（凝聚态物理专业论文）光学晶格中玻色—爱因斯坦凝聚体系的melnikov混沌.pdf

塑重逝整2 登熊主堂窒遨 o 1 中文摘要 原子气体玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 在实验上的实现，具有十分重大 的理论研究意义和应用价值玻色一爱因斯坦凝聚体系不仅为量子理论的 研究提供了一个可靠的宏观量子系统，而且在原子激光芯片技术、精密测 量等方面有着非常美好的应用前景本文在平均场理论的框架下，以g r o s s p i t a e v s k i i c g p ) 方程为主要研究模型，采用理论解析和数值模拟相结合的 方法，讨论和展示了光学晶格中玻色一爱因斯坦凝聚体系的m e l n i k o v 混沌 行为，并提出了控制凝聚原子混沌运动的方法，得到了一些有意义的结论 全文一共分为六章，各章研究的主要内容如下t 第一章简要介绍了玻色一爱因斯坦凝聚与混沌的有关概念和定律，回顾 了在该领域的研究现状和展望，揭示了玻色一爱因斯坦凝聚体系的m e l n i k o v 混沌特征，并阐述了几种控制混沌的方法 第二章讨论了两个弱耦合玻色爱因斯坦凝聚体中的混沌j o s e p h s o n 效 应利用与时间关联的自洽场方法和宏观量子单体波函数，从g p 方程出 发导出了对称囚禁和非对称囚禁势两种情形下描述相差妒随时间变化的玻 色子j o s e p h s o n 结方程运用直接微扰法，求出了小幅振荡情形下的玻色子 j o s e p h s o n 结方程的混沌解研究结果表明，在与时同无关联的驱动作用下， 凝聚原子的运动是有规律的运动但是，对于处在非对称囚禁势情形下的 玻色一爱因斯坦凝聚体系，当加上与时间相关联的周期性驱动后。则引起 凝聚原子发生混沌运动此外，我们还利用所求得的混沌解证明了系统混 沌轨道的解析有界与数值无界特性，从而揭示出了混沌系统的不可计算性 第三章主要分析和研究了一维光学晶格中玻色一爱因斯坦凝聚的w a n - n i e r s t a r k 混沌在m e l n i k o v 混沌准则下，利用直接微扰技术，我们构建 了具有平凡相和非平凡相两种情形下的基于g r o o s - p i t a e v s k i i 方程的经典混 沌解，并对这两种不同相情形下在参数空间的混沌区域进行了图解和分析 说明混沌解描述了原子的数密度和能量密度的混沌空间演化，而混沌区 i i m e l n i l o wc h a o so fb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e si no p t i c a ll e t t i e e s 域贝4 提供了产生或者消除混沌的一种方法，这就是通过调节可控参数此 外，混沌解的不稳定性在这章也被讨论研究表明，混沌出现在玻色一爱 因斯坦凝聚坍塌的进程中，它对玻色一爱因斯坦凝聚体系统起着毁灭性作 用因此，对于一个玻色一爱因斯坦凝聚的形成和应用而言。预测混沌与 控制混沌是相当重要的 第四章主要研究和讨论了两种囚禁势( g a u s s i 蛆势与r a t d 僦势) 情形 下玻色一爱因斯坦凝聚体系中凝聚原子的非线性输运问题从g p 方程出 发，将凝聚波函数的时、空变量分离，得到了该系统所满足的定态非线性 s d 的d i n g e r 方程，然后运用解析方法和数值计算方法对该方程进行了求解 解析结果表明，在g a u s s i a n 势情况下，凝聚系统具有稳定的微扰解，此表明 凝聚原子为稳定的非线性输运但在r a t c h e t 势作用下，系统却具有混沌的 解析解，因而表明凝聚原子的输运过程为混沌输运，相应的数值模拟结果 印证了理论解析的结论并且，我们的研究结果说明了这种混沌的输运过 程可以通过改变系统参数或边界条件对其加以有效的控制 第五章探索性地研究了倾斜光学晶格中两元玻色一爱因斯坦体系( t b e c s ) 的m e l n i k o v 混沌解析结果指出，在m e l n i k o v 混沌准则下，该体系所满足 的两个耦合非线性s c h r 6 d n g e r 方程的定态微扰解一般为不稳定的混沌解。 因而两种凝聚体都具有s m a l e 马蹄意义下的混沌特征相应的数值结果表 明，在相同的初、边界条件下，当两种凝聚体的系统参数取值相同时，它们 在相空间的轨道完全相同，即两种凝聚体的混沌运动是完全同步的而当 其中一凝聚体的某一参数哪怕有一微小的改变，则它们的相图变得完全不 一样，两者的混沌运动不再同步此一方面说明了混沌系统对系统参数的 敏感依赖性，另一方面表明了系统参数在混沌控制和混沌同步中扮演了一 个重要的角色 第六章对全文所得到的结果进行了简要地回顾和总结，并对玻色爱因 斯坦凝聚体的混沌运动和稳定性问题以及凝聚体在实际应用方面的价值作 出了相应的研究展望本文中，作者的研究工作主要集中在第二章，第三 章，第四章和第五章 关键词t 玻色一爱医斯坦凝聚；光学晶格；孙d 诚晰混沌；控制 i v 丝些生墼! ! 墅塑垡旦墼璺! 型! 麴查塾! ! 塑鱼虫堑型绝丝壁 0 2 a b s t r a c t t h er e a t i z & t i o no fa t o m i cg a s e sb o s e - e 黼c o n d e n s a t i o ni nt h ee x p e r i m e n t a t i o nh a s v e r yi m p o r t e n tp u r p o r t so ft h et h e o r ya n da p p l i c a t i o d 。b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e sn o t o n l yo f f e rt h ep e r f e c tm a c r o s c i o p i cq u a n t u ms y s t e m st oi n v e s t i g a t em a n yf e n n d m c a t a l p r o b l e m si nq u a n t m nm e c h a n i c sb u ta l s oh a v ee x t e n s i v e l ya p p l i c a t i o nf o r e g r o u n d ss u c h 8 8 i n a t o m l a s e r c m o sa n d t h e e x a c t i t u d e l n e v n u r e i n t h e f r a m e w o r k o f t h e m e a n - f i e l d t h e o r y , t h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e si sg o v o n e r e db yt h eg r o e s - p i t a e v i s k i ie q u a t i o n b a s e do nt h eo r 硼s - p i t a e v i s k i ie q u a t i o nw eh a db 嘲s t u d yo ft h em e i n i k o vc h a o si n b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e sb 3 rt h e o r e t i c a la n a l y 丑i sa n dn u m e r i c a lm e t h o d m e a n w h i l e ， w eh a v ea l s od i s c u s s e dt h ep r o b l e mo f c o n t r o l l i n gt h ec h a o t i cm o t i o no f t h ec o n d e n s a t e d a t o m s 柚d8j 陀t i e $ o fs i g n i f i c a n tr e s u l t sa r eo b t a i n e di n t h i sp a p e r o u rp a p e ri s o r g a n i z e d8 8t h ef o l l o w i 丑gs i xp a r t s ： i nc h a p t e r1 w e 娥i n t r o d u c e dt h ec o n c e p t i o n sa n dt h el a w so fb n s e - e i n s t e i n c o n d e n s a t i o na n dc h a o s t h e i ra c t u a l i t ya n de x p e c t a t i o na r er e t r o 辨c t e di n t h i sc h a p e r w ea l s os t u d i e dt h ec h a o t i cb e h a v i o ro fb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s ，a n dd i s c n s s e dt h e m o t h e d so fc o n t r o l l i n gc h a o s i nc h a p t e r2 ，w eh a v es t u d i e dt h ec h a o t i cj 魄p h s o ne f f e c t si nt w ow e a k l yc o u p l e d b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s u s i n gt h et i m e - d e p e n d e n ts e l f - c o n s i s t e n tf i e l dm e t h o da n d t h em a c r o s c o p i co n e - b o d yw a v ef u n c t i o n ，w ei n v e s t i g a t e dt h eb j je q u a t i o n st h a td e - s c r i b et i m ee v o l u t i o n so ft h ep h n s ed i f f e r e n c ei ns y m m e t r i ca n da s y m m e t r i ct r a p p e d c 8 8 e ow e h a v eo b t a i n e dt h ec h a o t i cs o l u t i o no ft h ab j je q u a t i o nf o rb s m a l k a m p l i t u d e c s c i n a t i o n 蚵u s i n gt h ec l i r e c tp e r t u r b a t i o nm e t h o d 啦r e s u l t s 蒯t h a tt h em o t i o n o ft h ec o n d e n s a t ea t o m si s 舶啦w i t h o u tt h et i m e - d e p e n d e n td r i v ea n dt h ep e r i o d i c a l d r i v ec a t l s e 8t h ec h a o t i cm o t i o no ft h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e si nt h ea s y m m e t r i c t r a p u s i n gt h ec h a o t i cs o l u t i o nw eh a v ed e m o n s t r a t e dt h ea n a l y t i c a lb o u n d e d n e s sa n d n u m e r i c a lu n b o u n d e d u e mo ft h ec h a o t i co r b i t st h a ti m p l i e st h ei n c o m p u t a b i l i t y o ft h e s y s t e m i nc h a p t e r3 w eh a v ec o n s i d e r e dat r a p p e db e ci n8t i l t e dp o t e n t i a lo ft h e w a n n i e r - s t , a r kf r a m e w o r k u n d e rt h em e l n i k o v sc h a 0 6c r i t e r i o n 骶i n v e s t i g a t e dt h e c h a o t i cs o l u t i o n sb a s e do nt h e ( 3 pe q u a t i o nw i t ht r i v i a lm a di a o n - t r i v l a lp h 瞄a r e c o n s t r u c t e db yu s i n gt h ed i r e c tp e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e t h ee l u i o t i er e g i o n so nt h e p a r a m e t e rs p a c ea z 蛩i l l u s l ：r a t , o df o rt h et w od i f f e r e a tp h a 蜩t h ec h a o t i c 鲥u t j o l 碍d e - s c r i b et h ec h a o t i cs p a t i a le v o h t t i o n so ft h ea t o m i cm t m b e rd e n b i t ya n de l l l l g yd e n s i t y , a n dt h ee l u l o t i er e g i o n ss u p p l r8m e t h o df o rp r o d u c i n go re l i m i n a t i n ge l u m s ，t h r o u g h t h e 删u 8 t 加棚临o ft h ec o n t r o l l a b l ep a r a z m e t , e r 8 t h ei n s t a b i l i t yo fc h a o t i cs o l u t i o ni s d j s c l l 踊e da n dt h eq u a l i t a t i v ea g r e e m e n t sw i t ht h ew o r kr e p o r t e dr e c e n t l yi sf o u n d i t j 8w e l lk n o w nt h a tt h ee h a 0 6e m e r g e si nt h ep r o e e i o n so ft h eb f - , cc o l l a p s i n gw h i c h p l a y 8ad e s t r u c t i v er o l ef o rt h eb f , c8 y s t m t h e r e f o r e p r e d i c t i n ga n dc o n t r o l l i n g c h a o sa 托q u i t ei m p o r t a n tf o rt h ef o r m a t i o na n da p p l i c a t i o no fab e c i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t e dt h en o n l i n rt r a n s p o r to fb l o ca t o m si ng a u s s i 蛆 p o t 删t i a la n dr a t c h e tp o t e a t i a l w eh a v eo b t a i n e das t a t i o n a r yn o n l i n e a rf l e h r 6f r o m ( i pe q u a t i o n ，a n ds i o v e dt l x i se q u a t i o nt h e o r e t i c a l l ya n dn u m e r i c a l l y t h ea m i y t i e a l r e s u l t ss h o w e d t h a t t i l e c o n d e n 麒l s y s t e m h a 8 a s t e a d y p e a t t t r b a t i o n s o l u t i o n a n d r e v e a l t h a t t h e n o n k n 髓f t r a u a l 3 0 r t o f t h e c o n d e n s a t e a t o m s i n ( 3 a m s i a n p o t e n l i a le a s e b u t i n r a t , e h e tp o t e n t i a lt ? , s s e ，t h e r ei se l a a o t i ca n a l y t i c a ls o l u t i o ni nt h i ss y s t e m ，a n df l t h o w 七h 8 t t h ec h a o t i et r s , n s p o r to fb e , ca t o m s t h ee o m 聊n c u n gn u m e r i c a lr e m t i t ma g r e ew e l l w i t ht h et h e o r e t i c a la l u d y t i e a lr e m d t 8 b t ! s j d e 8 陀c 蛆c o n t r o lt h ec h a o t i ct r a n s p o r t o fc o n d e n s a t ea t o m sb yc h a n g et h e 日硪黜p a r a m e t e r so rb o u n d a r yc o n d i t i o n s i nc h a p t e r5 w es t u d i e dt h em e l n i k o vc h a o eo ft w o - 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m e n t i o n e d w o r k s w ea l s og i v eae x p e c t a t o ni nt h es t u d yf o rt h ec h a o t i cm o t i o no fb e g ，t h e s t a b i l i t yo f b e cs y s t e ma u dt h ea p p l i c a t i o n so f t h ec o n d e n s a t m h e r e ，o u rm a i nw o r k s a r ei n v o l v e di nc h a p t e r st w o ，t h r e e ，f o u ra n df i v e k e yw o r d s ：b c 6 e - e i n s t e i nc o n d e n s s t e ；o p e t i c a ll e t t i c e s ；m e l i i i l 。泖c h a o s ； c o n t r 0 1 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明；所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式表明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名c 旁熔f 跨击 砷年分月占日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全都或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密，在年解密后适用本授权书 2 、不保密v 作者签名；击味r 舌芎刊期，2 妙叼年6 月舻日 导师签名，日期t年月 日 第一章绪论 本章主要介绍了玻色一爱因斯坦凝聚与混沌的一些基本概念和基本理 论，简要回顾了目前国内外在玻色一爱因斯坦凝聚与混沌方面的研究现状以 及玻色一爱因斯坦凝聚体的一些混沌特性，并阐述了凝聚体在原子激光， 量子信息与量子计算原子芯片技术，精密测量、量子计算机和纳米技术 等领域的应用前景 1 1玻色一爱因斯坦凝聚的基本概念 1 1 1 玻色一爱因斯坦凝聚 1 9 2 4 年，印度科学家玻色( s b o s e ) 将光子作为数量不守恒的全同粒子处 理而成功地导出了普朗克( p 1 a n c k ) 黑体辐射定律【1 】1 爱因斯坦( e i n s t e i n ) 随 即将玻色对光子的统计方法推广到全同粒子理想气体并从理论上预言， 当玻色子气体在温度达到足够低的某一临界值时，它们将会发生相变，形成 种新韵凝聚物质一玻色爱因斯坦凝聚俸1 2 ，3 1 ，在这种凝聚体中所有原子 都处于能量最低的基态，形成一个“宏观”的量子系统，此谓玻色爱因斯 坦凝聚( 简称b e c ) 由于当时实验条件的局限性，致使在爱因斯坦的理论 预言提出后的7 0 多年里，一直没有引起人们的重视直到1 9 9 5 年，美国科 学家才首次在实验中实现了铷( r u b i d i u m ) 【4 】，钠( s o - u r n ) 5 】和锂( l i t h i u m ) 【6 j 等碱金属原子气体的玻色一爱因斯坦凝聚，为人们从宏观的尺度来研究量 子现象提供了一个独特的环境，从而才引起世人的瞩目 1 1 2 凝聚温度 在实验上实现玻色一爱因斯坦凝聚，要求原子气体所处的环境温度必 须低于某一临界值，即达到其临界温度由于玻色一爱因斯坦凝聚体本质 上属于量子统计现象下面我们将采用量子统计的方法来导出临界温度的 表达式 1 2 丝! 垒垡墅! ! 鳖堡垡墅壁墅墅堕塑垡型! ! ! ! 塑鱼虫丝型丝! ! 鲤 设s 为粒子能量，体系基态忙= o ) 上的粒子数为0 ( ，玻色体系总粒 子数为，临界温度为瓦当原子气体所处的温度r 降低到t 0 ，即玻色子将在基态上迅速聚集，达到可观的数量， 而当t 一0 时，粒子将全部聚集到体系的基态上我们知道，当b e o 开始 发生口 ，乱l ， = 佤l 伽，m ，一l ， ，( 1 9 ) 其中是算符砧= 的本征值，它描述了处于单粒子口态的原子数 产生算符站与湮灭算符所满足的对易关系为 k ，略】= 嘶，k ，训= 【d + ，时】- 0 ( 1 1 0 ) 当一个特定的单粒子态( 基态) 的原子数n o 非常大，n o 兰n o 1 ，且比 例d 在热力学极限一为有限值时，玻色爱因斯坦凝聚开始出现 在此极限情况下，对应和0 4 - 1 i v o 的态具有相同的物理图景因此，算 0 4 ) 和对可以被近似当成c 数( 可交换数ka o = 对= 们i 来处理对于处在 体积y 中的均匀玻色气体，发生玻色爱因斯坦凝聚且具有零动量的单粒 子态为一1 1 、，审被分解的场算符童( r ) 可以表为亩( r ) = 、0 + 垂( r ) ， 妒是一小的扰动，被当作微扰看待以上是b o g o l i u b o v 对激发相互作用玻 6 丝业塑堡旦墅墨咝鱼幽圭竺垫q 巳型丝塑 色气体的所谓”一级”微扰理论的论述如果将b o g o h u b o v 的理论拓展到非 均匀且与时间有关的玻色气体，其场算符为 童( r ，t ) = 西( r ，t ) + 童7 ( r ，t ) 在这里，我们对场算符使用了h e i s o n b e r g 表象上式中的圣( r ，t ) 是一个非常 复杂的函数，被用作场算符期待值的定义t 圣( r ，t ) 三 函数量( r t ) 在经典场中具有序参数的涵义，经常称它为凝聚波函数因此，凝聚体中 凝聚原子的数密度可以用锄( r t 力表述为粕( r ，醇= l 圣( r t ) 1 2 。而( 1 1 1 ) 式中 的妒( r t ) 代表非凝聚气体各态的场算符，当凝聚体的耗散很小时，它是一 个很小的量因此，序参数所满足的方程就是场算符关于量r ，t ) 的最低阶 展开所满足的方程为了推得凝聚波函数雪( r t ) 所满足的方程，运用多体 哈密顿( 1 7 ) 而得到与时间有关的场算符毒( r ，t ) 所满足的h e i 船n b e r g 方程 力 确云m ( r ，t ) = 呻，明 t 2 2 = f 一! ；兰一+ 1 p 厶( r ) + 出7 毒+ ( 一，t ) v f f r ) 毒( i ，t ) 】垂( r ，力 ( 1 1 2 ) 在稀薄低温的玻色气体中，一般只考虑两个原子之间的相互作用，即两体 相互作用若使用刚球模型，就可以将上式中两体相互作用势用d 函数势 所取代f 1 7 】 v 一 = 驴【，一” 1 1 1 动 式中的9 是耦合常数，它与8 - 波时散射长度口的关系为 ：141rh-2ag ( 1 1 4 ) 5 f 卅 将( 1 1 3 ) 式，( 1 1 4 ) 式和( 1 1 1 ) 式代入( 1 1 2 ) 中，并考虑在凝聚相 时雷( t t ) 圣“t ) ，贝8 可以得到序参数( 凝聚波函数) 所满足的方程 访妄圣( r ，t ) = 【一芸v 。+ 乞( r ) + 9 i 西( r ，t ) 1 2 l 雪( r ，f ) ( 1 1 5 ) 塑壶竖薹盔堂签圭堂垡丝 7 上式就是著名的g r o s s - p i t a c w s k , i i ( g p ) 方程，分别由g r o s s ( 1 9 6 1 年，1 9 6 3 年) 和p i t a e v s k i i ( 1 9 6 1 年) 各自独立推得g p 方程所满足的先决条件是， 8 - 波散射长度应远小于原子之间的平均距离；凝聚体中的原子数应远大于 1 实践证明，在玻色一爱因斯坦凝聚的研究中，平均场理论是一种较为有 效而成功的理论，从g p 方程出发，可以获得玻色爱因斯坦凝聚体的许多 奇特有趣而又极具价值的性质，这些情景，将会在下面的章节看到 1 2 2 定态g p 方程 上面的( 1 1 5 ) 式是一个含时的g p 方程，为了给出它的定态形式，我 们将凝聚波函数圣( r t ) 的时问和空间变量分离，即波函数为 西( r ，t ) = 毋( r ) e 一，叫6( 1 1 6 ) 其中弘是化学势，多( r ) 是一个实函数，且归一化为凝聚俸中粒子的总数，；髯_ 即，护出= n o = 将( 1 1 6 ) 式代入到( 1 , 1 5 ) 式中，则可得到定态情形 下的g p 方程t 卜。2 n m - v 2 + i ，耐( r ) + g 圣( r ) 1 垂( r ) = 妒( r ) ( 1 1 7 ) 上面的方程实际上是一个非线性的s c h r 翻l i n g e r 方程，其非线性来自于平均? 场项在下面的章节中，我们将采用理论解析和数值计算两种方法来求解 该方程对于定态，其能量函数e 可以用粒子的数密度n = 例。来表征， e = 【芸i v 何1 2 + r i v e ( r ) + 譬】d r = + + ( 1 1 8 ) 上式右边的第一项是与h e r s e n b e r g 不确定原理相对应的量子动解，通常称之 为”量子压”；第二项是外部囚禁势能；第三项为凝聚原子间的相互作用 势能 1 2 3t h o m e s - f e r m i 近似 对于个足够大的凝聚原子云，当其中的凝聚原子非常多，且原子之间 的相互作用为排斥力时，则( 1 1 8 ) 式中的动能项( 量子压) 玩。与外加 8m e 脚c h a o so f b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e si no p t i c a ll e t t i c e s 势能e k 或相互作用能相比较，显得非常小在此极限场合，求解g p 方程而获得凝聚波函数的最好的近似方法是在方程( 1 1 8 ) 中忽略其动能 项，使得平均场理论具有最简单的解析形式【1 8 1 9 】 【：村( r ) + 9 垂( r ) 2 】垂( r ) = p 圣( r ) ( 1 _ 1 9 ) 由上式我们可以求得粒子数密度是有如下形式； n ( r ) = 圣( r ) 2 = 缸一v , n ( r ) l g 且在肛 亿t ( r ) 的区域，l r l = 0 因此，在凝聚原子的边界处，有 ( r ) = p ( 1 2 1 ) 上述近似方法与当年原子理论中的t h o m a s - f e r m i 近似如出一辙，故仍将该 近似方法冠以相同的名称在实际中，1 1 a o m a s - f e r m i 近似即能使方程求解 变得简捷，且与实验吻合较好，不失为求解g p 方程的个好方法例如， 美国麻省理工学院的一个研究小组发现，当囚禁阱中的钠原了达到1 0 6 个 时，采用t h o m a s - f e r m i 近似所得到的结论与实验所得的结果几乎没有什么 差别在3 1 a o m a s - f e r m i 近似下，基态能量( 1 1 8 ) 则可写成 曰= j 如( r ) + - 譬- d r = + 1 3 玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌特征 ( 1 2 2 ) 1 3 1 混沌概念的演化 ”混沌”或”浑沌”一诃最早出现在古中国和古希腊的故事中，随着人 类文明的进步和科学文化事业的发展，混沌一词在中外的文学、艺术，宗 教典籍和科学著作被不断采用几千年来，混沌的词义在不同的地域文化 背景和不同的学科领域中有着不同的内涵，混沌的概念也在不断演化，其 塑直塑蕉盔堂熊堂垡鲨塞 9 演化的过程和阶段可大致分为：古代理解的混沌；一般科学混沌涵义；具 有严格定义下的非线性动力学混沌 古代所说的”混沌”主要是描述一种自然状态及其演化，它是古代思想 家关于字宙起源的重要概念，众多古籍书一般都把混沌描述为宇宙天地开 辟之前的种状态例如，在中国古代的三五历中说到：”未有天地 之时，混沌如鸡子，盘古生其中，万八千岁，天地开辟，阳清为天，阴浊为 地”易纬乾凿度中说。”混沌者，言万物相混成而未相离也”由 此可见，古代中国思想家们所指的混沌状态的主要特征是浑然一体但这 一体，是个蕴含着万物的整体而古埃及和古希腊的思想家们极早就有 世界起源于混沌的观点，例如，古希腊神话诗人赫西俄德在他的堰神谱 中写到，”万物之前先有混沌，然后才产生宽阔的大地”对西方文化起 着重要影响的镬圣径中也提到了混沌t ”起初上帝创造天地，地是空虚 混沌”古代哲学家还把混沌概念比作为对一种思维方式的描述，即在人 类条理分明的认识阶段之前的朦胧状态为混沌综上所述，在古代，虽然对 混沌的概念没有统一的、严格的定义，但东西方一般都将混沌比作为一种 自然状态，一种演化形态和一种思维方式 到了近代，混沌概念随着科学的发展逐渐演化1 9 世纪，l 印l a c e 等人 对星云假设的科学论证，特别是达尔文的进化论，有力地促使古希和中国 古代演化思想重新为科学界所接受热力学理论的创立，特别是热力学第 二定律的发现以及对热平衡态的深入研究，为古代学者关于宇宙始于混沌 的猜测提供了科学论证2 0 世纪初，量子力学和相对论的创立，把人们的 认识弓l 向了微观和字观的层面，从而对混沌概念有了更新的认识例如， 诺贝尔奖获得者，日本著名理论物理学家汤川秀树曾提出，物质最基本的 东西不是基本粒子，而是混沌，这种混沌没有固定的形式，却具有分化出一 切基本粒子的可能性现代宇宙学的发展，也对混沌概念的深化和科学解 释作出了贡献如宇宙”大爆炸”理论认为，宇宙是在大约1 5 0 亿年以前， 从基本上处于热平衡的，浩瀚的，炽热而稠密的物质大爆炸中形成的这 炽热而稠密的物质状态，可以认为是”原始混沌”从这原始混沌出发，随 l o 丝丝些! ! 墅竺丝垒塑堡! 堕堂丝堡! 坚! ! 竺鱼虫垡型绝! 丝塑 着它急剧膨胀、冷却，逐渐生成众多的星系，星体、行星，直到出现生命成 为现在的宇宙现代宇宙学所提出的这种演化理论模型，赋予原始混沌概 念以现代的科学涵义 混沌概念最为深刻的演化与进展，发生在研究宏观世界的动力学中由 于牛顿思想的巨大影响，在2 0 世纪6 0 年代之前，人们仍普遍认为确定系统 的行为是完全确定的，是可以预言的，不确定行为只能发生在随机系统中 然而，近3 0 多年来的研究成果却表明，绝大多数确定性系统都会发生奇怪 的、复杂的不确定行为随着对这类现象的深入了解，再将之与古代的混 沌概念相联系，于是人们把这种”确定性系统中貌似随机的行为”称作混 沌，此为混沌的动力学概念而影响较大的关于混沌的数学定义是1 9 7 5 年 由李天岩和他的导师y o r k e 在他们的论文【2 0 】中提出来的，即所谓l i - y o r k e 定理t 设，是区间j ( 【o ，6 j ) 上的连续自映射函数，若，( z ) 有3 周期点，则 对任何正整数n ，( $ ) 有n 周期点如果，( z ) 满足下列条件，便可确定它 有混沌现象t ( 1 ) ，( $ ) 的周期点的周期无上界； 【2 ) 闭区间j 上存在不可数子集s ，满足 a ) 对任意霉，l ，f ，当害f 时，有 ：巩p i 厂i ( 动一，1 ( y ) i 0 b ) 对任意z 。妒s ，有 l 。m 。m ，i 厂i ( 霉) 一厂1 0 ) l = o c ) 对任意z s 和，的任一周期点，有 ，訾g 印l ，忭( 霉) 一尸妇) l 0 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 根据上述定理，对闭区间上的连续函数，缸) ，如果存在一个周期为3 的周 塑壹逝蕉幽量登垡缝塞 1 1 期点，就一定存在任何正整数的周期点，则一定会出现混沌此所谓”周期 3 意味着混沌”这样，从数学上对混沌给出了明确定义 当然，仅仅从数学和物理学的角度来定义混沌是远远不够的混沌作为 一种自然与人类社会中普遍存在的运动形态，也不可能完全归入某一学科 的范畴例如，在经济领域中，人们常常把一些看起来十分复杂、一时难以 把握的现象，认为是混沌现象由此可见，混沌现象不仅出现在自然科学领 域，在社会科学中也经常出现混沌现象，只有通过不断的研究和探索，才 能对它的特征和涵义有较深刻的认识 1 3 2l y a p u r o v 指数 前面已提到，混沌现象普遍存在，但真正意义上的混沌运动只出现在非 线性动力学系统中混沌运动的定常状态不是通常概念下确立性运动的三 种状态t 静止( 平衡) 、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限于有限 区域且轨道永不重复的、性态复杂的运动混沌运动还具有通常确定性运动 所没有的几何特征和统计特征如局部不稳定而整体稳定，无限自相似， 连续功率谱，奇怪吸引子，分维，正的l y a p u n o v 指数和正的测度熵等等 其中l y a p u n o v 指数是用来定量刻划混沌运动的f 2 1 】，我们将其作一简要介 绍 为简单计，我们在此只讨论一维情形对一维离散映射 毛件1 = ，( z n ) 来说，只有个拉伸成压，缩方向考虑初值点z o 和它的近邻：c o + 如，用 ，p ) 作一次选代后，它们之间的距离为如l = f ( x o + 嘲一f ( x o ) ) 如， 经n 次选代后会指数分离。于，是原来相距为缸的两点，经过n 次选代后 其距离变为 缸。= i ，( 劫+ 缸) 一，( 知) i = e “1 恼) 缸 1 2 m e l n i k o v c h a o so f b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a f 艳si no p t i c a l l e t t i e e s 当取极限缸一0 ，n 一时，上式变为 川= 扣丛业髦业i = 扣堂掣i 蜘 ( 1 厕 由于在实际中上式与初始点无关，因此( 1 2 8 ) 式又可写成 a _ 一t , n ：耋i n i 差b ( 1 卿 式中的a 称为l y