（应用数学专业论文）有理型差分方程及其首次近似方程的稳定性研究.pdf

中文摘要 中文摘要 在许多情况下，时间发展变量都是离散的特别是在计算机科学和技术迅猛发展 的推动下，差分方程作为自然发展现象的数学描述应运而生近年来，差分方程理论 迅速的应用到许多不同领域，例如数值分析、控制论和计算机等，s a k u l l l k n s 、g l a d a s 等数学家在线性及有理型差分方程稳定性这个方向上做了大量很好的工作， 并且在一些文献中对线性及有理型差分方程稳定性提出了一些公开问题和猜想本 文主要研究了两类四阶时滞差分方程零解渐近稳定性问题目前解决线性差分方程 稳定性的主要方法之一是研究其特征方程( 多项式方程) 的全部根在复平面上的分布 而我们要讨论的多项式方程的次数大于等于5 ，用正常方法或数学软件无法求出根的 公式解本文综合运用了特征根法等多种方法，在第2 章中分别研究了参数f 为偶数和 奇数时其特征方程所有特征根的分布情况从而在第3 章中给出时滞差分方程住+ 。一 d z 住- f - k n l = 0 零解渐近稳定的充要条件本文最后在此基础上，并利用已知引理 给出一类特殊的有理型差分方程z n + = 者警蠹等等詈萼i 苎兰的零解稳定性判别准则 从而为解决具有此类模型的实际问题提供了理论依据 关键词： 时滞差分方程；稳定性；渐近稳定；特征方程；特征根 a b s t r a c t i nm a n yc a s e s t i m ee v o l v i n gv a r i a b l e sa r ed i s c r e t e d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa p p e a r a sn a t u r a ld e s c r i p t i o n so fe v o l u t i o np h e n o m e n a ，e s p e c i a l l yu n d e rt h er a p i dd e v e l - o p m e n to fc o m p u t e rs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y r e c e n t l y ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n sh a v e b e e nu s e di nv a r i o u sf i e l d ss u c ha sn u m e r i c a la n a l y s i s ，c o n t r o lt h e o r ya n dc o m p u t e r s c i e n c ee t c s o m em a t h e m a t i c i a n s ，s u c h 褐s a k u r u k l i sa n dg l a d a s ，h a v e m a n yg o o dr e s u l t sa b o u ts t a b i l i t yo fl i n e a ra n d r a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h e y p r e s e n tm a n yo p e np r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e sa b o u ts o m ei n t e r e s t i n gt y p e so fd i f - f e r e n c ee q u a t i o n s t h i sp a p e rd e v o t e dt ot h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft w o c l a s s e so f 4 t ho r d e rd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s o n eo fi m p o r t a n tm e t h o d sf o rd i s c u s s i n gs t a - b i l i t yo fl i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n si st os t u d yt h ed i s t r i b u t i o no fa l lt h er o o t so f o u rc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n ( p o l y n o m i a le q u a t i o n ) i nt h ec o m p l e xp l a n e w h e nt h e d e g r e eo fo u rp o l y n o m i a le q u a t i o ni sg r e a t e ro re q u a lf i v e ，w ec a nn o t u s en o r m a l m e t h o d so rm a t h e m a t i c a ls o f t w a r e st og e tf o r m u l a 。s o l u t i o n s i nt h i sp a p e r ，b yu s i n g t h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i cr o o t sa n do t h e rm e t h o d s ，w es t u d yt h ed i s t r i b u t i o no f a l lc h a r a c t e r i s t i c sr o o t sw h e nt h ep a r a m e t e r sli se v e na n do d di nc h a p t e r2 ，a n d g i v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o n o fd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sx n + 4 一a x n + b x n l = 0 f i n a l l yt h i sp a p e r ，o nt h i s b a s i sa n du s i n gk n o w nl e m m a ，g i v e sc r i t e r i o nf o rt h es t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o n o fr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n sz n + l = 者焘等鹾凳告i tp r o v i d e sat h e o r e t i c a l b a s i sf o rs o l v i n gt h ep r a c t i c a lp r o b l e m s 丽t hs u c hm o d e l k e y w o r d s ：d e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n ；s t a b i l i t y ；a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；c h a r a c t e r - i s t i ce q u a t i o n ；c h a r a c t e r i s t i cr o o t 一 黑龙江大学硕士学位论文 符号说明 本文中n 手= n o ，n o + 1 ，n o + 七，) z n ，鲰，磊为定义在n o + 上，取值 为r 3 的函数，其中z n r 1 本文研究的七阶时滞常系数齐次线性差分方程为z n 诎一 口z n + 妇n l = 0 ， n = 1 ，2 ，其中n ，6 为实常数；七，f 是正整数入o + 七一a a + b = o 为其特征方程有理型差分方程记为+ l = 之笺篆岽鸶畿， n = 1 ，2 ， 记，( + o o ) = l i m u - + + ，( u ) ，u ( o + 0 ) = l i m 。舻u ( c ) ，同理定义，( 一o 。) ，t 正( o o ) p = r ( c o s0 + is i n 口) 为向量的极坐标表示，其中i 为虚数单位，r 为向径，口为幅角妾表 示r 关于变量c 的导数设z r 1 ，用表示不超过z 的最大整数五矿+ ，正矿一，五矿+ ，上r 一 分别表示满足一定要求的区f b q ( o ，7 r ) 的子区间b ( y ，6 ) 表示以可为中心，6 为半径的 开球如果y = 0 ，我们把它简记为b 6 f ( n ，) ，f ( n ，) ，( n ，鲰) ，9 ( 佗，孙) 为同 类函数，满足，：n 吉b o _ b o 且，( n ，0 ) = 0 a ( n ) 为s s 矩阵当a ( n ) 的取值不 依赖礼时，a 为s s 常数矩阵0 i l 为矩阵或向量的范数g ( z ，) 和r ( x ，) 是定义 在b 6 b 6 上，取值于r 1 的二元函数o 。a 。o 。a ，一示, g 、x ，y ) 关于第一、二个 变量的一阶偏导数；等，等和巍分别表示函数g ( z ，秒) 关于第一、二个变量的二 阶偏导数和二阶混合偏导数 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨垄婆丕堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料 学位论文作者签名：屯觚 签字日期：砷年f 月扩日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授 权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：乏妨 l 签字日期：1 年f 月g 日 导师签名： 石叩专 签字日期叩耵月孑日 鬻主鬈糯锐味螈脚必彻订工作单位：僵珠椭饼千艺。 电话：廖罗蜓争西夕烈 通讯地址：五蝌再娥市 蝴：l 寸够7 第1 章绪论 1 1课题背景 第1 章绪论 自上世纪七十年代以来，泛函微分方程的稳定性理论取得了迅速发展系统稳定 性是任一以实际问题为背景的动力系统所必须考虑的重要属性之一，差分方程( 也 称离散动力系统) 也不例外非线性差分方程是在生物生态学、神经网络理论、经济 学、动力系统、电子线路分析、统计学及人口理论等领域的数学模型中产生它们 中的不少现象只能用差分方程这种离散的数学模型来描述非线性差分方程的稳定 性问题可以简化为相应的线性差分方程的稳定性问题线性差分方程的渐近稳定性 可以简化为讨论相应特征方程的根的位置线性及有理型时滞差分方程稳定性由实 际问题的推动，近年来，已受到了许多著名学者的关注探求判别差分方程解的稳定 性准则已发展成为差分方程方向的研究热点之一，并有相当多的专著和学术论文出 版发表【1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 】s a k u r u k l i s 在文【1 2 】中第一个对作为种群 生态学数学模型一阶带两个参数的线性时滞差分方程进行了稳定性分析，并得到了 完整的渐近稳定的充要条件此后，美国，中国等国数学家在这个方向上继续作了大 量很好的工作【1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，l9 】g l a d a s 等在文 2 0 j t 其中所附的一些文 献中对线性及有理型时滞差分方程提出了大量的公开问题和猜想f 2 1 ，2 2 】，它们吸引 许多学者从事这领域的研究此方向还有许多重要的问题有待解决，我们将致力 于解决或回答有理型差分方程的稳定性及一些公开问题和猜想 1 2已有结果 有理型差分方程z 。= 署鬻的稳定性问题可通过多元函数的泰勒公式 转化为线性差分方程的稳定性问题 本文主要研究时滞线性差分方程 + 七一a x n + 6 一i = 0 仃= 1 ，2 ，( 1 1 ) 零解的渐近稳定性已有很多学者针对方程( 1 1 ) 中的参数a ，b ，z ，七取特定值时，建 立了其零解渐近稳定的条件( 充要条件) 在文【3 】中，l e v i n 和m a y 给出了一阶时滞差分方程 z n + 1 一z ”+ 6 留n 一七= 0 ，n = 0 ，1 ，2 ， 黑龙江大学硕士学位论文 零解渐近稳定的充要条件，其中6 是常数：七是正整数在文【1 2 】中，k u r u k l i s 得到一阶 时滞差分方程 + 1 一a x n + b x n k50 ，n = 0 ，1 ，2 ， 零解渐近稳定的充要条件，其中a ，6 是常数，七是正整数在文【2 3 】中，n a g a b u c h i 给出 了一阶多时滞差分系统 y n + 1 一鲰+ a 墨ly n b = 0 ， n = 0 ，1 ，2 ， 渐近稳定性的一个充要条件，其中a 是常量矩阵，如和是非负整数在文【2 4 】中，o g i t a ， m a t s u n a g a 和h a r a 得到了一阶多时滞差分方程 一 + p 墨1y n 一七十( j f l ”= 0 ，n=0xn+l x np y n，1 ，2 ， 一 十l f ：l 一七十( j f l ”2 ， n2 ，上，z ， 零解渐近稳定的充要条件，其中p 是常数，k ，n 和f 是非负整数d a n n a n 在2 0 0 4 年的 文 2 5 】中，研究了高阶时滞差分方程( 1 1 ) 零解渐近稳定性但其在引理6 的证明中存 在一些问题，从而无法说明结论的正确性在文 2 6 ，2 7 15 b ，任洪善和王艳涛分别给出 了时滞差分方程( 1 1 ) 当k = 2 ，3 时，零解渐近稳定的充要条件 微积分不等式估值法、不动点理论【2 8 】、比较原理与李雅普诺夫第二方法都是研 究时滞差分方程与微分方程稳定性问题的常用方法目前研究线性差分方程稳定性 的主要方法之一是判别其特征方程根在复平面上的分布它们的特征方程为多项式 方程例如，差分方程( 1 1 ) 的特征方程为 义+ 七一口义- i - b = 0 ( 1 2 ) 对于阶数较低的方程有参数法等许多方法台湾清华大学c h e n gs u is u n 利用e n v e l o p e 方法在文 2 9 ，3 0 】中通过研究四阶以下多项式方程的s u b n o m a lc h a r a c t e r i s t i cr e - g i o n s ，得出取特殊参数的差分方程渐近稳定的充要条件但当特征多项式的阶数 大于等于5 时，数学软件因无五阶以上多项式方程的公式解而无法出s u b n o r m a l c h a r a c t e r i s t i cr e g i o n s ，从而很难求解这也正是本课题的难点 1 3本文主要研究内容和主要结果 本文我们主要研究时滞线性差分方程( 1 1 ) 中七= 4 时，即方程 z f l + 4 一a t , n + b x n l = 0 n = 1 ，2 ，( 1 3 ) 一2 一 第1 章绪论 零解的渐近稳定性从研究其对应特征方程 a t + 4 一n 义+ b = 0 ( 1 4 ) 的根的所在位置入手，其中口，6 是常数，z 是正整数，研究方程( 1 4 ) 的实根和虚根的分 布情况，及各根随参数的变化情况，最后通过已知引理得到了方程( 1 3 ) 零解的渐近 稳定的充要条件以及一类有理型差分方程 +1=,63x,-3+a+3xn-l-sa+b3xn-3+bl+3xn-l-3 n = 1 ，2 ，+ 1 。 n2l ，z ，。 的零解稳定性判别准则，其中a 0 记 b ( a ，0 ) = v a 2 - 2 a c o s 4 0 + 1 ( 1 5 ) ( 1 6 ) s ( p ) = _ s i n ( 面+ 广4 ) 0 ( 1 7 ) 本文的主要结果是 定理1 1 若a ，6 是非零实常数，f 为正整数方程z n “一a x n + b x n l = 0 零解渐近 稳定，当且仅当下列条件之一成立： ( 1 ) 当c 兰o ( m o d4 ) 时，h 半，且 ( i ) 当f 三0 ( r o o d8 ) 时，l b a i 1 ，i b i 、0 2 2 1 a ic o s 4 + 1 ； ( i i ) 当2 三4 ( m o d8 ) 时，i o i 一1 b a 2 2 1 a lc o s4 + 1 ， 其中咖是方程s ( 口) = 在区间( o ，雨1 1 ) 内的解 ( 2 ) 当z 三2 ( r o o d4 ) 时，i a l 1 ，r o a 1 ，| 6 i b 1 一n 或一1 口 0 ，1 6 i b b ( a ，扩) ， 其中矿是方程s ( 口) = 口在区间( 4 “l + + 2 4 ) 7 r ，署) 内的解 ( 3 ) 当f 三l ( m o d4 ) 时，l 口i 1 ，1 6 l b b ( a ，q 1 1 ) ( 4 ) 当f 三3 ( r o o d4 ) 时，i a i 1 ，i b l b ( a ，也) ， 其中毋，2 分别为方程s ( 口) = n 在区间( 杀7 r ，詈) 和( 署，杀丌) 内的解 定理1 2 方程( 1 5 ) 零解渐近稳定的一个充分条件是下列条件之一成立： ( 1 ) 当f 三0 ( m o d 4 ) 时，i 风i 半i a i ，且 ( i ) 当2 兰0 ( m o d8 ) 时，l 局+ 3 + 风i i a i ，i 崩+ 3 i 腭一2 l a b 3 lc o s 4 + a 2 ； ( i i ) 当2 兰4 ( r o o d s ) 时，i 风i - i a i 一屈+ 3 s i g a a 藤一2 1 a ，3 lc o s 4 + a 2 ， 其中咖是方程s ( p ) = l 鲁l 在区间( o ，南) 内的解 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 ( 2 ) 当2 兰2 ( r o o d4 ) 时：i 岛i i a i ，且o 鲁 1 ，i 屈+ 3 l ( 1 一鲁) i a i 或- 1 鲁 0 ，i 屈+ 3 l l a i 6 ( 鲁：矿) ， 其中矿是方程s ( 口) = 鲁在区间( 旅南7 r ，署) 内的解 ( 3 ) 当f 兰l ( m o d 4 ) 时，i 风i l a i ，i 岛+ 3 l i a f 6 ( 鲁，1 ) ( 4 ) 当z 兰3 ( m o d 4 ) 时，i 风l 0 ，使得对任意y o b 6 ，方程( 2 1 ) 的解b e 定义2 3 1 2 1 方程( 2 1 ) 的解y = o 被称为一致稳定的，如果它为稳定的，并且6 的选 取不依赖于伽 定义2 4 【2 】方程( 2 1 ) 的解y = o 被称为吸引的，如果存在6 ( n o ) 0 ，使得对任 意y o b 6 ，有址= 0 定义2 5 【2 l 方程( 2 1 ) 的解y = o 被称为一致吸引的，如果它为吸引的，并且6 的选 取不依赖于伽 定义2 6 【2 】方程( 2 1 ) 的解! ，= o 被称为渐近稳定的，如果它是稳定的和吸引的 定义2 7 【2 】方程( 2 1 ) 的解y = o 被称为一致渐近稳定的，如果它是一致稳定的和 一致吸引的 定义2 8 【2 1 方程( 2 1 ) 的解y = o 被称为一致指数稳定的，如果存在6 0 ，口 o ，叼( o ，1 ) ，使得如果珈b 6 ，则有i i i l q 0 珈i l 矿一n 0 当方程( 2 1 ) 中，( n ，) = 4 ) 鲰时，其中a m ) 为s s 矩阵，则差分方程( 2 1 ) 变 成线性差分方程 鲰+ 1 = a ( n ) 蜘 一5 一 ( 2 2 ) 黑龙江大学硕士学位论文 定义2 9 1 2 】；g p o ( n ) = 1 ，p l ( n ) ，m ( n ) ：夕n 是定义在n 乞上的七+ 2 个函数， y n r 1 如果p k ( n ) 0 ，形如 鲰+ 七+ p 1 ( 佗) 鼽+ 七一1 + + p k ( n ) y = g n( 2 3 ) 的方程被称为k 阶线性差分方程 如果方程( 2 3 ) 中系数办( n ) 相对于佗是常数：我们得到常系数线性差分方程： 其相应的齐次方程为 七 f 办伽歹= 夕n ， = 1 p o 1 乙办3 f n + 七一歹2 夕n ， 2 j = o 七 e 乃鲰+ 七一= 0 j = o i j1 理2 1 1 2 1 方程( 2 5 ) 有形如 骱= 矿 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 的解，其中z c ，2 0 ，并且满足 七 p ( z ) = 岛z 扣l 0 ( 2 7 ) j = o 方程( 2 7 ) 是一个多项式方程，在复数域中有七个解并且它被称为方程( 2 5 ) 的特 征方程，多项式p ( z ) 被称为其特征多项式 注2 1 任意一个高阶差分方程总可以找到一个形如( 2 1 ) 的差分系统，两者关于稳 定性是等价的，且对线性方程来说，它们具有相同的特征方程因此，关于方程( 2 5 ) 零 解各种稳定性的定义就是与方程( 2 5 ) 等价的系统( 2 1 ) 零解相应各种稳定性的定义 引理2 2 1 2 1 方程( 2 5 ) 的零解是渐近稳定的，当且仅当其特征多项式的根都落在 复平面的单位圆盘内 引理2 3 1 2 】若n n n o ，0 对于固定的住，g ( n ，r ) 相对于变量r 是单调非减函 数假定对n n o 有不等式 y n + 1 g ( n ，蜘) ， u n + 1 g ( n ，u n ) 成立，则 鼽1 0 u r l 0 6 一 第2 章预备知识 蕴含着 鲰s 定义2 i 0 2 1 函数被称为k 类函数，如果它在( o ，口) 上连续，严格递增的，且( o ) = 0 定义2 1 1 2 1 函数y ( n ，z ) 是正定的( 或负定的) ，如果存在函数妒k ，使得( i lz0 ) v ( n ，z ) ( 或y ( n ，z ) 一妒( 0zl i ) ) ，v ( n ，z ) n 之b 口 引理2 4 1 2 1 假定存在两个函数y ( 佗，z ) 和夕( n ，u ) 满足下列条件： ( 1 ) g ：n 乞xr + _ r + ，夕( 佗，o ) = 0 ，9 ( n ，仳) 关于u 是非减的； ( 2 ) v ：n 乞r + _ r + ，v ( n ：0 ) = 0 ，y ( n ，u ) 是正定的，并且关于第二个变 量是连续的； ( 3 ) v ( n + 1 ，y n + 1 ) v ( n ，跏) + u ( 佗，y ( 他，鲰) ) 兰9 ( 仡，v ( n ，) ) ； 则 ( a ) 方程+ 1 = g ( n ，) 的解 a n = o 稳定蕴含着= o 稳定，o ( b ) 解 a n = o 渐近稳定蕴含着= o 渐近稳定 引理2 5 1 2 1 假定存在一个函数y ( 佗，z ) ，使得 ( 1 ) v ：n 乞b 。一r + ，v ( n ，0 ) = o ；v 是正定的，并且关于第二个变量是连 续的； ( 2 ) a v ( n ，y n ) - u ( i i 蜘i i ) ，p k 则方程鲰+ 1 = f ( n ，鲰) 的零解是渐近稳定的 当方程( 2 1 ) 中，( n ，铷) = a ) 鲰+ i ( n ，鲰) 时，其d p f ( n ，0 ) = o ，则差分方 程( 2 1 ) 变成线性差分方程 们汁1 = 4 ( n ) + z ( n ，鲰) ( 2 8 ) 当，在某种意义上说相对小时，我们把方程( 2 8 ) 看成方程( 2 2 ) 的一个扰动方程 它们零解的稳定性有一定的关系 引理2 6 【2 】考虑方程 蜘+ 1 = a y + 1 ( n ，蜘) ，( 2 9 ) 其中a 的所有特征值都在单位圆盘内，并且相对于n 一致有 v l i 枷m 帮一o ( 2 1 0 ) 则方程( 2 9 ) 的零解是指数渐近稳定的 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 引理2 7 1 2 假定 l ij ( n ：骱) i i ki l l i ( 2 1 1 ) 其中 n 是正的，e 器加k o 是充分小的，方程( 2 2 ) 的零解一致渐近稳定的，则方程( 2 8 ) 的零解也是指 数渐近稳定的 引理2 9 【1 1 】若七= 1 ，f 为给定的正整数，o 和6 为任意实数，则方程( 1 1 ) 的零解是 渐近稳定的，如果 l a i + 1 6 i b 1 引理2 i 0 3 若七= 1 ，a = 1 ，z 为任意的正整数，6 为任意实数，则方程( 1 1 ) 的零 解是渐近稳定的，当且仅当 0 b 2 c o s 括 引理2 1 1 【1 2 】若七= 1 ，f 为任意的正整数，口和6 为任意实数，则方程( 1 1 ) 的零解是 渐近稳定的，当且仅当i n i 半，并且当z 为奇数时， i a i 一1 6 v a 2 2 i 口ic o s - - l ； 当z 为偶数时， i b a i 1 ，1 6 i b “瓦刁币丽， 苴由- - 小 f 喃，音i 程 - - 堂s 吐e n l 0 坐= i o i 在区间( o ，击) 内的解 引理2 1 2 2 6 1 若南= 2 ，q 和6 为任意常数，：为正整数 ( 1 ) 当f 为奇数时，方程( 1 1 ) 的零解是渐近稳定的，当且仅当0 d 1 ，i b i 1 一o ：或一1 o 0 ，i b l b ( a ，譬) ，其中l 具青i 趣 。塑s 吐i n l 0 坐= o 在区间( 老南7 r ，吾) 内 的解； ( 2 ) 当f 为偶数时，方程( 1 1 ) 的零解是渐近稳定的，当且仅当o 口 竽，口一1 b 6 ( 口，誓) ，或一半 口 0 ，l a l 一1 ( 一1 ) m b b ( a ，譬) ，其中仇= ；一2 嘲+ l ，如和九分别是方程黜= n 在区间( o ：南) 和( 东两，詈) 内的解 一8 一 第2 章预备知识 2 2 平凡情况的研究 当a b = 0 时都很容易解决，以下分三种情况简单讨论一下： 1 若a = b = 0 方程( 1 4 ) 变成a f “= 0 ，则方程只有f + 4 重零解故方程( 1 3 ) 的 零解一定是渐近稳定的 2 若n = 0 ：b 0 方程( 1 4 ) 变成入“- i - b = 0 ，则方程具有同模为1 6 i 南的z + 4 个 根故方程( 1 3 ) 的零解是渐近稳定的，当且仅当l b i 1 3 若口0 ，b = 0 方程( 1 4 ) 变成入o + 4 一a = 0 ，则方程具有同模为i o | 三的四个 非实根和2 重零解故方程( 1 3 ) 的零解是渐近稳定的，当且仅当l a l 1 因此，我们以下假定口6 0 2 3 本章小结 本章首先介绍了与本课题相关的基本概念和引理，最后给出当所研究的差分方 程中参数口，6 取特殊值，即0 6 = o 时，方程渐近稳定的充要条件 一9 一 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章四阶时滞差分方程的渐近稳定性 3 1z 为偶数时方程的渐近稳定性 当2 为偶数时，分以下两种情况研究： 1 z 兰o ( m o d4 ) ，i l p l = 4 m ，m n + ，则方程( 1 4 ) 可化为 a 饥“一口入4 m + b = 0 令z = 入4 ，则方程( 3 1 ) 变化为 z m + 1 一o , z 仇+ b = 0 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 若方程( 3 1 ) 的根入满足 1 ，则有i z l = l 入4 l 1 ，即方程( 3 2 ) 的根也在单位圆盘内 如果方程( 3 2 ) 的根满足h 1 ，即i 入4 i 1 ，则有 1 故只需研究方程( 3 2 ) 的根 落在单位圆盘内的充要条件由引理2 1 1 可知： 定理3 1 当f 三o ( m o d4 ) 时，方程( 1 3 ) 零解渐近稳定的充要条件是l a i ! 专生， 当2 三0 ( m o d 8 ) 时，l b n i 1 ，i b i a 一2 i n ic o s 4 咖+ 1 ； 当f 三4 ( m o d8 ) 时，i a i 一1 b a 一2 1 a ic o s 4 + 1 ， 其中是方程s ( o ) = 川在区间( o ，南) 内的解 2 1 兰2 ( r o o d 4 ) ，即2 = 4 m + 2 ，m n + ，则方程( 1 4 ) 可化为 入4 m + 6 一n 入4 m + 2 + b = 0 令z = 入2 ，则方程( 3 3 ) 变化为 2 ( 2 m + 1 ) + 2 一a z 2 m + l + b ：0 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 若方程( 3 3 ) 的根入满足 1 ，则有h = l a 2 i 1 即方程( 3 4 ) 的根也在单位圆盘内 如果方程( 3 4 ) 的根满足h 1 ，a p l a 2 l 1 ，则有川 1 故只需研究方程( 3 4 ) 的根 落在单位圆盘内的充要条件由引理2 1 2 可知： 定理3 2 当2 三2 ( m o d4 ) 时，方程( 1 3 ) 零解渐近稳定的充要条件是o a 1 ，i b i 1 一n 或一1 口 0 ，i b i 0 ，则方程( 1 4 ) 可写成 z i + 4 一z z + c = 0 其中z2 主，c2 寿4 - 口 口 若a 0 ，方程( 3 5 ) 有唯一负实根p 1 ( c ) ，满足p 1 ( c ) ( - - 0 0 ，- 1 ) 并且实 根p l ( c ) 严格递减，p l ( o + 0 ) = - 1 ，h m h + u l ( c ) = 一。o ( 1 ) 0 c p 方程( 3 5 ) 仅有两个正实根他( c ) 和p 3 ( c ) ，满足0 助( c ) o t p 3 ( c ) p 方程( 3 5 ) 无正实根 2 如果c 0 ，方程( 3 5 ) 有唯一正实根一p l ( 一c ) ，满足一p 1 - - c ) ( 1 ，+ o o ) ，并且 随着i c l 的增加，i u l ( 一c ) i 严格递增 ( 1 ) 一p c 0 方程( 3 5 ) 仅有两个负实根一p 2 ( 一c ) ，一p 3 ( 一c ) ，满足- i 一助( 一c ) - - o r - m ( - c ) o ； ( 2 ) c = 一p 一q 为方程( 3 5 ) 的唯一的二重实根； ( 3 ) c 0 ，故函数值，( t ) 严格递增；当一o t t 正 0 ，当乱 0 因 此方程( 3 5 ) 有唯一负实根p 1 ( c ) ，且肛l ( c ) ( 一o 。，- 1 ) c ( u ) = u l u 件4 = u l ( 1 一 心4 ) ，c ，( u ) = ( f + 4 ) 0 - 1 ( o r 2 + u 2 ) ( q u ) ( 乜+ 仳) 则函数c ( u ) 在( 一口，o ) 和( o ，q ) 上 是严格递增的；在( 一o o ，一a ) 和( 口，+ o o ) 上是严格递减的，且c ( - a ) = 一卢，c ( - 1 ) = c ( o ) = c ( 1 ) = 0 ，c ( q ) = p ，l i m 。_ + 一c ( 仳) = + o o 由反函数定理【3 1 】可知：实根p 1 ( c ) 严 格递减 m ( o + 0 ) = - 1 ，l i 弛+ 佃u l ( c ) = 一o 。 ( 1 ) 0 c 0 ，f ( o t ) = 一卢+ c 0 ，( + o 。) = + o o 当0 u 0 ，有函数值，( u ) 严格 递增；方程( 3 5 ) 仅有两个正实根p 2 ( c ) ，p 3 ( c ) ，满足0 p 2 ( c ) q 0 ，( q ) = 一p + c 0 ，( + o 。) = + o 。，函数，( u ) 的 单调性，故得证此时方程( 3 5 ) 无正实根 2 证明略 引理3 2z 为一个奇正整数，c 为一非零实数 1 如果c 0 ，方程( 3 6 ) 无正实根，有唯一负实根纵( c ) ，满足m ( c ) ( 一o o ，o ) ， 并且其在区间( o ，+ o o ) 上是严格递减的； 2 如果c 0 ，e ( u ) o 时，夕( 一o o ) = 一o o ，g ( o ) = c 0 ，9 ( + o 。) = + o o 故方程( 3 6 ) 无 正实根，有唯一负实根p 4 ( c ) ，满足纵( c ) ( 一o o ，o ) ，由反函数定理可知，其在区 间( o ，+ o o ) 上是严格递减的，满足l i m c _ 件4 ( c ) = 一 2 当c o 时，夕( 一o o ) = 一o 。，g ( o ) = c 0 ，夕( + 。o ) = + o o 故方程( 3 6 ) 无负实 根，有唯一正实根一出( 一c ) ，满足一触( 一c ) ( 0 ，+ o o ) 由1 可知，其在区间( 一o o ，o ) 上 是严格递增的 3 3 z 为奇数时方程( 3 5 ) 非实根的研究 引理3 3f 为一个奇正整数，c 为一非零实数，则方程( 3 5 ) 无纯虚根 第3 章四阶时滞差分方程的渐近稳定性 i i_ 证明：由于，( t ) = “一t 。+ c 易知，当f 为一个奇正整数时，对于功r 1 ， 有f ( i y ) = i t “一i + c = 2 ( 可m y 。) + c 0 ( 因c o ) 故方程( 3 5 ) 无纯虚根 以下研究区间( o ，7 r ) 的子区间： 可+ = o 口 三 u q o ) s i n l o 0 ，s i n ( + 4 ) 0 o ) u p o ) u 等 口 州s i n 阳 o s i n ( ? + 4 ) 护 o ) 时一= o 口 三l s i n l o o ) s i n l o 0 ，s i n ( + 4 ) 0 o ) u 等 o ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 记跗= ( o o ) ，瞄= 署 秒 考ls i n l 8 0 ，s i n ( + 4 ) o o ) ，瞄= 詈 o ) ，瞄= 警 口 7 r is i n l 8 0 ，s i n ( + 4 ) p o ) ；e 打= o 口 三l s i nl o 0 ，s i n ( t + 4 ) p o 】- ， 班= 鼍 o ) ，略= 蓦 p 百3 f f l s i n l 8 0 ，s i n ( + 4 ) 口 o ) ，e ”+ - = 孚 o ) 1 阱： 刎：s i n i o 0 1 l s i n ( 1 + 4 ) 0 o 可知：t 2 k i t 口 学丌，器 口 带7 r 因为0 p 吾，显然七应满足 鬻 争 觜丌 学丌 则忌满足o t 2 k l r 糌7 r 乏，即o k 故跗= u 坦。( 字，2 。k + + 4 l c ，r i 2 聪： 剁：s i n1 8 o j i s i n ( 1 + 4 ) 8 o 可知：竿7 r p 学，错7 r p 带7 r 因为等 0 吾，显然七应满足 学7 r 糌7 r 牟 肾7 r 现将满足要求的k 分为两种情形： 1 3 一 丌一2丌一4薪，可 乳 霄矿v u 从 黑龙江大学硕士学位论文 第一种情形为七满足署 糌7 r 牟 吾，即 k ； 第二种情形为七满足署 等7 r 詈 学，即 o 可知：竿丌 p 学7 r ，器 p 觜7 r 因为吾 口 等，显然七应满足 器 学丌 酱丌 学7 r 将满足要求的七分为两种情形： 第一种情形为七满足詈 竿7 带7 r - 斯i - ，即 + 1 k 警+ 1 第二种情形为七满足半7 r 吾 错7 r ，即 + k ；+ 1 当z 三l ( m o d4 ) 时，即2 = 4 m + 1 ，m n + ，有 + = 仇+ i ，三+ 1 = 仇+ i 故满足第二种情况的正整数七= 等取此七值所对应的区间为( 詈，杀7 r ) 当f 兰3 ( r o o d4 ) 时，即f = 4 m + 3 ，m n + ，有砉+ 圭= m + i ， + 1 = m + i 故满足第二种情况的正整数尼不存在 从而有 4 由条件s i n2 口 o 1 丑s i n ( 1 + 4 ) 9 o 可知：学7 r 伊 学7 r ，糌7 r 口 酱7 r 因为等 p 7 r ，显然七应满足 学7 f 酱7 r 学丌 觜7 r 现将满足要求的k 分为两种情形： 第一种情形为七满足等 错丌 学7 r 7 r ，即警+ 1 k ；+ 1 一1 4 一 m 啪 糌 豁媚轨 揣王耋 晤嵯 硌 第3 章四阶时滞差分方程的渐近稳定性 第二种情形为七满足等 错7 r 7 r 学7 r ：即；+ 1 k - 4 - 墨满足第二种 情况的正整数k 不存在 从而有 掰= u 11 七 ；：1 + 盼12 、2 2 k “+ l 叽学7 r ) 5 e 。+ ，- ： 由条件s i n f p o 1 l s i n ( i + 4 ) 0 o 可知：呈学7 r 0 牟，等7 r 0 器 因为0 0 i 1 1 ，显然应满足 哿丌 竿丌 器 字 则七满足o 学霄