（应用数学专业论文）金融市场利率流通量微分方程模型的建立与定性研究.pdf

摘要 本文在各种不同的金融背景下，建立了一系列反映金融系统利率变化的微分 方程模型，并应用微分方程稳定性理论研究了金融市场利率的变化规律及其稳定 性。系统地应用现代微分方程理论( 包括泛函微分方程脉冲微分方程) 对模型船 的性态进行了较深入细致的研究，其研究结果揭示了金融领域的若干内在规律， 并对金融市场的稳定性做出了解释和预测。本研究对金融理论的发展提供了一种 新的思维模式，具有重要理论价值；同时，研究结果可为金融领域宏观决策提供 一种新的依据，具有一定的现实意义。 本文笫二章首先建立了封闭系统的利率一流通量微分方程模型，证明了各结 点利率加权和为常数即金融市场利率均衡原理，以及各结点利率极限为整个网络 平均利率；其次在各结点基本利率不相同的情况下，建立了非齐次利率一流通量 微分方程模型，证明了金融网络各结点利率加权和仍是一个常数，并证明了各结 点两两之问的即时利率之差最终将稳定地趋于其基本利率差；此外，还研究了开 放金融网络利率- 流通量方程模型，考虑了结点自身追加资金和提走资金的情形 以及网络外邵注入资金和向外邵转移资金情形下的利率变化规律，用l y a p u n o v 稳 定性理论证明了模型均衡解的稳定性；最后，还研究了具有时滞的金融网络利率 一流通量方程模型，并给出了具有时滞金融网络的利率流通量方程具有周期解的 充要条件。 本文第三章研究了出现有限次突发事件时的利率一流通量方程，证明了不同 时间段的网络平均利率也不相同，并且，随脉冲条件的变化而变化，同时给出了 相邻两个时间段网络平均利率之间的关系，就网络中每个结点而言，其即时利率 最终稳定于结点基本利率与网络增长率之和。另外，考虑到利率随流通量变化的 比例系数通常与时间有关，因此，本章又建立了非自治利率流通量方程，并对其 解的性质在常规情形以及有脉冲扰动的情形都做出了详细的研究。 本文第四章研究了开放网络中具有无限次脉冲扰动情形的利率一流通量方 程，对于线性以及非线性脉冲扰动，本章都给出了脉冲扰动下系统仍然保持稳定 的条件以及脉冲扰动引起系统稳定性改变的条件。 关键词：金融市场，利率，流通量，微分方程，稳定性。 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s t r u c t sas e r i e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nm o d e l sr e f l e c t i n gt h ei n t e r e s tl a t e c h m l g e si n t i mf i n a n c i a ls y s t e mf o l v a r i o u sf i n a n c i a lb a c k g r o u n d s i ta l s os t u d i e st h el a w s o fc h a n g e so fi n t e r e s tr a t ea r i dt h es t a b i l i t yo ff i n a n c i a lm a r k e tb ya p p l y i n gt h es t a b i l i t y t h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t i l es t u d yw i t ha l le l a b o r a t ei n s i g h ti sm a d eo ft h eb e h a v i o r o ft h em o d e ls o l u t i o n sb a s e du p o nt i l es y s t e m a t i ca p p l i c a t i o no fm o d e r nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e o r i e si n c l u d i n gf u u c t i o n a ld i f f e r e n t i me q u a t i o na n di m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e r e s e a r e hr e s u l t sb r i n gt ol i g h ts o i n 8i n h e r e n tl a w si nf i n a n c i a lf i e l da n d i n t e r p r e ta n dp r e d i c tt h e s t a b i l i t yo ff i n a n c i a lm a r k e t t h i sr e s e a r c ho f f e r sa n e w t h i n k i n gp a t t e r nf o rt h ed e v e l o p m e n t o f i b m n c i a lt h e o r i e sa n dt h u si so fv i t a lt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e m e a n w h i l e ，t h er e s e a r c hr e s u l t o f f e r sad e wb a s i sf o rt h el n a e r o d e c i s i o n i n a k i n gi nf i n a i i m i a lf i e l da n dt h e r e f o r ei so fs o m e p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i nt h ef r s ts e c t i o no fc h a p t e r 2 ，t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nm o d e lo fi n t e r e s tr a t e a l n o u n t o fc i r c u l a t i n gh a u li nac l o s e ds y s t e mi sc o n s t r u c t e d 7 a a di ti s p r o v e dt h a tt h e6 u i uo ft h e w e i g h t e di n t e r e s tr a t e s o f a l ln o d e si sa c o n s t a u t ，n a m e l y , e q u i l i b r i u mp r i n c i p l eo f h l t e r e s tr a t e o ff i n a n c i a ln e t w o r ka n dt h a tt i ml i n f i to ft i l ei n t e r e s tr a t e so fe a c hn o d ei st h ea v e r a g ei n t e r e s t r a t e so ft i l ew h o l en e t w o r k i nt i l es e c o n ds e c t i o no fc h a p t e r2 t i l ef a c tt h a tt i l ee s s e n t i a l i n t e r e s tr a t e so fa l ln o d e sd i f f e rf r o me a c ho t h e ri sd i s c u s s e d ，an o n 一 l o l n o g e n e o u sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nm o d e lo fi n t e r e s tr a t e a m o u n to fc i r c u l a t i n gf u n di se s t a b l i s h e d ，a n di ti sp r o v e d t h a tt i l es u i uo ft i l ew e i g h t e di n t e r e s tr a t e go fe a c hn o d ei nt i l ef i n a u e i a ln e t w o r ks t i l lr e m a i n s ac o n s t a n ta n dt h a tt h ed i f i e r e n c eo ft i l ei n s t a n ti n t e r e s tr a t e sb e t w e e nt w on o d e sw i l lf i n a l l y a p p r o a c ht h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e i rb a s i ci n t e r e s tr a t e s i nt i l et h i r ds e c t i o no fc h a p t e r2 ， t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nm o d e lo f i n t e r e s tr a t e - a m o u n to f c i r c u l a t i n g f u n di na i io p e n s y s t e m i ss t u d i e d ，t i l el a w so fd l a n g e so fi n t e r e s tr a t ea r et a k e ni n t oa c c o u l l tw h e nf u n di s i n j e c t e d i n t oo rw i t h d r a w nf r o mt i l en o d eo rw h e nf u n di si n j e c t e di n t ot h en e t w o r ko rw i t h d r a w nf r o m t h en e t w o r k ，a n dt i l es t a b i l i t yo f e q u i l i b r i u ms o l u t i o ni sp r o v e db a s e du p o nl y a p u n o vs t a b i l i t y t h e o r y i nt h el a s t ，t h ee q u a t i o nm o d e lo fi n t e r e s tr a t e - a m o u n to fc i r c u l a t i n gf u n di nt i l e f i n a n c i a ln e t w o r kw i t ht i m ed e l a yi s s t u d i e d ，a i i l ( tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt i l e i i e x i s t e n c eo fp e l i o d i cs o l u t i o ni so b t a i n e dt ot h ei n t m 。e s tr a t e - a m ( m n to fc m ：l f l a r i n gf u nc l e q u a t i o nw i t hd e l a y 7 i h et h i i dc h a p t m o ft h et h e s i sm a k e sa s t u d yo t t h ee q u a t i o no fi n t e r e s tr a t e a m ( ) l i n to t c i r c u l a t i n gf u n d o i ll i m i t e do c e a s i o i l so fs u d d e ne v e n t s ，p 1 o r e st h a tt h en e t w o r k a v e r a g ei n t e r e s tr a t e so fd i t t h r e n tt i m ep e r i o d sa r ea l s od i f f e r e n ta n d c h a n g ew i t ht h ei m p u l s i v ec o n d i t i o n s ， a n dm a k e sc l e a rt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en e t w o r k a v e r a g ei n t e r e s tr a t e so ft w on e i g h b o r i n g t i m ep e r i o d s a sf a ra se v e r yn o d ei nt h en e t w o r ki sc o n e e n l e d i t si n s t a n ti n t m e s tr a t ew i l l t e n dt ( ) ，i nt h ee n d ，a tt h es u i uo ft h eb a s i ci n t e r e s tr a t eo f e v e r yn o d ea n dt i l e “r o w t hr a t eo f t h en e t w o r k m c ) r e o v e r ，e o t l s i ( t m i n gt h a tt h ep l 。o p o r t i o n a lc o e f f m e n t sa tw h i c hi n t e r e s tr a t e s c h a n g e w i t ht h ea m o u n to t c i r c u l a t i r l gf u n dd e p e n do nt i m e ，t i m1 1 0 1 1 一a u t o i | o i n o t l si n t m e s t r a t e a m o u n to fc i r c u l a t i n gf u n de q u a t o i ni sc o n s t r u c t e da n da i le l a b o r a t e s t u d yi sm a d e o f t h en a t u r eo fi t ss o l u t i o ni nn o r i n a le a s e sa n di l lt i l ec a s e so f i m p u l s ed i s t u r b a n c e i ”t i l ef o u r t hc h a p t e ro ft h et h e s i s ，as t u d yi sm a t eo ft h ee q u a t i o no fi n t e r e s tr a t e - a m o u n to fc i r e u l a d n gf u n dw i t hi n f i n i t e i m p u l s ed i s t u r b a n c ei n a i lo p e nn e t w o r k a sf a r a sl i l l e a ra n di l o i l l i n e a r i m p u l s ed i s t a , b a f f e e s a r ec o n c e r n e d ，t i l ec o n d i t i o n so nw h i c ht h e s y s t e ms t i l l r e n l a i n ss t a b l eu n d e ri m p u l s ed i s t u r b a n c ea n dt h ec o n d i t i o n s0 1 1w h i c hi m p t l l s e d i s t u r b a n c el e a d st ot h ec h a n g e so ft i l es t a b i l i t yo ft h es y s t e ma ied i s c u s s e d k e y w o r d s ：f i n a n c i a lm a r k e t ，i n t e r e s tr a t e ，a i n o u n to f c i r c u l a t i n gf u n d ，d i f f e r e n t i a le q l l a t i o n ，s t a b i l i t y i i i 1 1 引言 第一章前言 随着全球经济的飞速发展，经济全球化与全球金融一体化已成为大势所趋。 其突出表现是：国际金融市场空前繁荣，跨国界的资金流动总额已大大超过国际 贸易总额，世界各国特别是发展中国家迎来了新的经济增长契机。然而，与之俱 来的是金融市场越来越不稳定，存在着各种各样的金融风险，稍有疏忽则会爆发 金融危机，破坏和减缓国家经济的发展。因此，对金融市场稳定性的研究正在成 为经济研究尤其是金融理论研究的主旋律，吸引了许多专家学者致力于这方面的 研究工作 1 - 1 3 。 可以说整个金融理论体系都是围绕着金融系统的稳定性与风险管理的框架 进行研究和发展的。近二十年来发展起来的现代金融风险管理学是一门崭新的学 科，其赖以产生和发展的理论基础则正是五十年代发端的蕴含着丰富的风险分析 和风险定价思想的一系列金融数学模型。如：m a r k o w i t z 的资产组合管理模型， s h a r p 和r o s s 创立的资本资产定价模型【1 4 ，1 5 ，以及b l a c k 和s c h o l e s 创立的期权 定价模型【1 6 1 。 金融理论的数学模型研究最早可以追溯到1 9 0 0 年l o u i sb a c h e l i e r 的投机理 论，这一理论的出现标志着连续时问的随机过程和连续时间的期权定价理论的诞 生 1 7 。在其后的半个世纪中，尽管m a c a u l a y 于1 9 3 8 年建立了债券交易市场上发 行者和投机商非常有用的债券价格对利率的敏感性分析模型等f 18 ，但这些模型 在实际中并没有得到很好的重视。五十年代末和六十年代初，投资分析和资本市 场的金融数学建模有了大的突破，开始了现代金融理论研究的新纪元。m a r k o w i t z 于1 9 5 2 年提出的期望方差模型是这一时期最有代表性及影响力的工作f 1 9 1 。理论 界称之为二十世纪的第一次金融革命。这一模型的提出吸引了一大批数学家和经 济学家开展这一领域的研究，从而使得这一模型得到了不断的完善，出现了一些 新的证券组合选择模型 2 0 2 7 。金融理论的另一次革命性的成果是b l a c k 和s c l - o l e s 于1 9 7 3 年提出的基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足一组微分 方程 1 6 。之后，金融衍生2 2 具的定价理论不断出现新的成果，并在九十年代形 成了一门崭新的金融学科金融工程 2 8 。 张陶伟等学者认为：所谓金融市场稳定性是指市场交易者能够放心在市场上 进行交易，交易价格反映基本经济因素变化，而当这些因素没有明显变化时，交 易价格不应出现剧烈的短期波动【2 9 。 据作者所掌握的文献，目前大量关于金融市场稳定性与风险分析的研究都集 中在金融产品交易策略与对策方面，如m a r k o w i t z 的资产组合理论，b l a c k s c h o l e s 的期权定价理论及在此基础上发展起来的数以万计的对该模型的改进与实证的论 文。其理论基础乃是把金融资产价格变化看成如同分子布朗运动一样的无规律的 随机现象，并依赖于所谓的“有效市场”假说和“随机游走”假说，但大量的实 证研究则不断得出否定这两大基本假说的结论 3 0 一3 4 。 但是现代金融理论毫无疑问正向着科学与确定性研究方向发展，因此，就不 仅要研究金融产品交易的策略与对策，还要研究宏观的与微观的金融市场的客观 规律。统计理论及其实证研究是在对历史数据进行统计分析后，在“历史总会重 演”假设前提下，对现时与未来进行分析与预测的，因而其方法本身就具有一定 的不确定性( 风险性) 。因此，我们认为，要科学地研究经济现象，把握市场规律， 特别是对于金融市场风险研究，除了运用统计理论与方法外，应尽可能的象应用 物理与应用力学那样，运用确定性的数学原理与方法，对其进行严格论证和精确 计算，这就是本研究的初衷。 1 9 9 6 年至2 0 0 1 年，中国学者云天铨教授提出了股市计算的基本原理和基本 方程模型，在国内首次从市场运行规律以及金融工具交易原理与实践相结合的角 度，提出了如最近时原理、从势原理及供求差分原理等定量计算股市的数学方程 与公式 3 5 4 1 ，我国应用数学界与金融理论界的许多专家、学者对云教授的研究 思想和方法产生了浓厚的兴趣，国外许多大学与银行、证券公司等也纷纷向云教 授索取相关资料或邀其参与理论研究和实务操作。 云教授( 1 9 9 9 ) 认为：金融市场的稳定性与利率稳定性有关，而利率稳定性又 与资金流通量密切相关 3 8 。在这里，利率集中反映了材料、设备、工资、销售、 管理效益、物价或通涨等因素，而资金流通量体现了投资的社会趋向。云教授研 究金融市场问题都是基于如下的基本假设： ( 1 ) 影响金融市场的量化指标如下： a 交易对象 b 交易的方式( 买和卖) 2 c 交易的时间 e 交易的数量 d 。交易的价格 ( 2 ) 交易价格涨跌由供求关系决定，即：供大于求则价跌；求大于供则价涨。 ( 3 ) 进行交易的目的或所用策略是以谋求获得最大利润为宗旨。 ( 4 ) 将整个经济看成是一个网络( 称经济网络) ，它有m 个结点，分别用阿拉伯 数字1 ，2 ，来表示，分别代表各经济部门或行业，如股票证券业、银行金融业、 房地产业、；在股市内部看成是一个网络( 称股市网络) 时，i 分别代表各个 个股以及与其有资金往来的部门或行业。由于各结点之间利率随时问而改变，而 投资者的目的在于获取最大利润，因而各结点之间将会产生资金流动。 定义结点i 在单位周期的利率为r i ( t ，t ) = a ( t t r + “t ) - - f c l a i i t ) ，i = l ，2 ，m 。 记r ；为结点i 的初始利率( 也称基本利率) ，它表示各结点之间都没有资金流 动时结点i 的利率，考虑证券市场，如股市网络，各结点的基本利率可视为基本 相同，故不妨假设对任意的轧，= l ，2 ，m ，哼= r ；，就得到股市网络即时利率变化 的方程组，即为证券市场利率一流通量方程( 本文称其为云氏模型) ： m1 允( t ) = c h ( t ) 一n ( 吼 j = l “j i ，z 云氏利率一流通量方程模型首次用微分方程模型研究金融市场波动性，用确 定性数学模型( 而非统计模型) ，揭示了金融网络结点间利率差与结点利率升降变 化的关系，对金融市场风险测量提供了新的理论工具和计算模型。但云氏模型只 是对于齐次的、封闭的和没有政策调整因素下的微分方程模型，而且对解的性质 并未作深入研究。而对这些问题的研究可以使云氏模型更贴近实际，使利率波动 理论更加科学和完善。因此本文在云氏模型基础上，研究了非齐次模型、开放系 统模型、时滞系统模型、有限次政策调整模型和无限次政策调整模型，并分别研 究了其解的定性性质。改进后的模型更接近金融市场实际，便于量化分析。因此， 本文研究具有重要理论意义与现实意义。 1 2 本文的主要工作 本文首次用微分方程稳定性理论研究了金融市场利率的变化规律及其稳定 性。对于各种不同的金融背景，建立了一系列反映金融系统利率变化的微分方程 3 模型。系统地应用现代微分方程理论( 包括泛函微分方程、脉冲微分方程) 对模型 解的性态进行了细致的研究，其研究结果揭示了金融领域的若干内在规律，并对 金融市场的稳定性做出了解释和预测。本研究对金融理论的发展提供了一种新的 思维模式，具有重要理论价值；同时，研究结果可为金融领域宏观决策提供一种 新的依据，具有一定的现实意义。 第二章中，首先讨论了证券市场利率一流通量方程： 。( ) = c i h ( ) ，：t z j t 的解的各种性态，证明了各结点利率加权和为常数的利率均衡原理，在股市网络中 可解释为某个股利率的增加，势必引起其他一种或几种个股利率的减少，同时，也 证明了各结点两两之间的即时利率之差最终将稳定地趋于其基本利率差，其次， 在各结点基本利率未必相等的一般情形下，建立了所谓的非齐次利率一流通量方 程。 m1 ( t ) = c 。 【o ( t ) 一n 0 ) 】+ 【哼一r ； ) ，i = 1 ，2 ，一，f l ( 1 2 2 ) j = l 0 2 j f 并在更一般情形下，证明了其股市利率均衡原理，通过应用l y a p u n o v 函数方法证 明了其利率的稳定性趋势。 此外，考虑到全球金融一体化的发展趋势，前面讨论的相对封闭网络的利率 流通量方程模型明显存在局限性，因此，紧接着本章建立了考虑网络结点自身资 金注入和逃逸以及考虑外部资金追加和抽出的所谓开放网络的利率一流通量微分 方程模型： r n 11 ( t ) = c 。 考 ( q ( z ) 一哼) 一( n ( t ) 一霄) 】一焘 n ( t ) 一r ： ) + d 厶( t ) ，i = 1 ，2 ，。一，m ( 1 2 3 ) j 萎。 ” 对该模型的研究发现，在开放网络条件下，各结点利率加权和的不变性已不再成 立，但如果只考虑网络外部资金的追加或撤出，则各结点利率仍然稳定趋近于其 基本利率，而且是渐近稳定的，当考虑到网络自身资金的追加或撤出时，各节点 利率变化的趋势将依赖于自身追加资金的情况。 最后，我们考虑到已有模型中存在的一些弊端，如假设网络各结点利率的变 化率只与当时的金融状况及现状有关，而忽略了历史状况对现在的影响，于是所 4 导出的模型都是常微分方程，而事实上，一个金融网络各结点利率的变化率不仅 与当时的状况有关，而且还紧紧依赖它的历史状况。按照这种思路，建立了下面 的时滞利率一流通量方程 i t ( t ) = q 萋去h o t ) 一吲一去。一丁) 一蜊) ，江1 ，2 ，_ ( 1 。2 。4 ) ；j 。 在这种复杂情形下，分别对解的稳定性、周期性、振动性进行了系统研究，获得 了一系列充分条件与充分必要条件，从而更精确地揭示了金融网络利率的变化规 律。 在第- s 章中，对因战争、瘟疫和自然灾害等突发事件的爆发以及政府为稳定 金融市场对金融政策的调整进行了全面考察，在模型研究时即对已有的模型加上 脉冲扰动建立新的数学模型，由于问题的现实性和复杂性，本章对相对封闭网络 考虑了常数跳跃型脉冲扰动情况、线性比例脉冲扰动的情况和非线性脉冲扰动的 情况，即讨论了如下三类模型： ( 1 ) 跳跃型线性脉冲扰动 ) = c ：茎毒t ) 一r 扣一咖，t # t j ， ，i 【n ( 芍) = r i ( t j ) + d ，t = 勺，i = l ，2 ，一，仇，7 2 1 ，2 ( 2 ) 比例型线性脉冲扰动 f 吐( t ) = c i j 曼= l 去( h ( t ) 一吲一h ( t ) 一r ? ) ，t 如， 、j 2 【n ( t ；) = “玎n ( 白) ， t 2 勺，i = 1 ，2 ，m ，j2 l ，2 ，一，m f 1 2 6 ) ( 3 ) 非线性脉冲扰动 卜( t ) = q 兰寺州t ) 一廿一) 一哪，t 萌 j 2 【n ( t ；) = ( n ( t j ) ) ， 扛t j ，i2 1 ，2 ，r 心j21 ，2 ，m ( 12 7 ) 对于跳跃型线性脉冲扰动情形，我们证明了若干次突发事件将区间 t o ，+ o o ) 分为n + 1 个时间段，任意两突发事件之间时段内，网络各结点利率的加权和仍 保持为一个常数。同时，还证明了任意两时间段乃与一的网络平均利率之差等 于第j 次突发事件对整个网络的扰动利率o j 。接着又证明了，对于任意的时间段 厶内，网络平均利率等于网络初始平均利率与前j 次突发事件对整个网络的扰动 利率之和壹o - k 。从而对整个网络最终平均利率p n 就等于网络初始平均利率p 。 与扰动利率叫之和。最后，通过对网络固有利率、增长率、网络初始平均利率和 扰动利率之间关系( 7 + p = p 。+ 叫) 的研究，证明了跳跃型线性脉冲扰动下的金融 网络，任意结点7 的即时利率稳定于其基本利率r ；与整个网络的增长率7 之和。 对于比例型线性脉冲扰动，我们证明了任意两突发事件之间的时间段内仍有 各结点利率加权和为常数的结论；同时，还证明了任意两时间段厶与一t 的网络 平均利率之比等于第j 次突发事件对整个网络的扰动的比例因子；接着又证明 了任意时间段厶内，网络平均利率与网络初始利率之比等于前7 次突发事件对整 个网络的扰动的比例因子血o * ；特别地，整个网络的最终平均利率肌与网络初 r = l 始平均利率p 。之比即等于网络扰动比例因子v = f la m ，最后，证日月了在比例型 线性脉冲扰动下对于固定的扰动比例因子哟，网络中任意结点j 的即时利率稳定 于整个网络的增长率，y 之和，即。l i i n ，t j ( t ) = 略+ 7 = 咭+ p o 茚，一p 对于非线性脉 冲情形，我们得出了对于满足一定条件的非线性脉冲函数影响下的任意两时间段 与h 的平均利率之间的关系所满足的条件，还得出了网络最终平均利率与网 络初始利率的关系。 另外，本章就所建模型中利率随时问变化的比例系数通常与时间有关的事实 出发，又建立了非自治利率流通量方程模型，并且证明了相对封闭网络的利率均 衡原理仍然成立，以及方程解的性质在常规情形和有脉冲的情形仍然具有类似的 结论。 在第四章中，考虑了金融系统中出现突发事件的长期性和周期性，同时考虑 了在开放的金融网络中研究具有无限次脉冲扰动的情形，建立了相应的利率一流 通量微分方程模型： c t ，= g 萋去c c q c t ，一吁，一c nc 一r ；， 一忐c n c 一r ； ) + 吨 t c ，t t t r 。：( t ) 一r i ( t l ：) = 一q ( r ( n ( t ) 一r ；) ) + d 。( s 女( r ：( “) 一r ；) ) ，t = “ 6 对于该模型的特殊情形：n ( t ：) 一n ( 奴) = a 。( ) 一r ；) 进行了定性研究，证明 了当。n ( h 氐+ ，) 收敛时，相应的利率一流通量方程的零解是全局渐近稳定的。并 进一步证明了在各结点没有向自身追加或撤出资金的开放金融网络中，如果育d k 收敛，则网络中各结点即时利率最终仍将稳定于其基本利率；对于考虑向自身追 加或撤出资金的开放网络，只要百( i i a 。+ 川) 收敛，则方程组的每个解都稳定且 其满足初始条件r ( 如) = 风的解由下式给出： r ( t , t o , r o ) = 训( t , t o ) r 。+ ( 邮，妒瓠 ( 1 2 9 ) 最后，本章还讨论了在线性脉冲扰动下，金融网络利率稳定性改变的情形， 借助于如下方程组 e ( t ) = c m a x a l u ( z ) ，t t k ，七= 1 ，2 ， ( 毒) = l “( t e ) ，t = t k ，( 1 2 1 0 ) a ( t o ) = v ( 凡o ) 其中， = “孔( 1 a 诎+ 1 i ，i = 1 ，2 ，- - ，仇) ， ( r ) = ；r t c r 我们证明了，如果序列( 已) 无界( 其中靠= 重吗e c m a z a l t t + i ) ，则方程组( 1 2 8 ) 的任一解都是不稳定的。对于非线性脉冲振动也得到类似结论。 1 3 基础知识 1 3 1 正定二次型与正定矩阵 定义1 3 ，1 设，( 。，耽，。) 是一个实二次型，如果对于任意一组不全为零的 买数c i ，c 2 ，c n ，都有，( c - ，c 2 ，c 。) 0 ，就称y ( z ，z ：，z 。) 为正定的；如果对于 任意一组不全为零的实数c - ，c 2 ，c 。，都有f ( c ，c 一。) 0 ，t o r 1 ，存在j ( s ，t o ) o ，使得f f z o f d ( ，t o ) 时，满足初始条件z ( f o ) = 。的解 z ( t ，t o ，知) 有 忙( t ，t o ，x 0 ) i f 0 ，使得l i z o 6 ( t o ) 时，。里i l x ( t ，t o ，z 。) 1 1 = 0 。 定义l ，3 。5方程( 1 , 3 ，1 ) 的解z = 0 称为渐近稳定的，如果x = 0 是稳定的，并 且是吸引的。 定义1 3 6 方程( 1 , 3 1 ) 的解z = o 称为全局渐近稳定的，如果z = 0 是渐近稳 定的，并且定义1 3 4 中的d ( 托) 可任意大。 设函数w g 阮r 】，w ( 0 ) = 0 ，v ( t ，。) c i q ，r ，y ( t ，【】) 三0 。 定义1 3 7 称函数( z ) 在q 上正定( 负定) ，若在q 上w ( x ) o ( 一w ( z ) ( 】) 且w ( z ) = 0 仅有零解x = 0 。 定义1 38 称函数v ( t ，z ) 为正定的( 负定的) ，若存在正定( 负定) 函数w ( z ) ， 使v ( ，z ) w ( z ) ( t ，z ) w ( z ) 在，q 上成立，且v ( t ，0 ) = 0 ，称y ( t ，z ) 在，s 2 上半正定【半负定 ，若y ( t ，z ) o _ y ( t ，) 0 。 8 定理1 3 。3 ( l y a p u n o v 稳定性定理) 若存在正定函数v ( t ，z ) ，使 d 副y i 一，= 面d v + 娄差脚，。( ”1 ) 2 面十刍瓦肼z 胫”， 则( 1 3 1 ) 式的平凡解z = 0 是稳定的。 定理1 3 ，4 若存在正定函数y ( t ，z ) ，使酱h 3 1 ) 负定，则( 1 3 1 ) 式平凡解渐 近稳定。 关于微分方程解的稳定性理论的详细讨论参见文献f 4 7 - 5 1 1 3 3 脉冲微分方程 考虑如下脉冲方程组 iz = ，( ，z ) ，t t 女，= 1 ，2 【z = 厶( z ) ，t = 如 其中，c ( r 1 r “，r ”) ，z r “，t o t 【 t 2 。( 。t ) 2 。 ) 一z ( 靠) ，。( t 吉) 2 占黔z ( 如+ ，；) 。 ( 13 2 ) 0 时，表示在时刻t 由结点i 流向结点f 的单位时间资金流动量，a i j ( t ) 0 ，则有如下的方程式 忍( z ) 一r j ( ) = k j v 4 j i ( t ) ，( 2 2 3 ) 由于本节主要考虑证券市场，即股市网络，各结点的基本利率可视为基本相同， 故不妨假设对任意的i ，7 1 ，2 ，- ，m ，r ；= r i ，此时方程( 2 2 3 ) 变为： r i ( t ) 一r a t ) = k j i 如i ( t ) ，( 2 2 4 ) 另一方面，对某个结点i ，资金总量增加的越快，即时利率变化也越快，不妨假设 它们之间成正比。假定结点i 为代表某经济实体( 如企业) 的个股，考虑到任意经 济实体的规模、人员、技术等是有限的，所以其总利润是有限的，其它结点m i ) 向结点i 投入的资金越多，即时利率n ( t ) 将越低。因此我们又得到如下方程： i i ( t ) = 一c i a ( t )( 2 2 5 ) f 2 2 6 ) 将( 2 2 4 ) 代入( 2 2 6 ) ，再代入( 2 2 5 ) ，就得到股市网络即时利率变化的方程组， 我们称其为证券市场利率一流通量方程( 见文献f 3 8 ) ： m 吒( t ) = ( = l 亡h ( z ) n ( t ) ， ( 2 2 j = l ，； ，z 2 3 方程( 2 2 7 ) 的定性分析 本节，我们将用微分方程理论对方程( 2 2 7 ) 作详尽讨论，并对结果作出经济 学上的解释。 1 3 0岛 m 荔 = l a l22 由数系蒯比为 c 中其 首先由( 2 22 ) 与( 2 2 4 ) 易知，k 。，= b 。，为方便起见，我们将方程组( 2 27 ) 表 示为向量的形式： f ( t )