（应用数学专业论文）sturmliouville问题和dirac系统的逆谱分析.pdf

摘要 所谓微分算子主要研究两个方面的问题，一方面研究微分算子的谱问题，另一方面 研究微分算子的逆谱问题。所谓逆谱问题就是由谱数据的信息，尤其是特征值，确定微 分算子进而将其重构。本文针对s t u r m 1 i o u v i l l e 问题和d i r a c 系统的逆谱问题进行研究， 主要内容及结果如下： l 、作为逆问题的预备，对s t u r m 1 i o u v i l l e 问题和d i r a c 系统的内容进行阐述。回顾 两种算子的研究历史以及特征值和特征函数的内容。进而，在两种算子下给出w e y l 函 数的定义，并刻画了它的性质。 2 、确定s t u r m 1 i o u v i l l e 算子。对于s t u r m 1 i o u v i l l e 算式，基于d i r i c h l e t 边值条件和 非d i r i c h l e t 边值条件下，势函数满足一定的条件，同时给出一定数量的谱数据，应用 w e y l 函数的方法唯一确定势函数，从而确定s t u r m l i o u v i l l e 系统。其中，势函数的条件 和谱数据的数量有一定关系。 3 、确定d i r a c 系统。对于d i r a c 算子，在相应的边值条件下，势函数满足一定的条 件，同时给出一定数量的谱数据，应用w e y l 函数的方法，便能唯一确定势函数，从而 确定d i r a c 系统。其中，势函数的条件和谱数据的数量有一定关系。本文分别对势函数 多半区间已知和少半区间已知的情况做了详细的研究。 关键词：s t u r m 1 i o u v i l l e 算子，d i r a c 算子，逆谱，w e y l 函数，特征值，特征函数 a b s t r a c t t h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o rm o s t l yr e s e a r c h e st h e s et w op r o b l e m s ，o n ei st or e s e a r c ht h e s p e c t r u mp r o b l e m ，a n dt h eo t h e ri st or e s e a r c ht h ei n v e r s es p e c t r u mp r o b l e m t h ei n v e r s e s p e c t r u mp r o b l e mi sb yt h ei n f o r m a t i o no ft h es p e c t r u m se s p e c i a l l yt h ee i g e n v a l u e sc a l l d e t e r m i n et h ed i f f e r e n t i a l o p e r a t o ra n dr e c o n s t r u c ti t i nt h i sp a p e r , t h ei n v e r s es p e c t r a l p r o b l e m so ft h es t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o ra n dt h ed i r a co p e r a t o rw i l lb es t u d i e d t h ew o r ko f t h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： f i r s t l y , a s t h e p r e p a r a t i o no ft h ei n v e r s ep r o b l e m ，t h eb a s i ck n o w l e d g eo ft h e s t u n n l i o u v i l l eo p e r a t o ra n dt h ed i r a co p e r a t o rw i l lb eg i v e n i ti n c l u d e st h ei n v e s t i g a t i v e h i s t o r y , t h ee i g e n v a l u e sa n dt h ee i g e n f u n c t i o n so ft h et w oo p e r a t o r s a n dt h e n ，t h ed e f i n i t i o n a n dt h ep r o p o s i t i o no ft h ew e y lf u n c t i o nw i l lb eg i v e nb a s e do nt h et w oo p e r a t o r s s e c o n d l y , w ed e t e r m i n et h es a m n l i o u v i l l eo p e r a t o r f o rt h es t u r r n - l i o u v i l l ee x p r e s s i o n ， b a s e do nt h ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dn o n - d i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，g i v e na c e r t a i na m o u n to fe i g e n v a l u e s ，w ec a nu n i q u e l yd e t e r m i n et h ep o t e n t i a lf u n c t i o n sa p p l y i n g t h ew e y lf u n c t i o nm e t h o du n d e rt h ep o t e n t i a lf u n c t i o n s a tt h es a m et i m e ，t h es t u r m - l i o u v i l l e s y s t e mw i l lb ed e t e r m i n e d b e s i d e s ，t h ec o n d i t i o n so ft h ep o t e n t i a lf u n c t i o n sd e c i d et h e n u m b e r so ft h ee i g e n v a l u e s t h i r d l y , w ed e t e r m i n et h ed i r a es y s t e m f o rt h ed i r a co p e r a t o r s ，g i v e nac e r t a i na m o u n t o fe i g e n v a l u e s ，w ec a l lu n i q u e l yd e t e r m i n et h ep o t e n t i a lf u n c t i o n sa p p l y i n gt h ew e y lf u n c t i o n m e t h o du n d e rt h ec o r r e s p o n d i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h ep o t e n t i a lf u n c t i o n s a tt h es a m e t i m e ，t h ed i r a es y s t e mw i l lb ed e t e r m i n e d b e s i d e s ，t h ec o n d i t i o n so ft h ep o t e n t i a lf u n c t i o n s d e c i d et h en u m b e r so ft h ee i g e n v a l u e s w ew i l ls t u d yt h ep r o b l e m si nt h ec a s eo ft h e i n f o r m a t i o nk n o w no nf e wo ra m a j o r i t yi n t e r v a lo ft h ep o t e n t i a lf u n c t i o n sr e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：s t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r , d i r a co p e r a t o r , i n v e r s es p e c t r u m ，w e y lf u n c t i o n ， e i g e n v a l u e ，e i g e n f u n c t i o n l l 长安大学硕士学位论文 1 1 问题的研究背景 第一章绪论 为了定量地研究一些实际问题的变化规律，往往是要对所研究的问题进行适当的简 化和假设，建立数学模型，当问题中涉及变量的变化率时，该模型就是一个微分方程。 微分方程来源于实际问题，求解微分方程的目的就是为了得到某一变化过程中的变化规 律。当一个实际问题所满足的微分方程建立后，我们所关心的是该微分方程有没有解和 有多少解。这种直接求解的方法我们通常称为正问题。如果我们给定一组谱数据( 看做 是一个未知方程的解) ，这组谱数据满足给定的边值条件，那么能否确定相应的方程? 这种已经知道解来确定相应方程的方法，我们通常称为逆问题。因为我们给定的是谱数 据，所以也称为逆谱问题。 线性算子理论将微分、积分等在近代数学中最为基本的运算手段，抽象为建立在空 间上的映射关系，并加以统一处理。线性算子的谱理论从结构上剖析了算子的本质特征， 它的处理方式体现了数学结构在分析、代数和几何上的和谐与统一。线性算子理论是深 刻反应许多数学问题本质的数学分支，有着十分广泛的应用背景，同时它可以用十分抽 象的数学语言来加以概括和描述。 目前，国内外许多学者都在研究逆谱问题，并且也取得了一定的成果。尽管人们对 逆谱问题的研究取得了一系列成果，但有许多问题的理论研究尚不完善。对于这些问题 的进一步的研究，不论在理论上还是在实际应用中都有很重要的意义。目前，人们十分 关注s t u r m l i o u v i l l e 逆谱问题和d i r a c 逆谱问题的研究，很多学者对这个问题做了大量 的研究工作1 2 ，3 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 1 。 1 2 预备知识 1 2 1s t u r m - l i o u v i l l e 问题的预备知识 s t u r m l i o u v i l l e 问题( 简称s l 问题) 缘起于十九世纪初叶j f o u r i e r 对热传导问题 的数学处理中。十九世纪三十年代，c s t u r m 和j l i o u i l l e 把f o u r i e r 的方法进行了一般 性的讨论，他们所得的结果，后来成为解决一大类数理方程定解问题的理论基础【1 0 】。 s t u r m l i o u v i l l e 问题是定义在区间f 口，b 1 上，满足： - ( p ( x ) y ) + g ( x ) y = a v ， ( 1 2 1 1 ) 第一章绪论 其中p ( x ) ，p ( x ) ，g ( x ) 在【口，b 】上连续并取实值，p ( x ) 恒正，o 口，卢 7 r 。存在可数个 实的允值： 九 九 哼o o 为了讨论简便，我们定义在区间【o ，万】上，并且系数p ( x ) 兰1 。于是，s t u r m l i o u v i l l e 问题( 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 2 ) 就可写成 - y ”+ 口( x ) y = a y ， ( 1 2 1 3 ) 少( o ) c 。s 口+ y ( o ) s l n 口= o ， ( 1 2 1 4 ) y ( z r ) c o s f l + y ( r r ) s i n f l = 0 ， 一 令妒( x ，允) ，l f ，( x ，九) 为方程( 1 2 1 3 ) 的两个解，满足初始条件 缈2 - 8 i n 9 - ) 、一c o s ( 1 2 1 5 ) l f ，( 7 r ，允) = s i n f l ，l f ，( 万，a ) - - - c o s f l 根据微分方程的解对参数的依赖性质知，对【o ，万】上的每一个固定的x 而言，9 ( x ，允) ， y ( x ，允) 为九的整函数。 下面给出关于特征函数渐进式的引理。 引理1 1 令a = s 2 ) s = 仃+ i t ，则当a o o 时，下面的渐进式在0 x i t 上一致地成立： 妒( x ，a ) = c 。s 脯s i n 口+ d ( h - , e l , i x ) ； 妒( x ，允) = 一s s i n s x s i n a + d ( p ) ； ：f ，( x ，a ) = c o s s ( l ：一x ) s i n 卢+ o ( i j l - 1p m 万一j ) ； y ( x ，九) = 一s s i n s ( ，r - x ) s i n f l + o ( e k - x ) ) 给出w e y l 函数的定义以及性质。 对于s t u r m l i o u v i l l e 算子 日= 一万d 2 + g ， 所满足的边值条件为 22 仍仉 = l | 口p n n 弓； 乳 加m 0 p p p + 口p 薹宝 啷 口 6 y y 长安大学硕士学位论文 ”( 口) + 吃材( 口) = o ， 甜( 6 ) + “( 6 ) = o ， 其中埘 口 6 ，日在r ( ( 口，6 ) ) 中，吃，吃nu 。o ) ，并且g z ( ( 口，6 ) ) 是实值函数。 产生一组特征值为 丸) ( 玎= o ，1 ，2 ，) 。在x = 6 点，考虑方程 一 。+ q u = z u 在满足边值条件为 u t ( 6 ) + 甜( 6 ) = 0 ( 1 2 1 6 ) 的情况下，假设虬( z ，x ) 是该方程的解，正规化后，可知虬( z ，b ) = 1 。下面我们定义m 函 数： 朋小纠= 描， 致函数是h e r g l o t z 函数，也就是，豫：c c + 是解析的( 在本文的讨论中，当 蝴 t o 类似的，考虑方程 一甜。+ q u = z u 在满足边值条件为 “( 口) + 吃“( 口) = o ( 1 2 1 7 ) 的情况下，假设址( z ，x ) 是该方程的解，正规化后，可知”一( z ，b ) = 1 。下面我们定义m 函 数： 嘶，6 ) = 嬲， m 函数是h e r g l o t z 函数，也就是，m ：c c + 是解析的( 在本文的讨论中，当 一0 0 口 o 下面给出关于逆谱理论的基本唯一性定理如下f l l 】： 定理1 1 在【口，b l 上，杈( z ，口) 可以唯一确定，并确定整个区间上的势函数g 。 如果g 屯( 【口，) ) 是实值函数( 其中h ) ，一嘉+ g 是在有限点的情况是无穷 的，仍可定义一个唯一的豫( z ，口) 函数，但是现在来看对于所有的z c ，i m ( z ) 0 。 对于z ，存在一个唯一的函数( z ，) ，甜+ ( z ) 在r 中并且是无穷大的。另外，还有以 下关于唯一性的结果。 定理1 2 在区间【口，o 。) 上，豫( z ，口) 可以唯一确定整个区间上的势函数g 。 确定砚( z ，b ) 是非常有用的，原因如下： 定理1 3 设h = 一嘉+ g 是r ( ( 口，6 ) ) 上的一个s c l 拍d i n g e r 算子，并且满足边值条件 甜7 ( 6 ) + 玩”( 6 ) = o 和甜( 口) + 吃甜( 口) = o ，设g ( z ，x ，y ) 是算子- ( 1 4 一z ) 。1 的积分核。假设 c ( 口，b ) ，设m ( z ，c ) 是区间【c ，6 】上的豫函数，m ( z ，c ) 是区间【口，c 】上的m 函数，那 么 g ( 邵，c ) = 一可丽丽1 丽 定理1 1 和定理1 2 是具有很深意义的事实；定理1 3 是从算子( 日一z ) 。1 的积分核的显 式公式推导出的基本计算， g 亿圳，= 生蔫畿睬掣， 其中形( ，) 是w r o n s k i a n 被定义为 ( 厂，g ) ( x ) = ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x ) 定理1 3 中如果区间【口，6 】换成( ，0 0 ) ，结果也是成立的。 我们可以看到g ( 乞c ，c ) 在算子h 的特征值有极点，即在算子h 的特征值九处有极点： 4 长安大学硕士学位论文 ( 九，c ) = 一m ( 九，c ) ， ( 1 2 1 8 ) 如果确定了在左半部份区间【口，c 】的势函数g ，并且知道部分的特征值九，那么就能确 定巩( z , c ) 。因此通过( 1 2 1 8 ) ，可以得到在九点m + ( 九，c ) 的值；豫( z ，c ) 确定，通过 定理i i ，则能确定和整个区间【口，6 】上的势函数g 。 1 2 2d i r a c 系统的预备知识 d i r a c 算子又称为a k n s 算子，它的很多性质和s t u r m - l i o u v i l l e 算子( 参见文献 1 2 ，1 3 1 ) 有着相近的地方，下面介绍一下d i r a c 算子，它是定义在【o ，万) 上的二维向量 函数域上具有下列形式的一阶向量微分算式： m 劫= ( ：苫垮( 搿矧f ， 2 2 ， 边值条件为 c o s a 】，( o ) + s i n a z ( o ) = o ， ( 1 2 2 2 ) c o s 卢y ( 1 ) + s i i lj 6 i z ( 1 ) = o ( 1 2 2 3 ) 其中f = ( 三譬； ，p ( x ) 和g ( x ) 是在最( 【0 ，】) 2 上的连续可微函数，( a ，卢) 属于 【o ，z r ) x o ，万) 。 另外，d i r a c 算式还有其它形式的变形( 本文用到时再给出) 。 下面来介绍一下它的相关性质。 假设尸c x ，= ( 薹 弓 是算子日c 仍g ，满足边值条件c 2 2 2 ，和c t 2 2 3 ，下的解， 其中f ( x ) 日1 ( 【o ，1 】) 2 ，h ( a ，卢，p ，q ) f = h ( p ，q ) f 。令日( 口，p ，p ，g ) 属于碌( o ，1 】) 2 ， 满足如下定义域： 。( h ( o t , f l , p , q ) ) = f ( ) = ( 薹 3 日1 ( 。，】) 2 ) ， f d ( h ( a ，卢，p ，g ) ) 。n ( a ，p ，p ，q ) 产生一系列向两边无限延伸的特征值，并且每 个特征值都是单重的。 5 第一章绪论 和 下面来讨论d i r a c 算子的特征函数的渐进式。 对于一个复数a ，定义 和m 沪( 乏矧 是满足方程 在初始边值条件 f 2 ( x , 2 , p , q ) = 乏2 ：豸 h ( p ，q ) f ( x ) = a f ( x ) 0 x l ( 1 2 2 4 ) 即a p ，g ) = 聃九p ，g ) = ( o ) 下的基本解。那么c ，2 2 4 ，的解f c x ，= ( 三 弓 可以用互c x ，a ，p ；g ，和e c 毛允，弘g ，线 性表出。假设 即 当x = 0 时， f ( x ，允，p ，g ) = c l 互( x ，a ，p ，q ) + c 2 f 2 ( x ，1 , ，p ，q ) ， ( 薹 乏竺弓； = q ( 乏乏：拳 + q ( 乏2 ：豸 ， ( z y ( 。o ：三：p p ：； = c t ( 三 + g ( ? ) ，l ，a ， ，g ) j 。1 l o 。2l lj 即c l = 】，( o ) ，c 2 = z ( o ) ， 因此 y ( x ) = 】，( o ) 互( x ，a ，p ，q ) + z ( o ) f 2 ( x ，a ，p ，q ) 特别地，对于一些【。，l 】，如果f ( 而) = ( 三) ，那么，兰。对于( p ，g ) 置( 0 ，l 】) 2 ， 6 长安大学硕士学位论文 当专佃时，有如卜渐迸瓦”： ，一c，c，。，j，t，=(!i：；：；。：。：舄， e c x ，a ，p ，留，= ( 三兰：二三：j ， 方程( 1 2 2 4 ) 满足左边值条件( 1 2 2 2 ) 的解为： v ( x ，九) = s i n a f l ( x ，九) 一c o s e ( x ，九) ， 把互( x , a ，p ，g ) 和e ( x , a ，p ，q ) 代入上式即得 砟= 曙篙0 ：= 荔引， 然后把f ( x ，a ) 代入右边值条件( 1 2 2 3 ) ，解出特征值，再把特征值代入f ( x ，允) ，那么 l 蝴f ( x ，a ) 就是相应的满足右边值条件的特征函数： 砷卅= 嘲肥= 蒜：= ：# 甜 下面来介绍一下w c y l 函数的定义以及性质。 边值条件为 材；+ ! ：y ( x ) + _ ) “- 2 a ( 1 2 2 5 ) 叫+ ( 矿( x ) 一j l l ) ”：= a u ： ( o ) c o s o + u 2 ( o ) s i n a = o ， u i ( 巧) c o s 卢+ 甜2 ( z r ) s i n 3 = 0 ， 其中势函数y ( x ) 在【o ，7 r 】上是连续的，是一个正数。产生一系列纯点谱，向无限 延伸。特征值的渐进式如下： 7 第一章绪论 枷+ 寺+ 。( 南 , v = f l - a + f r 矿 7 r ii + l 刀ij 如果( h ( x ，a ) ，v 2 ( x ，a ) ) 是方程( 1 2 2 5 ) 满足如下初始条件 m ( 丌，允) = s i nf l ，v 2 ( 万，九) = - - c o s f l 的解，那么，定义w e y l 函数： 朋= 粼 关于w e y l 函数有如下定理： 定理1 4 如果m ( a ) = 聊( a ) ，那么v + = v ，= j l l ，并且t a i l p = t a n 3 。 1 3 逆谱问题的研究现状 1 3 1s t u r m l i o u v i l l e 逆谱问题的研究现状 众所周知，对于s t u r m l i o u v i u e 反问题的研究都有三个方面的内容： ( 1 ) 存在性，即在数学上是否存在一个函数g ( x ) ( 或p ( x ) 和a ( x ) ) ，或在物理上 是否存在一个振动系统，具有所要求的性质? ( 2 ) 唯一性，即是否只存在一个具有这些性质的系统。 ( 3 ) 构造，从给定数据如何构造出一个( 或这个系统) 。 这些密切相关的问题，在过去的四十多年中已逐渐的清楚了。 早在二十世纪二十年代，a m b a r z u m i a n 首先考虑了唯一性的问题，他考虑方程 j ， ( x ) + 九一g ( x ) ) j ，( x ) = o ( 1 3 1 1 ) 及方程 y ”( x ) + 允y ( x ) = 0 ( 1 3 1 2 ) 在端条件 ( o ) = 0 = ，t ) ( 1 3 1 3 ) 下，证明如果这两个系统具有相同的谱，则q ( x ) 恒为零。因为考虑对称的端条件，所 以一组谱数据就可以满足了。由于他的证明依赖于摄动法，要求q ( x ) 是小量，因而有 缺陷。 r 长安大学硕士学位论文 在同一世纪四十年代，b o r g 关于方程( 1 3 1 1 ) 的反问题研究做了奠基性的工作。 他证明，若i q ( x ) 是对称的，即 q ( x ) = q ( - 一x ) ( 1 3 1 4 ) 则方程( 1 3 1 1 ) 对应于端条件( 1 3 1 3 ) 或 y ( 0 ) = 0 = y ( z r ) ( 1 3 1 5 ) 的谱唯一地确定了g ( j c ) 这证实了a m b 删i a i l 得到的结果。 另外b o r g 还在g ( x ) 是非对称函数的情况下，做了很重要的工作，他在形如 c o s a y ( 0 ) + s i n a y ( o ) = o = c o s 卢y ( 7 r ) + s i n 卢y ( 万) ( 1 3 1 6 ) c o s a y ( 0 ) + s i n a y 7 ( o ) = o = c o s y y ( 万) + s i n y y ( 巧) ( 1 3 1 7 ) 的两组端条件下，考虑了方程( 1 3 1 1 ) ，证明出若s i n a = 0 = s i n y ，并k s i n p 0 ，则 两组相间频谱唯一的确定了非对称函数g ( x ) 。s i n a s i n f l 0 ，贝, l j q ( x ) 由两组频谱唯 一确定。 在同一年代，l e v i n s o n 推广并简化了b o r g 的结果。他证明出如果给定了方程 ( 1 3 1 1 ) 在每一种端条件( 1 3 1 6 ) 和( 1 3 1 7 ) 下的频谱，并且如果s i n ( y p ) 0 ， 则9 ( x ) 就是唯一确定的。 不久以后，m a r c h e n k 。得到了深入一些的结果，他证明若j c r k ( x ) b 并且 s i n ( a 一卢) 0 ，则方程( 1 3 1 1 ) 对应于式( 1 3 1 6 ) 和( 1 3 1 7 ) 的频谱唯一地决定 了q ( x ) 和t a l l a ，t a i l 卢，t a n y 。 七十年代，h o c h s t a d t 推广了b o r g 的结果，他考虑了当某些九，心未知时，q ( x ) 的 确定程度。h a l d 也在这一方面做了一些工作，他证明出，在右边值条件未知的情况下， 也能确定势函数g ( x ) 。 1 9 7 8 年，针对s t u r m l i o u v i l l e 算子日：一善+ g 在边值条件( 1 3 1 6 ) 和( 1 3 1 7 ) d x 。 下，h o c h s t a d t 和l i e b e m a j l 【1 5 】证明出在左边值条件确定，势函数g 在半区间确定的条件 9 第一章绪论 下，算子日的一组谱可唯一确定整个区间上的势函数g 。他们首次证明了在部分势函数 已知的情况下，再加上一定量的谱数据，从而来确定整个区间上的势函数g ，这是 s t u r m l i o u v i l l e 逆问题的研究的一个新的突破。 l e v i t a n ，h o c h s t a d t ，l i e b e r m a n ，h a i d ，s a b a t i e r 等很多的学者对唯一性的证明做了 很大的贡献。上个世纪五十年代，g e l f a n d 和l e v i t a n 发展了一种方法，对s t u r m l i o u v i l l e 系统的构造问题作了奠基性的工作。k r e i n 在其三篇文章中利用他的关于正定函数的推 广的理论，对非均匀的张紧弦回答了问题( 1 ) 一( 3 ) 。他的结果只有陈述没有证明， 并且他的方法仅为部分后来的学者们所采用。七十年代，g o p i n a t h 和s o n d h i 在考虑从 声学测量结果确定人类声道形状的问题时，遇到了w e b s t e r 喇叭方程，并设计了求解这 一反问题的方法。在八十年代，b u r f i d g e 分析了二阶系统反问题的各种不同算法之间的 内在联系。1 9 8 4 年，h a l d 对这一方面的问题，也做了一定的研究。同一年，s o n d h i 对 声带反问题做了综述。 振动弦的反问题可以利用弦和杆的关系来解决。人们做了许多的努力，试图把二阶 连续系统的反问题简化为离散系统的问题。在七十年代，a n d e r s o n 用差分方程取代微 分方程，但是关于他所得到的矩阵系统的反问题，他并没有得到什么结果。h a l d 详细 地研究了这一问题，并在1 9 7 7 年，对具有对称势的s t u r m l i o u v i l l e 问题给予了特别的 注意。接着第二年，h a l d 讨论了把r a y l e i g h - r i t z 过程应用于连续系统得到的离散系统， 并考虑了当q ( x ) f o u r i e r 级数展式中的项数趋于无穷时的极限情形。 j 2 值得特别强调的是，1 9 9 7 年，针对算子h = 一备+ g 在边值条件( 1 3 1 6 ) 和( 1 3 1 7 ) a x 下， f r i t zg e s z t e s y 和b a r r ys i i t l o n f l 6 】用一种新的方法，即w e y l 函数的方法证明出势函 数g 在四分之三区间确定，那么算子日的半组谱可以唯一确定势函数q 。不久r i o ， g e s z t e s y 和s i m o n 1 7 1 又证明出在势函数未知的情况下，算子h ( ) 的三组谱的三分之二 可以唯一确定整个区间上的势函数g 。这对s t u r m l i o u v i l l e 逆问题的研究有着很重要的 意义，而且方法也比较简便。 众多学者对逆问题的研究做了大量的工作1 8 a 9 2 0 , 2 1 2 1 1 ，为各个领域做了不可忽视的 贡献。所以逆谱问题的发展是非常迅速的，相关方面的成果也是很多的。 1 0 长安大学硕士学位论文 1 3 2d i r a c 逆谱问题的研究现状 在上- - 4 , 节可以看到，众多学者对s t u r m l i o u v i l l e 逆谱问题进行了深入的研究，并 且得到了很多结论，其中学者b o r g ，h o c h s t a d t ，l i b e r m a n 和s i m o n 的研究最为突出。 众多学者在研究s t u r m l i o u v i l l e 逆谱问题的基础上，并把一些结论推广到了d i r a c 问题， 也同样成立。 h a r r i s 在研究s t u r m l i o u v i l l e 逆谱问题时，研究了w e y l 函数的渐进状态。1 9 8 5 年， 他把w e y l 函数的渐进表示推广到到d i r a c 问题。随后，a a d a n i e l y a n 用另外一种方法 也得到了s t u r m l i o u v i l l e 问题的w e y l 函数的渐进表示，1 9 9 1 年，a a d a n i e l y a n ， b m l e v i t a n 和a b k h a s a n o v 用同样的方法把w e y l 函数的渐进表示推广到了d i r a e 问 题。 同在二十世纪九十年代，l a u r e n t a m o u r 在分离的边值条件下对d i r a c 逆谱问题做了 研究，他创建一个等谱集的坐标，并且这个等谱集是解析的，没有边界的子流行，给出 了一些等谱流行的显式公式，最后得到了伴随分离自伴边值条件下的所有可能的谱。 随后，la i t i o h r 证明了在d i r a c 逆谱问题中，对于算子m ( p ，q ) ，如果在单位区间 的左半区间或右半区间( p ，q ) 已知的情况下，那么d i r i c h l e t 的谱数据可以确定整个区间 上的( p ，q ) 。换句话说，如果在左半区间上的每对函数是已知的，那么依赖于d i r i c h l e t 的同谱集，可以确定右半区间上的函数，从而确定整个区间上的函数。 h o c h s t a d t 和l i b e r m a n 在研究s t u r m l i o u v i l l e 逆谱问题时，证明了在半区间的势函 数已知的情况下，一组谱就可以确定整个区间上的势函数，在这个基础上，2 0 0 1 年， r d e l r i o 和b g r 6 b e r t 把这个结论推广到d i r a c 问题，他证明出，在r ( 【o ，l 】，c 2 ) 上，对于 妒r ( o ，l 】，c ) ，定义d i r a c 算子 晰= ( 丢+ ( 裂矧， 其中妒= q - p ，y f i e tq 和p 都是实值的，如果妒在区间【口，l 】是已知的，其中口【o ，1 】， 那么两组谱的一部分能够确定整个区间上的缈，谱数据的多少取决于a 的取值。 随后，k i y o s h im o c h i z u k i 和i g o rt r o o s h i n 对d i r a c 逆谱问题做了研究，他们证明出， 在一个有限区间内，在一定的条件下，如果知道特征值，并且知道这个有限区间内的某 第一章绪论 一点的特征函数的信息，那么来确定整个区间上的势函数，同样也是应用的研究 s t u r m l i o u v i l l e 逆谱问题中提到的方法，推广到了d i r a c 逆谱问题。 后来，m i k l 6 sh o r v d t h 在h o c h s t a d t ，l i b e r m a n ，g e s z t e s y ，s i m o n 等学者的研究的 基础上，对d i r a c 问题做了推广，他证明出，在一定的条件下，部分区间的势函数是确 定的，再加上有限的谱数据，所需的谱数据的个数满足一定的条件，就能够确定整个区 间上的势函数。这个结论对d i r a c 逆谱问题的研究起到很重要的作用。 1 4 本文的主要研究内容 本文在总结国内外对逆谱问题最新研究成果的基础上，用w e y l 函数的方法对 s t u r m l i o u v i l l e 系统的确定做了一些补充，并把这种方法推广到d i m e 系统，虽然两种 系统存在着很多差异，但是通过认真分析和对比研究，仍得到了预想的结果。本文的研 究工作主要体现在以下几个方面： ( 1 ) 叙述了s t u r m l i o u v i l l e 算子和d i r a c 算子。对两种算子的特征值及其特征函数 的渐进式做了注解，并给出了两种系统下w e y l 函数的定义。两种系统有很多相似之处， 但是又存在着本质的不同。 ( 2 ) 通过w e y l 函数来确定s t u r m l i o u v i l l e 系统。对于s t u r m l i o u v i l l e 算子，左边 值条件确定，右边值条件不确定的情况下，势函数在部分区间已知，那么，给出一定数 量的谱数据，用w e y l 函数的方法可以来确定整个系统。如果势函数在某点是非常光滑 的，其他条件不变的情况下，我们可以在原给定的特征值的基础上，再减少一定数量， 仍然可以确定整个系统。 ( 3 ) 将w e y l 函数的方法推广到d i r a e 系统，并确定d i r a c 系统。d i r a c 系统的特征 值的分布跟s t u r m l i o u v i l l e 系统有很大的不同，但是又有相似之处，通过查阅文献，运 用一些前人的定理和技巧，把d i r a e 系统转化到与s t u r m l i o u v i l l e 系统类似的形式，同 样对于左边值条件确定，右边值条件不确定的情况下，势函数条件不同时，所需的特征 值的个数也不同，便能确定d i r a c 系统。 1 2 长安大学硕士学位论文 第二章s t u r m l i o u v i l l e 问题的逆谱分析 本章通过研究和分析s t u r m l i o u v i l l e 算子的基本理论，重点分析文献 1 6 1 的主要方 法和结果，并在它的基础上，作了一些推广和补充。 2 1 预备知识 考虑s t u r m - l i o u v i l l e 算于 h = 一面d 2 + g ， ( 2 1 1 ) 出2 满足边值条件 u w ( o ) + “( o ) = 0 ， ( 2 1 2 ) 和 材7 ( 1 ) + j i l ”( 1 ) = o ， ( 2 1 3 ) 其中h 在r ( ( o ，1 ) ) 中，7 j l ru o o ) ，并且g z ( ( o ，1 ) ) 是实值函数。 ( 注：当，铂r 时，可看作情况i ：当，红- - - - 0 0 时，可看作情况i i ；当r ，啊- - - - o o 时， 可看作情况i i i ；当t , o - - 0 0 ，啊r 时，可看作情况) 首先，考虑在【0 , 1 】区间上，边值条件为( 2 1 3 ) 的情况下，设“+ ( z ，x ) 是满足 一。+ g 虬= z 和“：( z ，1 ) = 一啊，虬( z ，1 ) = 1 的解。那么虬有以下性质1 9 1 ： ( i ) 对于任意的x 【o ，1 】，坼( z ，x ) ，以( z ，x ) 都是z 的整函数。 ( 2 ) 对于任意的x 【o ，1 】，当l z l 一时，当边值条件为情况i ，时： 咖摩o s ( 舢) ) + d ( 警 甜：( 引) = , f f zs i n ( 正( 1 一x ) ) + d ( p i i l l 咖j ) 当边值条件为情况i i ，i i i 时： ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) “+ z , x ) ：一 s i n ( r z - ( 1 - x ) ) + 。( e x p ( i m ( 压_ _ z ) ( 1 - x ) ) ) ( 2 1 6 ) 1 3 第二章s t u r m l i o u v i l l e 问题的逆谱分析 u - ( z ，x ) ：c 。s ( j ( 1 一x ) ) + d c e x p ( i m ( , f ，z ) ( 1 - x ) ) ) ( 2 1 7 ) z 其中；是z 的平方根并且i m ( 正) o 。 其次，给出w e y l 函数的高能渐进式： 七刳= 删 给出如卜引理。 引理2 1 在【口，b 】上，m ( z ，口) 唯一确定, nq 。 引理2 2 设f 是整函数，满足 ( 1 ) 对于一些0 p 0，当k 专时，序列rj 0 0 ， 有 s u p 怍ri ，( z ) 怿c 1e x p ( c 2 郾) 成立； ( 2 ) l i m h 州。ri f ( i ：x ) l = o ； 那么f 兰0 。 引理2 3 假设g z ( ( o ，1 ) ) ，在任意扇形占 o ，都有如下等式成立： 豫( 叫) = 一f ( 正) 1 + 。( z - l 2 ) ) 。 引理2 4 如果在( o ，1 ) 附近g 是c 孤，k = o ，1 ，2 ，那么m ( z ，x o ) _ ；f t lm ( z ，x o ) 。1 有如下