（运筹学与控制论专业论文）中立型时滞系统的稳定性分析(1).pdf

中立型时滞系统的稳定性分析 摘要 在实际生产和生活中，时滞现象普遍存在，时滞的存在破坏了系统的稳定 性及其控制性，严重影响了控制系统的性能指标。特别是中立型系统，由于系 统的运动不仅与系统当前的状态有关，还与系统过去的状态相关，工程模型中 通常以中立型泛函微分方程来描述此类系统。由于此类方程解的性态较为复杂， 使得对这种系统的稳定性分析比通常时滞系统更加困难。这类系统的研究相对 滞后，除基本理论、稳定性理论及其可控性外，其他结论较少。但由于多数时 滞系统都己可转化为中立型系统来研究，在过去的二十多年里，中立型时滞系 统的稳定性分析取得了较快发展，并取得了一定的研究成果。 本文主要运用l y a p u n o v 第二方法，通过构造检验矩阵及引进自由矩阵，借 助m a t l a b 工具箱的l m i 软件，给出了一些中立型系统的时滞相关稳定性条件。 主要研究内容如下： 1 首先概述了中立型时滞系统的解的一些基本定理，线性矩阵不等式的基本理 论和方法。 2 其次，讨论了中立型不确定时滞系统的鲁棒稳定性，在l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法的基础上，利用自由权矩阵的思想，通过引入一些能够减少结论保 守性的自由矩阵，得到了一个基于l m i 的时滞相关稳定性条件。 3 再次，通过构造检验矩阵，利用模型集结给出了中立型定常时滞大系统的稳 定性判据；对于中立型定常时滞大系统的分散镇定问题，给出了各个不含时 滞的孤立子系统都是能控时，系统为镇定时的状态线性反馈控制器的设计方 案 关键词：时滞系统；中立型不确定系统；大系统；稳定性；l 川： s t a bi lit ya n aiy sisf o rn e u t r ai s y s t e m sw jt h tim e d eia vlim e d ela v t h ep h e n o m e n o no ft i m e d e l a y si s 仔e q u e n t l ye n c o u n t e r e di n r e a lw o r l d t h ee x i s t e n c eo ft i m e d e l a y se f f e c tt h es t a b i l i t yo f s y s t e m sa n dr e s u l ti np o o rc o n t r o lp e d o m a n c e e s p e c i a l l y ；m e n e u t r a ls y s t e m sc o n t a i nn o to n l yi n f o r m a t i o no ft h ec u r r e n ts t a t e ， b u ta l s ot h ei n f o m a t i o no ft h ep a s ts t a t e ；m ec o m p l e x i t yo ft h e p e r f o n n a n c ei nt h en e u t r a ls y s t e m sm a k e si t m o r ed i 伍c u l tt o a n a l y s i st h a nm et i m e d e l a ys y s t e m s s ot h ed e v e l o p m e n to ft h e r e s e a r c ho nm o s to ft h en e u 订a ls y s t e m si ss l o w ，e x c 印tt h er e s u l t o nt h eb a s i ct h e o t h es t a b i l i t yt h e o ua n dt h ec o n t r 0 1 l a b l e m e o 够h o w e v e r ，b e c a u s em a n yt i m e d e l a ys y s t e m s c a nb e t r a n s l a t e di n t on e u 仃a ls y s t e m s ，n e u t r a ls y s t e m sh a v eg o tm u c h 犹e n t i o n ，a n dh a v ea c h i e v e dm a n y r e s u l t s ba s e do nm el y a p u n o vs e c o n dm e t h o d ，b yc r e a t i n gat e s t m a t r i xa n du s i n gt h ef r e e w e i g h i n gm a t r i xl i n e s ，t h i sp a p e r s t u d i e s p r o b l e m s o fd e l a y - d 印e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i af o r t i m e d e l a yn e u t r a ls y s t e m s t h em a i nw o r k sa r ea sf o l l o w i n g ： 1 b a s i ck n o w l e d g eo nn e u t r a ld e l a ys y s t e m sa n dm e t h o do fl m i a r ei n t r o d u c e d ； 2 t h er o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i af o rn e u t r a lu n c e r t a i n t ys y s t e m s w i t ht i m e d e l a yi sd i s c u s s e d b a s e do nt h el y a p u n o v l o a s o v s k i i i l m n c t i o nm e t h o d ， b yu s i n g t h e行e e w e i g h i n g m a t r i x l i n e s ， a d e l a y d 印e n d e n ts t a b i l i t y c r i t e r i ai so b t a i n e d b ya p p r o p r i a t e l y i n t r o d u c i n gs o m e 仔e em a t r i x e sf o rr e d u c i n gm ec o n s e a t i o no ft h e c o n c l u s i o n a n di ti ss h o w nb yt h en u m e r i c a le x a m p l e st h a tt h e r e s u l ti se f 瓷c t i v e 4 t h es t a b i l i 妙c r i t 砸ai sg i v e nf o rt h en e u t r a l 白，p ei n v 撕a n t l a 玛e s c a l es y s t e m sw i t ht i m e d e l a yb yc r e a t i n gat e s tm a t r i xa n d m a s s i n gm o d e l ，a n dt h ed e s i g no fs t a t el i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l l e ri s o b t a i n e dw h e nt h es y s t e mi ss t a b i l i z i n ga n de a c hs u b s y s t e mw i t h o u t t i m e - d e l a yi sc o n t r 0 1 l i n g a tl a s t ，e m u l a t i o ne x a m p l e si nt 1 1 ep a p e r s h o wt h ea v a i l a b i l i t yo ft h et e s tm a t r i x k e y w o r d s ： tim e d eia ys y s t e m s ；n e u t r alu n c e r t ains y s t e m s ： lar g e s c aies y s t e m s ：s t a biiit y ：l mi 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：徐哮韧签字日期：汕呷年娟五汨 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权学校可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录剑中国学 位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适 用本授权二伟) 学位论文作者签名： 铬睁硼 签字日期：1 年s 月2 。日 导师擗刁桕芝 签字日期文。年r 月 中立型时滞系统的稳定性分析 o 前言 在自然科学和工程技术的研究中，许多现象都用微分方程作为他的数学模 型，这些问题实际上都是假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而和过去 的历史无关。但是，事实告诉我们，许多事物的变化不仅依赖于当时的状态， 还依赖于过去的状态，在这种情况下，微分方程就不能很精确的描绘客观事物 了，代之而起的就是微分差分方程，特别是带时间滞后的微分方程。 事实上，除了理想的情形之外，动力系统总是存在滞后现象。从工程技术、 物理、力学、控制论、化学反应、生物医学等中提出的数学模型带有明显的滞 后量。特别，在自动控制的装置中，任何一个含有反馈的系统，从输入信号到 收到反馈信号，必然有一个时间差，因此，用传统的微分方程去描述系统的状 态只是一种近似，必须符合精度的要求才行，否则将导致错误。随着高技术的 发展，在工程实际中不断提出新的控制任务，且对系统模型的要求以及控制器 的设计要求越来越高，滞后在系统中是普遍存在的，例如，化工系统，液压系 统，轧钢系统等都具有时滞，而且时滞是系统不稳定的一个重要因素，因而引 起了国内外学者对时滞系统的广泛重视。 l 中立型时滞系统概述 1 1 时滞系统的应用背景及其研究意义 时滞微分方程有着广泛的应用，它涉及许多学科中的许多领域，如人口理论、 医学问题、生物学、经济问题、自动控制理论、物理学等。下面给出几个用时 滞微分方程描述的系统： 例1 n 1 图1 所示的石油精炼厂是一个典型的时滞系统控制问题，原料a 和b 进入化学反应器参与三个化学反应精炼出产品p 以及一些别的副产品。c ，e 分别表示原料a 和b 的进料速度( 每小时磅) ，得到化学反应器的线性化方程 是 中立型时滞系统的稳定性分析 = 6 。4 8 口( ，1 + o 3 4 7 6 ( ，) 一3 2 5 ) + l 。8 7 e 0 一1 ) 一l 。0 4 i ，( ，) 。 = o 8 3 3 6 ) + ll 。o c ( ，) 一3 9 烈f ) 专o ，7 2 4 p “一1 ) 。 其中时间单位是1 0 分钟，万e ，万b 分别表示原料a 和b 标准进料速度的偏差， 是化学反应器的棒量，口( f ) ，6 ( f ) 分别表示反应物a 和b 标准值的偏差，c ( f ) 是 媒介c 的偏差， 五= 口，恐= 6 ，毛 反应器方程表达成线性时滞系统 戈( f ) = 4 x ( f ) + 4 x 0 一1 ) + b “( f ) 其中 4 = 一1 0 1oo li1 9 2 0o 一5 3 0一1 2 8o ll o1 9 2o o 3 4 7 3 2 5 “0 4l ，4 2 l oo 1 8 7 o 8 3 31 1 03 9 6l l ooo 例2 2 3 1 9 7 3 年w p l o n d o n 和j a y o r k e 研究了麻疹传播模型： s ( f ) = o ) s ( f ) s ( f 1 2 ) 一s o 一1 4 ) 一2 ，】+ ， 其中s ( f ) 表示在t 时刻无免疫力的个体数目，r 是这个个体在人口中所占的比 例，( f ) 为人口特征函数，常数滞量1 4 和1 2 是潜伏期的上限和下限。 2 艮如 曩一 万一仃 磅 ， 丘一眨 统一例 。 糟 h m 愆 ，一 承 易 糊 矧 漱 湫 m 蛇 撇 哪 岫 ， “ 瞰 隧 孙 曼 一 )=r。 9 叱 一 一 如一毋如西如一旃咖诉 让 堕毗 o = 差 屯 偏 。 眦 盟叱 口明 献 刖 ) 4 驯 g 1j 0 1 o o l o 0 0 = b ， 1j o 0 o 0 3 o ) “讲o 、f 0 6 。l 中立型时滞系统的稳定性分析 例3 西1 研究无损传输线连接问题时得到中立型模型 如( f ) 一觑i o 一二) = 厂( “( f ) ，甜( f 一= ) ) ， ss 例4 川研究扩散过程，得到 其中仃，p 0 蚱= 口( f ) 够。一p ( x ，f ) 甜( z ，f 一) + g ( x ，f ) “( x ，f 一户) 鉴于时滞在系统中的普遍存在性，且是系统不稳定的重要因素，加之许多 时滞系统是慢变系统，单纯利用补偿的办法并不能保证系统稳定，因此研究时 滞系统有很重要的理论意义和应用前景。特别，在工程实践中中立型系统是一 类更为广泛的时滞系统，如涡轮喷气式飞机引擎系统，横向切削问题、船的稳 定性，微波振子，人口免疫反应，以及血液中的白蛋白分布等；其次许多时滞 系统都可以转化为中立型系统来研究，如无损传输线模型，标准时滞系统，标 准分布时滞系统等；因此研究中立型时滞系统具有重要的理论价值和实际意义。 1 2 中立型时滞系统的发展及其研究现状 时滞系统是由泛函微分方程来表达的，自1 9 5 9 年以来，无论是一般的泛函 微分方程或者是较具体的微分差分方程，其发展是非常迅速的，在解的基本理 论、稳定性理论、周期解理论、振动理论、解算子理论、分子理论等许多方面 出现了重要的成果。7 0 年代以来，无穷时滞和无界滞量的泛函微分方程也跟着 兴起，发展非常迅速。 时滞系统的稳定性分析方法主要有三种：l y a p u n o v 第二方法；代数方法； 分析方法；其稳定性条件，根据是否依赖系统时滞的大小，可以将其分为时滞 独立和时滞依赖两类。 ( 1 ) l y a p u n o v 第二方法：应用l y a p u n o v 第二方法，只要选取适当的l y a p u n o v 泛函，直接应用系统状态空间方程就可以得到是系统稳定的充分条件。在时间 域中研究参数不确定系统的鲁棒分析与综合问题的主要理论基础是l y a p u n o v 稳定性理论。其中l y 印u n o v 第一方法主要通过寻找系统方程特征根，此方法对 分析简单系统的稳定性较为有效且易于实现，但用于分析时滞系统特别是对中 立型系统的稳定性较为困难。早期的一种主要方法是r i c c a t i 方程处理方法。尽 中立型时滞系统的稳定性分析 管应用求解r i c c a t i 方程处理方法便于进行一些理论分析，但是在实施这些方法 之前，往往需要先确定一些待定参数。这些参数的选择不仅影响结论的好坏， 而且还会影响问题的可行解。现有的r i c c a t i 方程处理方法中，还缺乏寻找这些 参数的最佳方法，因此参数的这种人为确定方法给结果带来很大的保守性。另 一方面，r i c c a t i 矩阵方程本身的求解也存在一定的问题。目前存在很多求解方 法，但多为迭代法，这些方法的收敛性并不能保证。 2 0 世纪9 0 年代初，随着求解凸优化问题内点法的提出，线性矩阵不等式 再一次受到控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领域中。许多控制问 题可以转化为一个线性矩阵不等式的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不 等式约束的凸优化问题。1 9 9 5 年，m a t l a b 推出了求解线性矩阵不等式问题的 l m i 工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地处理、求解线性矩阵不等式， 进一步推动了线性矩阵不等式方法在系统和控制领域中的应用。这给l y a p u n o v 提供了强有力的研究工具。 由于l y a p u n o v 方法的充分性，所得结果优劣常常取决于l y a p u n o v 泛函选 取的好坏。其结果主要由r i c c a t i 矩阵不等式或线性矩阵不等式给出。如文献 5 】 通过构造多个线性矩阵不等式，从而获得中立型线性时滞系统的基于多个线性 矩阵不等式的时滞相关稳定充分条件。 ( 2 ) 代数方法：代数方法即频域响应法，是基于1 劫l p u n o v 第一方法的， 即对于时不变系统，若系统的所有特征值位于复平面的左半平面内，那么系统 是渐进稳定的。也就是说，要求系统的所有特征值都有负实部。频域响应法研 究时滞系统复杂而且困难，有很大的局限性。若考虑标准线性时滞系统 文( f ) = 血( f ) + 4 x 0 一f ) 的渐近稳定性，必须解特征方程 d e t ( 旯，一彳一爿l p 一五7 ) = o 而这是一个超越方程，要得到它的解是非常困难的。对中立型时滞系统来说， 特征方程更为复杂，何况存在无限不稳定谱的中立型时滞系统。 ( 3 ) 分析方法：文献 6 一1 0 运用了分析的方法。其中，文献 6 】讨论了离散时 滞系统的滞后无关性指数稳定性。文献【7 考虑了一类单输入单输出时滞系统， 给出了一种估计滞后量大小的算法。文献 8 ，9 研究了不确定时滞系统与时滞量 4 中立型时滞系统的稳定性分析 的大小相关的稳定性条件，在当前状态矩阵与滞后状态矩阵的和矩阵稳定的条 件下，给出了系统渐近稳定的滞后上界。文献【1 0 给出了非线性时滞系统稳定 的滞后无关性条件，并且对解的衰减速度进行了估计。 中立型时滞系统的发展相对滞后，这主要是由于中立型泛函微分方程中差 分算子d 较难处理，使这类解的性态更加复杂。近几年来，中立型时滞系统的 稳定性的研究已日趋成熟，代表性的研究成果如文献 1 1 1 3 】。 5 中寺型时滞系统的稳定性分析 2 基础知识 2 1 中立型时滞系统解的基本结果 1 9 7 0 年m a c m z 和j k h a l e 提出了一种特殊的中立型泛函微分方程 未。亿t ) = 邝，砒f 气 ( 2 - 1 - 1 ) 初值条件为 吒( 1 9 ) = 缈( 臼) ， v 9 【一f ，0 】 ( 2 - l - 2 ) 考察中立型泛函微分方程( 2 - 1 一1 ) ，设q 是r e ，中的一开子集，d ，为q 掣 的连续泛函，d 在0 处是原子的，即如下定义： 定义2 1 1 h 1 假设q r c 关于元素( f ，矽) 是开集。如果算子d ：q r ”( 不必是线性 的) 对于的一阶、二阶f r e c h e t 导数是连续的，那么算子d 对于q 上的是原子的。 典型的算子d 定义为 d ( 矽) = 矽( o ) 一g 矽o r ) ，e ， ( 2 1 3 ) 这里g 为常数矩阵，且g r “”。 如果存在气尺，口o ，x c ( 一f ，f o + 口 ，j r ”) ，并血( f ) 在区间，+ 口】上满足式 ( 2 一l - 1 ) ，则称x ( f ) 是式( 2 1 1 ) 的解。对于给定的( 乇，矽) q ，若式( 2 一l 一1 ) 的解x ( f ，妒) 满足初值条件式( 2 1 2 ) ，则称x ( f ，计为式( 2 一l - 1 ) 的初值解。 定理2 1 1 1 ( 局部存在性) 对于任意的( 气，缈) q ，且d ( f ，矽) 对于的二阶f r e c h e t 导数连续，则式( 2 1 - 1 ) 存在 过( 气，伊) 的解。 目前，式( 2 1 1 ) 关于一般性的泛函d ，厂尚无解的整体存在性结论，但对于很 特殊的情况，即d ( f ，矽) ，厂( f ，矽) 关于矽都是线性的情况，文献 1 5 给出了式( 2 - 1 - 1 ) 解的 整体性的一个结果。特别对于中立型自治系统，文献 1 6 给出了解的整体存在性。 定理2 1 2 n 4 1 ( 整体存在性) 线性中立型自治系统 鲁耻，誓) = 厂( 誓) ( 2 1 4 ) 6 式中d ，厂为q 一尺”的连续泛函，且d ( 矿) 在。处是原子的，则式( 3 4 ) 对任意矽e ， 在卜f ，叫上的解存在。 定理2 1 3 n 们( 唯一性) 若厂( f ，矽) 在q 中的紧集上对矽满足l i p s c l l i z 条件，则 对任何( 气，妒) q ，式( 2 - l - 1 ) 过( 气，伊) 的解是唯一的。 定理2 1 4 1 ( 连续依赖性) 假设q r e ，为开集，人为某b a n a c h 空间中的 一个子集，d 和厂：q 八专兄”满足以下条件： ( i ) 对每个允a ，d ( f ，矽，允) 在o 点处为原子的，关于兄人一致地成立； ( i i ) 对每个五a ，d ( f ，痧，见) 与厂( f ，矽，名) 在( 乇，缈) q 连续；对每个( 乇，缈) q ， d ( f ，名) 与厂( f ，矽，兄) 在( 气，矽，五) 连续； ( i i i ) 方程未d ( f ，凡) = 厂( f ，t ，凡) 在区间 乇一f ，仞存在过( 气，伊) 的唯一解，则存在 ( 岛，矽，磊) 的一个邻域( 岛，伊，凡) ，使得对任何的o ，驴，彳) ( f ，缈，五) ，方程 詈d ( f ，) = 厂( t ，爿) 在区间 f 一f ，】存在过( f ，缈) 的解，且当f f o ，】， ( f ，妒，旯) ( f ，缈，九) 时，t ( f ，矽，兄) 在( f ，f ，缈，名) 处连续。 中立型泛函微分方程的光滑性与标准时滞微分方程是完全不同的，这是由于下 述原因所致。 假定d ( f ，) = x ( f ) 一g x o r ) ，由于初值条件通常是任意的，也就是说， 戈( 若) 矽( 石) = 戈( 石) 即解x ( 枷，) 的一阶导数在f = 不连续。又 戈( 菇) 21 i 毋 g 圣( 气一f + 矗) + 厂( 气+ 办，+ ) 】 _ 0 。 。 u 一 而通常 矽( 石) ( 岛一f ) + 厂( 气，吮) 如果考虑z ( f ，伊) 在，= 岛+ f 的导数，因为戈( 菇) j ( 百) ，于是 7 中立型时滞系统的稳定性分析 j ( ( + f ) + ) = ! i 嘿 g 譬( 岛+ 矗) + ( 岛+ f + ，+ ，+ ) 戈( ( 气+ f ) 一) 疗 u 从而得出结论：不论初值函数缈多光滑，如果解x ( f ，缈) 的一阶导数在f = 处不连 续，则解x ( f ，缈) 的一阶导数在f = 乇+ 妇( 后为大于1 的整数) 处不连续。 如果初值函数够满足 矽( 石) 矽( 乇一f ) + 厂( 气，九) 那么解x ( f ，伊) 的一阶导数在f = 气+ 幻( 足为大于l 的整数) 处连续。 2 2r a z u m i l ( h i i l 型定理 定义2 2 1 n 帕 若v 占 o ，使得对给定( 任意) 的满足l l 伊i i o ，w ( s ) o ，“( o ) = ，( 0 ) = w ( o ) 。若存在连续函数 矿：j r e ，一r ”，使得 1 ) 甜( 1 d ( 矽) 1 1 ) y ( f ，矽) 1 ，( 1 i 矽1 1 ) ； 2 ) 矿o ，矽) 一w ( | id 矽( o ) i ；) 。 那么中立型时滞系统( 2 1 1 ) 的零解是一致稳定的。 如果当s 专0 0 时，“( j ) 专，则中立型时滞系统( 2 一l - 1 ) 的零解是一致有界 r 中立型时滞系统的稳定性分析 的； 如果当s o 时，w ( s ) 0 ，则中立型时滞系统( 2 1 1 ) 的零解是一致渐近稳 定的。 注：如果矿( f ，矽) 的上界由矿( f ，矽) 一以i | p ( o ) 1 1 ) 给出，定理的结论仍成立。 2 3 线性矩阵不等式( l m i ) 的相关问题n 力 近十几年来，线性矩阵不等式( l m i ) 被广泛用来解决系统控制中的一些问 题，随着解决线性矩阵不等式的内点法的提出，脚l a b 软件中线性矩阵不等 式l m i 工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的注意和重视。 随着凸优化理论的不断发展和计算机功能的不断强化，线性矩阵不等式( l m i ) 这一工具在控制系统设计中日益受到重视，被认为是l y a p u n o v 方程和r i c c a t i 方程的补充和替代。 2 3 1 线性矩阵不等式表示方法 所谓l m i 是指一个具有如下形式的矩阵不等式： ，n f ( z ) = 磊+ 玉量 o ( 2 3 1 ) 其中玉( 扛1 ，2 ，研) 是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式( 2 2 1 ) 的决 策变量，z = ( 一，) r 是由决策变量构成的向量，称为决策向量。已知常数对 称矩阵e = 互7 r “”，江1 ，2 ，m 。式( 2 2 - 1 ) 中的不等号“ ”指的是矩阵f ( x ) 是负定的，即对所有非零向量y r ”，v r ，( x ) ， o 或f ( x ) 的最大特征值小于零。 举警5 甜。 9 中立型时滞系统的稳定性分析 季 三 + 五 三 2 3 2 控制约束的线性矩阵不等式表示方法 系统控制中的许多问题可以通过适当的处理将其转换成具有( 式( 2 3 1 ) ) 形式的一个l m i 问题。 1 多个线性矩阵不等式约束 互( x ) o ，互( z ) o ，c ( x ) o ( 2 3 2 ) 可以转化成 疥昭( 鼻( 工) ，e ( x ) ) 0 2 ( 凸) 非线性不等式转化成l m i 的形式 在线性矩阵不等式使用之前，许多控制问题是用r i c c a t i 不等式方法来解决 的，而r i c c a t i 不等式的求解带有一定的保守性。在此，可以将非线性不等式通 过s c h u r 补充引理转化成l m i 的形式。下面给出s c h u r 补引理的具体描述： 定理2 3 1 ( s c h u r 补引理) n 8 1 ：设q = q r ，r = 尺7 ，s 为适当维数的常数矩阵，则 线性矩阵不等式 ( 晏 3 当且仅当 尺 o ，q 一欢一1 s r o ( 2 3 4 ) 或 q o ，r 一蹭一s r o ( 2 - 3 5 ) 成立。在这个引理中，尺一蹭- 1 s7 称为q 的s c h u f 补。 2 3 3l m i 在控制系统中的几个典型问题 1 可行性问题( l m i p ) 检验是否存在满足线性矩阵不等式f ( 工) o 的，若满足则此线性矩阵不等式 l o 0 、-、 o o 1 2 l 0 0 2 o ，。，。l 砭 + 、 o 0 5 1 o 0 中市型时滞系统的稳定性分析 足可行的，否则是不可行的。 可行性问题，在m a t l a bl m it o o l b o x 中用f e a s p 函数可以求得，对线性 矩阵不等式互( x ) 最( x ) + 名，f e a s p 函数将在其约束下搜索决策变量，使其满足 约束的旯最小，若丸i 。 o ，则线性矩阵不等式互( x ) 最( z ) 有解，对应的决策 变量x 即为一组可行解。 2 特征值问题( e v p ) 该问题是在一个线性矩阵不等式约束下，求矩阵f ( 力的最大特征值的最小 化问题或确定问题的约束是不可行的。它的一般形式是： m i n 名 “篓： ? ( 2 - 3 - 6 ) 占li z j oj 日( 功 0 、7 这样一个问题也可以转化成以下的一个等价问题 m i n ，x j 友，( x ) o 是时滞；f = m a ) 【 矗，j ) ；么，曰，c r “。 伊( 口) 为连续可微初始函数；鲋( f ) ，曲( ，) 是时变不确定实矩阵函数，并假设具有 以下结构： 4 ( f ) b ( ，) 】_ d f ( f ) 包瓦】 ( 3 2 2 ) 其中：d ，色，毛为适当维数的实常数矩阵；，( f ) 是一个具有l e b e s g u e 可测元素的 不确定矩阵函数，且满足 ，r ( f ) f ( f ) ， ( 3 2 3 ) 对任意f 0 都成立 1 2 中立型时滞系统的稳定性分析 首先需要研究当鲋( f ) = 0 ，衄( f ) = 0 时如下中立型时滞系统的渐近稳定性 。j 文( ) 一仅( 卜 ) = 血( ) + 戤( 一d ) ，气 ( 3 2 4 ) 一1 i ( 口) = x ( 气+ 秒) = 缈( 口) ，秒卜f ，o 】 。“ 为得到主要结果，我们需要下面的假设与引理 定义1 微分算子d ：g 。专掣定义为d ( ) = x ( f ) 一c x ( f 一办) 定义2 n 明称微分算子d是稳定的 ，如果 d ( 薯) = o ，f o ，= 伊劬：d ( 伊) = o ，则方程的零解一致渐近稳定 为处理问题方便，作如下假设： 假设1 假设矩阵c 0 且满足i ici i o 下式成立： ( r 以s ) 出) 7 m ( r w ( s ) 凼) 7r ( s ) 朋m s ) 出 3 3 主要结果 应用l y a p u n o v 泛函和l m i 来推导出中立型时滞系统。的渐近稳定性准则 定理1若矩阵c 是s c h u r c o h n 稳定的，且存在矩阵 p 0 ，s o ，q o ，r o o = 1 ，2 ) 和适当维数矩阵m ( 江1 ，5 ) 使得下面的l m i 成立，则系统。是渐近稳定的即 1 3 中寺型时滞系统的稳定性分析 这里 这里 o = l l1 21 31 41 5 木 2 2 2 3 2 4 2 5 奉 幸 3 33 4中3 5 枣奉幸 “西4 5 毒幸木串 5 5 o l i = 尸么+ 彳7 p + q l + q 2 一d 一1 墨一j i i 一1 恐+ 1 7 么+ 彳7 i 1 2 = p b + j 。墨+ m7 艿+ 么7 2 1 3 = 一彳7 尸c + 一1 是+ 么7 3 1 4 = 1 1 c + 么1 4 1 5 = 一1 7 + 彳2 5 2 2 = 一q d - 1 墨+ 2 r 口+ b r 2 由b = 一b lp c + b ln ， 固2 4 = n ：c + b jn 4 固b = 一n ：+ b ln s 3 3 = 一q 2 一五_ 1 r 3 4 = 3 1c j s = 一3 。 固辑= 一s + n ：c + c ln 4 囝屿= 一n ：+ c ln 5 5 5 = s + d 足+ 办心一5 1 一5 证明首先定义如下形式的l y a p u n o v 泛函： y = k + 匕+ 巧+ k = d7 ( 薯) 户d ( ) = 。文7 o 飚( s ) 凼 巧= lx 7 o ) q i x o ) 出+ 。x r o ) q 2 x ( s ) 出 _ = f + 口文r o 氓j ( s ) 凼d 口+ 口文r o 如文( s ) 捌p 并沿( 3 2 4 ) 的轨线x ( f ) 关于f 求导，则得 1 4 ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 中立型时滞系统的稳定性分析 k = x 7o ) ( 户4 + 彳1 一x ( f ) + x 1 ( f ) 尸! 戤o d ) + x 。( f d ) b 1a o ) 一x 7 ( f ) 彳r p c 七o 一 ) 一x 7 o 一1 z ) c r p 缸( f ) 一x r o j j l ) c 7 尸! 觑o d ) 一x r ( f d ) 曰了尸c k ( f 一五) 吃= 文7 ( f ) o ) 一戈7 l j f 一元) 戤( f 一办) 唬= d x7 o ) q 。x o ) 凼+ 。x 7 o ) q ：x o ) 出 吃= 文r o ) ( d r + 办恐) 文o ) 一【。文7 ( s ) r 。文( s 灿一。文7 o ) 尺：文( s 灿 由引理2 容易得到 一d 文r ( s ) 尺。j o 灿一d 一1 ( d 文。汹) r r ( d 文( s 灿) ( 3 3 8 ) 一。( s ) r ：文( s 灿一d 一1 ( l 戈。灿) 7 r ( f - 。文。灿) ( 3 3 9 ) 又由l e i b n i z n e w t o n 公式可知 x ( 卜d ) = x ( f ) 一l 文( s ) 幽 ( 3 3 1 0 ) x ( f d ) = x ( f ) 一l 戈( s ) 出 ( 3 3 一1 1 ) 将( 3 3 8 ) 一( 3 3 1 1 ) 代入吃易得 吃戈r o ) ( d r i + r ) j o ) 一x r o ) ( d - 1 r + 办_ 1 坞) x o ) 一x r ( f d ) d 一1 墨x ( f d ) 一x r o 一 ) | l 。恁x o j 1 1 ) + x r ( t ) d 一1 r x o d ) + x r 一d ) d r x ( f ) + x 7 o ) j l 一1 r x o 一五) + x r o 一五) j 1 1 1 r x ( f ) 引入以f = 恒等式 2 ( x r ( f ) l r + x r o j ) 27 + x r o 一 ) 3 r + 文7 o j i l ) 4 r + 文r ( f ) 57 ) ( 3 3 一1 2 ) ( 彳x ( f ) + b x o d ) + c 曼o 一五) 一戈o ) ) = 0 这里m o = 1 ，5 ) 为适当维数的矩阵，这样由( 3 3 7 ) 一( 3 3 1 2 ) ，我们可以得到 矿 o ，q o ，r o ( f = 1 ，2 ) 和适当维数矩阵o = 1 ，5 ) 及一个常数占 0 使得如下的( 3 3 1 3 ) 式成立，则不 确定系统。是渐近稳定的 0 1 = l l + 或。色1 2 + 蛾1 毛1 31 4l s ( p + l 。) d 术 2 2 + 啦。瓦2 32 42 5 2 。d 孝 奉 3 3啦43 53 。d c 1p d 事宰幸 4 4m 4 5 4 1d 幸，i 中5 5 5 7 d 宰木奉枣木 一d o ( 3 3 1 3 ) 这里 ( f ，= l ，5 ) 由( 3 3 6 ) 式给出 证明定理2 的证明过程与定理1 相似，所以这里省略该证明过程中的步骤先 将定理1 中的( 3 3 6 ) 式中的彳，曰换成么+ m ( f ) ，b + 衄( f ) ，通过计算可以得到： o + l r ，( f ) l + r d r f ( f ) 0 ( 3 3 一1 4 ) 其中 i 。= 疋瓦ooo ， l = d7 ( p + m ) d 7 2 一d r p c + d 7 3d r 4d 7 5 】， 然后根据引理l ，可以得到( 3 3 1 4 ) 式成立等价予下式成立，即 + 正r l + g 一1 r d r l o ( 3 3 1 5 ) 再由s c h u r 补公式计算可知( 3 1 5 ) 式成立等价于( 3 1 3 ) 式成立，从而系统。 是渐近稳定的 3 4 数值例子 例考虑中立型系统。，其中 1 6 中立型时滞系统的稳定性分析 么= 瞄珈= 等3 珊c = - 0 5 砧删五脚5 求解l m i ，得 i5 2 8 4 5 一o 7 6 1 2i l1 2 5 3 5o 0 5 6 3ii1 7 6 6 9 o 0 7 3 5i 肚i - o 7 6 1 2 3 9 6 9 9l 一2 5 6 32 3 3 3 9l ，卵7 3 51 8 1 2 4i i 0 7 6 1 2 3 9 6 9 9l io 0 5 6 32 3 3 3 9i lo 0 7 3 51 8 1 2 41 i1 7 0 9 5o 0 9 3 0llo 6 0 7 8 o 0 3 7 0ii 1 1 8 4 3一o 0 5 0 2l q 22 lo 0 9 3 0 1 8 2 7 3 ，r 2 i _ 0 0 3 7 0 1 2 5 5 9l ，r 5 l _ o 0 5 0 2 1 0 0 5 8l 使得o 0 考虑不确定中立型系统。，其中 耻瞄瑚耻瞄斟。= 瑚删= 瞄跏 e a2 l o 1一o 2l ，e 6 2 i o 1o 2i ，d 2 lo 一2l ，f o ) 2 loo 7l ，v o 求解l m i 得 l4 3 1 0 3 一o 1 6 6 9l l0 7 1 1 5 0 0 0 8 5ll1 9 8 6 0 0 1 2 9 6i p _ l _ o 1 6 6 9 1 6 8 1 8l ，肚l _ o 0 0 8 5o 5 2 9 4l ，g 2 l - o 1 2 9 6 1 0 8 3 8 i i 0 1 6 6 91 6 8 1 8li 一0 0 0 8 50 5 2 9 4i 7 l o 1 2 9 6 1 0 8 3 8 i l2 3 3 3 4 一o 0 4 7 5l io 2 1 6 5 一o 0 1 8 5i i o 6 7 2 1 一o 0 0 1 9i q 22 i o 0 4 7 5 1 2 0 0 5i ，蜀2 l o 0 1 8 5 o 8 4 6 8 | ，恐2 i 0 o o l 9 o 7 0 7 2l 和常数f = 6 9 2 7 4 使得o l o 若给定初始函数缈( p ) = o 0 8o 0 8 r ，p 一o 6 ，o 】，图3 一l 、图3 2 分别为状态 变量五，而的时间响应曲线；其中实线表示中立型系统。，虚线表示不确定中立 型系统。 图3 一l ：状态变量玉的时间响应曲线 1 7 中立型时滞系统的稳定性分析 图3 2 ：状态变量而的时间响应曲线 3 5 结论 对于中立型不确定时滞系统的鲁棒稳定性问题，本节在l y a p u n o v 泛函的基础 上，利用自由权矩阵的思想，通过在y 函数的导数中引入一些能够减少结论保守 性的自由矩阵，得到了一个基于l m i 的时滞相关鲁棒稳定性准则；最后并给出数 值例子说明结论的有效性 中立型时滞系统的稳定性分析 4 中立型定常时滞