（应用数学专业论文）多自由度碰撞振动系统的分岔研究.pdf

吣, , t7 3 8 7 3 2 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名：席活晦 学位论文使用授权说明 z 口加年多月0 日 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 口即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 做作者躲蓐蒲夸翩签名靠私冲年，月1 日 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 摘要 在许多工程应用领域中常会遇到碰撞振动系统，而工程实际问题迫切 需要更全面了解此类系统，尤其是多自由度碰撞振动系统的分岔现象，即 由参数变化所引起的系统本质性改变。近年来，在碰撞振动系统中关于分 岔理论的研究已成为研究热点之一。对于多自由度碰撞振动系统，由于其 动力学行为的复杂性，目前研究成果尚少。因此，关于多自由度碰撞振动 系统的分岔研究具有很大的挑战性。本文研究的主要内容有如下方面： l 、对一个具有单侧刚性约束并受到简谐激励力作用的三自由度碰撞振 动系统进行擦边运动的存在性及稳定性的分析。首先采用正则模态矩阵方 法进行解耦，得到系统的解析解；再利用擦边周期运动的初始条件和周期 性条件，推导出系统存在擦边周期n 运动的条件；并对原系统进行数值仿真 验证理论分析的结果。最后运用n o r d m a r k 的零时间不连续映射法，在系统 擦边点附近建立起局部p o i n c a r e 映射，并根据此映射对擦边周期轨道的稳 定性进行了分析。 2 、研究了在多自由度碰撞振动系统中，通过取p o i n c a r e 截面获得的高 维光滑离散映射的f o l d f l i p 的余维二分岔。首先运用中心流形理论方法，将 一个具有两个不同实特征乘子1 和一1 的高维映射降阶为一个二维映射；再 采用p b 规范形方法对降阶后的二维映射进行约化，得到最简范式映射；最 流形p b 规范形 附近的参 岔中心 b i f u r c a t i o n sr e s e a r c ho n m u i j r i d e g r e e o f f r e e d o m v i b r o i m p a c ts y s t e m s a b s t r a c t v i b r o - i m p a c ts y s t e m sa r eo f t e ne n c o u n t e r e di nt h ef i e l do fe n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ，a n d c o m p r e h e n s i v eu n d e r s t a n d i n go ft h e s es y s t e m si si na nu r g e n tn e e d s p e c i a l l y , t h i si st r u ef o r t h eb i f u r c a t i o no fm u l t i - d e g r e e o f - f r e e d o mv i b r o i m p a c ts y s t e m w h i c hm e a n st h ee s s e n t i a l c h a n g e si nas y s t e mw i t ht h ev a r i a t i o no fs y s t e mp a r a m e t e r s i nr e c e n ty e a r s ，t h er e s e a r c ho n t h eb i f u r c a t i o nt h e o r yo ft h e v i b r o i m p a c ts y s t e mh a sb e c o m eo n eo fh o tt o p i c s f o r m u l t i - d e g r e e o f - f r e e d o mv i b r o i m p a c ts y s t e m s ，r e s e a r c hh a sn o tb e e nf u l l yd e v e l o p e db e c a u s e o ft h ec o m p l e x i t yo ft h ed y n a m i cb e h a v i o ro ft h e s es y s t e m s t h u s ，i ti sag r e a tc h a l l e n g et o a n a l y z et h eb i f u r c a t i o no fm u l t i d e g r e e o f - f r e e d o m t h em a i nr e s e a r c hw o r ki n v o l v e s ： 1 f o rat h r e e d e g r e e - o f - f r e e d o mv i b r o - i m p a c ts y s t e mh a v i n gs i n g l e r i g i ds t o pa n d s u b j e c t e dt op e r i o d i ce x c i t a t i o n , t h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h eg r a z i n gt r a j e c t o r yi ss t u d i e d t h es y s t e mi su n c o u p l e db yu s i n gm o d e lm a t r i xa p p r o a c ha n dt h es o l u t i o no ft h es y s t e mi s d e r i v e da n a l y t i c a l l y u s i n gt h ei n i t i a lc o n d i t i o n sa n dp e r i o d i cc o n d i t i o n s ，t h ee x i s t e n c e c o n d i t i o no ft h ep e r i o d ，l g r a z i n gm o t i o ni sd e r i v e d 1 1 l ev a l i d i t yo ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i s i sv e r i f i e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s al o c a lp o i n c a r em a p p i n gi nt h en e i g h b o r h o o do ft h e g r a z i n gp o i n ti si n t r o d u c e db yt h em e t h o do fn o r d m a r k sz e r o - t i m ed i s c o n t i n u i t ym a p p i n g ， a n dt h es t a b i l i t yo ft h e g r a z i n gp e r i o d i ct r a j e c t o r yi s d i s c u s s e db yt h ea f o r e m e n t i o n e d m a p p i n g 2 f o l d f l i p b i f u r c a t i o no f h i g h e r d i m e n s i o n a ls m o o t h m a po b t a i n e di na m u l t i - d e g r e e - o f - f r e e d o mi m p a c ts y s t e mi si n v e s t i g a t e d t ob e g i n 丽t h ，t h eh i g h e rd i m e n s i o n a l m a pw i t ht w od i f f e r e n tr e a le i g e n v a l u e sla n d 1i sr e d u c e dt oat w o d i m e n s i o n a lm a pb yt h e c e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m t h e nt h et w o d i m e n s i o n a lm a pi sf u r t h e rr e d u c e db yt h e o r yo f n o r m a lf o r m s ，a n di ti st r a n s f o r r n e di n t oi t ss i m p l e s tn o r m a lf o r m f i n a l l y , t h es t a b i l i t yo ft h e f i x e dp o i n to ft h et w o - d i m e n s i o n a ln o r m a lf o r mm a pi s a n a l y z e d t h et w op a r a m e t e r u n f o l d i n g so ft h em a pn e a rt h ep o i n to ff o l d f l i pb i f u r c a t i o ni sg i v e n k e yw o r d s ：g r a z i n gm o t i o n ；e x i s t e n c e ；d i s c o n t i n u i t ym a p p i n g ；s t a b i l i t y ；f o l d - f l i p b i f u r c a t i o n ；c e n t e rm a n i f o l d ；p bn o r m a lf o r m i i i 目录 一章绪论 1 碰撞振动系统分岔的研究现状l 2 本文选题的研究意义3 3 本文工作3 第二章三自由度碰撞振动系统的擦边周期运动分析 2 1 系统力学模型5 2 2 系统擦边周期刀运动的存在性分析6 2 3 擦边周期运动的稳定性分析1 1 2 3 1 映射和记号的引入1 1 2 3 2 局部映射1 2 2 3 3 局部不连续映射c 的近似代数表达式1 3 2 3 4 局部映射尸及稳定性分析1 5 第三章高维光滑映射的局部余维二分岔分析 3 1 引言1 7 3 2 中心流形1 7 3 3 约化范式2 2 3 4 局部余维二分岔2 8 参考文献3 1 致谢3 5 攻读学位期间发表论文情况3 6 论文 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 第一章绪论 广泛地存在于工程技术、自然科学和社会经济领域中。2 1 世纪许多推动 技术都与非线性紧密相关。非线性动力学是以揭示非线性力学系统的长 律为主要任务，简单地说，它是探索非线性力学现象复杂性的- - f - j 学科。 的一个或多个控制参数在某特定值附近作微小变化时，系统的运动性态 围变化，我们称之为分岔 1 】。当前，关于分岔研究已经成为非线性动力 学的一个重要研究内容，因为分岔是产生非线性系统失稳及混沌的主要原因，另外，分 岔还揭示了系统各种运动性态间的关系和转化。 1 8 世纪，有学者对天体力学、弹性和流体力学及非线性振动中失稳现象进行了研究， 这成为分岔研究的起源，但分岔成为独立的数学理论和方法，却是在2 0 世纪7 0 年代。 目前人们已熟悉的最基本余维一分岔有：f o l d 分岔、h o p f 分岔、p i t c h f o r k 分岔及跨临界 分岔 2 5 】。另外一种较普遍且重要的倍周期分岔已受到人们广泛的重视和研究【6 8 】。对 于由多个开折参数开折的高余维分岔，因其存在的广泛性及研究复杂性越来越吸引科研 工作者的关注。t a k e n s 9 、b o g d a n o v 1 0 和a r o u n d 1 1 率先开始了余维二分岔方面的研 究，他们给出了一对零特征值系统的余维二分岔的规范型，并对其进行了开折分析： k e e n e r 1 2 、l a n g f o r d 1 3 、i o o s s 和l a n g f o r d 1 4 、x u 和h a s e b e 1 5 对具有一对纯虚根和 一个零特征值系统作了余维二分岔分析；而h o l m e s 1 6 和g u c k e n h e i m e r 1 7 , 贝t 作了全局 分岔研究；t a k e n s 9 、h o l m e s 1 6 、i o o s s 和l a n g f o r d 1 4 j 丕研究了具有两重纯虚特征值 系统的余维二分岔问题。 1 1 碰撞振动系统分岔的研究现状 随着分岔理论研究的系统深入进行，其在力学、生物学、工程技术等的应用研究也 迅速展开，并推动了许多应用学科中所出现的复杂问题的研究，如大型输电网系统中的 h o p f 分岔 1 8 】、机车的蛇行运动 1 9 2 1 1 、可兴奋细胞模型峰峰间序列分岔现象 2 2 2 3 】 等。特别值得一提的是，在许多工程应用领域常遇到的碰撞振动系统，关于碰撞振动的 分岔研究已经成为非线性动力学一个新的研究方向，这主要是由于此类系统具有不连续 性和强非线性性，造成了光滑系统关于分岔研究的许多方法不再对其适用。 2 0 世纪7 0 年代后期，对各种碰撞系统如含间隙、具有弹性或刚性约束等，关于碰 撞运动的周期性和稳定性问题，引起了国内外少数学者的注意。w h i s t o n 2 4 2 5 研究了 具有单侧刚性约束、受简谐激励力作用的振子周期以一1 运动的表达式，并分析了周期运 多自由度碰撞攘动系统的分岔研究 动的存在性和稳定性问题。n g u y e n 等【2 6 对具有双面对称弹性约束受简谐激励力振子的 周期运动，并给出一些实用结果。胡海岩【2 7 】讨论了非光滑高维运动系统的周期响应数 值解法。舒仲周 2 8 1 解决了单( 或多) 频多激励力的多刚性碰撞振动系统的，一p 周期运 动存在性及稳定性判定问题，并分析其它潜在性能。李骊和任保重 2 9 】对具有间隙的动 力系统用定性分析法证明自激振动的存在和唯一性。曹登庆等【3 0 】针对冲击振动系统讨 论了拧一p 周期运动的鲁棒稳定性问题。 2 0 世纪8 0 年代以来，在计算技术、分岔理论、建模等方面，非线性动力系统都取 得新的进展，并引入现代动力系统的思想和方法，使碰撞振动系统的研究工作步入了全 新的发展阶段。国内外许多科学工作者开始运用现代动力系统观点研究碰撞振动系统。 他们主要研究了关于碰撞振动系统的分岔和混沌问题。关于单侧刚性约束碰撞系统和弹 跳小球的全局动力学的开创性研究工作分别由s h a w 、h o l m e s 及合作者 3 1 3 2 1 完成。为 碰撞振动系统研究中应用现代动力系统理论奠定了基础，是碰撞振动系统研究的重要里 程碑。m o o n 和s h a w 3 3 证明了含单侧刚性约束的碰撞振子定会产生混沌响应。谢建华 等 3 4 1 建立了圆周映射来描述振动锤动力学，并研究了振动锤的周期运动和全局分岔过 程，揭示了系统多种周期运动共存现象。罗冠炜等 3 5 】分析了影响系统局部和全局分岔 的因素之一是擦边运动产生的映射奇异性。陆启韶、李群宏、张思进等 3 6 3 8 1 针对双自 由度线性碰撞振动系统及转子系统，给出了次谐周期运动一系列解析解，并作稳定性分 析。胡海岩 3 9 4 0 研究了分段线性系统关于擦边轨道的问题，揭示了当轨线与切换面相 切时，使该系统产生奇异性的根本原因。文献 4 1 】研究了高维映射的h o p f 分岔，并将其 应用于碰撞振动系统中。文献 4 2 】以两自由度碰撞振动系统并具有单侧刚性约束为研究 对象，对强共振条件下的拟周期运动进行了研究和h o p f 分岔分析。文献 4 3 】研究了在强 共振条件下一类碰撞振动系统的亚谐分岔和h o p f 分岔。另外，对碰撞振动系统，许多 学者还进行强共振的研究 4 4 - 4 7 】，并对余维二分岔问题也进行分析讨论 4 8 4 9 】。 自2 0 世纪9 0 年代，在擦边分岔及奇异性方面所取得的研究成果，标志着对非光滑 振动系统的动力学研究获得重大进展。n o r d m a r k 5 0 对简单碰撞振动系统，在碰撞点邻 域建立了一个n o r d m a r k 映射，并发现了擦边碰撞是碰撞振子由周期运动进入混沌的主 要原因。c h i n 等 5 1 】通过研究n o r d m a r k 映射的性质，发现此映射具备有许多丰富的动 力学行为，并给出最大碰撞周期轨道的一般分析法。l a m b a 和b u d d 5 2 发现了碰撞振动 系统发生擦边分岔时，其最大l y a p u n o v 指数会随参数发生跳跃。f r e d r i k s s o n 和 n o r k m a r k 5 3 对以前的研究进一步推广，为高维非光滑碰撞振动系统的理论研究提供了 非常实用的思想方法，主要体现在利用局部不连续映射建立了多自由度碰撞振动系统的 全局映射并对映射给出了规范形的一般算法。 近年来，d a n k o w i c z 和z h a o 5 4 5 5 1 用不连续映射法研究了微激励力碰撞系统的余维 一和余维二的擦边分岔，揭示了擦边余维二分岔点存在性，并对擦边动力学进行了参数 2 广西大掌硕士学位论文 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 开折分析。文献 5 6 一鹃 主要研究多自由度碰撞振动系统的碰撞周期运动问题。乐源、 谢建华 5 9 研究了一类具有对称刚性约束的三自由度碰撞振动系统，建立了系统的 p o i n c a r e 映射，导出了p o i n c a r e 映射的对称性，并利用该映射讨论了系统的各种分岔 和通向混沌的道路。罗冠炜等 6 0 - 6 1 则对几类典型的碰撞振动系统建立p o i n c a r e 映射， 利用中心流形方法对该映射进行处理，讨论了系统在1 ：2 、1 ：4 强共振情形下的分岔。 文献 6 2 对具有对称约束两自由度碰振系统，构造超映射、采用对j a c o b i 矩阵进行q r 分解的方法求指数，分析了各参数对系统动力学性态的影响。 1 2 本文选题的研究意义 碰撞振动系统广泛存在于力学、工程技术和工程应用等领域中。随着科技的发展， 在解决工程实际问题时，迫切需要全面了解此类系统的动态行为，特别是由参数变化引 起系统相应的本质变化，即所谓的分岔混沌现象。最近几年来，关于碰撞振动系统的动 力学行为的研究已成为非线性动力学研究的热点之一。并且其理论研究工作还有非常大 的挑战性，表现在光滑系统中一些传统的研究方法，如周期解的分岔等问题，已不再适 用于非光滑的碰撞系统的研究，必须探求适用于非光滑系统分岔研究的新思路及方法。 现实中的碰撞振动系统大多为多自由度系统，即是多参数高维系统。在今后，关于多参 高余维分岔等动力学的研究将逐步成为碰撞振动系统研究的热点，多自由度碰撞系统的 分岔研究对促进相关学科理论发展，解决实际工程应用问题具有理论指导意义。 1 3 本文工作 本文共分为三章，主要研究工作如下： 1 、在第一章中，主要综述了碰撞振动系统分岔的研究成果，并阐述了选题的研究 意义和目的。 2 、在第二章主要研究一个具有单侧刚性约束并受到简谐激励力作用的三自由度碰 撞振动系统，对其进行擦边运动的存在性及稳定性分析。首先采用正则模态矩阵方法进 行解耦，得到系统的解析解；再利用擦边周期运动的初始条件和周期性条件，推导出系 统存在擦边周期，2 运动的条件；并对原系统进行数值仿真验证理论分析的结果。最后运 用n o r d m a r k 的零时间不连续映射法，在系统擦边点附近建立起局部p o i n c 鲫e 映射，并 根据此映射对擦边周期轨道的稳定性进行了分析。 3 、在第三章中研究了在多自由度碰撞振动系统中，通过取p o i n c a r e 截面获得的高 维光滑离散映射的f o l d f l i p 的余维二分岔。首先运用中心流形理论方法，将一个具有两 个不同实特征乘子l 和一l 的高维映射降阶为一个二维映射；再采用p b 规范形方法对降 3 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 阶后的二维映射进行约化，得到最简范式映射；最后分析了二维范式映射不动点( o ，0 ) 的 稳定性，并给出在f o l d f l i p 分岔点附近的参数开折 4 广西大掌硕士学位论文 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 第二章三自由度碰撞振动系统的擦边周期运动分析 2 1 系统力学模型 本文考虑的系统力学模型是由质量为m ，鸩和坞的振子组成的三自由度碰撞振动 系统，并具有单侧刚性约束。假设：( 1 ) 三振子分别由刚度为墨，墨和墨的线性弹簧 及阻尼系数分别为c l ，c 2 和c 3 的线性阻尼器相连接，且阻尼是r a y l e f g h 型比例阻尼。( 2 ) 三个振子只沿水平方向运动，并分别受到简谐激振力p , s i n ( q t + r ) ( i = 1 ，2 ，3 ) 的作用。( 3 ) 当振子m 的位移五等于b 时，m 将与刚性约束彳发生碰撞。( 4 ) 碰撞过程由碰撞恢 复系数尺确定，碰撞时间忽略不计。 f ) 式 剖虬剖m ，b 一坞 刈蚓 叫咝 ，7r 叭吲一 ，? ，7 ，t ， t ，t ，t ， 。， 删+ 睁毒列- c , 翔j c , +降毒羞osin(qt+r)0+ s o ，4 恒小于0 以- - - - - c 0 2 b 9 4 4 4 0 o o ，。l 甲 、 6 ，。- = 、 洒 s c ，。一、l、 易厉易 + + + 历历历 + + + 肿胎聃 4 4 4 + + + 4 4 4 + + + 她他铂阳、 4 4 鸣 0 0 o ，。l 甲 、 o ，f。_ = 、，、 r f 刚 n戚 咆 ，f。一、， 厉晟厥 + + + 吼鸭 历厥尉 + + + 胂肥聃 4 4 4 + + + 概 + + + 她觚似 阳、 0 6 = = 咐 瞄 如q + r f n n 占； 埘乜 ，【 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 由以上分析可知，碰撞振动系统( 2 1 ) ( 2 2 ) 存在以n t 为周期的擦边运动的条件 是：b = 4 2 + 畋2 且儡2 + 吐2 0 ，其中4 = a o i l + 4 仍2 + a 3 q o i 3 ，以= j 9 i 仍l + 垦仍2 + 马3 。 为验证以上推导的擦边周期聆运动存在性条件的正确性，我们将对原系统进行数值 模拟。当系统( 2 1 ) ( 2 2 ) 取参数r = o 8 ，= 1 ，删2 = 鸭= 1 0 ，毛= 1 ，如= 毛= 5 ， y = 0 0 5 ，石o = l ，厶= 0 ，石o = 0 ，0 3 = o 1 ，b = 1 4 4 1 4 7 6 时，可以验证该组参数满足以 上推导的擦边周期运动存在性条件。用同样的参数，对原系统进行仿真，得到一条擦边 周期l 轨道。图2 2 、2 - 3 分别给出了在这组参数下振子旭的相图及位移时间历程图。 从图中可见，振子m 以零速与刚性约束面发生“碰撞 。从位移时间历程图上我们可以 判定系统的运动已达到稳定状态。 图2 - 2 振子m 的相图 f i g2 - 2t h ep h a s ep i c t u r eo f t h eo s c i l l a t o rm 图2 - 3 振子m 位移时间历程图 f i g2 - 3t i m eh i s t o r yo ft h ed i s p l a c e m e n to f t h eo s c i l l a t o rm 1 0 广西大学硕士掌位论文 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 2 3 擦边周期运动的稳定性分析 2 3 1 映射和记号的引入 若令x = ( ，x 2 ，喝，v l ，v 2 ，屹) rt 则碰撞系统运动微分方程( 2 1 ) 可写成标准形式 j = f ( x ，) ( 2 1 9 ) 其中f ( x ，t ) = 吒 吃 吩 土( 一毛五+ 毛恐一2 ，v l + 2 。屹+ 石。s i n ( f + f ) ) m a 一1 ( 白五一( 向+ 如) 屯+ 乞恐+ 2 。h 一( 2 。+ 2 ：) v 2 + 2 2 v 3 + 五。s i n ( c o t + f ) ) 历2 上( 如而一( 如+ 屯) 为+ 2 亭2 v 2 一( 2 9 2 + 2 o ，。= x i v = o ，一- x z l v o ) 广西大掌硕士掌位论文 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 利用上述引入记号，由擦边周期运动的定义，在擦边点o 处，有 日( d ，o ) = o ，百a h ( o ，o ) = v ( d ) = o ，4 = 百0 2 h 0 t ( d ，o ) o d f 。 。 而冲击方程( 2 2 ) 可看成一个碰撞映射g ：+ - - 4 一，对于擦边周期运动，由于振子m 接触和离开碰撞面时速度恒为零，此时g 可化简成：o z o 的恒等映射。 2 3 2 局部映射 曰( q ) 雪( q ) 图2 - 2 局部映射示意图 f i g2 - 2s c h e m a t i cr e p r e s e n t a t i o no f t h el o c a lm a p 如图，假设q q 是一条擦边轨道r ，0 + o 是擦边点，沿轨道r 从q 到的运行 时间为t l ，从d 到d 2 的运行时间为f ：，即咖。：d l 寸d ，丸：d 一d 2 。为了得到一个从 b ( q ) 到召( d 2 ) 的映射尸，对于b ( q ) 中的非碰撞点，通过流映射尸( 彳) = 氏+ f 2 即可得到 b ( q ) 上对应点。而对于b ( q ) 中的碰撞点，问题相对复杂，因映射p 如仍从或开始复 合的话，由于屯忽略碰撞面，其像x 就会可能穿过碰撞面成为实际不可能达到的点。 为此，我们必须通过定义局部不连续映射c 将x 拉回，最后再与咖。复合，即可得到b ( 皱) 中的对应点，也就是说，对于b ( 0 1 ) 中的碰撞点，p = 屯。c 。吮。 下面将采用n o r d m a r k 的不连续映射方法z d m 建立不连续映射c ，我们将分三步得 l 广西大学硕士掌位论文多自由度碰撞振动系统的分岔研究 到不连续映射c 的表达式。 首先，在作用下，将碰撞点x 沿逆流经时间乞也 0 后得到不连续映射c = 丸，c 。g 。九。 由以上讨论可知，在邻域内建立的不连续映射c 可简单表示为 c ：丸，c 。g 。九， 厅( x ) o 【i ， 乃( 工) 0 其中，是恒等映射。而p = 谚：。c 。噍= 惫：磐泛g 。噍。九= 乏：。g 。丸+ 。 2 3 3 局部不连续映射c 近似代数表达式 为了简便，在关于不连续映射c 代数的近似表达式的推导过程中，令擦边点d 的 坐标为坐标原点，并按以下步骤进行。 第一步：计算沿逆流从彳到+ 的点丸( x ) 的运行时间乙。 由于h ( x ，f ) 表示从x 出发经时间r 后，振子m 与碰撞面的距离，所以当x b ( o ) 时，h ( x ，r ) 在经过一段很短的时间r = f ( x ) 会达到局部最大值。为了方便，引入函数 甲( x ) = h ( x ，r ( x ) ) ，显然当甲( x ) o 表示z 是碰撞点，而甲( z ) 0 时表示x 是非碰撞 点。 因为点九在+ 上，故应满足日( x ，乙) = o ，为了能通过解方程日( 石，i ) = o 求出， 我们将h ( x ，r ) 对f 在f = f ( x ) 进行泰勒展开 聃瑚( 如( 硼+ 乱o ( 柳+ 互1 o r ( z ) ) 2 + o ( x ，t ) ( x 帆耻一c 刎，剖o 。和割酬z ，在处的泰冁开，不桶u 日( x ，f ) = 甲( x ) + 鲁。一r ( x ”2 + 。( x ，f ) ( 2 2 1 ) 多自由度碰擅振动系统的分岔研究 从而有h ( x ，乞) = 甲( x ) + _ a z g ( t o r ( x ) ) 2 + 。( x ，) = 。，解此方程，得 乞= r ( x ) 一十d ( x ) ( 2 2 2 ) 第二步：求丸( x ) 。 由于( x ，。) = z 型乒l ，l 。= f 舫( z ) ，。) ，将流咖( x ) 对f 在f = 。处泰勒展开，有 懈m ( m 挈0 + d ( 如m 州咿+ d ( 如) 再利用f ( 咖( x ) ，0 ) 在x = 0 处泰勒展开，即可得到咖( x ) = x + f ( o 弘+ d ( x ，f ) 。 将，= 乙代入晚( x ) ，得 吮( x ) = x + f ( d ) t o + d ( x ，f ) ( 2 2 3 ) 第三步：通过求g ( x ) ，# 4 至o g 。晚。 由于碰撞前后，仅是振子m 接触和离开碰撞面，其位置并没发生改变，所以，令 ，7 = ( 0 ，0 ，0 ，r + i ，0 ，o ) 7 ，则有似= g ( x ) - x = - v l t l ，因此，g ( x ) = x v 1 叼。故要求g ( x ) ， 问题关键是求h 。 由于_ = o 甜h ( x ，乞) ，因此要求h ，首先对日( x ，) 的泰勒展式( 2 2 1 ) 对f 进行求导， 得：百3 h = 以o f ( x ) ) + 。( z ) 。再将( 2 2 2 ) 代入，得 v 1 = 警( 咒t o ) 叫皑) 一 一f ( x ) ) + 。( x ) = = 乏丽+ d ( x ) 以ar c = - v t i = 一= 乏夏而+ 。( x ) ，从而 g ( x ) = x + a x = x 一4 - 2 a , w ( x ) r + 口( 彳 这样，将( 2 2 3 ) 代k g ( x ) ，可求出 g 。丸( x ) = x + f ( o ) 乞一二乏互丽+ d ( x ) ( 2 2 4 ) 第四步：求丸。g 。丸，从而得到c ( x ) 。 1 4 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 由于啦( x ) - - x - f ( o ) t o + d ( x ) ，所以，将( 2 2 4 ) 代入正( x ) ，得 丸。g 。峻= x + ，( d ) 一一2 4 甲( x ) 7 7 一f ( o ) ，c + d ( x ) = x 一一2 a g t ( x ) r + 口( x ) 因此， c ( x ) ： z 一一2 以甲( x ) 叼+ 。( x ) ， 甲( 彳) o ( 2 2 5 ) i x ，甲( 彳) 0 2 3 4 局部映射尸及稳定性分析 由前面分析可知，尸是b ( q ) 到b ( 0 2 ) 的映射，如令寸0 ，f 2 = t ，则得到b ( o ) 的 一个局部映射 p ：j 如。c ( x 詈甲( x ) o ( 2 2 6 ) 【办( x )当甲( x ) 0 时，有髻z 叩 0 时，使得考z 叩= 0 ，则不能判断擦边周期轨道稳定性。 1 6 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 第三章高维光滑映射的局部余维二分岔分析 3 1 引言 碰撞振动系统广泛存在于各工程应用领域，特别是多自由度碰撞振动系统，迫切 需要对碰撞系统由参数变化引起系统的分岔现象有全面了解，在研究过程中，常利用 p o i n c a r e 截面建立高维映射，通过对高维映射作分岔分析，达到研究原系统。而在对非 线性动力系统的平衡点或周期解分岔理论研究中，我们常采用将中心流形理论与范式相 结合的方法，其目的在于将高维系统进行降维和简化，以便进行分岔研究。此方法的理 论依据是在中心流形上，高维系统与被降维的映射在局部动力行为上是等价的。本文将 采用此法对一高维光滑映射在有两个不同实特征乘子l 和一1 同时穿过单位圆周时，对其 不动点( o ，0 ) 进行局部余维二分岔分析。文章中首先通过泰勒展开和比较系数法，给 出高维映射的中心流形的计算过程，并利用求出的中心流形将高维降阶成一个二维映 射；其次，采用b p 规范形理论方法将降阶后的二维映射约化为最简形式的范式；最后 分析二维范式映射在其不动点( o ，0 ) 的稳定性，并进行局部余维二分岔分析。 3 2 中心流形 考虑映射 y = 厂( j l l ，l ，) ( 3 1 ) 其中】，表示y 的关于映射的对应点，f ：r ”jr ”，f ( p ，y ) 是c ( 七5 ) 类的， 】，r ”0 3 ) ，r 2 ，p 是分岔参数。假设，( j l l ) 是映射( 3 1 ) 在临界值p = 儿的某邻 域内的不动点；且在临界值p = 心处，映射( 3 1 ) 在不动点，( 心) 的线性化矩阵巧( ，】，) 有两个实特征乘子 ( 心) = 1 和九( 段) = - 1 位于单位圆周上，其余的特征乘子 九( 段) ，九一，( 心) ，九( 以) 均全部位于复平面上的单位圆内部，即i a ( 心) l 0 恒成立。因此，a 的两个特征乘子 ：t r + 4 x 扣竿均为娥 下面利用特征乘子的模与l 进行比较，讨论不动点的稳定性： ( 1 ) 当丁 o ，即口，+ a ： o 时，显然有 o ，且l l i 九i ，所以，只要当凡 1 ，就一 定能推出l 丸i 1 ，而由 ：三冬坐 o 。由于a ：为小 广西大掌硕士学位论= t o 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 参数，故 2 2 ) 0 的 条件下，当a ， o 时，不动点不稳定。 ( 2 ) 当t o ，即q + a ： o ，显然有九 o 时，且l l 一1 ，则 有i 疋i o 。由于口l 为小参数，故( a l + 2 ) o ，从而得到不等式的解为a 2 0 。因此， 在丁 0 ，即a 1 + 口2 0 时不动点是稳定，反之，当口2 0 时，不动 点不稳定。 由以上分析可知，在a l 和a 2 平面内，直线厶：a l 0 ，a l = 0 是 不动点稳定性发生改变的分界线，因此，通过求当参数取在直线厶和厶上的值时，系统 ( 3 3 6 ) 不动点的特征乘子的值就可以判断此映射发生的是何种分岔类型。 ( 1 ) 在厶上，将a 。 o ，a l = o 代入九。2 ，有 a ：业= 竺! ! 竺! 二三! ：l 2 i 一= f 一引 - 疋：竽：爿a 2 - x ( 乒a 2 - 2 ) 2 小妒 由此可知，当参数通过厶时，映射( 3 3 6 ) 发生周期1 不动点的加掰分岔。 综上所述，容易得到映射( 3 3 6 ) 在临界点a ；( o ，0 ) r 附近的局部动力学行为的双 参开折，如图3 1 所示 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 厶 l 岣 厶 j一f o l d 蜘蚯 _ 一 个 i足岛 l 山 岛 马 木 7 n 睁h c 砒i 山 图3 - 1 映射( 3 3 6 ) 的双参开折 f i g3 - 1 n l e 似。一p a r a m e t e ru n f o l d i n go f 廿1 em a p p i n g ( 3 3 6 ) 图3 一l 中，区域墨和恐的边界分别为厶： 0 ，a = o 。在区域马中， 不动点( o ，0 ) 是局部稳定的；在区域恐中，不动点( o ，0 ) 是局部不稳定的。在线厶上，发 生周期1 不动点的f l i p 分岔；在线厶上发生周期1 不动点的f o l d 分岔。映射( 3 3 6 ) 在( 口。，口2 ) = ( o ，0 ) 处发生f o l d f l i p 余维二分岔。 由中心流形定理可知，在多自由度碰撞振动系统研究中，p o i n c a r 6 映射( 3 1 ) 在 分岔 u c 的某邻域内的局部动力学行为与范式映射( 3 3 6 ) 在a = ( o ，o ) 7 某邻域内的局 部动力学行为是等价的。因此，通过对映射( 3 3 6 ) 的局部分岔行为的分析，就可了解 原系统在余维二条件下所出现的局部动力学行为。 3 0 ，西大掌硕士学位论文 多自由度碰撞振动系统的分岔研究 参考文献 【1 】刘延柱，陈立群非线性振动北京：高等教育出版社，2 0 0 1 2 】j g u e k e n h e i m e r ，ph o l m e s n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s ，d y n a m i c a ls y s t e m sa n db i f u r c a t i o n s o f v e c t o rf i e l d s s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，19 8