（教育学原理专业论文）数学分析中极限概念的探究教学研究.pdf

摘要 数学分析中极限概念的探究教学研究 教育学原理专业学位申请人徐家斌 指导教师徐学福教授 摘要 数学分析课程的主体微积分是人类二十世纪的伟大发现，是人类智慧的丰碑。极限理论 是数学分析的基本理论，极限概念是极限理论的核心，搞好极限概念的教学具有重大意义。 一方面，极限概念的教学难是世界人民所公认的，时代和微积分课程改革迫切要求改变这种 现状。另一方面，探究教学在初等数学教学改革中取得了较好的成效，但在高等数学的教学 中却寂寂无声，而初等数学的探究教学势必不能照搬到高等数学的教学中去。因此，结合转 变学生的学习方式、提高学生的学习积极性，研究极限概念的探究教学是一个有重要意义的 课题。 本研究采用定量和定性相结合的基本方法，首先对数学探究学习的理论进行了一些探 讨；然后对极限概念教学难的主要原因进行了分析，在知识层面上详细讨论了潜无限与实无 限、极限概念语言的特点、极限概念所蕴含的辩证逻辑思维；再在前两者基础之上，结合极 限概念的数学特点，提出了些适合极限概念特点的具体教学策略，包括数学史策略、数学 思想方法策略、数学实验策略、数学阅读策略，详细论述了利用数学吏米优化教学设计、有 效地创设问题情境、激发学生的主体意识，利用数学思想方法来组织探究教学、让学生感受 数学“冰冷的文字后面火一般的美丽”，利用数学实验来促进学生分析问题解决问题能力的提 高、促进学生素质全面发展，利用数学阅读来提高学生的数学素养和数学文化底蕴；最后， 进行了一些教学实践，并在反思的基础上给出一些极限概念探究教学的建议和技巧。 文章在讨论极限概念探究教学的同时，也试图融入更多的对极限的认识。极限概念作为 数学分析的核心概念，从很大程度上反映了某些艰深概念和数学分析课程的特点。因此，本 探究也有益于数学分析和其它一些教难概念的教学。 关键词：极限概念探究教学数学史思想方法数学实验 a b s t a c t o nl i m i t c o n c e p ti n q u i r yt e a c h i n go f m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s a p p l i c a n to fp r o f e s s i o n a lm a s t e rd e g r e eo fc u r r i c u l u ma n dt e a c h i n g ：x uj i a b i n n t o r ：p r o f e s s o rx ux u e f u a b s t r a c t a st h em a i nb o d yo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i s ，c a l c u l u si sm a n k i n d sag r e a t e s t d i s c o v e r yi nt h e2 0 t hc e n t u r y , a n dam o n u m e n to fh u m a n sw i s d o m l i m i tt h e o r yi st h e b a s i ct h e o r yo fc a l c u l u s ，a n dl i m i tc o n c e p ti st h ec o r ec o n c e p to fl i m i tt h e o r y ，i t sv e r y i m p o r t a n tf o rs t u d e n t st ol e a r nl i m i tc o n c e p tw e l l h o w e v e r , t ot e a c hl i m i tc o n c e p tw e l l i saw o r l d sd i f f i c u l tp r o b l e ma ss of a r , a n dt h i ss i t u a t i o nu r g e n t l yn e e dt ob ec h a n g e d b yt i m e sa n dc a l c u l u st e a c h i n gr e f o r m o nt h eo t h e rh a n d ，i n q u i r yt e a c h i n gh a sm a d e r e m a r k a b l ea c h i v e m e n t so ne l e m e n t a r ym a t h e m a t i c st e a c h i n gr e f o r m ，b u tt h e r ei sn o t e v e nas i n g l ep r o g r e s so na d v a n c e dm a t h e m a t i c st e a c h i n gr e f o r m o b s o l u t e l y , t h ew a y i ne l e m e n t a r ym a t h e m a t i c st e a c h i n gr e f o r mi sn o tq u i tf i ta d v a n c e dm a t h e m a t i c s t e a c h i n gr e f o r m t h e r e f o r e ，c o m b i n i n gw i t hi m p r o v i n gs t u d e n t s l e a r n i n gs t y l ea n d l e a r n i n ge n t h u s i a s m ，l i m i tc o n c e p ti n q u i r yt e a c h i n gi s av e r yi m p o r t a n ts i g n i f i c a n t r e s e a r c hs u b j e c t t h ep a p e ra p p l i e sb o t hq u a l i t a t i v er e s e a r c ha n dq u a n t i t a t i v er e s e a r c h f i r s t l y , t h e t h e o r e t i c a lb a s eo nt h ei n q u i r y l e a r n i n go fm a t h e m a t i c si sr e t h i n k e d s e c o n d l y , t h e m a i nr e a s o n sf o rl i m i tc o n c e p td i f f i c u l tt ot e a c ha r ed i s c u s s e d ，e s p e c i a l yp o t e n t i a l i n f i n i t ya n da c t u a li n f i n i t y ，m a t h e m a t i c a ll a n g u a g e ，d i a l e c t i c a ll o g i c a lt h i n k i n gi nl i m i t c o n c e p t t h i r d l y ，s o m ep e r t i n e n c et e a c h i n gs t r a t e g y a r eg i v e na c c o r d i n gt ol i m i t c o n c e p t ，i n c l u d i n gh i s t o r y o fm a t h e m a t i c s ，m a t h e m a t i c a l t h o u g h ta n dm e t h o d ， m a t h e m a t i c a le x p e r i m e n t ，m a t h e m a t i c sr e a d i n g h i s t o r yo fm a t h e m a t i c sc a nb eu s e dt o o p t i m i z et e a c h i n g ，c r e a te f f e c t i v e l yq u e s t i o ns i t u a t i o n ，a r o u s es t u d e n t s s u b j e c t c o n s c i o u s n e s s m a t h e m a t i c a lt h o u g h ta n dm e t h o ds h o u l dg e tm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n ， l 西南大学硕士学位论文 i tc a l la r o l l s t u d e n t s i n t e r e s t m a t h e m a t i c a le x p e r i m e n ti sc o n d u c t e dt oe x p l o r et h e f u n c t i o nt op r o m o t es t u d e n t s a b i l i t yt oa n a l y s ea n ds o l v eq u e s t i o n sa n ds t u d e n t s t o t a l q u a l i t yd e v e l o p m e n t m a t h e m a t i c sr e a d i n gi sc o n d u c t e dt oe x p l o r et h ef u n c t i o nt o p r o m o t es t u d e n t s m a t h e m a t i c sa c c o m p l i s h m e n ta n dm a t h e m a t i c a lc u l t u r e f i n a l l y , a e x p e r i m e n t a lr e s e a r c hh a sb e e nm a d e ，i n c l u d i n gs o m er e t h i n ka n dc o r r e l a t i v ea d v i c e m o r ek n o w l e d g eo fl i m i ti si n t e g r a t e da tt h es a m et i m eo fs t u d y i n gh o wt ot e a c h l i m i tc o n c e p t a st h ec o r ec o n c e p to fm a t h e m a t i c a la n a l y s i s ，l i m i tc o n c e p te m b o d i e s s o m ec h a r a c t e r i s t i c so fs o m ea b s t r u s ec o n c e p t sa n dm a t h e m a t i c a la n a l y s i si nag r e a t d e g r e e t h e r e f o r e ，t h i ss t u d yi sh e l p f u lf o rt h et e a c h i n go fm a t h e m a t i c a la n a l y s i so r t h e s ea b s t r u s ec o n c e p t s k e yw o r d s ：l i m i tc o n c e p t ；i n q u i r i n gt e a c h i n g ；h i s t o r yo fm a t h e m a t i c s ； i v m a t h e m a t i c a lt h o u g h t ；m a t h e m a t i c a le x p e r i m e n t 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了标注。 学位论文作者：箝涛斌签字日期： 沙- y 年多月衫日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生部可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止)。 学位论文作者签名：忿家拭 签字日期：泖y 年弓月夕3 日 导师签名： 签字日期：月，秘 乃吖 卜积 坤 z 、( 导言 垦言 寸嗣 ( 一) 选题缘由 被马克思评价为他所喜爱的英雄的科学巨匠开普勒认为，上帝是按照数学语言来创造世 界的。伽利略也说过：自然这本书，是用数学语言写成的。毫无疑问，数学是人类科学和 技术的基石，正如华罗庚先生所说：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、 生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学的贡献。”纵观人类文明发展的科学史，不 少科学宗师巨匠都对数学情有独钟。美国政府资讯委员会在报告中指出：未来最好的工作和 岗位，属于那些准备好了用数学处理问题的人。在现今的数字化时代，数学己不单是一门学 科，更是重要的潜在资源；现今技术发达的社会，扫除“数学盲”的任务己取代了扫除文盲 的任务。数学越来越重要地影响着人们的生活。 作为数学基础的数学教育历来是被各个国家所高度重视的。大学是教育的主要阵地，大 学教育是提高国民素质的主要方式。数学分析课程作为近代数学的基础，是其他许多后继课 程的基础( 大学数学基础课程三基之一) ，其主体微积分是人类挑战智慧的一个革命性的胜利， 蕴含着丰富的数学思想和方法。正如美国数学家、数学教育家r 柯朗( r c o u r a n t ，1 8 8 8 1 9 7 2 ) 所指出的那样，“微积分是人类智慧最伟大的成果之一。” 而微积分的基础和研究工具是极 限理论，极限理论的核心是极限概念，因此，搞好极限概念的教学不仅关乎学生数学分析课 程的学习，而且关乎学生整个数学生涯的学习。但是，教学实践和相关研究表明，无论是中 学的描述性定义还是大学的“占”定义，极限概念对学生来说是都是很难掌握的 ( d a v i s & v i n n e r ，1 9 8 6 ；s i e r p i n s k a ，1 9 8 7 ；t a l l & v i r m e r ，1 9 8 1 ) 。即使经过精心设计的教学方法学 生还是持续拥有不完善的、交错的极限概念( d a v i s & v i n n e r ，1 9 8 6 ，w i l l i a m ，1 9 9 1 ) 。国内也有 不少研究表明，学生对极限概念的理解问题重重( 如文【1 1 0 ) 。事实上，极限概念的教学一 直是数学界公认的一个“老大难”问题，也是始于2 0 世纪9 0 年代初期的数学分析课程改革 的主要内容之一。 另一方面，上世纪八、九十年代，世界各国先后掀起了教育改革的巨大热潮，各种教育 理论泉涌而出。探究教学作为其中的一种基于人本主义和建构主义的教学学习方法，在初等 教育改革中取得了较大的成功。菲尔茨奖得主、数学家瑟斯顿( w i l l i a mt h u r s t o n ) 对数学曾有 过这样一番评述：数学是一个富有魅力的研究领域，这是因为它的主要部分是由人类的心灵 构成的固。同样是菲尔茨奖得主、对基础数学教育关爱至深的数学家托姆( r e n en o m ) 一再强 调：数学的学习应是一个自发探究的过程，如果认为只需通过大量的生硬强记，就会更容易 地学到数学，那无论如何是一个可悲的错误 。由此可窥见探究教学在数学教育界的受青睐。 o 怀特海科学与近代世界北京：商务印书馆，1 9 8 9 o 华罗庚大哉数学之为用人民日报，1 9 5 9 ob b o y e r , t h ec o n c e p t so i t h ec a l c u l u s c r i t i c a la n d h i s t o r i a c a ld i s c u s s i o no ft h ed e r i v a t i v ea n dt h ei n t e g r a l s ， h a f n e rp u b c o m 1 9 4 9 中译本：徽积分概念史，上海：上海人民出版社 访问记：向w p t h u r s t o n 提五个问题陈治中译数学译林，2 0 0 0 ( 1 ) ：6 4 6 6 r e n e t h o r n ：在我的数学生涯中遇到的问题小结周建义译数学译林，1 9 9 7 ( 4 ) ：2 7 5 2 8 5 西南大学硕士学位论文 但是一个奇怪的现象却是：探究教学虽然在初等教育中进行得轰轰烈烈，但在高等教育中却 几近寂然无声。而显然高等教育也需要探究教学，高等教育的探究教学势必不能照搬初等教 育的探究教学。 考察极限概念教学的文献，却没有叙及极限概念的探究教学的。基于以上认识，从理论 和实践的维度来研究极限概念的探究学习，并反思数学分析的探究教学无疑有着重要的现实 意义。 1 极限概念探究教学的必要性 ( 1 ) 社会时代呼唤探究教学 当今时代的几个重要的关键词是：创新、可持续发展、和谐、以人为本。当今社会以信 息技术为主要标志的高科技为核心的知识经济，将占据世界发展的主导地位，因此，任何国 家的实力都取决于其教育的发展、科学技术的发展和知识创新的程度! 这就对教育提出了更 高的要求，在新世纪，创新知识、发展高科技和对受教育者进行高素质的数学教育是必不可 少的，社会的飞速发展，使得人们不再终生从事一种职业，需要不断变换工作方式，人们接 受的教育的方式也已经从学历教育更多的转到终生教育、继续教育、大众教育，学校要培养 的是勇于进取、善于创新、有独立学习能力、能主动吸收新信息的的开拓型人才，教育不再 仅仅是传授知识技能，更要培养能承担社会责任和义务的人，还要促进经济繁荣、提高综合 国力等方面做出贡献，因此，现代教育更多的是关注发掘受教育者的潜能，促进受教育者的 可持续发展，教育必须使受教育者获得适应未来社会生活所必需的基本能力；当今社会还强 调和谐发展，只有和谐的发展才能持续发展，才能更快地发展，所有不和谐的发展都是要被 打断的。这些反映在教育教学上，就是要求我们培养的现代化人才应该是具有强烈的创新意 识和创新能力的、应该是学会了不断学习的可持续发展的、与时代和环境能和谐发展的人才。 而探究式教学，正是要求学生以类似科学家解决问题的探究方式来进行学习，科学家解 决科学问题在很大程度上是创新的过程，探究本身也含有创新的意蕴，因此，从某种意义上 来说，探究教学就是一种创新的过程。探究学习确认学生的绝对主体地位，是一种人本主义 的教育方式，注重学生个体在学习过程中带有个体特色的知识建构，注重学生的个体感知， 注重给学生提供和谐的学习环境，注重学生的人格、情感发展，注重学生能力素质的提高， “人人学有用的数学，”一切都是要使学生有可持续发展的能力。 因此，探究学习是符合时代要求的一种教育方式，在现行教育中应积极探索探究式教学。 ( 2 ) 极限概念教学呼唤探究教学 所谓“极限”概念包含了数列的极限和函数的极限，每种极限概念又有描述性定义( 也 称动态定义) 和“g 一”定义( 也称极限概念的精确定义、严格定义、静态定义、形式定义) ， 再加上每种定义的否定概念，极限概念就是一个包含5 6 个子概念的庞大的概念体系，还有极 限概念的一些变式叙述。这些概念也是有内在联系的，因此通常狭义的极限概念是指数列或 函数极限中的某个子概念，广泛地说，数学分析中大部分的知识都是极限概念的延伸，极限 是数学分析讨论的工具。因而，极限概念的学习不仅关乎学生对数学分析这门课的学习，实 际上也关乎学生整个数学生涯的学习，关乎学生最终能达到的数学造诣。 2 导言 极限概念本身呼唤探究教学。从数学史上看，极限理论早在古希腊时期欧多克斯( e u d o x u s ， 约公元前4 0 8 3 5 5 ) 提出穷竭法就开始萌芽，直到十九世纪的柯西定义( 即极限概念的精确 定义) 才给出比较严格的定义。极限概念先是有描述性的定义，早期历史上的莱布尼茨、牛 顿、麦克劳林、达朗贝尔、拉克鲁瓦、泰勒、拉格朗日、傅里叶、勒让德等大数学家都各自 有自己理解的描述性定义，经过了近二百年的努力，分析算术化的成功，才有了“e 一”这 套语言。可见要理解极限概念本身是有很大难度的，这样一个概念，广是凭教师的讲授显然 不能达到教学要求，必须要经过学生的自主建构。从极限概念本身的特点看，极限概念具有 复杂的逻辑结构、丰富的数学思想、要求高度的辩证思维能力、符号化的抽象数学语言，这 些也不是广凭教师的讲授就能达到教学要求的，必须让学生去主动探究，自己去建构极限概 念。极限概念教学难的现状正是表明了这一点。 极限概念的教学现状呼唤探究教学。在现阶段大一极限概念的课堂教学中，存在教师的 教法单一和学生的学法单一、学生学习兴趣低下、学习效率不高、学习内容脱离现实生活等 问题。在教学方法上，过于偏重符号演算和解题技巧的训练，忽视从直观( 主要来自应用和 美感) 和问题背景方面的引导。往往走的是一条只讲推理不讲道理的“最捷”路线，使学生 难以生动活泼、主动地学习【1 1 】。这指出了现阶段大学课堂教学中忽视数学思想、忽视学生的 主动参与、忽视学生的情感、忽视学生已有的认知结构和个体差异等等问题，更谈不上学生 的创新和可持续发展。因此，近十几年来，在数学分析改革的大背景下，极限概念的教学改 革也在积极地探索中。结合要改变学生学习不积极主动、不能持续发展的现状，充分发挥学 生的主体作用，在极限概念的教学中实施探究教学显得相当必要。 另外，调查实践表明教师和学生也希望在极限概念教学中实施探究教学。因此，要改变 极限概念教学的现状，亟需在教学中实施探究教学法，研究极限概念的探究教学有重要现实 意义。 2 极限概念探究教学的可行性 从教师的角度看：现在的大学教师都是具有较高学历和专业知识能力的，拥有一定的教 育学和心理学知识，对最新教育理论的学习也是比较容易的，这首先保证了实施极限概念探 究教学的能力尺度；其次，大学教师在教学之外也同时进行着科研活动，大学教师希望的教 学方式也不单是简单的重复讲授，也希望能与自己的研究相结合，能将教学和科研揉合在一 起，在教学过程中自己也受到启发或发现新的问题，与学生一起“双赢”，这就从心理和情感 上为极限概念探究教学的实施提供了条件；再次，现代社会的快速发展、高度竞争性和社会 就业压力等对教学提出了高要求，迫使教师改变陈旧落后的教学方式，这也为极限概念的探 究教学提供了条件。 从极限概念本身看：极限概念是一个有难度的概念，具有丰富的内涵，从极限概念的定 义到所包含的辩证思想、极限思想的运用等等，极限概念具有丰富的可探究内容，从浅层次 的探究到深入探究，极限概念的探究能适合不同水平能力层次的人，整个数学分析课程只是 极限探究的一个缩影。现阶段极限概念探究的文献非常多，这也为极限概念的探究教学提供 了可行性。 3 西南大学硕士学位论文 从学生的角度看：大一学生经历了中学的初步探究学习的培养，探究能力和探究意识、 探究兴趣、探究精神、心理层次都有所提高，这为极限概念的探究教学垫定了基础；其次， 大一学生解脱了高考指挥棒的束缚，能真正进行自己感兴趣的事情的探究，有较多的时间， 有指导者、计算机、图书馆、实验室、网络、较成熟的数学软件等好的探究条件，能轻松地 获取资料、找到合作者、交流者，能轻松地实施探究，这为极限概念的探究教学提供了有利 因素。 另外，教育理论的发展、国际社会和学校对教学改革的重视等客观因素也为极限概念探 究教学提供了契机。总的看来，在大一的学生中实施教师指导下的极限概念探究教学是可行 的。 3 本研究的意义 ( 1 ) 有利于探究教学理论和数学分析课程改革的完善 目前，探究教学在初等教育中取得较好的成效，但在高等教育中探究教学缺乏，极限概 念的探究教学缺失。是高等教育不适宜探究教学吗? 显然不是。极限概念教学方法的改革也 是数学分析课程改革的一大难题，因此，研讨极限概念的探究教学能完善探究教学理论和数 学分析课程改革。 ( 2 ) 有利于搞好极限概念和后继课程的教学 极限概念是衔接中学数学和大学数学的一个重要概念，是中学生进入大学学习的第一个 重要概念。极限概念本身的难度凸增了教学和学习的难度。极限概念的探究教学把教师的 “教”、学生的“学”、极限概念知识等等多个方面的相互作用过程看成一个有机整体，通过 在教师的组织、指导、合作探究、监督等活动作用下，学生主体的主动探究和主动建构起带 个体特色的极限概念知识，来完成极限概念的教学。学生主动探究的过程有利于学生的理解 和深刻记忆，也有利于学生获得更多的过程知识，有利于学生掌握探究学习的方式方法，便 于学生课后对课堂上未探究到得内容自行实施探究，达到将课堂延伸的目的，能真正培养学 生的学习能力。这样的教学，不仅有利于学生极限概念的学习，而且将教学的目的放到了重 点提高学生的能力上。 ，由于极限概念是数学分析的主要概念，极限理论是数学分析的主要理论，极限是数学分 析的主要工具，而数学分析是常微分方程、实变函数、复变函数、概率统计、数值分析等后 继课程的基础，因此，可以说极限概念是学生学习近代数学的“拦路虎”和“高门槛”。大一 的时候搞好极限概念的探究教学不仅能为学生学好数学分析和后继课程铺平道路，使学生学 到必要的数学基本知识和技能而且能够培养起学生好的学习方法。如果极限概念没有掌握 好，不仅影响数学分析课程的学习，而且严重打击学生的学习心理，进而也影响学生对一些 后继课程的学习。极限概念反映了复杂的辩证思维、复杂的逻辑结构和丰富的数学思想，搞 好极限概念的教学也有利于培养学生的辩证思维能力，对学生的可持续发展和创新科研有很 大的好处，其作用是远远大过了极限概念这个具体知识本身的。这也是大多数数学教育者不 肯让极限的非“占”语言取代“”语言的主要原因【1 2 1 。 ( 3 ) 有利于学生数学能力素质的培养 4 导言 对极限概念的探究教学能培养学生对现实生活中数学问题的观察、分析、解决能力，能 增强学生的动手能力和科研能力，有利于提高学生建立数学模型和运用计算机的能力，有利 于提高学生对数学的认识，有利于培养学生综合运用数学的能力。 对极限概念的“美”的探究教学，有利于对学生数学文化的熏陶，有利于激发学生的学 习积极性。极限概念反映了无限与有限、近似与精确、动与静、整体与局部等许多对立矛盾 的统一，在极限概念出现之前，没有学科，甚至是哲学也不能从根本上解决反映无限本质的 阿基里斯追不上一只乌龟的“芝诺悖论”，极限概念所涉及的“无限可分”、“实无限与潜无限”、 “整体与部分”等都是哲学探讨的问题，因此，极限概念是一个内涵很丰富的概念，具有高 度的哲学美；刻画极限概念的“g ”语言，是一种高度概括抽象，复杂又逻辑结构严密的数 学语言，对变量的变化趋势给出了非常深刻的“动态”描述，简洁、清晰地刻画了极限概念 的本质，是数学语言表达力和数学符号化的一个完美体现，但同时它却蕴涵了丰富的辩证思 维和丰富的数学思想。许多数学家在回忆录中都深情地说当他在真正懂得极限“”语言的 那一刻起，他便成为一个数学家了。极限的“s ”定义在逻辑论证中威力强大，数学分析中 很多涉及到基础性的证明，都要用到它。这些反映了极限概念的数学美。 ( 4 ) 有利于学生的人格完善和可持续发展 极限概念的探究教学能充分激发学生的主体意识，培养学生的团体协作和交流能力，培 养学生的主动探究精神和科学研究精神，培养学生的创新意识、精神和能力，这些有利于学 生的人格完善和可持续发展。现代社会飞速发展，随机因素增多，成功的困难增大，就业压 力增大，这些带给了学生更多的压力感、挫折感和迷茫感，报纸电视上经常有“现代学生不 知道去向何方”的报道。探究教学能提高学生的方向判断意识和能力，能增强学生抵抗挫折 的坚强感，有助于学生在学业、职业研究方面的选择，有利于培养学生健康、健全的人格。 4 从事该研究具有强烈的兴趣和实践基础 笔者多年在教学一线从事数学分析的教学，多次进行极限概念的教学，每讲一次就越发 感受到极限思想的魅力和激动人心，越发感受到数学思想的深邃，但是反观学生没有太大的 热情，因此，促使笔者进行了大量的反思与实践。 由于极限概念的教学难和迷人魅力，每年都有相当数量的相关文章发表，以及探究教学 理论正不断发展完善，这些都为本课题的研究提供了可行的条件。 ( - - ) 国内外相关研究 由于极限概念教学的综述性文献较少，在此，笔者作一较全面的叙述，并按照极限概念 学习的发展顺序分成三块：对中学生极限概念的调查研究、对大学生极限概念教学难的现状 及原因研究、教学策略研究。 1 对中学生极限概念的主要研究 ( 1 ) 对无限的调查研究 极限就是用有限解决无限的一个重要工具，极限本身从过程来看也是一个无限的过程。 学生头脑中关于无限的思维，对极限的概念有着重要的影响。d a v i dt a l l 认为! 学生建立极限概 5 西南大学硕士学位论文 i i 念困难的原因之一就是学生缺少无限的经验这一认知根源( c o n g n i t i v er o o t s ) ，他认为在考虑建 立极限概念的时候，应该注意到学生对无限的认识【1 3 】。因此，学生在接触极限定义之前的经 验，对他们形成那些概念表象有着深刻的影响。另外不同的学生会产生不同的无限思想，不 同无限之间存在冲突1 1 4 1 。 e f i s c h b e i n 研究了不同年级、不同学校的学生对无限的直觉，他对区间的无限可分性调 查了4 百7 0 名小学生和初中生，他得出年龄和教法对无限直觉的影响不明显；他还与其同 事调查了不同的无限概念存在的一些冲突，如单一的潜无限的直觉和基数理论中众多无限之 间的冲突f 1 6 j 。 季冬青在对四所学校、高二高三两个年级、2 3 个班的1 2 4 2 人进行了调查【3 1 ，表明中学 生对无限的认识主要有3 点：几乎在所有的中学生印象中，o o 是一个无限大的实数，可以 象般实数那样参与四则运算。学生碰到无限集的时候，会不自觉地运用处理有限集的方 法或思想。当他们面临无限问题的时候，促使他们作出判断的更多的是依赖自身的感觉或逻 辑上的判断，而几乎没有有关概念上的深层性的认识。无限集如作为整体对待，可以为多 数学生接受，这时他们会注重“整体”，而“忽略”集合木身的无限性。该调查也表明，中学 生对“一一对应”思想没有深刻认识。学生对无限的朴素观念是潜无限观念，大多学生“对 实无限与潜无限对立统一认知困难，只理解潜无限，不理解实无限”。 ( 2 ) 对极限理解的调查研究 文【1 6 】、文【1 7 】和文【1 8 】对不同年龄阶段的学生关于极限有关概念和极限概念本身的理解 进行了研究，结果表明学生的理解困难重重。 日常生活中的极限常被理解为不可能或不应该超过的一些事物凹】，对数学上的极限理解 的调查表明学生对极限是近似值还是精确值、是可到达还是不可达到存在困惑【1 】。极限思想 在实际教学中没有得到普遍的认可和推广，学生在碰到有些代数问题中无穷小量的处理上存 在困难【2 j 。 ( 3 ) 对极限术语的研究 s c h w a r z e n b e r g e r ( 1 9 7 8 ) 的研究表明，如物理里的“极限速度”，与数学上极限过程相联系， 包括如“趋向于”、“趋近”、“接近”等词语，在口语中与数学上的含义也不是相同的，口语 中代表接近但是永远不会达到，而数学上的极限是可以达到或取到的，这一点就使得学生困 惑。 文 2 0 1 与文【2 1 】的研究表明，大多数非形式的极限思想本身带有一种趋向于极限值的动态 感觉，在尝试用日常语言“简化”极限概念的时候，面对极限的动态概念中如“无穷”、“任 意小”等相关概念用非形式话的描述来帮助学生理解时也存在一定的困难。 对上述三方面的调查表明中学生即使经过了高中极限概念描述性定义的初步学习，由于 高考导向等原因，在进入大学以前极限概念也是非常薄弱的，这表明了学生进入大学进一步 学习极限概念前的原有认知结构状况。 2 极限概念教学难的现状及原因研究 文【7 1 具体分析了大学生在极限概念的理解和使用上都困难重重的各种表现，并且初步分 6 导言 析了极限概念教学难的原因。 朱卫平对不同专业的大学一年级本科生的极限、连续、可导三个概念的概念表象和三个 概念关系的理解水平进行了研究，结果表明：三个不同专业都存在不少的学生对函数在点 处的极限、连续、导数的概念表象是片面的、冲突的、甚至是缺乏的；三个不同专业相当一部 分学生对函数在一点的“极限”、“连续”、“导数”概念理解是互相孤立的，不理解它们两两 之间的联系【6 j 。 梁英从认知心理角度对数列极限概念进行了抽象度分析【2 2 1 ，得出：d ( - ) = 1 ，相对抽象度 d e g ( 数列极限l 常量) - - 8 ，d + ( ) = 1 ，用到的抽象方式有：强抽象和广义抽象等多种抽象方法。 并且在回顾国内外学者的讨论基础上，结合理论分析比较全面的总结了极限概念教学难的原 因f 4 】：极限概念由直观到严谨的生成历史是漫长的，这说明概念本身具有高度抽象性；概念 的复杂逻辑结构使己经习惯了初等数学的直观、简洁的概念获取方式的学生，遇到思维方式 颠倒的数列极限的“”语言的定义方式时，认知水平偏低；概念蕴涵的丰富辩证思想加剧 概念的抽象程度：概念的多级抽象关系包含众多不易掌握的抽象概念，并需要用到原来认知 结构中的许多同着点，要求学生原概念结构应非常优良：概念使用了符号语言，数学符号来 源于自然语言却又高于自然语言，需要学生具有高度的概括能力；恰当的认知根源的寻找并 不容易，这使学生在最初的概念学习时借助于各自的有限空间概念帮助建立了一些不正确的 心理表征；而概念间错综复杂的关系更降低了数列极限概念的可认知性。 综观所有文献，极限概念的教学难主要原因在于：极限概念本身高度抽象；极限概念要 求高度的辩证逻辑思维。 3 极限概念的教学策略研究 国外单独研究极限概念的教学策略的比较少见，而是多见于融入整个微积分的教学之中， 目前，美国的微积分教学改革后，很多微积分教材都提出“t h er u l e o f f o u r ”( 四元素法) 2 3 】， 即提出每个概念都要用图像、数值、符号、语言四中方式呈现给学生。典型的是h o w a r d a n t o n 所著的微积分学，他导出极限的方法首先是十页有关极限的直观介绍，然后是十页求极限 的操作，接着是十页使用一6 定义的正规的论述。美国的极限概念的教学充分运用了计算 机。但实际上，我们知道，一种好的教学是不必拘泥于形式的，它永远是我们向心中的理想 教育境界迈进的动力。 国内的研究主要有两种： 是研究怎样由极限概念的描述性定义过渡到精确定义，现在大部分的教学和文献都采 用以下方法( 参看文【2 4 】一【3 4 】) ：( 1 ) 实例引出数列极限的描述性定义：随着n 的无限增大，f i t 无限地接近某一个常数口，则称口为该数列的极限。( 2 ) 分析引导出精确定义：随着n 的无限 增大，口。无限地接近某一个常数口营随着，l 的无限增大，口。与口的距离无限减小营随着，z 的无限增大，i 口。一口i 无限减小营当n 充分大时，i 口。一乜i 可以无限小营当玎充分大时， l 口。一口i 可以小于任给的正数营 d e 0 ， 当，l 充分大时， k 一口i 0 ，科n + ，v n n ，i a 。一a i o ) ，( 科e n + ) ，( v n ) ，( k a i 0 ，v n n ，i a 。一口l 0 ，v n n ，l a 。一a l s ”等当作极限定义使用的错误。 因此，要认识清楚极限概念，需要有较高的辩证分析能力。所谓辩证分析是指用普遍联 系的、发展的、全面的观点去看待数学问题，这里指把“e n ”定义分解成几部分、方面、 因素分别加以考察，找出各个部分的本质属性及彼此之间相互作用、相互影响的联系。辩证 思维反映的是事物的运动、变化、发展过程以及事物之间的辩证关系。苏联数学教育家奥加 涅相赞美动态抽象思维说：“真正完美的思维首先是辩证思维”恩格期指出：“变数的数学 其中最重要的部分是微积分一本质上不外是辩证法在数学方面的运用”( 反杜林) 。 极限概念的“一n ”定义正是从量上描述了变量在无限变化过程中的变化趋势，其中蕴涵 丰富的辩证思想，主要体现在下面几点上： 1 “存在定数口”，这个a 不是先给出来的，给出来的只有数列a ) ，我们是要根据和。) 的特点去找到一个实数a ，使其满足后面的条件，如果找不到，则a 就是不存在的。因此， 在用极限的精确定义证明极限的时候，先要找到“可疑的”口，再来根据后面的操作判断a 是 不 1 r 二、极限概念教学难的主要原因分析 是数列 口。】的极限，a 只能是先凭感觉去找到的，而不能通过精确定义去发现口。从这个意 义上说，精确定义只是一个验证性的定义。 2 “对任给的正数s ”，即v e r + ，可以在实数域内任意取值。极限定义中s 的作用 是衡量数列的通项a 。与a 的误差大小，s 越小，表示a 。与a 的误差越小。一方面，从整体 上来看，“任给的正数占”，表明s 可以任意取值，具有绝对的任意性，它可以取得比任给 的正数还小，这说明了a 。与口的误差可以比任给的正数还小，即是说a 。与a 的误差是可以 趋于0 的。另一方面，从占任意取值的“整体”中的“片断”来看，s 具有相对的确定性，f 一日给 出，那么它就是一个确定的实数，l 以。一a l g 表明了a 。与a 的误差趋于0 的过程中的某个阶 段，这时的只是取定尺+ 中的一个定值罢了。整体上来看，f 是绝对任意的，是“动态”的 变量；从局部片断来看，是相对确定的，是“静态”的常量。这正是辩证法在数学中的体 现。世界是绝对运动的，但相对于某个个体来说，世界又是静止的。f 的绝对任意性，使我 们可以刻划a 。与a 的误差程度，的相对确定性，使我们可以从量上进行刻划。的绝对任 意性正是通过无限多个相对确定性的s 表现出来的，正是通过看似矛盾的任意性和确定性， 使我们能完美地从“量”上刻划数列极限。 正是由于s 具有绝对的任意性，因此，c s ( c 是正常数) 、2 ，等都是任意 给定的正数，都能起到s 的作用，因此，精确定义中的i 口。- a i 占也可改为1 日。- - d is s ，这 常让初学者不解，其原因就是辩证思维的缺乏。 3 “3 n 札”，的作用是把数列的项从下标处分成两部分，只要求后面部分的所有 下标对应的项都要满足l 口。一口l n ，i a 。一a l s 。精确定 n 义是一种高度概括抽象，复杂又逻辑结构严密的数学语言，对变量的变化趋势给出了非常深刻 的“动态”描述，简洁、清晰地刻划了极限概念的实质。 数学语言是数学特有的形式化符号体系，依靠这种语言进行思维能够在可见的形式下再 现出来。数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言。其特点是准确、严密、简明。由于 数学语言是一种高度抽象的人工符号系统，因此，它常成为数学教学的难点。数学无非就是 用数学语言来表情达意，斯托利亚在数学教育学一书中指出：“数学教学也就是数学语 言的教学。” 数学语言由于其严密、简洁、表达力强、涵义丰富等特点，被认为是最美丽的语言，法 国著名数学家拉普拉斯( l a p l a c e ) 说：“数学分析的语言，是所有的数学语言中最完善的 语言，而且语言本身就成为新发现的有力工具。特别是那些被构思出来的种种必要概念，往 往是许多新算法的起源。”他还说：“微分运算，具有代数运算的全部精确性。”霍格说： 如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一座大 门，并且必须通过这座大门，在这座大门上用每种人类语言刻着同一句话：“这里使用数学语 言。”数学语言可以说是迄今为止惟一的世界通用语言。曾经有人讨论如果外星人到达地球， 我们用什么语言去交流，结果是“勾股定理”这个“数学语言”。 ( 四) 教学方式和学习方式的单一 目前，在大学数学的教学中存在一些问题，这也是造成极限概念教学难的一个原因。 首先，教师的教学方法单一。现在的多数高校课堂教学方法过于陈旧，大学生在知识的 学习过程中缺乏主动性。目前在大学教学中，大多仍沿袭传统的“注入式”、“教授式”教学 方法，没有实质性重大。教师讲授知识多，培养学生理论思想能力少；教师讲授理论、原理 多，启发学生对实际问题进行理论思考少；教师提供现成结论多，引导学生从事实中概况结 论少；教师按照学科内在逻辑结构展开讲授多，而按学生的认知规律讲授少；教师“独唱” 。( 苏) 斯托利亚丁尔升等( 译) 数学教育学【m 】人民教育出版社，1 9 8 4 2 2 4 2 0 二、极限概念教学难的主要原因分析 多，教师与学生的“合唱”少；重教有余，重学不足；灌输严重，启发不足。教学中存在这 样的诸多问题，导致学生在教学中积极性低下，学习兴趣完全被抹杀，学生的头脑变成了教 师和数学教材任意践踏驰骋的草地，严重导致了学生对教师和教材的盲从，只是记住公式， 而不考虑其是否正确，不考虑其来由和应用，完全是教条式的机械接受。我们怎么能期待这 样的教学能有好的效果? 能够期待这样的数学教育能够提高我国的公民的数学素质? 能够期 待这样教出来的学生能够对数学有独到的见解? 能够对数学的发展做出点贡献? 另一方面，学生的学习