（应用数学专业论文）黎曼积分中的问题和反例.pdf

l _ 二 碰士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 中文摘要 2 0 世纪初期，勒贝格( l e b e s g u e ) 测度与积分理论的发展奠定了近代分析数学的 基础，而这一变革和发展的根基就是经典的黎曼( r i e m a n n ) 积分。因而r i e m a n n 积 分的概念和理论是十分重要的在数学分析的教学中，r i e m a n n 积分占据了主导内 容，同时也是学习数学分析的后续课程一常微分方程、复变函数论、实变函数论、 概率论以及力学课程的重要基础。 本文主要分析探究了高等数学和数学分析教材中的积分计算和积分证明中出 现的错误，总结了正确解决这些问题所需要注意的问题，事实证明正确理解r i e m a n n 积分的相关概念和性质是关键。 论文具体由以下六章构成： 第一章介绍了相关背景和论文选题的动机和意义。 第二章述叙了不定积分、定积分、第二型曲面积分的有关定义、性质和计算方 法。 第三章给出了现行的高等数学教材中出现的不定积分中的常见错误。 第四章总结了定积分证明或计算中出现的常见错误。 第五章分析了第二型曲面积分计算中的错误以及应该注意的问题。 第六章对r i e m a n n 积分中容易出现的错误进行了小结，并指出正确理解r i e m a n n 积分的概念是正确解题的基础。 关键词：黎曼积分；不定积分；定积分；曲面积分 a b s t r a c t i nt h ee a r l y2 0 t hc e n t u r y , t h ed e v e l o p m e n to fl e b e s g u em e a s u r ea n di n t e g r a ls e t t l ea f o u n d a t i o nf o rl a t e s tm a t h e m a t i ca n a l y s i s h o w e v e rt l l eb a s eo ft h i sc h a n g ea n d d e v e l o p m e n tw a sc l a s s i c a lr i e m a n ni n t e g r a l t h u st h ec o n c e p ta n dt h e o r yo fr i e m a r m i n t e g r a li sv e r yi m p o r t a n t d u r i n gm a t h e m a t i c a la n a l y s i st e a c h i n gp r o c e d u r e ，r i e m a n n i n t e g r a lo c c u p i e st h el e a d i n gp o s i t i o n m e a n w h i l e , i t st h ei m p o r t a n tc o n t i n u o u sc o u r s e s u c ha sc o n s t a n td i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，c o m p l e xf u n c t i o n ，r e a lf u n c t i o nt h e o r y , p r o b a b i l i t y t h e o r y , d y n a m i c a lc o u r s ea n ds 0o na f t e rm a t h e m a t i c a la n a l y s i s t h ep a p e r sm a i n l ya n a l y z e dt h em i s t a k ea p p e a r i n gi nt h ep r o c e s so fi n t e g r a l c a l c u l a t i o na n di n t e g r a lp r o v i n gi nt h ea d v a n c e dm a t ha n dm a t ha n a l y s i sa n dt h e nm a d ea c o n c l u s i o no fh o wt od e a lw i mt h e s ep r o b l e m sc o r r e c t l y t h ef a c tp r o v e dt h a t u n d e r s t a n d i n gr i e m e r mi n t e g r a lc o n c e p ta sw e l la si t sc h a r a c t e ri st h ek e yp o i n t t h ep a p e rc o n s i s t so f t h ef o l l o w i n gs i xp a r t s ： c h a p t e ro n ei n t r o d u c e dt h eb a c k g r o u n d , m o t i v a t i o na n ds i g n i f i c a n c eo f c h o o s i n gt h e r i f l e c h a p t e rt w og a v eo u ts o m er e l a t i v ec o n c e p t s ，c h a r a c t e r sa n dc a l c u l a t i o nm e t h o d so f i n d e f i n i t ei n t e g r a l 、d e f i n i t ei n t e g r a l 、t h es e c o n dc u r v e da r e ai n t e g r a l c h a p t e rt h r e ed i s p l a y e dt h ec o m m o n m i s t a k e sa p p e a r i n gi nt h ei n d e f i n i t ei n t e g r a lo f t h ea d v a n e e dm a t h c h a p t e rf o u rm a d et h ec o n c l u s i o no fc o m m o nm i s t a k e st u r n i n go u td u r i n gt h e p r o c e d u r eo f c a l c u l a t i n ga n dp r o v i n gt h ed e f i n i t ei n t e g r a l c h a p t e rf i v ea n a l y z e dt h em i s t a k e si nc a l c u l a t i n gt h es e c o n dc u r v e da r e ai n t e g r a la n d t h ep r o b l e m ss h o u l db et a k e nc a r eo f c h a p t e rs i xm a d ea l i t t l ec o n c l u s i o nt ot h em i s t a k e se a s i l yc o m i n go u ti nr i e m a n n i n t e g r a l ，m e a n w h i l ei tg a v eo u tt h eb a s eo f u n d e r s t a n d i n gr i e m a n ni n t e g r a lc o n c e p t s k e yw o r d s ：r i e m a n ni n t e g r a l ；d e f i n i t ei n t e g r a l ；i n d e f i n i t ei n t e g r a l ；c u r v e da r e a i m e g r a l i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文。是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作粼：矽睁献 魄呷年月冶日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 导师签名铜柱1 j 月巧日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。囡童途塞握銮卮澄蜃i 旦兰生；旦二生i 旦三生筮盔! 作者签名 争p 泵状 导师签名： 嘲：1 年岁月涉日 嘲： 么百枉) 1 i 1 年j 月以日 状舻弓 呻年 叛q 者期 昨日 叫 、 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 1 绪言 1 。1 综述 1 6 世纪，资本主义开始发展并兴盛起来。手工业作坊逐渐地改革为工场手工业 生产，并进而转化为以使用机器为主的大工业。因此，对数学提出了新的要求。这 时，对运动的研究变成了自然科学的中心问题。实践的需要和各门科学本身的发展 使自然科学转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着的量之问的依赖关系 的研究。作为变化着的量的一般性质和它们之间依赖关系的反映，在数学中产生了 变量和函数的概念。数学对象的这种根本扩展决定了数学向额的阶段，即向变量数 学时期的过渡。数学中专门研究函数的领域叫做数学分析。所以，从1 7 世纪开始 的数学的新时期变量数学时期，可以定义为数学分析出现与发展的时期。变量数 学建立的第一个决定性步骤出现在1 6 3 7 年笛卡儿的著作几何学。这本书奠定了 解析几何的基础，它一出现，变量就进入了数学，从而运动进入了数学。恩格斯指 出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数， 辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了” 变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼茨在1 7 世纪后半叶建立了 微积分。事实上牛顿和莱布尼茨只是把许多数学家都参加过的巨大准备工作完成 了，它的原理却要溯源于古代希腊人所创造的求面积和体积的方法。 除了变量和函数概念以外，以后形成的极限概念也是微积分以及进一步发展的 整个分析的基础。 同微积分一道，还产生了分析的另外一些部分：级数理论、微分方程论、微分 几何。所有这些理论都是因为力学、物理学和技术问题的需要而产生并向前发展的。 在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础不稳固，在微积 分的研究和应用中出现了越来越多的谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的令人 不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。 虽然在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注意到从逻辑上 加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批评。一些数学家进行过长期 的争论，并且，两位创立者本人对此学科的基本概念也不满意。对有缺陷的基础最 强有力的批评来自一位非数学家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教。他坚 o 硕士学位论文 m a s t e r l st h e s i s 持，微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。 第一个为解决第二次数学危机做出了突出贡献的是达朗贝尔。他在1 7 5 4 年指 出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这 样的理论。最早使微积分严谨化的是拉格朗日。为了避免使用无穷小推理和当时还 不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒展式的基础上。但是， 这样一来，考虑的函数的范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收 敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问 题。 到了1 9 世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分学的奠基工作而 努力。首先要提到是捷克的哲学家和数学家波尔查诺。他开始将严格的论证引入到 数学分析中。1 8 6 1 年，他在二项展开式的证明中，明确地提出了级数的概念，同时 对极限、连续和变量有了较深刻的理解。特别是，他曾写出无穷的悖论一书， 书中包含了许多真知灼见。可惜，在他去世两年后( 1 8 5 0 年) 才得以出版。 分析学的奠基人，公认是法国的多产数学家柯西。柯西在数学分析和置换群理 论方面做了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。他在1 8 2 1 1 8 2 3 年问出 版的分析教程和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作。在那里他给出 了数学分析一系列基本概念的精确定义。例如，他给出了精确的极限定义，然后用 极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。这些定义基本上就是 今天我们微积分课本中使用的定义，不过现在写得更加严格一些。 1 2 研究的目的与意义 本文所说的高等数学，是指大学一年级的高等数学课程的内容，主要是微分学、 积分学、无穷级数理论和常微分方程初步三部分内容；本文所说的数学分析，是指 大学数学系数学与应用数学专业的数学分析课程的内容，主要的内容是极限与连 续、微分学、积分学、级数理论等内容：本文所说的积分，主要是指古典分析下黎 曼积分，主要涉及了一元函数的不定积分、定积分、第二型曲面积分等高等数学或 数学分析中的积分学的有关内容。 1 8 5 9 年，李善兰和伟烈亚力翻译了代微积拾级，使微积分学传入中国，这 时离开微积分的创立已经近2 0 0 年的时间了。 在1 9 世纪7 0 年代，日本的数学家能够读到的微积分著作，依然只有李善兰的 代微积拾级这部著作。日本使用的微积分名词，“微分”，“积分”都是从李善 兰所译的代微积拾级流传下来的。 2 o 硕士学位论文 m a s t e r s1 h e s l s 一个世纪以前，我国懂得微积分的人不过百人，精通微积分的人更是寥寥无几。 在新中国成立以前，受教育只是有钱人的专利，高等教育更是达官显要的特权。普 通百姓连最起码的生活都难以保障，生活在吃了上顿还不知下顿在哪里的水深火热 的日子里，根本不可能走进学堂，更不可能去学习微积分。 新中国建立之后，各行各业百废俱兴，教育更是空前发展。微积分得到了较大 范围的普及。 进入2 l 世纪之后，我国高等教育得到了突飞猛进的发展。由原来的“精英教 育”变为“大众教育”，中国已无可辩驳地成为了世界教育大国，微积分教与学都 进入了崭新的时代：大学理工科，中学都普遍开设微积分。因此，张奠宙教授说： “改进微积分教学，也就成了当务之急”，“让更多的入知道和掌握微积分的思想方 法，成为当代数学教育的重要任务”。 2 0 世纪5 0 年代初，在当时全面学习苏联的历史背景下，我国高等学校大量采 用了翻译过来的苏联数学教材，如格里戈里米哈伊洛维奇菲赫舍哥尔茨著的微 积分学教程。这些教材体系严密、论证严谨，具有大量的例题和应用实例，而且 叙述十分详细和准确，通俗易懂。 客观上说，苏联数学教材在培养我国高级专业人才中发挥了重要的作用，起到 了不可忽视的影响。 改革开放近三十年来，我国通过接触并引进了在体系和风格上各有特色的欧美 数学教材，如w a l t e r r u d i n 著的数学分析原理，这是一本数学名著，在欧美 和我国均有着广泛而深远的影响，一直深受着数学界的推崇，作为r u d i n 的分析学 经典教材之一，被许多欧美高校用做数学分析课的必选教材，但是据我所知，在我 国使用这本书作为教材的学校还是很少，多数高校使用的是自编教材，学生使用的 参考书大多是近几十年来国内出版的自编书籍。由于缺乏交流，同行之间缺乏研讨， 更为重要的原因是编著书者工作任务重、头绪多、精力和时间十分有限，所以在编 著书时对有些问题未加以仔细研究，导致书中出现了不应有的错误，以致于象传染 病似的，使得有的书、刊都出现了同样的错误而难以改正。 二十多年来，我一直从事函数论方面的课程教学工作，因此系统地阅读了大量 的数学分析或高等数学教材，发现有部分教材或教辅书中存在着不容忽视的错误， 为了年青的教师，尤其是正在读书的大一、大二的学生汲取到正确的知识，所以我 不揣冒昧，就我所知所解，把我发现的教材中的问题，写成此文，以期得到导师的 指正，同时希望此文能给青年教师，大学一、二年级学生一些有益的启发，使他们 了解，即使广泛流行、普遍使用的高等数学或数学分析教材，也可能有错误存在， 、l 硕士孝位论更 m a s t e r 。s1 _ h e s l $ 我们在读书时，要深入钻研、认真思考，多做比较，找出差异，明辨是非，这样才 能接收到正确的知识。 吴文俊院士指出当前的时代是信息时代，更是数学时代，2 1 世纪是生命科学的 世纪，更是数学世纪，作为著名数学家和数学史家、中国科学院院士、第三世界科学 院院士、中科院系统科研究所名誉所长、首届国家最高科技奖的获得者。他说：“做 为数学家，我要强调数学，尤其是大学微积分的教学。”1 9 6 5 年左右苏联卫星上天， 美国在震惊之余，反应不是加强工程技术方面的研究，而是加强“数学、物理教学”， 大量招募外国的年轻入教授微积分，讲微积分习题。美国目前也特别强调“加强数 学教育”。美国总统布什在2 0 0 6 年国情咨文中特别提到要加强数学教育，他对数学 的重视程度远远超过一般人。 将来是对“制数权”的争夺，哪个国家的数学高人一等，那个国家便可争霸天 下。张奠害教授在“微积分数学：从冰冷的美丽到火热的思考”一文中的观点：“微 积分要飞入寻常百姓家”，“讲推理，更要讲道理”，使微积分教学不再神秘。吴院 士在强调微积分教学要“返朴归真，平易近人”之后，表明了“会用比会证更重要” 的观点。 吴文俊院士说：希望年轻朋友要为改进大学微积分的教学，为微积分能飞入寻 常百姓家，为建设数学强国，为提高中国的实力而肩负重任1 4 2 预备知识 2 1原函数与不定积分的概念 定义1 设函数，与f 在区间，上都有定义，若，( 曲= ，( x ) ，x i ，则称f 为 ，在区间，上的一个原函数。 定理1 若函数厂在区问，上连续，则，在，上存在原函数f ，即f ( 工) = 厂( ， x i 。 定理2 设尸是函数，在区间i 上的一个原函数，其中c 为任意常量函数，则 ( 1 ) f + c 也是，在，上的原函数； ( 2 )f 在，上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常量函数。 定义2 函数f 在区间i 上的全体原函数称为厂在，上的不定积分，记作： i f ( x ) d x ，其中称，为积分号，( z ) 为被积函数，( x ) 出为被积表达式，茗为积分 变量。 由定义2 可见，不定积分与原函数之间的关系是总体与个体的关系，是集合与 元素之间的关系。也就是说：若f 是在，区间，上的一个原函数，则厂的不定积分 就是一个函数的集合： f + c t f o ) = ，( ，x j ，其中c 为积分常量函数，在有的时候，又把它作 为该常量函数的函数值，在不致混淆时，有的时候也常说“c 为任意常数”。因此， 函数，在区间i 上的不定积分应写为： p ( x 冲= p + c p ( 茗) = ( 力，x e i ( 宰) 为了方便起见，常把f 的不定积分写为： 少( 工) 出= f ( 石) + c 、_ 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这样，我们在应用时，还是应理解成( 木) 式所表达的含义。 由( ) 式可知：对于厂来说，如果它的不定积分存在，则在其不定积分的表达 式中，应只含有一个积分常数；而且在( ) 式中的函数f 应该是可导的，当然更 应该是连续的。 这里需要说明的是，在数学分析中或高等数学教材中通常所说的“求不定积分”， 是指用初等函数的形式把这个不定积分表示出来。在此意义下，并不是任意后初等 函数的不定积分都能“求出来”，例如： p 2 d x ，p 一工2 出，j - 0 n 石) 。出，f x 1s i n x d x ，f x 1 - k 2 s i n zx d x ( 0 k 2 1 ) 等等， 都无法用初等函数来表示。因此说，初等函数的原函数不一定是初等函数，当然学 过数学分析的人都知道，这类非初等函数可用积分形式来表示。 定理3 ( 达布定理) 若函数，在【口，6 】上可导，且工7 ( 口) 正7 ( 6 ) ，k 为介于( 口) 与正( 西) 之间的任一实数，则至少存在一点孝( 口，b ) ，使得厂( f ) = k 。 2 2 定积分概念 一、定积分有关概念 定义3 设闭区间【口，b 】内有n 一1 个点，依次为 a = 毛 屯 一l 0 ，使得对p ，b 】的任何分割t ，以及在其上任意选取的点集 毒 ，只要0 列 占， 就有 i 窆厂皓) 缸一厂l o ，= i t ，使得：车q 缸 0 或工 - 2 的实数，解题过程中解题者 x t x 。+ 2 工 没有意识到石 - 2 这一情况，即使到了最后做了补救措施，但仍然存在着漏洞：被 积函数，( z ) 和它的原函数f ( x ) = i i l ( o 丽+ 工+ 1 ) 的定义域不相同。例如取 而= 一1 一压，s ( x o ) ：1 然而因为丽+ x + 1 1 1 压+ 1 = 1 一压 o 所以f ( x ) 没有意义。因此，解题存在着一定的缺陷，实际上此题的常规解法是套用积分公式 坊d i x 地卜唰+ c 来求得问题的解决a 略解如下- 鹾旁2 鹾器地l 而i + c 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s l s 应注意的是，这里的结果与上述解题的结果是不同的，上述解题过程中，解题 者在( x + 2 + i ) 平方后，误认为函数工2 十2 工+ x + 1 应大于零，而这是显然没 有满足解题者的期望。 第2 题的结果咋眼一看，大多数人都会认为是正确的，而且许多教材或教辅书 上都是给出这样的答案。但是经过仔细研究后就会发现解题过程中还是存在漏洞 的：因为当j l2 k x 一旦，2 _ | 万+ 三i ( k 为整数) 时有c o s x s i n x 0 ，又因为有 l 4 4 j ( c 0 8 x + s i n x ) 5 c o s x 一$ 1 n x = l s i n x c o s x l ，所以 当j b 一等御万+ 司c “为整数m l s i n x - c o s x l 的原函数应为：后( ) = c o s 石+ s i n 算+ c l ， 当石 2 肋+ 詈, 2 k t r + - 等 c “为整数，时，有s i n 工一c 。s x 。， 且因为( 一c o s 石一s i n 力= s i n x - c o s x = s i n x - c o s x j ，所以 当x 2 七丌+ 三, 2 k z + - 等 ( k 为整数) 时，s i n x - c o s x l 的原函数应为： 易( x ) = 一c o s x - s i n x + c 2 ， 所以正确的做法应为：f f 磊忑孤= 面夏云磊五f 出= 0 s i n x c o s x 扛x x 工 2 肌- , 2 k z + 刳 4l 2 聃z 4 , 2 k z + s 4 z ( k 为整数) 由于被积函数l s i n x - c o s x l 在( 一，旧) 上是连续的，由不定积分定义可知：函数 e ( x ) 与最( x ) 应在点x = 2 k z + 互4 处连续，于是有：互( 2 刀+ 三) = e ( 2 七万+ 三) 由 1 6 g c ，= t + n x 5； 弘 + 宝 n 一 蝣 j i 肛班 x n n 虬 一 工 一 “八“八 、o 硕士学位论更 m a s t e r st h e s l s 此解得：e = c l + 2 互，这样求得不定积分应为： f硒2一sin。x。+xco。sinxz+cc；+：至!工 r工 ：胁3 7 r , 2 k ，r + 4 三4 i z 胁石+ 爿 ( k 为整数，c 为任葸常数) 上述两个题解法的错误原因均为在解题过程中忽视了被积函数的定义域、讨论 不完整而造成的。 例3 求下列不定积分： 1 1 嬲i n x d x2 1 仄i c b c 解1 a r c s i n x d x 23 r a r c s i n x - p a r c s m x 一i n 卜静 = 工a r c s i n x + 三2 ( 1 一工2 ) ；d ( 1 一z 2 ) = 枷s i n 工+ 再+ c 解2 而= 工扛i p 后i 2 工巧一睁 2 z 厨一学 ：厨一 i x 2 _ a 2 d x 。话 于是有：2 j 扫x z - a 2 d x = 工z 巧一口2 1 1 l 卜十= 爵卜c l j 历孤= 主伊了 k 卜口了l + c 1 7 、， 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 运两个题解题过程中出现的错误是一样的，是大多数教材或参考书中常用的解 法第1 题中被积函数的定义域为卜l ，l 】而不定积分_ 万舞中的被积函数的 定义域为( 一1 ，1 ) ，因而最后所求的不定积分应视为在区间( 一1 ，1 ) 内求得的。这也就是 说，被积函数厂( z ) = a r c s i n x 的定义域与其原函数的定义域不相同，这当然是不正确 的 第2 题的错误原因与第1 题相同，这里不再赘述 那么诸如此类的不定积分应如何求解呢? 为了解决这个问题，我们给出如下结 论： 定理：若函数，( x ) 在闭区间【d ，6 】上连续，且有，( x ) = 厂( x ) ，x ( 4 ，b ) ，贝j j f ( x ) 在【口，6 】上的连续延拓函数为： g ( x ) = l i mf ( x ) = f ( a ) j - 4 f ( x ) ，l + i m 6 一f ( x ) = ，( 6 ) x = a a x b 工= b 下面证明：g x ) = ，( 石) ，x e a ，b 】 瓠溉g 印) = x 吨- , , a 掣笋= 嚣掣掣 一“ # 呻口 一“ = l i mf x ) = l i mf ( x ) = f ( a ) 同理有：g 7 ( 6 ) = f ( b ) 当x ( 口，b ) 时，有g ( 工) = ，( 工) = 厂( z ) ， 所以当膏【口，b 】时恒有g 7x ) = s ( 4 ， 在此定理基础上，我们给出这种类型的不定积分的解法如下： 解：当x ( - i ，1 ) 时有： 、 硕士学位论文 m a s t e r l st h e s i s 扣s i n 一一毗一靠舞 = x a r c s i n x + 盯刁+ c 设，( j ) = 工a r c s i n x + 厕 x ( 一l ，1 ) ，则f ( 工) 是被积函数 厂( 工) 2 a r e s i n x ；i ! e ( - 1 ，1 ) 内的一个原函数。下面证明f ( 工) 在【一l ，l 】上的连续延拓函数 为： g ( x ) = e ( - i ) ，( 工) ，( 1 ) 石= - 1 ，j ( 一1 ，1 ) = j a r c s i n j + 厕， j = 1 当j ( 1 ，1 ) 时，显然有g ( x ) = 厂( 工) ， 下面证明g ( 一1 ) = f ( - 1 ) g ( 一1 ) _ l i m l g ( 石) 一l i m 1 + g ( x 丁) - o ( - o = l i m - 一1 ) + 。岫、+ a r c s l n x = a r c s i n ( 一1 ) = ，( 一1 ) ，一1 ) + 7、 x - 1 ，1 】 同理有g ( 1 ) = f ( 1 ) 所以g ( x ) = x a r c s i n x + ( 1 - 工2 ) 是厂o = a r e s i n x 在【一1 ，1 】上的一个原函数，从 而有s i n x d x - - - - x a r c s i n 工+ i 1 一石2 ) + c 第2 题也可以按上述方法求得，这里不再赘述。 这一种类型都是在对计算不定积分的过程中，缩小了被积函数的定义域而产生 错误的。 例4 求下列积分 1 9 、 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 砖而2 年+ r 。孕 舭设x = a s e e t , ( 。鳅考) 刚有廊刮叭出e c 础，于是 仁以f 了么= 口灿2 础= 口j ( s e c z t _ l p 2 a t a n t a t 4 - c ：( 7 一口口彤s e c 三十c 很多教材或一些数学手册把上述结果当作数学公式使用，造成了在求定 积分时出现了不应有的错误。例如在有的资料中第2 题的解法为； 解2 ：利用积分公式仁石7 = h ；石爵- a a r c s e e x + c 可得： f 4 a ! 医x + f 4 二譬= 一詈石口 我们先说明这个结论是错误的，这是因为： 函数厂( 工) ：掣是一个对称区间上的奇函数，按照定积分性质可知：奇 函数在对称区间上的积分为零。显然第2 题的结果是错误的。那么产生错误的原因 是什么呢? 是第1 题的解题过程不完整而造成的。为了说明这个问题，我们作如下 分析： 被积函数，( 工) ；堑生子王的定义域为工口或石s 一口，虽然解题过程中只注意 到了茗a 的部分，丽忽略了算一a 的部分，这就造成了所求的原函数与被积函数的 定义域不一致，完整的解题过程应该是在解1 的基础上添加上如下过程： 当x 一口时，令x = a s e c f ，：1 f 万，则有 f 孑：一4 t a n t ，d x ：d s e c 缸础，于是 仁正( 而= 一盯t 觚2 破= 一4 i ( s e et - - 1 净 ：一t a n f + a t + c ；( 7 + 口口彤s e c 苎+ c l 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 于是所求的不定积分为： j l x x x 2 - a 2 d x = 正( 7 一d 口m s e c 三+ c j 口 厨+ d 口r c s e c 兰+ c 工一口 a 应用此题再去计算第2 题，就可以得到正确的结果了! 在目前的一些高等数学或数学分析教材中，对于一元函数被积函数中含有诸如 4 a 2 一x 2 ，j 2 + 口2 ，一口2 形式的不定积分，在作三角函数代换时，对新引入 的变量的变化范围有的干脆不提，有的只对个别题目注明新引入的变量的变化范 围，其余的就不再注明，有的变化范围讨论的不全面，从而导致了不应该有的错误 的产生。 3 3 2 忽视了被积函数的原函数是可导的而出现的问题 在不定积分的定义中，若j ( z 胁= f ( x ) + c ，则应有，( j ) = ( j ) ，工， 即我们所求的不定积分应该是可导且连续的。但是在不少考研复习资料或学报 上，下面的不定积分的解法如出一辙： 例：i 受f ( x ) = z + l ，0 - 0 工1 f o ，x 1 求p ( x 皿。 解：先分段求出( 去掉分段点) ： ，oa x = q ，工 0 委膏：+ x + g ，0 x 1 再考虑分段点的情形：由于x = o 是厂( j ) 的第一类问段点，x = l 是厂( 膏) 的连续 点，因此厂( 工) 的不定积分只能分别在( m ，o ) 和( o ，+ c 。) 内得到，令 卿( 圭，c 2 ) 2l 州i m ( r + c 3 ) 解得：c 3 = j 1 + c 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因此有：p ( 工皿= g ，x 0 三 j + c 2 o j 1 其中c i 与c 2 是两个独立常数。 为了说明上述解题过程存在问题，我们先给出下述结论： 定理：若函数厂含有第一类间断点，则，不存在原函数。 证明：用达布定理证明如下： ( 反证法) 假设厂存在原函数，即有f ( x ) = ，( 石) ，z 7 如果厂( x ) 在i 中含有第一类间断点，则f ( 工) 在i 中含有第一类间断点，则 ，( 工) 在i 中不具有介值性，而这与达布定理的结论矛盾，所以假设不真，命 题成立。 如果此结论不用达布定理证明，也可以作如下证明： ( 反证法) 假设f 在( 口，6 ) 存在原函数f ，则有，( x ) = 厂( 工) ，x e ( 。，b ) v x o ( 口，b ) ，由拉格朗目中值定理可得： ，( ) = f ( 而) = ，l + i m + i 掣 。磐掣 = l i f t 一：拈) 2 l i m f ( 善)( x 。 o ，f ( x o ) 0 f ( x o ) ，这与，( 工) 单增矛盾，从而对x 0 有 ，”0 ) = - f - 2 x f ( x ) s 0 故函数，i x ) 在【o ，佃) 单减，因为f x o ) - - 0 ，所以f x 工) ，i o ) = o ，o o ) 二 碰士学位论丈 m a s t e r 4 st h e s i s 故函数f ( x ) 在【o ，+ m ) 单减。 本题的证明过程存在着一定的问题，说明如下： 在证明r ( x 1 为奇函数的过程中，在等式，中的积分上限应为x ，而不是u ， 这是印刷错误，无大的问题，因为只要是学习过高等数学或数学分析课程的读者都 会了解这一点，较为严重的问题是在证明，( 工) 在【o ，+ m ) 上单减的时候，作者出现 了三处较为明显的错误： 一是等式中右端的式子中，f f ( t ) d t - 2 x f ( t ) 应为： f 一2 x f ( x ) 这里出现的也是一个印刷错误。 二是等式中出现的错误。在等式中，作者在对，( z ) 求二阶导数的时候，根 本没有考虑到这种运算是否可以施行。由微积分学基本定理可以知道，在本题条件 下，v ( x 1 的一阶导数是存在的，这一点毋庸置疑。但是二阶导数却不一定存在， 因为从等式可以看出，如果，o ) 的二阶导数存在，则厂( 工) 必须一阶可导! 但是， 题中显然不具备这种条件。 三是结论说：“因为厂( 工) 在( m ，+ m ) 上单增，所以厂y x ) 0 ”，这也是一个明 显的错误，因为题中条件并没有说明( 曲是可导的! 学过数学分析的读者都知道： 若在( 0 0 ，佃) 上有厂u ) o ，则，( x ) 在( m ，+ o o ) 单增，是成立的，但反之不然。 本题的正确证明如下： 证明；( 1 ) ( 略) ( 2 ) 因为f ( x ) 在( - - - o o ，+ m ) 上连续，由微积分基本定理可知：v ( x ) 在( ，+ o o ) 内可导， 而尸( 工) = 工r f ( t ) d t 一3 f t f ( t ) d t ， 于是：f x 力= f ( t ) d t - 2 v ( 石) 由积分第一中值定理可知： 、0 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 当工【o ，佃) 时，有r 厂o ) 出= 矿侈) ，( o 善s j ) 从而有：，i 工) = 矿( f ) 一2 x f ( x )( ，) 下面证明【o ，佃) ，有厂( 工) 0 这是因为：若砜( o ，佃) ，使得，( ) 0 f ( x o ) 但这与已知条件厂( 功为( a o ，佃) 上的单增函数矛盾。 又因为，( x ) 为( m ，+ m ) 上的奇函数，所以厂( o ) = 0 从而坛【o 栅) ，有厂( 工) o 由于( 工) 为【o ，佃) 上的单增函数，r v x o , + o o ) ，有厂o ) o ，所以由 ( ) 可得 ，y 工) = 矿( f ) 一2 x f ( x ) x f ( x ) 一2 x f ( x ) = 一x f ( x ) 0 所以，o ) 为【o ，佃) 上单调减少函数。 实际上，由此例题，我们可以得到一个更为一般地结论。叙述如下： 命题l ：设，( 工) 为( m ，+ o d ) 上的连续奇函数，r f ( x ) 单调增加， f ( 工) = r o - c t ) f ( t ) d t ( c 为不小于2 的常数) ，求证： ( 1 ) f ( 工) 是( 。，+ _ o 。) 上的奇函数； ( 2 ) 尸( j ) 在【o ，佃) 上单调减少 证明：( 1 ) f ( 吖) = l - x ( - - x - - c t ) f ( t ) d t t = - u 一- x + c u ) f ( 一“) d u = 一r o - c u ) f ( “) a u = 一f ( x ) 故，( z ) 是( 一，忡) 上的奇函数。 ( 2 ) 先证n 【o ，佃) 有，( 工) o 假设有( o 蛐) ，懒4 f ( x o ) 0 厂( ) 这里一而 o ，( ) 这与题设，( x ) 在( m ，+ m ) 上单调增加矛盾。 又因为( x ) 为( 一，佃) 上的奇函数 所以f ( o ) = 0 综上所述可知：搬 o ，+ m ) ，恒有厂( z ) 0 下面证明f ( x ) 在【o ，佃) 上单调减少。 由于( 功在( m ，+ 0 0 ) 上连续，由微积分基本定理可知：f ( 工) 在( m ，斗m ) 上可 导而，( 工) = 石r ，( f ) 破一c r 矿( f ) 疵，于是有： f i 工) = r f ( t ) d t c - 1 ) x f ( x ) 由积分第一中值定理可知：当x 【o ，+ m ) 时，有： r f c t ) d t = 可( 善) ，( o 孝工) 从而有：f x x ) = 矿( 孝) 一( c 一1 ) 矿( 力 ( ) 由于( 工) 在( ，+ o o ) 上单调增加，且因为慨【o ，+ o o ) 时，( 工) o ，所以由( + ) 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 式可得： ，i 工) x f ( x ) 一( c 1 ) x f ( x ) = ( 2 - e ) x f ( x )( t ) 由于x f o ，佃) 时，厂( 力o ，且由题设可知：2 - e o 所以由p ，) 可得知：，i 工) 0 这就证明了，( 工) 在【o ，佃) 上单调减少。 由上述证明过程我们很容易证明以下结论： 命题2 ：设厂o ) 是( 咱，+ ) 上的连续奇函数，且厂o ) 单调增加， ，( 工) = r ( x - c t ) f ( t ) d t ，( ey e d 、于2 的常数) ，求证： ( 1 ) f ( x ) 是( ，+ m ) 上的奇函数： ( 2 ) f o ) 在fo ，+ ) 上单调增加。 命题3 ：设厂( 工) 是( m ，+ * ) 上的连续奇函数，且厂( 功单调减少， ，( j ) = r o c t ) f ( t ) d t ，( c 为不小于2 的常数) ，求证： ( 1 ) ，o ) 是( 。o ，佃) 上的奇函数； ( 2 ) 尸( 工) 在f o ，+ m ) 上单调增加。 命题4 ：设，( x ) 是( m ，+ m ) 上的连续奇函数，且b ) 单调减少， ，( x ) = r o c t ) f ( t ) d t ，( c 为小于2 的常数) ，求证： ( 1 ) ，( 工) 是( ，+ m ) 上的奇函数： ( 2 ) ，( z ) 在【o ，+ ) 上单调减少。 命题2 的证明可以直接由( 幸+ ) 得到，命题3 和命题4 的证明，只需要将命题中 证明当工【o ，佃) 时，有厂( 工) 2 0 换成证明当j f o ，+ m ) 时，有， ) s o ，其余的证 明过程完全类似，故这里不再赘述。 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 例2 ：求下列不定积分。 lr 高新 2 m z 净，其州栌供州x 叫- 1 , 0 鼢f 高新 =r上l+ex(2-x)jo-,)幽ll - x ；删a l i 捌1 2 卸 1 一工1 0 解2 若取原函数 僻譬瑞p e ( 石) = - - x + l , x e - - 1 ，。) 显然在卜1 ，1 】上除x = o 外，恒有互7x ) = 乞( z ) = 厂( x ) 。若应