（应用数学专业论文）奇异和非奇异一阶周期系统的多重解.pdf

摘要 本文的第一部分主要建立了奇异一阶周期系统 ；箔= = 三嚣；粥三篮黧：鬻 ， i 俅) + 口2 ( t ) f ( t ) = ，2 ( ，。( ) ，f ( ) ) ， 、7 啦o + t ) = m ( t ) ， 0 + 正z ，y ) = ，i ( t ，z ，) ，i = 1 ，2 ，t 0 ( 1 2 ) 的多重正解，其中扰动项五( ，z ，) 0 = 1 ，2 ) 在点( 。，y ) = ( 0 ，0 ) 处具有奇性，但是这部分 的结果也适用于更一般类型的扰动证明了在适当的条件下这个问题至少存在两个解 第一个正解的存在性是利用非线性l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理得到的，第二个解是利用 k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理得到的 本文的第二部分主要建立了离散一阶周期系统 a y ( i y ( i ) i a 2 “( i i 二篮黧绷引一+ s ， i) =) 一止( t ，z ( ) ，f ( i ) ) 】， 、 a k ( i + t ) = o i ( ) ， ( t + e z ，y ) = ( i ，z ，y ) ，k = 1 ，2 ，t 0 ( 1 4 ) 的多重非负解，并利用锥不动点定理证明了在适当的条件下这个问题至少存在两个解 关键词：周期问题； 正解；l e r a y s c h a u d e r 抉择定理； 锥不动点定理 a b s t r a c t i nt h ef i r s tp a r t ，t h i sp a p e ri sd e v o t e dt oe s t a b l i s ht h e m u l t i p l i c i t yo f p o s i t i v es o l u t i o n s t of i r s to r d e rs i n g u l a rp e r i o d i cs y s t e m s 渊浆然器僦 ， i ( t ) + c 匕( t ) 口( t ) = ( t ，茁0 ) ，( t ) ) ， 、7 啦0 + t ) = 啦( ) ，五o + z z ，可) = 五( f ，z ，分) ，i = 1 ，2 ，t 0 ，( 1 2 ) w h e r e 五( ，z ，9 ) 0 = 1 ，2 ) m a yb es i n g u l a ra t ，9 ) = ( 0 ，o ) ，t h er e s u l t sm a ye x t e n d t om o r eg e n e r a lf o r mo f1 i ti s p r o v e dt h a ts u c hap r o b l e mh a sa tl e a s tt w op o s i t i v e s o l u t i o n su n d e ro u rr e a s o n a b l ec o n d i t i o n s t h ee x i s t e n c eo ft h ef i r s ts o l u t i o ni so b t a i n e d b yu s i n gan o n l i n e a ra l t e r n a t i v eo fl e r a y - s c h a u d e r ，a n dt h es e c o n do n ei sf o u n db yu s i n g ak r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s i nt h es e c o n dp a r t ，t h i sp a p e ri sd e v o t e dt oe s t a b l i s ht h e m u l t i p l i c i t yo fn o n n e g a t i v e s o l u t i o n st of i r s to r d e rn o n s i n g u l a rp e r i o d i cs y s t e m s a y ( i ：三粥踹二麓黧勰涎引一+ 嘲 s ， i) = ( ) ( ) ，2 ( 1 ，z ( ) ，( 洲， ” a k ( i + t ) = o ( i ) ，a ( i + t z ，y ) = a ( i ，z ，) ，k = 1 ，2 ，t 0 ( 1 4 ) t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n si so b t a i n e db yu s i n gak r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e mi n k e yw o r d s ：p e r i o d i cp r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；l e r a y - s c h a u d e ra l t e r n a t i v e ；f i x e d p o i n tt h e o r e mi nc o n e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意 学位论文作者签名；、嚣自绪日期：2 塑z ，互：呈至 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即；东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名；鱼殖指导教师签名：蓝兰f 盍 日期；2 匾! 耋! 丝日期：1 2 蔓鱼： 学位论文作者毕业后去向t 工作单位：老醯鱼建魉 通讯地址：西盛槎垂接玎参 电话；硅坠堡搠j 邮编t f 理吐! 第一章引言 本文考虑了奇异一阶周期系统的扰动 i 一( t ) + a 1c t ) z ( o = ，1 ( t ，。o ) ，u c t ) ) ， if ( t ) + o ( t ) y c t ) = ，2 ( t ，茹( ) ，y 0 ) ) ， 啦 + t ) = 啦( t ) ，i o + 正毛) = 五( t ，z ，) ，i = 1 ，2 ，t 0 的多重正解，其中扰动项五( ，曩，) 0 = 1 ，2 ) 在点( z ，y ) = ( 0 ，0 ) 处具有奇性 论了离散一阶周期系统 ia x ( i ) = z ( z ) 【o ( i ) 一 “，z 0 ) ，可0 ) ) 1 ，i z ( - o o ，+ 。) la y ( i ) = y ( i ) a 2 ( i ) 一，2 ( ，x ( 0 ，( t ) ) 】， ( 1 1 ) ( 1 2 ) 同时也讨 ( 1 3 ) 口k ( t + t ) = o k ( i ) ，a ( i + e o ，9 ) = a ( i ，$ ，) ，k = 1 ，2 ，t 0 ( 1 4 ) 的多重非负解 在过去的二十年里，许多作者研究了奇异周期性问题及具有界变差的离散方程周期 非负解的存在性，参见【1 - 5 ，7 - 9 ，1 1 1 4 ，1 7 - 1 8 及其参考文献文【1 4 】应用m a w h i n 连续性 定理，文 1 7 ，1 8 】利用k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理研究了( 连续情形) 方程 a x ( i ) = z ( ) 陋( ) 一y c i ，x ( o ，( 1 ) ) 】，i z ( 一，+ o 。)( + ) 的单一周期非负解的存在性但很少有文章研究方程组( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的多重周期非负解的 存在性文【1 5 研究了具周期收获储存单种群离散人口模型的周期解，文【16 】利用 m a w h i n 连续性定理给出了方程( + ) 单一周期非负解的存在性 受上述工作的启发，本文根据【1 3 ，1 4 】我们研究了问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 并证明了此问题存 在两个不同的正周期解，见定理2 2 1 和定理2 2 2 同时也研究了方程组( 1 3 ) 一( 1 4 ) 的 单一和多重周期非负解的存在性，见定理3 2 1 和定理3 2 2 文章共分为三部分首先是引言部分，介绍论文写作背景和要研究的问题，第二部 分利用非线性l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理和k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理给出了奇异一阶 周期系统的多重正解，并给出了具体的应用第三部分利用锥不动点定理建立了离散一 阶周期系统的多重非负解的存在性定理及其应用 1 第二章奇异一阶周期系统的多重正解 2 1 预备知识 引理2 1 1 假设h c ( r ，r ) ，h ( t ) = h ( t + t ) ，詹a ( t ) d t 0 ，则下列问题 一+ n ( t ) z = ( t ) ， ( 2 1 1 ) 至少存在一个解z ( t ) 使得z ( t ) = z o + t ) 且有 z ( t ) = ( 训( ) 2z g ( t ，s ) h ( s ) d s ，( 2 _ 1 2 ) 这里 g 小= 羔e j o 鼍， ( 2 ) ”一l 是格林函数 注2 1 1 在本文中，若a20a e 【0 ，1 】且在一个正测集上为正，记作a 卜0 ，并且 记a2 r a 。i n i c ( t ，s ) l 和b2t 嘴l g ( t ，s ) l 令 a + = ael 1 ( 。，丁) ：z o t a ( t ) d r 0 ) ，a 一= n l 1 ( 。，? ) ：t n ( ) d t a 0 且0 以 1 当风( t ) = 1 时，易知( 2 1 4 ) i 存在唯一非零解批，并且 i t + t w i = f g i ( ，s ) d s ，i = 1 ，2 2 为了得到问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的第个正解，我们将需要用到文【1 1 】中的l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理作为我们的引理给出 引理2 1 2 1 1 1 1 假设k 为b a n a c h 空间e 的一个凸集，q 为耳的一个相对开子 集，0 n ，映射a ：孬一k 是一个紧映射，则下面二者之一成立； ( j 4 1 ) 以在磊中有一个不动点； ( a 2 ) 存在茁a q 和0 ( 0 ，0 ) ( 或( z ，y ) ( 0 ，o ) ) 时，就说一个向量( z ，y ) 是正的( 或非负的) 在下面的应用中，取x 1 = x 2 = e ( r ，r ) ：z ( t 4 - t ) ：( t ) ，t r ) 有上确界模 ”且定义 k = z 咒：z ( ) 0 对任意t 0 ，t 】且r n j n x ( t ) o - , l l x l l ，i = 1 ，2 ，( 2 1 6 ) 这里以如( 2 1 5 ) 中所定义的令x = x 1 ，k = k 1 k 2 ，则( x ，| | i i ) 是一个 b a n a c h 空间，是x 中的一个锥 现在假设只： 0 ，卅x r r r 是一个连续函数，g i ( ，s ) 最( t ，z ，口) 0 ，v ( t ，s ) 【0 ，卅【0 ，t 】，( 。，y ) r 2 定义算子t ：x x 为( v ( x ，y ) x ) ，c t + r，+ t 、 t ( z ，g ) ( t ) = ( g l ( ，s ) v l ( 8 ，z ( s ) ，y ( s ) ) d s ，g 2 ( ，s ) 足( s ，z ( s ) ，y ( s ) ) d s ) ( 2 1 7 ) 引理2 1 4 算子丁的定义有意义且把x 映入中，并且t 是连续且是全连续的 证明；易知t 是连续且是全连续的 下面证明t ：x k 因为 rt+丁tt+tf t + t 上g 1 ( ，s ) f k 8 , z ( s ) ，y ( 8 ) ) 出2 上i c z ( ，s ) f l ( 邓( s ) ，y ( s ) ) l d s a a 上i f l ( 87 x ( 8 ) ，( s ) ) 胁 且 f t + t一+ rf t + r g 1 0 ，s ) f l ( s ，z ( 5 ) ，y ( s ) ) d s = i g l ( t ，s ) e 1 ( s ，( s ) ，y ( s ) ) l d s b l 1 日( s ，z ( s ) ，y ( s ) ) l d s j t j t j t 3 所以。 r t + t g 。( t ，s ) n ( 舭( s ) ，| ，( s ) ) d s i i _ 0 ，i = l ，2 ，对任意t 【o ，刀，( 茁，可) 【0 ，o o ) 2 d ) 且 对每个常数l = ( l 1 ，l 2 ) 0 ，存在一个函数九l 1 【o ，7 1 l 1 【o ，卅，九卜o 使 得( i f l ( t ，岔，y ) l ，i ，2 ( ，茹，y ) 1 ) 九( t ) ，对任意( t ，z ，g ) 【0 ，t 】( 0 ，l 1 】x ( 0 ，l 2 】这里 e l = ( 观，2 ) 卜0 是指对任意t 【0 ，列，c l ( t ) o 且对一个正测度子集上的任意t 来说，c l ( t ) 0 ； ( 1 t 2 ) ( t ，z ，f ) c ( o ，卅x ( o ，o o ) 2 o ) ) ，r ) ，且在【0 ，o o ) 2 o 上，存在连续的 非负函数皿( z ，y ) 和垃( z ，y ) 使得对任意( z ，) 1 0 ，o o ) 2 0 ) ， ，i ( t ，z ，口) i 鲰p ，y ) 4 - ，! ，) 且在【0 ，o o ) 2 。) 上鲰 0 连续非增，在【0 ，o o ) 2 上乜0 连续， 在【0 ，o o ) 2 o 上鲁非减，i = 1 ，2 ； ( 风) 在【0 ，o o ) 2 d ) 上，存在连续非负的函数磊( z ，y ) 和危( z ，y ) 使得对任意( ，口) 【0 ，o o ) 2 0 ， i 五( ，z ，f ) i 或缸，) + 旭0 ，可) ， 且在亟 0 足不增的，当是不减的，i = 1 ，2 ； ( 凰) 存在一个正数r 使得 而百而弓瓣 i i o 。l l l , 丽忑而- 孺 i p 2 “； ( 风) 存在一个正数r r 使得 ；i i i 五页i r ：1 瓣l p ，磊i 五_ 丽i - r i j 孺i | u z m 定理2 2 1 假设( h 1 ) ，( 屯) ，( 4 ) 成立，则“j ，一一圳至少存在一个正解 证明：我们将利用l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理和一种摄动技巧来证明存在性 令n o = n o ，n o + 1 ，其中选取n o 1 ，2 ，) 使得 1 1 u , 1 1 引a - r ，。) ( 1 + 等器) + i 1 ni | 地l | 卯( 。，观r ) ( 1 + 虫h 2 ( r , ，r ) ) ，i + 磊1 0 ，对任意t f o ，卅，z ( ) ；且y ( t ) ；1 再由引理2 1 4 知 r z ( t ) 元14 仃，i i z 一；+ 盯- ( r 五1 ) a i r ( 2 2 4 ) 选取满足三一1 r n n o 又由于詹钉l g - ( t ，8 ) l d s = i ”g ，( t ，s ) d s i = i i u - 则应用( 2 2 4 ) ，从条件( k ) 中 可知，对任意t 【o ，明， z ( t ) = a 丘”g l ( ，s ) i r ( s ，z ( s ) ，y ( s ) ) d s + i j ? + ri g l ( t ，5 ) | f ( s ，z ( 5 ) ，y ( s ) ) l d s4 - ： 詹+ ti g ( t ，s ) 1 9 1 ( s ) ，g ( s ) ) ( 1 + 鲁害 ；鲁黼) d s + g l ( a z r ，o ) ( 1 + 蒙高) 露+ 7l g l ( ，s ) l d s + 击 s f l u l i i 仇( 仃l n o ) ( 1 + 告器) 4 - 击 因此 ，、 吲佻l l u l l l g l ( 叭o ) ( 1 + 揣) + 磊1 这与n o 的取法矛盾，从而v a 【0 ，1 】，( 2 2 2 ) 中的任意不动点( x ，y ) 一定满足i | ( z ，y ) l i = r 从这个结论中看出，l e r a y - s c h a u d e r 非线性抉择定理保证了( 2 2 2 ) ( a = 1 ) 在 毋= ( z ，y ) ：i i ( x ，) i i 0 和任意n n o ， ( z ：，蟊) i | h( 2 2 6 ) f t + t1 z n ( t ) 2 上g 1 ( t ，s ) f 7 ( s , ( s ) ，鼽( s t - i ， 则 z ：( t ) = 开( t ，( ) ，y n ( ) ) 一a l ( t ) x 。( t ) 从而有 i i = “心l z ：( ) i m a i x i 圩( ，z 。( ) ，( ) ) i + i a l ( t ) l l x n ( t ) b 由五及皿的连续性以及1 1 z 。i isr 知，存在h 1 0 使i i z 。l l 日1 类似地，也 0 使i l y l l 日2 从而有 l i ( ，以) i i 日= m a x 吼，现) 因此由i i ( x 。，鼽) l i r 及( 2 2 6 ) 说明 ( ( ) ，鼽( ) ) 。e o 在【o ，列上是有界的而且等度连 续由a r z e l a - a s c o l i 定理可知 ( z 。( ) ，蜘( ) ) ) 。n o 存在一个子列 ( z 。( ) ，。( ) ) ) k ，在 0 ，卅上一致收敛到( z ( t ) ，( ) ) c o ，t 】c l o ，明对任意t ，有5s ( 。( t ) ，( ) ) ( l r ) 而且( 。( ) ，蜘。( t ) ) 满足积分方程 fz 。( t ) = 露”g z ( t ，s ) f x ( s ，z 。( s ) ，。( s ) ) d s + 去， i 蜘。( ) = 矗+ 7 g 2 ( t ，s ) ，2 ( s ，靠。( s ) ，蜘。( s ) ) d s + ； ： 令k o 。，则有 ( 。( t ) ，g ( t ) ) ：( f 舸g l ( t ，s ) a ( s ，( s ) ，9 ( s ) ) d s ，f 们g 2 ( t ，s ) ，2 ( s ，z ( s ) ，( 。) ) d s ) ，( z ( t ) ，g ( t ) ) = ( ， ，( s ) ，9 ( s ) ) d s i f g 2 ( t ，s ) ，2 ( s ，z ( s ) ，( s ) ) d s ) ， 其中用到了五( t ，z ，y ) 在【0 ，卅陋1 ，r 】 a 2 ，r 上的一致连续性质所以，( 。( ) ，( ) ) 是 ( 1 1 ) 的个正周期解 7 最后不难证明i l ( z ，耖) l | r 否则，若有8 p ，y ) lj = r ，同第个结论的证明相类似， 将得到一个矛盾定理2 2 1 的证明完毕 定理2 2 2 假设( h ) 一( 如) 成立。则除了定理3 1 中构造的解( z ，) ，问题口纠一一纠 还存在另一个正解 证明t 首先有 t ( z ，y ) ij j i ( x ，口) j iv 0 ：，y ) k n a n l ，q l = 耳 事实上，若z kna q l ，则l i ( x ，y ) l l = r 利用与证明( 2 2 4 ) 时相同的思想，可得到 i i t ( x ，y ) i i r 定理2 2 2 证毕 8 2 3 应用 为方便起见，记 ，l _ m a x l f ( 。) ) ，：2 墨耕m ) ， 其中，( t ) 是一个连续函数，t 【o 卅 考虑系统 ；罱= = 三昌黧三乏霉墨：舄= = ：篡搿墨= = y 9 2 器j 挺【0 孔c z 。t ，i 矿( ) + 0 2 ( t ) g ( t ) = 6 2 ) ( 舻+ ，2 ) 一”+ p 2 q ( ) ( 妒+ ) 伪， 、。 其中n 。 0 ，屈0 ，m ( t ) n - 0 ，瓯( t ) ，臼( t ) c o ，列都是非负p 周期函数“是正参 数( i = 1 ，2 ) 推论2 , 3 1 对系统俾3 ，j j ，有下面的结果： 俐若成 ( 0 ，0 ) ，偿，j ，至少存在一个正解； 一砂若风 ；，a = 1 ，2 ) ，则对每个( 0 ，0 ) l ，) ( 硝，越) ，俾3 砂至少存在一 个正解，其中( 啦，店) 是解中的某个常数 证明；证明过程中将用到定理2 2 1 为证明这个结果。在假设( 日1 ) 中，取 l 0 ) = ( 6 i l i 2 “，6 1 l i “2 ) ， 为验证( 玩) ，可取 g i = 酵( z 2 + y 2 ) 一越，鬼= 以( 茹2 + y 2 ) 风， i = l ，2 显然，( 日t ) ，( f 2 ) 成立 下面证明 ( t ，z ，y ) ( i = 1 ，2 ) 满足条件( 凰) 现在存在性条件( 凰) 变为 胁 鞴，：， 协s 力 胁 0 ，则( 2 3 1 ) 至少存在一个正周期解( t 1 ，y 1 ) ，这里( 0 ，0 ) ( p 1 ，脚) o ( i = 1 ，矽，则对每个 ( p l ，t a ) ，( 0 ，0 ) 0 ，i = 1 ，2 为验证( 凰) ，可取 吼= 醒( z 2 + 可2 ) 一啦，瓢= 以4 ( 矿- 4 - z 2 ) 风， t = l ，2 显然，( 风) 成立 现在存在性条件( 风) 变为 地淼渊， 1 2 ( 2 3 3 ) 地2 丽丽同耐归1 z 叫 因为屈 ；，当r 一+ o o 时，( 2 3 3 ) 右侧趋于0 因此，对任意给定的( o ，o ) 1 ，则对每个0 p 旷，偿只4 ，至少存在两个不同正周期解其中旷 是某个正常数 1 0 第三章离散一阶周期系统的多重非负解 3 1 预备知识 给定整数o b 且8 ( o ，0 ) ( ( 。，y ) ( 0 ，0 ) ) ，则称向量( z ，y ) 为正( 非负) 向量 本节最后给出一个在后面的证明中要用到的锥不动点定理： 引理3 1 1 1 1 9 1 设x = ( x ，i i i i ) 是b a n a c h 空间，k 是x 中的锥r ，r 是常数 且0 r r ，假定西：q r n k k ( 其中n r = d x ，l i z r ) ) 连续并且是全连续 算子，使得 一jz 西z ，v a 0 ，1 】，z k c i a 噶， o i ) 存在妒k o ) 使得z 垂z + j 妒，vo k n o f i r ，6 0 则西在k n z x ：r o i i 兄中存在一个不动点 注记3 1 1 ：在定理j ，中，若倒和r 砂被替换为 矗广z a c x ，v a 【0 ，l 】，z k n a q r ， 一砂存在妒 o 使得z 垂z + 劬，v z k n a 嘶，6 0 则圣在k n 扛x ：r ( i ) ，0 i s t 一1 求解方程组( 1 3 ) 一( 1 4 ) 的n 周期解等价于求解方程组 j 髫( t ) = 冀。g 1i ，蒯j ) o ，z o ) ，( 砒眦2 ) lv ( ) = 譬一1g 2 ( ，j ) f 0 ) 丘0 ，茹o ) ，f 0 ) ) ， 、 的n 周期解其中 g t c t ，：= 矗篓；薯黼，t s ，t + t 一，t = z ，z 易知，v j z i ，i 十丁一1 】有 a t ：= 丽荛j 币f 赫g t ( z ，j ) 丽墨吾端：= 风，t = ，。( 。z 。) 取以= a d b k ，则巩( = 1 ，2 ) 也满足( 3 2 1 ) 设 y = z ( i ) ：x ( i ) e ( z ( 一o 。，o o ) ，r ) ，。“4 - t ) = z 0 ) ) ( 3 2 4 ) 定义 l | ( z ，) i l = m a x 0 。 l ，i i 1 1 ，l i x l = s u p | z 0 ) l ：z y ，x = yx y ， 则( x ，”0 ) 是b a n a c h 空间 注意到( 3 2 2 ) 等价于算子方程 ( 。，y ) ；圣( z ，y ) ( 3 2 5 ) 其中面由下式定义( v ( 孔y ) x ) ： + t l+ r l 面0 ，) ( i ) = ( g l ( i ，j ) x c i ) f z ( j ，0 ) ，u ) ) ，g 2 ( i ，j ) p ( j ) h i j ，z 0 ) ，0 ) ) ) 。2 州 c a 2 6 1 显然。圣是连续的且是x 上的全连续算子 设k 1 = z y ：$ ( 1 ) 0 且x ( i ) 2 叮d l z l l ，k 2 = y ：可( ) 0 且u c i ) 0 2 i l y l l ，k = k l k 2 其中o 1 ，0 2 由( 2 1 ) 定义易证，耳是x 中的锥 引理3 2 1 假设条件( p ) 成立，则雪( k ) k 证明：对任意o k x ，有 + t li + t - 1 i l c z l l = 0 g l ( i ，j ) x ( j ) f l ( j ，z 0 ) ，y ( j ) ) l l b t 。o ) 0 ，z c j ) ，u c j ) ) j = i j = 4 + t 一1 + t l ( 西z ) ( ) = g z o ，j ) x ( j ) f l ( j ，z 0 ) ，y c j ) ) a 1 z ( j ) l d j ，z 0 ) ，0 ) ) 则 类似地有 因此有圣( z ，y ) k ( 却圣z i i 硼i i 垂z i l ( ( ) 勃卿i i = - 2 1 1 唧i i 定理3 2 1 假设条件( 尸) ，( p 1 ) ，( b ) 成立，则方程组印缈一一4 ，至少存在两个t 一 周期非负解 l ，9 1 ) ，( 2 2 2 ，y 2 ) 使得 0 l l ( z l ，9 1 ) i l 钆( i ) ，七= 1 ，2 ， 则存在0 0 由( 3 2 ，7 ) 得； 0 ，铷0 ) ，珈0 ) ) 2a l ( j ) ( 1 + e ) ，j z ( - o o ，o o ) ( 3 2 9 ) 令p = m i 啦a z l o t 一1 】跏( f ) 则有 z o ( i ) = ( 垂z o ) ( i ) 十南 = e 一，i + 。t ；一1g l ( f ，j ) 卸o ) 0 ，知0 ) ，y o u ) ) 4 - 西 譬- 1g t ( f ，j ) a l ( j ) ( 1 + ) 跏0 ) u ( 1 + e ) 譬一1g l ( i ，j ) o l o ) = p ( 1 + ) ， 即肛p ( 1 + e ) ，矛盾 下证 存在p 0 ，t a 圣钍，v t k n a 及0 s 1 ( 3 2 1 0 ) 假设( 3 2 1 0 ) 不成立，即存在u o = ( x 0 ，y o ) k n a 及0 s 知1 使得 u o 。a o 垂u o 不妨设a o 0 ，由于( ：g o ，y o ) k n 踟，且8 ( 如，y o ) l i = p ，不失一般性，设l i x o l i = p ，也 即坳z ( 一o 。，o o ) 有a l p 士o p ，因此由( b ) 的不等式有 0 ，z 0 0 ) ，如0 ) ) n 1 0 ) ，j z ( 一o 。，o 。) ( 3 2 1 1 ) 从而便有 z o ( i ) = a o ( 垂勋) ( i ) =k e i + r g l ( ，j ) x o ( j ) f l ( j ，z o ( j ) ，y o ( j ) ) i + t g l ( i ，j ) 0 1 0 ) z o ( j ) i ，+ ：t t 一1g 1 ( i ，j ) 口1 0 扫 = p ， 即i i x o l i = p p ，矛盾 现在由( 3 2 8 ) ，( 3 2 1 0 ) 及引理3 1 1 的注记3 1 1 知。算子西存在一个不动点 ( 卫l ，y 1 ) k 且r p 及 0 使得 ( i ，z ，y ) o k ( t ) ( 1 + s ) ，$ ，r l ，k = 1 ，2 令妒i ( 1 ，1 ) ，往证 t 西t 正+ 础，v u k n 触r ，6 0 假设( 3 2 1 3 ) 不成立，则存在u o = ( ；t o ，y o ) k n 舰r 及如0 使得 t 幻= 西咖+ 6 0 妒 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) 由于( z o ，y o ) k n a q r 且0 ( $ o ，y o ) l l = r ，不失一般性，设 l z 0 0 = r 则r 之x o ( i ) a i r 0 由( 3 2 ，1 2 ) 得 d ，跏0 ) ，u o ( j ) ) n 1 0 ) ( 1 + ) ，j z ( 一o 。，+ o o ) ( 3 2 1 4 ) 令p = m i 啦e z l o ? _ l lz o ( i ) 则有 x o ( i ) = ( c z o ) ( i ) + 南 = i f + ：t i g l ( 1 ，j ) z o o ) u ，x 0 0 ) ，y o ( j ) ) + 岛 i ；+ t ；g 1 ( i ，j ) 0 1 0 ) ( 1 + e ) x 0 0 ) p ( 1 + ) 譬g l ( t ，j ) 0 1 0 ) = 弘( 1 + e ) ， 即p p ( 1 + e ) ，矛盾 现在由( 3 2 1 0 ) ，( 3 2 1 3 ) 及引理3 1 1 知，算子垂存在一个不动点( x 2 ，抛) k 且 p i l ( z 2 ，啦) 0 r 这说明( z 2 ( t ) ，y 2 ( i ) ) 是方程组( 1 3 ) 一( 1 4 ) 的t 一周期非负解 注记3 2 1 ：在定理3 2 1 的解( z 1 ，y 1 ) 的存在性证明中，仅需假设条件( p ) ，( 尸3 ) 成 立且( p 1 ) 的第一个不等式成立对解( z 2 ，伽) 的存在性证明要求假设条件( p ) ，( p 3 ) 成立且( 最) 的第二个不等式成立 定理3 2 2 假设条件( p ) ，( 岛) 和( p 4 ) 成立，则方程组p 别一口，至少存在两个 丁一周期非负解扛l ，玑) 和( z 2 ，妇) 且使得 0 9 ( z l ，1 ) 0 p 0 ( z 2 ，l 陀) 8 1 5 证明t 由( 恳) 的第个不等式即 l i ms u p 丘( i ，z ，耖) 诹( t ) ，k = 1 ，2 ， z ，v i o 则存在0 r p 及0 0 ，西“+ 6 妒，v u k n a 啤，d 20 ( 3 2 1 7 ) 假设( 3 2 1 7 ) 不成立，则存在u o = ( x 0 ，y o ) k n 她及南 0 使得 u 0 = c u o + 矗1 | c ， 由于( x 0 ，y o ) k n 纰且i i ( z o ，y o ) l l = p ，不失一般性，设 i z o l i = p 则a l p z o ( j ) p ，巧z ( 一o o ，+ o o ) 再由( 只) 中不等式，有 0 ，z o ( j ) ，y o ( j ) ) a l ( j ) ，j z ( - c o ，o o ) ( 3 2 1 8 ) 令p = m i n i e z o t 一1 1x o ( i ) ，妒兰1 则有 x o ( i ) = ( c x o ) ( i ) + 矗 = 蒿一1 g ，( i ，j ) z o o ) i ，( d ，z o ( j ) ，珈0 ) ) + 南 譬。g 1 ( t ，j ) 0 1 0 ) z o ( j ) p 磐一1g 1 ( t ，j ) 0 1 0 ) 2 “ 1 6 即p “矛盾 现在由( 3 2 1 6 ) ，( 3 2 1 8 ) 及引理3 1 1 知，算予垂存在一个不动点( z l ，y 1 ) k 且 r l i 忙l ，9 1 ) i i p 这说明( 茹l ( t ) ，y 1 ( i ) ) 是方程组( 1 3 ) 一( 1 4 ) 的t - 周期非负解 再由( b ) 的第二个不等式即 l i ms u p ( i ，。，y ) p 及0 e 1 使得 a a ，z ，y ) sa k ( i ) ( 1 一s ) ，y r l ，= 1 ，2 ( 3 2 1 9 ) 若“= ( z ，y ) k n 8 q r ，至t l lc z ，v ) l l = r ，不妨设l i = 1 l = r ，与前面证明类似可证得 m ) u ，v u k n a n ra 【0 ，1 1 ( 3 2 2 0 ) 由( 3 2 1 7 ) 及( 3 2 2 0 ) 和引理3 1 1 的注记3 1 1 知，算子垂存在一个不动点( z 2 ，抛) k 且p 0 使得f ( c ) = s u p p ( o ，。) f ( p ) 由a l p z p ，a 2 p y “取矿= m i n 盯l ，晚) ，则有盯2 矿札p 2 ，所以有 ( t ，。，) = “( i ) ( i ) 2 + ( i ) 2 ) e 一( 2 ( 。) 2 帅( ) 2 2k ( i ) m i n 。e 【一芦2 ，纠詈 = “( i ) f ( p ) = 6 k ( i ) s u p 畦( o ，) m i n u e ( 卵) 。矿l 若 b k ( i ) m a x i z o t 一1 1 业b k ( i ) 2a k ( i ) ，i z o ，t 1 1 ，k = 1 ，2 则( p 4 ) 成立由定理3 2 2 上述结果成立 其中 若 例3 3 2 考查方程组 z “) = z 。；8 “? 一百i i j 与孑丽巧妻黔2 ，z ( - - o o , - - c o ) ( 3 3 3