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几个各向异性矩形有限元的超收敛分析 摘要：本文先给出各向异性剖分下的逆不等式。利用双线性元、 类w i l s o n 元、改进的五节点矩形元的构造特点，如这类非协调元的 协调与非协调部分之间的正交性，针对二阶椭圆问题，得到了在各 向异性情况下各有限元解的超逼近性质和超收敛性质。并在不同形 式各向异性网格下给出相应数值算例。 关键词：各向异性网格，超收敛，超逼近 t h e s u p e r c o n v e r g e n c ea n a l y s i so f s o m e r e c t a n g u l a rf i n i t ee l e m e n t s o n a n i s o t r o p i cm e s h e s a b s t r a c t ：t h eg e n e r a li n v e r s ei n e q u a l i t i e sa r ee s t a b l i s h e d 0 nt h ea n i s o t r o p i ct r i a n g u l a t i o n s ，t h ea p p l i c a t i o n o ft h ei n t e r p o - l a t i o nm e r i t so fb i l i n e a re l e m e n t ，q u a i s w i l s o ne l e m e n ta n dt h e l n o d i f i e df i v e - n o d e se l e m e n tt ot h es e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m ， s u c ha st h eo r t h o g o n a l i t yo ft h ec o n f o r m i n gp a r ta n d t h en o n - c o n f o r m i n gp a r to ft h et w on o n c o n f o r m i n g e l e m e n t s ，c o n t r i b u t e s t ot h e8 u p e r c o n v e r g e n c ea n ds u p e r c l o s ep r o p e r i t i e so f t h e m n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r eg i v e nt ov e r i f y t h et h e o r e t i c a la n a l y s i so n a n i s o t r o p i cm e s h e s k e yw o r d s ： a n i s o t r o p i cm e s h e s ，s u p e r c o n v e r g e n t ，s u p e r - c o n v e r g e n c e i i 前言 基于变分法的有限元方法自从上世纪中期被工程界提出之后，随着计算机的迅速发 展，在应用领域取得很大成功，并愈来愈被重视。传统的有限元方法的数学理论已相当完 善。从宏观角度考察有限元的发展过程，不同时期都有其代表性特征。从有限元方法的提 出到，r r m s 分片检查、广义分片检查和f e m 检验的建立，这三十多年的时间，有限 元方法的数学理论基础基本确立。起初一段时间里，有限元方法的基本思想被迅速的应用 到不同的领域中去，许多新单元被提出，但是当这些单元的一般性质被整合提出之后，新 的理论更有力地推进它的应用。这是第一阶段的发展路线，也是一个分合一分的过程。 每一次理论融合就意味着一次飞跃现阶段为有限元方法发展的第二段阶，理论发展的分 一合一分仍是一般特征，但并非主要特征，结合科技发展的大背景，可以看出交叉乃是现阶 段的主要路线与不同学科的交叉发展是有限元发展实现下一次质变的外部条件。 剖分的正则性是传统有限元方法进行理论分析 1 - 2 】的前提条件。nc 形是有界区 域， 如) 是q 的单元剖分族， = 恐，凰，玛v ) ，q = u 托矗，蚝是单元。剖分的正则 性条件或非退化条件是指，存在与k 如和如无关的常数e ，使得 h k 曼c ，v k j h ；h 耳+ 0 p k 其中k 为一般单元，蛔，眦分另日是k 的直径和最大内切圆直径f l j 但最近的些研究成果 3 9 】表明，这种假定对一些有限元格式并非必要。同时有些问题定义在各向异性区域， 如果用正则性剖分，计算量将非常大，另一方面有些问题的解呈各向异性，即沿某个方向 解变化非常剧烈，而沿另外方向解变化平缓，这时采用各向异性单元剖分，求解的效果会 更好。一般也把各向异性剖分下的有限元称为各向异性有限元，最近出现了有关各向异性 有限元的研究。关于这方面的研究，法国的a p e l 作出了重要贡献，在其专著 6 】中，他对 这方面的研究作了系统的总结最近，文【9 对a p e l 的方法进行了改进，给出了一种更易 于操作的方法。 如今，虽然已有许多软件可以处理有限元的计算，但为了提高计算的精度和速度，有 必要将软件建立在更精密的数学机理上。针对一些具体的网格，建立精确的误差分析是提 高效率的基础。我们讨论的基本问题是能否选出一些有限元网格和插值，使得在此基础上 可得到更高的计算精度。由于四边形区域( 可以包括曲边，只要是凸的) 可以光滑的变成矩 形域，f 1 0 1 中将其统称为广义矩形网格。林群先生在这种广义矩形网格下，把多种方程多 样有限元的精确分析化简成矩形网格上的积分精确计算，一般称为积分恒等式技巧。我们 在此仅考虑矩形网格。本文把向异性剖分下的有限元与超逼近分析结合起来，讨论了几个 典型的矩形元的超收敛分析。整个分析过程中有两个最基本的着眼点，一个足如何放松剖 分所受的限制，一个是充分挖掘有限元的构造特性。 本文的写作安排如下； 第一章：介绍预备知识，列举本文所用到的记号和定理，并给出了几个重要的推论。 第二章：分析双线性元、类w i l s o n 矩形元【8 】、五节点矩形元【1 6 】在各向异性网格下 的超逼近性质，并由此得到超收敛的结果。本章的数值试验针对几种有代表性的各向异性 矩形网格，计算出相应的收敛性、超逼近性及超收敛性的数据数值结果与我们的理论分 析吻合。 第三章：讨论了把双线性元应用于粘弹性方程，并且给出了相应的各向异性网格下的 有限元解的超逼近和超收敛性质。 1 2 第一章预备知识 1 1s o b l e v 空间及一些记号 仅就本文用到的基本知识和记号作一列举。 舻表示实n 维e d i d 空间，x = ( z 1 ，现，z 。) 表示形中的点令nc 舻，7 = ( 1 2 ，伽) 是一多重指标，其每一分量都是非负整数，且记7 的长度为 川= m ， 1 n 混合偏导数记为 矶= 研知 s o b l e v 空间定义为 w ”，p ( f 1 ) = ( ，l 9 ( n ) i d l ，l 9 ( n ) ) 空间w m ，) 的范数和半范分别记为 肛；咿俐h l 三二酬嘲珈 i v ；w “9 ( q ) i = _ 五i 矾i p d z 叫， 为简便起见，当n = 2 时，记x = ( x l ，x 2 ) 或x = ( z ，g ) ， 0 u钆 铲 。瓦，嘶2 历v x y2 瓦西 空间日m ( n ) = w i n , 2 ( n ) 范数和半范分别简记为”和i l m s o b l e v 嵌人定理【2 】设q 为具有l i p s c h i t s 边界的区域， 1 n ，则 w t m ，9 ( q ) 一一g o ( q ) 。即存在常数c ，v u w ”9 ( n ) 。存在q 上的一个连续函数与“等 价，仍记为u ，使得州i p ( n ) cl l u l l w m ，( n ) 1 2 有限元方法中的一些定理 l a x - m i l g r a m 引理f 2 】 设h 为h i l b e r t 空间，n ( ，) 是定义在h 日上的双线性泛函 如果满足： 3 ( 1 ) 有界性，即存在正常数m ，使 i a ( u ， ) l m u m v u ，v t t ( 2 ) 强制性，即存在常数c 0 ，使 f 口( 饥，分) f2c f f 甘f f 2 ，v 口爿 则对任意f h ，存在唯一的“h ，使 o ( ，u ) = f ( v ) ，v v h 其中日7 为日的共轭空间 求解微分方程数值解的有限元方法须先将微分方程转化为与其等价的变分形式，如 d i r i c h l e t 边值问题转化为：求嘲( n ) ，使 。( “，u ) = ，( ”) ，v v 眉0 ( q ) 设v 为h i l b e r t 空间，对下面一般的抽象变分问题，求u 嘲( n ) ，使 n ( ， ) = ，( u ) ，v v 丑e ( q ) 有限元求解的方法为：给定区域q 一个剖分如，一般为三角形或者四边形。v k ， 记h k 为单元k 的直径，腑为k 的最大内接球直径，h = 麟h 如果存在常数e 使 剖分族 ，( 0 h 1 ) 满足 h _ e g s g ，v k 如， p g 则称剖分族是正则的。 如果剖分族不仅是正则的，而且存在常数1 ，使得 h 瓦s 7 ， 则称剖分为拟一致的。 构造有限元空间，一般情况下为分片多项式，将变分问题离散化，在有限维空间上 求解。若cv ，则称有限元空间为协调元，否则称为非协调元。 4 对于协调元，有限元方法求解变分问题的离散形式为：求u ，使得 a ( u h ，v h 】= f ( v h ) ，v v h v h 误差估计有以下引理 c e a 引理 1 j 如果。( “，”) ，f ( v ) 满足l a x m i l g r a m 引理的条件，贝j 离散问题有唯一 解，且 i l “一u h l l f c1 婴 ，1 l u 一 h i i e v h t v h 其中，怯为能量模，1 1 w l l e = ( n ( w ，”) ) 对于非协调元，即不属于y ，假设可找到更大的空间s ，使得s dv 且sdv h ，一 般选取s = v o y h 这时双线性型。( ，) 可拓展到s s 上，记为a ( ，) ，v 7 可以拓展到 s ，且保证 a ( 札， ) = o ( u ， ) ，v u ，口k ，扣) = ，( ) ，v v 矿 变分问题的离散形式为 a ( u h ，v h ) = ，( 口) ，v v h y h 关于收敛性分析，有下面引理 s t r a n g 引理【1 】设a ( - ，) 为s s 上的连续双线性型，并且满足强制性，s ，则离 散问题有唯一解，并且有估计式 怕一“圳s - c ( 。i n 。f i i u w 枷s + 芸：矗竖鱼尘掣) ， 其中l i ”l l s = ( i ( ， ) ) ， 1 3 各向异性基本定理及几个推论 设霞是参考元，p 是霞上的一个m 维多项式空间( 形函数空间) ，p 是p 的共轭 空间。设 a ，疡，旆) 和 2 1 ，晚，喊) 是户和户的一对共轭基，即 j ( 只) = 5 i j ， 1 i ，j m 5 设j ：舻( 席) 一p ，k l 是有限元插值算子，满足 觑( 知) = 臧( o ) ， i = 1 2 ，m v o 户 设n = ( 0 1 ，n 2 ，a 。) 是一个多重指标，则西。也是霞上的多项式空间，设d i m 9 。户= r 哦i = 1 ，2 ，r ) 是西。户的一组基，则d “( j o ) d 。p 可表示成 mr d 。( j o ) = 概 ) d 。毫= 岛 ) 奶 ( 1 1 ) i = l j = l 显然，当是( d 。毫) 坠。的线性组合，而岛( o ) 是 地( o ) 罂t 的线性组合设 m 岛( o ) = 啦疵( o ) ( 1 2 ) i = 1 则由( 1 1 ) 和( 1 2 ) ，我们有 mm 岛( 。) = n t 戒( 。) = n t 藏( 知) ) = 岛( j ( o ) ) 基本定理【9 】在上述表达下，如果岛( o ) 能表成 岛( o ) = 乃( d 。o ) ，1 j m ， 其中弓( 日s ( ) ) 7 ，1 茎t ，j m ，同时蜀( 霞) c 西。户，z ( s 一1 ) ，则存在常数c ( 膏) 满足： | | d 。( 血一诧) 詹sc ( g ) l j q 也i j + 1 ，疗，0 茎ts f + 1 ，v d h 口f 十“1 k 设一般矩形单元k 在( z ，y ) 平面上，中心点是( x k ，y k ) ，边长分别是2 h 。和2 ，顶点 为： a l ( x k h 。，y k h ) ，a 2 ( x k + h 。，y k 一 ) ，a 3 ( x k + h $ ，y k + h 9 ) ，a 4 ( x 一7 k ，y k + ) ， 四边记为“：嘶， = 1 ，2 ，3 ，4 ，a 5 = a 1 f k 将k 变成标准单元露= 【一1 ，1 - 1 ，1 】，赢 到k 的变换赡为 x ，：= 。h 卯x + + 鲰x k ，, 露上的形函数空间定义为户，k 上的形函数空间定义为： p ( k ) = 】ip = p 。f 云1 ；芦户) 推论1 1双线性插值具有各向异性插值特征，即对= 1 ，有 l d “ 一骨o ) l o 膏c l d 。o i i , r 其中亓。为。在单元詹上关于四顶点的双线性插值函数 证明：形函数空间户( 玄) = q 1 ( 膏) ，对任意o h 2 ( 靠) ，有 亓o = ( 1 一) ( 1 一q ) 啦+ - i ( i + ) ( 1 一卵) 晚 + ( 1 + o ( i + 卵) 吗+ ；( 1 一) ( 1 + 叩) 也 当o = ( 1 ，0 ) 时， b 。亓o = - 1 ( 1 一目) 啦+ 4 1 - ( 1 一q ) 如 + ( 1 + q ) 如一 ( 1 + 卵) 啦， 所以，威m d 。p ( 膏) = 2 ，且 d 。p ( 霞) = s p a n 一：( 1 一q ) ，；( 1 + ”) ) ， 防= 也一西= 二面赛武= 上而d 。畦= f l ( 西。) ， 阮= 惦一噍= z 蕊赛2 上面b 磷= f 2 ( 西) o 4 蚰o o 4 3 由迹定理，v w 日1 ( 詹) ，有 f 1 ( ”) = i ，- 一 d i c l l t l l l , 詹t j 1 口2 f 2 ( ”) = l 上一 蜓 c l l t l l i , 它j a 4 n 3 由各向异性插值基本定理，有 i d 。 一亓o ) l o 靠c l b “0 1 1 ，膏 同理可证，对a = ( 0 ，1 ) 时，有 i b “ 一亓。) i o 膏c l b 。0 1 1 ，靠 所以，对l o z l = 1 有 i b 。 一亓。) i o j sc l b 。1 1 霞 由推论l ，我们可得四节点的l a g r a n g c 矩形元的插值误差估计 由推论1 ，我们可得四节点的l a g r a n g e 矩形元的插值误差估计 推论1 2h 2 ( q ) ， k u 为“在单元k 上关于四顶点的双线性插值函数，则存在与正则性 剖分无关的常数c ，使得下式成立， 证明；首先 “一7 r 让i 】，k g h l uj 2 ， ( 1 3 ) “一i l k ( 厶( ( ) 2 十( 等) 2 ) 蛐婷 ( 1 a ) 令n = ( 1 ，o ) ， = ( h 。，) ，驴= h 。其中 所以 ( 厶( 曼竽) 2 ) = l l 0 u 5 - 掣r u k = 蜢1 d 。 一戚) r ( h z h ) 兰 g 无( 一。) ( k h v ) i d “也| l 膏 = g 五( 一“) ( k h ) ( e ( 1 l d 叶4 q l o , 霞) 2 ) sa 无( 一。) ( h x h 口) ( 元2 ( 。+ p ) ( 4 d 。+ p u ) 2 ( k b ) 一1 ) ； i p l = 1 = c ( 2 d 叶口“) 2 ) l 剧= l c h l 1 2 ，, k 同理可得 厶( 掣) 2 饼i “l ；， 厶( 产) 2 删川；， 结合( 1 4 ) ，( 1 5 ) ( 1 6 ) 我们可得( 1 3 ) 1 4 各向异性网格下的的逆不等式的形式 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 本小节单独列出，简要给出一个区域上的逆不等式，其形式体现了沿不同方向进爷估计 的可行性。在下面各章的讨论中都会用到这些不等式。 8 引理1 3 设( 霞，声，) 为参考元，满足户s 睇( 詹) n w f ( k ) ，( k ，p ) 为仿设等价有 限元，其中p ，口1 1 , o o ) ，05ms f ，则存在正常数c = c p ，口，p ，n ) ，使得v u 只0s 旧5 一m ，有 l d 4 ；w ”9 ( ) j c ( m e 口s ) 1 1 p - 1 8 m 仉。( k ) f ，( 1 7 ) l i d 卢v ；w m p ( k ) i i c ( m e a s k ) 3 v 一1 加 卢”；- 矿能，q ( k ) i ( 1 | 8 ) 此处和下文中，c 不加区分地指代一个与h k 和 k p k 无关的常数 证明在参考元上，由有限元空间上的等价模定理知， 怜嘭( g ) l l5c l i o ； ( 詹) 虬 vo 户 f 1 9 1 从而得， l i d 7 0 il 9 ( k ) i is c 1 1 0 ；l q ( k ) i i ，v 川兰( 1 1 0 1 因此，在参考元上，若有m = 0 ，则对任意h is ，利用( 1 1 0 ) ，可得 i i d l ”；口( k ) 0 = ( & i d v v d x d y ) 1 v s c ( m e a s k ) 1 9 ( 屈ih 一7 i d 。o l1 9 d 哟) 1 加 s c h 一1 ( m e a s k ) 1 加三 j f d 。觑三，( 露) | f( 1 1 1 ) l a l ；1 1 l s c h 一1 ( m e a s k ) 1 9 1 1 0 ；口( 露) | | = c h 一7 ( m e a s k ) 1 向一1 i q l l v ；口僻冰 下面考虑情况0 m z 假定i 。i = ，m k 墨，l 卢l = k m ，1 7 l = m ，则有 f i d o ；胪( 耳) j j = j j d 7 + z v ；p ( ) = j i d l d ；2 ( k ) ij( 1 i 2 ) s c h p ( m e a s k ) 1 v i q l l d t v ；l q ( k ) i i 因此有以下估计 i i d ；w ”9 ( k ) | | = ( i d l + p u ；驴( k ) p ) 1 p j 7 j 三m s c l i d l + 4 坼l p ( k ) i i 吲蜘 1 1 3 ) c h 一9 ( m e a s k ) 1 加一1 9 i i d 7 v ；l q ( k ) i i h 1 s m 茎c h - t ( m e a s k ) 1 p 一1 q l l v ；睇。( k ) i i 9 整合上面的不等式，可知对任意卢满足0s 蚓曼一m ，我们有如下结果 ( i d p + 9 v ；l p ( k ) i p ) ； 1 7 i = m c l i d 肛7 v ；l p ( k ) 1 1 1 7 1 = m c hf ( r n e a s k ) 1 p 一1 q d 。口；l q ( k ) i d i = m c h 一9 ( m e a s k ) 1 p 一1 。i v ；w g 慨) | ( 1 1 4 ) 定理得证 对于情况p ，q 【1 ，。) ，将所有单元k 综合起来可以给出一个更一般的结论下面仅列 出当p = q h v 。 记k 的四个顶点坐标为d l = ( 。耳一h k m y k h g ，) ，d 2 = ( x k + h e m y k h g ) ，d 3 = + m y k + h g ，g ) ，幽= 扛k 一 耳，。，y k + h k ，”) 令霞= 一1 ，1 卜1 ，1 在 一叩平面上的 参考元，其顶点坐标为j i = ( - i ，一1 ) ，也= ( 1 ，一1 ) ，五= ( 1 ，1 ) ，画= ( 一1 ，1 ) 2 2 双线性元在各向异性网格下的超收敛分析 1 双线性元的的构造 v h = 口c o ( n ) ， i k = o 。f 一1 ，v k ej h ， ( o ) = 0 ，v aea n ) 其中f 为从膏到k 的映射，定义如下 f ： ：三，x k k + + 。h ，x ，, k 叩, 令 魂= 0 ( 也) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ， = 识，i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，声= s p a n 芦l ，p 2 ，加，m ) ， 其中 芦t = i ( 1 一车) ( 1 一叩) ，p 。= ；( 1 + ) ( 1 一町) ， 芦。= j ( 1 + 烈l + ”) ，血= ；( i - ) ( 1 + 班 那么膏上。的插值可以定义为 4 o = 哦a i = 1 则问题( 2 2 ) 的双线性有限元逼近问题是 像u h 。，慧m 。，黼v v h e 有限元空间上的范数记为= l 1 1 ( 2 , 3 ) ( 2 4 ) 引入误差函数 2 各向异性有限元的积分恒等式 e ( 石) = ：( ( 一z k ) 。一 ：，k ) 脚) = 知一蚓2 一磅 则可证明下面引理， 引理2 ，1 令 = 一如u ，成立 正”z 删g = o ( 孙i a ”y h ( 2 5 ) 二q 嘶出却= o ( h ：) 1 “1 3 i u i l ， ， ( 2 6 其中h “是“的双线性插值 证明此处仅证明( 2 5 ) ，另一式子可类似证明 由”的t a y l o r 展开，并将其代入如w 。v x d x d y ，可得 w x v x d x d y = 二邺。( x k ，y k ) d x d y + w x v x v ( - y k ) 如蛳 利用e ( z ) ，f ( y ) 和积分恒等式技巧，可得 ：地如却=f”(f)wzvx(xk,yk)dxdy+k j k ；j _ k ( f 2 ( ”) ) 邺。f 删 ” = ff ( ) u z 鲫”。( x k , y k ) d x d y + ；厶f ( ) 白一眦) u z v ”y d x 由 = 厶呦阢) ( 旷( f y k ) v z 9 ) + ；f ( ) ( g 一k ) g 胁句 。厶g f f ( 池一i f ( f ) 国一y k ) v x ”】如咖 c ；i 1 3 ，k i 1 1 ，k + h ；1 1 3 ，k i 1 2 ，k 墨c i 川3 , k 川1 , k 引理得证 有上面的引理可以推导出下面的超逼近性质。 定理2 2 假设。日3 ( n ) 、u 分别为问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的解，h “为u 的双线性插 值，为各向异性矩形网格j 上的双线性有限元空间，则有 1 4 证明由引理2 1 和能量正交性，即对任意u ，n ( “ 一u ，”) = 0 ，有 a ( u h i h u ，u ) = o ( 一 札， ) 十a ( u h u ， ) si i ? t h 一 “l i j l 口l k 茎c ( h ；+ 碍) 川3 俐 令 = ” 一i h u ，则有 i l “ 一i h u l l h c ( h ：+ ；) l u l 3s c h 毛。i “1 3 证毕。 3 各向异性网格下的超收敛分析 令如h 为一族各向异性网格，将其每一单元露j 2 四等分得到一族新的矩形网格以， 即有噩j h ，( i = l ，2 ，3 ，4 ) ，露= i 二j 硒由此可以在u 日3 ( q ) 构造出插值后处理算子 巯满足 魏i 霞：k l 膏一q 2 ( k ) ， ( 2 7 ) 氮u ) = v ( a i ) ，i = 1 ，2 ，9 此处q 2 ( r ) 指霞上的关于。和y 的双二次多项式空间 易证下式成立 氛( i h w ) = 巯w ， ( 2 8 ) 其中 w 为w 的双线性插值 从算子乳的构造可以看出，它与双二次l a g r a n g e 型有限元的构造形式相同。其插值 误差估计与在各向异性网格下的稳定性分析如下 引理2 3 下面关于氛的估计成立 ； 叫一训忆，府c h 1 2 1 w l l l 十1 霞，v u 日3 ( n ) 1 7 2 ，= 0 ，1 l l ( i i w ) q i i o , 霄c i i 。i i o 霞，v w l 霞， i = 1 ，2 其中巩z 2 分别指代z ，y 1 5 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 证明 ( 2 9 ) 的证明参考【6 】i 下面仅证( 2i o ) 定义r ，。( g ) 为gcr 2 上的关于跳的k 次多项式空间峨，。( 霞) 为露= 。尬上关 于x 。的分片p 次多项式。 因此商空间p 2 。( r ) p o 。( 膏) ( 简记为) ( 江1 ，2 ) 的范数定义为 m ，霞：= | | 地，吣( 霞) vu 眦，i 2 1 ，2 同理，记商空间m 1 。( f o m o 。( 露) ( 简记为k ) 0 = 1 ，2 ) 的范数为 u ，霄：= ( 慨慨蚝) ) ，v k ，i = 1 ，2 那么，有缸：k + ，且孔为有界线性算子 事实上，对任意口，有口 牙磁，魏口 膏毗此外， k ，霞= 0 爿口m ( k ) ( 2 1 1 ) = 辛k p o m ( 霞) ( 2 i 2 ) 1 1 ；| i m 膏= 0 ( 2 1 3 ) 如果上面的讨论是在参考元露上进行，记n h o 与。为参考元露上的函数则有下面结论 f l ；矗。| 1 w 。，壹sc | 。 k ，壶， 由( 2 1 3 ) 和齐次性技巧得( i = 1 ，2 ) | | h k 。，膏= ( 佞l ( k ”) m 1 2 d x l d x 2 ) c ( m e n s 露) h 。- 。1 | | 血k 训毗青 f 2 1 4 1 c ( m e n 8 k ) 寻怕1 | ，矗 s c l l 叫i 膏 证毕 注2利用上面的方法，对更高阶的协调元亦有类似结论成立如对双二次元，若把四 个单元合并，可构造出一个定义在上的分片多项式，并可用此方法得出稳定性分析。利用 商空间进行分析的优势在于它从宏观着手，很容易看出某一类单元具有的性质是否可用于 其它具有类似构造特点的单元上去。而一般方法是直接利用单元节点参数和基函数进行估 计，乃是从微观入手。 定理2 4 假定”h 3 ( n ) 为问题( 2 1 ) 的解，u h 和i h u 分别是u 的有限元解和有限元 插值，且具有超逼近性质，则下面超收敛性质成立 其中为插值后处理算子 证明根据引理2 1 和定理2 2 ，有 定理得证 k 珏h 一训i 墨i i u 一( i h u ) 1 1 愚+ | 1 ；h “h 一氛( i h u ) l l h c ：1 u 1 3 + i l 氛( t h u u h ) 0 h c ( h ：十 ；) i u 3 c h ： u 1 3 4 数值例子 为了分析双线性元在各向异性网格下的有限元解的逼近程度，考虑二阶问题( 2 1 ) ，右 端项为，( z ，y ) = 2 x ( 1 一x ) + 2 y ( 1 一y ) l 2 ( q ) ，且n = 【0 ，1 jx 0 ，1 易知问题( 2 1 ) 的真解为 u ( x ，y ) = z y ( 1 一。) ( 1 一g ) 令札与r h u 分别为变分问题的真解和有限元解。哦u 和i h u 为 ”的双线性有限元解和双线性插值。 我们下面考虑q 的两种类型网格剖分：网格1 2 ( 见图1 2 ) 、网格3 4 ( 图3 4 ) 网格1 2 是由沿x 一轴方向将n 的边界做m 等分，沿y 一轴方向做n 等分形成的矩 形网格。其中图l n m = 8 ，图2 n m = 1 6 网格3 4 是由沿一轴方向将n 的边界分成 ”t 份，沿y 一轴方向分成n 份形成的矩形网格。其中沿。一轴方向剖分的左半部分与右半 部分的单元长度比例是1 ：3 ，沿y 一轴方向剖分为均匀的。将q 的边界沿z 一轴方向分 成m 份，沿y 一轴方向分成n 份形成的矩形网格，图3 与图4 的剖分方法相同，只是前者 n m = 8 ，而后者n m = 1 6 数据结果显示在不同范数下的有限元解的误差、超逼近数 据、后处理之后的误差、平均收敛率以及收敛阶。下面表格里，缩写记号“a c r ”表示平 均收敛率，“n c 0 ”表示平均收敛阶。 1 7 f i g u r e 1 ：m e s h1f i g u r e2 ：m e s h2 m e s hi ( 1 ：8 ) m e s h2 ( 1 ：1 6 1 m e 8 h 3 ( i ：8 1 m e s h4 ( 1 ：1 6 ) 表1 双线性元在网格1 上的计算结果 2 扎 i l “ 一h “i i 怕一4 h l l hi i u 一魏u h 一t t h l i oi l u 一；h “ i i o 4 3 2o 0 0 2 4 1 2 6 0 5 80 0 2 7 1 2 5 6 7 9 90 0 0 2 5 4 0 2 8 7 80 0 0 1 6 9 1 7 6 1 10 0 0 0 5 6 1 1 4 2 7 8 6 40 0 0 0 6 1 4 2 1 7 90 0 1 3 3 4 9 2 6 0 00 0 0 0 6 2 2 2 1 6 10 0 0 0 4 1 9 1 7 1 8o 0 0 0 1 3 6 9 5 3 6 1 6 1 2 80 o 0 0 1 5 4 2 4 0 50 0 0 6 6 4 8 1 5 3 60 0 0 0 1 5 4 7 3 9 4o 0 0 0 1 0 4 5 5 5 2o 0 0 0 0 3 4 0 5 5 5 3 2 2 5 60 0 0 0 0 3 8 6 0 2 9o 0 0 3 3 2 0 7 7 4 30 0 0 0 0 3 8 6 3 4 1o o o 0 0 2 6 1 2 3 90 o o 0 0 0 8 5 0 3 1 a c r3 9 6 8 5 62 0 1 3 9 84 0 3 6 3 24 0 6 1 1 54 1 2 5 4 4 a c ol _ 9 8 8 6 11 0 1 0 0 52 0 1 3 0 42 0 2 1 8 9 2 0 4 4 5 5 表2 双线性元在网格2 上的计算结果 m n 1 1 u 一如“队i i u 一札h l l hi i “一l h “ 忆i i “一“ i i oi l u 一缸 1 f o 2 3 20 0 0 7 9 5 2 8 4 1 40 0 5 7 6 2 5 2 7 6 10 0 0 9 6 0 7 3 8 6 40 0 0 7 0 9 5 4 8 6 60 0 0 2 1 2 8 0 9 1 4 4 6 4o 0 0 2 1 5 2 5 6 3 70 0 2 6 9 9 4 4 7 2 60 0 0 2 2 6 5 1 2 6 20 0 0 1 7 1 9 1 2 2 3 0 0 0 0 5 0 0 3 6 6 6 8 1 2 8o o 0 0 5 4 7 9 0 4 4o 0 1 3 2 7 5 3 2 2 60 0 0 0 5 5 4 9 5 6 20 0 0 0 4 2 6 2 7 8 0 0 0 0 0 1 2 2 1 4 9 8 1 6 2 5 6o 0 0 0 1 3 7 5 8 1 0 o 0 0 6 6 1 0 1 0 2 90 0 0 0 1 3 8 0 2 0 9o 。0 0 0 1 0 8 7 5 5 70 0 0 0 c 1 2 8 9 6 3 1 a c r3 8 6 8 5 72 0 5 8 8 24 1 1 4 6 24 0 2 6 6 2 4 1 8 8 9 4 a c o1 9 5 1 8 01 0 4 1 8 22 0 4 0 7 6 2 0 0 9 5 72 0 6 6 5 9 表3 双线性元在网格3 上的计算结果 m 竹 l l h h l l 一乱 l l l i 一氛“ 怕一“h l l oi l u 一巯u h l l o 8 6 40 0 0 1 9 1 1 6 2 8 3 o 0 1 7 6 9 7 9 6 5 50 0 0 1 9 6 6 3 8 6 60 0 0 0 7 0 5 7 5 8 10 ，0 0 0 4 3 2 3 5 9 8 1 6 1 2 80 0 0 0 4 8 2 4 3 9 30 0 0 8 7 7 7 6 2 2 80 ，0 0 0 4 8 5 8 8 2 50 0 0 0 1 7 4 8 3 4 7 0 0 0 0 1 0 6 7 6 5 2 3 2 2 5 60 0 0 0 1 2 0 8 9 1 4o 0 0 4 3 7 9 9 5 9 3 0 0 0 0 1 2 1 1 0 6 80 0 0 0 0 4 3 6 0 7 70 0 0 0 0 2 6 6 1 3 1 a c r3 9 7 6 5 52 0 1 0 1 54 0 2 9 5 34 0 2 2 9 94 0 3 0 6 9 a c o1 9 9 1 5 21 0 0 7 32 ，0 1 0 6 12 0 0 8 2 7 2 0 1 1 0 3 1 9 表4 双线性元在网格4 上的计算结果 m n 肛h 一 “f f 忙一“h f f “一“ 一u h fr o 忙一； u l l o 4 6 4o 0 0 7 3 0 5 4 6 1 o 0 3 6 4 6 9 9 0 5 00 0 0 8 1 2 9 9 1 0 3o 0 0 2 9 1 8 2 5 1 90 0 0 1 7 9 2 9 0 9 2 8 1 2 80 0 0 1 9 0 0 6 7 8 90 0 1 7 6 4 1 6 1 3 00 0 0 1 9 5 4 9 1 3 30 0 0 0 7 0 4 2 6 4 60 0 0 0 4 2 9 7 9 2 4 1 6 2 5 6o 0 0 0 4 7 9 6 6 0 80 0 0 8 7 4 8 7 5 4 20 0 0 0 4 8 3 0 7 1o o 0 0 1 7 4 4 5 3 20 0 0 0 1 0 6 1 3 6 0 a c r3 9 0 3 0 72 0 4 1 8 64 1 0 2 7 74 0 9 0 3 34 1 1 0 5 1 a c o1 9 6 4 6 11 0 2 9 8 92 0 3 6 5 92 0 3 2 2 12 0 3 9 3 1 注3从表中数据可知，数据结论与理论分析一致。此外从表中还可看出，”一氛u h 的l 2 模估计不能改善，这是因为双线性元的超逼近结果不能改进通过改变各向异性网 格的单元形状来逼近不同的各向异性特征，平均收敛率显示它与正则性条件和单元的尺度 h 无关。 2 3 类w i l s o n 元在各向异性网格下的超收敛分析 1 类w i l s o n 元的构造 定义在靠上的类w i l s o n 元( i t ，p ，) 描述如下 其中 且有 节点参数 其中 易证 并且 p = s p a n n i ( q ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，妒( ) ，妒( q ) ) ， ( 2 1 5 ) 2 ( ，町) = 4 心口) = 妒( s ) = 瓦3 ( j 1 ( s 2 - 1 ) = 魂，嘞，岛，岛) 哦刮饥忍s ，a ，反= 厶髻蛐，岛= 厶等蛐 o ( ，q ) = o o ( f ，”) + 0 1 ( ，q ) ，w 户， ( 2 1 6 ) 4 o o ( ， ) = 嘎m ( ，q ) ， 0 1 ( ，q ) = 庑庐( ) + 岛p ( q ) i = 1 已知映射f i kz ：4 ( ，”) q ，9 ：4 胍( ，q ) 叭满足 t = li = 1 f g ( d | f ) = 哦，f k ( k ) = k 因此对于任意定义在k 上的函数口( z ，) ，可由下式来定义o ( f ，q ) o ( ，q ) = ( z ( ，”) ，y ( ，q ) ) ， o to = v o 。f k ， 类w i l s o n 有限元空间定义如下 谐= 似 l k = o 。巧1 ，u 菇，v k ， ( n ) = o ，v a o a t 2 1 、j ) 叩 印 + 一 1 1 ，【 ( 、j ) f 一 + 0 q 1 4 1 4 、j ) 叼 对 + 一 q 0 、j ) f ，、 十 一 l l ( ( 1 4 1 4 1 | = 、，、， 叩 叩 嬉 晦 m 帆 ( 2 2 ) 的类w i l s o n 有限元逼近r h u 憎满足 a h ( r h u ，v h ) = f ( v h ) v ? 喈( 2 1 7 ) 其中 州v h ) 2 莓厶乳肌胁蛳 定义 f f u h 憔= ( t h ( ，v h ) v 坩， 容易验证”队为空间谐上的范数。( 参考c h e n = s h i 5 ，对任意v h 坩，可有以下形式 记法 = 口2 十 i ，( 2 1 8 ) 其中”2 和”分别为v h 的协调和非协调部分此外，vk j h ， u a = p i 妒谨) 十岛妒( 叩) 2 协调部分一双线性元的超逼近分析 记瑁为双线性元有限元空间，矗 u 曙相应逼近问题的有限元解，满足 a h ( 元h 札， h ) = f ( v ) ，vv h 话，( 2 1 9 ) 其中昭= u h l u h q i ( k ) 被k 的四个顶点函数值唯一确定，v h l d n = o ) 易证 a h ( r h 一凰“，v h ) = 0帕 话，( 2 2 0 ) a h ( u 一凰v h ) = 0y v h 谮( 2 2 1 ) 类似引理2 1 ，有下面结论 引理2 5 设“h 3 ( n ) ，i h u 为“的双线性插值，w = 一 “，则下式成立 二蛾如匆= c 蟛j n 引乩，”话， ( 2 艘) 上吻”，如d y = c h ：i u l 。卜i ，u 话 ( 2 2 3 ) 由引理2 5 ，可以推导出下面结论： 9 暗叶嬉m 。m f f k o h 定理2 6 假设u h 3 ( q ) n 哪( q ) ，和氐u 分别为问题( 2 1 ) 和( 2 1 7 ) 的解，i h u 为u 的双线性插值，贝4 有 i 矗 u i h u i i h5c h 毛。l “1 3 证明由引理2 5 和和能量正交性，即对任意u 话，n ( 赢u u ，“) = 0 ，那么 o ( r 九h i h u ，口) = o ( u i h u ，口) + a ( r h u 一“，v ) c