（计算数学专业论文）两类生物模型正解的存在性.pdf

两类生物模型正解的存在性 张宏伟 摘要偏微分方程常常被人们用来描述，解释或预测各种生物现象，其中 c h e m o s t a t 模型和v o l t e r r a - l o t k a 模型就引起了广大专家和学者的广泛关注，并 且已经取得了许多重要的具有实际意义的结果本文共分为三部分内容，就两类 生物反应系统的正解的存在性及稳定性问题进行了讨论一类是具有抑制项的 c h e m o s t a t 模型，另一类是具有饱和项的互惠系统 第一章讨论了具有抑制项的c h e m o s t a t 模型平衡态正解的存在性在非均匀 搅拌( u n - s t i r r e d ) 的假设下，对系统进行参数无量纲化和降维处理后，模型的平衡 态即 i d u z z a u 1 ( u ， ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， j 一妣。一6 廿，2 ( 让， ) = 0 ，茁( 0 ，1 ) ，t 、 iu 。( o ) = 钍。( 1 ) + u ( 1 ) = 0 ， 【( o ) = ( 1 ) + 7 v ( 1 ) = 0 ， 其中，钍， 是两种相互竞争的微生物在利用极值原理及上下解方法得到正解存 在的必要条件以及先验估计的基础上，运用度理论，锥映射不动点指数方法，并 结合分歧理论和算子谱分析等，得到了正解存在的几个充分条件同时，对文中 结论给出了相应的数值模拟 在第一章所得到的结论的基础上，第二章对具有抑制项的c h e m o s t a t 模型平 衡态正解的存在区域进行了刻画证明了a 是系统( i ) 的正解的存在区域当物 种让，口的最大生长率( a ，b ) a 时，( i ) 至少有一个正解；当( a ，6 ) g a 时，( i ) 只 有平凡解和半平凡解而且，a 是磁上的连通，无界区域。它的边界是由两条单 调不减的曲线 r l ：a = 凰( 6 ) ，r 2 ：b = 2 ( o ) 构成，其中函数日l ( 砷和王b ( o ) 是通过下面问题 带有特定初始条件( “( o ，z ) ，v ( 0 ，z ) ) 的解的极限构造的同时也证明了在区域a 的 特定子区域上，系统( i ) 至少有两个正解 m u 忪p 仉“ 叫即卜卜z“ 吐巾w 舡h h舭蚰如他嚣咄峨惦驴 一 一地似 恤 仇 咖 如 第三章对具有饱和项的互惠系统的解的分歧与稳定性进行了讨论该模型对 应的平衡态系统即 z n z q 其中n 是r v 中具有光滑边界a q 的有界区域，v 分别表示两个种群的密度， a ，b 为它们的生长率文中运用谱分析和分歧理论的方法，一方面，分别以生长 率a ，b 作为分歧参数，讨论了发自半平凡解( 矿，0 ) 和( 0 ，矿) 的分歧另一方面， 以a 和b 作为分歧参数，利用l y a p u u o v - s c h m i d t 过程，研究了在二重特征值处 的分歧同时判定了这些分歧解的稳定性 关键词：c h e m o s t a t 模型不动点指数互惠系统分歧渐近稳定 i i 受 十r a 产2 “ o 一 一 的仉 = 1 l | 札 t | | 一 一 u ，flj(1_l t h ee x i s t e n c eo fp o s i ti v es t e a d y s t a t es o l u t i o n s t ot w ok i n d so f b i o l o g i c a lm o d e l s z h a n gh o n g - w e i a b s t r a e t p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e ) a r eo f t e nu s e dt od e s c r i b e ，e x p l a i n a n df o r e s e ea l lk i n d so fb i o l o g i c a lp h e n o m e n a m a n ys c h o l a r sa n ds p e c i a l i s t sh a v e b e e np a y i n gm o r ea t t e n t i o nt oc h e m o s t a tm o d e la n dv o l t e r r a - l o t k am o d e l ，a n d h a v eg a i n e dag o o dm a n y i m p o r t a n ta n d u s e f u lr e s u l t s t h ew h o l et h e s i si sm a d eu p o ft h r e ec h a p t e r s ，t h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fs t e a d y - s t a t es o l u t i o n st ot w ok i n d s o fb i o l o g i c a lm o d e l sa x ei n v e s t i g a t e d ：o n ei s a l lu n - s t i r r e dc h e m o s t a tm o d e lw i t h i n h i b i t o r t h eo t h e ri sac o o p e r a t i v es y s t e mw i t hs a t u r a t i o n i nc h a p t e r1 ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es t e a d y - s t a t es o l u t i o n sf o ra t lu n - s t i r r e d c h e m 0 8 t a tw i t hi n h i b i t o ri si n v e s t i g a t e d o nt h ea s s u m p t i o no fu n s t i r r e d ，b yr e _ d u e i n gt h ed i m e n s i o n o fs y s t e m ，t h es t e a d y - s t a t es y s t e mt a k e st h ef o l l o w i n gf o r m h e r e ，珏，秽a r et w oc o m p e t i t i v em i c r o o r g a n i cs p e c i e s t h en e c e s s a r yc o n d i t i o na n d t h ep r i o rb o u n df o rp o s i t i v es o l u t i o n so fs t e a d y - s t a t es y s t e ma x eo b t a i n e db yt h e m a x i m u mp r i n c i p l ea n dm o n o t o n em e t h o d f u r t h e r ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e c o e x i s t e n c eo fs t e a d ys t 8 t e si sd e t e r m i n e db yu s i n gd e g r e et h e o r i e s ，c a l c u l a t i n gt h e i n d e xo ff i x e dp o i n t sa n dc o m b i n m gw i t hb i f u r c a t i o nt h e o r i e sa n ds p e c t r u ma n a l y s i s o fo p e r a t o r s m o r e o v e r ，s o m ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa l eg i v e n i i lc h a p t e r2 ，w ec h a r a c t e r i z eas e ta o fp o i n t s ( a ，b ) i nr s ot h a tf o re v e r y ( a ，b ) i n s i d ea ，t h es y s t e m ( i ) h a s a tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o na n df o r ( a ，b ) o u t s i d e at h e r ea r eo n l yt r i v i a la n ds e m i t r i v i a ls o l u t i o n s i ti ss h o w nt h a ta i sac o n n e c t e d u n b o u n d e dr e g i o ni nr 三w h o s eb o u n d a r yc o n s i s t so ft w om o n o t o n en o n d e c r e a s i n g e u r v e s f l ：a = 皿( 6 ) f 2 ：b = 日2 ( ) ， h e r e ，t h ef u n c t i o n sh 1 ( 6 ) a n d 上毛( o ) a r ec o n s t r u c t e di nt e r m s o ft h el i m i to fc e r t a i n i i i 一一一一 t i m e - d e p e n d e n ts o l u t i o n st ot h ef o l l o i n gs y s t e m w i t hs p e c i f i ci n i t i a lf u n c t i o n s ( 让( o ，z ) ，v ( 0 ，z ) ) i ti sa l s os h o w nt h a ti nc e r t a i ns u b - r e g i o no fa ，t h es y s t e m ( i ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，t h eb i f u r c a t i o no ft h en o n n e g a t i v es t a t i o n a r ys o l u t i o n sa n dt h e s t a b i l i t yo fac o o p e r a t i v es y s t e mw i t hs a t u r a t i o na r ed i s c u s s e d t h es t e a d y - s t a t e s y s t e mo f t h i sm o d e lt a k e st h ef o r m i a u = u u 2 + 罱笔，z q ， 一a v = b v 一口2 + 丽d u v ，z n ， i 札= = 0 ，z a q ， w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni nr w i t hs u f f i c i e n t l ys m o o t hb o u n d a r yo f t u 廿 o r et h ed e n s i t i e so ft w os p e c i e s u ，br e p r e s e n tt h en a t u r a lr a t e so fg r o w t ho ft h e s p e c i e s b yu s i n gs p e c t r a la n a l y s i sa n dt h em e t h o d so fb i f u r c a t i o nt h e o r y , o no n e h a n d ，t h eg r o w t hr a t e sa ，ba r et r e a t e da sb i f u r c a t i o np a r a m e t e r sr e s p e c t i v e l y , a n d t h eb i f u r c a t i o n sf r o ms e m i - t r i v i a ls o l u t i o n s ( “+ ，0 ) a n d ( 0 ，矿) a r ec o n s i d e r e d ，o nt h e o t h e rh a n d ，t h eg r o w t hr a t e sa ，ba r et r e a t e da sb i f u r c a t i o np a r a m e t e r s ，t h eb i f u r c a - t i o nf r o mad o u b l ee i g e n v a l u ei si n v e s t i g a t e db yt h el y a p u n o v - s c h m i d t p r o c e d u r e m o r e o v e r ，t h es t a b i l i t yo ft h e s es o l u t i o n si so b t a i n e d k e y w o r d s ：c h e m o s t a tm o d e l f i x e dp o i n ti n d e x c o o p e r a t i v es y s t e m b i f u r c a t i o n a s y m p t o t i cs t a b i l i t y i v u l 嚣m以仲讹饥以u 硎她舡p f f = 虹驴归 一 一慨 孤毗 学位论文独创性声明 y z z 8 王3 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料，对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：邀墓磕 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资科室被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名；日期：加吖1 j 7 前言 很多领域中的数学模型都可以甩偏微分方程来描述，特舅是在生物群体动力 学中，人们常常用它来描述，解释和预测各种生物现象，并且已经取得了许多重 要的具有实际意义的结论 生态学中关于c h e m o s t a t 模型的研究直是生物数学工作者关心的热点 c h e m o s t a t 模型的类型有常微分方程，偏微分方程和时滞微分方程涉及的研究 课题包括解的稳定性、系统的持续生存性、周期解的存在性、竞争排斥原理和分 歧问题等 c h e m o s t a t 是一个用于连续培养微生物的实验装置，由三个相连的容器组成， 第一个容器称为喂养容器( f e e db o t t l e ) ，其中装有供微生物生长的足够的营养成 分，其中一种主要营养成分被称为养料，是有限的养料的浓度保持常数，且养 料以常数速率被抽到第二个容器培养容器( c u l t u r ev e s s e l ) ，同时以同样的速率 将培养容器中的物质( 养料和微生物的混合物) 描到第三个容器( o v e r f l o wv e s s e l ) 以保持其容量不变假设培养容器中的物质是均匀搅拌的，且所有影响微生物生 长的参数，如温度等，均保持常数这样，由c h e m o s t a t 制成的。产品”就都在 第三个容器里 令s o 表示养料的初始输入浓度，d 代表输出率，s ( t ) ，t | ( t ) ，口( t ) 表示培养容器 中营养物，竞争物种在t 时刻的浓度那么基本的c h e m o s t a t 模型在均匀搅拌 ( w e l ls t i r r e d ) 的假设下，参数无量纲化后由下面的三个非线性常微分方程给出 = ( 8 0 - s ) d 石三鬲a s 一石v 三鬲b s ， 地= ( 羔一d ) ，地2 l 而一u ) 1 吨一( 。2 + b ss d ) ，吨2 ”0 2 + s 一口) ， 这里口，b 是让，护的最大生长率，a f 是第i 种微生物的m i c h a e l i s - m e n t e n 常数， m ( i = 1 ，2 ) 是生长常数c h e m o s t a t 模型具有很深的生态意义，因为它是一个 简化了的湖泊模型同时，对这个模型进行数学分析是可行的，模型中的参数是 可测的，且有关实验是合理的关于c h e m o s t a t 模型及其推广模型的研究是目前 非常活跃的研究课题人们对模型进行各种各样的改进和推广以使其更逼真地描 述自然现象这里，我们引入带抑制项的c h e m o s t a t 模型，抑制项包含广泛的实 际意义，如毒素，污染物等抑制项的来源通常有两种，一种是从反应系统内部 产生，另一种是从反应系统外部加入本文考虑第一种情况，即某个竞争物种以 降低自身的增长率为代价产生抑制物的情形数学上对从外部加入抑制项的模型 的分析见文献2 3 1 我们运用度理论，锥映射不动点指数方法，并结合极值原理，上下解方法， 分歧理论等方法，讨论了具有抑制项的c h e m o s t a t 模型正解的存在性，得出了系 统存在正解的充分条件具体讨论见本文第一章在此基础上，第二章对该模型 平衡态正解的存在区域a 进行了刻画，当物种“，口的最大生长率( a ，b ) a 时， 系统至少有一个正解；当( a ，b ) ga 时，系统只有平凡解和半平凡解而且，a 是 兄i 上的连通，无界区域，它的边界是由两条单调不减的曲线r 1 ，r 2 构成同时 也证明了，在这个区域的特定子区域上，系统至少存在两个正解 生态学中另一类引起广大学者关注的就是v o l t e r r a - l o t k a 模型二维互惠系 统中的典型模型是v o l t e r r a - l o t k a 互惠模型，其平衡态方程为 z q o q 其中q 是剜”中具有光滑边界a n 的有界区域，u ，口分别表示两个种群的密度， a ，b 为它们的生长率对于这个模型，许多学者已经进行了大量的研究，取得了 一系列菲常好的结果f 2 9 ，3 0 】例如t 当o a l ，e h 时，平衡态正解存在的充分 必要条件是强互惠盯 1 ；当b = g = 1 ，a a 1 ，e a 1 时，平衡态正解存在的充 分必要条件是弱互惠c ， 一 0 ，使得y + o x w , i 于腑o 0 r 成立) 是e 中的楔，s = z 厩i z 矾) 是e 的线 性子空间设：矾一矾是紧线性算子，如果存在t ( 0 ，1 ) ，“f 吒岛，使 得u t 三u ，则称l 具有性质q 引理1 2 1 1 1 8 设w 是e 中的一个楔，f ：w 一是紧映射，且有不动 点y o w ，使得f ( y o ) = 蜘令l = f ( y o ) 是f 在y o 处的n 鼬e t 导数，则 l ：风一瓯如果，一三在瓯上可逆，并且 ( 1 ) l 在上具有性质n ，则i n d e x w ( f i 珈) = o ； ( 2 ) l 在形上不具有性质n ，则i n d e x w ( f , 珈) = i n d e x e ( l ，0 ) = 士1 引理1 2 2 1 1 8 设口( ) c ( 1 0 ，1 9 ，g ( z ) + p 0 在【o ，1 】上成立，p 是正实 数，a o ( 者一g ( ) ) 是 i 一妒”一g ( 功妒= a 妒，z ( 0 ，1 ) ， 【( o ) = ( 1 ) + 7 c p ( 1 ) = 0 的主特征值如果a o ( 一鑫一q ( z ) ) o ( 或 1 ，则i n d e x w ( f 日) = 0 引理1 2 4 1 1 6 】设t 为序b a n a c h 空间上的一个紧线性正算子，取札为b a n a c h 空间中的一个正元，r ( t ) 为算子t 的潜半径，则 ( 1 ) 若t u u ，则r ( t ) l ； ( 2 ) 若t u 0 。【0 ，l 】，那么( 1 2 2 ) 的所有特征值可排列 为 0 a 1 ( 西 0 ，茹【0 ，1 ， 且特征值比较原理成立：对于j l ，若g ( z ) 兰一( 。) ，z 【0 ，1 】，则( g ) ( q ，) i 如果q ( z ) 口，( z ) ，则有a j ( q ) 0 和一个e 1 曲线( a ，妒) ：( 一正d ) 一r z 使得 ( i ) a ( o ) = a o ； 6 ( i i ) 妒( o ) = o ； ( i i i ) 对h 0 ，且 d 目品。+ a o 。f i ( 先，0 ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， 口。( o ) = 0 ，如。( 1 ) 十7 0 n ( 1 ) = 0 由k r e i n r u t m a n 定理知a i ( l ) = 0 是算子7 = d 差+ o ( 以，o ) 在咣( 【o ，1 ) 中 的主特征值，以是对应的特征函数因为l 的主特征值满足a i ( l ) l ( 五) = 0 证毕 对于单物种v 的情形，我们有类似结论 引理1 3 4 对于方程 + 砘b v f ( 1 ) d o , 抑v ) = ( 1 1 0 , ：x 0 徊1 l ( 1 3 3 ) i ( o ) = ( 1 ) + ，丫 ( 1 ) = 。7 ( 1 ) 若v 是( 1 3 3 ) 的一个非负解且v 0 ，那么0 口1 ，那么( 1 3 3 ) 存在唯一正解巩； ( 3 ) 方程( 1 3 3 ) 在如处的线性化算子l = d 岳3 - b ( h ( o ，o h ) 一仇龙( o ，如) ) 的 所有特征值严格小于零 其中( 7 1 ；a 1 ( ，2 ( o ，0 ) ) 是下面特征值问题的主特征值 jd 妒。- 盯妒，2 ( o ，0 ) = 0 ，茹( 0 ，1 ) ， 【妒。( o ) = ( 1 ) + ，y 妒( 1 ) = 0 最后给出( i ) 的正解存在的必要条件以及先验估计 定理1 3 5 若( 让，t ，) 是方程( i ) 的一个非负解且乱0 ， 0 ，那么 ( 1 ) 0 口1 证明( 1 ) 由引理1 3 1 ，引理1 3 4 可知u 0 ，口 0 对于“，因为以是 方程( 1 3 1 ) 的唯一正解，且u = u ，面= 2 是方程( 1 3 1 ) 的下解和上解，因此 0 “以 。 所以 础，小。1 2 d x a 1 同理可得b 0 1 证毕 1 4 不动点指数 下面我们将通过计算不动点指数，得出正解存在的充分条件 设m 0 充分大，使得 m a x 。m 。m a x 口l ( u ，口) 1 1 ，：? 鼢【6 i ，2 ( u ，”) 盼 a l ，b 0 1 或a a 1 ，6 o 1 ，则i n d e x ( e 口) ；0 ( 2 ) 若o a l 且b a l ，b 盯l ，令五1 为一d 如。一a a ( o ，o ) = 知的主特征值，那么天i ( 7 1 时，i n d e x w ( f , 0 ) = 0 ( 2 ) 如果a a 1 且b o l ，那么由 引理1 2 2 知，f ) 的所有特征值小于1 ，再由引理1 2 3 知n d e x w ( f , = 1 证 毕 引理1 4 2i n d e x w ( 只d ) = 1 证明取e ( 0 ，1 ) 适当小，使得s a 1 且曲 1 但是，因为 b 0 使得 d 妒。+ 6 ，2 ( 以，o ) 妒= a 1 ( d 面8 2 + b f l ( o 。，o ) ) 妒 0 得 ( d 嘉+ 6 脚棚) + 聊 蝴 耶 ( b f 2 ( o a l 0 ) + 0 聊 ( - d 嘉蛳 (，) + m ) 妒南+ m ) 妒- 因为( - d 最+ m ) 一1 是一个紧线性正算子，故有 d 2 t q o = ( 一d 翥五+ m ) 一1 ( m + b f 2 ( e n ，o ) ) 妒 妒 由引理1 2 4 知t ( t ) a 。，类似引理1 4 3 可得下面引理 引理1 4 4 算子f 在点( 0 ，如) 的指数有下面结沦成立； ( 1 1 如果a a 1 ，那么i n d e x w ( f , ( 0 ，巩) ) = 0 综合以上引理，我们得出( i ) 存在正解的一个充分条件 1 ， 定理1 4 5 若o a l , b 盯1 且( 。一天1 ) ( 6 一疗1 ) 0 ，则( i ) 至少存在一个严 格正解 证明当。 a l ，b 7 1 时，由引理1 4 1 知，i n d e x ( f 7 目) = 0 ，当a 玉1 且 b 扫l 时，由引理1 4 3 ，1 4 4 知i a d e x w ( f , ( 0 ，) = ：0 ，i n d e x ( 只( 以，o ) ) = 0 ，于 是 i n d e x w ( f , p ) + i n d e x w ( f , ( 0 ，巩) j + i n d e x w ( f , ( 以，o ) ) i n d e x 咿( 只d ) 当n 口1 且( n 一支1 ) ( 6 一子。) 0 时，( i ) 至少存在一个严格正解证毕 接下来我们讨论n = 天t 与b = 南的情形，首先对b = 子l 进行分析，有下列 结论成立 引理1 4 - 6 如果b = 争l ，那么( i ) 有严格正解，或者i - d e x w ( f , ( 以，o ) ) = 1 证明定义 a d ，t ，口) = ( 出k 。+ 乩 ( u ， ) = 0 ，d v 口+ b ) v a ( u ，口) ) 显然a ( 1 ，以，0 ) = 0 定义算子 三1 ( 1 ，以，0 ) = 圾。4 ( 1 ，以，o ) ， 这里风，。a ( 土，乱，f ) 表示a 在点( “， ) 的f r d c h e 导数，则 “删( ：) = ( d 带d 毋船) ( ：) ， 其中 肌= o ( ( 以，0 ) 一以( 1 十c ) 爿( 艮，o ) ) ， 玑= - a a d ；o ，o ) ， 9 3 = 6 ( 鼠，o ) 下面证明分歧定理1 2 6 的条件成立令三1 ( 1 ，以，o ) ( 九妒) t = ( o ，0 7 得 d + m = 一仂妒， d 。十夕3 妒= 0 ， 如( o ) = 丸( 1 ) + ，y 妒( 1 ) = 0 ， 妒。( o ) = f 。( 1 ) + 7 妒( 1 ) = 0 1 3 由6 = 乱可知，存在对应于a l 的特征函数妒l 0 满足第二个方程，由引理 1 3 3 知，第一个方程存在唯一解。因此，上l ( 1 ，以，0 ) 的核空间n ( l i ( 1 ，以，0 ) ) = 印o n “咖，妒1 ) ，从而d i m n ( l 1 ( 1 ，g 。，o ) ) = 1 算子l t ( 1 ，9 。，0 ) 的伴随算子为 吲- 删= ( d 譬9 1 瑶0 + 卯) 令研( 1 ，o ) ( 妒，妒) t = ( 0 ，o ) ，我们可以得到( 妒，纠= ( o ，妒i ) 所以n ( l i ( 1 ，& ，o ) ) = s p a n ( o ，妒1 ) ，从而r ( l 。( 1 ，以，o ) ) = f ( 妒，妒) ei = o ) ，余维空间的维数 c o d i m r ( l l ( 1 ，以，o ) ) = 1 ， 定义算子l 2 ( 1 ，以，0 ) = 口 d ( ) a ( 1 ，以，o ) ，则 三。c ，如，。，( 衾) = ( ：。五。羡，。，) ( 象) = ( 麓。以，。，妒。) 由b = 子1 ，知如( 1 ，目。，o ) ( l ，妒1 ) rg r ( l i ( 1 ，以，o ) ) 由以上证明知分歧定理1 2 6 的条件满足，所以当b = 子时，a ( a ，就，口) = 0 ( a r ) 在点( 1 ，以，0 ) 处出现分歧，从而存在d 0 ，1 8 l 6 ，及c 1 函数 ( a ( s ) ，r ( s ) ，t ( s ) ) ：( 一d ，6 ) 一r xe 使得 ( o ) = 1 ，r ( o ) = 0 ，t ( o ) = 0 ，r ( 9 ) ，t ( s ) z ，z o ( l l ( 1 ，以，0 ) ) = e 钍( 5 ) = 如+ s ( l + r ( 5 ) ) ，u ( s ) = s ( 砂l + t ( 8 ) ) 。 并且满足a ( a ( s ) ，u ( s ) ，口( s ) ) = ( 0 ，o ) 下面分析两种可能的情形 ( 1 ) a ，( s ) 三0 ，f 8 l 6 ； ( 2 ) a ，( s ) 0 对于第一种情形，因为a ，( s ) i0 ，h 0 且j s j 很小，所以存在 0 ，当 0 0 ，这也说明了( i ) 存在正解 对于第二种情形，存在j 0 ，使得当h 1 为舅的特征值，取对应于a 的特征向量( 惦妒) ，妒，妒0 则 ( 妒，妒) t = a ( 妒，妒) t ，从而有 ( 一d 南) 。1 ( m t + 们) 妒= 一 整理得 1十1 + ( 6 ，2 ( 以，o ) ) 妒= ( m + 一m ) 妒 由假设a 1 ，可得算子d 基+ o f = ( o o ，o ) ) 有特征值p = m + 一 m 0 从而 第一特征值 a ，( d 南+ 妄( 先，o ) ) ) o ， 但是，由 知 与哺 0 秀疆 + x 1 ( 6 。( e o 0 ) ) ) 孙( 触，o ) ) a 。( d 面d 2 + ；( 6 ( 以，。) ) ) 。， 因此当t ( 0 1 】时，i n d e x w ( e ，o ) ) = 1 1 5 因为( 以，0 ) 是算子忍( 【0 ，1 】) 的孤立不动点，所以可以在d 内取( 以，0 ) 的 某个领域以使得在o u 上r 没有不动点于是利用度的同伦不变性可得 i n d e x w ( f 1 ( 以，o ) ) = i n d e x w ( 毛，( 以，o ) ) = 1 证毕 类似于引理1 4 6 的证明可得下面引理成立 引理1 4 7 如果a = 又l ，那么( i ) 有严格正解，或者i n d e x w ( f , ( 0 ，巩) ) = 1 类似定理1 4 5 的证明，由引理1 4 6 ，引理1 4 7 知下面定理成立 定理1 4 8 若a a 1 ，b 盯1 且a = a 1 ，b = 子1 ，则( i ) 至少存在一个严格正 解 最后利用数值模拟的方法描绘了模型( i ) 的共存解，结果与定理1 4 5 相吻 合其中图1 对应于a 1 口 支1 ，口l 子1 的情形 ( 图1 )( 图2 ) 基本的参数值为a 1 = 1 5 ，a 2 = 2 ，k = o o l ，y = 1 ，d = 1 ，p = 1 0 ( 图1 ) a = 1 5 1 6 ，b = 1 7 6 ( 图2 ) 口= 3 5 8 ，b = 4 5 1 7 1 6 第二章具有抑制项的c h e m o s t a t 模型正解的存在区域 2 1 引言 在第一章所得到的结论的基础上我们接着讨论下列反应扩散方程组 正解存在的区域a ，当( a ，b ) a 时，系统( i ) 至少有一个正解，而当( 血，b ) 蟊a 时，系统( i ) 只有平凡和半平凡解同时证明在a 的一个特定子区域内，系统( i ) 至少有两个正解 由第一章的结论，我们知道，半平凡解如，如分别关于a ，b 单调递增，由 ，厶 关于u ，口的单调性及a 1 ( p ) 关于p 的单调性知，函数a 1 兰a l ( 6 ) ，矛1 ；b i ( a ) 分别 关于b ，。递增。对于8 a 1 ，b 以，我们定义 r ：口= 玉。( 6 ：j ，f ：b = 白( o ) 则a 包含所有被巧与巧包围的内点，因此，a 是无界的，然而r ；，f ：并菲a 的 边界本章将通过构造两个递增函数r l ( n ，6 ) ，r 2 ( a ，b ) 来建立a 的边界首先给出 本章常用的几个引理 引理2 1 1 如果也= ( 也，仉) ，也= ( 饥，仉) 是 b 以2 v 篇黔：募 仁， = 2 ( ) ， z a n 。 的有序上下解，且( ，2 ) 是( 也，皿) 上的拟单调减函数，那么 u 一a v = ，2 ( z ，让，口) b 2 v = h 2 ( x ) ， v ( o ，z ) = ( z ) 对应于( u o ，v o ) = ( 五。，仉) ( ( 也。，o 。) ) 的解( 可，玢( 世，矿) ) 的分量可，矿关于t 单调不 增，旦，里关于f 单调不减进一步， 粤3 ( 可( t ，z ) ，里( t ，z ) ) = ( 可s ，z s ) 1 7 删怵一一 扛曲黼 搿啡= 磅旷哪媳 l i m ( 型( z ，茁) ，y ( t ，z ) ) = ( 匕，v 。) + o 。 存在，且为( 2 1 1 ) 的解并且玩2 _ c 5 ，玩匕另外，如果( ；，嵋) ( n ，d 。) 是 ( 2 1 ，1 ) 的解，那么 ( 匕，匕) 茎( ：， ：) ( 玩，一v 。) f d u 。= a u f x ( u ，如) ，z ( 0 ，1 ) i d 如。= 的，厂2 ( 口l ，u ) ，z ( 0 ，1 ) ， i ( o ) = z ( 1 ) + 7 “( 1 ) = 0 ， 【( o ) = ( 1 ) + 7 v ( 1 ) = 0 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 其中( 口l ，口2 ) d = ，u ) e ( 【o ，1 】，r 2 ) ：0 茎u ， s2 + 1 ) ，则有下面的引理 引理2 1 2 设u ( 卫) z + 1 是( 21 2 ) 对应于如= u 的一个正解，且w u 那么当日2 一w 时，( 2 1 2 ) 存在一个正解矿( 石) ，且有“( z ) u ( x ) z + 1 证明由于一d u 。= 。札 ( u ，u ) s ：一d u 。= 叫 ( u ，) ，因此，u 是 i d u z 。= 口“f l ( u ，u 7 ) ，z ( 0 ，1 ) ， 【 t a x ( o ) = ”。( 1 ) + 7 u ( 1 ) = 0 的下解，z + 1 是上解，结论成立 注引理的结论对于( 2 1 3 ) 也成立 最后我们给出半平凡解处的分歧 定理2 1 3 设a ) 1 1 ，b ( 7 1 ，u 4 = ( 以，o ) ，v = ( 0 ，以) 那么对每一个固定 的a ，都存在一个d 0 及c 1 函数( u ( s ) ，6 ( s ) ) ：【0 ，d ) 一r e ，使得对任 意s 【0 ，j ) ，c ，( s ) 是( i ) 对应于b = b ( 8 ) 的一个正解，并且满足l i m 。o u ( s ) = u + ，l i m 。0 6 ( s ) = 子1 同样，那么对每一个固定的b ，都存在一个6 0 及g 1 函数 ( 矿( s ) ，o ( s ) ) ： 0 ，d ) 一r e ，使得对任意s 0 ，j ) ，u ( s ) 是( i ) 对应于n = n ( 8 ) 的一个正解，并且满足l i m ，o u ( s ) = v + ，l i m ，o a ( s ) = a 1 证明我们只