（运筹学与控制论专业论文）非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用.pdf

摘要井眼轨迹控制是侧钻水平井技术的核心，而轨道设计与优化设计又是轨道控制技术的两大关键技术之一。近年来，水平井轨迹设计技术的研究一直较为活跃，相继提出了不少的方法及针对具体；萄题的具体做法，但这些方法从本质上讲，都未脱离试错法的范畴，井眼轨迹部分参数的确定取决于设计者的经验与直觉。尽管这类方法在水平井的剖面设计得到广泛的应用，但并不能保证其设计结果具有技术上或经验上的最优性。2 0 0 1 年江胜宗等人提出了侧钻水平井轨道设计的约束非线性规划，本文应用非线性控制理论，建立了三维水平并并眼轨迹的菲线性集中参数多阶段动力系统，论述了该系统解的存在性及其最优控制的可控性和多解性。为了求解此系统，以均匀设计方法选初始点，并依此把允许区域分解为有限多个子域，在每个子域上构造了改进的h o o k e - j e e v e s 优化算法。将它用于多i ：2 1 水平井的实际生产中，表明了本文给出的模型、算法及软件的正确性与有效性，与原有算法和软件相比，本文提出并实现了均匀设计与改进的h o o k e j e e v e s 直接搜索法相结合的优化算法，该算法计算时间大大减少，计算精度高，并且能够得到多个最优解。最后考虑到在水平井实际应用中，由于实际轨道常偏离设计的最优轨道，为此建立带有扰动的三维水平井最优控制模型，并给出了相应的算法和数值计算结果。关键词：最优控制，均匀设计，h o o k e - j e e v e s 直接搜索法，水平共a b s t r a c tt h ec o n t r o lo ft h et r a j e c t o r yi st h ec o r et e c h n i q u ei nh o r i z o n t a lw e l lt e c h n i q u e ，w h i l et r a j e c t o r yd e s i g na n do p t i m a ld e s i g na r et h et w ok e yt e c h n i q u e st r a i e c t o r yd e s i g n i n gh a sb e e nah o tt o p i cf o rt h er e s e a r c h e r sa n dm a n ym e t h o d sh a v eb e e np r e s e n t e db u tm o s to fm e t h o d sn o w a d a y sf o rd e s i g n i n g3 dh o r i z o n t a lw e l l sa r eb a s e do nt r i a l a n d - e r r o rm e t h o d s ow e l lt r a j e c t o r yd e s i g n i n gd e p e n dg r e a t l yo nt h ee x p e r i e n c eo ft h ed e s i g n e r ，w h i c hl e a dt ot h et i m e c o n s u m i n gt r i a l a n d - e r r o rp r o c e d u r ew h i l eu s i n gt h o s ek i n d so fm e t h o d sw h a t sm o r e ，t h eo p t i m a ls o l u t i o nc a n n o tb eg u a r a n t e e da c c o r d i n gt ot h ec o n s t r a i n tn o n l i n e a rp r o g r a m m i n go fd e s i g n i n gh o r i z o n t a lt r a j e c t o r yp r e s e n t e db yj i a n gs h e n g z o n gi n2 0 01 ，t h ep a p e rc o n s t r u c t san o n l i n e a rm u l t i l e v e ll u m p e dp a r a m e t e rd y n a m i c a ls y s t e mb yt h en o n l i n e a rc o n t r o lt h e o r ya n dd e s c r i b e st h ee x i s t e n c eo fi t ss o l u t i o na n dt h ec o n t r 0 1 l a b i l i t ya sw e l la st h ep o l y k e y so ft h i so p t i m a lc o n t r 0 1 i no r d e rt oo b t a i nt h es o l u t i o n st ot h i ss y s t e m ，u n i f o r md e s i g nisi n t r o d u c e dt oc h o o s et h ei n i t i a lp o i n t s t h e nb a s e do nt h e s ep o i n t sd e c o m p o s et h ea d m i t t e dr e g i o ni n t of i n i t es u b r e g i o n s ，i nw h i c ha ni m p r o v e dh o o k e j e e v e sa l g o r i t h mi sc o n s t r u c t e dt os o l v et h es u b p r o b l e m s t h en e wa l g o r i t h ma n di t sc o 盯e s p o n d i n gs o f t w a r ew ed e v e l o p e dh a sb e e nn o to n l yv a l i d a t e di ns e v e r a lh o r i z o n t a l w e l ls ，b u ta l s os h o wt h e i ra d v a n t a g e ss u c ha ss h o r t e rl e n g t ho ft r a j e c t o r yd e s i g n e d ，m o r ea c c u r a c yo ft a r g e th i t t i n ga n dl e s st i m e c o n s u m i n gc o m p a r is o nw i t hp r e s e n tc o n v e n t i o n a lm e t h o d s t h ep r a c t i c a lt r a j e c t o r yo f t e nd e v i a t e st h eo p t i m a lt r a j e c t o r yo fp r o v i s i o n a ld e s i g ni np r a c t i c a la p p l i c a t i o no fh o r i z o n t a lw e l l sf o rt h i sr e a s o nw ep r o p o s ea no p t i m a lc o n t r o lm o d e lf o rd e s i g n i n g3 一d i m e n s i o nh o r i z o n t a lw e l l sw i t hd e v i a t i o nk e yw er d s ：o p t i m a ic e n tr o i ，u n i f or md e s ig n h o o k e d e e v e sd ir e c ts e ar c hh 0r iz o n t ajw e | 非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用1 绪论1 1最优控制概述1 1 1 最优控制概述科学界很多人认为，相对论和控制论是2 0 世纪上半叶的科学伟绩，是人类认识和改造世界的飞跃。控制论是系统工程、系统科学的基础构件，后者又是多学科的综合集成。控制论经过与旧的传统观念的斗争，已普遍认为是“研究信息和控制一般规律的新兴学科”。工程控制论的奠基人钱学森有句名言：“建立这门科学技术，能赋子人们更宽阔、更慎密的眼光去观察老问题，为解决新问题开辟意想不到的前景”。确实，控制论在近2 0 年里己在我国产生巨大的效果。在各行业以及我们的周围也都能看到控制论在硬技术领域的应用前景。特别是在航空、航天事业，通讯领域更是成果卓著。简言之，控制论的发展经历了经典控制理论、现代控制理论及最优控制理论几个阶段。现代控制理论所能处理的问题很广泛。原则上，它可以用来处理时变系统、非线性系统、多输入多输出系统以及分布参数系统问题。用它来处理随机系统问题和离散系统问题同样是很方便的。最优控制理论【t 、2 、3 l 是现代控制理论的重要组成部分之一。它的形成与发展与整个现代控制理论的发展是分不开的。早在5 0 年代初期，就开始发表了从工程观点研究最短时间控制问题的文章。由于最优控制问题的引人注目的严格表述形式，更因空间技术的迫切需要，从而吸引了大批数学家的密切注意，产生了不少新方法。在这些新方法中，有两种方法最富成效。一种是前苏联学者庞特里亚金的极大值原理；另一种是美国学者贝尔曼的动态规划。极大值原理发展了经典交分原理，成为处理闭集性约束变分问题的强有力工具。动态规划是贝尔曼在1 9 5 3 年至1 9 5 7 年间逐步创立的。他依据最优性原理，发展了变分学中的哈密顿一雅可比理论，构成了动态规划，它是一种适用于计算机计算，处理问题范围更广泛的方法。多年来，现代控制理论及应用吸收现代技术进步和现代数学的一切成绩，得到了很大的发展，出现了控制理论与最新数学方法融合的产物，如智能控制，专家控制，模糊控制，神经网络控制等等。并渗透到生产、生活、乃至规划管理等一切领域，发挥越来越大的作用。反过来又推动现代控制理论的进一步发展。这样又出现大量理论与实际问题尚等解诀。可以说，最优控制的理论及应用仍然是十分活跃的研究领域。11 2 最优控制理论的基本内容和常用方法众所周知，动态规划、最大值原理和变分法是最优控制理论的基本内容和常用方法。动态规划是贝尔曼2 0 世纪5 0 年代中期为解决多阶段决策过程而提出来的。这个方法的关键是建立在他提出的所谓“最优性原理”基础之上的，这个原理归结为用一组基本的递推关系式使过程连续的最优转移。它可以求这样的最优解，这些最优解是以计算每个非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用决策的后果并对今后的决策制定最优决策为基础的，但在求最优解时要按倒过来的顺序进行，即从最终状态开始到初始状态为止。动态规划对于研究最优控制理论的重要性在于：( 1 ) 它可以得出离散时间系统的理论结果；( 2 ) 用动态规划方法可以得出离散时间系统最优解的迭代算法；( 3 ) 动态规划的连续形式可以给出它与古典变分法的联系，在一定条件下，也可以给出它与最大( 小) 值原理的联系。这样就使得三种解决最优控制问题的基本方法在一定条件下得以沟通。庞特里雅金于1 9 5 6 1 9 5 8 年间创立的最大值原理是经典最优控制理论的重要组成部分和控制理论发展史上的一个里程碑。它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效方法。由于它放宽了求解问题的前提条件，使得许多古典变分法和动态规划无法解决的工程技术问题得到了解决。同时庞特里雅金在他的著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。当然，许多控制问题还是能用古典变分法解决的。在这种情况下，采用古典变分法解决问题会更加简便和容易。1 1 3 最优化技术最优控制的实现离不开最优化技术，最优化技术是研究和解决最优化问题的一门学科，它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研究和解决如何将最优化问题表示为数学模型以及如何根据数学模型尽快求出其最优解这两大问题。一般而言，用最优化方法解决实际工程问题可分为三步进行：( 1 ) 根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型，确定变量，列出约束条件和目标函数：( 2 ) 对所建立的数学模型进行具体分析和研究，选择合适的最优化方法；( 3 ) 根据最优化方法的算法列出程序框图和编写程序，用计算机求出最优解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等作出评价。1 1 4 集中参数最优控制集中参数系统【”，是指具有有穷多个自由度的物理系统( 指广义的物理系统) 。换而言之，如果用有穷个参数就能描述一个物理系统在每一个瞬时的状态，称这个系统为集中参数系统。用数学语言讲，集中参数系统是用常微分方程组来描述其运动规律的系统。集中参数的最优控制的基本问题是，寻求使得动态系统的性能指标达到最优的控制和相应于这个控制的动态系统的轨线，这样的控制和轨线称为最优控制和最优轨线。对于集中参数最优控制理论的研究工作，l s p o n t r y a g i n 等人做了开创性的工作，他们研究以动态系统的轨线的过渡时间为性能指标的快速控制问题，用拓扑学中的指数定理来证明了最优控制使得h a m i l t o n i a n 函数沿最优轨线达到最大值的著名的最大值原理。在二十世纪7 0 年代，rs 旷g a m k r e l i d z e 在测度论的基础上，引入广义控制概念，用分析方法，证明了快速控制问题的最大值原理。2非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用研究集中参数系统的最优控制问题的基本的数学方法有状态空间法和动态规划法。1141 状态空间法问题描述设一个受控对象的运动规律用刀阶常微分方程组来描述d x 丁( o ：f ( t , x , u x , u j 、( 111 )破一l 111 j其中xe r “称为状态变量，r ”表示订维欧氏空间，而ue r n 称为控制变量。向量f ( t ，。，。) 。r n称为状态速度。方程组( 1 1 1 ) 的初始状态已知为x ( o ) = x o r ”( 11 2 )假定，( ，) 是定义在1 + r + r 维欧氏空间r 1 7 的子集 ( f ，x ，“) l t 【o ，明，( x ，“)r “r 7 ) 上的一个向量值连续函数，关于z 连续可微o f ( t , x , u ) ：f 笪( ! ! 兰! 尘笪! ! ! 兰! 塑1知l毋。氖。j设u 是控制变量的空间月7 中的一个给定的集合，它是控制变量“的容许值的集。定义函数类u 。一2 ( u ( t ) l ( ) 0 ，t 】斗r 是有界可测函数，u ( t ) u ，订e t 0 ，刀)称函数类u 。为容许控制类，u 。中的每一个函数“( f ) 称为容许控制。对于给定一个容许控制”( ) u 。，受控对象的轨道唯一的由微分方程组i d x = 邝，t ”( f ) )z ( o ) = x o确定，上述微分方程组的解x ( f ) ，t 【o ，刀称为受控对象相应于控制甜( ，) 的轨道。为方便起见，有时用记号量( f ) = 警表示z ( ，) 对时间f 的导数。已失口函数o o ，x ，“) 年口h ( x ) ：厂o ( ，- ，) ： 0 ，t 】r “r7 斗r 1 ( ) ：r ”斗r 1受控系统( 1 11 ) - - ( 1 12 ) 的性能指标为非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用，似( ) ) = ( x ( r ) ) + r 。o ，x ( f ) ，甜( f ) ) 衍具有性能指标( 113 ) 的系统( 111 ) 一( 11 2 ) 的最优控制问题，“+ ( ) u 。，使得j ( “+ ( ) ) = 。( i ) n f 。( 口( ) )( 113 )是要寻求一个容许控制( 1 1 4 )称”( ) 为最优控制。相应于最优控制“+ ( t ) 的微分方程组( 11 1 ) 一( 1 12 ) 的解x ( f ) ，t 0 ，t 】，称为最优控制问题的最优轨道。当，和，o 都不含时间f 时，相应的最优控制问题，称为定常系统的最优控制问题。反之，称为非定常系统的最优控制问题。1 1 4 2 动态规划法问题描述设某一个受控系统用下面的常微分方程组来描述! 孚= g ( y ( o ，“( j ) ) ，0 s 墨r( 1 15 )a s，( o ) = x r “受控系统( 115 ) 的性能指标为j ( ) ) 2j ：，( y o ) ，“( s ) ) 出+ ( y ( r ) )( 1 1 6 )设u c r 7 是，维欧氏空间尺7 中的一个子集，定义容许控制类u 二= 伽( 驯甜( ) ：【o ，明- - + r 7 是有界可测函数，“o ) u ，a e t o ，7 )问题是求甜( ) u 品，使得抛+ ( ) ) - 。搿。，( “( ) )“t k u 时任一“( ) u 二称为容许控制，相应于容许控制“( ) 的方程( 1 1 5 ) 的解y ( j ) ，称为容许轨道。“+ ( ) 称为控制问题( 1 1 5 ) 0 ，考虑受控系统! 攀= g ( y ( s ) ，”( s ) ) 0 。2 “七，弘咏x 扣一，= r lh 茗妒蛎= 噶( ( “m ) ，h )x n j ( 1 l 一3 ) 专，er否则。q根据水平井井眼轨道设的二个目标，系统( 2 47 ) 的性能指标为3“j ( “) = j ( y ( s ，“) = c o u 。，十c 。；+ ) + c ：，( 彩+ 虼)( 25 1 )j = 1l = t其中，c c ：，c c ：。，c 2 2 为权系数，其中第一项为过程控制，第二、三项为终端控制，这样可得三维水平井井眼轨道设计的最优控制系统为：c p ：m i nj ( y ( s ，”) )s t y ( s ，“) 0 ( u o d )u u 。d( 252 )根据正、负偏差定义及性质2 ，可以证明，( y ( s ，材) ) 是0 ( v 。) 上的连续泛函，( u 。)是c ( z o ，r 2 ) 中紧集，故最优控制问题c p 的最优解是存在的。对于此系统的优化算法将在下一章( 第三章) 讨论。1 6fz一办ocr，+，：l非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用3 优化算法本论文要解决的是一个有限域上的有多个局部最优解的全局优化问题。由于目标泛函是隐式表达式，所以没法利用通常导数性质来构造相应的优化算法。文献【“】采用类似网格法进行求解计算代价非常大，当段数增加到4 时根本无法进行计算。进化算法也曾被用来求解本问题，但是结果也不甚理想。因此构造一个有效的算法是很有实际意义的。3 1全局优化问题3 11 全局优化概述在实际工程中，许多优化问题都要求在可行域内寻找模型的全局最优解，多年来工程优化界一直为寻找有效的全局优化算法而努力，虽然发展了一些方法，但现有的每一种方法只能解决个别问题，通用性较差，难以适应更具有般化性态的目标函数。由于大多数工程问题的优化模型很少是单峰的，而且模型性态也难以清楚地掌握，因此为了获得这些问题的全局最优解，采用通常的优化方法是不行的，必须寻找新的方法。而近来研究较多的是遗传算法、模拟退火算法等等，但是这类算法计算代价非常大。因此，研究优化模型的全局最优化方法仍然是当前优化设计的重要工作之一。3 1 2 全局优化基本方法实际工程优化问题的数学模型大都性态复杂，变量维数高，一种优化方法难以适应所有的工程问题，因此，目前全局优化方法的种类较多【1 72 1 2 2 1 ，可以分为以下三类：( 1 ) 枚举法或覆盖法它要求在可行域内遍历搜索，找出全部精确的全局最优解。遍历搜索意味着必须要经过大量的计算。( 2 ) 直接优化法随机搜索法( r a n d o ms e a r c hm e t h o d s ) ，它在可行域内从初始点开始进行一系列的随机方向搜索，这些方向是均匀分布的，并以定的概率接受使目标函数值下降的搜索点，直到结果满足精度要求为止；聚类法( c l u s t e r i n gm e t h o d s ) ，它是先搜索出每个局部最优解和所对应的区域，再用聚类分析法使其跳出局部最优解；最速下降法( g e n e r a l i z e dd e s c e n tm e t h o d s ) ，它是一种防止不必要的局部搜索的方法，在可行域内连续随机取点直到找到更小的目标函数值为止。( 3 ) 间接优化法它包括近似水平法( m e t h o d sa p p r o x i m a t i n gt h el e v e ls e t s ) 和近似目标函数法( m e t h o d sa p p r o x i m a t i n gt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ) 。虽然这些全局优化方法解决了一些用局部优化方法所不能解决的优化问题，但每剩全局优化方法都有其局限性，不能完全适用所有复杂性态的优化模型，计算代价大，而且都没能编制出像局部优化那样的优化软件。3 2基于均匀设计的直接搜索方法1 7非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用本文避开通常优化方法中求导和迭代的思路，把试验设计的均匀布点思想引入优化问题的求解过程中，提出了一种将确定性和随机性相结合的优化方法，该方法在一定程度上可以得到较为满意的全局最优解。3 21 方法简述由于状态方程组是非线性与多阶段性，控制变量除出现在状态方程中外，区间端点也为控制变量，因此问题c p 中包含了n p 困难与一维空间中的拓扑( 形状) 优化，显然已有的优化算法不能给出问题c p 的解。为求c p 的解，将构造均匀设计算法，在u 。中选择足够多个初始点“1 ，“2 ，并把u 。分成m 个子区域d l ，d ：，使其满足：“i n t d j ，d jc u j o ，u 。d = u 二1 d jc p r a i nj ( y ( s ，“) )s ty ( s ，“) 0 ( d j )d j 用改进的h o o k e - j e e v e s 方法求解c p j 的最优解，i 若c p j 的可行域非空，c p j 的最优解为“，c p l 的可行域为空集，则令“，= “，j ( “，) = 抽。，最后，问题c p 的最优解为：j ( u + ) = n f m j ( u ) l ，)3 22 均匀设计32 ，2 1 背景本世纪3 0 年代，由于农业试验的需要，费歇( r a f i s h e r ) 在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计称为统计科学的一个分支。6 0 年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，他的方法对我国试验设计的普及和广泛应用有巨大的影响。在广泛使用试验设计的过程中，许多实际问题要求一种新的试验方法，能够解决诸如当试验范围较大，试验因素需要考察较多等级时要求做大量实验的问题。于是王元和方开泰1 9 7 8 年提出了均匀设计i l ，该设计考虑如何将设计点均匀地散布在试验范围内，使得能用较少的试验点获得最多的信息。均匀设计属于近3 0 年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范畴。将经典的确定的单变量计算方法推广后用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有关。即使计算机技术再进步很多，这种方法仍无法实际应_ ；f j 。乌拉母( s o l a m ) 与冯诺依曼( j v o y in e u m a n n ) 在4 0 年代提出的蒙特卡罗方法，即统计模拟方法。这个方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题。这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数的均匀性非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用与独立性。5 0 年代末，有些数学家试图用确定性方法寻找空间中均匀散布的点集来代替蒙特卡罗方法中的随机数。已经找到的点集都是用数论方法找到的，按照外尔( h w e y l ) 定义的测度来度量，它们的均匀性很好，但独立性差些，用这些点集来代替蒙特卡罗方法中的随机数，往往会得到更精确的结果。这一方法称为伪蒙特卡罗方法或数论方法。数学家首先将这一方法成功地用于多重积分近似计算。从统计学的观点看，伪随机数就是一个均匀分布的样本。数值积分需要大样本，均匀设计则要找一些小样本。由于这个样本比正交设计所对应的样本要均匀，所以用它来安排实验会得到好的效果。当然在寻求小样本时，寻求大样本的方法是起了借鉴作用的。均匀设计只是数论方法的一个应用。数论方法还有广泛应用的园地。例如多重插值公式的建立，某些积分方程与微分方程的近似求解，求函数的整体极值，求某些多元分布的近似代表点，及用于统计推断的一些问题，如多元正态性检验及多元球性检验。早在5 0 年代末，外国刚开始研究伪蒙特卡罗方法时，华罗庚教授就倡议并领导了这一方法在我国的研究。3 22 2 因素与水平在工业、农业、科学研究和军事科学的研究中，经常需要做各种试验，以研究各种因素之间的关系，找到最优的工艺条件或最好的配方。选择因素和水平关系到一个试验能否成功的关键。正交设计是比较流行而且效果相当好的方法。统计学家把正交设计通过一系列表格来实现。所有的试验设计方法本质上就是在试验范围内给出挑选代表点的方法。正交设计是根据正交性准则来挑选代表点，使得这些点能反映试验范围内各因素和试验指标之间的关系。正交设计在挑选代表点时有两个特点：均匀分散、整齐可比。“均匀分散”使试验点有代表性；“整齐可比”便于试验数据的分析。但正交设计只适用于水平数不多的试验。若在一项试验中有s 个因素，每个因素各有q 个水平，为了保证“整齐可比”的特点，正交设计必须至少要求做9 2 次试验。当口较大时，9 2 将更大，若要减少试验的数目，只有去掉整齐可比的要求。均匀设计就是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验方法。均匀设计有其独特的布( 试验) 点方式，其特点表现在：( 1 ) 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验。( 2 ) 任两个因素的试验点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。性质( 1 ) 和( 2 ) 反映了试验安排的“均衡性”，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。( 3 ) 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价。( 4 ) 当因素的水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。如当水平数从9 水平增加到1 0 水平时，试验数n 也从9 增加到1 0 。而正交设计当水平增加时，试验数按水平数的平方的比例在增加。当水平数从9 到1 0 时，试验数将从8 11 9非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用增加到1 0 0 。由于这个特点，使均匀设计更便于使用。3 2 2 3 均匀设计表的构造每一个均匀设计表示一个方阵，设试验次数为 ，试验因素数为s ，则对应的均匀设计表方阵为n 行5 列，记为u 。下面介绍用好格子点法构造均匀设计表。( 1 ) 试验数n ，利用整数的同余幂来产生均匀设计表的生成向量h 。寻找比狞小的整数a ，并且使胛和a 的最大公约数为l ，当d ，a 2 ( m o d n ) ，( r o o d n ) 不相同，且口“1 ( m o d n ) = 1 ，此时称a 对，? 的次数为t 。一般若口对”的次数大于或等于5 1 ，且口与”互素，则可用( a o ，a ，口1 ) ( r o o d 门)作为生成向量h ，h = ( ，h s ) ，此时称口为均匀设计的生成元。( 2 ) 列方法来生成均匀设计表u 中的元素：“ = i h ，( m o d n )( 3 ) 计算偏差，优化生成元，得到均匀设计表。由上述可知，只要给定, r 和s ，就可求得口，求得h ，从而得到对应的均匀设计表。由于符合要求的生成元很多，故可生成同样多的生成向量，因此必须优化生成元d ，才能得到均匀性最好的均匀设计表。比较两个均匀设计表的好坏等价于比较它们所对应的两组点集的均匀性，一般用偏差( d i s c r e p a n c y ) 来作为度量均匀性准则。以下给出偏差的定义。上述方法产生的均匀设计表是一个刀s 矩阵u ，若把它的每一行看成s 维空间的一个点，则u 给出了 个试验点，这些点的坐标由( 1 2 ，h ) 组成。用线性变换将( 1 2 ，即)均匀变到 o ，1 】上：f 斗掣，h ，2 ，”2 聍若用甜，表示u 中的元素，则上面的变换等价于2 “一l靠= 当一，i = 1 , 2 ，5 ，七= 1 , 2 ，nx t = ( x k l ，x 2 ，x h ) ，女= 1 , 2 ，门于是”个试验点变换成 o ，1 5 = c 5 中的”个点：x ，x ：，x 。考虑原门个试验点的均匀性，等价于考核x 。，x ：，x 。在c 5 的均匀性。对c 3 的任一向量x = ( x 1 , x 2 ，x 。) ，记v ( x ) = x 1 x ：x ；为矩形 o ，x 】的体积，n 为x i x ：砭中落入 o ，x 中的点数，则d ( x l ，x 2 ，k ) = s u p | 点一v ( x ) lx c 门称为点集( x 。，x ，x 。) 在c 5 中的偏差。长期以来一直没有人提出一个实用的算法。针对好格子点法产生的均匀设计表，b u n d s c h u h 和朱尧辰给出了计算偏差的较简便方法，并证明了其有效性。我们用此方法非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用计算并比较偏差，得到最优的a ，从而得到均匀性最好的均匀设计表。32 2 4 均匀设计表的应用这样，对于给定的行和j ，得到了均匀性最好的【0 ，l r 中的一个点：x ，x ：，x 。所以，对任何5 维空间j r = 6 l ，c ，】 6 ：，c 2 x 6 。，c 。】，同样也可用线性变换将 o ，l 】5 中的这对个点均匀的变换到月5 上；儿2 岛+ 去，f 1 ，2 ，s ，j = 1 ，2 ，y = ( n l ，y 2 t y h ) 。k = 1 , 2 ，n这样就得到了r 中均匀性最好的门个点：y l , y ：，y 。3225 均匀设计计算步骤设度量个数j ，选m 个初始点，即有掰个设计水平。以好格子点法( g o o d l a t t i cp o i n t )构造确定初始点的算法，其主要步骤如下：l 。用穷举法产生点集a = ( 6 z + ia 0 和f 0 。则h o o k e j e e v e s 方法的计算步骤如下：l 。4 - y ( 1 ) = 刘，k = j = 1 ；2 。若( ，) + d e ，) i c y , ，则称为试验成功，令，( 川) = y ( ，) + 沈，转3 。；否则，若，( y + 出，) s 0 1 , ) ，称为试验失败，此时，若，( y “一d e ，) ，令y ( j “) = y ( 一d e ，转3 。；若，( y 一d e ，) ，) ，令y ( ) = y ( ，转3 。；3 。若 ”，令j = j + 1 ，返回2 。；否则j = ”，若儿”1 ) ，b ) ，转s 。；若厂b h “) ；( 2 )每次迭代前恢复各初始值：( 3 )计算j ( x ) ，记偏差为e ，总弧长为s ( 对第1 个初始点五作可行性判断，计算偏差和总弧长) ；若e = 一1 ( 产生溢出，舍去此点) ，则= k + l ，若k m ，转( 2 ) ( 对下一个初始点进行迭代) ，否则转( 1 6 ) ( 所有点迭代完毕，输出) ；若o ce 5 ，令e = e ( 保留较小的精度) ，转( 4 ( 为满足精度继续搜索) ；( 4 i = l ( 从第1 段开始) ：( 5 )，= 1 ( 从第i 段的第1 个变量开始) ； 阮，则z ：= 畔( 超上界，取上边界) ；计算，( 也) ，若e = 一1 ，则k = k + 1 ，若k m ，转( 2 ) ，否则转( 1 6 ) ；若o p ：若s e e ，则x g = x ：一j ，( 加步长不成功，还原) ，转( 7 ) ；( 7 )令x z = x ：一( 作减步长) ，若r 厶g ，则x ；= 厶；( 超下界，取下边界) ；计算j ( x ) ，若p = 1 ，则k = k + 1 ，若k m ，转( 2 ) ，否则转( 1 6 ) ；若0 e s ，则转( 1 4 ) ：若 e e ，则x = r ：+ 占，( 减步长不成功，还原) ，转( 8 ) ；( 8 )j = + l ，若，s ，则转( 6 ) ( 对下一个变量进行探测搜索) ，否则转( 9 ) ( 进行模式搜索) ；( 9 ) 计算下降方向：d ，= 一婵，= 1 , 2 ，5 ；( i o ) 沿射线方向d 搜索：r ? = x ；+ 积，= 1 , 2 ，s ，若纠 碟 0 0 1 ，则转( 1 0 )( 沿此方向继续搜索) ，否则转( 1 2 ) ( 保留当前点并对下一段开始搜索) ；( 1 1 ) 计算j ( x k ) ，若e = 一l l 则= + l ，若 m ，转 2 ) ，否则转 1 6 ；若0 e ，则转( 1 4 ) ：若s e e ，则r = z g 蒯，= 1 , 2 ，一，s ( 搜索不成功，还原) ，口= o 9 c r( 减小a ) ，若群 o 0 1 ，则转1 0 ，否则转( 1 2 ) ；( 1 2 ) y ；= r ；，= 1 , 2 ，5 ，i = ，+ 1 ，着i h ，则转( 5 ) ( 对下一段开始搜索) ，否则转( 1 3 ) ( 减小步长) ；( 1 3 )j ，= o9 占7 ，= 1 , 2 ，s ( 减小步长) ，若j 】2 + 霹+ 十占； 0 0 1 ，则转( 4 ) ( 重新搜索 ，否则转j 4 ) ；非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用( 1 4 )比较总弧长，保留最短总弧长即对应的初始点：若s 皿 岱，m i n s = s ，m t n k = k ；( 1 5 ) k ：k + 1 ，若k m ，则转( 2 ) ，否则转( 1 6 ) ；( 1 6 ) 输出m y n s 及x m t n i 。324 算例本文提出的算法的最显著的一个优点是能求出多个局部最优解，下面以具有多个局部最优解的算例p 1 1 进一步说明。倒3 21m i n f = ( x ? + x 2 1 1 ) 2 + ( x l + x ；一7 ) 2s t一2 0 x ，茎2 02 0 x 2 2 0用上述均匀设计与改进的h o o k e j e e v e s 方法，在 一2 0 ，2 0 】【一2 0 ，2 0 上选取2 0 个初始点，得到4 个不同的极小点：x 每( 3 5 8 4 4 2 8 3 4 18 4 8 1 2 6 5 2 7 ) 1x ：= ( 32 ) 1x ：= ( 一28 0 5 1 1 8 0 8 731 3 1 3 1 2 5 1 8 ) 1x ：= ( 一3 7 7 9 3 1 9 2 5 3 3 2 8 3 1 8 5 9 9 1 ) 1，( x ：) = 0 ( j = 1 , 2 ，3 ，4 )3 3 实际应用依上述模型与算法，研制了软件，对多口水平井井眼轨道进行了设计与施工。例如，茨1 6 一侧平1 4 6 井是一口短半径水平井，表3 3 1 中给出初始点与靶点处已知的井斜角，方位角及空间坐标值，考虑设计3 段弧段的情况时，表3 3 2 给出各段各变量的约束条件，用均匀设计法选择5 0 个初始点，在微机上运行，得到2 6 组最优设计，表3 3 3 是优化设计结果，图3 3 1 画出了其中3 种方案。锦2 7 是一口中长半径水平井，其基本数据见表3 3 4 。分别考虑设计3 段和4 段，都得到了相当满意的设计方案，详细数据见表3 3 5 表3 3 7 及图3 3 2 、图3 3 3 。! ! 苎丝塞! 墨墼墨堕竺垡垡堡笙：兰壁垒窒里表3 3 1 茨1 6 - 1 4 6 井基本数据t a b e3 、311 3 a s i cb a t a 口fe i l 6 1 4 6w e l 旦堡! 塑盛! ! ：! ! ! ：!堡：!：! 丝：! ! ! ! 旦表3 3 2 茨16 - 1 4 6 井优化设计约束条件! 些! ! ! ：! ：! ! ! ! ! ! ! ! ! 壁! ! ! ! 尘! 二! 塑! ! ! ! ! !装置角半径弧长第一段( 一5 0 ，5 0 ) ( 4 0 ，6 0 )( 1 0 ，1 0 0 1第二段( - 5 0 ，5 0 )( 4 0 , 6 0 )( 1 0 ，1 0 0 )第三段( 一5 0 ，5 0 )( 4 0 ，6 0 )f l o ，1 0 0 )表3 33 茨t 6 1 4 6 并优化设计结果t a b i e3 33o p t i m a ir e s u i t so fc i l 6 - 1 4 6w e li互壅羹重鱼堂堡塑量：望塑量：垦堡差一1 7 7 5 9 75 8 2 8 9 2 71 0l5 7 2 0 3 1 97 4 9 1 9 l5 24 8 8 7 85 44 8 0 1 73 81 1 3 4 97 64 8 0 8 404 9 6 5 5 52 83 6 7 3 51 6 9 2 2 7 85 0 2 9 6 0 52 6 2 3 9 0 323 87 6 9 54 08 4 4 81 12 7 3 3 87 83 7 5 8 503 3 2 8 9 6：竺：! ! ! ! ! ! ：! 里! !一1 73 8 2 832 3 2 3 9 2 55 6 2 6 9 7 14 6 8 3 5 52 5 3 9 1 7 23 3 7 0 4 7 27 7 1 8 3 5 706 5 4 2 8 43 5 7 5 4 0 14 1 2 6 1 51 8 ，0 8 7 1 3，_-，_h，h_h-一92 6 0 7 9 14 90 4 7 3 21 8 5 7 6 3 54315 8 8 65 43 5 6 3 82 38 8 6 67 5 9 6 3 9 7o3 6 8 9- 43 3 5 9 95 2 8 0 8 9 63 35 0 1 0 21 62 7 4 75 j4 9 7 9 11 39 0 2 4 452 2 6 4 4 8 44 1 4 0 9 5 21 07 8 3 7 7 0 402 6 7 6 3 5：竺! ! 坠塑：堑! ! ! ! ：! ! ! !一2 7 31 3 65 65 8 8 8 51 34 3 7 462 03 5 54 1 0 9 1 7 11 1 2 3 1 8 17 87 4 6 3o7 9 1 9 1 6非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用15 7 8 0 0 85 03 0 6 2 71 78 7 3 9 91 0一2 55 1 0 24 9 ，4 8 0 7 53 4 3 8 7 7 67 69 5 5 6 201 7 9 1 1 7：! ! ! ：! ! 竺j丝：! 墅塑一3 28 4 4 95 92 3 4 6 41 6 8 1 3 9 33 16 3 7 8 11 26 8 3 9 94 31 6 0 2 24 7 1 0 8 8 21 9 8 7 5 6 17 82 9 3 40 5 5 0 3 3 24 l6 0 3 8 61 88 4 2 9 25 9 8 9 4 1 11 00 0 4 4 l1 2- t 4 8 3 5 55 0 9 7 0 3 55 2 9 7 1 3 67 66 4 9 2 30 17 2 0 9 82 50 9 8 55 35 9 4 7 71 36 7 3 4 73 30 6 8 64 8 ，0 2 7 6 92 11 4 1 4 71 34 19 0 0 0 64 03 19 0 1 97 99 6 6 4 907 9 3 3 2 23 67 3 0 1 24 22 2 9 8 12 69 2 3 1 32 7 5 3 3 9 54 93 4 1 9 13 47 9 3 5 31 44 03 3 6 15 66 8 4 3 11 74 8 7 97 51 3 8 5 70 3 0 3 4 0 12 68 2 7 65 66 5 0 1 42 28 5 7 1 44 4 2 5 4 95 97 5 2 7 31 0151 2 6 2 2 64 5 8 6 9 7 72 5 ，7 8 9 5 87 8 1 1 0 6 206 5 3 7 5 92 9 9 7 1 4 74 7 7 3 9 44 2 3 2 1 0 41 7 0 0 3 9 75 36 3 9 6 61 4 5 7 2 7 91 6- 2 4 7 6 0 85 04 5 4 6 35 0 5 6 4 8 17 6 9 7 4 3 40 3 5 1 7 8 63 4 8 9 8 3 84 01 18 3 6 7 4。一】00 1 9 2 35 88 2 2 8 41 01 73 54 7 2 15 552 07 8 4 3 47 80 2 9 2 405 4 1 7 2 92 03 4 7 2 54 2 8 5 7 1 44 72 4 4 9非线性集中参数系统的优化理论、算法及应用一3 33 7 3 24 22 6 91 7 1 3 9 7 21 93 99 3 2 34 39 7 4 4 44 9 4 9 8 2 67 8 2 4 2 4 60 6 1 6 3 2 890 7 1 4 55 45 8 7 0 41 1 6 0 4 4 84 15 8 4 5 25 0 8 5 3 3 41 5 ，8 4 7 0 12 04 53 8 34 0 4 2 8 7 52 40 5 6 5 88 1 5 9 2 3 l0 4 7 1 5 6 1- 2 87 7 1 44 04 16 8 8 7 20 5 0 1 9 1 25 65 9 1 31 0 8 1 8 5 82 14 8 8 8 6 6 25 1 1 8 4 3 71 1 4 6 3 9 27 8 2 7 4 3 402 3 4 1 8 83 16 3 2 74 1 2 0 1 8 l5 5 9 9 1 8 554 9 4 3 8 55 36 3 6 8 53 33 5 9 2 22 23 7 9 4 7 64 36 8 4 2 331 3 0 0 6 37 6 2 2 8 902 3 0 5 8 54 69 0 6 2 85 91 1 6 21 1 5 6 9 0 576 3 5 3 75 9 1 7 6 9 92 73 8 3 9 52 32 03 4 6 9 45 11 2 6 1 11 9 1 8 3 6 77 67 7 1 702 7 4 1 71 53 0 6 14 1 2 2 4