（光学专业论文）分数傅里叶域微光学元件设计方法研究.pdf

分数傅里叶域微光学元件设计方法研究 光学专业 研究生刘建莉指导教师杜惊雷 微光学元件以其效率高、体积小、重量轻、易于复制、可以实现多种变 换功能等优点在现代科技中有着越来越广泛的应用。为拓展微光学元件操作 区域，改善其光学变换功能，提高光学系统整体性能和光路安排的灵活性， 本论文提出一种用于分数傅立叶域光学变换的位相型微光学元件设计方法， 以同时优化空域和频域信息为目标，通过逆向设计并预设微光学结构的初位 相，建立了针对微光学元件设计的分数傅里叶域迭代f r p i 算法。该算法具 有快速，灵活、普适性好等优点。我们编制了用f r p i 算法设计微光学结构 的应用仿真软件，为分数域光学元件的设计提供了一个快速方便的工具。 此外，针对离轴照明系统需要多种不同次级光源的要求，我们开展了微 光学元件设计和模拟研究，将整形操作面由传统的傅里叶变换平面拓展到分 数傅罩叶变换平面，为分数域微光学元件在离轴照明系统中的分束操作提供 了理论依据。 我们还针对在诸多领域有广泛应用的光束相干叠加技术的需求，提出一 种近场光束相干叠加新方案，设计了分数域并束微光学元件，增加了分数域 整形元件设计的自由度，为改善相干并束的耦合效率和压缩并束光学系统体 积尺寸提供了有效途径。 模拟研究表明，优化的分数域元件衍射效率可达到9 0 以上，其效果优 丁常规傅旱叶域整形等其他方法，并有加工方便，应用灵活等优势。 关键词：分数傅里叶变换；分数域：离轴照明；光束相干叠加 t h er e s e a r c ho nt h ed e s i g no ff r a c t i o n a lm i c r o o p t i c a le l e m e n t s m a j o r ：o p t i c s g r a d u a t e ：l i uj i a n l i s u p e r v i s o r ：d uj i n g l e i m i c r o o p t i c a le l e m e n t sb e c o m em o r ea n dm o r ew i d e l yu s e di nm o d e m s c i e n c ea n dt e c h n o l o g yb e c a u s eo ft h e i rm e r i t si nh i 曲d i f f r a c t i v ee f f i c i e n c y , s m a l ld i m e n s i o n ，l o ww e i g h t ，m a s sr e p r o d u c i b i l i t ya n dv a r i o u so p t i c a lt i m c t i o n s i no r d e rt oe x t e n di t so p e r a t i o nd o m a i nm a di m p r o v et h ep e r f o r m a n c ea sw e l la s t h ef l e x i b i l i t yf o rg e o m e t r yo fa l lo p t i c a ls y s t e m ，w ep r o p o s ean e wa l g o r i t h m ， f r p i ，t od e s i g nm i c r o - o p t i c a le l e m e n t si nf r a c t i o n a lf o u r i e rd o m a i ni nw h i c hi t c a ns i m u l t a n e o u s l yo p t i m i z e st h ei n f o r m a t i o no ft h es p a c ea n dt h ef r e q u e n c y d o m a i nb yi n v e r s e l yd e s i g n i n gt h ei n i t i a lp h a s ef o rf u r t h e ri t e r a t i o n ，t h e a l g o r i t h mi sf a s t f l e x i b l ea n du n i v e r s a la n dc a nb e c o m eac o n v e n i e n tt o o lf o r 也e d e s i g ni nf r a c t i o n a lf o u r i e rd o m a i n f o rt h e r e q u i r e m e n to fv a r i o u ss e c o n d a r yo p t i c a l s o u r c e si no f f - a x i s i l l u m i n a t i o ns y s t e m ，w es t u d i e do i lt h ee x t e n s i o no fb e a ms h a p i n gf r o mt h e f o u r i e rd o m a i nt of r a c t i o n a lf o u r i e rd o m a i n b yt h ed e s i g na n ds i m u l a t i o n ，w e c o n c l u d et h a tt h ef r a c t i o n a l - f o u r i e r - d o m a i nm i c r o - o p t i c a le l e m e n t sc a nb e c o n v e n i e n t l ya p p l i e di nt h eo f f - a x i si l l u m i n a t i o ns y s t e mf o rb e t t e rr e s u l ti nb e a m s h a p i n g w ea l s op r o p o s eas c h e m et od e s i g nd i f f r a c t i v eo p t i c a le l e m e n t sf o rb e a m c o h e r e n tc o m b i n a t i o ni nn e a rf i e l d t h ed e s i g nm e t h o di nf r a c t i o n a lf o u r i e r d o m a i ni n c r e a s e st h ed e g r e eo ff r e e d o mb yi n t r o d u c i n gt h ef f a c f i o n mo r d e n t h e r e f o r ei tc a ni m p r o v et h ee f f i c i e n c yo fb e a mc o m b i n a t i o na n dd e c r e a s et h e v o l u m eo f t h eo p t i c a ls y s t e m t h es i m u l a t i o ns h o w st h a tt h ed i f f r a c t i v ee f f i c i e n c yo f d e s i g n e de l e m e n t si s g r e a t e rt h a n9 0 a n dt h es h a p e dr e s u l t sa r eb e t t e rt h a nt h a ti nf o u r i e rd o m a i n k e y w o r d s ：f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ，f r a c t i o n a ld o m a i n ，o f f - a x i s j i l u m i n a t i o n b e a mc o h e r e n tc o m b i n a t i o n 第一章绪论四川大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 整形光学元件 目前激光在工业、医学、能源、军事等科技领域有广泛的应用，不同 的应用领域对激光的波前、光强分布、模式以及光斑的形状有其特定的要 求，例如：在光计算与光学测量中要求激光光束的振幅以及位相均匀分布； 在激光加工和热处理中，为了实现一次成型的高效率加工，需要使用形状 各异甚至大小可变的激光光斑；为了避免能量损失以及延长光学元件的使 用寿命，脉冲激光雷达光路中要求避免高斯光束入射；在惯性约束核聚变 ( i c f ) 等强激光光学中，要求激光焦斑光强不均匀性小于1 0 ，衍射效率 大f9 0 ，而且光斑呈无旁瓣的“平顶”分布| i 。1j 。 光束整形是通过光学元件控制出射激光光束波前的位相和振幅分布， 以获得期望的波前分布。激光器常使用传统球面反射镜，产生的光束为高 斯光束，需通过光束整形以得到所需要的其它形状的光束，从而满足不同 应用的需求”i 。 最简单的整形光学元件是基于几何光学原理的光阑，其通过阻挡光能 量实现出射光束光场分布的改变。这种振幅型拯形光学元件虽然容易加工， 但是常常带来能量利用率低等无法克服的缺点。在二十世纪六十年代，罗 曼( a wi ，o h m a n n ) 、李威汉( w a i h o nl e e ) 等人提出计算全息图、相息图 及其制作新技术引起了光学元件设计观念上的重大变革【l 。3 ，人们意识到， 应用光波动性质的新型微光学元件可更有效、更方便地控制光束实现多种 整形功能，从而成为光学设计史上的里程碑，开辟了整形光学元件应用的 新天地。伴随着超大规模集成电路( v l s i ) 、全息技术、计算机、新材料等 技术的发展，为满足人们对光束波前、光强分伟、模式的更多要求，目前 光学元件设计也开始采用更新的方法，针对需要的波前，先用计算机辅助 没计出最合理的光学元件结构，再辅以现代的微细加工技术制作相应的微 光学元件i i - 4 并在许多应用中显示了其巨大威力。 第章绪论四川人学硕七学位论文 a j i g 扎m e n td e v e b p m e n te 乜l l i ，电r e m o v 白屯 图1 1 套刻原理示意图 从元件用途的角度来看，整形光学元件为被动光学元件中的种【卜5 1 。 所【胃被动光学元件是光学系统中用来聚集、分散或改进光辐射的元件。由 其实现功能的原理来分类，被动光学元件又可以分为折射光学元件、反射 光学元件、衍射光学元件、以及折衍光学元件等等。若从器件结构性能来 分类，整形光学元件分为振幅型、复振幅型以及位相型。其中振幅型光学 元件要吸收光能量，产生热效应；复振幅型光学元件除了要吸收光能量以 外，而且加工复杂：而位相型衍射光学元件能以微加工技术制作，并且以 其能量转换效率高、能共轴变换、结构紧凑等优点成为理想的光束整形元 f ， 。下文除特殊说明，整形光学元件均指位相型衍射微光学元件。 衍射光学元件通常具有连续的位相分布，使用灰度掩模可以制作连续 何相结构的元件，然而其技术复杂成本高昂，因此，目前难以广泛采用。 博片j 的微光学制作方法有全息和套刻两种，其中套刻使用的是目前广泛应 的纨成也路拥r 设备，以其便于批量化制作的优势成为最为常用的微光 学元件加工方法。套刻需要利用多个台阶逼近连续的位相结构，套刻次数 越多( 即台阶数越多) 则越接近于连续结构，其原理如图卜l 所示1 1 。酬，图中 使用了2 次套刻，利用套刻得到的4 个台阶去逼近连续结构。由于需要使 ， 第一章绪论四川大学硕士学位论文 用多个掩模完成套刻，因此存在多个掩模对准问题，会带来制作误差。目 前国内外许多研究或者加工部门已经可在4 次套刻的过程中有效地控制对 准误差这使得台阶结果的效果与连续结构的差别逐渐缩小，微光学元件 可在允许的误差范围内完成相应的功能。 在现代科技领域中，在光学傅里叶域操作的微光学元件在光学传感、 光通信、光计算、数据储存、激光医学、娱乐消费以及其他特殊系统中发 挥了其越来越重要的作用”j 。由于傅里叶光学的频域面是连续分布的分数 傅罩叶域中的一个面，在使用傅罩叶变换和频域概念的光学应用领域都存 在着使用分数傅罨叶域微光学元件( 简称分数域微光学元件) 改善光学变 换效果的可能性。自从l o h m a n n 提出用两种简单的透镜( t o h m a n ni 型， l o h m a n ni i 型) 和自由空间组合结合来实现分数傅里叶变换】以来，使得 分数傅罩叶变换更加便于实际应用。在这些研究工作的基础上，1 9 9 5 年分 数傅罩叶光学的概念的提出为信息光学的发展注入了新的活力。传统的整 形光学元件是在傅晕叶频谱面实现光束整形，其可等效于分数域微光学元 件中分数阶p = 1 的特例。若将分数傅里叶变换的分数阶作为一个额外的自 由度引入光学信息处理中，不但丰富了光学信息处理的内容，而且针对特 殊的图形，分数域整形能够实现一些常规傅里叶变换难以实现的操作，可 更有效地改善整形光束质量。 在个固定的光学系统中，不同分数阶的变换面对应不同的光学平面。 分数域微光学元件的摆放位置由分数阶决定。传统的整形光学元件通常是 放在透镜的前焦面上，而分数域微光学元件可以根掘系统参数选定最优化 的分数阶。所以就整形位置来说也要比传统的整形光学元件灵活。假设使 用f 。o h m a n ni 型荜透镜系统实现分数傅晕叶交换，则整形位置由下式决定 f l ，q l d = 2 厂一竿c o s ( 呼) 上式中，s ，s ：是缩放因子，厂是透镜焦距，d a 光束出射面到整形元件 第一章绪论四川大学硕士学位论文 的距离，_ 是波长，p 是分数傅立叶变换的分数阶。在实际的系统中，分 数阶和缩放因子都是和系统结构相关的参数，选择最优化的参数可以帮助 系统得到最佳光学变换结果。 分数傅单叶域整形微光学元件，作为更加广义的整形微光学元件，用 于在光学信息处理中实现更方便有效的操作。随着人们研究的不断深入， 分数傅罩叶域微光学元件必将在更多的科研领域得到更加广泛的应用。 1 2 微光学元件在分束、并束中的应用 1 21 离轴照明中的整形技术 自从2 0 世纪6 0 年代以来，光刻技术的发展极大地推动了包括半导体 技术、激光技术、微加工技术、材料科学、光学、计算机等学科的发展。 随着半导体工业的发展，对新一代具有纳米级超精细图形分辨率的光刻技 术的要求显于导更加迫切。 为提高光刻系统的光刻质量，波前工程技术受到了人们的广泛关注。所 谓波盼工程技术，是指在不增大系统数值孔径和不缩短曝光波长的情况下， 通过对由于系统数值孔径有限而丢失的高频信号部分进行补偿和恢复，调 节瑞利公式中k ，和k ：的大小，从而提高成像质量的技术小”】f l 。“。瑞利公式 如卜- ： 只咄啬d o f = 2 土n a 2(1-2) 其中_ 为波长，n a 为数值孔径，而k ，k ，为条件因子。r 和d o f 分别 为系统分辨率以及成像焦深。 波前工程的内容十分丰富。诸如相移掩模( p s m ) 技术、离轴照明( o m ) 技术、光学邻近效应校正( o p c ) 、驻波效应校正( s w c ) 、表面成像多层抗 第一章绪论 四川大学硕士学位论文 蚀剂技术、空问滤波及其它波前工程技术的出现和发展，推动了光刻技术 极限向o 1 u m 以下发展，延长了光学光刻技术的应用寿命m ”1 。 离轴照明是波前工程技术的一个重要内容，并己广泛应用于深亚微米 光刻过程。它通过调制照明光源，使通过掩模的光与主光轴有一定的夹角。 大量的理论研究和实验证明该技术可有效改善系统分辨率以及成像焦深 田圈团 图1 2 离轴照明技术中常用围形 离轴照明技术中，整形元件将激光器出射的高斯型激光束分束为相应 的次缴光源形状。按照次级光源的种类来分有二极照明、四极照明、环形 照明等_ 川，如图1 2 所示。传统的离轴照明系统中，使用光阑遮挡，导致 系统能量利用率低。在新的照明系统中，由于采用了位相型微光学元件， 除能量利用率高以外，还有体积小、重量轻、易于复制、可以实现多功能 集成等优点，成为光源整形的优选方案。 n i k o n 公司2 0 0 2 年的专利描述了一个可调节放大率的光刻系统【l 1 ”。在 这项光学系统中使用了离轴照明、光瞳滤波两项波前工程技术。在照明系 统部分，使用了位相型微光学元件作为整形光学元件来形成次级光源形状， 操作面在传统的傅早叶变换面。然后使用无焦透镜组、微透镜阵列及其辅 助元件得到系统所需的高质量次级光源。其中实现整形的每个微光学元件 都育特定的结构，可以在光束通过时在远场( f r a u n h o f e rd i f f r a c t i o na r e a ) 形成四极结构、环形、或者系统需要的其它特殊光场分布。 本文中，拟将离轴照明系统中的整形操作面由传统的傅里叶变换面拓 展到分数傅罩叶变换面，用分数域微光学元件实现离轴照明系统光束整形， 第一章绪论四川大学硕士学位论文 可合理安排光路，并改善照明质量。 1 2 2 微光学元件在光束相干叠加中的应用 在激光泵浦、激光核聚变等实际工程中，单个激光器的输出功率远不 能满足发计指标的要求，而其功率的提高又受到增益介质饱和、光学损伤 以及散热等因素的限制。如果利用多个激光器进行光束叠加，既可有效地 增大激光功率，又能改善系统的鲁棒性( 即单个激光器的损坏不会很大的 影响系统的输出) ，有良好的应用前景i “”。 光束并束系统中核心光学元件可大致分成下面几类：光折射晶体、分 束镜、光纤”“8 i 以及衍射光学元件。 其中，使用衍射光学元件以实现光束并束，不但衍射效率高，而且可 以使用工艺技术已经成熟了的集成电路加工技术来制造相应元件。如果能 将并束操作扩展到分数域，那么选择根据系统优化的分数阶，还可以灵活 地选择操作面，增加了整形自由度及提高并束质量。 激光光束相干叠加的条件：1 阵列光束的位相与频率锁定；2 各光束位 相光系调制沿光轴有最大输出；3 输出波前在出射孔径上有准均匀照明。研 究已经证明【l “9 i ，利用微光学元件并结合光束叠加的相关技术可实现上述要 求。 激光光束相干叠加需要多束激光之间均是相干光束，“注入锁定 ( i n j e c t i o h l o c k e d ) ”法可使多个激光器发出的激光具有良好的相干性， 如图卜3 所示，该方法调整各光束之间的位相关系实现激光阵列相干，其 中的二元位相光栅具有双重功能：1 将注入的锁定信号均分于n 个随动激光 器：2 将这n 个随动激光器的输出合成一均匀光束小2 。在本文光束叠加衍 射光学元件设计中，提出使用分数域微光学元件实现近场光束叠加操作的 新方+ 案，提高了并束操作的效率和灵活性，为分数傅里叶光学的发展以及 应_ j 做了有意义的探索。 第一- 掌绪论四川人学硕士学位论文 圈1 3 戍阁“注入锁定”法实现光束叠加的共腔结构。2 0 | 1 3 微光学元件设计方法 微光学元件的设计问题模式可以归结为：已知变换系统中输入面上光 场振幅和输出面上光场分布，怎样计算输入面上的光波场的位相分布，使 得入射光束通过光学变换系统，能衍射出预期输出图样。 1 9 7 1 年g e r c h b e r g 和s a x t o n 提出了著名的g s 算法f 1 2 n 1 1 - 2 2 1 1 屯引，即由 已知像面和衍射面上的强度分布来计算它们的位相值。1 9 7 3 年m i s e l l t “， b o u c h e r i 卜2 5 1 和f i e n u p 等人6 l 3 1 1 相继提出了各种修正的g s 算法，使算 法的收敛速度更快。但是这些重构波函数的算法大都局限于处理傅里叶变 换系统中的位相恢复问题，即输入和输出波函数之间是由f o u r i e r 变换关系 联系起来的，若衍射损耗不能忽略，则对应于一个非幺正的变换，在这种 情况下，利用基于傅里叶变换而建立起来的算法就很难奏效。 始于1 9 8 1 年，杨国桢和顾本源等人应用光学般变换理论，提出了幺 l r 变换系统中振幅位相恢复问题的一般描述方法，随后又将这一理论方法 椎j 剑非幺i f 变换情形【i 。4 i ，建立了相应的迭代算法，即y - g 算法。g s 和y - g 算法都是利用迭代收敛的方法进行设计衍射光学元件，因此计算量 很大，在设计面积较大的衍射光学元件时，常常不能得到满意的结果，而 蒴一章绪论 四川大学硕士学位论文 且由于计算中容易陷入局部极小的困境，因此得到的结果虽然总偏差较小， 但局部的偏差仍然可能很大。 1 9 7 4 年o l o fb r y n g d a h l 提出了一种基于能量守恒原理的设计方法 追述法| l 。3 ”，该方法假设输入面和输出面上各点一对应，两个面上的总能 量相等。利用这样的条件，通过计算就可求出输入面上的位相分布。利用 追迹法设计衍射光学元件，不需要使用迭代等运算量特别大的算法，因此 运算量小，可用于设计大尺寸的衍射光学元件，但是，追迹法是基于几何 变换原理的设计方法，它仅在输入函数的变化缓慢( 即满足稳相条件) 时， 4 能求解出高精度的解，否则计算精度差。 1 9 8 3 年k i r k p a t r i c k 等将退火思想引入组合优化领域，提出一种解大规 模组合优化问题，特别是n p 完全组合优化问题的有效近似算法模拟 退火算法( s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h m ) i - 3 6 o 它源于对固体退火过程的 模拟，采用m e t r o p o l i s 接受准则，并用一组称为冷却进度表的参数控制算 法进程，使算法在多项式时间里给出一个近似最优解。这与以往处理问题 的方式不同，以往的方式是：从初始点开始，立即沿下降方向前进，走得 越远越好，似乎这样才能迅速求得问题的解。但是，这种方法往往只能求 得局部极小点，却求不到整体小点。自然界本身的极小化算法则基于一种 截然不同的方式，类似于液体流动和结晶以及金属冷却和退火的方式，其 过程的本质在于缓慢的制冷，以争取充足的时间，让大量的原子在丧失可 动性之前进行重新分布，这才是确保达到低能量状态所必需的条件，实际 上，如果某种液体金属被迅速冷却或被“淬熄”，那么它不会达到这一状态。 凼此，模拟退火法能够以缓慢退火来换取使系统获得摆脱局部能量极小点 的机会，并找到一个更好的、更接近于整体的极小点。然而如果要实现缓 慢退火，需要的运算量也是巨大的，常常不能真正的找到整体的极小点， 因此利用模拟退火法设计大尺寸的衍射光学元件，与使用g s 算法类似， 常常不能得到满意的结果。 除了以上的这些设计方法外，还有一些其它的设计方法，如直接二元 搜索法、遗传算法等等。 自从2 0 世纪8 0 年代后期m i tl i n c o l n 实验室的v e l d k a m p 提出二元光 8 第一章绪论四川大学硕士学位论文 学概念以来，现代光学经过二十多年的发展，已进入比较成熟的阶段。新 的优化设计方法和更精细加工技术的出现带来了衍射光学元件应用研究热 潮。本文针对离轴照明和光束叠加技术对整形光学元件的应用需求，提出 种针对分数域微光学优化结构设计的新算法一f r p i ( a f r a c t i o n a l f o u r i e r - d o m a i np r e s e t p h a s ei t e r a t i o na l g o r i t h m ) 算法。借助计算机模 拟的快速、灵活的优越性，编制了分数域整形操作的仿真软件，为分数域 整形光学元件的设计提供了一个快速方便的计算工具，为优化设计分数阶 以及分数域微光学元件的结构和改善整形效果奠定了基础。综上所述，对 分数域微光学元件的设计方法的探索，对发展现代光学技术，指导分数域 微光学的应用工作有着重要的理论价值和应用意义。 1 4 本论文的研究内容 自从分数傅里叶光学建立以来，分数傅立叶变换已经在光束传输、图 像处理、信号滤波等不同领域有广泛的应用。本文重点研究了分数域微光 学元件的设计方法，针对离轴照明系统和光束相干叠加两个应用背景中整 形微光学元件的设计，建立了相关理论模型，提出了分数域微光学元件设 。算法f r p i 算法，开展了相关的模拟计算研究。 论文内容安排如下： 第一章：前言 简要介绍本研究目的以及背景，并重点介绍了整形光学元件的应用领 域以及整形光学元件的设计方法和研究意义。 第二章：分数傅里叶变换 简介分数傅里叶光学相关知识以及基础理论，为分数域微光学元件设 计以及整形过程的模拟研究奠定基础。 第三章：分数域微光学元件的设计方法及在离轴照明中的应用 第一章绪论四川大学硕士学位论文 提出f r p i 算法用于设计分数域微光学元件，并针对离轴照明的实际应 用，设计了相应实现分束功能分数域微光学元件，为开展离轴照明中分数 域整形操作的实验研究提供了理论依据。 第四章：分数域微光学元件在光束相干叠加中的应用 针对光束叠加的实际应用，设计了相应并柬操作的分数域微光学元件， 为其在光束叠加技术中的应用提供了理论依据。 第五章：总结。 总结本文的工作，并提出对此项工作的展望。 第一章分数傅里叶变换 四川大学硕士学位论文 第二章分数傅里叶变换 分数域微光学元件是在分数傅里叶域实现相应滤波、分束和并束等操 作的光学元件。本章将简介分数傅里叶变换的定义、性质、光学实现等基 础理论以及分数傅里叶光学的发展历史以及研究现状，为分数域微光学元 件设计研究工作的开展奠定理论基础。 2 1 基本定义及性质 n a m i a s 最初提出的分数傅里叶变换是从纯数学的角度，通过算符的本 征方程，结合傅里叶变换引入的。他将常规傅里叶变换视作分数傅里叶变 换的一个特例。 设输入函数为f ( x ) ，则其p 阶分数傅里叶变换定义为1 m l 击j ： f 9 ，( 石) 】_ ，( x ) 绋( 墨“) 出 ( 2 _ 1 ) 口。( x ，“) 为核函数， b i , ( x ，“) ：e x p - _ i ( _ 7 r 了4 订了- 妒2 一) e x p 【f z ( x 2c 。t 庐一2 x u c s c 庐q - u 2c o t ) 】( 2 2 ) i s l n 口l 其中，妒= p z l 2 ，矽= s g n ( s i n 矿) ，p 为分数阶。 m e n d l o v i c 和o z a k t a s 等人从光在二次方梯度折射率介质中的传播入 手，给出了分数傅旱叶变换的级数形式的表达式，而l o h r n a n n 则从w i g n e r 分布函数出发，用w i g n e r 分布函数的旋转来定义分数傅里叶变换。可以证 明，这几种定义是完全等效的。 分数傅旱叶变换有以下常用性质【2 7 ： 线性 第二章分数傅里叶变换四川大学硕士学位论文 几个函数线性叠加的分数傅罩叶变换等于这几个函数同级次的分数傅 罩叶变换的线性叠加， ，”( c ，( z ) + c2 9 ( x ) = c l f9 ，( x ) ) + c 2 f g ( x ) ) ( 2 3 ) 其中，c ，c ，是任意复常数。 连续性 对于p - 、p 2 阶两次分数傅里叶变换，有 f 。1 9 + 。2 9 。r ( x ) ) = f 。9 f 。2 厂( x ) ) = f 。2 9 f 。1 9 厂( z ) ) ( 2 4 ) 指数可加性和交换性 f9 。+ 9 2 ( 厂( z ) ) = f9 。f9 2 厂( x ) = f p 2 f 9 1 ，( x ) ( 2 5 ) 可逆性 对一个函数的p 级分数傅里叶变换进行一p 级的分数傅里叶变换，则可 得到原函数： f 9 f ，( x ) ) = fo 厂( z ) = f ( x )( 2 6 ) 周期性 分数傅罩叶变换是周期为4 的变换， fp + 4 ，( x ) ) = f 厂( x ) ) ( 2 。7 ) 平移性 分数傅罩叶变换具有特殊的平移性质： f 9 ( f ( x + m ) ) = e x p i ms i n a ( v + mc o s 口2 ) 】g f 9 厂( x ) ) 【，+ 。】 ( 2 - 8 ) 其中m 是输入平移量。可见输入信号的平移不变仅引入了一个位相因 子，还使其分数傅里叶变换的输出信号产生了平移。 相似性 分数傅黾叶变换的输入信号的尺度发生变化时，不仅会引入一个与尺 l ， 第一二章分数傅里叶变换 四川大学硕士学位论文 度因子有关的二次位相，而且还使分数傅里叶变换的级次发生了改变， 州他肛压罴e 嘶知叫1c 嘲。s i 2f 1 ) 哪煳 ( 2 9 ) 其中c 是输入信号的尺度变化因子，口= p n 2 ，并且有 t a n 口= c 2t a n a 。这与传统的傅里叶变换有着明显的不同。 自成像 ( 2 4 ) 式中当c 2 最= 4 时，有 f “”4 厂( x ) = f f4 厂( z ) = f 卵 厂( x ) ( 2 1 0 ) 这是变换面的自成像。 部分卷积与相关 可如下定义函数f ( x ) 、g ( x ) 的卷积操作： c o n v ( f ( x ) ，g ( 工) ) = f 。1 f 1 厂( z ) f 1 9 ( 工) ( 2 - 1 1 ) 类似地可定义分数阶卷积为： c o n v 9 ( 厂( x ) ，g ( 工) ) = f 一9 f 厂( x ) xf p g ( x ) ) ( 2 - 1 2 ) 分数相关定义为： c o r r 9 ( 厂( 工) ，g ( x ) ) = c o n v 一9 ( ，( x ) ，g + ( x ) ) ( 2 1 3 ) 帕色伐定律 同传统的傅里叶变换相同，分数傅里叶变换也是能量守恒的，满足帕 色伐定律 ；厂2 d x = 胪9 厂( 石) 2 矗v ( 2 - 1 4 ) 除了以上性质以外，分数傅里叶变换还有许多其它特有的性质】。 第一章分数傅里叶变换 四川大学硕士学位论文 2 2 分数傅里叶变换的光学实现 有两种方式可以实现分数傅里叶 变换，一种是m e n d l o v i c 和o z a k t a s 等 人提出的用二次方梯度折射率介质 g r i n ) 作为分数傅里叶变换器，介 质的长度对应于变换阶数。另一种是 l o h m a n n 提出的用单透镜或双透镜的 组合来实现分数傅里叶变换j - 2 - 6 。 2 3 1 二次方梯度折射率( q r i n ) 介质 o 图2 - 1 二次方梯度折射率( g r i n ) 介质 输入光束的横向复振幅分布在二次方梯度折射率( g r i n ) 介质中的传 播可用p 阶f r t 描写，分数阶p 与传播距离成正比。 对折射率分布为* 的梯度折射率介质， 行2 ( ，) = 竹? 1 一( 鱼) ，2 】( 2 1 5 ) 盯l 其中，为径向坐标，以l 、”2 为常数。 设输入面为z = 0 ，输入函数为厂( z ) ，则在z ：工= 罢( 旦) 1 72 上得到f z 玎 1 山于系统在轴向完全均匀，因此在z = p z 的面上得到f 一厂。 23 2 薄透镜系统 1l o h m a n nl 型( 单透镜系统) 图2 - 2 所示为l o h m a n ni 型分数傅里叶变换系统，输入面和输出面距 透镜的距离均为z ，透镜的焦距为，。当z 和，满足下列条件时，输出函数 1 4 第二章分数傅里叶变换 四川大学硕士学位论文 为输入函数的p 阶分数傅里叶变换： z 钏a n ( 缸，= s i n ( 拿) ( 2 - 1 6 ) 图2 - 2 实现p 阶分数傅里叶变换的光学装置：l o h m a n ni 型 其中，1 称为标准焦距，当变换系统定时为常数。 2l o h m a n n1 1 型( 双透镜系统) 图2 - 3 所示为l o h m a mi i 型分数傅里叶变换系统，它应满足的条件为： z = i s i n ( 譬) ，= t a n ( 孚) ( 2 - 1 7 ) n p u l 图2 3 实现p 阶分数傅里叶变换的光学装置：l o h m m mi i 型 在l o h m a n ni 型的基础上，通过改变透镜在系统中的位置，可以衍生出多 种实现分数傅里叶变换的薄透镜系统 2 | 8 】。 2 3 分数傅里叶变换的意义 傅罩叶变换是十九世纪数学上的伟大成就之一，因其为线性系统分析 一 s ! l n 址 一 onp 协0 一 z 第二章分数傅里叶变换四川大学硕士学位论文 提供了有力工具，至今仍在科学和工程的众多领域起着不可估量的作用。 1 9 4 6 年d u f f i e x 将傅里叶变换引入光学领域，1 9 6 0 年激光器的诞生提 供了相干性很好的光源，由此逐渐发展形成现代光学的重要分支傅里 叶光学。在傅里叶光学中，应用线性系统理论和空间频谱的概念，分析光 的传播、成像和变换问题，用改变频谱的方法处理相干成像系统中的光信 息；用频谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。傅里叶光学已经在 许多领域取得了重要的应用。二十世纪末叶分数傅里叶变换理论取得很大 的发展。1 9 9 3 年m e n d l o v i c 和o z a k t a s 等人将其引入光学，并和l o h m a n n 等人分割提出用光波在二次型梯度折射率介质中的传播或用透镜系统实现 分数傅旱叶变换的方法。经过几年的研究，1 9 9 5 年o z a k t a s 等提出了分数 傅早叶光学的概念。 分数傅里叶变换( f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ) 是更广义的傅里时变换。 分数傅里叶光学是将数学中的分数傅里叶变换引入光学而形成的现代光学 耨分支。它是傅里叶光学的发展和延拓，它可以使我们用一个新的观点去 审视光的传播、成像和信息处理等问题，并为我们提供一种新的工具去处 理这些问题。分数傅重叶变换的最重要的参量是它的分数阶，它的引入使 得傅罩叶变换成为分数傅里叶变换的种特殊情况，或者说分数傅里叶变 换是傅罩叶变换的更为一般的情况。傅里叶光学中的频域也就成为分数傅 早叶光学中的连续分布的分数域的特殊位置。傅里时变换中的每一个特性 和每一种应用都是分数傅晕叶变换的一种特殊情况。因此，在使用傅里叶 变换和频域概念的每一个领域都存在用分数傅里叶变换推广和改善的可能 性，这就为分数傅里叶光学的发展提供了广阔的空间，导致它在光学和信 息处理中必将有更多的应用。因此，分数傅里叶光学已成为近年来信息光 学前沿研究的一个热点。这方面的一些工作已经有所报导，如： i ，分数傅罩叶变换本身是空变的，在分数傅里时域滤波上对空变信息 的处理上有传统滤波所无可比拟的优势1 2 - 0 1 ； 2 ，分数傅罩叶变换对应于w i g n e r 分布函数在相空间的旋转，用来研 究相空间的理论具有明显的优势 2 - 1 0 ： 16 第一章分数博里叶变换 四川大学硕士学位论文 3 ，分数傅里叶变换与分数盖伯变换等有密切的联系，对特定信号的处 理也具有传统变换所不具有的优点1 2 “j | ； 4 ，负二次型渐变折射率介质和分数傅里叶变换有着共同的本征模式， 分数傅里叶变换可作为研究其成像的理想工具 2 1 2 1 ； 5 ，由于部分相干成像系统的互强度可用分数傅里叶变换来表示，因此 可以将分数傅里叶变换用于部分相干成像系统研究1 2 1 3 】； 6 ，分数相关是平移改变的，其分数阶是空间位置的函数。因此可以将 分数傅里叶变换与传统的分数相关联系起来用于居域目标的识别， 进而建立新的分数相关理论 2 - 1 4 j ： 7 ，由于分数傅里叶变换中分数阶的特性，用其可以制成一种新的全息 图分数傅里叶变换全息图，既可以记录物光波的信息，又可以 记录分数傅里叶系统的信息口。5 j ； 8 ，分数傅里叶变换具有特殊的级联条件，将分数傅里叶变换与双位相 编码技术相结合可以用于图像加密，使得秘匙由原来的两重变成四 重，从而提高了系统的安全保密性能1 2 - ”】； 9 ，分数傅里叶变换特殊的周期性、连续性和可交换性，可以用于对图 像信息进行多级次、多通道的解码与编码【2 1 ； 10 ， 由于分数傅里叶变换与菲涅尔衍射有密切的联系，因此使用分 数傅里叶变换可以用于研究光束的传播、泰保效应等问题，还可以 用其进行衍射光学器件的设计、全息储存、波前的分析与校正等等 1 2 l8 1 第二章分数域微光学元件的设计及在离轴照明中的应用四川大学硕士毕业论文 第三章分数域微光学元件的设计及在离轴照明中的应用 3 1引言 为了满足超大规模集成电路的发展需要，提高光刻分辨率成为光刻技 术的核心问题”1 】。然而靠增大数值孑l 径和缩短曝光波长提高光刻分辨率会 带来许多问题，如焦深会随数值孔径的增大和波长的缩短而迅速减小。为 此，寻求既不影响焦深又能提高分辨率的新方法已成为近年来人们研究的 热点。离轴照明正是在这样的背景下发展起来的波前工程技术。 根据理论分析和实验报道，离轴照明技术既能将系统的分辨率提高 1 5 2 0 ，有助于增大系统成像焦深，对某些图形甚至可以增大焦深两倍 以上。离轴照明提高分辨率和增大焦深的程度与掩模图形有关，因此，对 不同掩模图形可以使用多种不同形状的次级光源，例如二极照明、四极照 明、环形照明等照明方式。 图3 - 1 离轴点光源成倾斜光线 离轴照明的实现原理如图3 i 所示，将某种形状的次级光源看作是许多 点光源的集合，根据傅里叶变换的性质：频域上的位移等价于空域上的相 移，某个点光源离轴后相当于频域上频谱有位移，因此经过透镜以后将会 第二章分数域微光学元件的设计及在离轴照明中的应用四川大学硕士毕业论文 产生相移，即得到一组倾斜的平行光。次级光源的不同形状则意味着得到 4 i 同倾斜角度的平行光线的集合，此平行光线的集合即为照射掩模图形的 离轴照明光束。 因此，产生次级光源是离轴照明的关键技术之一，以前常用的方法是 使用振幅型光学元件吸收不需要部分的光波能量，从而烙光束整形为不同 的形状，然而该方法具有能量利用率低、热效应高的缺点。为克服这些困 难，可选择衍射光学元件( d i f f r a c t i v eo p t i c a le l e m e n t s ，d o e s ) 在常规 傅罩叶域实现光束蕤形，例如在n i k o n 公司2 0 0 2 年的专利中，就使用衍射 光学元件实现光束整形，以得到不同形状的次级光源，图3 - 2 即为n i k o n 公司2 0 0 2 年专利中的光路示意图 3 - 2 。 巴童一i毳-一一 图3 2光刻照明系统光路示意图 透 镜 列 阵 由激光器发出的高斯光束，进入相应的整形光学元件( d o e ) ，得到的 各种特定形状的次级光源，随后进行光场匀化、相干度调节等操作，提高 离轴照明光束的质量，进而得到高质量的光刻图形。 i l i 蒸 -r-_-， 积分透镜 第二章分数域微光学元件的设计及在离轴照明中的应用 四川大学硕士毕业论文 为了更有效的改善整形质量，提高光路安排的合理性、灵活性，可将实 现光束整形区域由常规傅里叶变换面扩展到优化的分数傅里叶平面，如图 33 、3 4 所示。在图3 - 3 的分数傅里叶整形中，比起常规傅里叶域整形多 出一个自由度，在照明系统一定的情况下，d o e 到成像平面的距离由分数阶 p 和透镜焦距决定【3 _ 3 1 ；在图3 4 的传统傅里叶整形中，d o e 到成像平面的 距离仅由透镜焦距决定。如果结合系统要求参数对整形元件结构进行优化， 并且将该元件置于优化的分数域光学平面上，则可以更好的调节分数域整 形元件上信号通过率，从而最终改善整形的结果。在本章中，将对这种分 数域整形元件的设计方法以及整形的衍射效率、r m s 等参数进行必要的研 究。 入射高 入射高斯光束 p 阶分数傅里叶变换 氰 i 出 分， 域 图3 - 3 分数傅里叶域整形 常规傅里叶变换 图3 - 4 常规傅里叶域整形 需的 出射的系统所需 的任意光束 2 0 撇 朱岁 第一章分数域徽光学元件的设计及在离轴照明中的应用 四) i l k 学硕士毕业论文 3 2 g - s 算法净4 基于标量衍射理论的g s 算法是用于设计微光学元件极为有效的算 法，适合用于纯位相型衍射光学元件的设计，可以得到衍射效率高的光学 元件，已获得了广泛的应用。g s 算法设计衍射光学元件，类似于光学成 像系统中位相恢复问题：已知成像系统中输入平面上光场振幅和输出平面 上光场分布，如何去计算输入平面上的光波场的相位分布，使得光学系统 正确的调制入射波场。 典型的光学变换系统如图2 2 所示，该变换系统通常由三部分组成：输 入平面p 、，输出平面n 和置于输入平面p l 与输出平面p 2 之间的各种调制 光波的元件，用符号g 来表示。 图3 - 5典型的光学变换系统示意图 g s 算法的流程为：先随机假设位相分布，与输入面的振幅分布一 起作为输入光场的复振幅分布，对其作f o y e r 变换，得到频域的分布函数， 对其加以限制，再作逆f o x i e r 变换，又得到空域的分布函数，对此函数再 加以限制，又作f o u r i e r 变换，重复以上步骤，直到满足条件为止，即可得 到所要求。 第三章分数域微光学元件的设计及在离轴照明中的应用四川大学硕士毕业论文 输出面实振幅分布a ：( x ，) 输入面实振幅分布a 1 ( x 。) 初始随机位相庐，o fn = n + 一