（应用数学专业论文）对称箭形矩阵的逆特征值问题.pdf

硕士学位论文 摘要 矩阵逆特征值问题和反问题的来源非常广泛，来自对数学物理问题的离散化， 来自固体力学、粒子物理、量子力学、结构设计、系统参数识别、自动控制等领域。 对称箭形矩阵是一类比较重要的矩阵。本篇硕士论文研究了对称箭形矩阵的逆特 征值问题、广义逆特征值问题和对称箭形矩阵的反问题。具体描述如下： 问题i 给定对称箭形矩阵a 的部分子块和它的部分特征值以及对应的特征向 量的部分分量或者全部分量，求对称箭形矩阵a 以及对应的特征向量的未知分量。 问题给定正定的对称箭形矩阵曰和矩阵对( a ，b ) 的部分广义特征值和特征向 量，求对称箭形矩阵a 。 问题i 给定两个向量( 或者两个矩阵) xl ，求对称箭形矩阵a ，使得a x = 】，或 者l i a x y l i = m i n 。 本文的主要研究成果如下： 1 关于问题i ，在研究对称箭形矩阵的特征性质的基础上，研究了三种类型的 逆特征值问题，得到了问题有唯一解的充分必要条件，给出了计算这三类问题的解 的三种有效算法。 2 关于问题i i ，通过研究对称箭形矩阵对( a ，召) 的广义特征值和广义特征向量 的性质，研究了两类广义逆特征值问题，得到了问题有唯一解的条件，并给出了相 应的算法。 3 关于问题i i i ，研究了一类对称箭形矩阵逆问题有唯一解的充分必要条件，给 出了求解的算法；研究了二类对称箭形矩阵逆问题的最小二乘解，讨论了问题有解 的条件，并给出了解的表达式，给出了相应的两个计算最小二乘解的算法。 关键词：对称箭形矩阵；矩阵逆特征值问题；矩阵广义逆特征值问题；矩阵反问题； 最小二乘问题 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t t h ei n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sa n dt h ei n v e r s ep r o b l e m so fm 删xa r ew i d e l ya p p l i e di nm a i l yf i e l d s ，s u c ha ss o l i dm e c h a n i c s ，p a r t i c l ep h y s i c s ，q u a n t u mm e c h a n i c s ，s t m c t u r e d e s i g n ，s y s t e mp a r a m e d e ri d e n t i f i c a t i o na n da u t o m a t i o ne t c t h es y m m e t r i ca r r o w - h e a d m a t r i xi si m p o r t a n ti nm a n ya s p e c t s i nt h et h e s i s ，w em a i n l yd i s c u s st h r e ep r o b l e m s ：i n - v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m so fs y m m e t r i c 姗w h e a dm 嘶c e s ，g e n e r a l i z e di n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sf o rs y m m e t r i c 锄w - h e a dm 撕xp a i ra n di n v e r s ep r o b l e m so fs y m m e t r i c a r r o w - h e a dm a t r i c e s w h i c ha r ed e s c r i b e da sf b n 帆，s ： p r o b l e mi ：g i v e np a i t i a ls u b m a t r i c e so fas y m m e m ca r r o w - h e a dm a t r i xa ，i t s p a r t i a le i g e n v a l u e sa 1 1 dp a n i a le l e m e n t so ra l le l e m e n t so fc o r r e s p o n d i n ge i g e n v e c t o r s ， f i n dt 1 1 es y m m e t r i c 跗o w - h e a dm a t r i xaa n dt h eu n k n o w ne l e m e n t so fm ec o n e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s p r o b l e m ：g i v e nap o s i t i v e d e 丘n i t es y m m e t ca r r o w - h e a dm a t r i xba n dp a r t i a l g e n e r a l i z e de i g e n v a l u e s ，c o r r e s p o n d i n gg e n e r a l i z e de i g e n v e c t o r so f am a t r i xp a i r ( a ，曰) ，f i n dt h es y m m e t r i c 姗w h e a dm 嘶xa p r o b l e m ：g i v e nt w ov e c t o r s ( o rt w om a t r i c e s ) 五l ，f i n dt h es y m m e t r i ca r m w h e a dm a t r i x as u c hm a t a x = y o ri i a x 一卅i = m i n t h em a i nr e s e a r c h f u lr e s u l t so fm em e s i sa r ea sb e l o w ： 1 w i mr e s p e c tt op r o b l e mi ，w ec o n s i d e rp r o p e r t i e sf o re i g e n v a l u e sa n de i g e n v e c t o r so fs y m m e t r i ca r r o w - h e a dm a t r i c e s a c c o r d i n gt 0t h e m ，w es t u d yt h r e ek i n d s o fi n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m so fs y m m e t r i c 矾o w _ h e a dm a t r i c e s ，o b t a i nt h en e c e s s a 巧 a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rm ep r o b l e m st oh a v eu n i q u es o l u t i o n s ，a n dg i v et h et h r e e e f i e c t i v ea l g o r i t h m sf o rt h ep r o b l e m sr e s p e c t i v e l y 2 c o n c e m i n gp r o b l e mi i ，w r ec o n s i d e rt h ep r o p e n i e sf o rg e n e m l i z e de i g e n v a l u e sa r i de i g e n v e c t o r so fas y m m e t r i c 锄r o w - h e a dm a t r i xp a i r 似，b ) b a s i n go ft h e m ， w es t u d yt w og e n e r a l i z e di n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m s ，a n dd e d u c et h en e c e s s a d r 锄d s u m c i e n tc o n d i t i o n sf o mt h et w op r o b l e m st 0h a v eu n i q u es o l u t i o n s i na d d i t i o n t h e c o n e s p o n d i n ga l g o r i t h m sa r eg i v e nt oc o m p u t em eu n i q u es o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e m s r e s p e c t i v e l y 3 a b o u tp r o b l e mm ，w ef i r s ts t u d ya 虹n do ft h ei n v e r s ep r o b l e mf o r t h es y m m e t r i c a r r o w - h e a dm a t i i i c e s ，a n do b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u 币c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h e y h a v ea u n i q u es 0 1 u t i o na n dg i v ea ne 历c i e n ta l g o r i t h m t oc o m p u t em es o l u t i o n s s e c o n d l y w ec o n s i d e rt w ok i n d so fm ei e a s t s q u a r e sp r o b l e m sf o ri n v e r s ep r o b l e m so fs y m m e t r i c i 硕士学位论文 a n o w h e a dn l a t r i c e s ，d i s c u s st h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c h t h e yh a v es o l u t i o n s ，a n d d e r i v et 1 1 ee x p i e s s i o n so ft h ei e a s t - s q u a i i e ss o l u t i o n s t h ec o n - e s p o n d i n g a l g o r i t h m sa r e p r e s e n t e dt oc o m p u t em el e a s t s q u a r e ss o l u t i o n s k e yw 6 r d s ：s y m m e t r i ca r r o w - h e a dm a t r i c e s ；m a 啊xi n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m s ； m a t r i xg e n e r a l i z e di n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m s ；m a t r i xi n v e r s ep r o b l e m s ； l e a s t s q u a r e sp r o b l e m s 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者躲弛2 弩隰卿年坦月五7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密账 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：擗糯作者签名：影。护矽冶 刷磁各硎镢 砂筝 吣叱u ( ( 7 日期：2 盯椤年，z 月2 尹日 日期：刀年月夕胪 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1矩阵逆特征值问题概述 在数学物理问题中，根据给定系统的方程和有解条件求系统的变化状态称为正 问题；反过来，给定方程的一部分解( 系统的部分状态) ，附加一些其它条件，求方程 的待定系数、边界条件，这就是数学物理反问题。例如，著名的s l u n n l i o u v i l l e 问 题的反问题就是利用特征值( 或者特征函数) 确定s t u m l i o u v i l l e 方程的系数以 及边界条件【1 1 。 在数值代数中，求给定矩阵的特征值与相应的特征向量，称为矩阵特征值问 题，这是正问题【2 】；反过来，给定矩阵的某些特征值与相应的特征向量，求该矩阵， 称为矩阵特征值的反问题【”】。 矩阵特征值逆问题的来源非常广泛，它来自对数学物理问题的离散化，来自固 体力学、粒子物理、量子力学、有限元模型修正、结构设计、系统参数识别、自动 控制等领域【6 】【7 】，此外，数值计算本身中也经常出现此问题【8 】。 矩阵逆特征值问题一般有如下一些提法。 ( 1 ) 加法问题：给定矩阵a ( 有时矩阵a 还附加某些条件，如对称、正交、h e 肌i t e 等) ， 求一个对角阵d ，使得矩阵a + d 具有给定的特征值，如s t u 册一l i o u v i l l e 逆问题离 散化导出加法逆特征值问题【9 1 。 ( 2 ) 乘法问题：给定矩阵a ，求一个对角阵d ，使得础具有给定的特征值，如对 弦的振动研究导出乘法问题f 。 ( 3 ) 含参数的逆特征值问题：设a ( 0 = a ( c 1 一，) ，其元素啦如l ，) 为，z 个 参数c l ，一，的函数，求c = ( c l ，c m ) ，使得矩阵a ( c ) 具有给定的特征值，此外，常 见的矩阵a ( c ) 还是c 的线性函数，卧( c ) = a + 翟lc 4 f ，其中，a ，a 1 一，a m 为给定 矩阵，此问题在数学物理反问题中的离散模拟、结构设计、图的分块等领域有应 用【1 1 1 2 1 。 ( 4 ) 结构特征值反问题：给定某个矩阵的特征值，求此矩阵，使它具有给定 的结构和给定的特征值，如t o e p i i t z 矩阵逆特征值问题，j a c o b i 矩阵逆特征值问题 等【1 3 l4 1 。 ( 5 ) 谱约束下矩阵的最佳逼近问题：给定矩阵a ( 般还要求矩阵a 具有某种结 构，如对称、中心对称、正交对称、对称三对角、j a c o b i 矩阵等) 的某些特征值以及 相应的特征向量并且给定某个矩阵彳，求此矩阵a ，使得它与矩阵石最靠近f 1 5 l 【1 6 】f 1 7 1 。 这些问题来源于对电学、自动控制等线性系统的测试和校正之中。 ( 6 ) 极点配置问题：给定矩阵a ，b ，求矩阵f ，使得矩阵a + b ，具有给定的特征 对称箭形矩阵的逆特征值问题 值，称为状态反馈极点配置问题；给定矩阵a ，b ，c ，求矩阵k ，使得矩阵a + 曰k c 具有 给定的特征值，称为输出反馈极点配置问题【18 1 。 1 2课题研究发展概况以及本文所做的工作 矩阵逆特征值问题的研究是近年数值代数研究的热点问题之一，它来源于实 际问题，有很好的实际背景，同时也丰富了数值代数的理论成果。 周树荃、戴华的著作详细地总结了1 9 9 0 年之前逆特征值问题的研究成果【1 9 】；c h u mt 的论文将1 9 9 8 之前的逆特征值问题的研究状况进行了分类整理，介绍了这之 前得到的主要研究结果【2 0 j ；c h umt 和g o l u bg 总结了2 0 0 2 年之前的结构逆特征 值问题的研究状况【2 1 1 。这三篇文献对了解逆特征值问题的研究是非常有用的。 结构逆特征值问题是近年的研究热点之一。给定具有某种特定结构的矩阵( 如 对称，正交对称，主子阵约束) 的某些特征值和相应的特征向量( 有时给定部分分 量) ，求此矩阵，这就是结构逆特征值问题的一般提法。本文对对称矩阵逆特征值 问题【1 5 2 2 - 2 6 】及j a c o b i 矩阵逆特征值问题【2 7 _ 3 0 】进行了一些探索。 在线性方程组a 工= 6 中，已知系数矩阵a ( 一般附带结构要求如对称、正定、三 对角等) 和右端列向量6 ，求未知向量z ，这是正问题。反过来，已知向量z ，6 ，求系数 矩阵，就是反问题。将工，6 扩充为矩阵x b ，这时的反问题就称为矩阵反问题，显然， 矩阵逆特征值问题可以看成是矩阵反问题的特例。 广义特征值问题是指：对给定的矩阵对( a ，曰) ，求相应的广义特征值a 和广义特 征向量工，使得a x = a b 工。反过来，已知部分广义特征值a 和相应广义特征向量z ，求 满足某些附加条件的矩阵对( a ，b ) ，称为矩阵对的广义逆特征值问题【3 1 1 。 本文主要研究对称箭形矩阵的逆特征值问题。对称箭形矩阵是指在矩阵的第 一行、第一列以及对角元上元素可以非零，其它元素是零元素，这类矩阵来源于 对孤立分子的无辐射跃迁与费米液体的耦合问题的讨论【3 2 1 。在现代控制论的非线 性调节系统中对称箭形矩阵是控制方程中的参数矩阵，这时要求非对角元全正【3 3 1 。 对称箭形矩阵的逆特征值问题研究的文献有【3 们6 ，3 9 】。 本文首先研究了对称箭形矩阵的逆特征值问题，即给定对称箭形矩阵a 的部分 子块和它的部分特征值以及对应的特征向量的部分分量或者全部分量，求对称箭 形矩阵a 以及对应的特征向量的未知分量；然后研究了对称箭形矩阵的广义逆特征 值问题，即给定正定的对称箭形矩阵b 和矩阵对( a ，b ) 的部分广义特征值和特征向 量，求对称箭形矩阵a ；最后研究了对称箭形矩阵的反问题，即给定两个向量( 或 者两个矩阵) 五y ，求对称箭形矩阵a ，使得a x = l ，或者悄x y i i = m i n 。其中研究 的具体八个问题如下： 问题1 给定正实数仇，6 n l ，实数的口川，口n ，以及两个实数五，( a ) 且 一2 一 硕士学位论文 a ，砚，f - 七十l ，l ，以及向量x l = 【z l ，鲰】r 耻，h = 【) ，l ，弧】r 耻，求 对称箭形矩阵a n ，以及向量憋= 【视+ l ，】7 尺n 一，b = 队+ l ，) ，。】r 尺“一，使 得 a n x = 腻a n y = zx = ，霹】r ，y = 砰，巧】丁 问题2 给定正向量x 形，向量圪磁，1 七，z 一1 没有零分量，以及互异 实数口m ，锄，给定实凯，a ，且m a x ( 口川，口n ) a ，并且，弘 无求对称箭形矩 阵如，使得a 为a 彪的最大特征值，并且a 搿= l x m 砭= 圪，其中，如为厶的k 阶顺序 主子阵。 问题3 给定两个实数p ，以及两个向量x ，y 彤，求对称箭形矩阵a ，使得，a 是 对称箭形矩阵a 的最小最大特征值，y ，工彤为对应的特征向量。 问题4 给定2 n 1 个实数 别为 a p 允( 2 ) 五 d 謦 0 ，f = l ，七一1 ， 工1 ) ，f + l 一砂l 而+ l 口f + l = = - ：一 x 1 ) ，f + l 一) i l 而+ l ，f = 1 ，七一1 ， 易f z l + 口“1 柏+ l = a 恐+ l ，f = 七，l 一1 ， 7 一 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 对称箭形矩阵的逆特征值问题 由( 2 1 2 ) 得到： 由( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 得到： 缸y l + 矗“l y “l = 件l ，f = 足，穆一1 ， 由向量xl ，的正交性，有 确= ? 生，f = k 一，l l ， 而+ l = 一，l = 咒，l i ， 一口“l y f + l = 上坠，江，疗一1 ， y f + 1 = 万石瑚，川。1 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 工i ) ，l + + 撇+ 瓢+ 1 ) “l + + 而) k = o ， ( 2 2 3 ) 将( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 代入，由条件4 知，正交性成立。由( 2 1 3 ) ，运用条件3 ，得到： 口l = ( 五工l 一6 1 娩一一玩一l 讯一6 女瓢+ 1 一一易，l 1 ) 工l ( 2 2 4 ) 同理，由( 2 1 5 ) ，运用条件3 ，得到： 口l = o 矽l 一易l y 2 一一一1 ) k 一易d k + l 一一6 。一1 ) ，n ) ) ，1 ( 2 2 5 ) 下面我们证明( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 是相等的。利用条件4 、( 2 1 7 ) 、( 2 2 1 ) 以及( 2 2 2 ) 有 ( 肌l 一6 l 娩一k l 鲰一坟款+ l 一易舻1 ) x l o l 一6 l y 2 一一玩一1 ) k 一6 t ) k + l 一一6 n 一1 ) ，。) y l 钏砷嘻硼州刊萎彘叭训， = t c a 一， h + 萎石r 二，c 工- y ， =0 从而证明了充分性。 必要性：据引理2 1 3 ，问题2 1 有解，等价于方程组( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 以及( 2 1 2 ) 有 解。也就等价于条件1 ，2 ，3 ，4 成立。证毕。 下面我们给出求解问题2 1 的计算步骤以及数值实例。 算法2 1 ： 步0 输入向量恐，y 2 耻，输入正实数6 肌玩- l 互异实数 口七+ l ，以及两个实数a ； 步1 如果向量恐，圪中有零分量，算法中止。否则转步2 ； 一8 一 硕士学位论文 步2 如果矸巧+ 冒i = f = = o 不成立，算法中止。否则转步3 ； 步3 如果$ 燃 o ，f _ 1 ，七一1 ，不成立，算法中止。否则转步4 ； 步4 按( 2 1 7 ) 计算易1 ，6 ； 步5 按( 2 1 8 ) 计算眈，鲰； 步6 按( 2 2 1 ) 计算稚+ l ，而； 步7 按( 2 2 2 ) 计算弧+ l ，； 步8 按( 2 2 4 ) 计算口l ，算法结束。 例：给定6 4 = 4 ，易5 = 4 5 ，玩= 7 ，幻= 3 8 ，给定奶= 7 8 ，= 5 6 ，研= 8 4 ，魄= 3 5 ，以及向量x i = 卜o 0 3 3 5 ，一1 1 8 5 9 ，一0 。0 2 6 2 ，o 。1 2 5 7 n y i = 【0 4 1 1 9 ，o 1 2 2 l ，o 1 5 7 5 ，o 5 5 9 1 】r ，两个实数a = 2 3 3 3 9 ，= 6 3 4 6 8 ，求8 阶对称 箭形矩陬8 ，以及向量恐，玩舻，使得a 8 x = 腿a 8 】，= p 】，其中，x = 隅，憨】r ，y = 【h ，玩】r 解：根据以上算法利用m a t l a b 编程，知道该问题有唯一解，其解如下： a 8 = 2 1 0 0 01 2 0 0 0 3 0 0 0 04 o o o o 4 o o o o 4 5 0 0 0 7 o o o o3 8 0 0 0 1 2 0 0 02 3 0 0 0 3 0 0 0 01 5 0 0 0 4 0 0 0 0 3 4 0 0 0 4 o o o o 7 8 0 0 0 4 5 0 0 05 。6 0 0 0 7 o o o o 8 4 0 0 0 3 8 0 0 0 3 5 0 0 0 恐= f o 0 2 4 5 ，o 0 4 6 2 ，0 0 3 8 7 ，o 1 0 9 2 】1 ， 娩= 卜1 1 3 3 6 ，2 4 8 1 8 ，一1 4 0 4 1 ，o 5 4 9 8 】r ， 我们计算a 8 的全部特征值为： 一7 7 6 7 1 ，一o 8 8 8 7 ，2 堕翌，3 4 5 0 8 ，4 3 6 5 8 ，鱼丝堡，7 9 5 9 2 ，1 5 7 9 9 3 并且， f 陋8 x 一兄x | l = 3 8 4 2 9 9 一0 1 5 ，i l a 8 y 一五y i | = 1 7 3 5 l p 一0 1 4 ， 由此可以看出算法是可行的。 一9 一 对称箭形矩阵的逆特征值问题 2 2问题2 2 的解 考虑如下对称箭形矩阵的逆特征值问题。 问题2 2 给定正向量x 彤，向量取舻，1 忌，l 一1 没有零分量，以及互异 实数口川，给定实数，a ，且m a ) 【( 日“l ，锄) a ， 五，求对称箭形矩阵钆，使 得a 为如的最大特征值，并且a 描= 拭氐圪= 圪，其中，氐为厶的k 阶顺序主子 阵。 当定= ，z 时，问题2 2 就变为已知两个特征对( 丑的和，功，求对称箭形矩阵a 玎， 使得a n x = 腿屯】，= l ，即由两个特征对构造对称箭形矩阵的问题。 首先我们考虑对称箭形矩阵的一些性质。 引理2 2 1 设对称箭形矩阵钆如但j ) 所示，则如的特征值互异。若将如的特征值由 小到大排列，a l a 厅，则对应于 的特征向量的分量全正或者全负。反之， 若向量山勘n 的特征向量，其分量全正( 或全负) ，则山对应的特征值五玎是最大特征 值。 证明：由于对称箭形矩阵如的对角元嘶互异，不妨假定口l 锄，耽4 n 的 右下角协一1 ) 一1 ) 主子阵，由对称箭形矩阵的特征值的性质 3 9 1 ，若如特征值 为五ls ，贝0 五l 口2 口 o ，所以特征向量u 的分量同号，也即全正或全负。 反之，若特征向量u 的分量全正( 或全负) ，其对应的特征值为 ，不妨假定口2 ，由( 2 2 6 ) ，可知口2 ，矩阵钆的右下角一1 ) 一1 ) 阶主子 阵的特征值为口2 ，且口2 0 ，f = 屯，l 一1 解由( 2 2 8 ) 和( 2 3 1 ) 组成的方程组，可得：当d f _ o ，f - 1 ，l l ( 即暑= 筹 筹) 时，此方程组无解，从而问题2 2 无解；当d f o ，f = l ，咒一l 时，即由条 件1 得到其方程组有解且唯一，并由条件2 得到其方程组的解如下： 由( 2 2 7 ) 得到 由( 2 3 0 ) 得到 易f = 口f + l = ( 五一) 而+ 1 ) ，“l 石1 _ ) ，“l 一) ，l 而+ l ，f = l ，七一1 ， z i y “l 一砂l 而+ l 工l y “i y l 而+ i ，f = 1 ，忌一1 ， ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 口l = ( a 石1 一易l 恐一一仇一i 规一6 七执+ l 一一玩一1 ) 石l ，( 2 3 5 ) 口1 = l 一易l 娩一巩一l 溉) y l ， 一1 1 一 ( 2 3 6 ) 对称箭形矩阵的逆特征值问题 下面我们证明( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 表达的以1 是相等的。 由( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 和条件3 ，得到 ( a x l 一易l 娩一一易女一1 瓢一巩视+ l 一一易万一l 而) 工i o 1 一易1 ) ，2 一一易七一l 溉) ) i l = ( 脚) x j 玩一善旷钆- ) 曩t 鼽训t ) =0 这样，我们就可以用( 2 3 5 ) 或者( 2 3 6 ) 计算口l ，此时解为唯一解。 必要性。对给定的问题2 2 ，如果有解，等价于方程( 2 2 7 ) 至( 2 3 1 ) 有解，由此不 难得出条件l ，2 ，3 成立。证毕。 下面我们给出问题2 2 数值计算方法。 算法2 2 ： 步o 输入正向量x 彤，向量甄耻没有零分量，输入互异实数以川，以 及两个实数五 p ，并且a m a x 鲰+ l ，口n ) ： 步1 如果鬻 o ，f _ 1 ，七一1 不成立，算法中止。否则转步2 ； 步2 如果警l a 一) l n l = 窖q 一口) 曩l 并不成立，算法中止。否则转 步3 ； 步3 按( 2 3 3 ) 计算6 l ，址l ； 步4 按( 2 3 2 ) 计算坟，易n l ； 步5 按( 2 3 4 ) 计算口2 ，鲰； 步6 按( 2 3 6 ) 计算口l ，算法结束。 例：给定互异实数口5 = 2 1 5 9 0 ，口6 = 3 3 7 8 0 ，口7 = 一1 0 7 7 9 0 ，口8 = 2 0 0 7 8 0 ，以及 实数a = 2 3 1 2 6 6 ，= 3 1 1 6 5 ，给定正向量 x = 【2 2 5 4 7 ，o 1 2 6 8 ，o 0 9 6 9 ，o 2 6 2 4 ，o 4 4 5 9 ，o 8 1 8 6 ，0 8 1 0 6 ，4 7 0 5 7 】r 尺8 以及向量 翰= 7 0 4 9 2 ，1 8 4 5 4 ，一1 0 3 6 8 ，2 7 4 1 0 】r 求对称箭形矩阵a 8 ，使得a 8 x = 腿a 4 玢= p 玢，其中，a 4 为a 8 的4 阶顺序主子阵，并 且，口5 ，口6 ，口7 ，口8 为a 8 的右下角的4 个对角元。 一1 2 一 硕士学位论文 下： 解：根据算法2 ，利用m a t l a b 编程计算，各判定该问题有唯一解，计算得到a 8 如 1 5 4 7 01 4 3 2 6o 6 6 5 63 3 2 3 64 1 4 6 57 16 9 5l2 18 9 26 3 6 2 5 1 4 3 2 62 3 5 6 0 0 6 6 5 67 6 4 2 0 3 3 2 3 65 4 31 0 4 1 4 6 52 1 5 9 0 7 1 6 9 53 3 7 8 0 1 2 1 8 9 21 0 7 7 9 0 6 3 6 2 52 0 0 7 8 0 利用m a t l a b 计算得到a 8 的全部特征值如下： 一1 9 8 1 3 6 ，一5 8 3 2 7 ，一2 5 3 1 4 ，一o 7 0 6 4 ，2 5 0 7 2 ，7 6 1 2 7 ，11 8 7 5 6 ，2 三：1 2 鱼鱼 a 4 的全部特征值如下： 并且， 一6 8 3 1 2 ，一2 6 11 5 ，3 1 1 6 5 ，7 7 2 8 2 l 陋8 x 一心= 7 11 4 9 p 0 1 4 ，f 陋4 翰一玖0 = 2 0 3 5 1 9 0 1 5 可见，算法2 2 是可行的。 2 3问题2 3 的解 在这一节里，我们讨论如下的逆特征值问题。 问题2 3 给定两个实数a ，且 五，以及两个向量工，_ ) ，彤，求形如( 2 1 ) 的对称 箭形矩阵a ，使得，五是对称箭形矩阵a 的最小最大特征值，) ，z 彤为对应的特征向 量。 由引理2 2 1 可知，若a 是对称箭形矩阵如的最大特征值，则对应的特征向量y 的分量全正或者全负。下面的引理给出了对称箭形矩阵的最小特征值对应的特征 向量的特点。 引理2 3 1 设对称箭形矩阵如如f 2 j ，所示，若为a 。的最小特征值，对应的特征向 量为弘则分量) ，2 ，同号且劬l 异号；反过来，若) ，为特征向量，其分量沈， 同号且与) ，l 异号，则对应的特征值为如的最小特征值。 一1 3 对称箭形矩阵的逆特征值问题 证明：由于对称箭形矩阵钆的对角元口2 o ，持1 ，n ，设是最小特征值，由对称矩 阵的特征值交错定理及对称箭形矩阵的性质，可得 口2 o ，所以特征向勤的分勤，同号且与) ，l 异号。 反之，若特征向量y 的分量y 2 ，同号且与) ，l 异号，其对应的特征值为p 。不 妨假定口2 锄，由( 2 3 7 ) ，可知 口2 锄。矩阵a 。的右下角一1 ) 一 1 ) 阶主子阵的特征值为口2 ，锄，且口2 o ，) ，2 o ( 如果不是这样，可以将 向量柏芟者) ，乘以1 ) ，由a = 倒以融n 工= 肌，得到如下等价方程组： 口l z l + 易l 恐+ + 玩一1 = 肛i ，( 2 3 8 ) 一1 4 硕士学位论文 6 f 工l + 口“l 而+ l = 触“l ，f = 1 ，z l ， 口1 ) ，l + 易t 弛+ + “一1 = l ， 6 i + 口f + 1 ) ，“l = f + l ，f = l ，咒一1 ， 将方程( 2 3 9 ) 与( 2 41 ) 联立起来，求出易f ，口川： ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) 易f = ( a 一) 墨+ 1 ) ，“l d “l f = l ，z 一1 ，( 2 4 2 ) 由于功+ l = z 1 ) ，f + l 一) l 而+ l 易f d h l = o ， ( 2 4 6 ) j 二- - 一 f = l 将( 2 4 2 ) 代人( 2 4 6 ) ，可以得到 从而，口1 的存在唯一性等价于条件2 。 必要性显而易见，证毕。 由上面的定理我们得到计算问题2 3 的解的如下算法。 算法2 3 ： 步0 输入正向量x 彤，向量) ，彤的分量) ，l 为正，其余分量为负，输入两个实 黼 o ，f = 1 ，z 一1 成立，转步2 ，否则算法中 止，问题2 3 无解； 一1 5 一 x 硌 6 斟 一五 = 口 抄“ 易 “斛 一 p = 口 o = 彬 胆斟 p a l 对称箭形矩阵的逆特征值问题 步2 如果) ，k = o 成立，转步3 ，否则算法中止，问题2 3 无解； 步3 按( 2 4 2 ) 计算易l 一，“一l ； 步4 按( 2 4 3 ) 计算口2 ，口。一l ； 步5 按( 2 4 4 ) 或者( 2 4 5 ) 计算口l ； 步6 输出易i ，巾口“，锄算法结束。 例：给定互异实数l = 3 2 7 8 3 ，= 一2 4 5 8 1 ，给定正向量 工= 【o 6 1 8 1 ，o 0 8 6 1 ，0 2 9 7 1 ，o 0 3 0 4 ，o 0 4 6 0 ，o 6 4 7 1 ，o 2 1 5 6 ，0 2 3 2 3 】r r 8 以及向量 y