（应用数学专业论文）复平面上和clifford分析中某些高阶方程的边值问题.pdf

复平面上和c l i 舶r d 分析中某些高阶方程的边值问题 应用数学专业 研究生张斌儒指导教师杨丕文 论文摘要：本文用复分析方法研究了七一正则函数及非齐次七阶：z q o k w = ，的r i e m a n n 边值问题和c l i f f o r d 分析中一类广义k 。正则函数的r i e m a n n 边值问题 s d r i e m a n n 边值逆问题 在第一章中给出了k - 正则函数及非齐次七阶方程磐= f 的r i e m a n n 边值 问题的提法，并讨论了它们的正则型及其非正则型的r i e m a n n 边值问题的可解 性，得到了它们的边值问题的可解性结论 在第二章中讨论了c 1 i 乳r d 分析中一类广义k 一正则函数的r i c m a n n 边值问题 $ 1 j r i e m a n n 边值逆问题首先研究了c l i 肺r d 分析中广义七正则函数的一些性质， 查h c a u c h y 型积分，p l e m e l j 公式，然后讨论了它的r i e m a n n 边值问题并d r i e m a n n 边值逆问题，同时获得了上述问题的可解性结论及其解的积分表达式 关键词：七正则函数；广义 = 一正则函数；参变未知函数；非齐次七阶方程 c l i f f o r d 分析；p l e m e l j 公式；r i e m a n n 边值问题；r i e m a n n 边值逆问题 第i 页，共弱页 b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs o m eh i g h o r d e re qu a t i o n s i nc o m p l e xp l a n ea n dc l i f f o r da n a l y s i s a p p l i e dm a t h e m a t i c s w r i t e r ：z h a n gb i n r u s u p e r v i s o r ：y a n gp i w e n a b s t r a c t ：t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e sac l a s so fr i c m a n nb o u n d a r 3 rv a l u e p r o b l e m sf o rk - r e g u l a rf u n c t i o n sa n de q u a t i o n 警= ，i nc o m p l e xp l a n ea n dt h e r i e m a l mb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n di t si n v e r s ep r o b l e mf o rac l a s so fg e n e r a l i z e d k - r e g u l a rf u n c t i o n si nc l i f f o r da n a l y s i s i nc h a p t e ro n e ，t h ef o r m u l a t i o no fac l a s so fp d e m m a nb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m sf o rk - r e g u l a rf u n c t i o n sa n de q u a t i 。n 磐= ，a r ep r o p o s e d 0 nt h eb a s i s o ft h er i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rk - r e g u l a rf u n c t i o n sa n de q u a t i o n 警= ，t h es o l v a b i l i t yo fr i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fn o r m a la n d n o n n o r m a lc a s e sf o rk - r e g u l a rf u n c t i o n sa n de q u a t i o n 警= ，a r ed i s c u s s e d t h e t h e o r e m so fs o l v a b i l i t yo ft h ep r o b l e m s & r eo b t a i n e d i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s sac l a s so fr i e m a n nb o u n d a r 5 f a h l ep r o b l e m sa n d 】t i n v e r s ep r o b l e m sf o rac l a s so fg e n e r a l i z e dk - r e g u l a rf u n c t i o n si nc l i f f o r da n a l y s i s f i r s t l yw ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dk - r e g u l a rf u n c t i o n si nc l i f f o r d a n a l y s i s ，s u c ha ni t sc a n c h yt y p ei n t e g r a l ，p l e m e l j ：sf o r m u l a ，a n dt h e nc o n s i d e rt h e r i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n di t si n v e r s ep r o b l e m ，o b t a i nt h es o h a b i l i r , ) 第i i 页共j ”，页 o ft h i sp r o b l e ma n dt h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no ft h es o l u t i o nt ot h i sp r o b l e m k e yw o r d s ：k - r e g u l a rf u n c t i o n s ；g e n e r a l i z e dk - r e g u l a rf u n c t i o n s ：p a r a m e t i cu n k n 。w nf u n c t i o n s ；e q u a t i o n 磐= ，；c l i f f o r do m a l y s i s ：p l e m e l j sf o r m u l a ； r i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；i n v e r s er i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师扬丕塞：指导下，独立进 嘞坛 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索：2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名：张斌儒 2 0 0 7 年4 月5 日 刖舌 解析函数的边值问题是复变函数论中极为重要的分支之一，同许多力学 的，物理学的，工程技术中实际问题有非常紧密的联系，所以它有着广泛的应用在 我们国内，从五十年代起有不少学者关心和从事这方面的研究工作。并进行与此 有关的一些其它方面的工作，如数学弹性力学，广义解析函数及其在偏微分方程 中的应用等，关于这方面的许多杰出工作见专著( 1 】- 【8 】近些年来，中外不少学者 关注于把复平面上研究偏微分方程和边值问题的经典函数论方法推广到高维空 间中来，从而发展成为新兴的c l i f f o r d 分析等，其结论已被广泛运用到数学物理等 其它学科 对复平面上单复变的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题( 简称r h 问 题) 茅l l r i e m a n n 边值问题是解析函数边值问题中较基本的边值问题 路见 可教授在专著【l 】中十分详尽的介绍了一些基本边值问题以及与之相关的问题 的解法，其p l e m e l j 公式起着十分重要的作用关于r - h 问题的研究，从解析到 双解析，三解析甚至是多解析函数，以及广义解析和方程组的推广，国内许多学 者采用上述经典方法另一方面，从函数条件域上讲，可以讨论未知函数在边界 具有高奇性( 在h a d a m a r d 主值意义下) 的r - h 边值问题和r i e m a n n 边值问题对 复平面上解析函数的p i e r - a n n 边值问题已经从一阶推广到了高阶1 9 9 5 年，赵 桢在文 9 1 中提出了双解析函数指出了其重要的应用背景，并对其性质和某些 边值问题进行了研究，1 9 9 8 年，王明华在文p o 中进一步研究了双解析函数的 性质及其h i l b e r t 边值问题，并提出了一些与解析函数相似的性质，如c a u c h y 型 积分，得到t p l e m e l j 积分公式2 0 0 4 年王明华在文 1 1 】中研究了双解析函数一 类含参变未知函数的r i e m a n n 边值问题1 9 9 7 年，m a k s l 和h b e g e h r 在文【1 翻中 继续考察t p o m p e i u 算子和口算子，并应用它讨论了复平面上的高阶偏微分 方程的p i e m a n n h i l b e r t 边值问题2 0 0 1 年，杨丕文在文 1 3 】中研究了七正则函 数( 即蕊o l , t = o 的解) 的c a u c h y 积分公式、级数展开、c a u c h y 型积分、p l e m e l j 公式 及d i r i c h l e t 边值问题2 0 0 5 年杨柳在文p - 4 1 中继续考察了缸正则函数的c a u c h y 定 理，m o r e r a 定理及透弧延拓定理，并利用这些性质讨论了其r i e m a n n 边值问题及 第1 页，共 j 页 前言 反问题的解法2 0 0 6 年，张位全在文f l5 】中研究了肛正则函数的一个带共轭值的边 值问题 对高维的情形的研究又可以分为三类：多复变，c u f f o r d 分析以及介于两者之 间的四元数分析的研究 多复变函数的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题是基于单复变边值问题的一种自 然推广，但是多复变函数的理论在多方面都与单复变函数的理论有着本质的区 别，例如，对多复变全纯函数来说，在一区域上的全纯函数，它的数值有时已不必由 全部边界上的数值确定此外，在单复变数中的著名的r i e m a r m 基本定理，在多复 变中不再成立例如，多圆柱和超球这两种单叶连通区域也不是全纯等价的多复 变空间中域的分类问题至今仍未解决而且多圆柱和超球在多复变空问中的代 表性也远远不如单位圆在单复变的情形因此，有必要讨论各种不同区域全纯函 数的积分表示多复变全纯函数的积分表示理论已经受到国际上的普遍重视典 型域的理论不但内容具体和富有启发性，而且和边值问题，偏微分方程的理论，广 义函数的理论，微分几何等方面有广泛的联系 单复变数的c a u c h y 型积分与奇异积分方程已经有比较完整的理论，并且已 经成功的用来解决弹性力学和流体力学的问题近年来发展了高维奇异积分 和积分方程，所考虑的积分大多是在整个欧氏空间中进行的奇异积分中的奇 性是用两点之间的距离来刻画的在一维的奇异积分方程中，由于有了单复变 函数的c a u c h y 型积分这个工具，使得一维的奇异积分方程的处理显得十分的简 单和深刻，从这个事实出发，人们自然会联想到在高维空间能否用多复变函数 的c a u c h y 型积分来处理高维奇异积分方程但是，多复变数与单复变函数在性质 上有着本质的不同一方面，直至目前为止，域的分类问题仍未解决，不同区域上 的全纯函数有着不同的积分表示，这就难于利用多复变函数c a u c h y 型积分来统 一处理高维奇异积分方程另一方面，多复变的各种积分表示，固然可以定义相应 的c a u c h y _ 型积分，但它不一定能定义分片全纯函数 c l i f f o r d 分析是上世纪7 0 年代发展起来的研究从实向量空间映射到不可 0 2 8 z h a n g b i m u 1 6 3 c o r n 第2 页共3 5 页 毕业论文 前言 交换的实c l i f f o r d 代数的新的数学分支，是将一维复分析推广到高维类似于 解析函数理论，c l i f f o r d 分析也建立了正则函数( 单演函数) 理论c l i f f o r d 代数是 由k t v a h l e n 在本世纪初建立的，它是一个可结合但不可交换的代数c l i f f o r d 分 析在数学及其它分支、场论、量子力学等方面有着重要的应用1 9 7 0 年以 来，由于许多学者的努力，c l i f f o r d 分析得到了较大的发展i f t i m i ev 1 6 1 ，d e l a n g h e r _ 【l _ 】一【18 】，b r a e kf ，s o m m e nf 【1 9 】，g f l b e r tr p 2 0 1 ，闻国椿【2 1 】，黄i 9 1 2 2 一1 2 3 ，l e h u n g s o n 2 4 】等将c l i f f o r d 分析与单，多元复分析函数理论对照，做了大量开创性 的研究工作到上世纪末，c l i f f o r d 分析有了长足发展1 9 8 7 年，徐振远在文【2 5 】中 首先研究了c l i f f o r d 分析中一个基本r i e r n a n n 边值问题，并在1 9 9 0 年于文【2 6 1 中研 究了c l i f f o r d 分析中正则函数的线性和非线性边值问题随后，闻国椿，黄沙，乔 玉英，杨丕文等研究了c l i f f o r d 分析中正则函数的一系列性质和某些边值问 题，1 9 9 7 年，黄沙还研究了c l i f f o r d 分析中广义双正则函数的线性与非线性边 值问题2 0 0 1 年，张忠祥，杜金元在文 2 z l 中研究了c l i f f o r d 分析中正则函数的某 些r i e m a n n 边值问题与奇异积分方程，从一定程度上推广了徐振远的工作在 此基础上，2 0 0 5 年，乔玉英在文【2 8 】中研究了c l i f f o r d 分析中超单演函数的边值问 题而对c l i f f o r d 分析中高阶问题的研究也很活跃如d e l a n g h er ，b r a c k sf 在 文【2 9 】中首次推广复平面中的b 全纯函数至g c l i f f o r d 分析中，研究了c l i f f o r d 分析 中缸全纯函数的c a u c h y 定理，c a u c h y 公式以及肛全纯函数的齐次多项式r y a n j 在文【圳中也考察过类似问题并构造了高阶多项式d i r a c 力 程解的c a u c h y t t 爽 分公式同时，b e g e h rh 【3 l 】通过叠代方法得到c l i f f o r d 分析中的高阶p o m p e i u 公 式1 9 9 7 年，文f 3 2 】中，杨丕文研究了c l i f f o r d 分析中的正则函数与d i r i c h h t 边值 问题1 9 9 9 年，文【3 3 】中李秀成研究了c l i f f o r d 分析中的l a p l a c e 方程及调和函数 2 0 0 6 年，杨柳，杨丕文在文f 3 4 】中参照复平面中双解析函数理论研究了c 瑚! b r d 分析 中二正则函数的一些性质和某些r i e m a n n 边值问题 四元数分析是复分析在高维空间中的另一种形式的推广，它在数学物理等方 面都有着重要的应用，如对m a x w e l l 方程，y a n 乎n i i l l 场理论等问题的研究作用而 对四元数的研究是从上世纪三十年代开始的，至今已得到很好的发展 受到上述文献的启发，本文也将从这几个方面来分别讨论b 正则函数 0 2 8 z h a n g b i n n l 1 6 3 c o m 第3 页，共：页毕业论文 前言 及非齐次女阶方程的硒e m a n n 边值问题和c l i f f o r d 分析中一类广义缸正则函数 的r i e m a n n 边值问题和r i e m a n n 边值逆问题文中理论用到解析函数的边值问题 理论、广义解析函数理论、多复变函数理论、c l i f f o r d 分析以及多复变函数的积 分表示与多维奇异积分方程在文中引入了一些过度函数，如p l e m e l j 公式，以算 子等，它们均起到了十分重要的作用全文共分为两章 第一章是b 正则函数及非齐次七阶方程的r i e m a n n 边值问题文中给出 了b 正则函数及非齐次t 阶方程警= ，的r i e m a n n 边值问题的提法，并讨论 了它们的正则型及其非正则型的r i e m a n n 边值问题的可解性，得到了它们的边 值问题的可解性结论它是复平面上解析函数的r i e m a n n 边值问题从一阶向高 阶的推广 第二章是c l i 肠r d 分析中一类广义舡正则函数的r i e m a n n 边值问题 和b i e m a r m 边值逆问题，文中提出了c h 缸d 分析中广义缸正贝f j 函数的概念，并研 究了它的一些性质，如c a u c h y 型积分，p l e m e l j 公式，然后讨论了它的r i e m a n n 边值问题和r i e m a n n 边值逆问题，同时获得了上述问题的可解性结论及其解 的积分表达式，它是基于单复变边值问题的一种自然推广，同时具体详细的讨论 了r i e m a n n 边值问题的求解方法，解的形式和可解条件 0 2 8 z h a n g b i n r u 1 6 3 t o m 第4 页，共：娟页 单业论文 第一章后一正则函数及非齐次后阶方程的r i e m a n n 边值 问题 本文给出了b 正则函数及非齐次七阶方程祭= ， b i e m a n n 边值问题的 提法，并讨论了它们的正则型及其非正则型的碰e m n 边值问题的可解性，得到 了它们的边值问题的可解性结论 1 1 正则型问题的提出 设d + 是由互不相交的光滑闭曲线，工l ，工围成的连通区域( 包含l 1 ，岛，h 在其内部) ，记l = l , o + l 1 + + l _ ，d + + l 在全平面 的余集记为d 一，且分别用d l ，1 9 2 ，d , v 表示l 1 ，l 2 ，l 围成的有界区域 不妨设0 d + 本文讨论的b 正则函数含参变未知函数的r i e m a n n 边值问题简称为问 题r - 1 ；求函数列( ( z ) ，霍l ( t ) ，e , z c t ) ，霍i ( ) ) ，其中w ( z ) 是以l 为跳跃曲线 的分片缸正则函数，且缈( o 。) 至多为有限阶极点( 包括( o 。) 有界和( o o ) = 0 的 第5 页，共，；j 页 苇一章珏正刘函数及菲齐迓膏阶方程绚r i e l n a l l n 边值问题 情形) ，皿；( ) “= 1 ，2 ，i ) 为l 上的日类函数，满足边界条件： a 2 l ( t ) w + ( t ) = g 2 2 ( t ) w 一( t ) + ，2 ( ) m l ( t ) + h 2 1 ( ) ， g 2 1 ( 毛l 其中，q ，( ) ( ) 2 擎( ) = g 2 2 ( t ) 警- ( t ) + ，2 0 ) 皿2 ( t ) + 2 2 ( f ) ， o ) 曼；翟仁( ) = g 龆o ) 笔；兽# ( ) + 丘o ) 皿i ( ) + | i l 姓o ) ，t l ，l j ( t ) ，k ( t ) u ，r = 1 ，2 ；i = 1 ，2 ，) 是l 上给定的h 类函数，记： g m ，镏城引。 ( 1 - 2 ) 一豳矧 耳= 磊1 c 哪器 ( 1 - 3 ) 并且当g j ( t ) o ( j = l ，2 ) 测问题r - 1 为正则型的，且称j 【f 为问题尼。1 的指标否 刚问题r - 1 为非正则型的 0 2 8 z h a n g b i n r u 1 6 3 c o i n 第6 页共3 5 页毕业论文 础 k h ” g + b a o 邺 心 蛳 郇 h ， - 一一 + 卜 w 日 幻 哥 ( 1 l 一 = 恃 删 ( 三! 躺 罅 研 一竿 州掣错 g a ( 5 - 第一章“正则函数及非齐次膏阶方程曲r i e m a u n 边值问题 其中 由( 1 1 ) 式的第f ，k + i ( i = 1 ，2 ，) 式分别乘以，2 ( ) ，l ( t ) 后相减有 g 1 g l g l ) w + ( z ) = c d t ) w 一( t ) + 元l ( ) ， ) 2 茅( f ) = g 2c t ) z 箬- ( t ) + 忌( t ) ， ( 1 4 ) ) 错( ) = 岛o ) 锗( ) + 元女( t ) ，z l 五1 ( t ) = h n ( t ) f l c t ) ，l ( ) ，2 ( t ) ( t ) ，2 ( ) 1 2 正则型问题的解法 由于g j ( t ) 0 ，u = 1 ，2 ) ，则( 1 4 ) 式可改写成 ( 1 - 5 ) r 卜q 旷。卜饥o l 警( t ) = g ( t ) 霉笋( ) + ( ) ， ( 1 - 6 ) 1 一 i 镨( ) = g ( ) 笔；肇( ) + h k ( t ) ，t l 其中g ( ) = 黜，h ( ) = 器o = 1 ，2 ，) 显然g ( ) ，风( ) o = l ，2 ，七) 都是l 上的h 类函数，且g ( ) 0 问题( 1 6 ) 称为肛正则函数一类含参变未 知函数的正则型m e m a m o 边值问题若氏( ) = o ( i = 1 ，2 ，k ) ，则称它为齐次 正则型r i e m a n n 边值问题，记为问题( 鬻) ，非齐次问题记为问题( 鬻鬻) 0 2 8 z h a n g b i n r u 1 6 3 c o m 第7 页，共j 二页 毕业论文 船膨 蛳胁 = 一 i l 、j 、， o 牡 一k 一 一k 苇一孝k - 互则函敬夏菲齐次膏骱方程 r i e m a n n 边值问题 下面，先讨论问题( 学) 的通解，再讨论( 鬻 簪) 的特解，从而得到珏正则函数 一类含未知参变函数的正则型r i e m a n n 边值问题的一般解 1 ) 问题( 素) 的解法设嘭= 击岛8 碍g ( ) 0 = 0 ，1 ，) ，则k = ， 量玛用文f l 】及文 1 4 1 的方法可得g ( t ) 的分解g ( ) = 型x - 盟( 0 ，f 工 ，2 u 一 妻麓z e d + , r ( z ) = 壶丘比掣出，( i - 7 ) r r ( z ) = 兀( z 一) 吩 其中弓易u = 1 ，2 ，) 由文【l l j 及文f l q 可得到问题降) 的通解为 k - 1 w i ( ：) = i ( z ) 拿阢( z ) ，其中阢( z ) “= 0 ，l ，k 一1 ) 表示个复多项式 i = 0 问题( 鬻) 要求( o o ) 至多为有限阶极点，为保i 正w ( o o ) 至多为有限阶极点， 若注意其中x ( z ) 在o o 是一阶的，我们就可以根据指标耳的不同情况得到问 题( 鬻) 的如下可解性定理： 定理1 2 ，1 对于问题( 繁) ，有： ( 1 ) 当指标k 0 且k 七一1 时，解( z ) 在有界，这时x ( z ) 在o o 有k 阶 零点，于是它的通解可以表示成： k - 1 ( ：) = x ( ：) 喙一t ( 。) ( 1 - 8 ) i f f i o 其中，魄- 一i ( 2 ) 表示次数不超过k f 的任意复多项式 ( 2 ) 当指标k o f f k k l 时，解w o ( z ) 在为七一k l 阶极点，此时它 的通解可以表示成： ( ：) = x ( z ) 魄一；( ：) 0 - 9 ) i - - - - o 当一 o 且k o j lk o 且k k 一1 时，x ( z ) 以o o 为k 级零点，此时( 。) 在有七一k l 阶极点，故结论( 2 ) 显然成立； 当ks0 时，由文f 1 1 】的方法易证( 2 ) ，( 3 ) 分别满足( 1 1 5 ) 式和( 1 1 6 ) 式 时结论成立证毕 1 3 非正则型问题 i 受g 1 ( t ) o ，g 2 ( ) 与否南在l 上有一些整数阶的零点，不妨设： 础) = 器鳓) l ( 1 - 2 1 ) 其中，g ；( ) ( l ) ，g a ；( t ) o ，7 r l ( t ) = n ( t o c j ) a - ，砌( ) = l - i ( t 一风) “这 , i l l k = l 里，风都在l 上，且凤，b ，肌都是正整数并记a = ，p = m ，由此( 1 一 j 2 l t ；l 4 ) 式变为： 0 2 8 z h a r l g b i n r u , , 1 6 3 c o r n 第1 2 页，共；j 页 毕业论文 w + ( ) = 第一章。正则函数瑗非齐次膏阶方程的r i e m a n n 边值河题 + _ i l l ( t ) ， 警( ) = 搿裂等( t ) + ( 1 2 2 ) 【百8 k - 丌l w + w l = 黜器笔簿( t ) + k ( ) ，t l ；乓e e h i ( ) = 鹬“= 1 ，2 ，) 问题( 1 - 2 2 ) 就是缸正则函数一类含参变未知函 数的非正则型彤e m a l l n 边值问题，要求w ( o 。) 有界称k = g j 为问题的指标，其 j = 0 中坞= a i ja r gg _ g j ，盟( 1 ，4 = 0 ，1 ，) 下面，先讨论( 1 2 2 ) 的齐次问题： f + ( ) = 黜器w 嘲 警( 母= 瑞器警( ) ，( 1 - 2 3 ) 【羽8 # - i 烈w + - 垆- 瑞型o i ( t ) 百8 k - 丌1 w - w - ，z l ， 令： f 毒端+ ( ) = 量一( ) ， 妄举百o w + o ) = 妥垡笛百o w - ) ，( 1 - n ) 【端喙华( t ) = 端百- 厅1 w - ( 伽l 比，= 曝 0 2 8 z h a n g b i n r u 建1 6 3 c o m 第1 3 页共3 5 页 2 d + ( 1 2 5 ) 2 d 一 毕业论文 一 笠q 第一章如正则函数爱非齐次 阶方巷的m e m a u u 边值问题 则 y + ( f ) = v 弋) 警( ) = ：等( ) a k - z v + i t = 襄筹( ) 据文【l l 】及文【14 】，v ( z ) 在全平面一正则，因x ( z ) 在具有一k 阶，( o 。) 有界，从 k - i 而v ( 2 ) 在处不超过a + k 阶据文1 1 1 】及文【1 4 j 有y ( ：) = 旁巩+ k 一( z ) 其 i - 0 中队+ k 一( z ) 为不超过a + k i 次任意多项式n + 一i o 时，认为队+ k i ( z ) 三 0 ) ，从而问题( 1 2 2 ) 的解必然有形式： 描，= d + ( 1 2 6 ) 器，。d 一 但彬+ ( ) ，4 訾( ) ，2 ；簿( ) 在哟，风有界，故必须取以+ k 一；( z ) = ，r l ( ：) 7 r 2 ( z ) u k p 一( z ) ，其中，耳- # - - i ( 。) 表示不超过k p i 次的任意多项 式( 一p i o 时，认为c ，k p i ( z ) 兰o ) 由此得问题( 1 - 2 2 ) 的齐次问题的通解： l 旁，一i ( 。) 霄l l 每o w + ( ：) = i k - 1 i 旁u 膏一州( ：) 霄2 z ) i 0 1 x 0 2 8 z h a n g b i n n x 1 6 3 c o i n 第1 4 页，共；j 页 z d + ( 1 2 7 ) 孑d 毕业论文 一 一 以 以 ，矛 矛 “瑚 h ：l ，i-i_-_-，、_ii_-_ = p 第一章矗一正则函数及非齐，l = 膏阶方程的r i e m a n n 边值问题 下面，用前述方法，( 1 2 2 ) 式可以写成 令 器+ ( ) = 端w 一( ) + 端_ i - ( t ) 器警( ) = 端警( ) + 端( i - 2 8 ) 瑞矿8 * - t w + w - - = 端锗( t ) + 端h k ( o ， 坤，= 三k - 1 矿= 去妻z 唑羿一川。， 其中： 则 从而 l l s l l 鼍震k - 1 貉i - i - 1 - 半1 出，( 0 ) ! x + ( ) ( t z ) ! 蠖o ) t x 堕+ ( o ( t - 挲z ! d f ， 、u ， y + ( ) 一 ，一o ) = ：器h t ( ) ， 警( ) 一警( ) = 端h z ( ) ， 岛筹( ) 一面d k - 一l y - ( ) = 端i f 2 t k ( f ) 0 2 8 z h a n g b i n r u 1 6 3 t o m 第1 5 页洪： | 页 ( 1 - 3 0 ) 毕业论文 。一蜊 。一撕 。一撕 = = = 、；、j = z z ，；， m k k ，i-i，、_l_l-i【 第一章。正则函数及非齐次膏阶方程的r i e m a n n 边值栩邃 i 安掣啬+ ( ) 一y + o ) = 妾垡茜w ( ) 一y 一( ) ， j 端警( f ) 一筹( t ) = 端警( t ) 一百b y - ( t ) ，( 1 - 3 1 ) | 【端掌( ) 一面8 k - 一l y + ( t ) = 端毫簿( ) 一岛筹( t ) ，t l 由于( 。c ) 有界，同前述方法可得： f陧分删+比)1器，zd+l l i - - oj ( 2 ) = ( 1 3 2 ) i k 量- 1 巩* 如) + 脚) 1 器，z d - 【匡巩* t ( z ) + y ( z ) j 器，。d 但+ ( ) ，等( ) ，譬( ) 必须在哟，凤有界，根据文【1 】作p = a + p 一 1 j 5 j ( h e r m i t e 插值多项式r ，( ：) “= 1 ，2 ，七) 使得： 笔：三：三二：三；：7s=20 。, 1 1 , - , v 3 口k 一- l l ；k 。= 1 1 , 2 2 , - - - ，, n 4 。， 馏紧l u 剀 f y c 力一铲刊黼一 n i ( z ) = ( 1 3 4 ) 【 y ( 沪争酬 描，z e d - 则h ，0 士( ) ，簪( f ) ，2 ；：华( t ) 在l 上连续，且满足( 1 - 2 2 ) 式而w i ( ：) 在o o 处的 阶数是p + ( k 1 ) 一k a = p k 一2 + t 故： 当p + k 一2 时，h ，0 ( ：) 是问题( 1 2 2 ) 的- 个特解； 当j f p + 一2 时，要w o ( z ) 是问题( 1 2 2 ) 的解，还须满足一k ) + ! 学个 条件，这些条件是乜( ) “= 1 ，2 ，) 所应受约束的条件( 部分的加 0 2 8 z h a n g b i n r u 1 6 3 c o m 第1 6 页，共；j 页毕业论文 第一童“正则函数及非齐次量阶方程的r i e m a n n 遗值问题 在足，( ：) “= 1 ，2 ，女) 上，问接的也是加在h i c t ) ( i = 1 ，2 ，女) ) 若 记尼pz ) = a i o z p + a i t z t ” 1 - i - + a i p “= 1 ，2 ，k ；p = a + 弘一1 ) ，则： 当a 十k - 1 时，上述约束条件为： a l 0 2 a 1 ，1 2 = a t m 片+ 一3 = 0 ， a 2 ，0 2 a z ，1 = - - = a 2 m 一耳+ 一t 20 a k , o = t ，l = = a k ，p 一一2 2 0 即| r l p ，只能分别是a + 耳一k + 1 ，a + k k + 2 ，一，a + k 次多项 式d + k = 一l 时，认为三0 ，i = 1 ，2 ，一，t a + k = 0 时认为兰0 ，i = 1 ，2 ，七一1 ) 当 + k t + 七一2 时，问题无条件可解，其一般解 为：( ( ：) ，皿l ( ) 皿2 ( ) ，吼( t ) ) ，共含有七( k p ) 一! 学个任意复常 数，其中( 。) = w ( 2 ) + w j ( ：) ，这里( ：) ，( 。) ，戳( f ) “= 1 ，2 ，) 分别 由( 1 2 7 ) ，( 1 - 3 4 ) 和( 1 3 6 ) 给出； 2 ) 当k = 拉+ 七一2 时，阔题无条件可锯萁一般解 为：( ( 。) ，口l ( ) 奶( ) ，吼( ) ) ，其中缈( 。)= ( ：) + w o ( ：) ，这 里u ，0 ( ：) ，峨( t ) ( i = 1 ，2 ，七) 分别由( 1 3 4 ) 和( 1 3 6 ) 给出，而+ ( z ) 如下： ( 1 - 3 7 ) 其中c 为任意复常数 3 ) 当耳( j + 七一2 时，问题在峨( t ) “= 1 ，2 ，- 一，惫) 满足k 一耳) 4 - 牮个条 件时可解 ( i ) 在a + k 一1 时，此即要求由条件( 1 3 3 ) 所傲h r e m i t e 插值多项 式( z ) 0 = 1 ，2 ，一，女) 只能分别是a + k 一七十l ，a + k k + 2 ，r 一，a + k 次 多项式( a + k = 一1 时，认为三o ，i = 1 2 ，七；a + k = o 时认为e0 ，i ； 1 ，2 ，一1 ) 0 2 8 z h a n 【g b i n r u 1 6 3 c o r n第1 8 页洪；i 页毕业论文 + 一 d d ： ： 、j、， 如 忙 x x 、j、j 扛 p l 2 霄 丌 c c ，ii-【 = 幻i 第一章七正刘函数及非齐次七阶方舞的r i c m a n n 边值问题 ( i i ) 在a + k 一1 时除要求尼p 三0 ，( i = 1 ，2 ，一，七) 外，还要求