（应用数学专业论文）多元统计在高速公路沥青混合料设计中的应用.pdf

摘要 高速公路沥青混合料的设计是道路建设中的重要环节本文对于交通设计部门提供 的数据，首先通过分析研究工程建设中混合料设计过程，把影响路面质量的相关因素与 指标分成了混合料因素指标、马歇尔试验指标和质量评价指标三类。然后运用多元统计 分析理论，结合s a s 软件全面分析了三类指标各自内部和相互之间的关系 对于质量评价指标间的内部关系，我们通过添加变量改变数据的维度，发现了六个 拟合效果非常好的回归模型；我们也通过主成分分析找出了代表高速公路质量的主成分； 对于马歇尔指标问的内部关系，通过相关性分析发现三个指标问无明显的线性关系； 通过主成分分析，我们同样给出了代表马歇尔试验指标的主成分 对于混合料因素与马歇尔指标之间的关系，我们运用方差分析，各因素对马歇尔指 标进行了显著性检验，并对之间的关系进行了描述另外油石比与空隙率的关系，我们对 所有的混合料类型都进行了线性回归，找出了确切的统计关系还有就是级配与空隙率 下界的关系，文中从工程实践的角度推导和发现了空隙率取下界时的级配情况，又从严 格的数学意义出发，对开普勒猜想进行延伸，确定了级配与空隙率的部分关系。 对于马歇尔指标与质量评价指标问的关系，本文运用典型相关性分析分析了两类变 量总体上的相关性；通过线性回归初步找出了4 个线性模型；为了优化模型，文中又进行 了多项式回归，通过显著性检验、拟合优度比较，共线性诊断和残差分析，发现新的模型 比线性的模型要好并用n l i n 栅格搜索计算法对对多项式回归系数进行了确认，最后 进行了岭估计的尝试，进一步肯定了前面多项式模型的准确性 通过对三类关系的多元统计研究，我们为工程实践提供了很多有实际应用价值的数 学模型，同时也为改善混合料料设计流程，提高路面质量提供了理论基础根据工程建设 的质量指标要求，我们可以通过模型计算得到我们需要达到的各项马歇尔指标，再根据 混合料与马歇尔指标之间的工程关系调整混合料的各项因素就可以了，这样将使我们的 混合料设计试验有很强的目标性，不仅节约试验时间，而且也可一定程度上精确控制各 项指标，从而提高我们的路面建设质量 关键词：混合料马歇尔质量评价相关分析主成分分析方差分析典型相关分析 回归分析 a b s t r a c t t h ed e s i g no f 丘e e w a ya s p h a l tm i x t u r ei sac r i t i c a ll i n ki nt h ec o n s t r u c t i o no ff r e e w a y s t h i st h e s i st r i e st oa n a l y z et h ed e s i g np r o c e s so ft h ea s p h a l tm i x t u r ea n dc l a s s i f i e st h o s ef a c t o r s w h i c hi n f l u e n c et h eq u a l i t yo ft h ef r e e w a y si n t oa s p h a l tm i x t u r ei n d e x ，m a r s h a l lt e s ti n d e x a n dq u a l i t ye v a l u a t i o ni n d e x ；a n dt h e n ，t r i e st og e ta ni n s i g h ti n t ot h ec o - r e l a t i o n s h i p sa m o n g t h e mw i t ht h eh e l po ft h em u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a la n a l y s i sa sw e l la 8s a s a st ot h ei n t e r n a lr e l a t i o n s h i po ft h eq u a l i t ye v a l u a t i o ni n d e x ，s e v e r a lv a r i a b l e sa r ea d d e d t oc h a n g et h ed i m e n s i o no ft h ed a t aa n ds i xr e g r e s s i o np a t t e r n sw i t hf a v o r a b l ef i te f f e c ta r e d i s c o v e r e d b e s i d e s ，t h ep r i n c i p l ec o m p o n e n tw h i c hs h o w st h eq u a l i t yo fh i g h w a y si sf o u n d t h r o u g ht h ep r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s a st ot h ei n t e r n a lr e l a t i o n s h i po ft h em a r s h a l lt e s ti n d e x ，t h el i n e a rr e l a t i o n s h i pi sd i s c o v - e r e da m o n gt h r e ei n d e x e st h r o u g hc o - r e l a t i o na n a l y s i s w i t ht h ep r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s ， t h ep r i n c i p l ec o m p o n e n to fm a r s h a l lt e s ti n d e xi sa l s od e m o n s t r a t e d a st ot h ec o - r e l a t i o n s h i pb e t w e e na s p h a l tm i x t u r ei n d e xa n dm a r s h a l lt e s ti n d e x t h e v a r i a n c ea n a l y s i si su s e dt oc a r r yo u tt h es i g n i f i c a n c et e s to fm a r s h a l lt e s ti n d e xa n dt h e r e l a t i o n s h i po fw h i c hi sd e s c r i b e d m o r e o v e r ，t h ee x a c ts t a t i s t i c a lr e l a t i o no fo i l r o c ka n dg a p r a t ei sd i s c o v e r e dw i t ht h eh e l po fl i n e a rr e g r e s s i o no na l la s p h a l tm i x t u r ep a t t e r n s s t i l l ， p a r to ft h er e l a t i o nb e t w e e ng r a d a t i o na n dl o w e rb o u n do fg a pr a t ei si d e n t i f i e df o r mt h e p e r s p e c t i v eo fp r o j e c tp r a c t i c ea sw e l la st h em a t h e m a t i c a le x t e n s i o no fk e l p e rc o n j e c t u r e a st ot h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nm a r s hi n d e xa n dq u a l i t ye v a l u a t i o ni n d e x ，c a n o n i c a l c o r r e l a t i o na n a l y s i si sa d o p t e dt oa n a l y z et h er e l a t i v i 够o ft h e s et w ok i n d so fv a r i a b l e si n g e n e r a l b yl i n e a rr e l a t i o n s h i p ，f o u rl i n e a rm o d e l sa r ef o u n dp r e l i m i n a r i l y ；w h i l et oo p t i m i z e t h em o d e l s ，c a n o n i c a lc o r r e l a t i o na n a l y s i si sa l s oc o n d u c t e d t h er e s u l t so fs i g n i f i c a n c et e s t ， g o o d n e s s - o f - f i tc o m p a r i s o n ，c o l l i n e a r i t yd i a g n o s t i c sa n dr e s i d u a la n a l y s i ss h o wt h a tt h en e w m o d e li sm u c hb e t t e rt h a nl i n e a rm o d e l m e a n w h i l e n l i ng r i ds e a r c hn u m e r a t i o nv e r i f i e st h e p o l y n o m i a lr e g r e s s i o ni n d e x i nt h ee n d ，r i d g er e g r e s s i o ni se x p e r i m e n t e dw h i c ha 任i r n l st h e a c c u r a c yo fp o l y n o m i a lm o d e l s f r o mt h em u l t is t a t i s t i c a ls t u d i e so ft h e s et h r e er e l a t i o n s h i p s ，m a n ym a t h e m a t i c sm o d e l s o fv a r i o u sp r a c t i c a lv a l u e sa r ep r o v i d e df o rp r o j e e tp r a c t i c e s ；a tt h es a m et i m em i x e dm a t e r i a l d e s i g np r o c e s si si m p r o v e da n dt h e o r e t i c a lb a s i si so f f e r e df o rt h ei m p r o v e m e n to fr o a dq u a l i t y a c c o r d i n gt ot h eq u a l i t yi n d e xr e q u i r e m e n to ft h ep r o j e c tc o n s t r u c t i o n ，v a r i o u sm a r s h a l li n d e x t h r o u g hm o d e l sc a nb ef i g u r e do u t ，a n dt h o s ef a c t o r so fm i x e dm a t e r i a l ss h o u l db ea d j u s t e db y t h ep r o j e c tr e l a t i o n s h i po fm i x e dm a t e r i a la n dm a r s h a l li n d e x ，s oa st op r o v eas t r o n go b j e c t i v e o fm i x e dm a t e r i a l se x p e r i m e n t t h i sn o to n l ys a v e st h ee x p e r i m e n tt i m e sb u ta l s ow o u l dh a v e a na c c u r a t ec o n t r o lo ft h e s ei n d e x e s ，s oa st oi m p r o v et h eq u a l i t yo fo u rr o a dc o n s t r u c t i o n k e y w o r d s ：a s p h a l tm i x t u r e m a r s h a l l q u a l i t ye v a l u a t i o n c o r r e l a t i o na n a l y s i sp r i n c i - p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s c a n o n i c a lc o r r e l a t i o na n a l y s i sv a r i a n c ea n a l y s i s r e g r e s s i o na n a l - y s i s 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公 布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理 训一 粒 第一章问题重述与分析 延长高速公路路面寿命对降低高速公路的运行成本、保障运输安全有着极其重要的 意义，而路面寿命的长短主要取决于路面建设质量由于我国建设高速公路的历史不长， 对高速公路路面寿命的客观规律的了解还不太全面、深入( 例如，不同地区的高速公路 路面对抗水损害性能、高温性能、低温性能的要求是否可能不同；工程技术人员对一些 现象的解释还不令人十分信服等等) 高速公路的路面质量主要涉及沥青混合料的设计和 施工两个方面，高速公路路面的建设工艺比较简单：以分别达到各自标准的沥青、矿粉、 碎石( 含细集料和粗集料) 做原料，按一定的比例组成为混合料，经过充分拌和后，比较 均匀地铺在已经造好的基层上、再经多次碾压路面以达到设计的压实度，最后经过一段 时间让沥青路面降温就可以交付使用在选料、拌和、摊铺、碾压成型这几道工序中，拌 和、摊铺和降温是物理过程，只要按现有的工艺技术要求进行操作，它们对高速公路路 面的质量影响不大；施工时外界的温度对沥青的融化和压实是有影响的，但专家们认为 只要达到设计的压实度，它对高速公路路面的质量影响也不大此外由于技术上的困难， 这里也不考虑基层质量对路面质量的影响本文主要应用多元统计分析，对现有的试验 数据进行研究，找出其中隐含的统计规律，改进混合料设计流程，从而提高高速公路沥青 路面质量 1 1 研究背景 该问题开始来源于2 0 0 7 年研究生数学建模c 题，由于当时竞赛时间的紧迫性，各类 数据之间的关系分析的不够透彻、不够全面，没有从根本上发现混合料因素与路面质量 之间的非线性关系，从而没能提出提高路面质量的解决方案，应交通设计部门相关工作 人员的请求，本文应用多元统计分析对问题进行进一步的研究 1 2 数据说明 原题中给出了2 9 0 组数据( 见附录a - 1 1 ) ，这批宝贵的数据均来自我国高速公路工 作者的实际试验和工程实践，由某交通设计部门提供数据涉及到对公路路面质量有影 响的关键因素指标、马歇尔试验指标和路面质量评价指标： 矿料类型一本文数据中主要涉及的是属于火成岩类的玄武岩和属于沉积岩类的石 灰岩天然岩石按其形成的条件可以分为火成岩、沉积岩和变质岩，又由于所含矿物成分 的不同而形成多样的岩石 沥青型号一本文数据主要包括普通沥青和改性沥青改性沥青是指掺加橡胶、树脂 高分子聚合物、磨细的橡胶粉或其它填料等外惨剂，或采取对沥青轻度氧化加工等措施， 使沥青或沥青混合料的性能得以改善而制成的沥青结合料 混合料类型一本文数据包含a c 1 3 、a c 一1 6 、a c 一2 0 、a c 一2 0 s 、a c 2 5 、a t b 2 5 、s m a - 1 3 、s m a - 1 3 s 、s u p l 3 、s u p 2 0 、s u p 2 5 共计1 1 种类型沥青混合料是将一定级配的矿质集 料与适量的沥青结合料在适当的条件下经过充分搅拌而成的一种混合物根据组成结构、 生产工艺以及用途等的不同可以分成若干不同类型 东南大学硕士学位论文 c h a p t e r1 问题重述与分析 筛孑l 通过率( 即级配比) 集料中能够通过直径大小不同的各种筛孑l 的各部分的质 量占集料总质量的比例( 显然筛孔直径越大则通过的混合料就越多) ，是反映集料粗细程 度及大小搭配情况的指标例如通过直径为0 6 r a m 圆孔的集料部分占集料的百分比可能 是1 0 1 ，通过直径为4 7 5 m m 圆孔的集料部分占集料的百分比可能是4 3 9 ，通过直径 为1 9 r a m 圆孑l 的集料部分占集料的百分比可能是9 9 油石比( 8 ) 一为混合料中沥青与集料( 即矿粉、碎石) 的质量比，被普遍认为是影 响路面性能的关键指标 粉胶比( d 尸) 一混合料中矿粉质量与沥青质量的比 空隙率( y y ) 一为混合料经碾压后达到设计压实状态时，其中空隙体积占总体积的 百分比 矿料间隙率( y m a ) 一为混合料经碾压后达到设计压实状态时，混合料中有效沥青 ( 指进入路面的沥青。而非施工中使用的沥青原料的全体) 体积+ 空隙体积占总体积的百 分比 饱和度( y f a ) 等于( v m a - w ) v m a ，单位是，反映有效沥青体积占v m a 体 积的百分率 毛体积密度( 7 f ) 一为达到设计压实状态的试件的密度 最大理论密度( m ) 一为混合料理论上的最大密度，即如果不含任何空隙时混合料的 密度w = 1 0 0 一毛体积密度最大理论密度x1 0 0 冻融劈裂强度比( t s r ) 一反映混合料抗水损害性能的指标，越大越好 浸水马歇尔稳定度比( s o ) 一反映混合料抗水损害性能的指标，越大越好 车辙( t r a c k ) 一动稳定度指标，为车辙试验中试件变形稳定时，荷载作用次数与变 形深度的比值，单位次m ”，反映混合料的抗车辙性能( 高温性能) ，越大越好 弯拉应变( b e n d ) 一为低温小梁弯曲试验时的破坏应变指标，反映混合料的低温变 形能力，越大越好 1 3 沥青混合料工程实践设计步骤 要研究如何改良高速公路沥青混合料设计方法，我们先来看一下现在工程实践中常 用的沥青混合料设计过程： 1 、根据道路等级、气候分区以及现有的材料供应，确定矿料类型和沥青类型 2 、根据沥青混合料所用的面层位置，确定级配类型 3 、根据公路沥青路面施工技术规范，结合对路面的特殊要求调节各层次粗细集 料的筛孔通过率，确定级配比 4 、进行马歇尔试验，测定试件毛体积密度，并计算得试件最大理论密度、空隙率、矿 料问隙率和饱和度，根据固定的工程公式计算求得最佳油石比 5 、进行混合料路用性能检验，主要包括检验抗水性能、高温性能和低温性能检验 1 4因素与指标归类 根据混合料设计的过程，我们研究发现矿料类型、沥青类型、混合料类型、级配比和 油石比这5 个因素决定了混合料的各项指标和特性，这是最根本的因素，这些因素的构 2 东南大学硕士学位论文 c h a p t e rj 问题重述与分析 成决定了马歇尔试验指标，这里包括空隙率，矿料间隙率、饱和度、毛体积密度和最大理 论密度反过来我们根据马歇尔试验指标调整和确定混合料因素的构成而在原设计流 程中，冻融劈裂强度比、浸水马歇尔稳定度比、车辙和弯拉应变四个指标是作为质量评价 指标来处理的，这样就可以把数据分成三类来处理，具体分类见表1 1 混合料因素指标 马歇尔试验指标质量评价指标 1 矿料类型 y y 丁s r 2 沥青类型y m a s 0 3 混合料类型 y f a t r a c k 4 级配比 7 b e n d 5 油石比饥 其中，马歇尔试验各指标之间的又存在着如下关系： v f a = y m a y y y m a 木1 0 0 7 ，= ( 1 一v u 1 0 0 ) 奉m 这样，表1 1 重新整理为表1 2 混合料因素指标马歇尔试验指标质量评价指标 1 矿料类型 y y r s r 2 沥青类型 y m a s 0 3 混合料类型饥 t r a c k 4 级配比 b e n d 5 油石比 表1 2 1 5 问题说明 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 原来的沥青混合料设计是根据工程实践经验和第二类马歇尔指标来确定第一类混合 料5 个根本因素，然后再来检验第三类质量评价指标现在我们应用多元统计分析研究 三类变量自身和相互之间的关系，尝试发现一些相对较好的统计规律，为混合料设计工 作者提供一些有用的信息，并尝试在混合料设计流程中从性能评价指标出发，根据已经 发现的相关数量关系，确定我们要达到这种质量的路面所对应的马歇尔试验指标，然后 再应用原来的工程实践中混合料构成因素与马歇尔指标之间的经验关系和新发现的统计 关系确定混合料的构成 1 6 符号说明 为了书写和编程方便，文中因素指标用数学符号表示见表1 3 3 东南大学硕士学位论文 c h a p t e ri 问题重述与分析 因素指标数学符号 矿料类型 允1 沥青类型 2 混合料类型b 级配比 4 b 危5 y y z 1 v m a x 2 mx 3 t s r y l s 0 y 2 t r a c k 驰 b e n d y 4 表1 3 4 第二章四个质量评价指标内部关系研究 2 i 相互关系研究 2 1 1 数据处理 分析的基本数据：提取4 个质量评价指标都完整的1 6 8 组观察数据( 见附录a - 2 1 ) 2 1 2 两两相关性分析，并根据该分析给出设想 对四组数据用s a s 软件进行两两线性相关性分析( 程序见附录b - 2 - 1 ) ，并做出散点 图，结果( 见附录c - 2 1 ) 中重要信息如图2 1 和表2 1 图2 1 5 东南大学硕士学位论文 c h a p t e r2 四个质量评价指标内部关系研究 从相关系数来看，这四个指标之间两两线性相关性不明显，而且从散点图( 见附录 c 一2 - 1 ) 看也没有明显的非线性关系情况真是如此吗? 冻融劈裂强度比( t s r ) 与浸水 马歇尔稳定度比( s o ) 都是反映混合料抗水损害性能的指标，而且它们一般都在相同的 条件下测量出因为在公路的修筑中，t s r 、s o 都是越大越好，所以在技术发达的现 在，t s r 、s o 基本都能达到 8 0 ，这样样本就受到限制，因此以这两指标作为变量 作出的散点图将局限在一个很小的正方形当中，我们认为：上面关于这两个指标的相关 系数可能并不是真正的相关系数再者，因为车辙( t r a c k ) 、弯拉应变( b e n d ) 都跟温度 有一定的关系，而且都跟压实度、材料配比密切相关，我们认为它们之闻应该有某种联 系另外，高维数量之间的关系不是只通过二维关系就可以判定的在研究过程中我们尝 试两两数据之间相乘或相除，然后再来找它们之间的相关性，也确实通过作散点关系图 发现了不少相关性很好的统计 2 1 3 进行数据变换寻找模型 对数据进行变换( 数据见附录a - 2 - 2 ) ，具体情况如下； 1 、用基本数据t s r 、s o 、t r a c k 三变量进行分析，对基本数据中每个样本点作t r a c k t s r 与t r a c k s o 变换得出的散点图如图2 2 发现有明显的线性关系，设z = t r a c k t s r ，y = t r a c k s o ，用s a s 软件编程( 见附 录b 一2 - 2 ) 进行线性回归，结果( 见附件c - 2 - 2 ) 中重要信息见表2 2 6 东南大学硕士学位论文 c h a p t e r 2 四企厦量塑赞堑握宣墅苤墨翌窒 表2 2 由r e g 过程分析得到的回归模型是显著的，p r f ) ) i t l = 0 0 5 9 6 ，也是相对 比较显著的 另外结果( 见附录c 一2 2 ) 显示学生化残差图中学生化残差( = 残差残差的标准误) 的绝对值大于2 的点所占有9 个，比例为9 1 6 8 = 5 3 5 7 1 4 ，这样的比例还是比较小的， 且分布均匀同时估计标准误差即平均误差为2 3 7 7 8 8 与雪= 5 2 4 7 0 2 4 相比也是比较小 的 通过显著性检验和残差分析显示该模型是比较好的，对应的原模型为； t r a c k s o = 0 9 2 0 9 0 t r a c k t s r + 1 1 5 3 0 7 ( 2 2 ) 2 、对每个样本点作t s r t r a c k 与s o t r a c k 变换得出的散点图如图2 3 发现有明显的线性关系，设z = t s r t r a c k ，y = s o t r a c k ，用s a s 软件编程( 见附 录b - 2 3 ) 进行线性回归，结果( 见附录c 一2 3 ) 中的重要信息见表2 3 7 奎宣盔兰堕主堂垡迨塞竺坠里婴兰：堕尘丛量堡笪堑叠宣塑羞墨翌窒 表2 3 由r e g 过程分析得到的回归模型是显著的，p r f f ) t l f f ) l t l l t l f ) f ) m m 0 ( 2 2 4 ) 1 ) ( c - 1 ，铆) 实际上石对应于a 的特征向量若原变量服从正态分布，则各主成 分之间相互独立 2 ) 全部p 个主成分所反映的扎例样本的总信息，等于p 个原变量的总信息信息量 的多少，用变量的方差来度量 1 6 2 墨昂； p p 哪 删 + + 恐恐 2 2 q 睨 + + ； x x q 睨 1 i l l 磊磊 东南大学硕士学位论文一 型：! 婴兰：堕全重量堡笪堑堑宣塑羞墨翌窒 _ _ _ - _ i _ - - _ _ - _ _ - _ - _ 一一 3 ) 各主成分的作用大小是：z 1 芝历彩 4 ) 第i 个主成分的贡献率是 1 0 0 l f ；1 子x 5 ) 前m 个主成分的累积贡献率是等1 0 0 在应用时，一般取累计贡献率为s o 暑l 3 以上比较好 2 2 2 主成分分析的应用 下面我们结合s a s 软件，对四个质量指标进行主成分分析( 见程序b - 2 9 ) ，尝试发 现一些不相关的综合指标来尽可能多地反映原来的指标，结果( 见附录c - 2 9 ) 中的重要 信息见表2 9 这部分给出了相关矩阵的特征值( e i g e r 吼l u e ) 特征值越大，它所对应的主成份变量包 含的信息就越多第1 至第4 个主成分的贡献率分别达到了4 1 5 1 2 4 4 9 、1 7 9 6 、1 6 0 4 ， 由数据可知第1 个主成分包含原来的信息比较多，其它几个主成分包含原来的信息差不 多我们取前三个主成分，累计贡献率达8 3 9 6 表2 1 0 给出了特征向量，据此可以写出前3 个主成分分与变量之间的关系式 p r i n l = 0 4 1 7 8 1 7 y l - 1 - o 5 4 3 5 6 2 y 2 + 0 5 5 8 3 1 2 y 3 + 0 4 6 7 1 8 0 y 4 p r i n 2 = 0 6 7 9 4 0 3 y l - fo 3 0 7 5 7 3 y 2 0 3 1 8 0 7 8 y 3 0 5 8 5 3 5 1 y 4 p r i n 3 = 0 5 6 5 5 6 7 y l 一0 5 7 5 1 4 0 y 2 0 2 9 2 8 8 7 y a + 0 5 1 3 3 8 6 y 4 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 东南大学硕士学位论文 c h a p t e r2 哩个质量评价指标内部缒婴笪 对第一主成分影响较大的是：y l 、1 1 2 、y s 、y 4 ，对第二主成分影响较大的是：y l 、y 4 ，对 第三主成分影响较大的是：y 1 、y 2 、1 1 4 ，总体上变量对主成分的影响比较平均 1 8 第三章马歇尔指标内部关系研究 前一章中我们已经讨论了质量评价指标之间的内部关系，下面我们再来分析一下三 个马歇尔试验指标之问的内部关系 3 1 相互线性关系 首先还是让我们对三个指标进行线性相关性分析( 数据见附录a - 3 - 1 、程序见附录 b 一3 - 1 ) ，结果( 程序见附录c - 3 - i ) 中的重要信息见表3 1 结果显示相互之问无明显的线性关系 3 2 主成分分析 原来5 个马歇尔指标缩减为3 个，现在我们同样对其进行主成分分析，尝试用更少 的不相关的指标来反映原来的信息( 数据见附录a - 3 - 1 、程序见附录b 一3 - 2 ) ，结果( 程序 见附录c - 3 - 2 ) 中的重要信息见表3 2 、表3 3 表3 2 给出了相关矩阵的特征值( e i g e n v a l u e ) 特征值越大，它所对应的主分变量包 含的信息就越多第1 至第3 个主成分的贡献率分别达到了4 1 0 6 、3 6 7 6 、2 2 1 9 ，由 数据可知第1 个主成分包含原来的信息比较多，第3 个主成分包含信息相对最少取前 两个主成分，累计贡献率达到7 7 8 i 1 9 东南大学硕士学位论文 c h a p t e r3 马歇尔指标内部关系研究 表3 3 给出了特征向量，据此可以前2 个主成分与变量之间的关系式 p r i n l = o 5 9 9 0 0 9 x l + 0 7 5 7 1 3 7 x 2 + 0 2 6 0 6 3 8 x 3( 3 1 ) p r i n 2 = 一0 5 4 8 0 2 9 x l + 0 1 5 0 3 1 6 x 2 + 0 8 2 2 8 4 3 x 3( 3 2 ) 对第一主成分影响较大的是：x l 、x 2 ，对第二主成分影响较大的是：x l 、x 3 第四章混合料因素与马歇尔指标之间关系研究 我下面们考虑对数据进行方差分析检验各因素对马歇尔指标的影响是否显著，本 来考虑用多元方差分析，但由于数据不整齐，依次使用单因素方差分析 4 1 方差分析理论 1 、方差分析的基本概念 方差分析是利用实验数据，分析各个因素对事物某指标的影响是否显著的一种统计 方法方差分析的基本思想思为：把全部数据关于总均数的离差平方和分解成几部分，每 一部分表示某一影响因素或诸因素之间的交互作用所产生的效应将各部分方差与误差 方差相比较，依据f 值做出统计推断，从而接收或拒绝某些因素或交互作用对考察指标 的重要影响 2 、单因素方差分析过程 假设因素a 有k 个水平：a l 、a 2 、丸，第歹个水平做实验次，得指标y 的哟 个数据! ，1 j 、物、y n i j 1 ) 提出零假设凰：p 1 = p 2 = = p 2 ) 方差分解： kn j s t = ( 一雪) 2 j = li = l kn j 2 j = l i = l ( 物一易+ 毋一鳓2 ( 4 1 )l 鼍工， kn j七 = ( 物一易) 2 + n j ( f ，j 一雪) 2 j = li = lj = l = s e + s a 求f 值： f = 面s a 再( k - 丽1 ) ( 4 2 ) z ) f 与临界值比较，接受或否定凰 客观事实中的事物很复杂，影响某项指标的因素往往很多，这些因素互相联系，互相 依存，互相对立，问题也就变得复杂了当只考虑两个因素的作用时，我们进行组间变差 和误差的变差分析，叫双因素试验方差分析当考虑的因素多于两个时，就叫多因素试验 方差分析 4 2混合料因素对马歇尔指标的方差分析应用 4 2 1 数据说明 这里我们调用数据( 见附录a 一4 - 1 ) ，其中矿料类型包括；石灰岩、玄武岩沥青 类型包括改性沥青、普通沥青混合料类型包括：a c 一1 3 ，a c 一1 6 、a c 2 0 、a c 一2 0 s 、a c 2 1 东南大学硕士学位论文 c h a p t e r4 混合料因素与马歇尔指标之问关系研究 2 5 、a t b 2 5 、s m a 一1 3 、s m a - 1 3 s 、s u p l 3 、s u p 2 0 、s u p 2 5 油石比包括3 7 、3 8 、3 9 、4 o ， 6 1 、6 2 4 2 2 进行数据正态性检验 进行数据正态性检验( 程序见b 一4 - 1 ，结果见c 一4 - 1 ) ，结果中重要信息见表4 1 检验 t h eu n i v a r i a t ep r o c e d u r e v a r i a b l e ：x l t e s t s h a p i r o - w il k k o l m o g o r o v 。s m i r n o v c r a m e r - v o nm is e s a n d e r s o n d a r li n g t e s t s b a p i r o - w il k k o l m o g o r o v s m i r n o v c r a m e r v o nm is e s a n d e r s o n - d a r li n g t e s t s h a p i r o - w il k k o l m o g o r o v - s m i r n o v c r a m e r - v o nm is e s a n d e r s o n d a r li n g t e s t sf o rn o r m a li t y s t a t i s t i c 一 w 0 。7 6 9 3 4 7 do 2 1 5 7 7 2 w s a2 3 4 3 0 7 1 a s a1 2 6 1 8 0 9 v a r i a b l e ：x 2 t e s t sf o rn o r m a l i t y s t a t i s t i c w0 8 8 3 0 6 4 d 0 1 5 3 5 5 7 w s a1 2 0 0 3 9 a s o 7 8 5 5 8 5 3 v a r i a b l e ：x 3 t e s t sf o rn o r m a li t y s t a t i s t i c w 0 9 3 3 0 2 8 d0 1 2 2 2 2 4 w - s q0 5 3 0 5 2 4 一 a - s q3 。0 7 9 4 4 6 pv a l u e p r w d w - s q a - s q 0 0 0 5 0 pv a l u e p r w d w s q a - s q o 0 0 5 0 _ pv a l u e p r f ) f ) f = 0 0 4 7 2 ，说明沥青类型对空隙率的影响是比较显著的，对于 x 2 ，p r f f = 0 6 6 1 1 ，说明沥青类型对最大理论密度的影响是不显著的 2 、关系描述 同时在g l m 过程中用m e a n s 语句( 程序见附录b 一4 - 3 ) ，结果( 见附录c - 4 - 3 ) 中重 要信息见表4 5 从数字看改性沥青比普通沥青所造成的空隙要大，间隙要小 4 2 5 对混合料类型的方差分析 1 、显著性检验 运用g l m 过程进行矿料类型对三个马歇尔指标的方差分析( 程序见b 一4 - 4 ) ) ，结果 ( c 一4 - 4 ) ) 中重要信息见表4 6 对于x l ，p r f f ) f n f ， f ) f 0 0 0 0 1 说明第一个相关系数显著不为零 这是各种多元统计及相应f 检验的结果，检验结果表明典型相关系数r l 是极显著的 不为零 东南大学硕士学位论文 c h a p t e r5 马歇尔指标与质量评价指标之间的关系研究 表5 4 根据以上输出，用原指标来线性表达典型变量的线性方程为 j = 一1 6 5 5 0 4 1 9 5 2 1 + 0 5 4 3 1 6 6 0 8 7 x 2 + 3 9 7 9 2 3 7 8 9 0 3 铂( 5 1 1 ) i1 吼= 一o 。0 0 0 2 9 7 6 8 y l 一0 0 5 6 8 9 2 1 8 9 y 2 + 0 0 0 0 4 9 9 6 9 6 2 y z + 0 0 0 1 2 9 7 6 2 1 9 y 4 表5 5 用标准化指标来线性表达典型变量的系数，即： 小一0 4 弛l + 0 9 4 2 7 观+ 0 2 2 1 8 【矾= 一o 0 0 1 1 y l 一0 1 8 1 1 y 2 + o 7 5 3 6 y 3 + o 5 1 4 8 y 4 ( 5 1 2 ) 东南大学硕士学位论文 c h a p t e r5 马歇尔指标与质量评价指标之间的关系研究 此处是4 个典型结构，这4 个典型结构矩阵都是典型变量与相应的原指标之间的 相关系数典型变量h 与x 2 的相关系数为0 8 4 4 9 ，w 1 与y 3 和y a 的相关系数分别为 o 8 6 4 3 、o 7 2 2 0 即在典型变量所提取的相关信息中，z 2 的贡献最大肌所提取的信息 中，y 3 和y a 的贡献都很大 5 2 多元回归分析 5 2 1 多元线性回归分析理论 1 、回归分析基本概念 回归分析是研究一个或多个随机变量可l ，抛，与另一些变量z 1 ，x 2 ，x k 关 系的统计方法主要思想是用最小二乘法拟合因变量与自变量间的回归模型，从而把具 有不确定关系的若干变量转化为有确定的方程模型来近似地分析，通过自变量的变化预 测因变量的变化趋势 2 、多元线性回归过程设有自变量z 1 ，x 2 ，唧和因变量y 以及一份由n 个个体构 4 0 东南大学硕士学位论文 c h a p t e r5 马歇尔指标与质量评价指标之间的苯鍪研究 成的随机样本( x i l ，x i 2 ，x i p ，y ) ，且有如下关系： y = b o + b l x l + b 2 ：x 2 + + 岛唧+ 由一组样本数据，可求出参数的估计值b o ，b l ，6 p ，得到回归方程 具体过程如下： 1 ) 最小二乘估计 参数估计的结果要使得实际观测值和回归方程估计值之间的残差平方和 ( 5 1 3 ) q = ( 玑一玩) 2 = ( 纨一b o b l x i l b 2 z i 2 一一b p x