、( 3 1 0 ) 两式知 z ) 也满足( 3 2 ) ，且有l i z - m ；由此可见z 为相应于特征值丸( 妒) 的特征函数 据q 的单值性知z 一q ) 一 ，妒) 既对于s ( m ) 中的收敛子列一伊，存在子列 ) ，使 i k o ，) 一o ，妒) l l 。一。似一m ) ，即q ( ) 一q ( 力 ( 七一* ) 用反证法可证q 为连续映射 事实上，假设q 不连续，则j o ，使每个去，o 1 1 2 ) ，j 纯 与妒，使： 慨一9 t 詈， ( 3 1 1 ) 但 慨( ) 一q ( o i l 苫 ( 3 1 2 ) 由( 3 1 1 ) 式知： 一妒( 七一) 。 由上述，存在 】的子列 ) ，使 i 陋( ) 一q ) i o ( f m ) 另一方面，由i 峨( ) 一幺( 圳i 知，对 ) 的任意子列 ) 都有 l 胁( ) 一q ) l 苫矛盾口 由命题3 5 ，命题3 4 知：q 为紧映射。 若将上述约定 l i r a + u ( x ) - l i r a u o ) 一0 + ，l 改为： l i 罂“o ) 一l i 理h g ) 一o - j uj f 又可得到关于s ( 肘) 到o s ( m ) 的单值映射，不妨记为g ，显然研也是紧 映射，为明确起见，前面的q 记为饼。 定理对v m ，o ，及任整数蚪 o ，存在问题( f ) 的特征值丸及相应 的特征函数形( 石，肘) 和所( x ，m ) 且满足： i j 衍 ， ，) i - m ， h 一以j s k 。, i m “o ) 一，l i m 一“o ) 一0 其中t 为( f ) 中h 。0 时线性问题的第一+ 1 个特征值。 证明：q 2 均为b a m a c h 空间c 3 o ，z 】中的有界凸子集s ( m ) 到s 似) 的 紧映射，且满足s c h a n d e r 不动点定理的条件，此不动点正是所求的特征 函数“：o ，m ) ，且有上述诸估计式是显然的口 我们很容易找到相关的例子，而且上述的估值计算是比较简单的， 这里我们就不再赘述。 参考文献： 1 曹策问特征值理论讲义【m 】郑州大学数学系研究生教 材，1 9 8 0 【2 】曹之江常微分算子【m 】上海：上海科技出版社，1 9 8 5 【3 】m a 纳依玛克线性微分算子【m 】北京：科学出版社1 9 6 4 【4 1 b m l e v i t a na n di s s a r g s j a n i n t r o d u c t i o nt os p e c t r a lt h e o r y ： s e l f a d j o i n td i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s m a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y p r o v i d e n c e ，p h o d ei s l a n d ，1 9 7 5 【5 】b m l e v i t a na n di s s a r g s j a n s t u r m l i o u v i l l ea n dd i r a c p e r a t o r s m k l u w e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s ，1 9 9 1 【6 】6 p h r a b i n o w i t z n o n l i n e a rs t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m sf o rs e c o n d o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j c o m m p u r ea p p l e m a t h ，1 9 7 0 ， ( 2 3 ) ：9 3 9 - 9 6 2 【7 】b r e r s t y c k i h o ns o m en o n l i n e a rs t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m j j d i f f e q u a t i o n s ，1 9 7 7 , 2 6 ：3 7 5 3 9 0 【8 】8 管克英孤子研究中的一种僦s t u n n l i o u v i l l e i h - j 题 j 应用数 学学报。1 9 8 1 【9 】杨振德l e g e n d r e 算子的非线性扰动【j 】郑州大学学报( 自然科学 版) ，1 9 8 2 ，2 ：2 9 3 6 【1 0 】杨振德b e s s e l 算子的非线性扰动【