（应用数学专业论文）模糊复值测度和模糊复值积分.pdf

模糊复值测度和模糊复值积分摘要本文共分两个部分第一部分：在j j b u c k l e y 给出模糊复数定义的基础上，首先给出了模糊复值测度的概念，进而在模糊复值测度空间上，讨论了模糊复值测度的零可加、零可减、伪零可加、伪零可减、及自连续和伪自连续性其次，通过引进模糊复距离的概念，研究了模糊复值测度的一致自连续性和伪一致自连续性第二部分：在模糊复值测度空间上针对模糊复值可测函数，给出了模糊复值积分定义，讨论了这种积分的合理性和一些基本性质，并在满足一定条件下获得了类似于经典l e b e s g u e 积分的上( 下) 单调收敛定理、法都引理和控制收敛定理这些结果对于进一步研究和丰富模糊积分理论具有重要的意义关键词：模糊复数；模糊复值测度；模糊复值函数；模糊复值积分；f u z z yc o m p l e x v a l u e dm e a s u r e sa n df u z z yc o m p l e x v a l u e di n t e g r a la b s t r a c tt h e p a p e r h a st 、7 l ，op a n s 1 h e 觚tp a r t ：o n 吐l eb a s i so f t l l et h e o r yo f 如z z y 唧1 e xn 硼m e r sb e i n gi i l 仃o d -u c e db yj j b u d d e y ，w ef i r s td e 6 n et l l ec o n c 印to f 如z z yc 0 恤p l e x v a l u e dm e 嬲u r 曲l e a n dn u l la d d i t i v i t y ，i 皿ls u b t r a c t i o n ，p s e u d o n u l la d d i t i v i 坝p s e u d o - i “ls u b 昀c t i o i l ，a u 幻c o m i n u i t ya n dp s e u d o a u t oc o n t i n u 时a r ed i s c 吣s c di n 廿l e 凡z z yc o m p l e x - v a l u e dm e 粼s p a c e t 1 1 e n ，m r o u 班i n 仃d d u c i n g l ec o n c e p to fm e 勉z yc o n l p l e xd i s t 觚c e ，w es t u d yu l l i f o ma u t oc o n t i n u 埘a i l dp s e u d o u n i f o 册肌t oc o n t i n u 时f o rt h ef h z 巧c o m p l e xv a h l e dm e a s u r e s t h es e c o n dp a r t ：a t6 r s t ，a i m i n ga tm e a s u r a b l e 如n c t i o nf 1 0 rm z z yc o n l p l e xv a l u ei n 丘l z z yc 0 m p l e xm e a s u r es p a c e ，t l l ed e 6 n i t i o no fm z z yc o m p l e xv a l u e di n t e g r a li s舀v 既t h e i li t sr e a s o n a b l e n e s s 觚ds o m eb a s i cp r o p 鳅i e s 盯ed i s c u s s e d a tl a s t ，i n百v e l lc o n d i t i 0 1 l ss o m ei i i 啪r t a n tm c o 懈n ss i i i l i l a rt 0c l a s s i cl e b e s g u ei n t e 孕a ls u o ha sm o n o t o l l ec o n v e r g e n c em e o r e m ，f a t o ul e r i l m aa 1 1 dd o m i n a t e dc o r 啷e n c em e o r e ma r ea _ b t a i l l e d t h e s er c s u l t sa r es i g i l i f i c a n tf o rs t l l d y i i l ga n d 黜l r i c l l i n g 允z z yi n t e 罢脚m e o 联沁yw o r d s ：m z z yc o m p l e x 删【m b e r s ；向z z yc o m p l e x v a l u e dm e a s u r e s ；勉z yc o n l p l e x - v a l u e d6 m c t i o n s ；m z z yc o m p l e x v a l u e di n t e 蓼a l附件2独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫洼! 重蕉盘堂或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：盏筮日期：羔妞上i学位论文版权使用授权书本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。( 保密的论文在解密后应遵守此规定)签名：蠢魄导师签名：叁鑫震日期：汐i o 、反驴1引言模糊复分析是模糊分析学的一个新的分支学科，它在模糊系统理论尤其是模糊动力系统理论中有着广泛的应用，并在计算机智能化领域也有广泛的应用前景1 9 8 9 年，美国的j j b u c k l e y 教授在f u z z ys e t sa n ds y s t e m s 杂志上发表学术论文“f u z z yc 伽p l e xn u m b e r s 【1 h ，该文首给出了模糊复数的定义，并利用模糊数的扩张原理给出了模糊复数的扩张运算及应用，从此，开始了关于模糊复分析的研究工作继而之，国内外一些学者针对模糊复数这一新概念进行了多方面的研究和讨论1 9 9 0 1 9 9 1 年间，j j b u c k l e y 教授进而提出了模糊复围道的积分模型1 9 9 2 年，在f u z z ys e t sa n ds y s t 鲫s 上发表了重要论文“f u z z yc o m p l e xa n a l y s i s ：i n t e g r a t i o n 【3 h ，开始了系统研究了复平面上可求长曲线到模糊复数集间的模糊复映射的模糊围道积分，并对模糊复函数的微分与积分从一个侧面进行了讨论，其思路已向建立模糊复分析学的结构延伸9 0 年代初期，我国学者张广全4 1 3 1 教授一直在从事模糊测度理论等方面的研究，通过引进取值于模糊数的模糊距离的概念，系统地讨论了模糊集合上模糊值测度的性质以及模糊值可测函数列的收敛性，给出了所谓的模糊值模糊积分定义，在模糊集空间上基本建立了模糊值测度论的理论框架与此同时，张广全4 1 对模糊复数的极限理论进行了一些系统研究，得到了类似于数学分析中实数理论和实值函数等一些有益结果1 9 9 3 年，张跃1 4 1 博士结合模糊集的截集性质给出了模糊复数的扩张运算，在其著作模糊随机动力系统中以区间数为基础对模糊复集、模糊复数、模糊复函数等概念进行了比较全面的讨论，并进一步将此概念和方法应用到动力系统和地震预测研究中1 9 9 6 年以来，马生全睁2 4 1 在上述研究 ：作基础上，针对模糊复数的表现形式及结构进行了详细讨论，获得了一些重要结果近年来，国内外众多学者对模糊复分析的理论更加关注，进而展开了系列研究，例如针对模糊复数和模糊复函数，研究模糊复函数的极限、连续、可微、积分等问题此外，关于模糊复数建立了模糊复级数理论，基本上形成了模糊复分析的理论框架目前，国内关于模糊复积分理论的研究成果虽然还不是很丰富，研究群体也不是很多1 9 9 6 年，仇计清2 5 ，2 6 1 等人在复平面上通过复数模的性质给出了复模糊测度概念，进而在此意义下讨论了复模糊可测函数和复模糊积分1 9 9 9 年王贵君2 7 1 等在j j b u c k l e y 引进模糊复数理论的基础上，通过模糊复数的实部和虚部定义了模糊复值可测函数，进而给出模糊复值测度及模糊复值积分概念，并讨论了此模糊复值积分的一些基本性质与收敛定理本文是综合上述模糊复分析研究工作基础上，一方面，在模糊复值测度空间上借助张广全教授的思想和方法，通过引进模糊复数距离的概念，继续讨论了模糊复值测度的自连续性、伪自连续性、一致自连续性，伪一致自连续性等相关性质另一方面，针对模糊复值可测函数研究了模糊复值积分，并讨论了这种模糊复值积分一些基本性质和结构特征，进而获得了类似于经典l e b e s g i i e 积分的收敛定理，从而丰富和完善了模糊复分析的理论22 预备知识本节首先给出本文将要用剑的些基本知识设x 是一个给定的经典集合，记r 是实数集，k 是复平面，r + = o ，) ，k + = 如+ 6 f ；口o ，6 o ) 表示复平面上第一象限部分，孵是x 上若干子集构成的盯一代数，( x ，吼) 代表任一可测空间，+ = = 【口一，口+ 】；os 口一口+ ，口一，口+ 尺+ ，印+ 表示r + 上所有区间数构成的集合本文为方便起见，只考虑定义在月+ 上的模糊数定义2 1 【1 3 1 映射万：尺+ 专 0 ，l 】称为一个模糊数，如果它满足以下条件：( 1 ) 石是正规的，即存在而r ，使得石( ) = 1 ：( 2 ) v 允( o ，1 】，吒是有界闭区间，记为= 口j ，口：】记f 似+ ) 表示r + 上全体模糊数构成的集合对于任意实数口r ，我们规定口c z ，= ：i 二i 三，由截集和模糊数定义不难推知v 允( 0 ，l 】，= 缸) = 口，口】，即实数口可以看成特殊的模糊数特别，当口= o ，由模糊集分解定理可获得零模糊数( 记为石) 满足：0 = u 兄 0 = u 力 o ，o f ( r + )定义2 2 1 3 1 万，石f + 俾+ ) ，若v 五( o ，1 】，有口j5 阱且口：巧成立，则记万石；若石6 且j 凡( o ，l 】，使口j 西或口j 颤，则记万 6 ；若万6 且石6 ，记万= 6 定义2 3 1 设区间数序列 a 。) c 厶+ ，a 冠+ ，若满足口：寸口一，口：专盯+ ( 厅专) ，则称 龟) 收敛于a ，记为熙a 。= a -3定义2 4 h 3 1 设模糊数值序列 或) c ，+ ( r + ) ，万f ( r + ) ，若v 五( o ，1 】，总满足( 口。) ：专口：且( 口。) j 一口j ( 万一) ，则称模糊数序列 瓦) 收敛于万，记为熙瓦= 万或瓦专万( 刀专) 定义2 5 【1 3 1 设v 瓦石f + ( 尺+ ) ，在f 。( r + ) 上定义模糊距离万：，+ ( 尺+ ) f ( r + )寸f 俾+ ) ，声( 石，石) 2 五茹，i 口i 一耳l ，溉k 一巧l v k 一i 】五e o ，1 1。五打玉l 。定义2 6 n 3 1 设( x ，孵) 是任一给定的可测空间，映射露：吼专，( r + ) ，若满足：乃( o ) = 0 ：若彳，口孵，爿c 曰，则万( 么) 互( 曰) ( 单调性) ：若 4 l c 锨，以c4 ，州刀= l ，2 ，则l i m 力( 4 ) = 芦( u4 ) ( 下半连续性) ： n = i若 4 c 贸，以3 4 彬，l = l ，2 ，则1 1 巴万( 4 ) = 乃( n 4 ) ( 上半连续性) ，。n = i称乃为模糊值测度，称二元组( x ，婀，乃) 为模糊值测度空间定义2 7 【2 7 1 设万，石f + ( r + ) ，规定有序模糊数对何，石) 按映射( 石，云) ：k 寸 0 1 】，x + 纱专( 万，6 ) + 纱) = 石( z ) 6 ( y ) 确定一个模糊复数，其中石称为何，6 ) 的实部，6 称为何，6 ) 的虚部，若记c = ( 石，6 ) ，则万= r e c ，6 = h n c ，特别当万= 0 ，6 = o 时，规定0 = ( o ，0 ) ，这里0 同前定义，称之为零模糊数今后用f + ( k + ) 表示复平面k 上第一象限部分k + 上所有模糊复数的全体构成的集合若0 ，t ，( k + ) ，运算木 + ，一，) ，规定：( 1 ) 0 = ( r e 0 幸r e ，h n 0 i m )( 2 ) c 0 = ( c r e 0 ，c h l l 0 ) ，其中c = 口+ 6 f = ( 口，6 ) k +定义2 8 1 若c ：，+ ( k + ) ，规定c ：和c ；的序如下：4( 1 ) c f 铮r e c f r e ，i m 0 i m c ：；( 2 ) 彳 g 营0s 且r e 彳 r e t 或h n 0 o ，都有魉( 么n z ；l ( 功一疗( 戈) l s ) ) = o 且熙( 彳n 工；i 石( 功一片( x ) i s ) ) = o ，则称 z ) 在4 上依模糊值模糊测度收敛于7 53 模糊复值测度1 9 7 4 年，日本学者s u g e n o 首次提出模糊测度的概念，但由于模糊测度不具有可加性，难以建立类似于经典测度论中的理论体系正因如此，我国学者王震源先生在文 3 6 和 3 7 中先后提出集函数的“零可加”、“自连续”、“伪零可加”和“一致自连续”等概念，这为进一步研究模糊值测度论开辟了新篇章本节在b u c k l e y 教授引入模糊复数的概念及其研究工作基础上，进一步讨论了模糊复值测度的一些性质，并通过引入模糊复距离的概念，研究了模糊复值测度的一致自连续和一致伪自连续3 1 模糊复值测度的定义及性质苜先，我们给出模糊夏值测度的概念定义3 1 1 设( x ，吼) 是给定可测空间，映射丘：睨一，( k + ) ，若满足：丘( o ) = 6 ，其中6 = ( 石，石) ，石，+ ( 尺+ ) ：若彳，口倪，彳c 占，则丘( 4 ) 乃( b ) ( 单调性) ：若 4 c 婀，4 lc4 l 巾以= 1 ，2 ，则l i m 口( 4 1 ) = 乒( u4 ) ( 下半连续性) ：n h = i若 以 c 孵，以34 l 刀= 1 ，2 ，则1 i m 丘( 4 ) = 丘( n 4 ) ( 上半连续性) ， n = l称丘为模糊复值测度，称三元组( x ，吼，丘) 为模糊复值测度空间，w 吼，记乃( 么) =( 反( 彳) ，历( 彳) ) ，或简记丘= ( 羼，历) 且当丘满足固时，称乃为下半连续复模糊测度；且当应满足，和时，称丘为上半连续复模糊测度事实上，对任意彳吼，由于反( 4 ) ，尾( 么) 均是模糊数，故我们约定：v 五( o ，1 】伍足( 4 ) ) 五= ( 应胄) = ；( 彳) ，( 五矗) j ( 彳) 】；伍，( 4 ) ) _ = ( 卢，) i ( 么) ，( 乃，) j ( 彳) 】以下，我们将对模糊复值测度的“零可加”、“伪零可加”、“自连续”和“一致自连续”等性质进行讨论定义3 1 2 设模糊复值集函数露：倪呻，( k + ) ，如果v e ，f 贸，e u ，孵( 分别6地，e nf 孵) ，应( f ) = 0 ，有厨( e u ，) = 应( e ) ，( 分别地，乃( e n ，。) = 乃( e ) ) ，则乃称为零可加的，记为。一a d d ( 分别地，零可减的，记为。一s u b ) 定义3 1 3 设局：孵一f + ( k + ) 是一个模糊复值集函数，w 孵，若吼，v c 彳n 吼= 彳n d ；d 孵) ，且满足应( 4 ne ) = 丘( 彳) j 丘( ( 彳n e 。) uc ) = 丘( c ) ，( 分别地，詹( e n c ) = 丘( c ) ) 则称屉是伪零可加的，记为p o a d d ( 分别地，伪零可减的，记为p o s u b ) ，定理3 1 1 设露是吼上的一个零可加的模糊复值测度，彳暇，v e ) c 孵且满足 e ) 上和证明：l i m 厨( e ) = o ，则有l i m 应似u e ) = 丘( 彳) h 田记e = ne ，一= i的上连续性知因为 e ) 山，所以l i m e = n e = e ，即 e ) 上e 则由丘月。月= l一丘( e ) = 乃( ne ) = 詹( 1 i me ) = l i m 应( e ) = 0 n = 1月n 又冈彳u ej 彳u e ，由丘的上连续性及零可加性可得l i m 应( 彳u e ) = 丘( 1 i m ( 彳u e ) ) = 丘( 彳u e ) = 丘( 彳) h 月 定理3 1 2 设届是锨上的一个零可减的模糊复值测度，么吼，v e c 吼， e 山且l i m 丘( e ) = o ，则有h m 乃( 彳n 鬈) = 乃( 彳) n 证明：与定理3 1 类似定理3 1 3 设4 孵，丘是吼上的一个伪零可加的模糊复值测度，如果v 色 c 倪， e ) 个，且望巴口( 彳n 色) = 乃( 么) ，v c 爿n 孵，则有望氅丘( c u ( 爿n 彰) ) = 乃( c ) 证明：因为 e ) 个，令曰：o 色，则 吃) 个b 由乃的下连续性，疗= i丘( 彳n b ) = 乒( 爿nu 吃) = 丘( u ( 么n 或) ) = l玎= l= l i m 丘( 彳n 吃) = 丘( 彳) 月_ 又4 ne 个么n 刀4 n 联上么n b 。故v c 彳n 孵，更有7c u ( 彳n 群) 0c u ( 彳n 口) 由丘的上连续性及伪零可加性得l i m 应( c u ( 么n 联) ) = 屉( n ( c u ( 彳n 群) ) )一 n = l= 口( c u ( n ( 么n 群) ) ) = 丘( c u ( 么n ( n 群) ) )n = l = i= 詹( c u ( 彳n ( n 或) ) ) = 丘( c u ( 彳n 口。) ) = 届( c ) 月= i3 2 模糊复值测度的自连续定义3 2 1 设模糊复值集函数丘：孵_ f ( k + ) ，w 婀，若 色) c 弧且满足 彳u 或) c 贝，( 分别地， 4n 群) c 倪) 和l i m 口( 色) = ojl i m 届( 么u e ) = 厅( 彳) ， 月w( 分别地，溉詹( 彳n 鹾) = 乃( 彳) ) ，则称乃为上自连续，记为卸t o c 山( 分别地，下自连续，记为锄t o c 个) ，如果詹即是上自连续的义是下自连续的，则称丘为自连续，记为a l l t o c 定义3 2 2 设集函数应：孵一，( k + ) ，彳孵，v 色) c 吼且l i m 丘( 色) = 6 ，若n a 。_j e ) 的子集列 色。) 使得露( nu 吃。) = o ，= l 膏= ，称丘具有( 鲥) 性( 分别地，具有( 妨) 性) ( 分别地，乃( 彳n ( nu 吃。) 。) = 丘( 彳) ) ，则，；i 矗篁，定义3 2 3 设集函数届：吼专f ( k + ) ，w ，b 吼，且彳u 曰睨，( 或彳nb 。孵) ，若v g o ，j 万 o ，当口矗( b ) 万且历( 曰) 万时，恒有磊( 应( 彳ub ) ，丘( 么) ) 占且历( 力( 彳ub ) ，口( 么) ) g ( 或磊( 丘( 彳n 召。) ，丘( 彳) ) 占，历( 乃( 彳n 召。) ，丘( 么) ) 0 ，j 啊n 当刀，l i 时，有( 藤) = i ( e ) 导取n = ，l i ，则有( 羼) ：( e 。) o ，j ，z z n ，当刀惕时，有( 羼) ：( e 。u e ) _ ，有( 羼泓e ，u e ：) ( 羼) _ ( 毛) + 参 差+ 砉= 萼依此类推，最后得到序列 e ) ，使得，s ( 风) = ；( 望& ) 量+ 参+ 争+ = g 1 2 i二厶令占= 1 ，我们得到 e ) 的子序列 ( 1 ) ) ，并使得( 乒矗) j ( 竖毛( 1 ) ) o ，因烛厥( ( 1 ) ) = 石，故存在 ( 1 ) ) 的子序列 毛( 2 ) ) 使得( 鼬= ；( 耍) ) o ，：l ，2 ，则j e 加- 1 ) ) 的子序列 乜) ) 使得( 训甄一 s = 专取嘎= ( f ) ，则 e 。) 是 e ) 的子序列，且满足m 毛c 望e ) ，= 1 ，2 ，因此9丑舄e ，cq 望e 耵) c 坚e ) ，v 五( o ，1 】，由羼的单调性有，1o ( 风) = ；( g 譬气) ( 厥) = i ( 型& c ，) ) o ，j n ，使得( 丘尺) = i ( 彳n 鬈) ( 厥) j ( 么) 一导对于彳n 氍，由厥是下自连续性有l i m 风( ( 彳n e ) n e ) = 厥( 彳n 鬈) 则对上述g 0 ，3 n ，且他 ，l i ，使得( 忍) j ( 彳n ( e 。u e ：) ) = ( 风) = i ( ( 彳n e ) n 暖) ( 羼) = ；似n 吒) 一事 ( 风) _ ( 棚一三一事依此类推，v 允( o ，1 】，我们得到序列 ) 使得( 风) j ( 彳n ( 耍e ，) c ) ( 风) _ ( 彳) 一三一参一事= ( 忽) = ；( 彳) 一s 因此，令s = 1 o ，我们得到 e ) 的子序列 e 朋) ) 使得l o( 风) ：( 彳n ( 型) ) 。) ( 厥) = ；( 彳) 一1 ，令占= 三 o ，因熙厥( ( i ) ) = 石，故j 毛，( 1 ) ) 的子序列 & ( ：) ) 使得，( 厥) ：( 彳n ( _ e 朋) ) 。) ( 丘r ) = ；( 彳) 一吉，l = l二一般地，令占：导 o ，存在 ( 一) ) 的子序列 e ) ) 使得，j一”( ) j ( 彳n ( 耍。) ( 愿) j ( 彳) 一乡，= 1 2 ，l = j，取2 刀，( ) ，则获得 色) 的子序列 ) ，且譬& c 旦& t ，j 旦2 & c 口望毛t ，进而有( q 斟) 。3 ( q 型& t 力) ，皇l l 寡，= i l = l所以更有，么3 ( 彳n ( nu 毛) 。) ( 么n ( nu e ，( ，) ) 。) ，= l ，2 ，2 l1 5 ，= l l = i再由忍的单调性得( 风) ：( 彳) ( 口詹) ：( 彳n ( n _ u ( ，) ) 。)1( 厥) = ；( 彳n ( 型) 。) ( 厥) = i ( 4 ) 一专令_ ，专o o ，则有( 成) ：( 彳n ( nu e ，) 。) = ( 乃r ) j ( 么) ，j = l l = j同样v 名( o ，l 】，我们有，( 反) ：( 么n ( nue ) ) = ( 露r ) j ( 彳) ，j = l l = ，一即厥( 么n ( nu e ，) 。) = 反( 4 ) j 专i i 专j同理可证，属( 么) = 尾( 么n ( nu e ，) 。) ，= ij = ，再根据定义2 7 得露( 彳n ( n u ，& ( ，) ) 。) = ( 忽( 彳n ( qu ) 。) ，历( 彳n ( que ，) )，= l l = ，= i i = ，二i l = ，故詹具有( 衄) 性= ( 丘r ( 彳) ，历( 彳) ) = 詹( 彳)定理3 2 3 ( 1 ) 如果乃是一致上自连续的，则丘是上自连续的：( 2 ) 如果丘是一致下自连续的，则丘是下自连续的证明：( 1 ) 设彳孵， e ) c 吼且熙丘( e ) = o 由于乃是一致上自连续的，所以v p 0 ，了万 o ，使得池孵，且以( b ) 万，尾( 召) 万及么u 口吼，有磊( 丘( 彳u b ) ，届( 彳) ) g ，历( 詹( 彳u b ) ，詹( 彳) ) o ，由溉乃( 或) = o ，于是j o ，当刀时，有风( 色) 万且厨( 色) 万，因此，反( 丘( 彳u 或) ，口( 彳) ) g 且磊( 詹( 么u 吃) ，乃( 么) ) 0 ，j n ，使得( 羼) ：( ( 彳n ) u c ) 0 ，j 刀2 n ，且刀2 以l ，使得， r ) = i ( 彳n ( 毛n e ：) 。) u c ) ，并使得 ( 风琢o + 三+ 参= ( 以) i ( c ) + 爹( 风) ：( 彳n ( 2 最，) 。u c ) o ，获得 色) 的子序列 吃( 1 ) ) 使得( 厥) ：似n ( 9 & ( i ) ) 。u c ) o ，因嬲羼( & ( i ) ) = 羼( 彳) ，必存在 & ( 1 ) 的子序列 & ( ：) ) 使得( 厥) j ( ( 彳n ( ! 二! & ( ：) ) 。u c ) o ，：1 ，2 ，必存在 ( 一) ) 的子序列 气( ，) ) 使得，。( 忍) i ( ( 彳n ( 岔气) 。u c ) ( 风) 二( c ) + 多，= 1 ，2 ，取强= 挖，( f ) ，则 色，) 是 e ) 的子序列，且满足n 吃3n 玩( ，) = l ，2 ，1 2 ，l = l则有( 厥) ：( c ) ( 丘足) = ；( ( 彳n ( un 吃) u c )s ( 从) = ；( ( 么n ( 拦e & 【p u o o ，j 刀，n ，使得( 成) j ( 么) 一三 0 ，j 力2 n ，且他 ，z l ，使得( 成) ：( 吃。) 一参 ( 放) ：( 彳) 一砉一三按此类推，可得到 色) 的子序列 & ) ，使得，( 风) _ ( 叠吃，) ( 厥) = ：即) 一三一参一参= ( 威) = i ( 彳) 一g 令s = 1 o ，得到 吃) 的子序列 & ( i ) ) ，并使得( 瓜) = ；( ! = ! & ( 1 ) ) ( 厥) = ；( 4 ) 一1 因密! 反( & ( 1 ) ) = 风口) ，故可以找到 色朋) ) 的子序列 e ( 2 ) ) 使得，( 风) i ( 叠) ( 动私) 一三一般地，令弘 i j | 川) 的子序列) ) 使得，( 风) ：( 自。 ( 风) j ( 么) 一多，j f = 1 ，2 ，( 风) ：( n & ) ( 风) j ( 么) 一，j f = 1 ，2 ，扣l，取吩2 体( ) ，则 吃。) 是 只) 的子序列且满足d & 3 q 气( 舻= 1 ，2 ，因此，l( 磊) j ( 彳) ( 风) = ；( 譬9 & ) ( 风) = ；( q & ( ，) ) ( 成) = ；( 彳) 一专，= i i = ，l = l，令j 专o o ，于是获得( 厥) = ；( u - q & ( ，) ) = ( 厥) = i ( 彳)类似方法也可获得( 羼) ：( 坚n 气( ，) ) = ( 口只) j ( 么) ，即，乒r ( 鬯n & ( ，) ) = 风( 么) 同理可证属( 坚n ( ，) ) = 尾( 彳) 因此，丘( 拦9 & t ，) = ( 口月( 羔d & c 力) ，历( 拦d & t )即口具有( 只妨) 性= ( 口胄( 彳) ，厦( 彳) ) = 乃( 彳) 1 64 模糊复值积分本节在模糊复值测度空间上针对模糊复值可测函数，给出了模糊复值积分定义，进而讨论了这种积分的合理性和一些基本性质，并在满足一定条件下获得了类似于经典l e b e s g u e积分的上( 下) 单调收敛定理、法都引理和控制收敛定理4 1 模糊复值积分及其基本性质定义4 1 1 映射夕：x 专f ( k + ) ，x 寸夕( x ) = ( 厂- ( 神，厂+ ( 工) ) ，( k + ) ，称为x上模糊复值豳数，其中厂一( x ) = r e ( x ) f ( r + ) ，厂+ ( 功= h i l 厂( 功f + ( 尺+ ) ，x x v 兄( o ，1 】，记厶( 工) = ( 厂( 功) _ = ( r e 石( x ) ，i m 厶( x ) ) 若模糊值函数r e 厶( x ) ，h n 厶( x )均是可测，则称厂为模糊复值可测函数我们用p ( k + ) 表示空间x 上全体模糊复值可测函数构成的集合特别规定：v 允( o ，1 】，界定( r e 厂) 卫= i 沁厶；( i m ) i = i m 厶定义4 1 2 设( x ，吼，乃) 是模糊复值测度空间，若么孵， 厶) 是模糊复值可测函数列，厂是一模糊复值可测函数，若r e z ( x ) r e ( 工) 且h i l 五( x ) 专h l l ( 石) ( 以_ ) ，则称模糊复值可测函数列 z ) 收敛于厂，记为1 i m z ( x ) = 厂( 工) ( 简记为z ( x ) 一厂( x ) ) 定义4 1 3 设( x ，孵，乃) 是模糊复值测度空间，若么吼， ) 是模糊复值可测函数列，是一模糊复值可测函数，如果v s 0 ，有l i m 乃月( 彳n 五l ( r e z ) j ( z ) 一( r e 厂) ：( x ) l s ) ) = o ，n l i m 詹r ( 彳n x ；l ( r e z ) ：( 曲一( r e 厂) ：( x ) i 占) ) = o n 及1 i m 属( 彳n z ；l ( i m z ) = i ( x ) ( i m ) = i ( z ) l 占) ) = o ，月 熙历( 彳n z ；i ( i m z ) ：( 工) ( h n 夕) j ( 工) l f ) ) = 石1 7则称 z ) 在彳上依模糊复值测度口收敛于厂定义4 1 4 设( x ，孵，卢) 是模糊复值测度空间，若彳锨， 工) 是模糊复值可测函数列，厂是一模糊复值可测函数，如果v s o ，都有舰反( 彳n 五i ( r e z ) ：( 曲一( r e 夕) ：( z ) i s ) ) = 石，! 受成( 4 n j ( r e z ) ：( 力一( r e 力：( 曲| 占) ) = 石及1 i 理历( 彳n x ；l ( i m z ) ：( 力一( i l l l 厂) = i ( 功i 占) ) = o ， 溉届( 彳n x ；f ( i m z ) ：( 力一( h n 乃j ( 曲f s ) ) = 石则称 z ) 在彳上伪依模糊复值测度应收敛于夕性质4 1 1 设彳，z 均是模糊复值可测函数，则彳z ，彳z 也是模糊复值可测函数性质4 1 2 设( x ，吼，应) 是模糊复值测度空间， z ) 是，( k + ) 上模糊复值可测函数序列，且专厂，则厂也是f ( k + ) 上模糊复可测函数定义4 1 5 设( x ，吼，应) 是模糊复值测度空间，若么孵，则夕在彳上关于丘的模糊复值积分定义为力丘= ( r e 力风，i m 五城) ，其中，r e 反2 。爿，l 】饥嚣，口 ( 风) = ；( 彳n 颤口) ，嚣，口 ( 风) ：( 彳n 磁a ) 】，和h n 属2 。裂 i 】名蒜，口 ( 属) = ；( 彳n 口) ，口恶，口 ( 历) j ( 彳n e 口) 】这里巧口= 石；( r e 厂) ：( 功口) ，赕口= x ；( r e 厂) ；( x ) 口) ，且口= x ；( 1 m 夕) j ( x ) 口) ，e 。= x ；( h i l 夕) j ( 石) 口) 定理4 1 1 设( x ，孵，詹) 是模糊复值测度空间，w 吼，夕p + ( 足+ ) ，则有丘，+ ( k + ) 1 8证明：( 1 ) 因为乃是吼上的模糊复值测度，吼，由厂尸。( k + ) ，故有i 沁0 ，i m 厂o ，根据定义4 1 5 展开，s u p 口八( 风) i ( 彳n 尺0 ) 乳l p 口八( 风) ( 彳n r 二) 即j x x 使得( 工r e 羼) ( 劝= 1 所以正规性成立( 2 ) 设o fp ；( r e 五( 工) ) j 口) 5 砭，及代。= x ；o k 五( z ) ) j 口) cp ；( r e 五( 工) ) ；口) 2 。根据乃的单调性，必有( 丘詹) = i ( 么n 巧。) s ( 豇詹) 二( 么n 砭，) ，且( 乃矗) ：( 彳n 巧。) ( 以) ；( 么n 巧一) 同理，( 岛) = ；( 彳n 。) ( 丘，) j ( 彳n 五一) ，且( 忍) ：( 4 n 巧。) ( 局) ：( 彳n k 一) 由定义4 1 5 及定义2 2 可得，r e z d 厥2 丑爿 1 1 研黑，口 ( 厥) ：( 彳n ，) ，黑，口 反) j 4 n 一1怂恶，口 ( 觚( 4 n 吃，) ，罢，口( 觚( 彳n 呓。) 】a e 【o ，1 1口【0 ，)口e 【o t o o j= i r e 厶d 风“同理方法也可获得再由定义2 8 知。i m z d 历i i i m 元彳印= ( i i r e 彳d 成，i | i i l l 彳螭)( r e z d 忍，h n z d 历)= 五雄性质4 1 5 设( x ，孵，届) 是模糊复值测度空间，彳，曰孵，且彳c 召，尸( k + ) ，则l 两叠sl b m证明：因为彳c 召，v 五( 0 ，l 】，v 口【o ，) ，我们有，彳n 巧口c 召n 颤。及彳n 戤口c b n 心。，根据詹的单调性，我们获得( 旯) 【彳尺；。) ( r ) ( b f l 尺。，) ，及( 丘胄) ：( 彳n r 二) s ( 丘胄) = ；( b n r 二) 由定义2 2 有，i 。r e 成= u s u p 口 ( 风) = i ( 彳n 巧。) ，s u p 口人( 风) j ( 彳n 口) 】蛔五q o ，l 】口e 1 0 。)口0 ，)u s u p 口 ( 风) ：n 颤口) ，s u p 口 ( 忍) j ( b n 硝，口) 】a 【o ，l 】口e f o ，)口e 【o 。)2 上r e 风同理方法，再由定义2 7 可得，i i m 属= u ，s u p 口 ( 历) = ；( 彳n 口) ，s u p 口 ( 历) j ( 彳n e 口)柑。l e 【o ，l 】口【0 ，)口【o ，)u ，s u p 口 ( 厨) = ；( b n 。) ，s u p 口 ( 历) ；( 曰n e 口)五e 【0 ，l 】口f 0 ，)口【o ，)2 上i m 历因此，获得乃乃= ( r e 力廊，i m 力历) ( r e 力厥，i m 刀届，) = 力乃2 1性质4 1 6 设( x ，孵，丘) 是模糊复值测度空间，彳孵，彳，z 尸( k + ) ，则有下述结论成立( 1 ) 如果彳= z 在彳上几乎处处成立，力是零可加的，则彳j 应= 正z j 乃( 2 ) 如果彳= z 在彳上伪几乎处处成立，丘是伪零可加的，则彳d 乃= 工五d 届证明：( 1 ) 由于彳= z 在么上几乎处处成立，所以应( 4 n z 彳( 力z ( 功) ) = 6 因此，风( 么nk 彳( 力z ( 曲) ) = 石及尾( 么n 石彳( 功五( 劝) ) ：石v 五( o ，l 】，我们有， 工；( r e z ) ：口) c 石；( r e 五) = ；口) u x ；彳z ) ，亦即，彳n 气，c 彳n ( 五，u 缸；彳( z ) 五( x ) ) 应用乃的零可加性获得( 丘足) = ；( 彳n 气，) ( 羼) ：( 彳n ( 吃。u x ；z ( z ) 五( x ) ) )= ( 羼) ：“彳n ( 吃。) u ( 彳n 石彳( 功五( 力) ) )= ( 风) j ( ( 么n ( k 。)( 愿) ：( 彳n ( 屹。u 墨z ( 曲z ( 力 ) )= ( 反) j ( ( 么n ( 巧。) u ( 么n x ；彳( 工) z ( 工) ) ) )= ( 丘r ) ：( ( 彳n ( 气。) 同理可证( 厥) ：( 彳n ，) ( 羼) ：n 磁，) ( 厥) ：( 彳n 。) 故有( 麒) ：( 彳n 气。) 芝( 风) = ；( 彳n 五。) ，且( 厥) ；( 么n 式。) = ( 应片) ：( 彳n 心。) 因此i r e 彳d 反= i r e z 编。同理可证，工r e 彳d 厨= r e z d 属，从而彳d 丘= 工五j 局( 2 ) 类似( 1 ) 可证4 2 模糊复值积分的收敛定理本节我们将在模糊复值测度至i 丑j 上，讨论楔糊复僵积分的卑调收敛定理、法肴| 5 引理及弪制收敛定理定理4 2 1 ( 下单调收敛定理) 设( x ，孵，詹) 是模糊复值测度空间， z ) cp ( k + ) ，厂p ( k + ) ，彳吼，如果 z ) 在么上单调增加且收敛于厂，则缎z d 口存在，且舰z 啦= 伽证明：因为 z ) 在彳上单调增加且收敛于夕，则j n ，当肛时，z 于，由性质4 1 4 有z d 丘工力乃因此，r e z d 羼r e 力版且工i i i l 五d 历i m 力历进而有，舰r e z d 风r e 力藤，熙i i n z d 厨工h n 力厨现假设舰r e z d 厥 r e 力风，即骝r e z d 风 r e 力忍由定义2 2 知，必j 凡( o ，1 】使得，吼l p ( s u p 口 ( 丘r ) = ；d ( 么n 8 i ，) ) s ? ( 口 ( 成) 乏( 彳n 曦，口) )( 1 )月2 l口( 0 ，)u口e ( o ，)或溜嚣，口 ( 厥) 乞( 么n 瓯，) ) o 使得，s u ps u p ( 口 ( 成) z ( 4 n r i ，) ) s 1 粤( 口 ( 反) = ；d ( 爿n 心，。) ) 一氏，月l 口e ( o ，)口e ( o ，)再由上确界定义知，j ( 0 ，) 使得，则有骝黑，口八( 风) 乏( 爿n 氏，) ) ( ( 成) z ( 彳n 巍，口) ) 一导由此可知。= ( 一) ( ( 动z ( 么n 饩，) ( 反) 乏( 彳n 氏，) ( 一詈) ( ( 忍) 乏( 彳n 气，口) 一) 皈) 乏似n 气，) o ，j n ，当刀时，( 成) 二( 么n 吒，) ( 羼) 孟( 彳n 饩，。) 一詈这与( 3 ) 相矛盾! 由此说明舰l r e 六j 风2l r e 风月mm同理可证嬲i m z d 厨= h n 力尾因此，溉z d 乃= 力乃定理4 2 2 ( 上单调收敛定理) 设( z ，孵，丘) 是模糊复值测度空间， z ) cp ( k + ) ，厂p ( k + ) ，彳锨，如果 z ) 在彳上单调减小且收敛于厂，则l i mi d 丘存在，且h m舰f l z 蛳= 伽证明：因 z ) 在彳上单调减小且收敛于厂，则j n ，当，l 时，由性质4 1 4 知z d 口力乃因此，从而，r e z d 反r e 力忍且j 1h i l z d 历i m 力厨煅r e z d 羼点r e 声忍， “州溉i m z d 尾i i i l 盈历现假设舰r e z d 反 r e 力厥，亦即溜r e 五j 风 r e 忍n 州h ，i ”由定义2 2 知，j 气( 0 ，1 】使得，瓣黑) 口 ( 忽) = ；d ( 彳n 吒。) p 2 凛) ( 口 ( 厥) = ；0 ( 么n 甄，口4 或赠恶，口人之( 4 n ，) p 嚣) ( a ( 械( 么n 叫5 不妨设( 4 ) 式是真的，由实数的稠密性知，3 o 使得孵黑) 似 ( 风) 乏( 么n 气，) p 嚣) 他 ( 风) 乏( 么n 饩，a ) + 岛，或s u p ( 口 ( 乒矗) = ；d ( 彳n 吒，) ) 曼l p 、( 口 ( 风) 乏( 么n 甄，。) ) + 岛口e ( o ，)。口e ( j j再由上确界定义知，j ( o ，) 使得， ( 风) 乏( 彳n 吒，p 恶，( 口人( 羼) z ( 么n 氏，口) ) + ( ( 几) i ，( 彳n 甄) ) + 詈= ( 口。+ 鲁) “忍) = ；o ( 4 n r 二，口) + 粤) 从而获得( 风) 孟( 彳n 墨，) ( 风) 乙( 么n 氏，口) + ( 6 )另一方面，因 z ) 在递减收敛于于，由定义4 1 2 知，r e z 山r e 于；i m z 上i m 于由定义2 1 l ，必有彳n 吒，上彳n 屯再由丘的上连续性得溉厥( 彳n ，) = 玩( 彳n 甄，口) 更有熙( 丘r ) z ( 彳n 气。) = ( 应异) z ( 爿n 氏，口) 故对上述氏 o ，j n ，当以时，皈) = ；0 ( 4 n k 一) o ，因为 六) 在么上依模糊复值测度屉收敛于，即v 名( 0 ，1 】有，坚翼乃月( 么n 五i ( r e z ) j ( x ) 一( r e 厂) = ；( 曲l f ) ) = o ， 田骁翼成( 彳n 五i ( r e z ) ：( z ) 一( r e 夕) ；( x ) l 占) ) = 石且1 1 理尾( 彳n x ；l ( i m z ) = ；( 功一( i m 厂) ：( 工) i f ) ) = o ，n _ ll i m 店( 彳n x ；f ( h n ) ：( 功一( h n 厂) j ( 曲l 占) ) = o v 口( 0 ，) ，由文 1 3 可知，k ，吨，c 霸口+ 。u 五l ( r e z ) ：( x ) 一( r e 力：( 曲i 占) ，且砖肿；c 磁u k l ( r e z ) ：( 力一( r e 于) j ( x ) i 占) 由丘的上自连续性得塑翌丘月( ( 么n 巧，。+ 。) u ( 彳n 工；i ( r e z ) = ：( 力一( r e 夕) ：( 工) i 占) ) ) = 风( 彳n 舷。+ ) ，且煅丘尺( ( 彳n 叶。) u ( 彳n x ；i ( r e z ) ：( x ) 一( r e 夕) ：( x ) i s ) ) = 丘矗( 彳n 。+ 口) 由数列极限定义知，对上述s 0 ，必 拧o n ，使当以时，v 五( 0 ，1 】，则有( 羼) j ( 4 n 吒。咖) ( 丘异) = i ( 彳n 甄。+ f ) + s ，且( 厥) j ( 4 n 一) ( 风) ：( 彳n 磁) + s 当玎时，v a ( 0 ，1 】，更有s ? ( 口+ 2 s ) ( 丘。) i ( 彳n ，砣，) s l 翼、( 口+ 占) ( 风) = i ( 彳n 贬口+ 。) + 占口e ( o )口e ( u 。j亦即s u p 口 ( 厅r ) j ( 彳n 吒。) 吼l p 口人( 风) ：( 彳n 巧口) + g 口e ( 2 s ，)口e i 占)同理可证，当刀时，v 彳( 0 ，1 】，则有s u p 口 ( 风) ；( 4 n 呓。) s u p 口