（概率论与数理统计专业论文）滑动平均过程关于大数律的精确渐近性.pdf

摘要 概率论是从数理上研究随机现象的规律性的学科，它在自然科学，技术科学，社会 科学和管理科学中都有着广泛的应用，因此从上世纪三十年代以来，发展甚为迅速，而 且不断有新的分支学科涌现，概率极限理论就是其主要分支之一，也是概率统计学科中 较为重要的基础理论 对于概率极限理论，收敛性的讨论是核心问题；概率论中有一系列收敛的概念，包 括依概率收敛，依分布收敛，几乎必然收敛等，而h s u 和r o b b i n s ( 1 9 4 7 ) 首先提出完全 收敛性的概念，他们和e r d o s ( 1 9 4 9 ，1 9 5 0 ) 得到：对任意的e 0 尸( 1 凰l e n ) o o ， n = lk = l 其中【x ，x k ；k 1 ) 是独立同分布的随机变量序列，e x = 0 ，e x 2 o o 二十世纪六 十年代，k a t z ( 1 9 6 3 ) 和b a u m 和k a t z ( 1 9 6 5 ) 推广了他们的结果，得到了如下的结论： 设x 1 ，溉，为独立同分布的随机变量序列，并且1 p 2 ，r p ，那么： 扎；- 2 p ( i l 竹；) o o n = l k = l 成立的充要条件为：e x = 0 ，e i x l r o o ，r 1 ， 在此后，又产生了各种各样的上述结果的推广形式，g u t 和s p 冱t a m ( 2 0 0 0 a ) 讨论了 部分和的对数律的精确性，他们的结果为：假设e x = 0 ，e x 2 o o ，那么对于任意 的0 1 ， 警尸( i 溉i 万而) o o n = l 。 k = l 众所周知，现实生活中所发生的事情大多并不是互不相关，而是彼此之间具有某种 联系的，正确地用数学方法来描述这种相关性，就可以用数学这一精确的工具来对事 物进行精确的分析，由此可见，研究非独立的随机变量序列有着十分深刻的理论和实际 意义 在第一章中，我们主要研究了更新项为负相伴的滑动平均过程大数律对数形式 的精确渐近性，负相伴这一概念是由a l a m 和s a x e m a ( 1 9 8 1 ) 及j o a g - d e v 和p r o s c h a n ( 1 9 8 3 ) 提出的由于它在与实际密切相关的模型( 比如：可靠性理论，渗透理论，多元分 析等) 中有着广泛的应用，因此引起了众多了众多学者对它的关心我们运用了一个滑 1 中文摘要 动平均过程的纯代数分解，把对一些独立同分布，负相伴平稳成立的精确渐近性作了一 定程度的推广得到的结果如下： 设 岛；一0 0 i o o 是负相伴的平稳序列，珧= 0 ，v a r e i + o 。 ) 是实系 数，满足如下条件：蒿歹2 2 o o ，暑一o o 歹2 丐2 0 ，我们有： 1+ o o1 躲去薹赤p ( i s i e v n ( 1 0 9 死) ；) 一p g u t 和s p 五t a m ( 2 0 0 0 ) 讨论了b a u m - k a t z 的大数律的精确渐近性，并且他们得到了 如下的结果： 如果 虬；k 1 ) 是独立同分布的随机变量序列，e 五= 0 ，0 e x i = 7 2 。，那 么对于任意1 p r 有： 刚l i m 掣n 脚 l 虬l e n 砧南e 吲掣 n - - - - 1k - - - - 1 其中z 是服从均值为零，方差7 2 的正态分布 y x l i ( 2 0 0 6 ) 把上式推广到了更新项为负相伴平稳的滑动平均过程我们第二章在 某些设定的条件下，对上式作了进一步的一个推广，结论如下： 定理：若a i ；一o o i o o ) 是实系数，满足如下条件：嚣歹2 啄2 0 p ( i n - - - - 1 k = l 溉l 死) o o ， i fa n d o n l yi fe x = o ，麟2 o o i nt h e6 0 so ft h e2 0 t h c e n t u r y , k a t z ( 1 9 6 3 ) a n db a u m a n dk a t z ( 1 9 6 5 ) e x t e n d e dt h e i rr e s u l t s ：l e t1s p 2 ，r p ，m e n o o 竹 咒；。2 p ( 1 z 二， 、oz ji n ；) o o n 2 七= 1 i fa n do n l yi fe x = 0 ，e i x i r o o , r 1 l a t e r , b a s e do nt h ea b o v eu l t i m a t e n e s s , v a r i o u sc o n c l u s i o n sh a v eb e e n d e v e l o p e d r e c e n 吼g u ta n ds p 2 i t a r u ( 2 0 0 0 a ) d i s c u s s e dp r e c i s ea s y m p t o t i ci nt h e1 a w0 fl o g a r i t h mo ft i dr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e , t h e ye s t a b l i s h e dt h er e 砌ta s f o l l o w i n g ：1 e t f , x = 0 ，麟2 o o ，t h e nf o ra l l0 一s 1 ， 警p ( i 托l s 铜丽) n=l船=1 a si sk n o w nt oa l l ，e v e r y t h i n gh a sc o r r e l a t i o n sb e t w e e n o n ea n o t h e ri nm e w o r l d i fw ec a n p r o p e r l yd e s c r i b et h e s ec o r r e l a t i o n sb ym a t h e m a t i c s ，w ec a na n a l y z es u b j e c t s a c c u r a t e l yb yt h ep r e c i s et o o l - - m a t h e m a t i c s h e n c eo n ec a ns e e m a i ，t h es t u d vo nd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sh a sm o m e n t o u ss i g n i f i c a n c e i 英文摘要 i nc h a p t e ro n e , w ef o c u so nt h es t u d yo fp r e c i s el i m i tt h e o r e m so fn e g a t i v e l ya s - s o c i a t e d ( n a ) s e q u e n c e s t h ec o n c e p t o fn e g a t i v e l ya s s o c i a t e dw a si n t r o d u c e db ya l a m a n ds a x e m a ( 1 9 8 1 ) a n dj o a g - d e va n dp r o s c h a n ( 1 9 8 3 ) s i n c et h i sc o n c e p th a sb e e n w i d e l ya p p l i e di ns o m ep r a c t i c a lm o d e l s ( f o re x a m p l e ，r e l i a n c et h e o r y , f i l t e r i n gt h e o r y a n dm u l t i v a r i a t ea n a l y s i se t c ) ，i th a sa t t r a c t e dc l o s ea t t e n t i o n sf r o mm a n ys c h o l a r s w ea p p l yp 眦1 ya l g e b r a i cd e c o m p o s i t i o nf o rm o v i n g - a v e r a g ep r o c e s s e s ，i tt u r n s o u tt ob eau s e f u ld e v i c ei nr e d u c i n gm o v i n g - a v e r a g ea s y m p t o t i ct ok n o w nt h e o r e m s f o ri i d ，n e g a t i v e l ya s s o c i a t e da n ds t a t i o n a r ys e q u e n c e s w eg o tt h er e s u l ta sf o l l o w i n g ： l e t 岛；一 i o o b en aa n ds t a t i o n a r yr vs e q u e n c e s e e i = 0 ， v a r e i + c o 吩) i sr e a lc o e f f i c i e n t sw h i c hs a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ：嚣j 2 吩2 o o ，暑一o o 歹2 碍 0 ，w eg o tt h e r e s u l t ： l i m 0一l o g + 0 0 n = 2他l o g 竹 p ( i & i 何( 1 0 9 n ) ；) ：p g u ta n ds p 6 t a r u ( 2 0 0 0 ) d i s c u s s e dp r e c i s ea s y m p t o t i ci nt h el a wo fl a r g en u m b e r f o rb a u m - k a t z ，w h e ne _ 0 a n dt h e ye s t a b l i s h e dt h eb e l o wr e s u l t ：l e t 瓦；k 1 ) b e i i dr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e se 咒= 0 ，0 e x = - y 2 0 0 ，t h e nf o ra l l1 p 6 n ； = 两p 刺智 zi san o r m a lr 触，a n de z = 0 ，v a r z = f y x l i ( 2 0 0 6 ) e x t e n dt h er e s u l tt om o v i n g - a v e r a g ep r o c e s s e sw h e r ei n n o v a t i o nt e r m i sn aa n d s t a t i o n a r y a n di no u rs e c o n dc h a p t e r , u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，w ee x t e n dt h e r e s u l ta b o v ea sf o l l o w ： t h e o r e m ： n i ；一o o i o o i sr e a lc o e f f i c i e n t s ，s a t i s f y i n gs u c hc o n d i t i o n s ： 篝歹2 丐2 0 当且仅当e x = 0 ，e x 2 o o 二十世纪六十年代，k a t z ( 1 9 6 3 ) 和b a u m 和k a t z ( 1 9 6 5 ) 推广了他们的结果，得到了这样的结论：设置，凰，为独立同分布的随机变量序 列，并且1 p 2 ，r p ，那么： 成立的充要条件为e x - 0 ，e i x l r o o ，r 1 后来d a v i s ( 1 9 6 8 ) 证明了：e x = 0 ，e x 2 0 ，有： 警p ( 1 凰l2 万面) o o n = l 。 k = l 当且仅当e x = 0 ，e x 2 o o 其后，许多学者研究了h s u - r o b b i n s 和b a u m - k a t z 结果的各种形式的推广，比如 h e y d e ( 1 9 7 5 ) ，c h e n ( 1 9 7 8 ) ，l i ，w a n g 和r a o ( 1 9 9 2 ) 更进一步地，s p 吾t a l l l ( 1 9 9 9 ) 和g u t 和s p 吾t a r u ( 2 0 0 0 a ) 讨论了当e _ 0 时的部分和 的精确性，但这类结果对p = 2 不成立g u t 和s p 吾t a r u 用n l o g l o g n 代替住参，得到 了重对数律的精确渐进性结果，a a n g ( 2 0 0 1 b ) 用强逼近的办法给出了部分和和的最 大值( = m a x k n i 鼠i ) 的类似结果，同时z h a n g ( 2 0 0 l b ) 也讨论了c h u n g 型重对数律 的精确渐进性而用x nl o g l o gn 代瞽n 刍，l a i ( 1 9 7 4 ) 及c h o w 和l a i ( 1 9 7 5 ) i 正明了类似 b a u m - k a t z 形式的结果，这里称之为对数律g u t 和s p 盖t a m ( 2 0 0 0 a ) 讨论了部分和的对 数律的精确性，他们的结果为：假设e x = 0 ，e x 2 0 ， i l o g n p ( 1 i i , k l 何面) 0 ，有以下结论成立： c l i n m o 上- - l o g 薹= 而1 p ( 1 & 盼何( 1 0 9 呐2p( 1 1 ) 相同条件下，w h u a n g ( 2 0 0 1 ) 得到了进一步的结果：若对1 p 2 ， p 若有 e l x l r o o ，则： c 0 l i r a 2 ( r - p ) ( 2 - p ) 竹；吨p ( s n l 钆；) = 再pp e i n 2 删2 - p 成立，对0 6 1 ，有： o l i m _ 1 0 1 9 鲁元1p ( i & 协礼；) = 番 妒l i m m 薹掣唰v k i 鬲, 0 = 等一2 其中盯2 6 + 2 表示标准正态随机变量的( 2 6 + 2 ) 阶绝对矩 下面首先给出负相伴( n a ) 序列的定义 定义1 1 ：一有限的实值随机变量族 x k ；1 k 礼) 被称为负相伴( n a ) 的，如果 对于 1 ，2 ，n ) 的任何两个不相交的非空子集a l 和a 2 有： c o v l ( x 1 ，主a t ) ，厶( x j ，歹a 2 ) ) 0 其中 和厶是任何使得协方差存在且对于每个变元都非降的函数称一无穷的实值随机 变量族 ；1 k 竹) 是负相伴族，如果它的任何有限子族都是负相伴的 注：负相伴( n a ) 的概念首先由a l a m 与s a x e n a ( 1 9 8 1 ) 和j o a g - d e v 与p r o s c h a n ( 1 9 8 3 ) 提 出由于负相伴概念在许多实际应用的方面有广泛的应用( 比如：可靠性理论；过滤 理论和多元分析等等领域) 因此吸引了许多学者从事这方面的研究工作；比如：j o a g - d e v 和p r o s c h a n ( 1 9 8 3 ) 讨论了负相伴序列的一些性质；n e w m a n ( 1 9 8 4 ) 建立了负相伴 序列的中心极限定理；m a t u l a ( 1 9 9 2 ) 得到了三级数定理；s u ( 1 9 9 7 ) 证明了几个矩不等 式；s u ( 1 9 9 7 ) ，z h a n g 和w e n ( 2 0 0 1 ) 证明了一些弱收敛的一些结果；r o u s s a s ( 1 9 9 6 ) 建立 了h o e f f d i n g 不等式s h a o ( 2 0 0 0 ) 建立了r o s e n t h a l 型最大值不等式以及k o l m o g o r o v 指数不等式 浙江大学硕士学位论文 3 定义1 2 ：设 岛；一0 0 主 o o 是双侧无限的随机变量序列， ；一o o 歹 o o 是实系数，j - + - ：o o i i + o o ，甄= j - i - ：o o o o “一j ，是随机变量序列，k 的存在性可 以由k o l m o g o r o v 三级数定理验证，这样序列 托；k 1 ) 被称为滑动平均过程 对于滑动平均过程 溉；k 1 ) 在适当的条件下，已经获得了许多极限结果比如： 大偏差理论( l a r g ed e v i a t i o nt h e o r y ) 由b u r t o nd e h l i n g ( 1 9 9 0 ) 建立，y a n g ( 1 9 9 6 ) 给 出了中心极限定理以及重对数律( l i l ) l i ，e ta 1 ( 1 9 9 2 ) 和l x z h a n g ( 1 9 9 6 ) 建立了滑动平均 过程的完全收敛性的理论yx l i ( 2 0 0 6 ) 给出了如下的中心极限定理： 滑动平均过程的中心极限定理 假设k ；一0 0 i o o 是负相伴平稳随机变量序列，并且眈= 0 ，0 v a r e i + o o ，0 盯2 = e ；+ 2 七0 0 ：2e e l 6 k o o ，x 知= j + ：o o 一七o ，我们有 x 七；k 1 ) 服从 中心极限定理： c ， 一 - n ( 0 ，1 )r 、 j v 7 1 , 这里丁= 盯( ：口t ) 在本文中我们讨论关于滑动平均过程大数律的精确渐近性质，下面我们给出本章的 一个主要结果： 定理1 1 ：设 岛；一o o 蕾 ) 是负相伴的平稳序列，e e i = 0 ， v a r e i + 。 ) 是实系数，满足如下条件：歹- - ：0 1 0 歹2 弓 0 0 ，掣一歹2 弓 0 ，我们有： 姆击薹意赢p ( i 晶i g 何( b g 一) = p 注：这个结果把p a n g ( 2 0 0 5 ) 关于n a 序列部分和的精确渐近性结果1 1 推进到了 更新项为n a 的滑动平均过程的精确渐近性结果 4 第1 章滑动平均过程对数律的精确渐近性 1 2 滑动平均过程与负相伴序列的一些性质 为了证明本章主要定理，我们需要首先在本节引入几个关于滑动平均过程与负相伴 序列的几个性质作为引理，下面依次介绍如下： 下面引入一个纯代数分解表示，作为证明一个方法 引理1 1 ： 粥( l ) = 扩勺，b ( l ) = 一- 1b ，则有： c ( l ) = c ( 1 ) 一( 1 一l ) c ( l ) ( 1 2 ) b ( l ) = b ( 1 ) + ( 1 一l ) b ( l ) ( 1 3 ) 其中：舀( l ) = 于弓，弓= 莽。c 知，百( 三) = 一- - o 。1 一上， ，弓= 三o 。b k 假如p 1 ，则： 尸i 勺i p 0 0 兮计 ； 1o ll 歹p l b i p o oj 卮l p o o 证明： 首先考虑第一个等式右边 ( 1 一l ) c ( l ) = = c k l j 一c 七“ j = 0 七= j + l j = 0 七= j f + 1 o oo o = c k u 一c k 一 j = o 船巧+ lj = lk = j + l = 己。一c j u 移项后，可得( 1 2 ) 式成立 一1 ( 1 一l ) 百( l ) = ( 1 一l ) 弓 j = - o o - 1j = ( 1 一l ) ( b k ) l j j = - o ok = - o o 驴 勺 伽 l o 铅 咐 七 ：豆 己一 0 = 浙江大学硕士学位论文 5 1 f ( f j ：，、j ：一 j = 一o ok - - - - - o o - 1 j b k ) l j 一( b k ) l j + 1 j = - o o 七= 一o o - - 1 j ( b k ) i f i j = - o ok = - c o - 1 j 0j 一1 ( b k ) l j j = 一o o 缸= 一 - 1 j l - 1 ( b k ) l j 一( b k ) i _ f i 一 j = 一七= 一j = 一k = - c o 括一 一1一l 6 j 一k p j = - o o k = - c o b ( l ) 一b o ) 因此( 1 3 ) 成立两个有界性成立参见文献【1 9 】 注：假设 托) 是一个线性过程： o o 溉= c ( l ) e k = 勺鼠一j ，c ( l ) = 白， 由上述引理，那么： 其中 j = o 氙= c ( l ) e k = 对两边从1 到n 求和 1 1 , j - - - - o x k = c ( 1 ) 靠+ 蕻一1 一磊 o o c j k j ， 甄= c ( 1 ) g k + 而一磊 k = lk = l 同样地，若y k = ：一靠一j 则： 其中 一1 k = b ( l ) “= 幻乳一j ， b ( l ) = 一l ， k = b ( 1 ) + 反一氛一l b j = k = - o o b k l o 口 讲 七 = 勺 舢 ，1 。一 = 弦 lb = 反 6第1 章滑动平均过程对数律的精确渐近性 对两边求和，得到： = b ( 1 ) 七+ 磊一命 七= 1 引理1 2 ：滑动平均过程部分和的分解表示式 设 岛；一o o t ) 是随机变量序列，并且瓦= j + ：o o o o “一j ，瓦= 各1 ，& = 麓1 ，就有： & = a o 已4 - 葡一磊+ 磊一苟 其中： + n0 0001 山= o 七，死= 瓦= 弓。，弓= 口t ，露= k = - o ok = l i = j + lj = - o o 证明： 由上一个引理及其注，即得结论成立 j 哟n j ，2 凫= 一 n 凳 口 引理1 3 ：假设 k ；七1 ) 为负相伴随机变量序列，并且蹦= 0 ，0 秒) 七- - - - 1 证明： 参见l i u ( 2 0 0 2 ) 文献 1 6 】中的推论1 - 2 + 2 e ( 等声 口 七 x n 黼 o 卢 浙江大学硕士学位论文7 1 3 主要结果的证明 我们将用滑动平均过程的分解表示式来证明主要结果，由中心极限定理成 立：急立n ( 0 ，1 ) ，7 i = 盯+ 一o oq i ，因为7 - 是一个常数，为证明的简洁方便起见， 设7 _ = 1 ，将证明过程分成四个命题： 命题1 1 ： 对任意u p 0 ，我们有 证明： 。l i r a 。一l 。1 9s 名+ , 子舰l 。1 面p ( 猢0 9 礼) ；) = p 恕面1 乞+ c o 而1 p ( i i ( 1 0 9 他) ；) 将级数化成积分： = 1 悃志p ( i n i 即哪两五 做变量代换：铆= ( 1 0 9 z ) ； = 1 i m p f c - 扫m 枘 i p 最后一步运用了洛比塔法则，因此命题成立 下面，我们记。( 。，卢) = e x p e 卢8 - 。p ， p o ) 命题1 2 ： 对于任意的p p 0 ，我们有 证明： z 何) 一p ( i l z ) ) l = 0 去厂肿壶如 j 1 磊l 。g 。( ，) 口 岛h 姒茁h | 哪丽 脚 七 昌 一佗 咖 咖脚 l 哪 五 8第1 章滑动平均过程对数律的精确渐近性 旦 p 0 ，我们有： 证明： 婚面1 n 互所而1 删独g n ) ；) = 0 熘面1 n 互国而1 删 和鳓 一 0 ，我们有 姆面1 竹互所而1 p ( 1 啦而( 1 0 酬；) - o 证明：运用滑动平均过程的分解把命题分成五个部分，然后逐个证明由引理： & = a o 死+ 葡一磊+ 磊一苟 口 口 浙江大学硕士学位论文 9 其中： 那么： + o o a 。= 口七，已= k = - o o 苟= 啦，磊= i = j + l k = l 一1 3 = - o o 瓦= 码e n 而 七，e n 。夕一j ， _ j = o 萄e 靠。，萄= 2 n 七 吩e 靠o ，吩。 j n 七 k = - c x ) p ( 1 & d 元( 1 0 9 佗) ；) p ( i 如瓦i 5 元( 1 0 9 礼) ；) + p ( i 苟i e s v n ( 1 0 9 n ) ；) + p ( i 磊l 5 何( 1 0 9 礼) ；) + p ( 1 爸 o l 5 以( 1 0 9 n ) ；) + p ( 1 磊i e 5 x - n ( 1 0 9 n ) ；) = ：1 1 + 2 + 34 - 厶+ 厶 下面分别估计各部分：对于第一部分，运用引理1 3 ，取! ，= z 因此 1 1 = e ( i a o 瓦l e s x - n ( 1 0 9 n ) ；) = p ( i t i e l ( s a o ) x n ( 1 0 9 n ) ；) n y ( 1 l i e ( 5 a o ) 、元( 1 0 9 死) ；) + c 【 面i l n 互仞志 i = = = ：1 + 1 1 一- l o g en 笔，志 五1 l o g e n 意卢) c n p ( 1 1 i e ( s a o ) v - n ( 1 0 9 n ) - ；) 一l o g ee 2 1 0 9 a ( e ，p ) p 再估计第二部分： i i = 一l o g n 口( f ，p )n l o g n e 2 ( 1 0 9 n ) e 2 ( 1 0 9 r t ) ； 岛 一 ( 一e 旦昭仉 一b 0 = _ 1 0第1 章滑动平均过程对数律的精确渐近性 一l o g e e 2 ( 1 0 9 a ( e ，p ) ) ； c互 ：一e _ i b p l o g _ 0p _ o ) 现在我们考虑：2 ，因为嚣1 歹2 吁2 o o 我们有 应用切比雪夫不等式得到： 0 0o o0 0 碥霹=( j - - - - o k - - oj = k + 1 2 = p ( 1 苞o l e 5 何( 1 0 9n ) ；) 对于职有： 2 5 碥 2 佗( 1 0 9 他) ； 2 5 脆o o 厕 一0 ， 一0 ) 0 00 0 ) 2 职 ) 2 = ( j - - o k - - - - oj = k + 1 ) 2 o o 因此仿照铝的证明，当_ 0 ，可证第三部分趋于零，类似的方法可以证明，剩下的两 部分也收敛于零因此命题成立 口 第2 章滑动平均过程大数律的精确渐近性 2 1 引言及主要结果 托；k 1 ) 是独立同分布随机变量列，并且e 五= 0 ，0 p 1 对于任意 0 则有： 钆；一2 h ( n ) p i 尥l e 竹； 0 ，l i r a 等掣= l ； - - - - 0 0 、_ ， 对任意的6 0 ，l i r a x 6 h ( x ) = ，l i r a x 一6 h ( x ) = o ； 一当磨_ o o ，2 。墨格_ 1 c h e n ( 1 9 7 8 ) ，g u t 和s p u t u m ( 2 0 0 0 ) 讨论了b a u m - k a t z 的大数律的精确渐近性，并 且他们得到了如下的结果： 如果 溉；k 1 ) 是独立同分布的随机变量序列，e x = 0 ，0 e 定= 7 2 o o ，这 样，对于任意1 p r 有： 。l j m 。堑2 - 一p 、三n ；一- 2 p l k = l 虬l 狮；) 2 而p 即i 智 ( 2 2 ) 其中z 是服从均值为零，方差，y 2 的正态分布r 以 而y x z h a o ( 2 0 0 7 ) 对同分布n a 序列部分和的精确渐近性作了研究，他得到：如果 磁；k 1 ) 是同分布n a 的随机变量序列，e x = 0 ，0 e i x lq 0 ，使得l i m s u p 掣 0 ，使得l i m n o 譬= 0 - 2 ； ( 6 2 ) 存在正整数列佗奄下o 。，对某0 i 1 + 每，都有： 觐吾妒( n ) p 例e 归爵矿( 礼) ) = e i z i ； n = l 或者等价地成立： 刚l i r a i 1 ( n ) p i & i 西u ( 竹) ) = e i z i 吾 其中& = e 塾。x ，n = e 銎。五+ m ，z 表示标准正态随机变量 y x l i ( 2 0 0 6 ) 把( 2 2 ) 式推广到了滑动平均过程，她的结论如下：尥= 孥o o 七一j ， & = 怨1 溉其中豫；一o 。 i 。o ) 是均值为零，方差有限的双侧负相伴平稳随机变 量序列； o i ；一o 。 t o o 是绝对可和的实数序列，并且1 ps2 ，r p ，0 仃2 = 眈；十芒2 眈1 靠 o o ，那么( 2 2 ) 式成立 在本章以下部分，如无特别说明，我们始终设 毛；一o o 主 ) 是负相伴平稳 的随机变量序列，e s l = 0 ，0 e e o o ，0 仃2 = e e ；- 4 - 2 墨2e 6 1 “ ，x k = 善o 。一j ，& = e ：l 尥是其部分和 本章我们再对( 2 2 ) 式作些推广，得到的结论如下： 若 啦；一o 。 i co 是实系数，满足如下条件：蒿歹2 亏 o 。，暑一o oj 2 霹 我们有： 舰g 丢( 扎) p 酬s 砸瞬( 亿) ) = e i z i 吾 t l 竺- l 注：这个结果对y x l i 的结果作了部分的推广，并且从后面的证明可以看到大大简 化了l i 的证明过程；同时把z h a o 的结果从简单的随机变量序列部分和得到的结论推进到 了滑动平均过程 浙江大学硕士学位论文 1 3 2 2 引理 引理2 1 ： 设 拖；k 1 ) 是负相伴随机变量序列，e x k = 0 ，0 0 ，我们有1 p ( i & 胁) p ( i 五l 詈) + 2 e t ( 1 + 南) 一 证明： 参见y x z h a o ( 2 0 0 7 ) 文献【2 7 】 口 引理2 2 - 假设随机变量符合标准正态分布，z 0 ，我们记皿( z ) = 尸( i l z ) = 1 一圣( z ) + 圣( 一z ) ，西( z ) 是标准正态分布随机变量的分布函数且妒 ) 满足( a ) 所设 定的条件，这样就有： 。) l i 。m 。e 昙z ) 皿 妒舻( z ) ) 出= e j n ( i i ) n m u j ) 皿( e ( 钆) ) = e i l 吾 证明：对于任意的0 t p ) d t p ：pf p ( i x i t ) d t = p 矿_ 1 p ( i x i x ) d x - ，o 因此，对于任意的a 0 ，设y = e 妒 ( z ) ，我们有： 。l i m 。e 吾z 。) 皿( e 妒锄( z ) ) 如 为了从( i ) 证明( 税) 我们只需证明： ：1 。l i m 厂可扣皿( 可) d y 移e - - * o ，e 矿( n ) 。 丢z 产1 岫) 由 e ( i n i ) 吾 兰m 。嘉，、n ；一- = 。1