（应用数学专业论文）拟线性方程组的奇摄动问题.pdf

摘要 本论文主要研究了微分方程中的一类很重要的方程组拟线性方程组，它 是微分方程的一个重要的课题( 尤其讨论激波解时) ，常常出现在流体动力学、 半导体设置的物理理论、化学反应理论、工程、生物、通信和生态等研究领域中。 有关拟线性方程和方程组的奇摄动怒匿有许多作者研究过，有的是用微分不等 式、对角变换和不动点定理来研究，也有的是用边界函数法来研究。但都有一定 的不足之处，如条件限制的较强、低阶近似和适用范围较窄。因此本文有必要用 边界函数法对拟线性方程组的奇摄动问题作进一步研究，由此可以弥补在前面所 提到的不足，即不仅可以减少条件，而且还可以把问题的适用范围拓宽，最后得 到该问题的解的存在唯一性和一致有效的渐近解，并给出了相应的例子。 关键词：拟线性方程组，奇摄动，奇异奇摄动，边界函数法，一致有效性， 形式渐近解。 a b s i r a c i t h i s 击s s a t a t i o ni sd “o t e dt o8v e r yi m p o r t a te q u a 矗。丑s y s t e ma m o n gd i 脯r e 以a le q u a t i o ns y s t e l l l s f q u a s 州n e a re q l l a t i o ns y s t e m ，a si s ai m p o n a i l tt o p i co fe q u a t i o ns y s t e m ( e s p e c i a l l yw h e nd i s c u s s e ds h o c k w a v es o l u t i o n ) ，0 f t e na p p e a ri l ls u c hr e s e 醢hf i e l d sa s 珏y 出o i 占盎嘶c s ，恤 s e m i c o n d u c t o re s t 矗b k s h e 3i np h y s i c & l 也r y ，c h e m i c 8 lr e 粒t i o nl h e o f y ， p r o j e c t ，b i o l o g y ，c o m m u l l i c a t i o n 锄de c o l o g ye t c m a n ya l l m o r sh a v e s t i l d i e do ns n 则训yp e m 慨dp r o b l e m so fq u a s n e a re q 瑚t i o n 粕d s y s t e m s o m es n l d yt h e m b y d i 矮毫r c n 6 a l i n e q h a l i 每，d i a g o n a l 打a n s 缸啪瓶锄a n df i x e dp o 诚幽e o r 哪o t h e r ss t i l 曲t h e mb yb o u n d m n c t i o nm e t h o d ，b u ta l lh a sm ec e r t a i nd e f i c i c n c y f o re x a n 巾i es t m n g e r l i r n i t n d i t i o 玎s t l l el o wo r d e ra p p r o x i m a t ea n dt h en a f r o w e ra p p l i c a b l e s c o p e s oi ti sn e c e s s a 攀t o 曲旷o t ct os i l l 耐a d yp e 咖r b e dp m b l e 瞄o f q u a s i - l i n e a r掣t i o n驴t e m f b i t h e lf r o mt h i s i tm a k e su pt l l e i n s u f f i c i e n c yw h i c hm e m i o n e di nf a n t ，1 i 锄e l yn o to n l ym a yr e 血c e 诧w c o n d i t i o n s ，m o r e l ) v e ra l s om a yo p e nu pm eq u e s t i o na p p l i 髓b l cs c o p e ， a f l do b t a h l st h ce x i s t e n c ea n dl o c a ll l i l i q u e n e s so f s o i u t i o no f t h j sp f o b l e m a n dg i v e so u tt h ec o r r e s p o n d i n ge x a m p l e k 嚣yw ( r d s ：q h a s i i i n e a r 口r d i n i l r ye q u a t l o ns y s t e m s i n g u l a r p e r t u r b a h o n ，s i n g u j a r l ys i n g u l a rp e r t u r b a t i o n ，m e t h o do fb o u n d a r y f u n c t i on u n i f o r m l yv a n d f o r m 盘la p p r o x i m a t i o ns o i u t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取梅的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：违煎! 掐 日期：皇星：兰； 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复削并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内客编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘耍汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名： 日期：塑垒曼：兰； 沏心、耘 撇名：戳蟹 日期：塑吐：生 第一章概述 1 1 奇异摄动理论及其应用 解决工程技术和科学领域中的各种理论和实际课题，就问题的数学方面而 言，一般都会涉及到微分方程只有极少数特殊的微分方程可以求出它的精确解 但大多数微分方程是很难用初等函数来表示其精确解，而只能求它的近似解这 就激起了寻找构造近似解方法的愿望，于是就有了下面的摄动方法或小参数法 摄动方法从1 8 8 6 年p 。加c n 旭引进渐近级数，1 8 9 2 年发表“天体力学新方法” 以来，已有l o o 多年的历史。这个方法的产生和发展与实际的需要是紧密相关的 我们知道，从真实的物理、化学、生物等过程列写数学模型时。不可避免地要忽 略去这样那样的小量，因此一切数学模型都是被理想化和被简单化了的自然这 里就有这样的问题：这种简单化了的模型在何种程度上描写了真实过程? 这类问 题的数学提法常常归结为研究相应方程的解对一些小参数的相依性求解这类问 题的备种方法统称为摄动法，或称为小参数法 在摄动方法研究的问题中，有一类问题比较简单，它的方程右端正则地， 例如解析地依赖于小参数，并且实际上只在自变量的有限区间里考虑问题，问题 的解可以表示为一致收敛的小参数的幂级数形式，这类问题称为正则摄动问题 另外一类问题与它有本质的不同，它们或者方程右端对小参数的依赖不是正则 的，或者要求在自变量的无限区间里考虑问题，或者参数的微小变化引起了方程 类型的根本改变，或者在考虑的自变量区间里含有这样那样的奇点( 例如含转向 点) ，这时问题的解一般来说在所论区间上不能表示为一致收敛的小参数的幂级 数形式，这类问题称为奇异摄动问题 奇异摄动及其应用是目前国际上最为关注的课题之一奇异摄动是一种求 近似解析解的方法，它的主要思想是将非线性的、高阶的或变系数的数学物理方 程问题的解，用含某个或几个小参数的渐近近似解来表示而这个近似解是从解 原来问题简化方程得来的，称为近似解析解它可以用来对原数学物理问题定性 地且近似定量地分析讨论 奇异摄动最早发展是从天体力学研究行星运动、流体力学研究粘性流体运动 开始，一直到力学、声学、化学、生物学以及控制论、最优化和发展数学的基础 理论方面都有着广泛应用融成为应用数学的一个重臻方面，成为解决爿f 线性问 霆斡重要手段 摄动方法经过百多年来的发展，有直接展开法、重正规化方法、多尺度方 法、平趣纯方法、籀广静警均耗方法、骼细v 一露嘴d 纽幻v 一翘舯凇巍移法、 腑打埘k e r 溅、变形参数法、微分不等式方法、边界函数法等掇动方法，其中用 翦簸多是微分不等式窝边赛溺数法这两种方法 拟线性方程组是微分方稷组中的一类重要的方程缎，常常出现在流体动力 学、半导体设置的物理理论、化学反应理论、工程、擞物、通信和生态等研究领 域中在研究化学反应堆的数学模型中，就有一类闯题是拟线性( 包括慢变量馕 形) 二阶微分方程缀的奇摄动边值问题对这类问题的讨论由于一阶导数项烂 藕念的，因此眈起缝震来要笺杂秘爨难褥多因此对：蹬拟线矬方程缀麴研究悬 一项有意义的工作 在国内终，关予二狳熬线缝戆缝爨袋疯纛方程( 氛摆蠖燮爨壤形霄镶多学 者对它进行过研究。艇要体现在下列文献之中+ k w c h a n 岛f _ a h o w e 8 i i j 、j o h n s j e 翻e 潮聪d 秘a l d 廷。s m i 氇嘲遴蟋l l l l 、羲群稳8 秘簿惩微分苓等式、上下解渡 和不动点定理等方法研究了二阶拟线性纯量方程，得到了低阶缄高阶的一致有效 静澎近解，r k a o ，飘瑚e l 糊、莫豢琪灌、d o n a 醚翼s m 确溺、徐穰薪投寒 怀平等1 7 ，1 引、汪志鸣等阻1 用微分不等式、g 俺柳函数年不动点定理等方法研究 了二除按线性方程缀，得到了低阶或满除的一致有效静渐近解黄蔫牵渊、e h a n g k h 分别用微分不等式、对角化变换和上下解方法对具有慢变量馕形的二阶 拟线性方程缀进行了研究，得到了低阶的一致有效的渐近解 本论文主要讨论了拟线性方程维的奇摄动问题，髑边冕函数法对不阕的海鼷 构遗了形式渐近解，并证明了该形式渐近解的存在唯一性和一效有效性最后对 每个闷题绘缴了相应的例子。 1 2 本文的主要结果 本节定理的编号采用它们在各自章节中出现的编号，其中束交代的符号请对 应它韬相应豹牵苇 定理2 1 当满足条作假设 h 。卜f h 。】之下，存在常数岛 o 和6 o ，c o 。 使得在厶的j 管内当o 0 和d 0 ，c 0 ，使得在 厶的j 管内当o 0 和j o ，c o ，使得 在厶的艿管内当o o ，j o 和c o ，使得当 0 0 ，j o 和c 0 ，使得当 o 。为小参数，) ， ，为m 维向量函数，z ，g 为朋维向量函数，一为肘盯阶矩阵函数当满足一 定条件时问题( 1 1 ) 、( 1 2 ) 存在一致有效的渐近解，并给出了渐近解的表达式 若讨论的边值条件为： 掣( 0 ，) = 掣o ( ) ，缈( 1 ，占) = 妙o ( s ) ，2 ( o ，占) = 扩( g ) ( 1 3 ) 其中，( ) ，( ) 为占的正则函数，则问题( 1 1 ) 、( 1 3 ) 与问题( 1 1 ) 、( 1 2 ) 有完全 类似的结论，推导过程也完全类似 本文先将问题( 1 1 ) 的边值条件推广到一般条件： 尺( ，( 0 ，) ，y ( 1 ，占) z ( 0 ，) ，z ( 1 ，) ) = o( 1 4 ) 其中j r 为m + m 维向量函数，然后利用边界函数法【1 7 l 构造了问题( 1 1 ) 、( 1 4 ) 的形式渐近解，并证明了该形式渐近解的一致有效性 2 2 条件假定和解的渐近构造 我们给出下列假设条件： 日】假设，( y ，：，s ) ，g ( 弘：，f ，占) ，爿( ：，f ) 函数充分光滑且g ( o ，：，) o ， 也】假设爿( z ，f ) 有个负实部的特征根，有m 一七个芷实部的特征根 为方便起见，记x = ( y ，= ) 。，= ( 爿( ：，r ) y + 占厂( y ，：，f ，) g ( y ，：，) ) 。这里利 用辅助问题( 1 1 ) 、( 1 3 ) 来对问题( 1 i ) 、( 1 4 ) 进行研究 令 掣( o ，) = 嘁 ) = 口( “+ w + ) = 戍】l + 【并】+ 妙( 1 ，f ) = 蜕( ) = 6 ( 兀+ 砂? + ) = 瞵】2 + d y ? 2 + ( 2 1 ) 2 ( o ，) = z ：( ) = 五+ 2 ；+ 其中一= ( 研，w ) 7 = ( 一】。，【并】：) 7 ，彳为暂时未知的 于是由边界函数法1 1 7 l 构造问题( 1 1 ) 、( 1 4 ) 的形式渐近解为 砒加砒卅积( 舻) + ( 舻) ，f o = 考，f i = 孚 ( 2 1 2 ) 其中 工( f ，) = 工o ( f ) + 盖l ( f ) + 占”工。( f ) + - - ( 2 3 ) 是正则级数 n ( f 0 ，) = 兀o ( f 0 ) + e r i l ( o ) + 占“n 。( f 。) + ( 2 4 ) 是在f = o 处的边界级数，当- + o 时都是指数式衰减 q ( f l ，) = 骗( f i ) + q i ( f 1 ) + - s ”g ( f 1 ) + ( 2 5 ) 是在f - l 处的边界级数，当s _ o 时都是指数式衰减 将( 2 2 ) 式代入( 1 1 ) 、( 1 3 ) 并以自变量的三个尺度，f o ，t 对方程进行分 解得： s 譬 孚+ 擎：万+ n ，+ 妒 ( 2 6 ) s 百+ 瓦+ 露卸+ 1 坳 旺6 其中 f = f t y 。z ，t ，曲= f o + s f t + f n + n f = f ( y + i 砂，z + m ，f 0 ，0 一f ( 儿= ，f o s ，) = n o f + d i f + n 。f + + q f = f ( ，+ q y ，：+ q z ，e + l ，) 一f ( y ，z ，s + l ，) = 重0 f 十岛f + f ”q 。f + ( 2 7 ) 口( j ，o ( o ) + + g ”j ，( o ) + t t + 兀o y ( o ) + ”n 。_ y ( o ) + ) = c 碱( ) = 【k 玉+ d y 门l + r 6 ( y o ( 1 ) + - + ”y 。( 1 ) + - + q 0 y ( o ) + 占”q y ( o ) + ) = 6 哦( s ) = 成】2 + 【y ? 】2 + z o ( o ) + + ”z 一( o ) + - + 兀o z ( o ) + - 占“n 。z ( o ) + - = ：；( ) = z ：+ z ? + 。 ( 2 8 ) 将展开式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 、( 2 5 ) 代入式( 2 6 ) 左端的x ，r k ，q x ，而右端用展 s 开武( 2 7 ) 代替，然后令p 的同次幂的系数相等，并且把与r 有关的、与有关 的和与有关的分开，即得到展开式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 、( 2 5 ) 各项系数的方程组 由零次近似可得如下的方程组： 一( 磊，f ) _ 0 = o ，9 6 。，_ o ，o ) = o ( 2 9 ) 9 ( o ) + ( 0 ) ) = 碗= 蛐，兀。y ( ) = o ( 2 1 1 ) z o ( o ) + n o z ( o ) = ，兀o z 扣) = o 由假设条件 q 】、【】可知：了。；o ，磊= ( f ) 这里( ，) 为任意的脚维向量函 数。于是( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 变为： 棚。y ( o ) 2 哦- 【肌n 。) ，( ) ( 2 1 3 ) ( o ) + 兀o = ( o ) = 2 ：，o z 扣) = o 引理z t 方程组c z - 2 ，在( ：) = ( 习的充分小的邻域中存在m 维流形缸c 呦 使得只要初值 ： 烈( o ) ) 必存在y 。，皖 。对于所有。有 | | n o y ( 彳0 ) 临岛，i i n o z ( f 0 ) 临弦一矗“成立( 证明见【1 6 1 ) 由引理2 l 可知为使得y 扣) = 。，而z 扣) ；。即使其初值 ：) 烈( o ) ) 以】假设 丘】。烈( o ) ) 的定义域 于是由兀。z = r g ( n 。，( s ) ，( o ) + n 一( s ) ，o ，o ) 凼有 兀o ：( o ) = 磊一c ( o ) = f o g ( n 。y ( s ) ，c ( o ) + 兀。= ( s ) ，o ，o 协 ( 2 1 4 ) 旺 咖 呲 毛 + 吼 云 十 一 一伽 矾 i = 业批一瓴 ” 帅 哪 乙 + 凡 卜 h 讹 矾 i l l i 哪一掘啡一识 【。】假设( 2 1 4 ) 式关于( o ) 有唯一解( o ) = 由一次近似u j 得如r 的万棍组： - i = 一( ，f ) ，( o ，f ) ( 2 1 5 ) 哦= 一( o ，f ，o ) 4 - 1 ( ，f ) ，( o ，f ) 号擎= 爿( ( o ) + n o z ，。) ，+ 【( ( o ) + n 而。) n 。y 】；兀t z + 一( f o ) 号芋= 毋( 。y ，( 。) + 兀而。，。) 兀- y + ( 。h ( o ) + o = 。，。) n z + g ，( ) ( 2 1 6 ) 口n 一工( o ) = 【并! 一口_ i ( o ) ，兀j ( ) = o ( 2 1 7 ) n i = ( o ) = ：? 一a ( o ) ，n i 。( * ) = o 为了求得( f ) 需作如下假设： 峨】假设瑶= 一( o ，f ，o ) 一一1 ( ，f ) ，( o ，f ) 在o r l 存在满足( o ) = 扩的 唯一解由此可知_ o ( f ) 也确定了 引理2 2 在方程组 筹“孝+ _ 砌 f 0 ) ，鲁氲( 翻，f 0 ) ( 2 1 8 ) 中，若万。，否满足： 1 ) l i 万i ( o ，o ，o ) s m p 一磊，l i 否- ( o ，o ，o ) i 阵m p 一“ ( 2 1 9 ) 2 ) 嶝笆，! ，o ) 一兰t ( 量刁，删鸩8 一珈! 一卅竹叩i i ) ( 2 _ 2 0 ) g i ( f ，7 ，r o ) 一g i ( 孝，刁，f o ) i i s 如p 一焉南a i 掌一善| i + i i 叩一刁lj ) 其中m ，鸩为正常数，则存在d 0 ，当d 时有一七维的积分流形q 。，使 得当且仅当( ；吕； q 时，( 2 1 8 ) 存在满足估计式孝= 。( e 喃“) ，玎= 。( e 墙“) ，f 0 。 的解善( 气) t ，7 ( 矗) ( 证明见f 1 6 i ) 取p = ：o ，而片使得只鼻= 等0 皇a t 其中人一有t 个负实部的 特征搬，a + 有肘一t 个藏赏部的特征根则由黛换： 绸= p ( ： w 将c z t s ， 化为( 2 1 8 ) 的形式，并麒易验证有性质( 2 1 9 ) 、( 2 2 0 ) 成立为了确定( 2 1 6 ) 瀵楚( 2 1 7 ) 熬籍，我螺冀要瀵鹱( 2 。1 8 ) 存巍瀵足鬏0 ) = 霉珏；歹妨，零( 0 ) = 一4 “n y ( o ) + n “。) 的解在= d 处有 鬟：羽q 即可这样便w 确定( 2 - s ) 满足( 2 。1 7 ) 的解亦即h i y ，珏f 完全确定，虽f l ，y = o 旷毛) ，聪l z = 0 ( e 。矗6 ) 。 下嚣我 】来确定氆簸( 2 1 6 ) 式蠢 等：g ：( 叫矧o ) + n 而o o 肌吲0 ) ) + 岛( n o 弘弼( o ) + n o ：，o ，o ) n + g l ( 岛) 一& 强( o ) ( 2 2 1 ) 联戳疆l = 毛) = 一强o ) + f 弩( 毪) ￥一2 黏弦和) 毋。这攫豹￥瓴) 秀( 2 。2 1 ) 对痖静弃 次方穗的基本解矩阵烈) ；凰n 。y + g i ( r 。) 一g ：粥( o ) ，由n 1 = ( 一) = 0 得 o 。喁( o ) + f 甲( * ) 、王，“o ) m o ) 出， 帮褥 锈) = f 警( 哆￥。弦) 纛+ ( 2 。2 2 ) 由f 1 7 i 中豹引理4 保证了掣扣) 的存在，又似) = 0 p 喃“) ，这样( 2 。2 2 ) 式有端 出现的广义积分收敛因褥隅( o ) 由( 2 2 2 ) 式唯一确定 为求槔强( f ) ，由二次避儆得： y l 黛蠢( 璐，f ) y 2 + 【建锦，f ) ) ，l 】：强+ 五y l + 互竭 ( 2 2 3 ) q 燃g y ( 0 ，r ，o ) y ! + f 巩( 0 ，0 ) ，l 】，j ，l ( 2 - 2 4 ) 由( 2 2 3 ) 中解出j ，2 后代入( 2 2 4 ) 即得： 群一g 。蠢叫旺+ 【一纸，# ) y l l ：) g + 叠( ( 2 。2 5 ) 遂楚哭于q ( f ) 的线性常微分方程组，其中日( ，) 只与氓】f ，f 成 ：，菇有关山假 设【s 】可证得( 22 5 ) 存巍满足喁( 0 ) = 口的唯一解喁= 口( ，) 由类似的方法可以推得： ；“( f ) = 4 “( 强， ) 【蠢( 嚷，f 疹t 毛+ 壤 ( 2 2 6 ) = 一( f ) = 吒( ，) 冀巾袈( 棼满足线葭鬻擞分努程组； 【以】假设罢生= d 毗( 俾t ) ：掣十俾：) ：避o ， ，= o l ，且 ( 妁：= 慕h ，( 烨器 所戳有 薏= 榔1 霹垫铲郴2 瑶塾铲) 删季毋一印。鼢搿酝l 毒眩：， 丢磊。岛瓴+ 随强，；厩秘焘 嚣意：霉暑号警嘣狲啄，彩帮 墨k ，。篱魄。 汪。， o 【耳】i 硪lj 其中【爿】l = ( 【“ ，z ? ) 7 ，【耳】：= 【片】： 丽矗，蔫，鬻满足与( 2 - 2 9 ) _ ( 2 3 l 埔祥的方程 稔甥蕊。耩以鼙o 。又霞必磊关予是线性静。截爱美于是胃解的，由扰可 确定所有的参数“贰，。贰，o = o ，l ，2 ) ，丽展开式( 2 2 ) 就是问题( 1 1 ) 、 ( 1 3 ) 所要的形式解 2 3 解的存在唯一性和余璜储计 先了避明土嚣构造黪形式黪是嬲题( 1 。1 ) 、 o 和艿 o ，c o 使 褥在三。的毋管斑当0 书岛辩闯题( 1 。1 ) 、( 1 3 ) 存在难一解雄，手) 基满是不等 式 j i 加，一矗o ，p ) lj c f ”， 0 蔓r l ( 3 - 3 ) 落弱：设x ( f ，) 是方程錾( 1 1 ) 满跫边僮条件：秽o ，糖；溉l ， 咖( 1 ，0 = 【y ：】2 ，z ( o ，占) = 磊的解( 这里靠= ( 以，矗) ) 把r = r ( x ( o ，式) ，x ( 1 ，) ) 番馋为与鹘蕊数。记 峨一a 嚼， 则有 ( ，露) = a 。( ) + d 忙) l o 崛) = d e t ( ( 3 4 ) ( 3 5 ) 运燃嘲刃 ， 2 州型铩持业篝字+ 型案糟地掣， 而黧唼冬垒满足： 僦， 占鲁掣= e 掣 s ， 避竽= ( 。，蛾警= 鬈) ( 3 t 7 ) 蹴 把它们与问题( 1 1 ) 及边德掣( o ，) = 战】i ，缈( 1 ，f ) = 氓】：，2 ( o ，苫) = 靠联合起来 着作一个整体，虽然满足前面所讨论的特殊边德问题所有条件所以商 鱼煎铲= 毒堰。毒+ 喀如 黩s ) 峨甄冁嚷 并凰熟唉晕! 亟在【o ，l 】上一致有界又由予确定方程组( 1 1 ) 加边值条件 龋 缈( o # ) = 瞵】，+ 锺并】i + ，z ( o 占) = + 苟+ ，细( 1 ，) = 【式】2 + 镬w 】2 + 和方 是缀( 1 1 潮透蓬条捧秽，葶) ；瓯l 。女嚷氧妨。滚】2 ，z 鹣砖：磊鹣零豫透觳方程 缓和边值条件相同，所以商 巡铲k = 鼍竽坝引 ， 警p 警十。 一 又因为鹕最写) 2 = ( o ，葛) + h 。斌o ) + o ( 3 1 0 ) 缸l ，f ，矗) = 颤1 ，写) + 魏缸o ) + 0 ( ) 由此可1 2 上推出( 3 6 ) 成崴 蹰鸯i ( 霹) o ，所以存在一个戳霹失球心，艿先半径的球必，豢s 时， 有编) o 又由( 3 6 ) 可知存在充分小的岛，当o 墨氏，毫岛辩 氐( ，砷o 又因为o 饼) o ，在r 值空间存在区域脚，使得函数r = 月( 而( o 写) ，而( 1 ，葛) ) 在岛与面之间存在1 1 对应按照定义r ( 岛( o ，) ，知( 1 ，) ) = o 故在r 值空间存在 以r = o 为中心的球足，有足c 石又因为矗( 工( o ，占，) ，l ，写) ) = r 嘛( o ，磊) ， 而( 1 ，”+ o ( 占) 以及。“，占) o ，所以在最值空间存在寂占) 使得函数 尺= 只( 瓤o ) ，缸l ，磊) ) 在& 与及s ) 之间存在1 1 对应，且面与虱昌) 中相应点 的位移不超过d p ) 对充分小的有疋c 鲥陋) 所以对月= 0 e 如) 在足下必存 在唯一点五( e 岛，有r ( 叫o ，岛= r o ( ) ) ，( 1 ，x o ( ) ) = ot 即当参数取 ，= x o ( 砷时问题( 1 1 ) 及边值条件掣们，日= 氓】。砂( 1 ，0 = 【“】：，：( o ，0 = 磊的 解工( f ) 满足r ( 邶，曲，x ( 1 ，0 ) = o 解的唯一性结论可由下面的不等式： l i x 0 ，暑) 一x 。0 ，0 i 阵c ( 3 1 1 ) 推出 往证不等式( 3 1 1 ) 成立记写，占) 为r 的反函数假设善( f ，霹) 是( 1 1 ) 满足掣( o ，0 = 【蝴】。，妙( 1 ，) = f 以】2 ，z ( o d = 司的解 因为 矗( 邢，霹) ，缸l ，芎，篇) ) = r ( ( o ，靠) ，而( 1 ，) ) + d ) ， r ( 柙，g ，x o 啦) ) ，而( 1 ，x 0 0 ) ) ) = o 以及 | | x 。招) 一霹i i 刮i 蔷i 足。( q x 。啦) ) ，工( 1 ，工。) ) ) 一r ( 缸。，霹) ，工( 1 ，篇) ) ， 并由o ( 矗，占) o ，当写& 时，所以j i x o ( 0 一霹临c 一因而 | i x ( f ，占，x 。( 砌一“f ，霹) j | s | l 查! ：晕型i j 。( ) 一g 临c 2 占考虑到( f ，g ) 是 x ( f ，s ，霹) 的零次近似，所以有i i z ( ，# ) 一( f 功i 阵c s 。对任意的n 1 把 ( x ) 。= 写+ 耳+ 看作写，由同样的推理可得：r ( x ( o ，( x ) 。) 可l ，( r ) ) ) = r + e 墨+ + 。r + d ( s ”“) = o ( 占”“) 和| i j o ( 曲一( x ) 。l i 孑，4 “，所以有 1 2 x ( f ，岛蔗o ( 劝一x ( ，0 。) 。) i 肾蠢并考虑刘( f ，是j ( f ，( ，) 。) 的一次近 似，则有i | 并( f ，曲一( f ，) 临蠢“1 成立( 证毕) 2 4 羲子 为了诞明阀艨( 1 1 ) 、( 1 4 ) 构造的渐进解的派确性t 例如： 积2 y + ( z + 靠2 ) 彬一x + 文f + 舻) ( 4 1 ) i t 科恕 x ( o 嚣) = l ，j ，( 1 ，0 = z ( 1 ，鼬，z ( o ) = o 。，对于所有 0 ，有i n 。y ( ) i 阵矿轨，l i n o z ( ) 临弦一于是由补充条件假设 。y ( * ) = o 得初值。y ( o ) 必需属于烈口( o ) ) 再由n 。y = c 。z o ) 凼和( 2 1 1 ) 式 得口( o ) = 一n 。，( o ) = 一r 。z ( s ) 出，【兀。：( o ) 】l = 矗，【g ：( 0 ) 】：= 露 同理可求得对一切瓦s o ，有翻y ( f 1 ) i i = e 珏2 ：转游 ( 2 2 2 ) 由于兀：z = 烈，毛“) ，故广义积分cn 。：( s ) 出收敛于是有n ：j ，( o ) zr n ：z o ) 出 又由( 2 。1 8 ) 式霹知趣( = 强一珏3 残蛰= 鹎一珏2 。圆弧为了求巍f ) ，霉壶三 次近似可得： 三= _ 。而一( 省；+ 魏瓦一【( 正b 歹；】，五一( 4 _ 1 ) ，元一( 岛- 1 ) ，i ， 琏= 磊= 丢= 一“一( z i + 。的，元+ _ d ( f ) = 一一+ 蠢夏+ 嚣) ，岛+ 嘎o ) ( 2 2 3 ) 这是获手毛静线性常微分方程组由假设掰可证褥( 2 2 3 ) 存在满避6 i ( o ) = 6 2 的 唯一解也= 6 2 ( f ) + 这样( 2 。1 5 ) 式的= 次近似项就确定了依上述方法逐步确定 ( 2 。2 ) 式孛戆掰有磺若彳= ( 乏，彳2 ) 7 $ 。o ，i ，2 ，) ，鬟| j 由上述构造过程可知： 0 ，= 磊( ，s ) + n ，x ，砷+ q 工( j ) 是脚维向量冒( f = o ，l ，2 ，) 的函数， 下恧就采求出这些季弩定的系数良羹i ( # = o ，l ，2 ，) 把构造的形式解( 2 2 ) 式代入y ( 1 ，) = 芦( g ) 并将其两端展歼成f 的幂级数并 写= - o ( 1 ，矗) + 儡“o ，露) ( 2 2 4 ) 正= 歹。( 1 ，爿) + g ，( o ，彳) ( 2 2 5 ) 霉= 歹，( 1 ，z ；) + q ，( o ，彳) ( f = 2 ，3 ，) ( 2 2 6 ) 假设弓= 岛关于弓有唯一解，仍记为巧，而且函数行列式 器呜枷娜 对于瓦= 屈，因为五= 歹：( 1 ，z ：) + q 2 y ( o ，= ；) 为五= ( z ：，) 7 的函数，我们可以 证明：正关于乏的函数行列式：就等于。事实上，因为 妒驴警，下面我们髁硼掣= 紫 首先由式( 2 1 5 ) 与( 2 1 3 ) 对z ：求导可得： 拿刊弋衲焉汜：，击 、 如：( 2 2 7 ) 蓝：一亟业 而；叫 再由( 2 2 3 ) 与( 2 1 8 ) 对之求导可得： 擘刊弋面薏：。，出 、 ”玉：( 2 2 8 ) 匠：一业 a ：玉： 要证亟弓芝产= 亟萼器产，即j l 要证方程组( 2 2 7 ) 与( 2 2 8 ) 的解相等为此， 只要证明掣= 掣即可 c l z ：d 矗 于是由式( 2 1 1 ) 与( 2 1 3 ) 可得 掌叫卿幽等州n 棚以c 警丞 掣： 由式( 2 1 6 ) 与( 2 1 3 ) 可得： 掌m 幽等小n 一礼e 警凼 警= 塑：塑芷 耐鹾 ( 2 3 1 ) 而州：- 与旺z ：嗍：警= 荦与警= 等 于是由( 2 - 3 1 ) 式可得： 蚴；驰 耐耐 ( 2 3 2 ) 从而由( 2 2 7 ) 、( 2 2 8 ) 和( 2 3 2 ) 可知： ! 丑! ：尘：照盟地 a ( 之)a ( 蠢) 类似可以证明：学= 学，从而2 = i o ，显然瓦关于五 出：d z ? 是线性的t 所以由互= 压可唯一求出乏依此可逐次求出( 2 1 ) 式中所有的待 定向量方( f = o ，l ，2 ，) ，从而得到了展开式( 2 2 ) 中的各项系数，即得到了问题 ( 1 3 ) 、( 1 2 ) 的渐近解 3 3 解的存在唯一性和余项估计 为了证明上面构造的形式解是问题( 1 3 ) 、( 1 2 ) 在0 ，s i 的一致有效渐近 解，需进行余项估计，我们利用文第二章中的定理2 1 来进行证明 2 0 我们取曲线： 厶= u 厶u 厶， 其中 ( 3 1 ) 厶= 0 ，f ) i j = x o ( 0 ) + n o h f o ) f o o ，f = 0 ) 厶= ( x ，f ) i 石= 勒( ，) ，o s f s l ) ( 3 2 ) 厶= ( 工，f ) l 工= x o o ) + 岛z ( 气) ，f i 董o ，r = 1 ) 定理3 1 当满足条件假设卜- ，矿之下，存在常数岛 0 和占 o ，c o ，使得 在厶的占管内当o o 和声 0 ，c o ，使得 在厶的占管内当o o 为小参数；并且假设域，嚣( 国，联0 ，三亭) ，绷，承曲，艇0 在【o 】上充分光滑。从而备函数可对其变量谶行幂级数展开文1 1 3 l 、【1 4 l 利用 对角化技巧研究7 类似的阚题，但所加的条件黻制较强，如胍氇掣”舯条件，对角 交换条骛等等，瑟显述廷怒蠹l 低夔逶辍本文蓠宠整方程( 1 。1 ) 、( 1 2 ) 写残翔 下薄价的薅幻n 卯方程缀靛边值阗题： x 。，( ，y ，苎) j ，。2 ( 1 1 3 ) 蓐g = g ( f ，j ，y ，芎) 等+ ( f ， y ，占) | 砖= 搓( 磅 蠢( p ) 炙锤) + 翻z 瞧国= 霞 ( 1 。4 ) c ( 毋y ( 1 ，砷+ d ( 砷z ( 1 ，国= 妖s ) 然滕利用边界函数法【1 7 l 米研究这个问题，芥仅蝓出了该解的存在噍一性，而且 其有对 薹意精度的渐近近似 萋毒。2 条搀霞定霜渐：i 琵簿酶耩造 记e 为j r 空间的菜个有界闭域，胃= 露彤( o ，1 ) f ( ，置弘0 皇 g 9 ，x ，n g + 姆，鼻，0 璇在我释】来看( 1 3 ) 、( 1 _ ) 盼遐化阔题0 = o ) ； 洳2 ，( r ，工o ，蜘，) ，y o2 。o ( 2 1 ) g ( f ，弱，- o ，) _ o + 联f ，_ o 。玩，) = o 裙簸条终灸； 磊= 瓯，瓦g ) = y 。，岛元臻) + 繇磊器 = 荔 ( 2 2 ) 我们焉假设如下条件： 【日。】假设对空间区域矾，缀阵g o ，蟊，了。，o ) 的特镊根的实部全为负，盟i j 矩阵 元= g ，弱，瓦，靛特征根的嶷酃垒为氢酸在蔗掰给蹬 【鳗】。该浚融磊o ，融c o 棼o 耧 c o y o ( 1 ) 一d o g “( 1 ，。儿( 1 ) ) ( i ，弛( i ) ) = 托 ( 2 3 ) 有解蜘( 1 ) * 矿满足( ，) d ，并且其函数行剃筑 蝙+ 弛盟笔烨。 缘瘁， 其中民。胛) tc o = c ( o ) ，哦= d ( o ) 【马】假设期值问题： 确= 兵f ，洳，甄，国， = g 。静，秘，鹣。妨a 转，弱，甄，0 ) ( 2 。5 ) 勘( 1 ) = ，勘( 1 ) = ，( 待求) ( 2 6 ) 在o g 蔓l 上存在唯一解蟊o ) ，死( f ) 使得对，( o ，1 ) 霄( _ o ( ，) ，- 0 ( ，) - o ( f ) ) 啦。这 里云9 ) = 一g “积磊，元，o ) 织蟊，虱，o ) 由条释【辑】一【恁】可求褥y 。，予建由【绣】可翔( 2 。1 ) 、( 2 2 ) 在o s f l 存在 唯一解弱( o ) _ 0 ( o ) 使得( 磊( f ) 玩( f ) ，- o ( ，) ) h ，菇中磊( f ) = 一6 一( f ，_ 0 ，瓦，o ) x 蠢( f ，磊，元，o ) 禳摄边赛溢鼗法掩逢阀戆( 1 。3 ) 、( 1 4 ) 甄下澎式澎近解： 其中 是正则级数， “f ，曲= x ( ，印+ n x ( f ) 贝f ，= j ，( f + 1 1 驴( f )