（应用数学专业论文）广义ostrovsky方程和充分非线性dgh方程cauchy问题的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 在偏微分方程的研究中，解的适定性问题是一个非常重要的问 题。它包括解的存在性、唯一性和稳定性三个方面。本文就偏微分方 程解的存在性、唯一性( 即c a u c h y 问题) 进行了研究。本文的第二 章对广义0 s t r o v s k y 方程进行了研究，通过利用s o b o l e v 空间相应的 知识以及一些不等式，对有界区域内广义o s t r o v s k y 方程作了一系列 的先验估计，并应用g a l e r k i n 方法，证明在给定的初始条件下非线 性强度为2 的广义o s t r o v s k y 方程在h 3 中存在唯一的整体解。在第 三章，我们研究了充分非线性d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程的局部解 问题。通过运用相关的偏微分知识，验证e a t o 定理成立的几个条件， 3 从而证明了充分非线性d g h 方程在h i 中存在唯一的局部解，并证明 了解对初值的连续依赖性。 关键词：c a u c h y 问题；整体解；局部解；g a l e r k i n 方法：k a t o 理论 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t w e l l p o s e d n e s sp r o b l e mf o rt h ep d e i sa v e r yi m p o r t a n tp r o b l e mi n t h es t u d i e so fp d e i ti n c l u d e st h ee x i s t e n c eu n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo f t h es o l u t i o n 。i nt h i sp a p e r , t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o ni s s t u d i e d i nc h a p t e rt w og e n e r a l i z e do s t r o v s k ye q u a t i o ni s s t u d i e d a p p l y i n gs o m ek n o w l e d g eo fs o b o l e vs p a c ea n ds o m ei n e q u a l i t i e s ，w e g e ts o m eap r i o re s t i m a t e s b yu s i n gg a l e r k i nm e t h o d w ep r o v et h a tt h e r e e x i s t sau n i q u eg l o b a ls o l u t i o no ft h eg e n e r a l i z e do s t r o v s k ye q u a t i o ni n b o u n d e dd o m a i n i nc h a p t e rt h r e e ，t h eg l o b a ls o l u t i o no ft h eg e n e r a l i z e d d u l l i n g o t t w a l d - h o l me q u a t i o ni ss t u d i e d b ya p p l y i n gs o m er e l a t i v e k n o w l e d g ei np d e ，w ep r o v et h ec o n d i t i o n sw h i c hs a t i s f yt h ek a t o s t h e o r ya n dh e n c ep r o v e dt h a tt h e r ee x i s t s au n i q u el o c a ls o l u t i o ni n h 。p 刍，a n dt h es o l u t i o nd e p e n d so ni n i t i a lv a l u ec o n t i n u o u s l y k e yw o r d s ：c a u c h yp r o b l e m ，g l o b a ls o l u t i o n ，l o c a ls o l u t i o n ， g a l e r k i nm e t h o d ，k a t o st h e o r y i i 学位论文版权使用授权书 y 。9 3 8 0 1 2 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密 学位论文作者签名：勤瘟军 指导教师 2 船年审月二年日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：勤 ；客辜 日期：硼占年4 月呼日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 这篇论文主要研究了广义o s t r o v s k y 方程和广义d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程 解的适定性问题。本章的第一节主要介绍o s t r o v s k y 方程和d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程的研究背景、现状及意义；第二节主要介绍水波方程的背景知识及概念。 1 1 研究背景、现状及意义 111 o s t r o v s k y 方程的研究背景、现状及意义 很多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学、 流体学科的基本方程本身就是偏微分方程。长期以来，人们一直用偏微分方程来 描述、解释或预见各种自然现象，并用于各门科学和工程技术，不断取得了显著 的成效。以应用为目的的或以物理、力学、流体等其它学科中的问题为背景的应 用偏微分方程的( 定性及定量的) 研究，不仅是传统应用数学的一个最重要的内 容，而且是当代数学中的一个重要组成部分。它是数学理论与实际应用之间的一 座桥梁，研究工作一直非常活跃，研究的领域日益扩大。 在上世纪3 0 年代以前的近二百年中，紧密地联系着物理学、力学、几何学 等方面的需要，对于几个在数学物理中最常见的偏微分方程( 热传导方程、调和 方程、波动方程等) 已有了系统的了解，并以多元微积分学为主要工具，形成了 许多至今仍在广泛使用的有效方法。其后，一方面是实践中不断提出新的研究课 题，而电子计算机的出现也为偏微分方程的研究提供了强有力的实现手段，因而 偏微分方程的应用领域前所未有的扩大了。另一方面，大量素材的积累进一步提 出了将它系统化的任务；早在1 9 0 0 年，h i l b e r t 为预见2 0 世纪的数学发展所提 出的2 3 个著名问题中，有好几个都提出了研究偏微分方程的重要性。上世纪3 0 年代开始，在s o b o l e v 空闻理论基础上建立起来的范函分析方法，为处理线性及 非线性偏微分方程的问题提供了一个强有力的框架和工具，并在实践中已得到广 泛的应用。其后，拟微分算子、f o u r i e r 积分算子等强有力的工具的发展，又将 偏微分方程的发展带到了一个新的高度。另外一方面，偏微分方程的发展又许多 现实问题的解决带来了可能。例如，在流体领域诞生了许多新的重要的方程，如 k d v 方程，c a m a s s a - h o l m 方程等新型浅水波方程以及o s t r o v s k y 洋流方程等等。 江苏大学硕士学位论文 关于流体中水波方程，本文在本章第三节作详细的介绍。 本论文前一部分就一类洋流水波方程o s t r o v s k y 方程进行了研究，主要目 的是对这类洋流水波方程动力学行为的研究，以期对受地球自转及地球磁场变化 影响的重力作用下的海洋运动的规律有所认识。 力学家y i n 用动量守恒和质量守恒建立了许多的流体运动的数理模型。在建 立的流体运动的数理模型中，大多数都是用偏微分方程进行表示的，其中最经典 的就是e u l e r 方程。将e u l e r 方程用各种数学方法进行渐进展开，获得了不同的 水波方程，如k d v 方程，b u r g e r s 方程，c a m a s s a h o l m 方程等。但这些水波方程 都是考虑不可压缩的无漩流体。对海洋中的流体运动来说，由于其是大范围的运 动，忽略地球自转的影响是不合理的。另外一方面，人们在研究磁化的带旋转的 等离子体中磁电声波的传播的时候，也得到了这个方程。由于这个方程在洋流和 等离子体等物理方面有很重要的作用，因此，吸引了许多物理学家对它的关注， 从物理方面也有一些相应的结果，但大都集中在实验分析等物理层次上。另外一 方面，数学家对此方程也产生了浓厚的兴趣，v a r l a m o v “0 1 等利用小扰动的方法研 究了0 s 方程的局部解的存在唯一性及基本解的问题；y u el i u “研究了o s 方程 孤立波解的稳定性问题：s t e v el e v a n d o s k y “”等研究了广义o s 方程的孤立波稳 定性问题：y u el i u 和v a r l a m o v “”研究了弱旋转对o s 方程的影响及其稳定性问 题。 由以上可以看出，在o s t r o v s k y 方程的研究中，方程本身的解的整体存在 性与唯一性，解的长期动力学行为，以及方程解的特性与洋流运动的关系，广义 o s t r o v s k y 方程的解存在性与唯一性等问题都是没有解决的重要问题。 1 1 2d u i ln g o t t w a i d - h o ir l l 方程的研究背景、现状及意义 水波理论最先将孤立子作为单向非线性波方程的解，这种解通过对e u l e r 方 程的渐进展开而得到的。后来的发展确定了其中一些水波方程是可积的 h a m i l t o n i a n 系统，并证明用逆散射法是可解的。在 1 4 中，c a m a s s a 和h o l m 从物理原理出发用哈密顿方法导出非线性系统色散波动方程 “f + 2 a m 。一“盯r + 3 u u x = 2 u j “埘+ “就r “是x 方向的流体速度，印是与严格浅水波速度有关的常数，对所有的该方程 2 江苏大学硕士学位论文 有l a xp a k ，当0 9 = o 时，c h 方程有行如一即i 的行波解，叫做p e a k o n ，( 因 为波峰有一阶不连续导数) 。对每个，c h 方程是双哈密顿系统因而满足很多 守恒律。此外，c 。h 方程有简单多重p e a k o n ，显示很多极好的性质， d u l i n ，g o t t w a l d ，h o l m “”讨论了下面的1 + 1 非线性方程： 材r 一甜2 甜材f + 2 w u 。+ 3 z j + 芦戕= 9 2 ( 2 u j 砧+ 材材腑) ，t o ，工r 其中“g ，f ) 表单向水波的流体速度，m = “一口2 “。是动量变元，常数口2 和y c 。， = 咖( c 。= 2 ( o ) 是无限空间中无扰动水波的线性波速。该方程结合k d v 方程 的线性色放项和c h 方程的非线性( 非局部) 色散项，通过逆散射方法知其保持可 积性。这个逆散射可积系统包括k d v 方程和c h 方程做为极限情况d g h 方程 是新的重要的可积浅水波方程。容易发现，当a 斗0 时，方程变成k d v 方程 “，+ 2 c o u ，+ 3 u u ：。= 一州。令y 0 则方程变为c a m a s s a - h o l m 方程 t i a n ，l ，g u i ，g l ，l i u ，y u e “6 3 研究了d g h 方程的适定性问题和散射问题，y i n z h a o y a n g 在 1 7 】中研究了d u l l i n g o t t w a l d - h o l m 方程的局部解和整体解问题。 该方程是一类新型的水波方程，还有很多方面的性质有待于我们去研究、去 探索，所以对其广义形式的解的性质的研究是极具现实意义和实用价值的。 1 ，2 研究内容 由于o s t r o v s k y 方程是一类洋流方程，它是个不可积系统，因此对于该问 题的研究显得比较困难，往往都停留在一些数值模拟层面。本文扶数学角度出发， 研究了广义o s t r o v s k y 方程的c a u c h y 问题，以此为基础，试图进一步分析它的 动力学行为，以期对受地球自转及地球磁场变化影响的重力作用下的海洋运动的 规律有所认识。本文第二章主要研究广义o s t r o v s k y 方程的c a u c h y 问题。我们 在第二章中对有界域上的广义o s 方程作了一系列的先验估计，并利用g a l e r k i n 方法从解序列中找到一个收敛子列，从而证明o s 方程的解在h 中整体存在。 d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程式一类新型的浅水波方程，许多专家学者在各方面对 其进行了研究，那么对其广义形式的研究也是极具意义的。我们在第三章主要研 究充分非线性d u l l i n g o t t w a l d - h o l m 方程的c a u c h y 问题，通过运用k a t o 理论， ， 验证满足k a t o 定理的条件，从而证明d g h 方程在h 5 ，j 三中局部解的存在性， 江苏大学硕士学位论文 并在该章的最后提供了一条证明其整体解存在性的思路。 1 3 水波方程的基本概念 在沉场中任惹取定一控制体r ，设r 的表囱为弪制表向s ，由质量守恒定律， 从控制表面s 流出的净质量流量等于控制体r 内流出的质量流量： 妙r i d s 昙班艘 ， 其中矿表示流体的流动速度矢量，n 为控制表面上沿外法线方向的单位矢量。由 于控制体是取定的，不随时间而变，故上式中积分号外的关于时间的偏导数运算 可以移到积分号内，再由高斯公式： n r i d s = 脚i v p v d r 。 我们从( 1 1 ) 式得到 炒v d r = 驴秘 ( 1z ) rr 考虑到控制体的任意性，则我们进一步有 d i v p v = 一娑 将其表示为坐标形式，则得到了流体连续方程： 挈- p 掣+ 掣- b 掣：o ( 13 ) 西缸加出 、 若考虑的是不可压缩的流体，即p 恒为常数，则流体连续方程为 宴+ 宴+ 娑：o ( 1 4 ) 融却勿 、。 这里，“，v ，w 分别表示速度矢量矿在三个坐标轴方向上的速度分量。 根据牛顿第二定律，作用于质量为m 的质点上的力与质点的加速度成正比， 即f ：m d ，若考察的对象是流体，则牛顿第二定律有形式：p d i v ：f 。其中， d f i d v = 詈+ 妒v 沙= 百d u f + 罢+ 警i ( 1 5 ) d l魂 、 。 d td t d t 、。 外力， 有质量力和表面力组成，本论文中我们仅考虑重力的作用。通过对应力张 4 江苏大学硕士学位论文 量的计算，我们有磊= v f g ，这里0 为应力张量。所以牛顿定律可以表达为 p i d v ：偌+ v f f ( 1 6 ) p i 2 偌+ 。7 f l 1 o 上式中g 为重力加速度。根据斯托克斯提出的基本假设： 1 流体是连续的，其应力张量。通常是应变率的线性函数； 2 流体是各向同性的，即它的特性与方向无关，因此变形率与坐标系的选取无 关； 3 当应变率为零时，变形率必须化为流体静压条件勺= 一p 吒，其中毛为 k r o n e c k e r 艿函数。 再经过一系列的推导与运算，得到： 矿砒+ 隆针毛 其中 是仅与体积膨胀有关，通常称为体积膨胀系数。将上式带入( 1 6 ) ，我们便 得到了著名的n a v i e r - s t o k e s 方程： p 警= 偌一印+ 考 ( 篝+ 警 + 毛脚矿 ， 波动是自然界中最常见的现象之一，电磁波、声波、水波、地震波等等都是 波动现象。典型的一维波动方程可以如下表示： 字名窘= o ( 1 s ) 萨。萨2 0 ( 1 8 ， 这里“g ，r ) 表示波幅，c 为波速( 或波的相速度) 。方程( 1 8 ) 的通解形式为 u ( x ，t ) = ，g c f ) + g ( x + c t ) 其中，g c t ) 表述t 向右传播的波，g ( x + c f ) 表示向左传播的波，波速都是c 。 典型的单色平面波解为“g ，f ) ：以c 。s 慨一研) 。其中七：孥为波矢， 甜= 等= 2 矿为圆频率，兄，r 分别表示波长、频率和周期。显然，波速为c = 詈a 波包则是由一些波矢和频率相近的波所构成，波包运动的群速度为= 面d o ) ，群 谏度也是波囟能量的传输速度。构成波包的每一个单色平面波的波前以各自的相 江苏大学硕士学位论文 速度向前传播，显然只有当波速与波矢无关对波包才能保持其形状不变。当 0 9 = i ( k )( 1 9 ) 为k 的非线性函数，或 。：趔 庀 ( 1 1 0 ) 与k 有关时，构成波包的不同的单色平面波的波前速度不同，波包将逐渐变形 弥散，这正是色散的效应，所以关系式( 1 9 ) 或( 1 1 0 ) 通常被称为色散关系。 流体力学中的波动现象十分丰富。流体的内部可以传播声波，在不同流体或 同一流体不同密度的界面存在有内波，流体表面有毛细波，而水面的波浪、海啸、 潮汐及海岸附近的风暴潮等都是波动现象。与电磁波和声波不同的是? 对水波面 言，色散效应和非线性效应十分重要。另外在只考虑重力作用下的水波运动时， 水的压缩性可以忽略。因此，连续方程和动量方程( n a v i e r s t o k e s ) 可表示为如 下形式： v “= 0 ( 1 1 1 ) ( - - 西。+ u - v ) ”= 一v ( 号+ 静) + u v 2 ” c ，2 ， 同样，这里u ( x ，) = 0 ，v ，w ) 表示速度矢量，p ( x ，f ) 为压力，p 为密度常数，g 为 重力加速度，d 为水的运动粘性系数，x = b ，y ，2 ) 为坐标矢量，z 轴铅直向上， 并取流体无扰动的静止表面为z = 0 。进一步，我们假定水作无旋运动，则对无 旋的理想流体，其速度“可比表示成标量势( 速度势) o 的梯度 “= v m f 1 1 3 ) 由连续方程我们可以得知速度势巾满足l a p l a c e 方程 v 2 0 = 西= 0 ( i 1 4 ) 忽略水的粘性作用，并设水深为d ，扰动后相对z = 0 的流体的表面高度为孝。将 ( 1 1 3 ) 代a ( 1 1 2 ) 5 b ，对空间变量积分，并选择适当的积分常数( 该常数与时间相 关，与空间变量无关，则在不影响速度场的情况下，通过适当的变量变换，可以 使该积分常数取值为零) 。由此，我们得到了无旋的理想流体流动的伯努利方程： 詈+ 三呻) 2 + g z = 一考，一斛 ( 1 1 5 ) 为得到实际问题的解，我们还需要知道流体运动所满足的边界条件。显然， 6 江苏大学项士学位论文 水流是不能流出容器边界的。故在固定的固体边界面上，流体的法向速度必须是 零，即 娑：0( 1 1 6 ) 这里m 是固体边界面上的单位法向量，方向指向流体。现在考虑与大气接触的流 体的自由表面。正如上面所假设，自由表面的铅直位移是f b ，y ，t ) ，则自由表面 的曲面方程是 v ( x ，y ，z ，f ) = z f g ，y ，t ) = 0( 1 1 7 ) 设自由表面的流体质点x 的速度为q ，则在短时间出以后，自由表面的方程变为 f ( x + g 硪，f + 衍) = 0 通过t a y l o r 公式将上述方程展开，得到 毗* 滢+ q v f ) ) = 。 注意n ( 1 1 7 ) 式，则对足够小的撕，有 竽+ g v f ：0( 1 1 8 ) v 1 + 4 = ( i 流体质点在自由表面上的运动并不是单独的存在的，而是要保持与邻近质点 运动的连续性。考察一个薄层的控制体，其上表面为一小块自由面品。若 中流体质点的法向速度与丛，的法向速度不同，则流体就通过的底面以 有限速率损失或获得；同时，由于品是自由表面，因此，流体只能通过的 侧缘以无限大的速率损失或获得，但这与物理实际是不相符的。这样，自由表面 上的法向速度必须与自由面上流体的法向速度相同，也就是说，自由面上的所有 流体质点除了随自由面整体移动外，只能做切向移动，也即 竺婴一生婴 f v f ff v f f 由式( 1 1 8 ) 得到 鲨+ “即：o 研 其等价于方程： ( 1 1 9 ) 等+ m ；晏+ 由，影= 中： ( z = f 时)( 1 2 0 ) 7 江苏大学硕士学位论文 方程( 1 1 9 ) 或( 1 2 0 ) 称为自由表面上的运动学边界条件。在运动学边界条件中，中 和善都是未知的函数，且在未知表面上，所以，自由面上的运动学方程是复杂的 非线性方程。 进一步，我们考察与作用力有关的动力学边界条件。首先，考虑波长较大的 情况，此时，表面张力对流体的作用相对重力作用而言不太重要，故可以先忽略。 在这种情况下，紧接自由表面之处的压力必定等于自由表面之上的大气压力p 。， 则自由面上的伯努利方程为： 詈+ 三勺。) 2 增= 一告。( 硝时) ( 12 1 ) 若考虑瘤体表面的张力作用，微曲曲面流体中邻近表面的压力近似为 p 一口f 丝o x 2 + 期 ( 1 ：z ) p 2 岛叫l 。+ 驴j ( 1 2 2 ) 其中口为流体表面的张力系数。则有： 罢+ 如) 2 + g 善一兰p 陋【, 0 x 2 + 刳= 一告( 1 2 。) 方程( 1 2 1 ) 和方程( 1 2 3 ) 也称为自由面上的动力学边界方程。 下面我们推导一些常见的水波方程。为表达的简洁和求解的方便，首先引入 两个重要的无量纲的参数： u ：k d ，f ：竺 这里k 为波数( 或波矢) ，d 为静止流体表面的高度( 水深) ，a 为自由表面的振幅。 假设和s 都是小量，并且d g ) = d 0 2 ) 兰解的局部存在性，这里置= 矿e 日5 ( r ) i f 一1 ( 学) 日3 ( r ) ，在五中 懒龇。彤卜m 斟。 这里研究广义o s t r o v s k y 方程在h 5 空间的初值问题，得到当域时，解 u ( x ，r ) 整体存在唯一。我们考虑如下问题： p 堆? 似3 姥一x 。q c r ( 2 4 ) 【u ( x ，o ) = “o ( x ) 其中甜为沿z 轴方向的速度，z ，为耗散项，甜。为色散项，3 ) ，非线性项，容易 知道其非线性强度为3 - 1 = 2 。方程( 2 4 ) 可解释为耗散项与色散项之差与非线性 项之和的变化率与速度成正比。 1 9 研究了方程( 2 4 ) 的静态解、渐近解析解以及 相应的性质。 很容易发现方程( 2 4 ) 与( 2 1 ) 有许多相近的性质：如果令y = o 方程( 2 1 ) 退化 为我们所熟知的k d v 方程，而( 2 4 ) 退化为m k d v 方程；对于方程( 2 1 ) 有- 出= 0 与1 1 2 d x = d o n s t 成立，相应的可以证明上两个结论对于方程( 2 4 ) 也是成立的。 江苏大学硕士学位论文 在文中，( ，) 表示通常意义下的内积，i 1 表示由内积给出的范数， h 埘= i d ”“l r ，显然，这里的范数与w 中的范数是等价的。在本文中，我们记 萨= 1 1 , 1 1 础，| | | | 舯= i i i i 。，| i | l r = | 1 | | 。另外，在本章中，f 总是表示l 。 2 1 用到的几个不等式 1 c a u c h y 不等式 对任瓤6 o ，有机譬+ 譬 证明：因( 口一6 ) 2 0 且( 口一6 ) 2 = 口2 + b 2 2 a b 故有a 2 + b 2 2 a b 0 即证。 2 带s 的c a u c h y 不等式 对任意a , b o 和s 。，有幻譬+ 筹 证明：n na b = ( 品) ( 刍，所以运用c a u c h y 不等式有 c 而，c 专譬+ 芸 即证。 3 y o u n g 不等式： 对任意的口，6 o ，1 p ，g 0 时，我们定义 f q ) = p 1 n a q i n b o r 土 p ! o ，1 弘g ，土+ 三：1 ，有曲壁+ 6 - j p b q 证明：因为曲：p 形口) ( 与) 应用y o u n g 不等式有 j p 如：( 占形口) ( 与) 堕+ 生里 。，p pq 5 h i 5 1 d e r 不等式： 如果1 p ，9 o 。，土+ 1 ：1 而且“l p ( o ) ，v 口( q ) ，则“v 三1 ( q ) ，并且 lz n ，陋p ( 2 5 ) 证明：对于f 0 ，函数，( f ) = ( t p ) + ( 1 q ) - t 的最小值为0 ，而且这个最小值 只在，= 1 达到。对于非负数矾b ，令r = a b l “，得到 a b 蔓( a 9 p ) + ( b 9i q )( 2 6 ) 等号当且仅当日= 6 9 时成立，如果l l u l l ，= o 或。= o ，那么在q 中“( x ) v ( x ) = o 删f f f 以( 2 5 ) 成立。不然的话，在( 2 6 ) 式中令口= | “( x ) v 忆和6 = 1 v ( x ) v 在q 上积分就得到( 2 5 ) ，( 2 5 ) 中等号当且仅当在q 中陋( x ) j 和l v ( x ) 1 9 几乎处处成比例 时才成立。 6 m i n k o w s l 【i 不等式：如果1 p ，则 、江一茎查兰壁主芏堡垒圭 j _ _ - _ _ 一。 一 l u + v 忆- i i “l ，+ l i v l i ， ( 2 7 ) 证明：很明显p ；1 时，不等式成立，所以假定1 p c 。我们还可以假设 “，v f ( q ) ，因为不然的话( 2 7 ) 式的右端是无穷。分别应用h 6 1 d e r 不等式得到 舭x ) + v ( x ) 舭x ) 十v ( x ) n ) ( x ) 陋 n ( 小v ( x ) h ，州l ，) 由于忱+ 圳。 。，在不等式两边消去乜卜( 砷十v ( x ) 1 9 出 扫，就得到不等式( 2 7 ) 7 p o i n c a r 6 不等式： 设c ? ( q ) 表示有界开区域q c r ”上一切m 次连续可微，并在边界a q 的某领域 内为0 的函数集合，即 c ? ( q ) = 扣c “匝) b ( x ) = o ，当x a q 的某领域) 那么v u c ? ( q ) 有 | 纛妒心) 陋c 毛妒酬2 矗 ( 2 8 其中c 是仅依赖于区域q 及班的常数 证明：因为q 是有界的，我们可以把q 放在某个边长为口的立方体q t 内，适当 选择坐标系，使得 q 。： ( x 。，x ：，一，x 。) r ”i o - x ； c t ( i = 1 ，2 ，- ，h ) 。 在q 1 q 上补充定义“= 0 ，经补充定义后，“( x ) 在q 。上川次连续可微，而且在 边界上等于0 。对任意的x q 。， 出) = r 1 耵。 渺 再利用c a u c h y s c h w a r z 不等式，我们有 k 圳2 口f 剖以 ( 2 9 ) 在q ，上积分不等式( 2 9 ) ，我们得 ) 2 d x _ 0 1 2 斟疵上 鼬酬2 斑 ( 2 l o ) 1 4 江苏大学硕士学位论文 然后逐次应用不等式( 2 i o ) 于o 。“( x ) ( 蚓 m ) ，即得不等式( 2 8 ) 。 8 a g m o n 不等式： 如果q c r ”，那么存在仅依赖于q 的常数c 使得 r 。q l 。1 1 。巨1 i 2 二引i 。巨1 1 2 _ v v ：i ；：篡 ：i ：羹罢萋 9 o r o n w a l l 引理： 设 ，y 为三个在( k + m ) 上局部可积函数，使得等在( t o , + 0 0 ) 上也n n n n ，且 满足 e y g y + h dt 一 那么对于 f r 0 ，f ”g ( j ) 幽r ( s ) 出口：，r 7 y ( s ) 西 有 弛州( 争蚂卜吖，v 。 其中，口l ，a 2 ，巴均为实常数 2 2 先验估计 “，一“。+ 3 u2 , 4 ，一归。1 “= 0( 2 1 1 ) 在q 内用“与( 2 1 1 ) 式作内积 ( “，“，一f l u 。+ 3 u 2 “：一r d 一1 “) = 0 通过分部积分和边界条件得到： 丢p 2 出= o ( 2 1 2 ) 再对，积分得。= k 所以得到“在三2 ( q ) 中一致有界 将一励。+ “3 一r d 2 “与( 2 1 1 ) 式作内积，通过运算得到 江苏大学硕士学位论叉 _ _ _ - - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ h _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ 丢( j 伽：出+ 彦4 出一，f ( d “逑) = o ( 2 1 3 ) 将上式对t 积分可得 f ( 肚：+ y ( d - l u ) 2 + 言“4 胁= j ( p g + y ( d - l u o ) 2 + 互lu 。4 皿( 2 1 4 ) 对于f i d - “) 2 疵应用p o i n c a r e 不等式得到 f ( d - l u ) 2 d x = 忪- 1 u 雌曲舻诤。e ( 2 1 5 ) 对于 u a x 立, nh s l d e r ，a g m o n ，y o u n g 不等式我们得到 所以 p 4 出警驯雌a g m o n 讣脚“卜y o u n g 刊c 2 卜训1 2 ( 2 1 6 ) ( p - 鲁) lr “雌( + 争卜2 芦t l ：+ 剞枷 ( 21 7 ) 引驯卜j 南抽即确忙洲均蚓舶i ( 2 1 8 ) 其中c ，c ：为只与q 有关的常数，所以“在h 中一毁硐界 分别用d 4 “，“2 u 。，“：，“5 与( 2 1 1 ) 式作内积得到 旦d tp 二出+ 3 0 p ”。“三出= o ( 2 1 9 ) 丢“2 出一 2 “x m x t 出一声j 峨“三出+ 6 i u ：d x - 2 y p 。1 “ “：出= o ( 2 2 0 ) 罢p 2 “；威一z p 2 “。“。出+ 4 声扛虬“三出+ 6 p 3 “；出一2 y 。- 1 “一k 2 出= o ( 2 2 1 ) 丢p 6 出一6 0 f l l u 3 “：凼一缈p 5 d - l u 出= o ( 2 。2 2 ) 从上面( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 四式可得 鲁( 肛出+ 丢卜2 啦+ 砉p 6 蝴= 警j d _ l 出+ u s d - 1 u 出 ( 2 2 3 ) 江苏大学硕士学位论文 其中 l d“：威p ：出。忪“忆知“咖“1 “俐1 “瞎：列5 。瞎( 2 2 4 ) p5 d - l d 级p5 刮j d “0 。- j i “屺o 删2 “- i “k 膳9 删； 所以 r 2 2 s ) 丢c 肛斑+ 万5 腓办+ 者“6 邮警奔密蒡珈栾引：拍， 将( 2 2 6 ) 式关于f 在 0 ，明内积分得到 肛出+ 砉“2 啦+ 砉p6 出肛凼+ 砉舻己出+ 刍p 。6 出竭r ( 2 2 7 ) 其中 2 材；疵f ：疵：- l l “删“庀- l l u f f i ! l l “扛4 。k 剐“扎( 2 2 8 ) p 6 威p 2 出俐： - i i 吲k0 ；砰帆掂 ( 2 2 9 ) 由( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 。2 8 ) ( 2 2 9 ) 可得 眦- k 3 + k 2 t ( 2 ，3 0 ) 其中酬a 堋+ 万5 砷o | | 0 + 者酬州 ( 2 t 3 1 ) 于是对于任意的，t o ，t 】“在日2 中有界 将d 6 “与( 2 1 1 ) 式作内积可得 暑“三出一8 4j “：“三出+ 4 2p “：“：出= o ( 2 3 2 ) 运用不等式我们得到 f 叩二出p ，“：刮。- 1 1 砌。1 。- i i 铂啡； 丝2 + 趔2 业蠖2 + 避4 十丝4 ( z )、一， j 勰，“：出郅“ko 。蔓；翮1 “嘲；i 鼯1 爱，( 玛+ 砭r ) i 1 ； ( 2 ，3 4 ) 1 7 江苏大学硕士学位论文 所以丢p 二出4 2 ；+ 2 1 ；+ 2 1 ；+ 4 2 帆悟i 置- ( 玛+ k z r ) i 删；( 2 3 5 ) 即瓤雌k 。祧+ e ( 2 3 6 ) 其中k 。= 2 1 + 4 2 1 1 u 。峰k ，( k ，+ 世。丁) 4 对( 2 3 6 ) 式应用g r o n w a ll 不等式得到 矧枷+ 拿e x p ( 世t 幻 k 5 = 4 2 ( k ，+ k 2 丁) 3 + 2 1 k ?( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 因此，对于上述的r ，f 【o ，t 】“在h 3 中有界 最后来证明u t 在l 2 ( i f 2 ) 中有界，将( 2 1 1 ) 式改写为 “，= “。一3 u 2 u ，+ r d 一1 “ ( 2 3 9 ) 应用m i n k o v s k y 不等式可得 l 卜，| | o - p l j f f ，+ 3 l f “2 “；f 。+ y i d - l u l f 。 ( 2 4 0 ) 其中 1 u 2 u 。1 1 0 = p 4 “；出喇b 怯1 1 = 0 1 1 “k - k ? i i 硼 ( 2 4 1 ) i i d - 1 u 蚣c 。 ( 2 4 2 ) 于是我们得到 m l 。- o ，x r ( 3 3 ) 【u ( 0 ，x ) = “o ( x ) 3 1符号声明和用到的一些引理 | 1 1 1 。表示b a n a c h 空间x 中的范数：b ( x ，y ) 表示从空间x 到空间y 的有界线性 算子的集合，如果x = y ，则日( z ，j d = b ( ；d ( a ) 表示线性算子a 的定义域； 0 = a ，= 兰；八5 = ( 1 - a 1 ) 蚝，s r ；h 3 = h 5 ( r ) 为s o b o l e v 空间，其范数为 惘。，= l ，= ( ( 1 + 旧2 ) 5 f 夕( 孝) i d 4 ) z ：( ) ；表示5 = 日5 ( r ) 空间的内积； 口，b - a b b a 表示线性算子a ，b 的交换子。 在定理的证明过程中，用到了一些众所周知的定理，这里不加证明的引用出来 2 l 江苏大学硕士学位论文 引理3 1 ：设s ，t r 且一s i 1 ，n s g l l ，c ，i l g l l ， i i 如果s 壬，则v f ，g h 3 有 l i f g l l ，d f l l ，i l g l l ， 这是因为h5 在s 时为b a n a c h 代数 日l t