（应用数学专业论文）一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构.pdf

二耋堂奎簦扩墼堕竞争方程组的尖峰平衡解的结构 摘要 本文主要研究以下带交错扩散项的竞争方程组在特定条件下尖峰平 衡解的结构问题 篓篓善) = o 令忙p d _ 2 1 2 _ is = 石1 ，咖= ( ) 仳，妒= u l ，+ s ( 南rb 。，南一c - 炉o 凇”妒“南咱妒) _ 0 ( 2 ) 【九= 亿= 0 z ：0 ，1 取极限p 1 2 _ + ，譬_ 即( s o + ，7 _ o + ) 由( 2 ) 中第一个方程可得_ 0 当z ( 0 ，1 ) 时，s _ o + ，r _ o + 由4 ( x ) = 0 ，z = 0 ，1 时，知( z ) 一丁，当z ( 0 ，1 ) ，s o + ，r o + 时对方 程组( 2 ) 取极限，得到s h a d o ws y s t e m 为： 如亿$ + 妒( 0 2 一c 2 妒) 一6 2 7 - = 0 1 参一箬一q 如= 。 以= 0z = 0 ，1 第二章主要对积分进行细致的估计以及隐函数定理找到s h a d o ws y s - t e r n 的解的结构。 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 本章的主要结果： 定理：对于方程组( 3 ) 假设乏三乏+ 兰尝且瓦b l 4 l6 2 b a + 虿3 石c l 且匿b l o , 对每个 固定的0 瓦时，方程组( 1 ) 有一个非常数正的尖峰平衡解( t a , p 1 2 ( z ) ，v , p 1 2 ( z ) ) 当q _ o 。且j d t 2 一0 0 时，( 牡n ，以。( z ) ，以。o ) ) _ ( 衰裔，吹( z ) ) 关键词：交错扩散系统非常数平衡解的结构 s h a d o ws y s t e m 2 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ec o n s t r u c t i o no fac l a s so fp o s i t i v es t e a d ys t a t e s f o raq u a s i - l i n e a rc r o s s - d i f f u s i o ns y s t e md e s c r i b i n gt w o - s p e c i e sc o m p e t i t i o n 竺a(dl二+二p,：2v二)u-兰+2iiu：(acl2-，b=lu。-，clu)=。 1 e tr ：生，s ：三，：( r + 御) 缸，矽：u p i 2p 1 2 t h es y s t e m ( 1 ) c a nb ew r i t t e na s m a k et h el i m i tp 1 2 - - - + + c o ，百1 9 1 2_ o k ) ，i e ( s _ 0 + ，r 一0 + ) f r o mt h ef i r s te q u a t i o no fs y s t e m s ( 2 ) ，w eh a v e ( 2 ) ( 2 ) z 霉一o ，i fz ( 0 ，1 ) ，s 一0 + ，7 0 + s i n c e ( z ) = 0 ，z = 0 ，1 ， w eh a v e ( z ) 一i fz ( 0 ，1 ) ，s _ 0 + ，r 一0 + m a k et h el i m i to fs y s t e m ( 2 ) ，w eh a v et h es h a d o ws y s t e m ： d 2 a b + 妒( 口2 一c 2 妒) 一b = r = 0 厂1睾一箕一c。如：o0 妒矽2 ” = 0z = 0 1 ( 3 ) c h a p t e ri im a i n l yb a s e d o nt h em e t h o d so ft h ec a l c u l a t i o no fs c o r e sa n di m p l i c i t f u n c t i o nt h e o r e mt of i n dt h es t r u c t u r eo ft h es h a d o ws y s t e m 盼 o 一 奶 一r 一厶1 1 1 i6一十“ 一r 一川川 吼 如 z 一妒2 尘州忆加 j 认 l i ，k c s 1 良 州 卅砒 一 叫 = 妣 础 如 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 t h i sc h a p t e ro ft h em a j o rf i n d i n g s ： t e m ：s 啪o s et h a t 乏三等+ 耋暑a n d 乏 1 4 沈b 1 l + 互3 云c 1 a n d 瓦b l o , f o re a c hf i x e d0 西，e q u a t i o n s ( 1 ) h a s an o n - c 。璐t a n ts p i k es t e a d ys t a t e ( t t 口，以。( z ) ，张。( z ) ) ，i fq _ o oa n d p t 2 _ o 。，( 钍唧- ： ) ，m ： ) ) _ ( 乏裔，识( z ) ) k e y w o r d s ： c r o s s - d i f f u s i o ns y s t e m st h es t r u c t u r eo fn o n - c o n s t a n ts t e a d y s t a t es h a d o ws y s t e m 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：乒余蔼 日期：) 留硼年年月多日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规 定 学位论文作者签名：彩奔葛 日期：乙蕊年4 明l 乡日 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 引言 为了研究生物界在内部种群压力( i n t e r - p o p u l a t i o np r e s s u r e ) 和外部种 群压力( i n t r a - p o p u l a t i o np r e s s u r e ) 都存在的情况下的种群分离现象，s h i g e - s a d a ，k a w a s a k i 和t e r a m o t o 在1 9 7 9 年提出了下面这个带自扩散项和交错扩 散项的竞争模型： iu t = a ( d l + p n u + p , 2 v ) u 】+ u ( a l 一6 l u c l v ) z q ，t 0 v t = 【( 如+ p 2 1 u + m 2 v ) v 】+ ( 眈一6 2 t 一c 2 v ) z q ，t 0 ( 1 1 ) 【丽0 u = 丽0 v = o z = o ，1 其中u ，v 代表两竞争种群的密度，常数吩，如，勺，d j ( j = l ，2 ) 均为正数， 其中a ，a 2 代表两种群的内部增长率，b lc 2 代表两种群的内部竞争系数， 5 2 ，c 。代表两种群的外部竞争系数，d ，d 2 是它们的扩散系数，常数p ，。， 仇。是它们的自扩散率，p 。2 ，化，是它们的交错扩散率 记a ：a l ，b ：- b l ，c ：一e 1 ( i ) 当d i = o ，砌= o ( i ，j = 1 ，2 ) 时，( 1 1 ) 为常微分方程 ( i i ) 当盔 o ，肪= 0 ( i ，j = 1 ，2 ) 时，( 1 1 ) 是l o t k a - v o l t e r r a 反应扩散竞争 模型，在过去的几十年中已经对它有了深入的研究，利用上下解方法得 到了对任意非负初值，存在全局的有界解。这种情况下平衡解的存在性 与( i ) 是一样的，有 ( 1 ) 当a m a x b ，g 】时，有l 吼i m 。( u ( z ，d ， ( z ，) ) 一( 鲁，o ) 这种情况下没 有正的平衡解 ( 3 ) 当b a c 时，有! 啦( 让( z ，) ，v ( x ，) ) _ ( u + ， + ) 这种情况下没有 非常数正的平衡解。 当p q = 0 ( i 歹) ，即无交错扩散项时，常数平衡解的稳定性不变，无 t u r i n g 现象 5 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 当肋 00 歹) 如p 1 2 0 ，( p 2 1 = o ) ，可证在一定条件下，当p 1 2 很大 时，正常数平衡解( 矿，移) 的稳定性会由稳定变为不稳定，即交错扩散导 致不稳定 对于非常数平衡解存在性，稳定性 当b 0 小时 y l o u ，w - m n i 在1 9 9 6 年讨论了方程组( 1 1 ) 非常数平衡解的存在性和 不存在性 定理：假设j ( b + c ) a a c 时，不论d 。和如是多少，( 1 1 ) 没有 非常数正的平衡解 当p 。2 很大时，交错扩散项产生新的模式 y m i m u r a ，y n i s h i u r a 2 在1 9 8 4 年证明了下面结论 6 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 定理：假设n = 1 ，p l l = t ) 2 1 伪2 = o ，当c a 五1b + 五3 c 时，对每 个固定的如充分小，当西及百p 1 2 充分大时，方程组( 1 1 ) 存在带边界层的 平衡解 说明了交错扩散产生新的模式 如图 y k a n - o n 3 】在1 9 9 3 年用s l e p 的方法证明了这个带边界层的平衡解 是稳定的 ( i i i ) 当p 1 2 0 或p 2 1 0 时，对于满足d i 0 ，肋o ( i ，歹= 1 ，2 ) ，应用 a m a n n 的经典半群理论，对于( 1 1 ) 的任意的非负初值的条件都可以得到 在孵p n ) 上的解的局部存在性对于这种情况下全局解的存在性， a y a g i ，y a m a d a ，y l o u ，w m n i ，y 札，y l i ，c s z h a o 等都对其进行了大量 的分析 y l o u ，w - m n i 4 】在1 9 9 9 年给出了当p l l = p 2 2 = 0 ，p 1 2 很大时，方程 组( 1 1 ) 的非常数平衡解的各种存在形式，下面着重介绍以下两种情况： 情况( 1 ) 定理：当丢( 乏+ 乏) 薏 丢乏+ 兰罢或去皂+ 兰詈 0 ，使得当口西，且p ，2 西，( 1 1 ) 有一个非常数正的尖峰平衡 解( 让a ，九：，p 1 2 ) ，且当a _ ，p 1 2 _ o 。时，( 乱口，p 。，机。) _ ( 云，u ) ，其中，r ) 满足下列方程组 + c o ( a 2 一c 2 c d ) 一6 2 7 = 0 ，筹i 鼬= o (12)b 口1 一l r c l u ) ：0 定理： 假设兰2 f 堕b 2 + 毒) 恚 互i 瓦b l + 互3 夏c l 戮虿ii b l + 夏3 石c 1 墨 0 ，使得对于每一个0 d 2 d 时，( 1 2 ) 有一个正的 非常数解( ，) 满足 当也_ 。时 t d 2 _ “i s * i 州) * 渺。争。吲叭， 其中当如_ 。时e 2 = 丽d 2，c 0 ( ) _ 矿一鲨c 2c 2 c o i 七j ( “4 ，u 。) 是( 1 1 ) 的正的常数平衡解， w ( z ) 是下列方程组的唯一正的解满足： 瞄豢延( o p ) 8 兰肚像结 ， 、构的 力 u ，f解 峰尖 e瞻 、， 心 一 凯 蚴吣生您 ，、 t 2 一c 蛩i + ， 一 p d 产 咖卜 = 扛9 ”谢旅 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 其中当d 2 - 。时， ( d 2 ) _ 。，叫。( ) _ 。，c d ( ) _ c 0 = t 产一i b , 2 u * 魄( 名) 满足： 墨高二芝 ；二警 ) = 。 其中i 魄( z ) 一w ( z ) l c e i 1 ，当o z ；1 时， 否1 e z o v a ( z ) c e ，当。z 三1 时 尖峰解的结构如图： y w u 5 对方程组( 1 1 ) 当矽= 0 = 等) 时尖峰平衡解( ，) 的稳 定性进行了分析，得到的s h a d o ws y s t e m 的尖峰平衡解不稳定性定理为： 定理1 ：假设弘1 , 瓦b l + 三) a _ 眈2 去瓦b l + 五3 瓦c 1 成立，并且( 薏，皂，乏) 不在 斜线r 上( 斜线定义在命题a 5 【1 】中) ，或互1 瓦b l + 五3 云e l 五a l 0 ，使得对任意一个0 如 d o ，s h a d o ws y s t e m 的 正的非常数平衡解( 嘞，) 在r h 2 ( o ，1 ) 上是不稳定的 9 一类带交错扩丧的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 对于n o r $ 一s h a d o ws y s t e m 的尖峰平衡解的不稳定性定理为： 定理2 ：假设丢( 恚4 - 暑) 磊a l 三毒+ 主尝成立，并且( 詈，瓦b l ，吻c 1 ) 不在 斜线r 上( 斜线定义在命题a 5 1 1 中) ，或三恚+ 三詈 詈 0 ，使得对每个固定的0 d 2 ，非常数正的尖峰平衡解( u o t , p 1 2 ( z ) ，m ( z ) ) 在 h 2 ( o ，1 ) h 2 ( 0 ，1 ) 上是不稳定的 王丽的硕士毕业论文( 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的 不稳定性) 补充了当p 0 时，方程组的尖峰平衡解的不稳定性分析，得 到的结论和p = 0 时的结论是一样的 情况( 2 ) 定理：假设墨 _ 0 1 ，= p 2 _ _ ，a 0 成立，存在一个小的d 0 ， 使得对任意的d 。( o ，翊可以找到一个大的- 3 0 ，使得当d 。刁，则存在一 个大的瓦 0 使得当q 西时，( 1 1 ) 有非常数正的尖峰平衡解( u a ，) 且当q - o o 时，( 让n ，口) 一致收敛到( u ，u ) 其中( u ，u ) 是下列方程组的非常数正的尖峰平衡解 移) 叫+ t l ( 口1 一b l u ) = 0 ) 嘉v v ，l o n = ，0、 ( 1 3 ) p 2 1 6 d ) v 】+ t ，( a 2 一b 2 u ) = 0 ) 赛l 狮= o 1 0 1 l d 1 l d 由 虹 kk z z ，-l-_-li-，、ii_-i_， 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 尖峰解的结构如图： 王丽的硕士毕业论文( 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的 不稳定性) 对( 2 ) 这种情况下尖峰平衡解的稳定性进行了分析，得到如下 的结论 定理3 ：假设堕 f b l ，p 0 成立，当d 2 充分小时，可以找到充分大 n 2d 2 的幽，使得当d 。d o 时，则存在瓦充分大，当q 西时 s h a d o ws y s t e m 的尖峰平衡解在r h 2 ( o ，1 ) 上是线性不稳定的 定理4 假设尘 i b l ，p o 成立，当k o = 付0 0 ( 1 0 a l 一 2 0 ，o ( z ) 一鸳于( 名) ) 讥( z ) a 2 ” 0 , d 2 充分小时，可以找到充分大的南，使得当d 。d o 时，存在瓦充分大， 当a 西时，n o n - s h a d o ws y s t e m 的尖峰平衡解在h 2 ( o ，1 ) h 2 ( o ，1 ) 上是不 稳定的 ( 3 ) y l ，w 一m n i ，s y o t s u t a n i 6 】中对s h a d o ws y s t e m ( 1 2 ) 的非常数平衡解的 存在区间及当如_ o 或如_ 等时解的极限行为进行了分析这里我们 主要介绍强竞争情形( b 0 ，口0z ( 0 ，1 ) i ，n 、- ， (14)0 1 7 ( o ) = ( 1 ) = 一7 【胎n ，一等咱归。丁 。 在强竞争。l f f 形b c ，所得的结果为： ( i ) 如果d 2 暑，则( 1 2 ) 没有非常数解 ( i i ) 对于c f 2 石a 2 ，我们有 ( i ) 当a b ，对于任意d 2 ( o ，署) ( 1 4 ) 没有解 ( i i ) 当以堡告旦2 ，对于每个如( o ，墨) ( 1 4 ) 有个解( 秽，丁) ，v 在( 0 , 1 ) 上严格单调递增 ( i i i ) 当b 0 使得当d 2 ( 0 ，d k ) 时( 1 4 ) 没有众数 为k 的解 上述结论保证了在强竞争条件下( b c ) ，当c f 2 很小时，a 三( b + 3 c ) 时s h a d o ws y s t e m ( 1 2 ) 的单调递增的解的存在性 y l ，w 一m n i ，s y o t s u t a n i 6 中还给出了当如一0 时解的极限行为： 定理：令( 钉( ，；d 2 ) ，丁( 如) ) 是( 1 4 ) 的一个单调递增的解，假设 a 去( 日4 - 3 c ) 且b c ，则当如一0 时，有 钞( o ；d 2 ) 一0 u ( z ；如) 一差罢 z ( o ，1 】 啦) 叶素差 1 2 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 这种尖峰平衡解的形状和前面两种解的形状不一样，目前对这种尖 峰平衡解的稳定性分析还没有结果，因而研究它的稳定性有很重要的价 值，但是我们现在还不知道这种尖峰平衡解的具体结构，因而研究它的 结构具有很重要的价值，为研究它的稳定性打下基础 y l ，w 一m n i ，s y o t s u t a n i 6 这篇文章里是利用椭圆形积分取极限的方 法，得到当d 2 很小时，s h a d o ws y s t e m 解的极限形式，在文章中没有回 到n o n - s h a d o ws y s t e m 说明原方程组解的存在性。本文从另外的角度利用 细致的积分估计以及隐函数定理的方法找当d 2 很小时，s h a d o ws y s t e m 解 的具体结构，之后利用扰动理论回到n o n - s h a d o ws y s t e m 得到解的存在性 本文主要研究方程组( 1 4 ) 在一定条件( 当d 2 很小时，a ( b + 3 c ) 且b 4 li b l + 互3 云c 1 且瓦b l 鱼c 2 成立，当如充分小时，方程组 ( 1 5 ) 有一个非常数正的尖峰平衡解： 讥(名)=-x譬a2-4b2c2te互3sec2(差)+竺墨!二羔譬+。(e一：)， 气= 杀砉詹荆 其彬= 丽d 2，l 山i m 谁) - ( 丽暑黧亳而成鑫) 1 3 仉 一 划 幻 如 一 ” z 妒 q 一 吼 等丽一 比0 一妒 0 一 枷o 力l i | 坝扁蜊 当p 1 1 = + 0 2 l = p 2 2 = 0 时 巨辫嚣小o 定理：假设詈石i 云b l+ i 3 云c l 且瓦b l 0 ，对每个 固定的0 西时，方程组( 1 ) 有一个非常数正的尖峰平衡解 当o l _ o o 且p 1 2 _ 时， 如图： ( t $ q , p 1 2 ( z ) ，v c = ，p 1 2 ( z ) ) ( ，几z ( z ) ，以z ( z ) ) _ ( 老茜，仇( z ) ) 1 4 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 主要结果及证明过程 对于l o t k a - v o l t e r r a 模型考虑 令 当p 1 1 = p 2 l = 勉= 0 时 篓篓等垆o r ：堕，8 ：土，：( r + v 、) u ，妒： = ，= ，92 【十，妒5 p 1 2p 1 2 则原方程组变形为 取极限 嚣d p x x + s ( r - 去一) ( a 磊l - b l 鬟- 0 以2 _ + 。o ，百p 1 2 _ + 。 即( s _ 0 + ，r 一0 + ) 由( 5 ) 中第一个方程可得九霉一0 当x ( 0 ，1 ) ( s _ o + ，r o + ) 时 由( z ) = 0 , x = 0 ，1 时，知( z ) _ 丁，当z ( 0 ，1 ) ( s _ o + ，r _ 0 + ) 时 对方程( 5 ) 取极限，得到s h a d o ws y s t e m 为 d 2 a 妒+ 矽( n 2 z 1 参专 c 2 妒) 一5 2 7 = 0 ， c l d x = 0 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 对于方程组( 6 ) ，主要进行细致的积分估计以及隐函数定理找出s h a d o w s y s t e m 尖峰解的结构 定理：假设恚五i 瓦b l + 4 3c 2 c 1 j ii bl62 毒 4d 2 4c 2d 2饧 ( 6 ) 有一个解 讥z ) = 成立，当d 2 充分小时，方程组 耋sec允2(主)+a2+v乒a5-4b2c2te+。(e一)， 1 5 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 = 杀差崩荆 其帷= 丽d 2，船粥= ( 蕊者黧亳鬲斑蕞) 当p 1 1 = 仡1 = 触2 = 0 时，利用扰动理论回到n o n - s h a d o ws y s t e m 找到方 程组的一个尖峰平衡解 l ( d l + p 1 2 ) 叫+ u ( o l 一6 1 心一c l ) = 0 ， d 2 x v + ( 眈一6 2 u c 2 v ) = 0 ， ( 1 6 ) 【牡z ：= oz ：o ，1 定理：假设毫丢皂+ 夏3 云c l 且瓦b l o , 对每个 固定的0 石时，方程组( 1 6 ) 有个非常数正的尖峰平衡解( u a , p 1 2 ( z ) ，v a 以。( z ) ) 当口一o o 且p - 2 _ o 。时，( 乱叩t 。( z ) ，u a 以z ( z ) ) 一( 衰! 裔，识( z ) ) 解的结构如图： 1 6 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 第二章：s h a d o ws y s t e m 解的结构 ( 2 1 ) lw ( z ) 一w ( z ) + w 2 ( 2 ) = 0 ，z ( 0 ，) w m - 0 ，( + 。) = 0 ( 2 2 ) 1w ( z ) 0 ，名( 0 ，。) 对于s h a d o ws y s t e m ( 2 1 ) ，本章主要先对( 2 1 ) 中的第一个方程及边值条 件变形转化为方程组( 2 2 ) 的形式，进而找到第一个方程满足边值条件的 解的结构，由于从第一个方程得到的解当如_ 0 时，其在z = 0 时趋于 。，故我们不能直接把解取完极限后带到积分方程中去，那样会出现奇 性。这里我们考虑积分方程的近似方程，把积分方程的近似方程积分出 来，找出丁的结构，再考虑原方程的积分方程。 首先我们考虑将方程d 2 矽”+ 矽( g 2 一c 2 妒) 一6 2 r = 0 及边值条件讥( z ) = 0 z = 0 ，1 转化为方程组( 2 2 ) 的形式 令万= 妒一k ，代入上式得： d j ( 矽+ 七) ”+ ( 矽+ k ) ( a 2 一c 2 ( 砂+ 七) ) 一5 2 7 = 0 d 2 矽+ 口2 ( 妒+ k ) 一q ( 妒+ 惫) 2 一b 2 t = 0 d 2 矽+ a 2 妒+ a 2 k c 2 ( 砂+ 2 k 妒+ k 2 ) 一6 2 7 = 0 d 2 妒+ ( a 2 2 k c 2 ) 妒一c 2 妒。+ a 2 k c 2 k 2 一b 2 7 = 0 令勉k - c 2 k 2 5 2 7 - ：o 得k ：a 2 + v a 石；- - 4 6 2 c 2 r 则上式变为：如矿+ ( 一v a ；- - 4 b 2 c 2 7 ) 一矽一饧- 2 = 0 令万= 一妒t 代入得 一d 2 妒：+ 畦一4 b z c 2 r 妒l c 2 孵= 0 1 7 声 划 k 如 一 ”妨纵 纵 q 1 饧 一 吼 等丽一 比一妒 一 删慨 。 功一l = 坝厶蜊 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 如妒；+ ( 一v a - 4 b 2 c a r + c 2 妒1 ) 妒l = 0 令妒。= m 妒2 代入得 m d 2 钙+ ( 一v a - 4 6 2 c 2 v + 饧m 仍) m 化= 0 如+ ( 一、乞芗二i 瓦瓦孑+ c 2 毗) 妒。= 0 令 q m = 柄得m = 华a 2 2 - - 4 6 2 c 2 r 则上式为：如+ 虿= 砑( 一1 + 矽。) 也= 0 志锘+ ( 。柏) 讥枷 令2 = 了虿三4 2 雨，则上式为： s 2 钙+ ( 一1 + 也) 如= 。 做尺度变换 令z ：兰，则为 i 珐( z ) 一怯( z ) + 玩( z ) = 0z ( 0 ，1 ) ， 1 珐( o ) = 珐( 三) = o 已知方程组( 2 2 ) 的解为： ( z ) = 兰s e c 2 ( 善) = 兰；手j 再) 2 i 怯( z ) 一w ( z ) i c e 一o 名三 0 故仇( z ) = 龇，+ a 2 + x 嘎 a 2 2 孕- 4 b 2 c a t 吣) + a 2 + v 篆i a 2 - 巫4 b 2 c 2 t + o ( e 啕 原积分方程z 1 丽1 ( n - 一6 ，南一c t 妒( z ) ) 如 1 令n ( r ) 高( a l - - b l 姒t 万石丽姒万 ：二近匦 c 2 则上式为 c 1 饥( z ) ) 如 即) = a 2 + 篆a 2 2 - - 巫4 b 2 c 2 r ( 2 3 ) 1 8 一g z e i i 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 = z i ：万而歹忑r ：翮一面石了瓦彳五j 三鼍南一c 1 d 名 = z ；甄丽历酉a 石l 万丽一面丽五丽i b i t 丽i 石研 e a l ；a ( t ) s e c h 2 ( i )+ b ( t ) c 1 如 首先我们利用积分计算公式计算。l g z ；乏3 叭丁胪2 1 、互z ，十u 。丁， 如 = a l e + b ( r ) d z 三一d z 孙南州7 ，舵 e l d z 1 9 程方分积 似近 的程方原虑考 们我先 ：4 皿 -l 而1 出 面瓢 、l ， z 一2 ，fl 2 尼ces 、，j， ，i、 0 3 2 l 一 上 gd 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 我们再来计算z ；：嘲 因为c h 2 z = 2 c h 2 名一1 ，故上式为： = z 吾而f 1 而 2 。2 b ( - r ) c h z + 3 14 - 2 1 。t h 2令江 詈，z ( o ，；1 ) ，兮t ( o ，t 磊1 ) s e c h 2 z + t h 2 z = 1 ，( t h z ) = 如：上班： s e c 危2 ( 丢) = 4 2 ， r 琢d o 一3 器“3 器+ 2 4 a r c t a n a r c t a n 飙f 0 7 p 垆。1 丽如 2 0 于，等名卜如式 、i ， 、 争原 ，j、 r 以故 配 砒 l 一2 一比， = 2 | i 喀两 乞 l | 舷 如 c 一) i | 一 力一力，一y咖一一 一 + l l l 苟 1 一e 2 厂，几 婊 叫 t l l 由 品 磊 蕾甄 统 2 墨 l 一跆 l 船 磐兹 鲤 4 霉 皿 里如 哦0 1 0 l 一_ 簧 托 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 a l 3 a l a ( r ) er 4 。，一。 丽一可一、-3a(t)3a(t)玩n v1 丌v 计可 = 晶一6 揣砌a n 厢t 九去 其中令即) 一2 + 哿g = 二群 岍z ；丽南而如 = 丽b l t efo三1-可3a(万t)jo 6 2 ( 1 ) 6 ( 7 - ) 1 5 1 1 3 a ( t ) b l t ef 7 ：= ：一 6 2 ( 丁) 6 3 ( 丁)j o 3 辫钟c 争兰鬻 + c 2 ( 耖 爵再丽、而爵再丽 嗟器埘( 妒罢器9 a 2 ( t ) b l v e 厂三1 1 一 一层耍o t r ) 函( 新z4 坼厶 兰器瑚 2 1 ! 豢 翮 一糯惭涤慨一 鲎一豳 熏黼聪柳姑露蝴 。鬻 龋 一驴 一浆 墨默渊表 一力一一 一k 一“一酞1一e 再呸厂厶 一e ；= 一 f堕力 t 0 一 r 一4 竺 p 丽 ”一力 萨一4 、，一，k ) 一 可 9 j - 铲一 三瑟 一) 一，i、1l i一2一爿一吖 一 亚竹 一2 一确，v 1 一托 洫 互 | ； 一。一6 = ) l 嚣万 一 一一 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 s f ；研1 如 一j ( 0 。一1 十丽产 【虿一十面万1 1 地z 孑f 1 哥如 ：4 厂饥磊 j o 1 砘 饥磊 ，0 1 ：8 厂纨磊 j o 1 ：8 e 厂执磊 j o i 百 2 铲 【l + 芒咐) 铲吡 2 ( 1 一t 2 ) 1 - - t 2 + 1 + t 2 + 哿( 1 吲2 舔乒1 - 哥t 2 再d t卜哿“鬻万 由积分公式： 地f o 一- - 可一t 2 和班6 ( 7 - ) 。6 ( 下) 一 再岛如= 南+志arctant鱼m(a，b2a va + _ =t ，一z + c ( ， 、曲 、1 + 去a r c t a n 居+ c ( 口 6 。) 2 孺耵丽簿哥t 弦雨+ 磊再习需1 两丽撒t a n ：丽纛+ 丽蒜删蛐 i 爹去 z 去 2 2 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 2 面薷碌t 阿磊哂+ 孬甄丽1 丽删a n =_2g(v)一g(r)th21 + f ( t ) + 一删a n 儒t 去 t l o 去 虮f o i 一、2 ，1 3 2 a ( r ) 1 2 战t 而一+ 丽南而砌锄 去， t 面意+ 丽蒜a r c 劬需忱丢， = 一南+ 高蒜a r c t a n 庸t 去+ 而并i 而 。而高而+ 丽啪溉v 莉地磊+ 而面尊丽丽 。南a r c t a n 需挠磊1 故e o 丽翻一而而b i 再t 研咱 ， + 揣疵a n 庸t 刍南一蒜寰南 + ( 塑蝴堂等揣产塑a r c t a n 需地三2 e ) 赢 。 6 4 ( 1 ) 【g ( 7 一) 捧v 户( 下) 。【f ( 7 ) 】专 a lb l t9 a ( r ) b l r t h 去e +斫再一丽一一i4(r)g(r)a(r)th2去 f(7)ig g ( r ) t h 2 f c 1 6 f 丁、6 2 f 7 、 1 2 3 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 其中即) = 2 + 3 辫 g ( r ) = 一3 错 取r = 广+ ； 其 当丁= 广+ ；尹时， 中丁= 杀差宇是一个有界值 我们来计算近似积分方程与原积分方程的差 a l b i t n ( 7 ) i 矿( 名) + b ( r )【口( 7 ) i 矿( z ) + 6 ( 7 - ) 】2 b l t 【n ( 丁) w ( z ) + b ( r ) + o ( e 一) 】2 先来计算 一c l 如) a l ；a ( t ) s e c h 2 ( ；) + b ( t ) 1 础七z i 而而丽a l a l n ( 丁) ( z ) + 6 ( 7 ) + o ( e 一；1 ) a l ；a ( t ) s e c h 2 ( ；) + 6 ( 丁) + oe 一) a 1 o ( e 一) 睦o ( 7 一) s e c 允2 ( ) + 6 ( 7 - ) + 。( e 一) ；o ( 7 - ) s e c z ( ；) + 6 ( 7 - ) 】 ( 2 4 ) 因为s e 砒( 差) 在z ( o ，) 上是单调递减的，所以3 e c ( 丢) 0s t v0 印j 斧( s ) 满足 m ( 双e ) ，e ) = 0 故v o s o ， 船荆= 而 m ( 7 _ ( ) ，s ) = 0 ，丁( s ) = 丁+ g i 宇( g ) ，a ( r ) 。c 1 2 7 。 动 堕畦 驼可 两瑞 币塑撇l 耋= h 一以旦 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 第三章：n o n - s h a d o ws y s t e m 解的结构 第二章我们已经找出s h a d o ws y s t e m 尖峰解的结构，在第三章主要利 用扰动理论回到n o n - s h a d o ws y s t e m 得到方程组的尖峰平衡解存在性 我们得到关于n o n - s h a d o ws y s t e m 解的结论如下；当p 1 l = p 2 l = p 2 2 = 0 时 l 【( d 1 + p 1 2 v ) u 1 + u ( a l 一6 1 牡一c l 口) = 0 ， d 2 k v + ( 眈一b 2 u c 2 v ) = 0 ， ( 3 1 ) 【让茹：ox = o ，1 定理：假设磊a l 三乏+ 石3 云c l 且瓦b l o ，对每个 固定的0 西时，方程组( 3 1 ) 有一个非常数正的尖峰平衡解( u a ，m ：( z ) ，m ( z ) ) 当口_ o o 且p - 2 _ 时，u a , p 1 2 ( z ) v q , p 1 2 ( z ) ) _ ( 衰裔，仇( z ) ) 基意誊 2 ， 1d 2 矽+ 妒( 旷6 2 南一c 2 妒) = 0 ( 3 2 ) 【丸= 惦= o 茁= o ，1 定义：x = ( 乱汐：zu ( z ) d z = o ) z = 孵pn x t ，0 其中1 ( z ) z ( 西( z ) = 0z = 0 ，1 片1 ( z ) = o ) ，丁是常数 令p ：妒( o ，1 ) _ x pu ( z ) = u ( z ) 一詹u ( s ) d s ( 3 4 ) 对于s 0 ，积分方程组( 3 2 ) 中第一个方程 z 1 掣c a l - - b l 掣咱舳= 帅劫 2 8 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 由( 3 3 ) ，( 3 4 ) ，( 3 5 ) 可知，方程组( 3 2 ) 等价于： f ( 8 ，r ，1 ，7 ，矽) 其中s 22 孺i d 2 菥州= 广+ e 纰一= 蜘) = 型半罢5 槲( 薹) + 丁a 2 + v a 2 - - 4 b 2 c 2 r e f ( 0 ，0 ，0 ，妒( z ，s ) ，7 ( ) ) = 0 卜争詹 0 山1 e ；旷+ e 宇( ) 】 馋( 名) 一6 2 i 2 巴蟪 + o ( e 一) 易知 o 2 b 1 ( 7 i + + 宇( ) ) 2n 1 ( r + 百27 _ a ( ) ) 键( z )蝶( z ) d 2 爰+ ( 口2 2 c 。识( z ) ) 竺d x 2 在空间孵，p nx 中可逆，故我们只需证明下面的矩阵可逆即可： 一b l e 【7 + s j 27 - a ( ) 】 让( 名) 2 6 2 ； e ：兰! ! ! 二：生当2 a 兰型2 一a l ( t * d l - e 塑3 t ( 一e ) )吖。 以( z ) 3仇( z ) 2 如差+ a 2 2 c 2 以( z ) ) 2 9 - 掣扯吲 什了纵一枷一删峭等南 一矽饥帅wh一矽灯 r 一 一+ 璧蒜 酬h 了如 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 即我们只需证明：对于任意的( ， 。( z ) ，下面的方程组只有零解。 f 哳n 如掣+ ( 口：嘞掣m = 。 ie 口型2 铲t x 2 2 a m z 型铲一业掣州z ) d z ：o 识( z ) 2 1r 。 ( 3 6 ) 如差+ ( a 2 - - 2 c 2 识( 纠可变形为：2 瓦d 2 + 2 ( 詈) 一1 做尺度变换，令喜= 名，则为而a - 一1 + 2 w ( z ) ， 因此2 瓦d 2 + 2 ( 詈) 一1 为丢一l + 2 ( z ) 的正则小扰动，在附录中证明 了历d 2 - 1 + 2 w ( 名) 是可逆的，所以9 2 差+ 2 ( 詈) 一1 可逆 因此矗2 岳+ a 2 2 c 2 ( n ( 丁) w ( 詈) 十易( 7 - ) + 。( e 一) 】可逆 记算子l ：6 f 2 黑+ ( 眈一2 c 2 瞧( 名) ) 口z 则由方程组( 3 6 ) 的第一个方程可解出： 将( 3 7 ) 带入到第二个方程，得到： (；j1二三铲2ad z + o = 0 ( 3 8 ) v l ( z ) = ： b 2 l 一1 ( 2 b 1t + + e 。2 。，2 ( 3 7 ) a l ( r + e ；尹( s ) ) 噍( z ) 3以( 名) 2 d ( e 一) s 6 2 l 一1 ( d z 蜘6 2 嘧蕊雾茹器一 j 1 2 2 一萎= v 一1 22 一一蟛埘 掣兰s 甜c 争竺掣) 2 h 。 ) 3 一类带交错扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 e = 0 ，代入到( 3 7 ) 得到u t ( z ) = 0 因此上面的2 2 阶矩阵可逆，故d ( 。，宇，妒) f i ( 0 o ，o ，宇( e ) ，妒( z 芦) ) 可逆 由隐函数定理可知：3 s o ，7 0 o ( 小) ，s t 当0 r r o ，0 s 8 0 时， f ( s ，7 - ，咖1 ( z ，s ，r ) ， ( e ，8 ，r ) ，妒) = 0 ，因而n o n - s h a d o ws y s t e m 解存在 3 1 一类带交镨扩散的竞争方程组的尖峰平衡解的结构 附录： 1 证明在孵，p ( 。，) 中历d 2 - 1 + 2 ( z ) 可逆 假设存在孵巾( o ，；1 ) 使得 蕊兰：嚣第 2 矾名一+ 咿( z ) ( 2 ) 1w ( o ) ：0w ( o o ) = 0 卜7 对方程组( 2 ) 中的两边对z 求导，令谚= 矾由上式得 羔2 _ 彤+ 2 w 仁) = o ( 3 ) 1w ( 0 ) = 0 。 ( 1 ) 中的第一个方程两边乘以谚，( 3 ) 中第一个方程两边乘以，两 者相减再从0 到( 2 0 积分得 ，0 。“ o = w e ：z 一此：c d 名= ( o ) 此( o ) t ，n ( 因为_ 0 时，和命在o 。处是指数衰减的) 因为若觅( o ) = 0 = 巩。( o ) 则由( 2 ) w 2 ( o ) 一w ( o ) = 0 w ( o ) = l 或w ( o ) = 0 因为(