（应用数学专业论文）一类半线性椭圆方程解的存在性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 本文考虑如下方程 中文摘要 j 一“一静u = k 1 2 一2 让+ e k ( z ) u ， iu 9 1 ，2 ( r ) ，钍 0 解的存在性其中n 3 ，2 。= 青笺，1 口 丙n j + 2 ，p ( o ，厨) ，口= i 盟孚， k ( x ) g ( ，) ，9 1 , 2 ( 兄) 代表卵( r ) 关于范数i l u l l = ( 厶，1 w 1 2 如) i 1 的完备化 空间 文中，运用扰动方法对上述问题进行研究首先给出运用扰动方法的前提条件、 基本思想以及用扰动方法处理问题的一般步骤，之后按照这样的思路，对上述问题 进行探讨，得到本文的主要结论 本文的主要结论是： 定理若( z ) c ( n ) nl 1 ( r ) nl 。( 兄v ) ，惫( z ) 定号，且一o 。，k ( x ) 一， p 0 ( 1 ) w h e r en 3 ，2 = 音与，1 口 而n + 2 ，p ( o ，口) ，口= i 曼! i 壁，忌( z ) g ( r ) ， 参1 卫( r ) d e f i n e da st h ec o m p l e t i o no fe 富o ( r ) w i t hr e s p e c tt ot h en o r m r i i “f i = ( i v u 2 u z j 。1 j r “ i nt h i sp a p e r ，w ew i l lu s ep e r t u r b a t i o nm e t h o dt od e a lw i t ht h i sp r o b l e m f i r s t l y , w ew i l lo u t l i n et h ea b s t r a c to ft h i sm e t h o d ，i n c l u d i n gp e r c o n d i t i o n ，b a s i c i d e a r sa n dg e n e r a ls t e p s t h e na c c o r d i n gt ot h e s e ，w e $ t u d yt h ep r o b l e ma n dg e t t h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e r t h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e ri s ： t h e o r e m i f k ( x ) c ( r v ) n l l ( r 。) n l 。( r ) ，岛( z ) h a sc o n s t a n ts i g n ，a n d w h e n 叶。o ，膏( z ) 扩， 0 其中才= 面2 n ，口( o ，皿) ，皿= 坐，1 a 、7 其中n 3 ，2 ：；暑笺，1 0 ，c 0 和光滑函数u = “，( 肛，) ：( 0 ，+ o 。) ( 一e 0 ，o ) _ 9 1 , 2 ( ) ，使得对v p 0 和e ( 一c 0 ，知) ，满足 ( 1 ) 。( p ，e ) 上7 乞z ， ( 2 ) z ( 知+ “，( e ，p ) ) 毛z ， ( 3 ) i i 田( 店e ) f l 一0 ，当e 一0 我们构造流形互= + 叫( ) ：气z ，弘r ，p o ) ，证明方程( 2 1 ) 所对 应的泛函五( u ) 约束在磊上的临界点为工( u ) 的临界点 定理2 2 在引理2 1 的基础上，我们选择旬 0 ，使得对所有的h 旬，五约束 在磊上的每一个街界点均为五的临界点即，若乱z c 且f i 五( 乱) = 0 ，则有 z ( 让) = 0 由以上结论可知，我们只需证明方程( 2 1 ) 所对应的泛函五( u ) 约束在磊上的 临界点存在。就可以解决我们要研究的问题 下面证明，e ( “) 约束在互上的临界点的存在性 首先定义函数f ：( 0 ，+ 。) 一r ，r ( p ) = 玉詹( z ) 彳矿1 ( z ) d z ，证明如下引理； 引理2 3 五约束在磊上的临界点对应于r ( p ) 在( o ，+ o o ) 上的临界点记嚷( p ) = ，e i 互，即要证明唾( ) 可以写成哦( 肛) = f o ( z o ) 一南r ( 肛) + o ( e ) 由引理2 3 ，对，约束在互上的临界点的存在性的证明，就转化为对更加简 单的函数f ( p ) 在( o ，+ o 。) 上的临界点存在性的证明 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引理2 4 若七( z ) c ( n ) nl 1 ( 戽。) nl ”( r ) ，七( 。) 定号，且当例一o 。 血( z ) 。芦，p 0 和光滑函数u = u ( 肛，e ) ：( 0 ，+ o o ) ( 一o ，印) 9 1 ，2 ( 月) ，使得对v p 0 和e ( 一6 0 ，e o ) ，满足 ( 1 ) u ( ，e ) 上2 z z ( 2 ) ( 知+ u ( e ，p ) ) z 。z ( 3 ) j l u ( p ，e ) i i 一0 ，当e 一0 证明 定义h ：( 0 ，+ o o ) 9 1 , 2 ( r ) r r _ 9 1 , 2 ( r u ) r 日( “u ，卢，e ) ：= ( ( 知+ “，) 一励，( u ，q ) )( 3 1 ) 其中q 代表鲁的单位切向量，p r 若h ( u ，甜，p ，f ) = ( 0 ，o ) ，则u 满足( 1 ) ，( 2 ) ， 而h ( u ，u ，卢，e ) = ( 0 ，0 ) 成立的充要条件是( “，p ) = 兄，。 ，卢) ，即 h ( u ，u ，e ) = ( 0 ，0 ) ( “，卢) = 兄，( u ，p ) 兄“u ，p ) = 一( 麦葶击( 胁o ，o ，o ) ) - 1 日( 肛，“，e ) + ，p ) 现将证明( 1 ) ，( 2 ) 转化为证明，卢) = 日，。( “，p ) ，即证 ( 口) 硒o h 万( 肛，0 ，0 ，0 ) 是可逆的，( 万丽o h ( 胁o ，0 ，o ) ) 一1 是有界的 ( b ) 存在p o 0 ，e 0 0 ，使得，当l c | 0 ，使得当i e l e 0 时，耳。p ，p ) ：b 品( o ) 一( o ) 为 压缩映射 ( n ) ( 6 ) 证明完毕，即结论( 1 ) ( 2 ) 成立，下面证明结论( 3 ) 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 记磁。是日e 的k 次迭代，且r g , 。( o ，o ) = ( o ，o ) 由咒，。( “，国：( o ) 一( o ) 是压缩映射，故存在0 0 ，使得对所有的 0 且( 一e o ，+ e o ) 时，由引理2 1 ( 1 ) 对所有的p 0 两边关于“求导，有 = 0 + - - - - 0 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由引理2 1 ( 2 ) 知，存在常数c 和某个钆，使得f ( 钰+ “，( p ，e ) ) = c 布故有 0 = = = c ( j j 矗ij 2 + ) = c d ( 1 l z o l l 2 一 ) d 0 由于i i z o l l 2 0 ，当e 充分小时，由引理2 1 ( 3 ) 知 充分小，所以 i i z o l l 2 一 大于0 ，从而c = 0 故对任意u = 缸 4 - u ( “e ) 互，有( 知+ u ( p ，e ) ) = 0 由定理2 2 的结论，我们只需证明方程( 2 1 ) 所对应的泛函f ( 仳) 约束在磊上 的临界点存在，就可以解决我们的问题 为7 研究方便，我们定义7 一个函数r ( p ) = j r - 七( z ) ”( z ) 出，且能够证明对 f ( “) 约束在互上的临界点存在性的研究，可以转化为讨论r ( p ) 在( 0 ，+ o 。) 上临 界点的存在性即要证明引理( 2 3 ) 引理2 3 工约束在五上的临界点对应于r ( “) 在( 0 ，+ o o ) 上的临界点记中。 ) = , i z ，即要证明圣e ( p ) 可以写成吐( p ) = f o ( z o ) 一南r ( p ) + d ( e ) 证明 对所有的p 0 ，我们首先证明矗( 知) = 而) ，其中知= 一等翔( ：) 知( 钆) = ；扣v ( p 一孚缅( 丢) ) 1 2 一静芦一学2 瑶( 出一刍融一孚钿( 三) 】熬如 = - ( n - 2 ) 扣v 徇( 舻一静罐( 三) 】出一万ip 一一n - 2 而$ n 询( ；) 箍出 7 1 - n + 2 i v 劲( 耖一静瑶( 弘一f 1p “匈( 盖) 箍如 令詈= 矗) = 矿i n + 2 【壶l v 却1 2 一阡z 0 2 1 出一虿1 芦- n 葡鹅如 = 扩+ 2 旷2 扣v 酬2 一等吵删出可1 - n # n 郇) 鹞疵 = 狮v 删可z 2 ( 纠妒去础) 鹊出 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 故o ( z p ) = f oc z o ) 垂。( p ) = 五( 4 + u ( 芦，e ) ) 令 则 = 狮v 知+ w 1 2 一静( 知刊2 出一去( 钆刊2 i 一南婚) ( 钆) 叶 = ；( v 艺一砰钆2 一去彳) 如+ ( v 却v u 一许和u ) 如 + i f ( v u = - 南d z 一! i 川r 一彳】如 一南) ( 和川州如 = 厶( 缸) + 扣训2 一i 备厂南( z ) 名“如一去【( 钆+ u ) r 一彳一2 + 巧2 * - - 1 u 】出 一南厂) 【( 钆+ ua + l - - 带+ 1 d x 由不等式 琏( 功= 去- 厂【( + u ) 矿一万一2 彳- 1 w ) + 南堆) ( 知+ 矽+ 1 一筇“】如 皿( 删冬去厂i ( 知+ u ) r 一彳一2 + 。1 u l 如 + 南f l 七( 堋知+ u ) 州一矿1 】如 c 料u ，p _ z p _ p z p - 1 w _ 。舻c ( z ，p - 2 w 2 + w p ) , 。 2 2 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 口j 得 i 皿( 删万c f 知2 * - 2 u 2 + u 2 ) 如+ i 暑厂愀圳阻叶1 + ( q + 1 ) 筇u 】出 饧【* - 2 0 j 2 如+ u 2 如+ u 2 如+ i e , j u i 叶1 如+ h 布川如】 c 3 1 | u 0 ，p ) 0 2 + i i u i l 2 + + i i u i i 口+ 1 + i e 川u 】 _ o 丽e 毕 1 3 第四章存在性结果 在这一节中，我们讨论r ( 肛) 在( o ，+ o 。) 上的临界点存在性，证明第二章中的弓 理2 4 以及定理2 5 引理2 4若后( z ) c ( r n ) nl 1 ( 冗) nl o o ( r ) ，后( z ) 定号，且当i x l o o ， 盘( 。) 一霉口，多 q 三警型：盟一n ，则 当肛，0 ，r ( p ) 一0 当p - o o 上【川一u r ( 卢) 0 证明运用h 6 1 d e r 不等式 k ( 端“( 三) 出( 删衅1 ( 妒1 ) ( 嘲5 = ( 耐删寺 【舻( 丢) d 卅南) 口+ 1 = ( 删t 7 1 匈( 泸 = ( ) 而如) 掣动( 丢) 8 捌孚 ：卢! 学i i k ( z ) l l ，而恻i 苗1 其中令陋+ 1 ) t = s ，f = 云南 i r ( u ) l p 掣一哗p 州z ) k 柏i z o 1 寸1 当面乏2 n 丽干而 8 两而2 n ，i l z o l l 2 t 1 c 1 4 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 事实上， 讨论1 1 吲z 一志p 上，磊如= 厶两瓦而丐看斋如 = 上，评而巧丢蒂如 + 上邶却，丽而焉丢再两甄如 虹i t 蔷甚曲 兮( 卜叩) _ s 掣一( 一1 ) 1 2 辛3 两了丽 综合讨论 ，2 的结果，得到 2 2 两= 顼而i 如 百i 而f 酉 又 s 而2 n ，。 叩 ，硒2 n f 翻 故s 需要满足两= 瓣2 n s 为 殍 ，藉 上 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 当p 一+ o 。，s2 为有界区域时， 毗) = 上，) 矿( z ) 出 = 詹( z ) 雀“( z ) d z4 - 惫( 。) “( x ) d x j n j r n n = 肛一姐整擎蛆上七( z ) 茗“( 丢) 如+ p 一避学业厶、n 七( z ) 茗“( 三) 如 = 厶+ 厶 易见，当p _ + o o ，1 _ 0 ，讨论厶： ，2 _ 肛一掣上蚶1 ( 净 = 肛一也2 警业膏( p y ) 犷1 ( ) 咖 j 月“、l l = 一也掣卵矿茗+ 1 ( ) 西 ，兄“、i ： 要想证明当芦一+ o o ，厶一0 ，则需 n 一些兰型2 幽+ 口 0 = 口 塑三生2 幽一n ，r 虬q 旷茗“( y ) d y 有界 厶、n 矿，布“( 可) 咖j f r n b ，( o ) y z 茗“( ) 句 二籀唏券! 匆= ce 丽蒜曲 兮卢 世啦掣一n 故，当卢 坐蔓2 越一n ，厶一0 综上当肛一+ o o ，r ( 芦) 一0 由k ( x ) 定号，易知【 ( 肛) 0 ，证毕 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 至此，我们可以得到本文的主要结论 定理2 5 若k ( x ) c ( r i v ) n l l ( r ) n l 0 。( 月) ，k ( x ) 定号，且例一0 0 ，七( z ) 一 p 坐= ! 呈盐一n ，则当j e l 足够小，方程( 2 1 ) 存在解 证明由引理2 4 ，我们知道当p 一0 ，r ( p ) 一0 ，当p o o ，r ( p ) 一0 ，且 r ( 肛) 0 则必在p 的有限处取得极值，从而r ( p ) 在( o ，+ o o ) 上存在临界点，由引 理2 3 ，五( 锃) 约束在z c 上的临界点存在，郎五( 缸) 约束在互有极值，再由定理2 2 可知l ( u ) 的极值存在，从而问题( 2 1 ) 至少存在一个非平凡解，证毕 1 7 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 参考文献 1 】a a m b r o s e t t i ，p r a b i n o w i t z ，d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s ，j f u n c t a n a l ，1 4 ( 1 9 7 3 ) ，3 4 9 - 3 8 1 【2 1h b r e z i s ，l n i r e n b e r g ，p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce l l i p t i ce q u a t i o n si n - v o l v i n gc r i t i c a le x p o n e n t s ，c o m m p u r e a p p l m a t h ，3 6 ( 1 9 8 3 ) ，4 3 7 - 4 7 7 【3 1p l l i o n s ，t h ec o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l ei nt h ec a l u c u l a so fv a r i a t i o n s t h el o c a lc o m p a c tc a s e ，p a r ti ，a n n 1 u s t h p o i n c a z ea n a l n o n l i n e a l r e ，1 , 4 ( 1 9 8 4 ) ， 1 0 9 - 1 4 5 4 jp ll i o n s ，t h ec o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l ei nt h ec a l u c u l a so fv a r i a t i o n s t h el o c a lc o m p a c tc a s e ，p a r ti i ，a n n i n s t h p o i n c a r ea n a l n o nl i n e a l r e ， 1 ，4 ( 1 9 8 4 ) ，2 2 3 2 8 3 【5 】a a m b r o s e t t i ，m b a d i a l e ，h o m o c l i n i c s ：p o i n c a r e - m e l i n i k o vt y p er e s u l t sv i aav a r i - a t i o n a la p p r o a c h ，a n n i n s t h p o i n c a r ea n a l n o nl i n e a i r e ，1 5 ( 1 9 9 8 ) ，2 3 3 - 2 5 2 【6 】a a m b r o s e t t i ，m b a d i a l e ，v a r i a t i o n a lp e r t u r b a t i v em e t h o d sa n db i f u r c a t i o no f b o u n ds t a t e sf r o mt h ee s s e n t i a ls p e c t r u m ，p r o c r o y s o c e d i n b u r g hs e c t a ， 1 2 8 ( 1 9 9 8 ) ，11 3 1 - 1 1 6 1 【7 ja a m b r o s e t t i ，j g a r c i aa z o r e r o ，i p e r a l ，p e r t u r b a t i o no f + u ( + 2 ) ( n - 2 ) = 0 t h es c a l a rc u r v a t u r ep r o b l e mi nr n ，a n dr e l a t e dt o p i c s ，j f u n c t a n a i ，1 6 5 ( 1 9 9 9 ) 1 1 7 - 1 4 9 8 s t e r r a c i n i ，o np o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n s t oac l a s so fe q u a t i o n sw i t has i n g u l a r c o e f f i c i e n ta n dc r i t i c a le x p o n e n t ，a d v a n c e si nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 , 2 ( 1 9 9 6 ) ，2 4 1 2 6 4 【9 】v f e u i ，m s c h n e i d e r ，p e r t u r b a t i o nr e s u l t so fc r i t i c a le l l i p t i ce q u a t i o n so fc a f f a r e l l i k o h n - n i r e n b e r gt y p e ，j o u r n a lo fd i f f e r e n i a le q u a t i o n s ，1 9 1 ( 2 0 0 3 ) ，1 ，1 2 1 1 4 2 【1 0 】g t a l e n