（应用数学专业论文）正倒向随机微分方程解的性质及其在随机微分效用上的应用.pdf

东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人在导师的 指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中己明确注明和引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，我对 所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：豫掘豁 日期：舢f 年1 月i f 日 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权东华大学可 以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密o f o 学位论文作者签名：豫 l 涔 指导教师签名 日期：勘巧年月j 8 日 知遣君 日期：如r 车，月名日 摘要 正倒向随机微分方程f f b s d e ) 的研究源于随机控制和 金融等问题的研究；反过来方程理论的研究成果在控制、 金融领域，偏微分方程等数学领域有着重要的应用。基于 正向和倒向随机微分方程的理论成果，f b s d e 的研究在短 时间内取得了长足进步，但由于其自身的特殊性，研究成 果还并不丰富，正向和倒向s d e 的研究技术难以直接应用。 目前，f b s d e 的研究分成两类，第一类是倒向部分是 由b r o w n 驱动的i t 6 型倒向随机微分方程，直接源自于随 机控制的研究，后来被应用于金融问题的研究；第二类是 倒向部分是带有条件期望的倒向随机微分方程，它直接源 自于金融问题的研究。由于两类方程对滤波及参系数的可 积性要求不尽相同，所以一般隋况下两类互不包含。 在第二类情况中，对于在一般滤波条件下的正倒向随 机微分方程的解仍未加以系统研究，而与此相应的比较定 理、随机微分效用的性质以及在随机控制领域的应用也需 要进一步地探讨；相对于单一的倒向随机微分方程，局部 l i p s c h i t z 条件下正倒向随机微分方程解的性质的研究尚不 够丰富，直接影响到其在经济学上的应用。 本文研究正倒向随机微分方程解的性质及其在随机微 分效用中的应用，主要结果有：( 针对第二类方程) 第二章 讨论了在系统设置为增过程的条件下，利用i t 6 公式和可 选投影定理得到了解的存在唯一性，比较定理及相应的随 机微分效用的性质，如效用函数的单调性、凹性以及风险 规避性等；第三章在终端设为停时的条件下，得到了一类 系统解的存在唯一性，并由此得到无穷水平的随机微分效 用的比较定理及相应的性质；第四章在某一特殊单调性条 件下，得到系统解的存在唯一性，并给出在随机控制中 的具体应用；第五章讨论了关于局部l i p s c h i t z 条件下的一 类f b s d e 解的存在唯性，稳定性，比较定理及相应的随 机微分效用的性质；最后，第六章基于第四章所讨论的相 反的特殊单调性条件，证明了一类f b s d e 随机系统最优控 制的最大值原理。对于贯穿在各章中的解的存在唯一性讨 论，普遍采用了压缩映象原理、i t 6 公式和可选投影定理。 关键词：倒向随机微分方程；正倒向随机微分方程；条件 期望；比较定理；随机微分效用函数；最优控制；最大值 原理 t h ea d a p t i v es o l u t i o n so ff b s d e a n dt he i ra p p l i c a t i o nt os t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l u t i l i t y a b s t r u c t t h e s t u d y o ff o r w a r d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ss t e m sf r o mt h ep r o b l e m so ns t o c h a s t i cc o n t r o la n d f i n a n c e c o n v e r s e l y ，t h et h e o r e t i c a lr e s u l t so fi t a r ew i d e l y a p p l i e dt ot h ef i e l d so f s t o c h a s t i cc o n t r o la n df i n a n c ea sw e l l a s p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b a s e d o nt h er e s e a r c ho f f o r w a r da n db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s r e s p e c t i v e l y ，t h es t u d y o ff b s d ep r o g r e s s e d r a p i d l y b u t i n s u f f i c i e n t l y ，a s m o s to ft h er e s u l t so ff s d ea n db s d e c a n n o tb ea p p l i e dt of b s d e d i r e c t l y a tp r e s e n t ，t h es t u d yo ff b s d ec a nb e s e p a r a t e d i n t ot w o m a j o rt r e n d s ：1 t h eb a c k w a r dp a r ti sd r i v e nb yb r o w nm o t i o n ( c a l l e d i t 6 t y p e ) ；2 t h e b a c k w a r d p a r t i sd r i v e n b y c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o nw i t hn a t u r a lf i l t r a t i o nu n d e ro r d i n a r y c o n d i t i o n s b e c a u s eo ft h ed i f f e r e n c ei nf i l t r a t i o na n d i n t e g r a b i l i t y o ft h e c o e f f i c i e n t s ，t h e s e t w o t y p e s a r en o t c l o s e l yi n t e r r e l a t e d s of a r ，t h e r ei sn os y s t e m a t i cr e s u l to nt h ea d a p t i v es o l u t i o n s o ff b s d eo ft h es e c o n d t y p e c o n s e q u e n t l y ，t h e r e l a t e d c o m p a r i s o nt h e o r e m ，p r o p e r t i e s o ns d ua n ds t o c h a s t i c c o n t r o la r en o tw e l le x p l o r e d m e a n w h i l e ，t h el a c ko fs t u d y o ff bs d eu n d e rl o c a l l i p s c h i t z c o n d i t i o nr e s u l t si nm u c h i n c o n v e n i e n c ei ni t s a p p l i c a t i o nt of i n a n c e t h i sp a p e r m o s t l yf o c u s e so nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h e a d a p t i v e s o l u t i o n so f f b s d e ( t y p e2 ) a n d t h e i r a p p l i c a t i o nt os d u t h em a i nr e s u l t sa r e ：i nc h a p t e r2 ，u n d e r t h es y s t e md r i v e nb yi n c r e a s i n gp r o c e s s e sa n du s i n gt h et t 6 f o r m u l a ，o p t i o n a lp r o j e c t i o nt h e o r e ma n dc o n t r a c t i o nm a p i n g ， w ec a ng e tt h ec o m p a r i s o nt h e o r e mo fc e r t a i nf b s d ea n dt h e c o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e s o n s d u ，s u c h a s m o n o t o n i c i t y ， c o n c a v i t ya n dr i s ka v e r s i o n ；i nc h a p t e r3 ，w h e nt h et e r m i n a l i s s t o p p i n gt i m e ，w e c a na l s o g e t t h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o ft h e a d a p t i v e s o l u t i o n so ft h e s ef b s d e ，a n d t h e i r a p p l i c a t i o n t ot h ei n f i n i t eh o r i z o ns d u ；i nc h a p t e r4 u n d e rs o m e s p e c i a lm o n o t o n i c i t yc o n d i t i o n ，t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o ft h e a d a p t i v e s o l u t i o n sc a n e a s i l y b e o b t a i n e dw i t hap r o b a b i l i s t i cm e t h o dt ot r e a tal a r g ek i n do f f b s d ew i t ha n a r b i t r a r i l yp r e s c r i b e d t i m e d u r a t i o n ；i n 5 c h a p t e r5 ，t h es o l v a b i l i t yo fs o m ef b s d ea n dt h es t a b i l i t yo f t h es o l u t i o n su n d e r1 0 c a l l i p s c h i t zc o n d i t i o n i sd i s c u s s e d a n df i n a l l yi n c h a p t e r6 ，am a x i m u mp r i n c i p l e f o r o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m o ft h ef b s d e s y s t e m i n c h a p t e r 4 i s a c h i e v e d t h r o u g h o u tt h ec h a p t e r s ，c o n t r a c t i o nm a p i n g ，i t 6 f o r m u l aa n d o p t i o n a lp r o j e c t i o n a r e w i d e l ya p p l i e d t ot h e p r o o fo fe x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ea d a p t i v es o l u t i o n s o ff b s d e c h e n w e i w e i ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) s u p e r v i s e db y s u nx i a o j u n k e yw a r d s ：f o r w a r d - b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n ； c o m p a r i s o nt h e o r e m ； s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a lu t i l i t yf u n c t i o n ； o p t i m a lc o n t r o l ；m a x m i u mp r i n c i p l e - 6 - 第一章绪论 1 1正倒向随机微分方程概述 正向随机微分方程( s d e ) 的研究有近半个世纪的历史，取得 了辉煌的成就，它不仅有着直接的应用背景，并且有完善的理论框 架，与其他数学分支建立了自然的而且非常深刻的联系 】 。与这 一进展形成鲜明的对照，关于倒向随机微分方程( b s d e ) 的研究， 滞后了很长一段时间才开始：倒向随机微分方程是相对于正向随机 微分方程而言的，线性情况开始于【2 ，而一般非线性的情况的基 本框架在 3 中给出，并证明了其解的存在唯一性。著名经济学家 d u f f i e 和e p s t e i n 【4 也于1 9 9 2 提出了这个方程的特别典型的情况。 倒向随机微分方程有着重要的应用前景：可以用它来描述不确定经 济环境下的消费偏好( 即效用函数理论) ；通过倒向随机微分方程 来获得非线性f e y n m a n k a c 公式，从而可阻用来处理诸如反应扩散 过程方程和n a v i e l 一s t o k e s 等重要非线性偏微分方程。 正倒向随机微分方程( f b s d e ) 的研究始于随机最优控制【3 1 。 当随机最大值原理与随机最优控制相结合时，或是数学金融中考虑 大户投资者时，便产生了完全耦合的正倒向随机微分方程。早在 19 7 3 年，b i s m u t 【3 1 首先开始了这一领域的研究，随着倒向随机微 分方程研究的突破和发展( 【3 【1 1 ) ，以及控制理论和经济研究的需 要，上世纪9 0 年代，完全耦合的f b s d e 的研究取得了稳步进展。 f b s d e 主要关心如何在既定条件下达成预期目标，其解的存在性 意味着能够找到满足时间始末条件的过程。因此，f b s d e 有着重 要的应用前景：可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好( 即 效用函数理论) 以及基于此的资产定价理论、决策理论和期权定价 理论。 关于f b s d e 解的存在唯一性研究，最初始于a n t o n e l l i 8 ，考 虑方程： 其中，g ，f 均为h 。上的半鞅；f 为满足通常条件的滤波。此类 方程研究直接源于金融理论中的随机效用函数的研究 4 】。文献【8 利用压缩映象原理，假设系数满足一致l i p s c h i t z 条件，证明了在 一个小的时间区间上以上f b s d e 的解陇砂的存在唯一性，同时举 出反例说明l i p s c h i t z 条件不能保证方程解在任意大的时间区间t 川p j 叫 ，篁，| 萋； 以k “ f r 书 薯 r 存在。 1 9 9 4 年，m a ，p r o t t e r 和y o n g 9 研究了由b r o w n 运动驱动的有 限维f b s d e 的更一般形式： l 置。hj 。6 ( s ，置，【，z d d s + j 。d ( s ，置，k ，z 。) d ，。，r ( 1 2 ) 1 = g ( x r ) + i ，b ( s ，x ，i ，z 。) 出+ l ，占0 ，x ，誓，z ，) d 眶 当盯非退化时，利用偏微分方程的方法，给出了求解的“四步方法”， 得到了任意时间区间上解的存在唯一性结果。但为保证每步行得 遇，必须使6 ，b ，仃，子，g 满足 9 】中的假设，有界且确定，而这条件 局限了它在经济领域中应用。 1 9 9 5 年，h a 和p e n g 【l o 】进一步讨论了上述形式的f b s d e ： 置= x 十j ：b ( s ，五，r ，五) 咖+ 丘盯( b 五，誓，互) 识 ，r， ( 1 3 ) lr = g ( 墨) 一j ，h ( s ，丘，e ，乏) 幽一i ，乏a w , 在无需盯为非退化时，当系数满足某种单调性条件： 1 ，( r ，“1 ) ，( t ，l d 2 ) l sc ， “1 一“2 1 乃j ( ，( r ，“1 ) 一，( r ，“2 ) ，“2 ) - - - - c 2 t l i - - 1 2 2 1 2 【g ( ) 一g ( x 2 ) 【c 1 i x t x z l【( g ( ) g ( ) ，x l - - x 2 ) c 1 1 _ - - x 2 1 2 其中j ( t ，“) = ( ( f ，“) ，6 ( f ，“) ，盯( f ，“) ) ；= ( z ，少，) i = l ，2 且x ，y 同维时，证明了该系统在任意时间区间上解的存在唯一性。 这一理论可以应用到确定型两头债券的定价。 此后，p e n g 和w u 13 将其推广到爿，y 不同维的f b s d e ： 同样地，须满足g ，单调性条件： f ( 巾，“1 ) 一厂( f ，“2 ) ，“1 一“2 ) 一层l g ( 毛- - x 2 ) 2 一忍 g 7 ( y l y ：) 【2 ( g ( 一) 一g ( _ ) ，g ( _ 一x ：) ) 0 这条件较之h u 和p e n g 1 0 】所设定的要更为宽松，便于在实际中 得以应用，尤其是f b s d e 系统的最优控制和h a m i l t o n 系统大多满 足这一条件。此外，同样无需盯为非退化，在任意时间区间上，他 们证得了解的存在唯一性，并给出了满足g 单调性的一类随机哈 密尔顿系统，从而将f b s d e 理论进一步推广到数学金融领域：同 时也举出一反例说明离开了g 一单调性，任意时间区间上解的存在 唯性就不能保证。 1 9 9 8 年，h a m a d e n e 1 2 在h u 和p e n g 研究的基础上，给出了 更弱的两组条件，通过定义迭代序列，分别证明了上式解的存在唯 一性。对于有限维的b s d e ，f b s d e 解的存在唯一性证明都依赖于 i t 6 公式，对于无穷维的f b s d e ，则不能直接使用它，只能定义 p i c a r d 迭代序列，通过区间细分的方法，逐段证明适应解的存在唯 一性。 同时，w u 2 7 】将f b s d e 的形式进一步扩展。在给定个随机 目标的前提下，考虑倒向随机控制系统；或在正倒向系统中，仅考 虑倒向部分，应用最大值原理研究最优控制问题，可以得到另类 正例向方程： 1 戤7 ( f ) = 6 ( f ，x ( r ) ，y ( f ) ，z ( r ) ) 魂+ o - ( 1 , x ( f ) ，】，( r ) ，z ( r ) ) d ( ) d y ( t ) = 一厂( f ，z ( f ) ，y ( f ) ，z ( f ) ) 出+ z ( f ) d o )( 14 ) x ( o ) = 矗( k ) ，r ( r ) = m ( 4 ) 利用一致l i p s c h i t z 条件和某单调性条件，得到其解的存在唯一 性。同时它考虑了在实际应用中非常重要的两个性质：f b s d e 的 解依赖于参数的连续性和可微性。应用这些性质结合变分方法，可 以得到完全耦合的正倒向随机系统最优控制问题的一类最大值原 理。 此外，他又将上式推广为： i d y ( f ) = 6 ( f ，x ( o ，y ( f ) ，z ( f ) ) 成十盯( f ，x ( f ) ，】，( f ) ，z ( r ) ) d 彤( f ) d y ( t ) = ，( f ，盖( f ) ，】，o ) ，z ( f ) ) 出+ g o ，一o ) ，y o ) ，z ( t ) ) d w ( t ) ( 1 5 ) l x ( o ) = 佤) ，r ( r ) = 中( 局) 利用对g 的较强假设，根据方程维数的不同，证得任意长度区间上， 解的存在唯一性。 上述讨论都是基于系数方程满足一致l i p s c h i t z 条件下展开的。 2 0 0 2 年，w u 和g u 基于p e n g 6 】对局部l i ps c h i t z 条件下b s d e 解的存在唯一性的研究，在局部l i ps c h i t z 条件下，证明了对任意 时间区间，完全耦合的f b s d e ( 1 3 ) 解的存在唯一性，从而推广了 h u 和p e n g 【1 0 ，p e n g 和w u 13 中的结果。 在研究美式期权的定价问题时，衍生出对带有停时的正倒向随 机微分方程解的讨论。1 9 9 7 年，c h e n 2 2 首先对带有停时的倒向随 机微分方程的解进行了研究： z 2 f + j ，g ( ，z ，) 幽一j ，z ，d 睨 ( 1 6 ) 利用g 满足l g ( x ，z 。) 一g ( y 2 ，z 2 ) l - u ，( t ) l r , 一砭1 + “：( t ) l z 。一乏l ，其中为两 个正的非随机函数，得到了解的存在唯一性。王桂兰 2 3 在这结 论基础上，基于对美式期权的考虑，将终端带有停时的问题代入 f b s d e 中分析： ” 折 动z 嘭 姒胁 f 加 驰 聪 0 鼍 置 t f 少 + x 叫 置 r 调性条件的基础上：利用h u 和p e n g 1 0 的方法得到了这一特殊系 统的解的存在唯一性。 在c h e r t 2 2 】的理论基础上，周少甫和张希承f 2 5 1 建立了无穷水 平的随机微分效用，此后周少甫和魏正红 2 4 建立了无穷水平倒向 随机微分方程解的比较定理并讨论了无穷水平随机微分效用的性 质，推广了k a r o u i ，p e n g ，q u e n e z 【3 2 】在随机微分效用理论上的结 论。此外，周少甫和王湘君 3 3 研究了非l i p s c h i t z 条件下的随机微 分效用及其相关性质。以上对随机微分效用的延1 串均是基于倒向随 机微分方程建立的效用函数。 对于正倒向随机微分方程在最优控制上的应用，w u 首先做出 了努力，在【2 9 中他考虑了关于一类完全耦合的f b s d e 系统： rf，o i 置= x + i 6 ( 五，e ，z ，v , ) a s + i 。o - ( x ；，i ，乙，l ) d w , ；：； ( 18 ) l i = f + i ， ( 五，i ，五，k ) 凼一i ，乏d 形 i_ i _ 基于反向g 一单调性条件讨论了解的存在唯一性，并在此基础上分 析了最优控制问题，在一凸性控制域上获得了最大值原理。基于他 的讨论杜鹃 3 0 对终端条件加以控制： fp ，“ i 爿，= z + l 。6 ( 墨，t ，z ，v , ) d s + i 。仃( x 。，i ，z ，l ) a w , ，rt t ( 1 9 ) z = g ( 爿j ) + j ，矗( 以，i ，z s ，1 ) 出一i ，z 。d l 。 同样基于反向g - 单调性条件，在一凸性控制域上获得了最大值原 理。 关于f b s d e 解的比较定理是基于b s d e 解的比较定理和 f b s d e 解的存在唯一性发展起来的。z w u 1 7 】在p e n g 和w u 13 1 的解的存在唯一性的基础上，证明了方程： 正r ( r ) = 6 ( r ，肖( f ) ，r o ) ，z ( t ) ) d t + g ( t ，x o ) ，】，o ) ，z ( r ) ) d 矽( r ) d y ( t ) = 一，( r ，x ( r ) ，y ( r ) ，z ( r ) ) 出+ z ( r ) d 形( r )( 1 1o ) x ( o ) = x ，r ( r ) = g ( z ( r ) ) 关于解y 的初值r o 的比较定理，其中与y 同维且多维。在满足正 反g 一单调性条件下，他通过构造上述f b s d e 相应的两个伴随方程， 并利用停时技巧，得到结论。 以此为依据，f a n t o n e l l i ，e b a r u c e i ，e m a n c i n o 【14 】研究了 当鼻，y 为一维时，条件期望形式的方程： 一= x + f 6 ( s ，t ，t + f 盯( 蹦，r ) d k l r = e ( r + j 7 厂( s ，r ) 凼l ( ) 当系数满足某种单调性条件，利用停时技巧，证明了关于解】，的初 值k 的比较定理；其中为由布朗运动生成的自然仃滤波。 随机微分效用( s d u ) 的概念最早由d d u f f l e ，g e p s t e i n 4 提出。f a n t o n e l l i ，e b a r u c c ia n dm em a n c i n o 【15 】在s d u 基础上 引入了正倒向随机微分效用( f b s d u ) 这一概念，即通过下面f b s d e 拓展了s d u 的定义： l = e + f ( “( s ，c s ，h ，) 一屈k ) 砷i ) 1 只= y + 肛 ( 慨c s ) 飞日。p 其中h 称为惯性过程，u 关于c 增，则u ( r ，c 1 = v 0 称为正倒向随机 微分效用函数；称为其随机微分效用过程。更进一步， f a n t o n e l l i ，e b a r u c c i ，e 。m a n c i n o 1 4 1 利用方程( 1 1 1 ) 的比较定理， 证明了上述正倒向随机微分效用函数v 0 的连续性，单调性，凹性和 风险厌恶性；但由于比较定理的局限性，无法直接研究随机微分效 用过程的相关性质。 类似于倒向随机微分方程，到目前为止，已经提出了两类正倒 向随机微分方程，第一类是由m a ，p r o t t e r 和y o n g 9 于1 9 9 4 年提出 的带有i t 6 积分型的f b s d e ，如方程( 1 2 ) ，这里称之为i t 6 型正倒 向随机微分方程；第二类是由d u f f i e 和e ps t e i n 于1 9 9 2 年提出的 随机微分效用发展而来的，带有条件期望的正倒向随机微分方程， 如方程( 1 1 ) ，这里称之为d u f f i e e p s t e i n 型正倒向随机微分方程。 一般情形下两类方程互不包含。第一类f b s d e 主要是在布朗运动 产生的盯代数流的环境下进行的研究，这类方程对参系数的可积 性要求较高，如2 次方可积等；第二类f b s d e 则是在更一般的环 境下，对滤波限制较松，但就目前的成果来看，这类方程对参系数 的可积性要求仍然较严，仍须至少2 次方可积【8 。 到现在为止，i t 6 型有限维正倒向随机微分方程的理论已趋完 善，该理论已被广泛应用到投资决策，期权定价，随机微分效用等 经济理论和实践中。类似倒向随机微分方程，正倒向随机微分方程 的理论也同样可以对不完备市场中的各种衍生金融工具的定价及 套期保值问题提出有利的分析和近似计算方法，尤其是利用带有停 时的f b s d e 对美式期权( 期权可在到期日之前的任意时刻交割) 定价。此外，基于正倒向随机微分方程构造的f b s d u 的存在唯一 性和一系列性质( 消费偏好、风险贴水) 的分析，对最优消费效用 进行均衡分析：期望导致低风险贴水；而失望导致高风险贴水。由 此可以得到均衡贴水值，并可建立起资产定价模型。 1 2正倒向随机微分方程研究的现状 1 关于正倒向随机微分方程解的存在唯一性 基于倒向随机微分方程在这一方面的理论，正倒向随机微分方 程在i t 6 型f b s d e 上取得了较为成熟的理论发展。主要分为以 下几种形式讨论： 1 ) y 终端为随机变量善型【8 2 ) y 终端为随机函数g ( x ，) 型 9 】、【1 0 、 2 7 3 ) y 的浮动项为盯( ，l ，z ) 型【9 】、【2 7 】 4 ) y 的浮动项为z 型【1 0 】 5 ) x 终端为常数a 型【9 】、【10 】 6 ) x 终端为确定函数h ( y o ) 型 2 7 7 ) x 与y 同维 1 0 8 ) x 与y 不同维【9 】、【l3 】 9 ) 带有停时的时间区间【2 3 】 由于2 ) 包含1 ) 因此主要考虑2 ) 型f b s d e 在一致l i p s c h i t z 和某种单调性条件下解的存在唯一性。p e n g 和h u 1 0 】分析了 2 ) + 4 ) 型，在较强的一次与二次单调性条件和一致l i p s c h i t z 条件 下，通过构造( x ，y ) 的c a u c h y 序列，证得x 与y 同维时解的存 在唯一性。p e n g 和w u 13 】进一步弱化了单调性条件( 仅保留二 次性条件) 称其为g 一单调性条件，同样结合一致l i p s c h i t z 条 件，运用i t 6 积分公式考虑了x 与y 不同维时的情形。w u 2 7 1 将3 ) 、6 ) 并入以上讨论，得到另两类i t 6 型f b s d e ：对于2 ) + 4 ) + 6 ) 型，在g 一单调性条件及反向g 单调性条件和一致l i p s c h i t z 条 件下得到结论：对于2 ) + 3 ) + 6 ) 型，通过对口设定一关于z 的单调性条件，得到结论。 对带有停时的f b s d e 的讨论形成了对f b s d e 解的性质的 研究的另一方向。最初，c h e n 2 2 对带有停时的b s d e 解的存 在唯一性进行了讨论，指出当系数满足一特殊的l i p s c h i t z 条件 ( 常系数g ，c 2 被两个正的非随机函数，屿取代) 下得到结论。 在此基础上，王桂芝 2 3 1 基于对美式期权定价问题的考虑，研 究2 ) + 4 ) 型带有停时的同维f b s d e ，在p e n g 和h u 【1 0 设定 的较强的单调性条件下同样构造f x ，】，) 的c a u c h y 序列。 对于局部l i p s c h i t z 条件下的i t 6 型f b s d e ，吴臻和谷艳玲 【2 6 运用l t 6 积分公式也得到了结论。 以上对i t 6 型f b s d e 运用i t 6 积分公式均是基于适应解为 平方可积过程的前提。 对条件期望型f b s d e ，即b s d e 部分是由条件期望为一般 滤波驱动的情形，最早a n t o n e l l i 8 分析了f b s d e ( 1 1 ) ，但他 同时指出该类型解的存在唯一性仅在一足够小的时间区间上成 立，并举出了在一较大时间区间上的反例。 2 关于正倒向随机微分方程解y 的比较定理 对于i t 6 型f b s d e ，w u 17 在正反向g 一单调型条件和一致 l i p s c h i t z 条件下，通过构造伴随方程以及运用停时技巧，当x 的初值满足a 2 或y 的终值函数满足( x ) 9 2 ( x ) 时，y 的初 值有球埒。 对于条件期望型f b s d e ，f a n t o n e l l i ，e b a r u c c i ，e m a n c i n o f 1 4 讨论了当条件期望是由布朗运动驱使且y 的终端为随机变 量时，在系数满足更为具体的单调性条件时，运用停时技巧 得至0 ：当毒1 善2 ，有瑶玲。 3 关于正倒向随机微分效用 随机微分效用( s d u ) 的概念最早由d d u f f i e ，g e p s t e i n 4 】 提出。f a n t o n e l l i ，e b a r u c c ia n dm em a n c i n o 15 在s d u 基 础上引入了正倒向随机微分效用( f b s d u ) 这一概念，即通过下 面f b s d e 拓展了s d u 的定义： ik = l r 七f0 ( s ，c ，h 。) 一声，k ) 凼f ；) lh r = y + m ( c sk ) 飞皿p 其中h 称为惯性过程，u 关于c 增，则u ( r ，c ) = 称为正倒向随 机微分效用函数；一称为其随机微分效月过程。更进一步， f a n t o n e l l i e b a r u c c i ，e m a n c i n o 1 4 1 利用方程( 11 i ) 的比较定 理，证明了上述正倒向随机微分效用函数k 的连续性，单调性， 凹性和风险厌恶性：但由于比较定理的局限性，无法直接研究 随机微分效用过程矿的相关性质。 4 关于正倒向随机微分方程与最优控制问题 对于这一方面的研究，目前只涉及到i t 6 型f b s d e 。w u 2 9 】讨 论了1 ) 十4 ) + 5 ) 型f b s d e 在正反向g 一单调性条件和致 l i ps c h i t z 条件下，通过运用差分方程及连续性讨论，得到了关 于一h a m i l t o n 系统的最大值原理。杜鹃【3 0 】基于此结论和方法 同样得到了2 ) 十4 ) + 5 ) 型f b s d e 关于一h a m i l t o n 系统的最大值 原理。 1 3 本文研究的问题和结构 本文将针对条件期望型( 一般滤波驱动) 正倒向随机微分方程， 讨论其解的性质及其在最优控制和随机微分效用上的相关应用。到 目前为止，对于这类f b s d e 的研究相对i t 6 型f b s d e 来说较为 薄弱，在实际的许多经济金融问题中，模型中的条件期望不能仅局 限于由布朗运动生成，因此需要考虑更为一般的情形。与此相应的 条件的设置也应有适当的变更，以满足实际情况的需要。 基于上述背景和思考，本文首先研究了类上述类型的 f b s d e ，在单调性条件和一致l i ps c h i t z 条件下，得到解的比较定 理，并将其应用于正倒向随机微分效用，获得了f b s d u 的相关性 质。接着，讨论了终端为停时的该类f b s d e 在基于较强的单调性 条件下解的存在唯一性，并提出了无穷型f b s d u 的概念，研究了 相应的比较定理及f b s d u 的相关性质；之后，关于某一特殊单调 性条件讨论了类f b s d e 解的存在唯一性，并举出其在控制问题 上应用的相关例子，以上均是基于一致l i p s c h i t z 条件下讨论的： 在此基础上，放松一致l i p s c h i t z 条件为局部l i p s c h i t z 条件，研究 解的存在唯一性、稳定性、比较定理及f b s d u 的相关性质；最后， 仍然基于单调性条件和一致l i p s c h i t z 条件考虑了与该类f b s d e 相 结合的最优控制闯题的最大值原理。 本文共分6 章，均基于条件期望( 一般滤波) 型正倒向随机微 分方程讨论，其框架结构如下： 1 第一章：综合叙述了正倒向随机微分方程发展的历史、研究的现 状和存在的问题，以及本文所做的主要工作。 2 第二章：研究了一类正倒向随机微分方程( 2 5 ) 解的比较定理， 在某一单调性条件和一致l i p s c h i t z 条件下，利用停时技巧、投 影定理和f u b i n i 定理证明了关于解y 的比较定理，拓广了仅仅 针对初值k ( 而非整个随机过程y ) 的比较定理，并将其运用到 f b s d u 获得其相关性质。这一部分结果取自于本文作者己发表 的论文。( 参见附页文 1 】) 3 ，第三章：主要是研究了终端为停时的正倒向随机微分方程 ( 3 3 ) ，通过构造( 爿，y ) 的c a u c h y 序列，在一次和二次单调性 条件下获得解的存在唯一性，并在此基础上定义了无穷正倒向 随机微分效用，证得了比较定理，并用到该无穷正倒向随机微 分效用上，获得了一系列相关性质。 4 第四章：主要研究的是在一类特殊单调性( g 一单调性) 条件下 通过广泛应用压缩映射原理、i t 6 积分公式和可选投影定理，得 到解的存在唯一性，并将该结论应用于具体的随机控制问题。 5 第五章：主要研究了在局部l i p s c h i t z 条件和单调性条件下，利 用i t 6 积分公式，将局部l i p s c h i t z 问题转化为一致l i p s c h i t z 条 件下讨论，得到解的存在唯一性、比较定理及正倒向随机微分 效用的相关性质。 6 ，第六章：主要研究建立在正反向g 一单调性条件和一致l i p s c h i t z 条件下的f b s d e ，利用解的连续性并构造差分方程，得到相关 的h a m i l t o n 系统的最大值原理。 7 第七章：对本文的研究进行了总结，同时沿着本文研究的线路 和方向提出了正倒向随机微分方程领域研究现存的一些问题和 展望。 第二章一类正倒向随机微分方程解的比较定理及 应用 2 1 引言 正倒向随机微分方程( f b s d e ) 的研究始于随机最优控制，最初 是1 9 7 3 年b is 日u t 1 开始研究的，随着倒向随机微分方程研究的 突破和发展( 2 3 ) ，出于数学相关问题和金融、控制方面的应用， 上世纪9 0 年代，完全耦合的f b s d e 的研究取得了稳步进展。 关于f b s d e 解的存在唯一性研究，a d t 0r l e l l i 在 4 中利用压 缩映象原理，假设系数一致l i p s c h i t z 条件，证明了在个小的时 间区间上以下f b s d e ( 2 。1 ) 的解偶的存在唯一性，并举例说明 l i p s c h i t z 条件不能保证方程解在任意大的时间区间上存在。 l x ，= + z ( 五，i ) 崛 k e ( r + 如( 以皿l ) t 0 , t 】 ( 2 1 ) f 为满足通常条件的滤波。此类方程 研究直接源于金融理论中的随机效用函数的研究( 5 8 ) 。 s p e n g 和z w u 7 同样利用压缩映象原理证明了下面形式 方程( 2 2 ) 在任意大的时间区间上的解的存在唯一性，但在假设 系数的一致l i p s c h i t z 条件的基础上，增加了系数满足某种单调性 条件。 d x ( t ) = 6 ( f ，x ( f ) ，y ( f ) ，z ( f ) ) 出十口( ( f ) ，y ( f ) ，z ( f ) ) 矗( f ) d y ( t ) = 一厂( f ，肖( r ) ，y ( r ) ，z ( f ) ) 出+ z ( r ) d 矽( f ) ( 22 ) 盖( o ) = x ，y ( t ) = g ( 彳( 丁) ) 关于方程解的比较定理，z w u 8 在 7 的解的存在唯一性的 基础上，证明了方程( 2 2 ) 关于解y 的初值的比较定理，这一。 结果非常特殊，它要求方程系数不变，仅在方程初值和终值不同情 况下得到方程解丘的比较。 f a n t o n e l l i ，e b a r u c c i ，e m a n c i n o 9 研究方程( 2 3 ) 在系数满足某种单调性条件下证明了关于解只在初始点 ：o 的比 较定理； f x ，= x + f 6 ( s ，工，r ) 出+ j ：盯( s ，z ，r ) j 彬 1 r ：占( r + 7 ，( 。，x ，i ) 以l ) ( 2 3 ) f 为由布朗运动生成的自然滤波，文 9 还运用比较定理研究了随 机微分效用函数。 随机微分效用( s d u )