（理论物理专业论文）量子绝热条件研究.pdf

中国科学技术大学硕士论文 摘要 本文中我们将讨论传统条件的不充分性问题，并在u ( 1 ) 变换不变的绝热展开的基 础上，给出并讨论了新的绝热条件。全文主要内容及安排如下： 在第二章中，我们将简单的回顾量子绝热定理及传统绝热条件并给出详细的证明及 推导过程； 在第三章中，我们将较为详细的讨论传统条件的不充分性问题； 在第四章中，我们提出了绝热轨道、绝热演化轨道及u ( 1 ) 不变的绝热轨道和绝热演 化轨道等概念，并在此基础上，通过( 1 ) 变换不变绝热展开，给出了新的绝热理论以及 绝熟条件，并进一步得到了与新的绝热条件相关的一个充分性定理。最后在这一章里用 两个具体例子分析讨论了新的绝热条件； 在第五章中，我们对新绝热条件中所包含量子几何势的几何性进行了较为深入的分 析并给出了一个“反直观 的图像； 在第六章中，我们给出总结与体会。最后，作为附录，我们回顾并评论了量子绝热理 论建立以来一些主要的较有影响的工作。 第i i 页 中国科学技术大学硕士论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ew i l ld i s c u s st h ep r o b l e m0 ni n s u 伍c i e n c yo ft r a d i t i o n a la d i a b a t i c c o n d i t i o n t h e nb a s e do n 【厂( 1 ) 一i i l v a r i a n te x p a n s i o n ，w ep r o p o s ea n dd i s c u s sn e wa d i a b a t i c c o n d i t i o n t h em a i nc o n t e n to ft h i sp 印e ra n di t sa r r a n g e m e n ta r ei 1 1 u s t r a t e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r 2 ，w ew i l lr e t r 0 s p e c tt ot h eq u a r l t u ma d i a b a t i ct h e o r e ma n dt h et r a d i t i o n a l a d i a b a t i cc o n d i t i o nw i t hi t sd e t a i l e dp r o o fa n dd e r i v a t i v ep r o c e s s ； i nc h a p 乞e r 3 ，、 r ew i l ld e t a i l e d l yd i s c u s st h ep r o b l e mo ni n s u m c i e n c yo ft r a d i t i o n a l a d i a b a t i cc o n d i t i o n ： i nc h 印t e r 4 ，w ep r e s e n tt h ec o n c e p t so fa d i a b a t i co r b i t ，a d i a b a t i ce v o l u t i o no r b i t ， u ( 1 ) 一i n v a r i a n ta d i a b a t i co r b i ta n du ( 1 ) 一i n v a r i a n ta d i a b a t i ce v o l u t i o no r b i t a n dw ea l s o r e c l a i mt h em e a n i n g so fa d i a b a t i ce v o l u t i o n b a s e do nc o n c e p to fu ( 1 ) 一i i l v a r i a n ta d i a b a 七i c e x p a n s i o nw ep r o p o s en e wa d i a b a t i cc o n d i t i o na n df h r t h e r m o r ep r o v eat h e o r e mr e l a t e d t ot h i sc o n d i t i o n a t1 a s t ，t h ec o n d i t i o ni si l l u s t r a t e db yt w oe x a 王i l p l e s ； i nc h 印t e r 5 ，w em a k ead e e pa n 猷y s i so nt h eg e o m e t 量i co fq u a n t u m g e o m e t r i cp o t e n t i a l c o n t a i n e di nt h en e wa d i a b a t i cc o n d i t i o n a n d 丘n a l l yw eg i v eo u ta ”c o u n t e r i n t u i t i v e e x a m p l ea b o u tt h ea d i a b a t i cp r o c e s s i nc h 印t e r 6 ，b r i e fc o n c l u s i o i l sa n de ) ( p e r i e n c e 龇ep r e s e n t e d a n d 丘n a l l y a sa na p _ p e n d i x ，w er e v i e wa n dc o m m e n to ns o m em a j o ri n f l u e n t i a lw o r ks i n c et h ee s t a b l i s h m e n t o fq u a i l t u ma d i a t b a t i ct h e o r y 第i i i 页 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：黑建迄 砷年多月4 日 中国科学技术大学硕士论文 第一章引言 量子力学自1 9 0 0 年建立至今，已经成为现代物理学的两大支柱之一。它在人类认识 物质世界的思维过程中引进了崭新的革命性的框架，成为人类拓展认识疆界的利器。量 子力学已经在认识各个物质层次( 微观粒子、凝聚态物质、星体乃至整个宇宙) 的物理规 律方面扮演了核心作用。与此同时，量子力学也是人类改造世界、创造物质文明的利器： 没有量子力学，现代物质文明的物质成就是无法想象的。原子能的应用、超导超流的认 识和利用、半导体技术的大规模发展等等，无一不是量子力学的产物。 量子绝热定理和量子绝热近似是量子理论中重要结果和重要思想之一f 1 ，2 ，3 ，4 】。量子 绝热定理自1 9 2 3 年建立以来，人们在对量子绝热过程的深入研究中发现了l a n d a u z e n e r 跃迁 5 1 、g e l l - m a 1 1 n - l o w 定理【6 1 、b e r r y 相及和乐【7 ，8 】等一系列重要结果。近来又有 不少研究工作利用量子绝热过程实现量子控制以及量子计算【9 ，l o ，1 1 ，1 2 】。然而，2 0 0 4 年 及2 0 0 5 年相继有作者指出f 1 3 ，1 4 1 ，传统的绝热近似条件 1 5 ，1 6 ，1 7 1 无法保证绝热近似成 立。在此之后出现了各种各样的猜测和新条件，继而引发了一系列的混淆和争论。f 1 8 l 认 为传统绝热条件仍然没有问题，【1 9 】认为条件的不成立不意味着绝热定理的失效，f 2 0 】得 到了一些新的条件却与系统的演化过程相关，不便于应用。【2 1 】也得到了一些新的条件， 但要么过于平庸丽没有实用价值，要么过于严格而失去应用意义。f 2 2 】虽然也采用了绝 热微扰展开，但由于所采用的展开基矢不合适，不能使绝热过程所包含的新物理内容显 现出来，最终未给出合适条件。【2 3 1 指出传统条件具有局限性但并未给出合适条件。所有 的这些的混淆与争论充分意味着，传统绝热条件是有着较大的局限性，需从绝热过程所 包含的核心思想出发，给出新的便于操作的绝热条件。 在本文中我们将讨论传统条件的不充分性，并在( 1 ) 变换不变展开的基础上，给出 并讨论了新的绝热条件。全文组织如下：( 1 ) 在第二章中我们将简单的回顾量子绝热定理 及传统绝热条件：( 2 ) 在第三章中，我们将讨论传统条件的不充分性问题；( 3 ) 在第四章 中，我们提出了绝热轨道、绝热演化轨道及u ( 1 ) 不变的绝热轨道和绝热演化轨道等概 念，重申了绝热演化的含义并在( 1 ) 变换不变展开的基础上给出了新的绝热条件，并进 一步得到了与此新的绝热条件相关的一下充分性定理。并在这一章里用例子具体的分析 讨论了新的绝热条件；( 4 ) 在第五章中，我们对新绝热条件中所包含量子几何势的几何性 第l 页 中国科学技术大学硕士论文 进行了较为深入的分析并给出了一个“反直观 的图像。( 5 ) 在第六章及附录中，我们回 顾并评论了量子绝热理论建立以来一些主要的较有影响的工作并给出了总结与体会。 我们的研究结果揭示了，在量子绝热过程中包含了除了传统上人们认为的几何性质 一一b e r r y 相一一之外的新几何性质；而且我们的结果进一步揭示了，一个“恰当”的 “物理 的展开基矢的选择有助于发现物理过程中新现象。在新绝热条件的得出与讨论中 贯穿着“不变量”的主线，一个是绝热过程中的“无量纲量子数不变”的主线，一个是从 基矢选取，展开过程及新条件的“u ( 1 ) 不变性 的主线，从这两根主线出发使得我们能 得以一窥绝热过程中的新的物理现象。 第2 页 中国科学技术大学硕士论文 第二章量子绝热定理及传统绝热近似条件的简单回顾 本章简单的回顾传统上的量子绝热定理及传统绝热条件【1 5 ，1 6 ，17 】的导出。 2 1 量子绝热定理 假设哈密顿量从t o 时刻的某个起始值凰连续的变化到亡1 时刻的某个终值皿，我 们取 t = t l t os = ( t 1 一亡o ) t ( 2 1 ) 并用日( s ) 表示当亡= 岛+ s t 时的哈密顿的取值，它是s 的连续函数，并有 日( o ) = 凰日( 1 ) = 玩，( 2 2 ) 系统从芒。到l 的演化现在只取决于参数t ( 它用于度量从凰i 到凰的变化速率) 。为 了方便，取 u ( 亡，) = 坼( s ) ( 2 3 ) 于是在t o o 的极限情形，也就是无限慢地改变( 或绝热改变) 时，若系统最初处 于日。的瞬时本征态，则在以后要说明的某些条件下，它由此态连续地变为日1 的瞬时本 征态( 在时刻t 1 ) ，这个重要的结论就是通常所说的“绝热定理”更具体的我们可以将此 一传统绝热定理陈述如下【1 6 】： 我们假设日( s ) 的谱是分立的，用l ，2 ，0 ，标记日的本征值；p 1 ，岛，弓， 是到它们对应的子空间中的投影算符，设这些量都是s 的连续函数。另外我们假设： ( i ) 整个跃迁期间0 s l ，各个本征值都保持是不同的 勺( s ) 鼠( s ) ，卯助，忌 ( 2 4 ) ( i i ) 在整个间隔内，导数d 弓d s ，c f 2 弓d s 2 是确定的，而且是分段连续的。 演化算符e ( s ) 满足s c h r 6 d i n g e r 方程 z 危昙( s ) = t 日( s ) 坼( s ) ( 2 5 ) 第3 页 中国科学技术大学硕士论文 哈密顿量日( s ) 由下式给定： 日( s ) = j 喇弓( s ) 绝热定理指出坼( s ) 具有渐近特性： ( 2 6 ) 1 ；i m ( s ) 弓( o ) = 弓( s ) ，】1 1 理坼( s ) ( 歹= 1 ，2 ，) ( 2 7 ) o o 。f 回分两种情况来证明这个定理。 我们首先假设日( s ) 的每一个本征值的子空间保持不变： b ( s ) = b ( o ) = 弓g = l ，2 ，)( 2 8 ) 此时日( s ) 有简单的形式 日( s ) = i 白( s ) 弓 ( 2 9 ) 而且不论s 取何值，日( s ) 都和各个投影算符弓对易，因此每一个弓都是运动常 数： 踢( s ) b 璐( s ) = b( 2 1 0 ) 上式对任何t 都成立，对t o 。更必说。 此外( 2 5 ) 式可以精确地积分，并得出： 坼( s ) = e x p ( 一行z 5 日( 盯) 曲危) = ，e 一和) b ( 2 1 1 ) 为里，我们利用了符号 纵s ) 2 i ：咖) 打 ( 2 1 2 ) 因此我们得出结论：若系统的态矢量在亡。时刻是凰的本征值为勺( o ) 的本征矢量，则 在l 时刻的态矢量只和它相差一个位相因子e 一汀叻( 1 ) 。 其次在一般情形下，如果哈密顿量日( 5 ) 的本征矢量经受h i l b e r t 空间中的某个转 动，则s c h r 甜i n g e r 方程的精确积分就不再可能。处理这普遍情形的第一步是尽可能通过 适当的“表象变换消除此转运动。 为此，我们引入具有下列性质的幺正算符a ( s ) ： b ( s ) = a ( s ) b ( o ) a ( s ) 0 = 1 ，2 ，)( 2 1 3 ) 第4 页 中国科学技术大学硕士论文 幺正变换a ( s ) 使日( o ) 的任一组基矢转换成日( s ) 的一组基矢，使珂( o ) 的每一个本征 矢量变换成日( s ) 的一个本征矢量。 a ( s ) 由初始条件 a ( 0 ) = 1( 2 1 4 ) 和微分方程 i 嗉a ( s ) = k ( s ) a ( 5 ) ( 2 1 5 ) 明确地决定，其中k ( s ) 是一个合适的h e r m i t e 算符，满足( 2 1 3 ) 的充要条件是( s ) 服 从对易关系 哗( s ) ，马( s ) 】= t 汔d 马d s0 = l ，2 ，)( 2 1 辱) 因为这些式子可以直接从( 2 1 3 ) 式两边对s 微分来得到，所以是必要条件；它们又是充 分的，因为，由于a ( s ) 和p ( s ) 分别满足方程( 2 1 5 ) 和( 2 - 1 6 ) ，表示式 a t ( s ) 易( s ) a ( s )( 2 1 7 ) 对s 的微分为零。因此它等于初始值b ( o ) 。 关系式( 2 1 6 ) 没有确定k ( s ) ，如果在k ( s ) 上加上算符r ( s ) a ( 5 ) r ( s ) ，其中 ( s ) 是任意的与s 有关的算符，则它们仍然满足( 2 1 6 ) 。换句话说，投影弓( s ) ( s ) 易( s ) u = 1 ，2 ，) 可以任意固定，由于一些立即可以看清楚的理由，我们强加如下的附加条 件来消除这种任意性： 这样就给出 弓( s ) k ( s ) 弓( s ) = o 0 = 1 ，2 ，) ( 2 1 8 ) k ( s ) = 访j ( d 马( s ) 如) b ( s ) ( 2 1 9 ) 幺正变换甜( s ) 使s c h r 6 d i n g e r “表象 的算符和矢量变换成一种新的“表象”( 即 “转动轴表象”) 的矢量和算符，可观察量日( s ) 变换成 日( ) ( s ) = ( s ) 日( s ) a ( s )( 2 2 0 ) 借助( 2 6 ) 和( 2 1 3 ) ，得到 日( ( s ) = ；勺( s ) 弓( o ) ( 2 。2 1 ) 第5 页 中国科学技术大学硕士论文 同样地k ( s ) 变成 ( a ( s ) = a ( s ) k ( s ) a ( s ) 在这新“表象”中，演化算符是 ( 2 2 2 ) 【，( a ) ( s ) = ( s ) ( s )( 2 2 3 ) 它由 z 蒯u ( a ( s ) d s = ? 日( a ( s ) 一k ( a ( s ) u ( a ( s ) ( 2 2 4 ) u ( a ) ( o ) = 1( 2 2 5 ) 决定。 如果和t 日( a ) 相比，k ( a ) 可以忽略，则方程( 2 2 4 ) 的积分是很容易的，于是我们就 得到了前面讨论过的最简单的情形，用皿t ( s ) 表示所得到的s c h r 6 d i n g e r 方程的解： i 危d 皿t d s = t 日( a ( s ) 、p t ( s )( 2 2 6 ) 皿t ( o ) = 1( 2 2 7 ) 我们得到 皿t ( s ) = je 一弛8 惚( o ) ( 2 2 8 ) ( s ) 仍由( 2 1 2 ) 式决定。 然而，由( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 可以看到，日( a ) ( s ) 和k ( a ) ( s ) 与t 无关。因此在t _ o 。 的极限下，可以认为( 2 2 4 ) 右边k ( a ) 的影响将完全被t 日( a ) 所掩盖，从而( ，( a ( s ) 将 趋向于雪r ( s ) 。我们将会看到这确实如此。因此，由( 2 ，2 3 ) 有 坼( s ) t a ( s ) 皿t ( s ) 为了证明这个结果，我们先作一个新的幺正变换，并取 兰霍 ，( a ) = 皿 a 从( 2 。2 4 ) 和( 2 ，2 6 ) 出发，我们很容易导出这一新的幺正算符所满足的方程。 式是 ( s ) = 1 + 去z 。霞( 口) w ( 盯) d 伊 第6 页 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 它的积分形 ( 2 3 1 ) 中国科学技术大学硕士论文 其中 元( s ) 兰雪 ( s ) k ( a ( s ) 皿t ( 5 ) = 皿 a k 4 雪?( 2 3 2 ) 我们将证明核露( s ) 是一些频率随t 无限地增长的振荡函数之和，因而当t _ o 。 时，v o l t e r r a 方程( 2 3 1 ) 式右边的积分趋于零。 在能量表象里，由( 2 1 3 ) 、( 2 2 8 ) 及( 2 3 2 ) 得 j 髟南= e x p ( i 矿1 t 片( 勺( 口) 一g 惫( 仃) ) d 仃) 霹拿三t ( 协一怠巧 【巧拿= a ( s ) b ( s ) k ( s ) r ( s ) a ( s ) 由( 2 1 8 ) 式有 砀= o = 1 ，2 ，) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 现考虑算符 f ( s ) 三霞( 仃) 如 ( 2 3 5 ) 根据( 2 3 4 ) ，其对角元素全是零： 勖= 0( 2 3 6 ) 非对角元素由下式给出 啄= 卜汀( 竹咄) 霹耋如忌) ( 2 3 7 ) ，o k 篥与t 无关，是s 的连续函数。但是指数的位相与t 有关，将其分部积分后有 删= 廿睁，方篓鼬懒胂 昙( 篓州 3 8 ， 此处我们合理的设定，斛拿、勺和“对s 的微商保持有限，则括号内的式子也是有限 的，因此乃尼( s ) 将和1 t 一样渐近地趋于零，从而我们有 f ( s ) = d ( 亭) ( 2 3 9 ) 现在，( 2 3 1 ) 式右边的积分经分部积分后可以写成： f ( s ) w ( s ) 一去8 f ( 盯) 露彬( 仃) 拈 ( 2 4 。) 这里，我们已经考虑到方程式 警= 去枷 ( 2 4 1 ) 一= 一，、v y l 二哇 d s凡 第7 页 中国科学技术大学硕士论文 ( 2 4 0 ) 式的两项都包含因子f ，因此当t 一时它们像1 t 一样趋于零，其结果是 w = 1 + d ( ；) ( 2 4 2 ) 将( 2 。4 2 ) 式代入w 的定义式( 2 3 0 ) 式，得到 ( s ) t 二) 吲s ) 1 + 。( ；) ( 2 t 4 3 ) 这样就完成了( 2 2 9 ) 式的证明。 因为皿t ( s ) 和投影算符弓( o ) 对易( 见( 2 2 8 ) 式) ，并且注意到幺正算符a ( s ) 满足 ( 2 1 3 ) 式，则有 a ( s ) 霍t ( s ) 弓( o ) = 弓( s ) 4 ( s ) 皿r ( s ) b ( o )( 2 4 4 ) 因此渐近公式( 2 ，4 3 ) 式确实证明了关系式( 2 ，7 ) 式，从而证得了绝热定理。 2 2 传统绝热近似条件 假设系统哈密顿为日( t ) ，其瞬时本征态完全集为 f 妒m ( ) ) ，m = 1 ，2 ，) 及相应的 能量本征值为 e 仇( 亡) ，m = l ，2 ， ，亦即 日( t ) l 妒m 0 ) ) = 酰 ) i 妒仇 ) )( 2 4 5 ) 显然此处的瞬时本征态l 妒m ( t ) ) 允许差一个任意含时相因子且所有的这些瞬时本征态构 完备基。我们选取这样的规范，使得对这里的每一个瞬时本征态l 妒m ( t ) ) 都有 ( 妒m ( t ) l 驴m ) ) = o ( 2 4 6 ) 则此时( t ) 满足 l ( ) ) = e 一露k 洲赢( c ) ) f 眈( ) ) ，日( ) l m ( ) ) = 风( 亡) f 撒( 亡) ) ，m = l ，2 ，( 2 4 7 ) 取系统一般演化态为i 妒( ) ) ，假定系统初始处于第m 能级上，亦即l 舻( o ) ) = i 妒m ( o ) ) 。将 一般演化态用完备基 妒仇0 ) ) ，m = l ，2 ，】l 展开有 f 妒( t ) ) = c m ( ) e 一菇打l 妒m ( ) ) ，c m ( o ) = l ( 2 4 8 ) 第8 页 中国科学技术大学硕士论文 代入s c h r 6 d i n g e r 方程后有 掣+ ( 州圳洲拼e 嘣晰隅) 打础) = o ( 2 4 9 ) 亦即 ，t “幻- 1 一三z 蛐删) ) e 嵋p 卜刚删如) ( 2 5 0 ) 系统作绝热演化，亦即要求系统继续保持在第m 个能级上，亦即要求l c ，l ( t ) l 1 ，即要 求有1 1 一( 亡) i 1 。对上式作一阶迭代近似后有 1 1 - 蠢i = 睦弘( 矗m ) ) e 皤喝i 1 ( 2 5 1 ) 进一步要求有 l 。打( ( 丁) i 钆( 丁) ) e 呵( p 卜晶p ) ) 如l 1 ( 2 5 2 ) 对上式作旋波近似后即得传统绝热近似条件【1 6 ，1 7 】 l 镰l 1m m ) ( 2 5 3 ) l 风( t ) 一( ) l “r ”一”7 p “叫 上式的直接物理意义可以直接表述为如若第m 个能级所对应瞬时本征矢的最大角速度 与第m 个能级所对应的最小b o 胁频率相比很小的话，那么我们可以认为系统从第m 个能级跃迁到其他能级的概率将很小从而可以认为此时系统有着较好的绝热近似。 第9 页 中国科学技术大学硕士论文 第三章传统绝热条件的失效及其讨论 本章简要的介绍传统绝热条件无法保证绝热近似的效成立【1 3 ，1 4 】的问题，并举例子 进行分析讨论。 3 1 传统绝热条件的失效 0 4 年有文章 1 3 】指出传统绝热条件无法保证绝热近似的有效成立，紧接着在0 5 年， 有文章 1 4 】以更明确的形式把传统绝热条件的失效性显现出来。【1 4 】中指出，对于能 级的哈密顿量为日口( 幻的系统o ，总能通过口系统的时间演符8 ( t ) ，构造系统6 ，使得 系统b 满足 日6 ( ) = z 矿口( ) u 吐( ) ( 3 i ) 取 l 礼。( 艺) ) 和 护( ) ) ) 分别为口和6 系统的瞬时本征态完全集，则其相应的瞬时能量 本征值集分别为 霹( ) ) 和 域 ) ，则由上式显然有 则我们有 礼6 ) ) = 矿8 ( ) f 礼口( ) ，磁( 茚= 一瑗 ) ，u 6 ( 丢) 矿口( )( 3 2 ) 。旧x 曲三烈：翟l 篇y 力渺吖力驴i 如胁印) 慨3 ，= i 职( ) 五聃+ ( 矿( t ) 晓d ( t ) ) 。 假定。系统初始处于f m d ( o ) ) 态上，则由( 3 ，2 ) 式，取6 系统初始态为f m 6 ( o ) ) 。蒋 ( 3 3 ) 式代入( 2 5 3 ) 式后有 j 鬻堵| | 器塔j c 圳p 4 ， f 琢矿葡万f5 琢鳓jw 碍m ) ( & 4 ) 第1 0 页 中国科学技术大学硕士论文 亦即，如若口系统满足传统绝热近似条件( 2 5 3 ) 式，则b 系统亦满足传统绝热近似条件。 我们假定。系统满足传统绝热近似条件且能保证。系统的有效绝热近似，亦即我们有 ( m a ( t ) l 沪( t ) i m 口( 0 ) ) l l( 3 5 ) 而此时对6 系统有 l ( m 6 ( ) lu 6 ( 亡) l m 6 ( 0 ) ) l = l ( m 6 ( ) lu 口+ ( t ) i m 6 ( o ) ) l ( 3 6 ) = l ( m a ( 亡) lu 口( t ) u 口( t ) i m 口( o ) ) i = l ( m 。( t ) im ( o ) ) i 亦即在一般情形下，对于6 系统不会有 i ( 舻( t ) l 扩( 圳m 6 ( o ) ) l l ( 3 7 ) 亦即，对任意的传统绝热条件可以有效保证绝热近似成立的有限维系统o ，我们总以通 过如上的构造方式，构造出6 系统，使得该系统虽然能够满足传绝热条件可是却无法保 证绝热近似的有效成立，从而我们可以得出结论，传统绝热条件在一般形下无法在保证 绝热近似的有效成立。下一节我们就此给出例子及相应计算。 为 3 2 例子及讨论 考虑口系统为一转动磁场与l 2 自旋的粒子相互作用的系统【1 4 】，系统的哈密顿量 日( 。( t ) = 一警( s i n 9 c o s 优+ s i n 口s i n 亡+ 吒c 。s 伊) ( 3 8 ) 其中蛳与时间无关由磁矩和外磁场强度共同决定，u 表示磁场的转动频率。而吼，i = z ，y ，z 是相应三个p a u l i 矩阵。很容易计算此系统的能量本征值及其相应的能量本征态 为 u g ( t ) ：e t 警矿z e t 譬( i 阱叮；( 伽p 嘴) ) 研( ) = 警，l 毋( t ) = 一警， 研( t ) ) = e 一警矿，e t 轨 l 霹( ) ) = e t 警口：e 一 第1 1 页 ( 3 9 ) ，、 f 口 中国科学技术大学硕士论文 则由( 3 1 ) 式，我们得到相应的6 系统的哈密顿量为日6 ( t ) = i 痧口+ ( t ) 泸( t ) ，由( 3 2 ) 式易 得 f 6 ( ) ：口( ) ：8 一t 譬( 盯zs t n p + 仃。( c 。s 嚣) ) 譬盯z 研c 芒，= 一警，f 研c t ，= e l 等笋c j z s i n 口+ 盯f c c 。8 p + 盖，e l ；口v ( ；) 。3 1 。， 磁c 。= 警，l 乏c t ，= e 一譬c s i 们押。c c o s 外靠，e 叫s 唧( 三) 由传统绝热条件( 2 。5 3 ) 式，对8 ，6 系统容易计算有如下绝热条件 u o u s i n 9 ( 3 1 1 ) 峨烈l 吲冷缸瞰唠 p 6 = l ( e i ( t ) l 妒6 0 ) ) 1 2 = 1 一s i n 2 口s i n 2 u t ( 3 1 3 ) 则由( 3 1 1 ) 式知，只要p 为有限大小，则无论u o 多小，当系统演化时间充分大的时候系 统总会朝着偏离绝热轨道的方向演化，从而传统绝热近似条件无法保证绝热近似的有有 效成立。 这里值得进一步指出的是，对于。系统本身，即便满足传统绝热条件，也无法在 所有情形下保证口系统的演化是绝热的。说明如下，假定口系统初始处于瞬时本征态 l 毋( o ) ) ，假定8 系统的一般演化态为l 妒口( ) ) ，则容易计算到亡时刻。系统仍保持在绝热 轨道l 研( t ) ) 上的概率为 这里面为 矸 i ( 碳圳州) | 2 = l 一学s l n 2 鲁t ( 3 1 4 ) 第1 2 页 中国科学技术大学硕士论文 白= 缅i 忑：万万 ( 3 1 5 ) 则，显然当护_ 7 r 时，只要u 和蛐量级相当，则显然此时能满足传统绝热条件 “，s i n 口，但是由( 3 1 4 ) 式的对口系统保持在原绝热轨道的概率计算，可知此时s i n 2 鲁为 一有限量，则显见，随着系统的演化，系统在此时显然是不能保持在原绝熟轨道上了。 第1 3 页 中国科学技术大学硕士论文 第四章新绝热近似条件 从上章的讨论我们可以看出传统绝热近似条件存在明显的局限与不足。在f 1 3 ，1 4 1 把传统绝热条件不充分性明显的指出之后，在此之后出现了各种各样的猜测和新条件，继 而引发了一系列的混淆和争论。 1 8 1 认为传统绝热条件仍然没有问题， 1 9 】认为条件的不 成立不意味着绝热定理的失效，【2 0 】得到了一些新的条件却与系统的演化过程相关，不 便于应用。【2 1 】也得到了一些新的条件，但要么过于平庸而没有实用价值，要么过于严格 而失去应用意义。【2 2 】虽然也采用了绝热微扰展开，但由于所采用的基不合适，不能使绝 热过程所包含的新物理内容显现出来，最终未给出合适条件。【2 3 】指出传统条件具有局 限性但并未给出合适条件。 为解决【1 3 ，1 4 】所提的原有绝热近似条件不充分性问题，并厘清其后一系列的混淆及 争论，在本章将提出绝热轨道，u ( 1 ) 不变的绝热轨道，u ( 1 ) 不变的绝热演化轨道，并在 u ( 1 ) 不变的绝热含时系数展开的基础上，给出并讨论了新的绝热条件 2 6 1 。 4 1 新的绝热近似条件 已知含时系统日( ) ，在t = o 时刻初态为i m ，o ) ，m 是初始量子数组。引入无量纲 时间丁= e m ( o ) t 危，e m ( o ) 为初态能量，记 ( 7 _ ) = 日p ) e m ( o ) 为无量纲哈密顿。则含 时s c h r 6 d i n g e r 方程的一般解为 2 i 掣鲥( 训吲呦，( 砒= o = l m o ) ( 4 1 ) i l 圣m ( 7 - ) ) = t e t 石 ( 入) d 入l m ，o ) 、 7 定义1 ：通过不同初态l n ，o ) 并满足方程( 4 1 ) 的动力学演化态i 圣n ( 7 ) ) ，随时间流 逝在态矢空间中描绘出一条条演化轨道，统称为系统 ( 丁) 的”动力学演化轨道”。 进一步，不论九( 7 ) 变化快慢，只要将下看成是某种固定参数，人们总可以求解满足 给定初条件i m ，o ) 的准定态方程 第1 4 页 中国科学技术大学硕士论文 九( r ) i 妒m ( 7 - ) ) = e m ( 7 一) l 妒m ( 7 ) )( 4 2 ) 得到此方程的“绝热解l 妒m ( 丁) ) ”和相应本征值e 仇( r ) = e m ( 丁) ( 0 ) 。 定义2 ：通过不同初态l 住，o ) 并满足方程( 4 2 ) 的绝热解l 妒n ( 1 ) ) ，随时间流逝在态 矢空间中描绘出保持系统 ( 丁) 无量纲量子数组不变的一条条轨道，统称为系统的”绝热 轨道”。 当然，即使初条件i m ，0 ) 相同，动力学演化轨道l 圣m ( 丁) ) 不一定就是或接近是绝热 轨道i 妒仇( 7 - ) ) 。反之亦然，绝热轨道也不一定就是或接近是动力学演化轨道。但由于九( 7 r ) 的厄密性，人们可以合理地认为，所有这些绝热轨道构成系统危( 7 ) 的绝热完备基。 记实数仇( 丁) 三t ( p ) l ( 7 ) ) ，这里右矢上的点代表对时间的微商，亦即1 9 m ( 7 ) ) 兰 著l 妒m ( 7 - ) ) 。下节即将证明，绝热轨道e 石狮m 冲i ( 丁) ) ，在l 妒m ( 丁) ) 的任意含时位相 变换下，确定到只差一个任意初始时刻相因子。于是可以有 定义3 ：只要初态l m ，0 ) 给定( 包括其相因子也给定) ，下面带相因子的绝热轨道 l 圣警口( r ) ) = e 一石f e m ) 一p ) 】如l 妒m ( 7 ) ) ，v m ( 4 3 ) 是u ( 1 ) 含时变换不变的，统称它们为”u ( 1 ) 不变绝热基”。 定义4 ：如果( 4 3 ) 式引垂譬。( 丁) ) ) 中的i t 肌( 7 ) ) 满足下面系列等式 ( ( 7 ) i ( 丁) ) = 0 ，m ( 4 4 ) 则相应的 l 圣警。( 丁) ) ) 是( 4 1 ) 式的动力学演化解。这时称这条绝热轨道为系统的”绝 热演化轨道”。 当然，( 4 3 ) 式这些绝热轨道一般不满足条件( 4 4 ) ，所以它们并不描述系统在给定初 条件下真实的动力学演化。就是说，绝热轨道般并不是绝热演化轨道。 一般说来，在任意演化中，由初态i m ，o ) 出发的动力学演化轨道l 量m ( 7 - ) ) 会在若干 根绝热轨道之间改变，甚至快速振荡。因此在演化过程中可能出现系统的某些量子数彼 此远离、接近、甚至交叉。从而引发系统在不同绝热轨道之间的跃迁。这种状况可用保真 第1 5 页 中国科学技术大学硕士论文 度f 来刻画， f 仃) = l ( 圣8 ( 丁) f 委m ( 丁) ) f ，瓶m ( 4 。5 ) 下面研究，当条件( 4 4 ) 不成立时，何时司将系统的一般动力学演化近似当作绝熬演 化。也即给出正确的绝热近似条件。将系统演化态用绝热不变基( 蟛口( 力) ，v m ) 作 变系数展开( 初条件c m ( o ) = l ，( o ) = 0 ，m ) l 雪m ( f ) ) = 芝二c n ( 丁) j 圣。( f ) ) ， 圣m ( 丁) ) ，：o = i m ，o ) ( 4 6 ) 代入s c h r 6 d i n g e r 方程有 ( 丁) = z 气p ) ( 圣警4 ( f ) i 番f 西垆口( 丁) ) ( 4 7 ) 则保持在绝热轨道i 西警d ( 丁) ) 上的概率为 晰) _ l 删2 = e 冲阶州仃) m 2 ( 4 8 ) 这里 m ( 下) 埘2 ( 西2 战( 丁) 卜茜i 圣严( 下) ) ( 4 9 ) 于是。系统绝热近似的充要条件为 r ( r ) 一1( 4 王o ) 这等价于要求复合矩阵的矩阵兀( ) m 仇的模长很小。物理上，这个条仵等价于要求 动力学演化轨道除向最近的一个绝热轨道( 雪( 下) ) ) 跃迁之外，向其它绝热轨道跃迁 的概率均可忽略。于是，按照概率归一j ( 丁) j 2 + l ( 丁) j 2 = 1 ，最低阶修正的焉( 7 ) 是 n m 晰) - 1 一三b 入 1 2 ( 4 1 1 ) 若要系统保持在绝热轨道l 西窖记盯) ) ，就有最低阶近似下的充分条件 z td a ( 西( a ) l 击2 ( 入) ) 1 2 _ 。，v n m ( 4 1 2 ) 进而得到如下充分条件， f l 酬州r ) | m 戤一 嬲 一1 ，m ”“ ( 4 1 3 ) 第1 6 页 中国科学技术大学硕士论文 第二个等号可由( 4 2 ) 式对时间求导得出，徇为系统演化持续时间。 显然，条件( 4 1 3 ) 过于苛刻，没有考虑( 4 1 2 ) 式积分中相因子正负振荡相消的影响。 对于l 募缸g 圣口( 丁) l 击学a ( r ) ) l 1 且f 去a r g ( 圣口( 丁) l 击警。( 丁) ) 圣口( o ) l 击乎口( o ) ) ) l 1 的一般情况，若要积分数值很小，被积函数的振幅要足够小，而相因子振荡要足够剧 烈，致使积分振荡相消。这时就有如下的一个弱化的充分条件 f 昙a r g l l l ( v 佗m ) ( 4 1 4 ) 将此式展开来，就得到下面微分形式的新绝热近似条件 卜) 一e 撕) + ( 一训r ) + 暑缸g ( 丁) ) l ( 丁) i ，v n m ( 4 1 5 ) 注意( 4 1 5 ) 式左边比传统绝热条件多出一项，称为系统的量子几何势，记作 m n ( r ) 三一mp ) 一n ( 丁) + 昙a r g m ( 丁) ) ( 4 1 6 ) 至于其他情况，比如积分( 4 1 2 ) 式中振幅和相因子双方振荡恰巧匹配，致使积分共 振相长( 而非相消) 的特殊情况，则应当回归至( 4 8 ) 或( 4 1 3 ) 式。此外，由( 4 1 2 ) 式， 被积函数相因子的变化值应当足够大于振幅积分。即得到另一个与演化路径相关的积分 形式的条件 l r 打 e n ( 盯) 一e 仇p ) + m n ( 盯) ) l z r 打l m ( 盯) l ，v n m ( 4 1 7 ) 下面我们要较为详细的分析上面由不变微扰展开所得到新的条件与不变量。 4 2 新绝热近似条件的分析 可以证明，量子几何势m n ( 7 ) 和绝热基 f 西窖记( r ) ) ) 均是含时( 1 ) 变换不变的。 证明：假设对绝热轨道l ( 7 - ) ) 作任意含时u ( 1 ) 变换 i 妒n ( r ) ) ，l 妒：i ( 丁) ) = e 厶( 下l 妒n ( 7 ) )( 4 1 8 ) 第1 7 页 中国科学技术大学硕士论文 于是有 ( m ( 下) 一n ( 丁) ) + 著a r g ( 以m ( 丁) ) = ( m ( 丁) 一厶) 一( n ( 丁) 一五) + 番a r g ( ( ( r ) | e i 厶( r ) e t 厶( ) ( 丁) ) ) ( 4 1 9 ) = ( 仇( 丁) 一n ( 7 ) ) + 著a r g ( 盯) ) 对 | 西警口( 7 ) ) ) 的证明类似。因为其中所含的因子 e 1 么m ( f l 妒：n ( 下) ) = e ，矗( o ) e m ( r i 妒m ( 7 - ) ) ( 4 2 0 ) 初态i m ，o ) 相因子给定要求，m ( o ) = o 。证毕。 这两个证明表明，即便相因子n ( 1 ) 依赖时间，仍然可以用它们构造出不能用任 何含时u ( 1 ) 变换消去或改变的、有物理意义的量。本文量子几何势m n ( 7 ) 和绝热基 i 圣警。( 丁) ) ) 就是例子。唯其如此，这些量将存在于全部含时过程中。传统绝热条件在 导出时，这一相因子全部规定成了零f 1 5 ，1 6 ，l7 】，b e r r y 在f 7 】中发现当把相因子做一个 圈积分之后会得到一个不变量即是通常所说的b e r r y 相。然而在这里，我们的分析表明， 由瞬时本征态和这一相因子组成的这一项实际是c 厂( 1 ) 规范不变的! 因而把相因子时时 规定成零，系统所损失的不仅仅是整体的不变量b e r r y 相，还会损失了其余的物理信息! 而这个损失的信息恰恰表明了传统的绝热条件不足。我们的新条件中保留下了这一项贡 献并由于在我们的新条件中要对相因子微分的缘故，这个任意性就不再存在于我们的新 条件中了，从而在我们的新条件中保留下了系统全部的物理内容。 4 3 例子计算 以下举两个例子以分别表明新绝热条件( 4 1 5 ) 式和( 4 1 7 ) 式的准确性及有效性。 第一个例子目的是表明：由于【1 3 ，1 4 】论述的交换不会保证本文条件( 4 1 5 ) 式成立， 所以【1 3 ，1 4 1 指出的问题不再存在。论证如下； 【1 4 j 表明，对哈密顿为无。( r ) ，准定态方程为先8 ( f ) f 舻( 丁) ) = ( 7 ) i 酽( 丁) ) 的任意含 时系统a ，由( ( 3 1 ) 、( 3 2 ) 、( 3 3 ) 式及我们的新条件( 4 1 5 ) 式，若对口系统我们有 而# 黔装厕1 v n m( 4 2 1 ) 第1 8 页 中国科学技术大学硕士论文 则对6 系统我们有 而高= 踹m ( 4 2 2 ) e ( 丁) 一e ：( 丁) 一n ( 7 一) i l n ( 7 - ) i 7 叫 系统6 的绝热条件( 4 2 2 ) 与系统。的绝热条件( 4 2 1 ) 式相比，相因子少了e 景( 7 - ) 一或p ) 。 因此，即便经过f 1 4 1 中的变换，一般说也不再能够保证6 系统仍然满足本文绝热近似充 分条件( 4 1 5 ) 式。这说明，如果采用本文新的绝热条件，【1 3 ，1 4 】指出的问题将不复存在。 显然，1 1 4 】中的变换亦不能保持条件( 4 1 2 ) 式。 与此同时，我们可以