（应用数学专业论文）推广的lq问题和dubins问题——线性和非线性最优控制理论及其应用.pdf

摘要 本文分三部分对线性和菲线性最优控制理论作了介绍，重点讨论了 一种推广的l q 问题和d u b i n s 问题的求解 第一部分是对最优控制理论的简要回顾，给出了欧氏空间和一般流 形上的最优控制问题的表述，然后讨论了最优控制的存在性及求解问题， 把庞特里亚金最大值原理推广到流形上，最后介绍了动态规划的方法 第二部分是关于线性最优控制理论的，首先列出了线性控制系统的 一般理论，包括能控性、求解公式等；然后介绍了h i l b e r t 空间的一些理 论，作为后面讨论推广形式l q 问题的基础；最后总结了经典的l q 问 题的求解方法，引出了一种推广形式的l q 问题并且作出了进一步的发 展 第三部分重点介绍了非线性最优控制理论，首先灵活应用庞特里亚 金最大值原理解决了d u b i i l s 汽车问题；然后介绍了控制论中的n o e t h e r 定理，基于自身的刚体对称性完全解决了3 维情形的d u b i n s 问题；最后 给出了预辛约化的一般理论，利用它约化了3 维情形的d u b i n s 问题 本文给出了现代微分几何观点下最优控制理论的叙述，介绍了几何 控制论的一些重要结果和方法，并且应用它们介绍了推广的l q 问题和 d u b i n s 问题的求解，展示了几何控制论的特色和优越性 关键词l q 问题，d u b i n s 问题，庞特里亚金最大值原理，n o e t h e r 定理 预辛约化 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类：3 7 j 1 5 、4 9 k 1 5 ，7 0 g 4 5 、7 0 g 6 5 a b s t r a c t l i n e a ra n dn o n 上i n e a ro p t i m a 上c o n t r o lt h e o r yi si n t r o d u c e da st h r e e p a r t s ，t h es o l u t i o n so fag e n e r a l i z e dl qp r o b l e ma n dd u b i n sp r o b l e ma r e e m p h a s i z e d t h e6 r s tp a r ti sar e v i e wo fo p t i m a lc o n t r o it h e o r y t h ef o r m u l a t i o n o fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo ne u c l i d e a ns p a c e sa n dm a n i f o l d si sg i v e n ， t h e nt h ee 五s t e n c ea n ds o l u t i o no fo p t i m a lc o n t r o la r ed i s c u s s e d ，t h e p o n t r y a g i nm a ) ( i m u mp r i n c i p l ei sg e n e r a l i z e do n t om a n i f o l d s ，a t1 a s t d y n 锄i c a lp r o g r 啪m i n gm e t h o di si n t r o d u c e d t h es e c o n dp a r ti sd e v o t e dt o1 i n e a ro p t i m a lc o n t r o lt h e o r hf i r s t i y l t h et h e o wo f1 i n e a rc o n t r 0 1t h e o r yi sp r e s e n t e d ，i n c l u d i n gc o n t r o l l a b i l i t y a n ds o l u t i o nf o r m u l a s ；t h e ns o m er e s u l t so fh i l b e r ts p a c ei si n t m d u c e d a sab a s i sf o ri a t e rd i s c u s s i o no ft h eg e n e r a l i z e dl qp r o b l e m ；f i n a l l yt h e m e t h o do fc l a s s i cl qp r o b l e mi ss u h l a 越z e d ，ag e n e r a l i z e dl q p r o b l e m i sg i v e na n dd e v e l o p e d t h et h i r dp a r te m p h a s i z e dn o n l i n e a rc o n t r o lt h e o uf i r s t l y id u b i i l s c a rp r o b l e mi ss o l v e db yu s i i 培p o n t r y a 酉nm a x i m u mp r i n c i p l em i g h t i l y ； s e c o n d l y ic o n t r o lv e r s i o nn o e t h e rt h e o r e mi ss t a t e d ，3d i m e n s i o n a ld u b i n sp r o b l e mi ss 0 1 v e dc o m p l e t e l yb 8 s e do nr i 百ds y m m e t r i e s ；a t1 8 s tt h e p r o c e d l l r eo fp r 锶y i n p l e c t i cr e d u c t i o ni sg i v e na n d3d i m e n s i o md u b i n s p r o b l e mi sr e d u c e db yi t i nt h i sp a p e r ，o p t i m a ic o n t r 0 1t h e o r yi sf o r m u l a t e di nm o d e r nd i 髓卜 e n t i 缸g e o m e t r i c 、r i e w p o i n t ，s o m ei m p o r t a n tr e s u l t sa n dm e t h o d si ng e - o m e t r i cc o n t r o lt h e o r yi sg i v e n ，u s i n gt h e mt h eg e n e r a l i z e dl qp r o b l e m a n dd u b i i l sp r o b l e ma r es o l v e d ，t h ep o i n t sa da d v a n t a g eo fg e o m e t r i c c o n t r o lt h e o r ya r ed i s p l a 冰d k e y 、v o r d s ：l qp r o b l e m ，d u b i n sp m b l e m ，p o n t r y a g i nm a ) ( i m u mp r i n c i p l e ，n o e t h e rt h e o r e m ，p r e s y m p l e c t i cr e d u c t i o n m r s c ( 2 0 0 0 ) ：3 7 j 1 5 ，4 9 k 1 5 ，7 0 g 4 5 ，7 0 g 6 5 1绪论 最优控制理论是从2 0 世纪5 0 年代末6 0 年代初发展起来的现代控制理论的一 个重要分支它最初研究的对象是由导弹、航天、航空、航海中的制导、导航和控 制中所总结出来的一类按某个性能指标取最优( 达到极大或极小) 的控制问题性 能指标是刻划一段时间上系统的预期行为和实际行为之差的数学量，要求它是一 个时间的函数，使得性能指标达到最优的控制，称为最优控制最优控制理论是一 门有着严密的数学理论和广泛应用的现代应用学科许多数学工作者应用它的理 论和方法解决了大量的自然科学、社会科学、航天技术和工程设计问题特别值得 一提的是，最优控制发展到今天，早已突破了它的军事工程领域，而向着生态、环 境、社会经济和管理等领域渗透可以预期，在自然科学和社会科学交叉处生长起 来的边缘学科中，最优控制理论也将会大有用武之地 1 1 最优控制理论概况 最优控制理论可以分为集中参数系统、分布参数系统和用i t 6 随机微分方程描 述的随机系统的最优控制理论这三个系统是本质上不同的系统，集中参数系统是 具有有穷个自由度的物理系统，用数学语言讲，是用常微分方程描述的系统；分布 参数系统是具有无穷个自由度的物理系统，用数学语言讲，是用偏微分方程或者偏 微分积分方程组描述的系统；随机系统是具有可用随机变量或随机过程描述的不 确定因素干扰的系统本文所说的最优控制理论，仅涉及集中参数控制系统的最优 控制理论它包括线性和非线性两部分 庞特里亚金最大值原理和动态规划方法是最优控制的主要内容2 0 世纪5 0 年 代，原苏联的一些数学家和工程师组成的研究小组，在原苏联院士庞特里亚金的 领导下，开展了对非线性系统的时间最优控制问题的研究，导致了最优轨道和最大 值原理的发现最大值原理开创了在状态和控制都存在约束的条件下，用不连续的 控制函数来研究最优轨道的办法最优轭道的最大值原理的意思是，性能指标优化 的非线性系统的最优控制，使得该系统相应的h a m i l t o n 函数沿最优轨线取到最大 值最大值原理指出了对非线性控制系统求综合控制反渍率的一般原则，其数学思 想根源是变分学它通过引入开关函数和快速震荡函数的新思想，使变分学获得了 新的生机最大值原理最有意义的贡献是在6 0 年代初推动了最优轨道数值方法的 大规模的研究工作，从而导致了许多空间项目的成功设计最大值原理的出现是控 制理论划时代的进步。标志着最优控割理论发展的一个新阶段与里程碑 在同时代r b e l i m a n 动态规划原理和方法的出现，为系统的最优控制的研究 提供了新的思路和方法从概念上讲，动态规划方法是把原来的一族控制系统的最 优控制问题，考虑成按动态系统的初始状态参数化丁的最优控制问题它的数学内 容是这一族动态系统的最优控制问题的性能指标的最优值满足一个称为h m i l t o n _ j a c o b i b e l l m a n ( 缩写为h j b ) 偏微分方程一旦求得这个h j b 偏微分方程的解，则 可以求得最优反馈控制率、最优控制和性能指标的最优值2 0 世纪8 0 年代初，对 于h j b 偏微分方程的粘性解概念的引入，给出了一个不可微甚至不连续的函数作 为h j b 偏微分方程的解的精确意义粘性解的概念提供丁一个简单的准则来确定 解的唯一性，以及在摄动情况下的稳定性由于对h j b 偏微分方程的粘性解概念 的引入和粘性解的存在唯一性的解决，使得最优控制的动态规划理论出现了有意 义的新进展和严格的数学基础动态规划方法的重要性，在于h j b 偏微分方程理 论提供了开环和反馈之间的一种联系 1 2l q 问题和d u b i m 问嚣简介 l q 同题是线性二次型问题的简称，指的是在个线性系统上赋予一个二次型 性能指标的最优控制问题l q 问题是比较早地被人们重视的问题之一这一方面 是因为它比较容易研究，另一方面是因为许多实际问题可以简化为l q 问题来处 理具有二次型性能指标的控制系统，可视为一个调节系统所谓调节，就是使偏 离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能回到平衡位置 经典的l q 问题中，终止状态是自由的，容许控制类为可测函数类借助于最 大值原理和矩阵黎卡提方程的方法。该类同题已经得到圆满解决，成为最优控制的 经典案例之一本文还介绍了一类推广的l q 问题，它在定常系统上给定了定常形 式的二次型性能指标，并且给定了终端状态、把容许控制类缩小到平方可积函数， 讨论了最优控制的存在性和求解作者的工作是借助于h 曲e r t 空间理论，把上面 的问题推广到时变的情形并且给出了最优控制存在性的进一步的判据 同样，在非线性最优控翩理论中有一个著名的d u b i z l s 问题，首先为l e d u b i l l s 所精确描述，故得名最简单的情形是d u b i i l s 汽车模型：地面上有一辆汽车，它 可以做两种运动，匀速直线运动和圆周运动( 半径不能太小) 现在任意给定两点 及其上的速度，怎样驾驶才能从一点最快达到另一点? d u b i 问题具有自然的几何意义：以r 2 为例，考虑其中以弧长为参数的曲线 x ( t ) ，给定两点及其上的切线方向假定x ( t ) 可导，。( t ) 绝对连续，曲率小于等于 某个正常数，求连结两点曲线中最短的条因此，d u b i n s 问题又被称为。有界曲 率的最短路径问题” 由于d u b i i l s 问题简单明了又具有深刻的数学背景。故从1 8 8 9 年a a m w k o v 提出以来，引起了许多数学家的研究兴趣灵活应用最大值原理可以求出r 2 情形 d u b i m 问题的所有最优轨线本文所介绍的方法与d u b i i l s 在【9 】中第一次解决该 问题时的方法略有不同但有点令人惊奇的是，3 维情形的d u b i n s 问题却复杂得 2 多不仅以前的方法不再适用，而且得到的结论也出现丁本质上的不同j r e e d s 和l s h e p p 在 2 5 】中类推得到的c s c 假设，曾经被广为相信，但后来却被证明是 错的这其中的一个转折点是几何方法的引入，基于系统的对称性可以对该问题实 行约化，从而问题变得豁然开朗3 维情形d u b i n s 问题的解决过程有力地证明了 几何控制论的优越牲 1 3 最优控制理论中的几何方法 近些年来，几何控制论发展十分迅速并且在多方面获得了进展几何方法为非 线性控制系统的分析提供了强有力的工具，许多控制理论也被发现具有自然的几 何意义控制论、微分几何和李理论获得了内在的联系这在最优控制领域表现得 尤其明显最优控制问题和最大值原理可以自然推广到流形上，进而得到流形上的 h a m i l t o 或者l a f 8 n g e 系统，然后利用整体分析的方法对其进行处理和研究 对称性广泛存在于最优控制问题之中，对于这一类问题，可以用几何约化的 方法来减少空间的维数和简化系统的动力特性，以便于我们的求解经典力学中 的n o e t h e r 定理指出，对称性的出现会对应某种守恒律这条定理在控制论中有其 对应的形式，a j v 抽d e r s c h a 托和h js u s s m a n n 等作了开创性的工作，至今还在不 断发展之中它的一个重要应用是在3 维情形d 曲i n s 闯题的求解中发挥了关键作 用 1 4 本文的主要工作 线性和非线性最优控制理论之间既有相似之处更有重大区别当系统为线性 的时候，解可以由转移函数表出，特别是在定常情况下，转移函数有具体表达式， 这就为我们的分析提供了十分便和之处另一方面，在最大值原理基础上获得的 h a m i l t o n 函数关于控制的偏导呈现相对简单的形式，往往可以求出最优反馈率，从 而完全解决最优控制问题非线性的情况则复杂得多，对它的研究也不够彻底，许 多方面还有待进一步深入这个领域的研究有一个十分明显的特点，那就是多种数 学理论和方法的综合运用，包括非线性泛函分析、代数、和微分几何方法等等 本文对线性和非线性最优控制理论及其应用分别做了介绍，根据研究的内容， 本文共分六节第一节，介绍了最优控制理论的历史和现状，引出了两个有代表性 的问题：l q 问题和d u b i n s 问题，这里说的l q 问题包括一种推广形式的l q 问题， 然后简要介绍了非常有代表性的几何方法并指出了进一步的研究方向第二节，用 微分几何的语言重新阐述了最优控制理论并把其推广到流形上，便于后面用几何 的理论和方法解决问题第三节是对线性控制系统和l q 问题的一个回顾，重点介 绍了一种推广形式的l q 问题并将其发展到时变情形第四节，讨论了d u b i n s 汽 车的求解，它是一个流形上的相对简单的非线性最优控制问题，其求解有赖于灵活 3 应用最大值原理并且具体问题要具体分析最后，说明了平行推广到3 维情形的 c s c 假设是错误的第五节介绍了控制论中的n o e t h e r 定理，借助千得到的不变 量分析并且完全解决了3 维的d u b i n s 问题第六节是关于预辛约化理论及其应用 的，在最大值原理的基础上。最优控制问题有一种自然的预辛描述，得到了一个预 辛h a m i l t o n 系统，从而可以使用约化的方法来简化系统的结构作为应用，我们 用它来分析了3 维d u b i n s 问题的求解 1 5进一步的研究方向 综上所述，本文对于线性和非线性最优控制理论作了介绍，并研究了两个非常 有代表性的问题：l q 问题和d u b i n s 问题但是，d u b i j l s 问题也可以推广到一般 的2 维流形上，这部分内容可以参看【2 2 】几何约化理论方面，还有许多的发展空 间，例如可以考虑最优控制问题的h a i n i l t o n 方程的完全可积系统的性质如何找 出控制系统的对称性，如何更自然的与n o e c h e r 定理结合，还有如何找出更简单的 算法，将会成为进一步的研究方向 4 2 最优控制理论回顾 2 1 欧氏空间和流形上的最优控制问题 首先写出欧氏空间上的最优控制问题的数学表述 问题2 1 1 今w = 矿矿cr “，坐标为( 口。，。) ( 2 = l ，m ；口= 1 ，n m ) ，( q 为状态空间矿cr m 的坐标， 矿) 称为控制变量或者控制空间c ，cr 的坐标，容许控制类d 取为可测函数类最优控制问题是找出c 1 类曲线“妙 起话状态口( t 1 ) = q l ，终端状态口( 0 2 ) = q 2 或者不固定，使得满足微分方程 4 ( t ) = p ( 口( t ) ，u ( t ) ) ( 211 ) 并且极小化性能泛函 s h 卜fl ( q ( t ) ，u ( t ) ) d t j t l 其中f ，l c o 。( w ) 这个问题的解称为最优轨线，对立的控制称为最优控制 现在把最优控制问题推广到一般的流形上 问题2 1 2 状态空间为微分流形0 ，局部坐标为t q ( 。= 1 ，2 ，m ) ，有一个矢量 丛f ：e _ 丁0 ，其纤维是控制变量 u 。) ( o = 1 ，2 ，n m ) ，控制集为uc r i 给定一个沿丛投射的向量场x ：e _ r ar 即勺。x = 丌，：t q 一0 表示标准 投射，和一个l n 9 m 瑚e 函数l c o 。( e ) 考虑曲线族，：【 1 ，嘲一e 满足微分方 程 丁才。= ( 。y = x 。，( 2 l - 2 ) 并且起始状态为g i ( t 1 ) = q i ，终端状态为畦( t 2 ) = 畦或者不固定最优控制问题是 在曲线族1 中寻找一条来极小化性能泛函它( 1 ( t ) ) d 亡 我们可以看出，问题2 1 2 可以用一组元( e ，q ，j yl ) 来表示 注记2 1 3 根据终端状态是否给定，可以分为固定终端状态和自由终端状态的最 优控制问题 注记2 1 - 4 问题2 j 是问题0 2 在欧氏空间的特殊形式 2 2最优控制的存在性：f i l i p p o v 定理 问题2 1 1 和问题2 1 2 中最优解是不一定总存在的我们已经知道许多不存在 最优控制的例子但是，我们有下面的定理保证一大类最优控制问题的最优解的存 5 在性详细论述参见1 2 】 定理2 2 1 ( f i l i p p o v 定理) 问题2 2 中，若控制桌矿为r ”中的紧集，并且存 在口中的紧桌咒使得x 阳，计= 以q # k ，v ，且速度桌 j 白( q ) = x “，口) u u ) c l 0 ，口q 是凸集，则最优控制存在 2 3 欧氏空问和流形上的最大位原理 最优控制理论最有力的工具是庞特里亚金最大值原理( 以下简称p m p ) 我们 先给出欧氏空间当中的p m p ，然后给出它在流形上的形式 对于问题2 1 1 ，考虑状态空间v 的余切空间丁y ，其坐标用 矿，m ) 表示，则乘 积空间u t + 矿的坐标为 q i ，p i ，u o ，然后写出一族h a m i l t o n 函数 日( 口，p ，u ) c g ( 矿t y ) ， 日( q ，n ) = a p ( g ，缸) 一p 。工( g ，u )( 2 3 1 ) 这族h m n t o n 函效的参量为控制变量，p 0 可以视为另一个参数我们有： 定理2 3 1 ( p m p ) 若口俐为问题2 j 的最优轨线，则在露y 中存在它的伴随 轨发p 俐，使得 ( g ( ) ，p ( t ) ，u ( t ) ) 满足日d m d 幻n 方程 口i = 掣，a = 一掣，i = - ，z ，一，m ；( 。矗。) r 叫日( q ( t ) ，p ( t ) ，( t ) ) =日t 。( 口( t ) ，p ( t ) ) m n z 日( 口( t ) ，p ( ) ，u ) ：u 矿) = o ， o e t p l ，e 2 ；( 2 3 ，3 ) 一叫( p ( t ) ，m ) o ，n _ e t 【t 1 ，t 2 】； 一训p o 0 j m 当g ( 0 2 ) 自由时，有p ( 0 2 ) = o 对于问题2 1 2 ，同样可以引入一族h a i n i l t o n 函数h ( p ，q ，u ) ce 。( c ，t q ) 日( 吼p 1u ) = 一p o 工( q ，“)( 23 4 ) 其中 表示切空间和余切空间的配合 6 记r 0 中的典则辛形式为u ，那么对于任何一个c0 0 。( t q ) ，都存在向量 场r 芏( t q ) 使得 r 称为h 对应的h a m i l t o n 向量场，记为珂 在问题2 1 2 中，给定u 矿，记上k ( q ，p ) = h ( g ，p ，u ) v u ，则h 。g o 。( t q ) 其 对应的h a i i l i l t o n 向量场为e k 定理2 3 2 ( p m p ) 若m 俐，g 俐，为问题未2 中的最优轨线，则在丁国中存在一 条曲线7 ( t ) = ( 口( t ) ，p ( t ) ) 使得： ( t ) ( ) = 风。( 7 ( t ) ) ， ( 2 0 上( ) ( 1 ( t ) ) = m d z j 毛( 1 ( t ) ) = o ne t 1 ，2 ， ( i i t ) ( p ( t ) ，j 口o ) o ， n et f l ，2 】， ( t u ) p 0 0 ， ( u ) 当q ( 屯) 自由时，p ( t 2 ) = 0 定义2 3 3p m p 中的曲线p 称为伴随轨线曲线、( o ) = ( 口( o ) ，p ( t ) ) 称为共轭轨 线 定义2 3 4p 川- p 中，若伽= 0 ，则称该最优控制问题为异常的否则称为正常的 本文中，除非特别说明最优控制闻题指的是正常的此时不失一般性令 p 0 = 1 ， 2 4 动态规划方法 下面简单介绍动态规划方法首先给出最基本的原理 定理2 4 1 ( 最优性原理) 设“( t ) 是问题未吖自由终端) 的最优控制，z + ( ) 为对应 的最优轨线，则对任意的f p l ，蚓，u + ( f ) 左区间卜f 2 】上截取的部分是自rt ( 一) 出发的最优控制 在给出h j b 方程之前我们先给出相关的概念 定义2 4 2 对于问题2 i r 自由终端j ，定义最优值函数 y ( t q ) 皇m i n z “( 轧( r ) u ( r 1 ) 打i ue 【i a 轧( r ) = q ) 41 ) 并且规定y ( t 2 ，口) = o 定义2 4 3 ( 可达集) 如下定义的置“+ 1 的子集r q 称为问题2 j j 的可达集 r q 垒 ( f ，g ) | f l t t 2 ，口为某一容许轨线在 时刻的取值 定理2 4 。4 设心酣为集合r 口的内点，函数y 在化g j 处可徽，则对于所有u e ，y 心鲥满足下面的关糸式 g 州) 圳口，u ) + 罾卅罾g ) f ( 口，u ) o 若u + 为最优控制，则 ：静g ( ，# ) 2 o ， ( 2 4 2 ) 且最小值在u 取时刻t 的右极限u ( 件) 处取到 方程( 2 4 2 ) 是问题2 1 1 的动态规划基本方程称为h a m i l t 。n j c o b i - b e l l m a n ( 缩写为h j b 方程) 在定理2 4 4 中，它是以最优控制的必要条件给出的事实上，在 一定假设下，此方程还是容许控制成为最优控制的充分条件，它可以用定理的形式 表述如下： 定理2 4 5 设具有一阶偏导数的函数晰，为动态规划偏微分方程偿4 到的解 且满足边界条件 w ( 0 2 ，g ) = 0 再设u 以d ，口为与之相对应的轨线，h 怕口j 作为的函数满足下列条件 地，u ( ) ) + 掣 0 如果u 乩d ，相应的轨线为口+ ，作为。的函数( t ) 满足下列条件 地沁m 啪+ 掣_ o ， 耳p 酬咄u 唧) ) + 警心q l ( t ) ) + 警q - ( t ) ) f ( q 沁m 啪_ 0 ， ( 2 4 1 3 ) 则矿为最优控制且渺r 一= w t ， 8 3线性最优控制理论和l q 问题 线性系统相对简单，它的解可以由转移函数表出，当赋予其一个二次型性能指 标时，便构成了一个线性二次型最优控制问题本章首先回顾线性控制系统的基本 性质，然后用p m p 和动态规划方法分别求解了经典的l q 问题，接着着重介绍了 一种推广形式的l q 问题，利用希尔伯特空间的理论解决了它最后本节发展了上 面的结论，并把这种l q 问题推广到时变情形，得到了自己的一类判别准则 3 1 线性控制系统简介 我们列出线性控制系统的定义和有关性质，更详细的描述和证明可参看f 3 2 1 线性控制系统的动力特性是由下面的线性微分方程给出的： 叠( f ) = a o ) z ( f ) + b ( ) “( o ) ，( 3 1 1 ) 其中z ( t ) r “，u ( ) r “，4 ( ) 是连续的n n 时变矩阵，b ( t ) 是连续的n m 时 变矩阵 特别的，当矩阵 ( t ) ，b ( t ) 是定常矩阵时，即 ( ) = a z 0 ) + b u 0 ) f 3 12 1 时，称其为定常线性控制系统 线性控制系统的一个重要特性是解可以由转移矩阵表出记( 3 1 1 ) 的转移矩 阵为圣( t ，r ) ，起始时刻为o o ，起始状态为o o 定理3 1 1 线性控制系统( ，jj ) 的解为 ，c o ( t ) = 母( t t o ) z o + m ( t ，s ) b ( s ) u ( s ) d s ( 313 ) j 如 特别的，系统( 3 1 2 ) 的转移矩阵为e 。( 。一”，则 推论3 1 2 线性控制系统( ，j 2 ) 的解为 ， z ( t ) = e 。( “。) z o + e 4 ( b u ( 3 ) 缸( 3 14 ) j t o 能控性是控制系统的基本特性 定义3 1 3 ( 能控性) 系统( 3 j ) 称为在t f o 时刻是完全能控的( 简称能控的) 如果对任意z o 2 1 丑“，都存在控制u 使得对应轨线z 满足z ( o o ) = 。o ，z ( ) = t i 若系统在 t o ，t 1 1 内任何时刻能控，则称之为在，f 1 1 内能控的 下面给出系统( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 能控性的判断依据 9 定理3 1 4 系统( jj 功在 t o ，t 1 】内能控当且仅当r n n 七p ，a b ，a “一1 b 】= n 定理3 1 5 系统( 童ji ) 在【t o ，t l 】能控当且仅当对任意 t o ，1 】，存在f 使得函数矩阵垂( o ，r ) b ( r ) 的行向量线性无关 3 2h i l b e r t 空问理论 在分析后面推广形式的l q 问题时，需要用到h 此e r t 空间的一些结果，我们 把它总结如下，详细的描述可以参看文献【8 】和【2 6 】 设h 为一个h n b e n 空间。h + 为其对偶空间 定义3 2 1 ( 弱收敛) ：n = o ，l ) ch ，若对任意，都有，。) 一 ，( u o ) ( n 一) ，我们称 u 。) 弱收敛于“j o ，记为u 。二u o 岫称为 坼。：n = 1 ，2 ，) 的弱极限 定义3 2 2 ( 弱拓扑) 任意，o 日气令桌族( g = 疗1 ( ) i 为r 中的开桌 为 日中的开集族时，得到的拓扑称为由，0 定义的弱拓扑，记为u ( 日，0 ) 若日上定义 了一族拓扑五( a ) ，称丁为 五l a a ，的总和，是指丁的拓扑基是由任意有限个 五的拓扑基中的元之交组成，并记为丁= v 五特别地，称拓扑o ，日。u ( 日，) 为日上的弱拓扑，记为u ( 日，日) 定义3 2 3 ( 弱紧) ac 日在弱拓扑下为紧的，则称a 为弱紧的 定义3 2 4 ( 弱序歹紧) ac 日中的任何一列元都有弱收敛的子列，则称a 为弱序 列紧的 定理3 2 5 日的单位闭球是弱( 序列) 紧的 定义3 2 6 ( 弱下半连续) t 是日上的泛函，z o ，著对任意e o ，都可以找到 。o 在弱拓扑下的一个邻域d ，使得任意掣d 有t 。o 一丁9 e ，则称t 在工。处弱 下半连续若t 在日的每一个点都弱下半连续，则称t 在日上弱下半连续 定义3 2 7 ( 弱连续) 把定义只2 占中的t z o t 掣 e 换为 t z o 一功 0 ，驯存在n 0 ，使得 j ( u ) o 1 2 ，讯u ( o ，0 ) ， 或者等价地有 i n f ( j ( u ) 训= l ，u 矿( o ，o ) o 由引理( 3 4 3 ) ，我们可以得到 引理3 4