毕业论文-利用二次型理论求二次函数的极值.doc

利用二次型理论求二次函数的极值时方方, 数学计算机科学学院摘 要：二次型是线性代数的重要内容之一，本文用二次型理论给出了多元二次函数极值的求法。首先，沿用得到一般多元函数存在极值的必要条件的思想给出并论证了多元二次函数存在极值的必要条件；其次，为了进一步判定极值的存在以及当极值存在时是极大值还是极小值，利用多元二次函数对应矩阵的正定性给出其充分条件；最后基于必要条件和充分条件总结了求极值的一般方法。这一方法最终体现在对多元二次函数本身的系数对应线性方程组的解和对应矩阵的正定性进行讨论，并且在极值存在时，给出了求极值的明确的表达式。关键词：二次型；矩阵；二次函数；极值。Make Use of Quadratic Form to Seek Quadratic Function ExtremeShi Fangfang，College of Mathematics and Computer ScienceAbstract: Quadratic is one of the important contents of linear algebra theory, this paper presents with quadratic multiple quadratic function of extreme method. First, continue to get general multivariate function of the necessary conditions for the existence of the ideological extreme are demonstrated and a multiple quadratic function of the necessary conditions for the extreme. Secondly, in order to determine the existence of extreme value and when there is great value when extreme or minimum, using multiple quadratic function of the corresponding matrix is given its qualitative sufficient conditions. Finally based on the necessary and sufficient conditions for the extreme summarizes the general method. This method is embodied in the final of the coefficient of a multiple quadratic function itself of linear equations corresponding solution and the corresponding matrix are discussed, and the qualitative extreme, given the explicit expression of the extreme.Key words: Quadratic form; Matrix; Quadratic function; Extreme1引言 求多元函数的极值是实际中常常遇到的重要问题。求一般多元函数的极值，可以应用二次型的理论。我们已经知道: （1）多元函数存在极值的必要条件：若点是函数的极值点，并且偏导数存在，则函数在该点的梯度必然为零，即.（文9） （2）多元函数极值存在的充分条件：设函数在点的某个邻域内具有直到二阶的连续偏导数，且在该点的梯度，则当黑塞矩阵为正定矩阵时，为的极小值，当黑塞矩阵为负定矩阵时，为的极大值，当黑塞矩阵为不定矩阵时，不是的极值。(文9) 由此可见当多元函数在驻点处的黑塞矩阵是半正定或半负定时，多元函数在驻点处可能取得极值，也可能不取得极值。也就是说，这种利用二次型理论的方法有失效的情况。而对特殊的多元函数，即多元二次函数，却不存在这个问题。以下给出多元二次函数存在极值的必要条件和充分条件，以及当极值存在时，求极值的一般方法。2预备知识 为了讨论的方便,先列出文中所用的定义及所用命题:定义1 设P是一数域，一个系数在数域P中的的二次齐次多项式 称为数域P上的一个元二次型，或者，在不致混淆时简称二次型。令由于，所以二次型可以写成当为实数时，称为实二次型。 定义2 若二次型经可逆线性变换变为只含平方项的形式，则称之为二次型的标准型。命题1：实二次型都可以通过非退化线性替换化为平方和:，进一步可化为标准型： 实二次型的化简方法有：（1）配方法；（2）偏导法；（3）雅可比法（4）初等变换法；（5）正交变换法。（文1，5）定义3 设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数c1，c2，cn，如果都有，那么称为正定的，矩阵A为正定矩阵；如果都有，那么称为负定的，矩阵A为负定矩阵；如果都有，那么称为半正定的，矩阵A为半正定矩阵；如果都有，那么称为半负定的，矩阵A为半负定矩阵；如果它既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的，矩阵A为不定矩阵。 定义4 设函数在点的某邻域内有定义，若对于任何点，成立不等式（或），则称函数在点取得极大（或极小）值，点称为的极大（极小）值点。极大值、极小值统称极值。极大值点、极小值点统称极值点. 命题2 （线性方程组有解判别定理） 线性方程组 有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵 有相同的秩。（证明见文1） 令 则线性方程组就可写成矩阵的等式. 定义5（元二次函数的一般形式） 任何一个元二次函数总可以写成如下的一般形式 (1) 其中是任意实数， 在（1）中第一部分是一个二次型，这个二次型的矩阵为对称矩阵 我们称此对称矩阵为元二次函数（1）的矩阵。 若记 则（1）又可写成 (2) 3主要结果 为了给出用二次型理论求多元二次函数极值的一般方法和步骤，我们先讨论多元二次函数存在极值的必要条件以及充分条件，最后举例说明此方法和步骤并给出相关的注意事项。3.1 多元二次函数存在极值的必要条件 由于多元二次函数（2）在任一点连续，而且有任意阶连续偏导数，所以与得到一般多元函数存在极值的必要条件的思想一样，对多元二次函数存在极值的必要条件，有如下定理1。 定理3.1.1 多元二次函数（2）的极值点 一定的方程组 (3)的解。 证明 由于（2）对的偏导数都存在，所以，如果是（2）的极值点，则与得到一般多元函数取得极值的必要条件的思想一样，定有 ,即 故 由此定理，要想求（2）的极值，只需先看（2）对应的方程组（3）是否有解。若（3）无解，则（2）不存在极值；若（3）有解，则其解是可能的极值点。3.2 多元二次函数取得极值的充分条件 当方程组（3）有解时，其解的情况是：a） 时，（3）有唯一解（这里表示矩阵的秩）；b） ，（3）的解可表示成，其中是（3）的任一特解，是（3）对应的其次方程组的通解。 在上述两种情况下，如何进一步判定（3）是解是否是（2）的极值，以及的极值点时，是极大值点还是极小值点，这就是多元二次函数取得极值的充分条件的问题，对此，有如下定理2.此定理同时也给出了是极值点时，求极值的明确表达式。定理3.2.1 若，且是正（负）定矩阵，则（3）的唯一解是（2）的唯一极值点，是极小（大）值点，极小（大）值为；若，且是半正（负）定矩阵，则（3）的解是（2）的极小（大）值点，极小（大）值为（广义极值）；若，且是不定矩阵，则（3）的解不是（2）的极值点，即（2）无极值。 证明 由是（3）的解及是对称矩阵知：这样对的邻域中的一点，其中有： 上式右端是以多元二次函数（2）的矩阵为矩阵的二次型，所以若，且是正（负）定矩阵时，总有，这样就知（3）的唯一解是（2）的唯一极值点，是极小（大）值点，极小（大）值为；若，且是半正（负）定矩阵，总有，这样就知（3）的解是（2）的极小（大）值点，极小（大）值为（广义极值）；若，且是不定矩阵，存在不全为零的数及不全为零的数使得， 对任意的，取于是 这样对，点,使 同样可证在的任何邻域中存在点，使，因此方程组（3）的解或都不是（2）的极值点，此时（2）无极值。 由此定理，要想进一步判定（3）的解是否为元二次函数（2）的极值点，以及的极值点时，是极大值点还是极小值点，只需看元二次函数的矩阵的正定性，与原二次函数的一次项及常数项无关。而且当（3）的解是极值点时，极值可完全由（3）的解及元二次函数的系数确定出来。3.3 求多元二次函数极值的一般方法 综合以上讨论可得求多元二次函数极值的一般方法和步骤如下： 第一，先写出多元二次函数所对应的，对矩阵进行行的初等变换，看看方程组(3)是否有解。无解时，断言多元二次函数没有极值，有解时把解求出来; 第二，对进行合同变换，判断的正定性，从而由定理2断言的解是否为极值点，及是极值点时，是极大值点还是极小值点，并把极值求出来。 注1 由于的正定性与无关，即与方程组是否有解及其解是什么无关，所以，若先判定了为不定阵，则可直接断言多元二次函数无极值。3.4 举例说明求多元二次函数极值的一般方法和步骤 例1 讨论是否有极值，若有极值，把极值求出来。 解：这里 可见，而，所以方程组无解，因此所给四元二次函数不存在极值。例2 讨论是否有极值，若有极值，把极值求出来。 解：这里 可见，所以方程组有解，其解是，其中为任意实数。又 ，可见是半正定的，所以由定理2知所给四元二次函数有极小值，极小值点是，即 极小值是.例3 讨论是否有极值，若有极值，把极值求出来。 解：这里， ， 可见是不定矩阵，所以由上面注1知所给四元二次函数无极值。 注 例3中，如果对进行合同变换后发现是不定矩阵，则仍需象例1和例2那样对进行行的初等变换，才能最终解答问题。所以例3的情况是特殊的，例1和例2才的一般方法。结 论 本文用二次型理论给出了多元二次函数存在极值的必要条件和充分条件，以及当极值存在时，求极值的一般方法,此方法非为两步，即：先写出多元二次函数所对应的，对矩阵进行行的初等变换，看看方程组(3)是否有解，无解时，断言多元二次函数没有极值，有解时把解求出来;然后对进行合同变换，判断的正定性，从而由定理2断言的解是否为极值点，及是极值点时，是极大值点还是极小值点，并把极值求出来。这一方法最终体现在对多元二次函数本身的系数对应线性方程组的解和对应矩阵的正定性进行讨论，并且在极值存在时，给出了求极值的明确的表达式。此方法的核心体现在对多元二次函数的系数构成的矩阵进行行的初等变换，所以这一方法是简明易行的。参考文献：1王萼芳，高等代数教程M,北京：清华大学出版社，20052华东师范大学数学系.数学分析（第三版）M,北京：高等教育出版社，20053陈重穆.高等代数M,北京：高等教育出版社，19904申玉发，郑国萍.求n元二次式极值的一般方法J,河北农业技术师范学院学报，1994,8:20-24 5郭佑镇.实二次型的化简及应用J,渭南师专学报，2002，52:3-66张禾瑞，郝炳新.高等代数（第三版）M,北京：北京教育出版社，19837董丽华.二次型理论的几个应用J,丹东师范学报，1999，78:47-488程国，刘亚亚.求多元二次函数极