（计算数学专业论文）热弹性接触模型的有限差分模拟.pdf

摘要 热弹性接触问题来源于许多工业生产过程，尤其在铸造、模制、自动调温器等 制造业中有广泛的应用背景在这些设备的工作过程中，两种或多种弹性材料由 于热胀冷缩的作用可能彼此接触，因此预报这些弹性材料在生产过程中的行为是 相当重要的例如，一个球形的轴承，球与球壳由不同的材料制成，热胀冷缩可 能引起两者吻合的好而正常运转，也可能吻合的不好而损坏机器诸如此类的问 题在工程类文献中( 卧有广泛的研究 尽管热弹性接触问题有明显的应用价值，然而关于广义的热弹性接触问题理 论方面的结果却是很少d u v a u ta r t dl i o n s1 4 j 推导了一个广义变分不等式模型， 考虑了带单边条件的发展问题，但是要假设接触没有能量损失。d u v a u t l l 2 j 仅考 虑了静态带有s i g n o r i n i s 接触条件且具有压力依赖辐射条件的问题。近来，一 维准静态热弹接触问题得到了广泛的研究，g i l b e r t ，s h i ，a n ds h i l l o r z o t t 等人做 了许多工作( 见m 【7 】= 1 4 m 6 】) 本文主要研究热弹性接触模型问题的数值解法 第一章研究了带有单侧约束的一维热弹性接触问题的数值解法应用降阶法 对这个问题在均匀网格上建立了差分格式，并用能量法证明了其稳定性和二阶收 敛性最后给出的数值例子验证了理论分析结果 第二章研究了两杆热弹性接触模型问题的数值解法，对这个问题在非均匀网 格上建立有限差分格式的工作很少本章应用降阶法对这个问题在非均匀网格上 建立了差分格式，并用能量法证明了其稳定性和二阶收敛性最后给出的数值例 子验证了理论分析结果 关键词：热弹性接触，差分格式，非均匀网格，收敛性，稳定性，非线性抛物方程 a b s t r a c t t h e r m o e l a s t i cp r o b l e m sw i t hc o n t a c t ，a r i s en a t u r e n a l l yi nn l a n yd u a s h i a lp l o c e s s e s p a lt i c u l a r l yi nl n a n u f a e t u r e o fs u c hi t e m sa sc s t i n g s ，m o u l d i n g s ，p i s t o i l s ，t h e r u l o s t a t s c t ci nt h e s es i t u a t i o n st w oo rm o r ee l a s t i cm a t e r i a l sa l ec h a a g e di n t oc o r t t a c tw i t he a c h o t h e ra sar e s u l to ft h e r m a le x p a n s i o n p r e d i c t i n gt h eb e h a 、i o ro ft h et h e r n l o e i s t i c a l l y c o n t a c t i n gb o d i e s i l ls i t u a t i o n si so fc o n s i d e r a b l ei m p o r t a n c e i nb a l lb e a r i n g ，f m e x a m p l e ，i nc a s e sw h e r et h eb a l la n dt h ee a s i n ga r em a d e o fd i f f e r e n tm a t e r i a l s ，t h e r m a l e x p a n s i o no rc o n t r a c t i o nm a y c a u s et i l eb e a r i n ge i t h e rt ol o c ku po rt oc h a t t e rt h e r e i sac o n s i d e r a b l ee n g i n e e r i n gl i t e r a t u r ew h i c hd e a l sw i t hs u c hp io b l e m s ( 1 3 】) i ns p i t eo ft h eo b v i o u sa p p l i e di m p o r t a n c eo ft h es u b j e c t ，t h e r er e l a t i v e l yf e wt h e - o r e t i c a li - e s u l t sa b o u tg e n r e a l p r o b l e m so ft h e l m o e l a s t i cc o n t a c t u n t i lr e c e n t l yt h e i n t le s t i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l sm a k ev a r i o u sr e s t r i c t i v ea s s u m p t i o n sa b o u th o wt i l e i n t - ! c e s sb e h a v e s ag e n e r a lv ae i a t i o n a li n e q u a l i t ym o d e l v i l sd e r i v e sb yd u v a n ta n d l i o n s 【4 】，w h e r ee v o l u t i o np l o b l e m sw i t hu n i l a l e lc o n d i t i o n sw e l ec o n s i d e r e d b u t s u l n e qt h a tt h e r ei sn ol o s sc o t a c t d u v a u t 【1 2 jc o s i d m e do u l 5 t i l es t a t i cp l o b l e mw i t h s i g n o r i n i sc o n t a c te o n d i t i o na n das m o o t h e ds t r e s s d e p e n d ( n tr a d i a t i o nc o n d i t i o n m o l el - e c e n t l y , t h eo n e d i m e n s i o n a lq u a s i s t a t i cp r o b l e mo ft h e in m e l a s t i cc o n t a c tw a s c o n s i d e l e e li nas e r i e so fp a p e l sb yg i l b e r t 、s h i ，a n ds h i l l o r z o u ( s e e 卧【7 4 卜 1 6 1 ) i n c h a p t e r1 ，w ep r e s e n tan u m e r i c a ls i m u l a t i o no fo n e - d i m e n s i o n a li ) r o b l e mo f q u a s i s t a t i cc o n t a c tw i t ha ne l a s t i co b s t a c l eaf i n i t ed i 鼬l _ e n c es c h e m ei sd e r i v e db y t h em e t h o do fr e d u c t i o no fo r d e r0 1 1u n i f 0 1 1 1 1n l e s h e s t h es t a b i l i t ya n t l c o n v e r g e n c e a l ep r o v e ds o m en u m e r i c a le x a m p l e sd e m o n s t t a t et i l et h e o l e t i c a lr e s u l t s i nc h a p t e r2 ， w es t u d 3 as e q u e n c eo ff i n i t ed i f f e r c n e ea p p r o x i n l a t es o h l t i o n st oa p a la b o l i cs y s t e m 、w h i c hm o d e l st w od i s s i m i h ul - o d st h a te a c hr o di sh e l df i x e 0 ，与弹性细杆的距离为f 0 ，并且 具有初始温度口= 0 。在弹性细杆与弹簧只间可以进行热交换，其热交换系数为一10 ， 其物理模型见图11 关于这个模型更具体的描述可以参考文献m 在文献【6 】和【7 】中， 作者考虑了相关的一些问题。 在上述所有假设条件下，细杆的温度和位移满足方程： 0 t t = o t + d 沁f ，z i ，0 cs t ， i 。= 0 ，z s 、0 ts t ， 口( 。，0 ) = p ( z ) ，。i ， o ( o ，f ) = o a ，0 f 兰t ， i ( 0 ，t ) = 0 ，0 t t ， - 0 z ( 1 ，) = 肼( 1 ) ，0 e a ( 1 ，) = 一( i ( 1 ，c ) 一翊+ ，0 0 是个物理常参数，并且通常是比较小的， i ( 1 ，t ) 一引。= n t a x i ( 1 ，t ) ；o ) 条件( 117 ) 的极限情形，即( 一o o 时所得结果，对应于单侧的s i g n o r i n i s 边界条件1 8 】= i ( 1 ，) s j ，矛( 1 ，) 茎0 、 i ( 1 ，) 一；) i ( 1 ，f ) = 0 ，( 1 18 ) 问题( 111 ) 。( 1 1 6 ) 和( 1 i 8 ) 解的存在性与唯一性，在n 1 的条件下，a n d r e w 等 人在文献【9 】中给出了证明 c o p e t t i 【5 】给出问题( 111 ) ( 1 17 ) 强解的存在性、唯一 z = 0 z = 1 图l1 一杆热弹性接触物理模型 l 茎堕查堂亟 毕业论 文2 性的证明，并且利用该结果去掉了单侧s i g n o r i n i s 问题中n 】这个很强的条件文献 ( 7 j ! i l o l l l q ) 中给出了一些数值结果。 问题( 111 ) ( 11 7 ) 是关于细杆温度与位移耦合方程组，在文献 5 中该问题被转化为 关于温度与位移非耦合的方程组：关于温度的积分微分方程，位移根据得到的温度来求 得。 关于温度的非线性问题有如下形式： ( 1 + a 2 ) 玩= 瓦。+ q 吼( 西( f ) ，z ，0 ? o ( x ，0 ) = p ( x ，z i ， o ( o ，t ) = 0 4 0 t t ， 一日z ( 1 ，t ) = 瑚( 1 ，) ，o t t ( 1 1 9 ) ( 1 1 1 0 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 2 ) 其中“2 一惫口2 旧8 渖，f ) d r 一：j + 一旦细杆温度；已经求得，则它的位移i 可以 由下面式子求得， 地牡一n z 南鲋) 十n z 。；( 引) 心z “。 t 丁f 1 3 ) 对于问题1 11 - ? ) 一( 1 1 1 2 ) ，作者c o p e t t i 在文献【5 】利用有限元方法给出了数值解，但 收敛阶仅为0 ( 茄+ ( t ) v 2 ) 。本章利用降阶法1 1 7 1 一1 1 9 1 对问题( 11 9 ) 一( 1 i1 2 ) 建立了 有限差分格式，并且证明了该格式具有o ( h 2 十( a t f ) 收敛阶。 令r 为时间步长，h 为空间步长，并满足r = 丁_ ，m ：1 令n ，： m k ：0 ，l 、2 ， 兰：三。j 卫j2 三m ) 和n r = n f 2 r - 假设u = “ l os ! n f ，o 曼k 至a t 是n ，的离散 函数引进如下记号： 、 t 。；一5 = ；( “? + “? 一1 ) ，以u ? 一5 = ；( n ? z o 一- ) 乱墨 = ；( 。? + 札墨。) 以= ；( u ? 一u 群= 扣u o 也咚 j 叫l l 。： 登( m 。，) 2 ： 2 = “蚤( u l ) 2 临确f 2 = “娄( 咖乞女只怖川。：r 妻忪一 胪 甍中箩1 芦牟点( “) 和( k 1 ) 的平均值，文u ? 一 是u 基于这两个点上的差商； “l 足“在点( “) 和( 。一，“) 的平均值，6 。n 兰；是u 基于这两个点上的差商；d ：。? 苎：基于点“扛，u ，“孙t 上的二阶羞商；。t l ，i i d x u i i i ，1 1 5 t 矿- 1 1 ，和慨。| | 是一些范数和半 范数。 ” 一 令 口( 引) = f 吼，s ) d 8( 1 1 1 4 ) l 一直 盔堂亟 圭坐 些堡丕 对方程( 1l9 ) 一( 1 lt 2 ) 两边关于t 求积分，可以得到 对问题 其中 当 鳓o ( 14 - t z 2 溉= 8 。4 - n 9 ( 吼) ( f ) 十，( z ) ，z 、0 t s l o ( x ，0 ) = 0 ，z ， o ( o ，t ) = o a t ，0 t l 一日。( 1 ，t ) = 胡( 1 ，t ) ，0 t t ， 9 ( 8 。) ( ) = ff 1 驴，( 。，) 矗z 一亘 u 0 a j ，( z ) = ( 14 - “2 ) p ( 3 ) 一a g ( p ( x ) ) 建立差分格式： 。；十。d t u 。k - 5 ) = d ；a ? 一。+ c t 。( 一 】+ ；( ，( 。；一：2 ) + ，( 。 ) ) 1 i ! ，一11 曼n ， 卵= 0 0s i m e s = 8 圮1 曼a n ， 一p 韪+ i l n ( 1 + 。2 ) 也e 圳”扎m n ， i k n 。目：_ ( 1 1 1 5 ) f 111 6 1 ( 1 1 1 7 ) ( 1 1 1 8 ) ( 11 1 9 ) ( 1 12 0 ) ( 1 l2 1 ) ( 1 l2 2 ) ( 1 1 2 3 ) = 悖。一鸳一孙 【l，25)1 9 = i ，t 叩等一；l ( 1 1 l = 一j 磅1 0 i 吖0 k ) 已经求得后，问题( 1 19 ) 一( 1 t 1 2 ) 的近似解 i m ，0 s n 可以由下面的式子求得， 边界和初始条件为 卵= 6 t 卵，1 墨i 墨m ， 毋= ；毋口? 一。一；匪日：一2 ，1s i 兰m ，2 兰 嚣= p ( 戤) ，0 is m ，酯= 口a ，l 蔓七s n ( 1 12 6 ) ( 1 1 2 7 ) ( 1 1 2 8 ) 细杆的位移i ( t k ) 的近似值可由下式得到， 屯l2 ，壶9 ( “) + 。6 毪一 ，ls i m ，ls n ( 1 l2 9 ) 。 m 2 l ，矿。 哪九卜 1 l n i 屿 姐 卜1 2 壅童盘堂亟兰一些j 垒4 在本章中，l2 对上述差分格式给出了推导过程，13 证明了差分格式的稳定性和 收敛性。14 给出了数值算铡，数值结果验证了所得结论。1 5 总结了本章所做的工作。 1 2 差分格式的推导 令”= 则( 1 1 1 5 ) 一( 111 8 ) 等价于方程组： ( 1 + a 2 ) 疗f = p + c 。g ( e f ) ( ) + ，。) ， 茹，0 t ? u = 如z ，0 t t 、 目( t ，0 ) = 0 ，z j ， e ( o ，) = 纵f 0 t u ( 1 ，t ) = 朋( 1 t ) ，0 t z 定义网格函数 ；= 8 ( 甄，) 盼= w ( 矾，如) ，0 i s m ，0 sk 5 n ， 利用泰勒展开式，我们可以得到 ( 1 - r 嘞。? ：；= w 鸳+ n g ( k - ) 4 - ，( 。叫) 4 - ( f f ) ：； 1 ? 曼a l l ，l s 、- k ! 一如。l 2 ( ) k i i ， 1s z 1 7 ，0s 。s ( 9 0 = 0 ，0s 2s n ， 9 = f i a t a 1s n ， v ：一 ： 。k ，- 1 。， l s n ， 其中 g 一；) = n 薹巩e ： 一：+ e s k - ! 。 ； 在光滑解存在的假设下，可知存在正常数c 、使得 1 ( e 】) ：- j c l ( r 2 + h 2 ) 、 1s ? m ，1 曼sn ， i e 2 ) 乏女| sc z h 2 ， 1s i s m ，0 s 七s ， l ( b 3 ) 。一 i sc l ( r 2 + h 2 ) ，1 k 曼n ， 式子( 1 21 u ) 的成立是由于 一坼= k 9 ，o k s n ( 12 1 ) ( 】22 ) ( 12 3 ) ( 12 4 ) ( 1 25 ) ( 12 1 0 ) ( 12 1 1 ) 1 2 1 2 j ( 12 1 3 ) 查直盘堂 塑生 些迨塞 对问题( 121 ) 一( 125 ) ，建立差分韬式： ( 1 + n 2 ) m 8 譬= d , r t 譬i + 。9 。一；+ m 。一j ) t 皇 一如自是 2 01s 。s “4 ，os “茎 鳄= 0 ，0 兰i 曼胍 8 j = 钆k 1 曼k 兰n ： 一，：i = 一目： l & 在第k 时问层，把( 1 2 1 4 ) 一( 1 21 8 ) 看作是关于未知量 的代数方程组。 o s j s 时) u f 5 雌i5 n 口 定理2 1 差分格式f 21 4 ) 一r 2 圳等价于以e 1 ) 一r 2 副和 。墨 2 如啦 ， 。= 跚譬 u ”k - = 咖掣 + 娜1 十n 2 m d 钨似毛l “) ，l ( 1 2 1 9 f l22 0 1 冬曼a ( 122 1 ) ( 122 2 ) 把( 121 4 ) 改写为： 跏譬= ( 1 + 8 2 ) 函口譬一n 9 ( 一 ) 一弛；一 ) ，15 # 彤，i 兰a ，( 1 2 2 3 ) 用 h 乘以( 1 22 3 ) ，并将所得结果与( 122 2 ) 相加可得 ”地目霉+ ； ( 1 + a 2 埔删”扎f ( x i 驯1 t s 枷m ( 1 z 2 4 ) 用 乘以( 1 - 22 3 ) ，并将所得结果与( 1 2 2 2 ) 相减可得 t j o = 矗口鸳一； 【( 1 + 。2 m 口譬一陋扎m 一) 卜z sm ， 4 _ 0 6 _ ， 8 2 2 ，_ 2 2 l( 一 七 一 l，a 0 一 ， 、 畸 ( ，l 一 一 扣m 枉 9 2 q o ， n 汁 8d 2 f o 几 p s l z r，ll 一，n 【l 一2 一 一 m 一 一 帅警 2 如 n = 肝 等 明证 东南大学硕 士毕业 论文 6 或 删簪孙，描m 一髯曲小，圳 0 兰i m 一】i 曼 曼 ( 122 5 ) 于足从( 122 4 ) 和( 122 5 ) 可以得到( 1l2 1 ) 显然( 121 4 ) 一( 12 1 5 ) 等价于( 121 9 ) ，( 122 0 ) 和( 1 1 2 1 ) 由( 12 2 i ) ，可以得到( 1 , 2 1 8 ) 等价于( 1 i2 4 ) 另外，注意到( 12 i t ) 就是 ( 1 1 2 3 ) 因此定理得证 由( 1 1l 4 ) 可得 定义网格函数 应用泰勒展开式可得 臼( z ，t ) = 巩，0 a l ，0 ts 戡= 5 ( t k )钟= i ( t k ) il 0 7 = a t o + ( e 4 ) ? ，1 is ， ：= ；以。：一；一；文9 ：一2 + ( e 。) ? ， 1s i ，2s & s “ 由( 1l1 3 ) ，利用泰勒展开式可得 ( 1 22 6 ) ( 1 22 7 ) 酣= 。，瞳，2 一；南螂小a m 壹= l 哦一+ ( e e ) 曩l 兰l s 地l 曼，( 1 2 2 8 ) 且存在正常数c 2 使得 p 4 ) ；1 曼c 2 r 2 1 ( 5 ) ；lsc 2 ( ，t 2 + ，2 ) ，i ( e 6 ) ? lsr 2 1 。2 忽略式子( 1 22 6 ) 一( 122 8 ) 的小量项可得( 1l 2 6 ) 一( 112 7 ) 和( 112 9 ) 1 3 差分格式的收敛性与稳定性 这一节将讨论上述差分格式的收敛性与稳定性 定理3 l 差分格式( 112 i ) - ( 1 i 2 5 ) 的解 目? ) 在l o 。范数意义收敛于问题( 1l 1 5 ) 一 ( 1 12 0 ) 的解口( 。，t ) ，收敛阶为o ( r 2 + h 2 ) ，并具有如下估计式： 懈怄c 4 “p ( j 3 t ) ( 2 + r 2 ) 2 ， ( 131 ) 珀雠肛+ 。白唧( ；丁) ( r 2 + h z 茎m 蚋 ( 1 。) 南大 学硕 士 生些堡塞 7 其中 目：。? 。j 。：2 + ( + ；) 。1 。f + 。；， 百：= o ?目j c 4 = 【+ ( 1 + ；) fc f + c j ， 6 姓满足 6 。，细杆与弹簧不会接触如果 o 钆，细杆与弹簧会接 触如果i a o a jsa o n ，细杆与弹簧是否接触将依赖于一的值， 在珏4 中，通过一些例子说明上述的一些情形 1 ，4 数值算例 在这一节中，将通过一些数值结果来验证理论结果。所采用例子是文献1 5 】和【lo 给出的算倒取初始值为p = s ( 2 f 。) 玻= l o ，h = l l l o o ，a t = t l o o o o o ： 东南大学硕 士毕业论文 1 l 图12 ：温度和位移牖时间演化曲线 o0 1 7 j = 0 l 热交换系数分别取k = 0 ，1 和1 0 0 对不同的一：分别取( = l ，1 0 0 图l2 17 是由所得计算结果绘出的图形，图中给出了当时间= 0 0 0 1 ：0 0 2 ，0 2 ，0 4 和4 时温度与位 移曲线。从图12 - 13 和图15 - l 6 ，可以观察到在时间c = 0 4 和t = 4 时，细杆与弹簧相 接触且弹簧被压缩。从图1 4 和图l7 可以看出当一= 1 0 0 时，d ( 1 ) 是非常小的且细杆与 弹簧没有接触。 为了表明差分格式的收敛阶数，我们取h = 1 5 1 2 0 ，t = h 5 时得到的数值结果看作 是精确解，进而分别取h = 1 4 0 ，t s o ，1 1 6 0 ，1 3 2 0 ，1 6 4 0 和a t = h 5 进行计算，表l1 在 时间t = 0 2 时，在一些点处计算温度所产生的误差的绝对值图18 一图1 9 绘出了误差 曲线表1 2 给出了一些点处数值解误差的最大值，其中最大误差定义如下： o 。= 。m 。a x 。，郦一掣 假设 r = h 5 对上面近似不等式两边取对数可得 一l o g l l e | | 一l o g c + p ( 一l o g7 。) 图i - 1 0 给出了l o g hl o gl i e | | 。曲线利用表1 2 中的数据和m a t l a b ，可以得到线 性拟合函数： 一l o g e “j l 。1 1 9 4 5 + 2 o l 0 8 ( 一l o g ) ， 东南大学硕 士毕业论文 1 2 n 0 船口咄j a i u 6 l ：1 十1j 图l3 ：温度和位移随时间演化曲线 m 州p 吼呻d d c ：lf 1 0 0 1 图14 ：温度和位移随时间演化曲线 一一。 一一+。一一 匿一 东南大学硕 士毕业论 文 1 3 m h “m d - _ i 图15 温度和位移随时问演化曲线 r _ _ e n 眦n h 自m w m n 【n 1 w f l i 图1 6 ：温度和位移随时间演化曲线 盔盟盘堂 塑 望些堡塞 1 4 m 帅帅_ h m 出w w t ：啪6 哪 m m 帅妇d 砷日【州f 图17 温度和位移随时间演化曲线 并易得收敛阶近似为p = 2 0 1 0 8 表1 1 ：t = o 2 时误差绝对值 1 5 结语 在本章中，对带单侧弹性约束的一维拟静态热弹性接触问题给出差分有限格式。利 用降阶法给出了有限差分格式的推导过程。证明了有限差分格式的收敛性和稳定性，且 具有o ( h 2 + r 2 ) 收敛阶。给出了一些数值例子验证了理论结果。 图i8 ：误差曲线l lode：19一 东雨大学硕 士 毕业论文 1 6 = i 气 舌 图19 ：误差曲线2 图11 0 ：收敛阶曲线 loe3loc一 第二章两杆热弹性接触问题在非均匀网格上的差分格式 本章主要讨论拟静态两杆热弹性接触问题的数值解法。物理模型可描述为：两个由 不同材料制成的细杆各有一端固定，而另一端可自由伸缩，在受热的情况下，自由端可 因膨胀而相接触，在接触时可进行热量交换。这个模型的物理行为可以通过两杆的温度 和位移的能量和弹性耦合方程组来描述。假设该过程是拟静态的，即忽略加速项，则这 个问题可被转化为关于温度和位移的非耦合方程组，关于温度的是非线性抛物积分微分 方程，位移由温度来计算。 用o z f 】来描述左杆，用f 25z 1 描述右杆，两者都是无量纲量，令日= o ( x ，tj 和o ，= p ( n t ) 分别表示左右两杆的温度，两杆在端点。= 0 和z = 1 处被固定，其中 2 = f 。z = 2 2 必须满足0 曼! ls2 2s1 。令i = f 2 f 1 表示两杆只间的空隙，物理示意图 见图2l 文献f 2 5 】讨论了两杆的机械行为，文献【6 - 1 4 】讨论了相关的一些问题。 在文献( f 2 0 】_ 1 2 3 ) 中，作者给出了两杆的温度函数日= 日( z ，t ) 和= ( 。t ) 所满足的 抛物方程组： 初始条件为 边界条件 ( 1 + 。 ) 巩一日，= “l 肌( 臼，o ，) osz f 1 0 ts t ， ( d + d 1 ) o f o 。= a 2 9 f ( o ，) ，c 2szsl ，0 fsy ( 2 1 1 ) ( 2 12 ) 目( ，o ) = i ( t ) ，0sz f l ；o ( no ) = 孑( ) f 2 _ 1( 213 ) e ( 0 ，t ) = 妒( 1 t ) = 0 ，0s t t ， 一h 口。( 2 i ，t ) = k ( f l ，t ) 一妒( f 2 ，t ) ) ，0 t5 2 1 ， 一2 虹( t 2 ，t ) = k ( 口( f l ，) 一砂( f 2 ，t ) ) ，0 曼t 曼t 进三尉 o = 0f 11 2z ：l 图2l ：两杆热弹性接触物理模型 1 7 ( 2 14 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 东南大学硕 士毕业论文 1 8 其中 ，c e 廿，( t ) = m a x 。，f a l lo ( x , t ) d x + a 2 f t c 。c ，“。一；。) a t a“2 a 0 12 丽0 2 2 f 可丽 ( 2 l7 ) ( 2 18 ) r 幻和d 由细杆材料决定的正常数；l ，也为热条件数，一是热交换系数；a 弹性模 数在实际生产中，对大多数材料而言，n l ，。2 是非常小的，因此，可以假设由( 2 18 ) 决 定的“1 - t 也是非常小的 文献f 2 1 中，作者证明了该热弹性接触模型问题的解的存在性与唯一性相关物理问 题的数值解方面也有一些工作，在文献 2 0 1 中，作者建立一个有限差分格式，并用有限元 方法分析了截断误差，但收敛精度至多一阶。在文献f 22 】中，作者用有限元方法进行数值 模拟，并分析了有限元格式的收敛性和误差分析，但收敛阶仅为0 ( i 寿+ ( a t ) 1 2 ) 。 在本章中，利用降阶法 1 7 1 一 1 9 l 对问题( 211 ) ( 2 16 ) 建立了有限差分格式，证明了差分 格式的收敛性且收敛阶为0 ( h 2 + ( ) 2 ) 。 把区间【0 ：i j 分割为子区间( 2 i ，z ”lj 1 s z s 盯一1 使得r m 、= f l ，。岫= ? 2 ，空间步长 f r = ，。一“一1 isi m ，通常假设不同。记q l = 上：i osis ，】) ，n 2 = l 盯2 2s ， n = n 1u5 2 2 用点0 hs 分割区间【o ，0t 】其中“= k r ，r = t i n 记q ，= f f k i os ks 令u = u ? 1 0si 曼m ih 。= 也2 a ，0 k 为f 2 n ? 上网格函数引 进如下记号： 、 7 h 1 2 f 砑i 扣+ u m5 t u ， 妇。是 2 去( “：一“6 ；u ：2 再吾( 讪l 也u 0 ) , f lm | 1 u 。酽= 也( ，t 2 ) 2 ，| | 以u 。旷= ，t 。( 疋t t 暑 ) 2 1 2 1 。 2 【 1 ， 怖产一 | | 2 = 炳t c ：驴惭z l f 2 = r l z p 一邪 其中u ：一5 是在点( 札) 和( t k 1 ) 的平均值，6 姚k i 1 是。基于这两个点上的差商； u ，k 是u 在点( “) 和( z 一，“) 的平均值，以u 墨；是“基于这两个点上的差商；鹾u ! 是u 基于点t t 0 ，u ；，u 0 ，上的二阶差商；| | u j 以u 。文一讥和慨u | | 是一些范数和半 范数 忐心 l f 1 统 t 嘶 j _ 啦 觚卦一2 m g 一一 l 一 如 女 立壹盍 堂 塑圭生些堡一 塞 令 z 。( 。s ) c f s 虿( 。， ) = 上妒( 。+ ，s ) e f s 对【l l 1 ) 一( 1 18 ) 两边关于t 积分得 其中 ( 1 十。 ) 玩一瓦。= n j 9 ( 或虿f ) ( ) ( 。) 0 s 篁“0 t 2 - ( f f + n ；) 可t 一万。= ( 崆9 ( 否f 万f ) ( ) + 扎陋) ， ? 2s 。j ，0 t t 目( 。，0 ) = 0 ，0 曼。1 1 ；妒( z ，0 ) = 0 ，1 2 zsl 5 ( 0 ，t ) = 0 妒( 1 ) = 0 ，0 ts 2 1 瓦t ) = k 悸( f 1 ) 一万( j 2 ，喊0s t t 2 石，( 1 2 ) = k ( i ( “，) 一万( f 2 ，) ) 0 t t 卵加! ) ( t ) _ n 、斗，胁州卅a z 办：州0 ) ，i ( z ) = ( 1 + n ；) 舀( 丁) 一】口( 百孑) o sz ? l 、 ，2 ( z ) = ( d 1 o ；) 参( 。) 一。2 9 ( ，5 ) f 2 。l 对问题( 2l1 0 ) 。( 2l1 8 ) ，建立差分格式： ( t 十固 蠡啦；n 文) 2 矿- k 。： = n l “一 + 口。，】【z 。一；) + 。，1 ( z 。+ ) ：l i 兰 ，1 1 ，1 曼k a ( d + n 1 ) ( 触可譬函可譬) 一耐一 = 。2 9 ( 2 一；l + 芦r 丘( j 卜 ) + _ 止( z 件 ) 、 a 南十l i f 嚣= 0 0s i 曼 ，1 ：万? = 0 a 1 2s ；m ， - - k = 0 ，石嚣= 0 、0 茎曼n ， 幽 瓦i 轰+ j 1 翰。 ( 1 十n 秘。8 i i - 呻_ ) 山 ( 口赢5 一龙5 ) l k ( 2 1 9 ) ( 211 6 ) f 211 7 ) f 2l1 8 1 ( 2 】1 9 ) 1 1 冬n ，( 2l2 0 ) ( 2 12 1 ) ( 2 12 2 ) 以v - - k 肘- ：+ 5i 一； 此 口+ n ；) 蠡万笼；一n ：一 一，2 扛+ ) j ( 2 12 3 ) m n 他 站 h ； 2 2 2 2 2 2 查一 盟盔 堂亟一一生望一些一j 垒! l 2 0 f 212 4 ( 2 12 5 ) 当扣- - k 。10si f i ，0 至女冬n 和 露1 0 茎i b j ，0s n 已求得后，问题( 2 1 1 ) 一 ( 2l8 ) 的近似解f 醇10 ，1 0 和 磷10 z5 峨，0 茎) 可由下面式 子得到， 口：正酿0 曼i “， ( 2 l2 6 ) 妒；：文石；m 2s zsa ，( 2l2 7 ) 目= ；丑p - k 。一。一；函目? 2 o zs t ，2s ， 磷= 氧- r ，k ，一- - 矿k 2 ， 如曼 曼从2s ( 2 l2 8 ) ( 9 1 2 9 ) 在本章中，5 22 对上述差分格式给出了推导，5 23 证明了差分格式的稳定性和收敛 性。24 绐出了数值算例以验证所得结论。25 总结了本搴所做的工作。 2 ，2 差分格式的推导 令u = 瓦，t ，= 记则( 21l o ) 一( 2 1 1 8 ) 等价于 ( 1 - fn ) 百t u ，= n 1 9 ( 百可) ( ) + ，i ( z ) 0 曼。f l ，0 t t ， 口一瓦= 0 ，0 。s f l ，0 ts z ( d + ；) 币 一- 。= q 2 9 ( 瓦，可f ) ( t ) 4 - f 2 ( ：i ) ， 1 2 。1 ，0 t t t ，一可，= 0 ， f 2 曼ts1 ，0 tst ， i ( z ，0 ) = 0 ，0 z5 f 1 ；可( 。，0 ) = 0 ，f 2 。51 ， 5 ( o ，t )