（一般力学与力学基础专业论文）平带驱动系统横向耦合振动分析.pdf

摘要 七十年代末以来，汽车发动机中的多重v 形皮带驱动己被多回旋的单多凸 棱平皮带驱动所替代。后者称为平带驱动系统( s e r p e n t i n eb e l td r i v e s y s t e m s ) ，通常由主动曲柄转轴、皮带、若干从动滑轮和张紧装置构成。平带 驱动系统的特点是包含动态张紧装簧，可以调节带的张紧程度以在较大的操作条 件变化范围中使带的张力保持为设定值。尽管平带驱动系统的采用已使得发动机 运转过程中的噪声和振动大为减小，但为改进设计仍有必要分析系统的振动特性 和振动响应。 首先，研究两端固定轴向运动梁的横向振动，导出了系统的频率方程，提出 了求解该非显式表达的非线性超越方程的数值算法，得到了固有频率和模态函 数。并在一端铰支一端固支的定边界条件下确定一匀速运动梁固有频率和模态函 数的方法。当轴向运动速度在其常平均值附近作简谐波动时，应用多尺度法给出 轴向变速运动梁参数共振时的不稳定条件。用数值仿真说明相关参数对固有频率 和不稳定边界的影响。 其次，使用模态分析的方法研究了基于弦线模型平带驱动系统的耦合振动。 从控制方程推导得到了系统的特征方程，通过数值计算研究了轴向运动速度和初 始张力对系统频率的影响。 再次，提出了一个考虑了带的抗弯刚度( 即粱模型) 的平带驱动系统线性模 型。与静平衡位形为直线型的弦线模型不同，考虑了小抗弯刚度的梁模型的静平 衡位形除了直线型之外，还可能是曲线型( 即梁的屈曲) 。其中，非直线型的静 平衡位形将会导致线性的轮一带耦台。对此，作者发展了一种普遍的模态分析方 法，从控制方程和边界条件推导得到了各系统的显式特征方程，并得到了其固有 频率和模态函数。 进一步地，在线性模型的基础上，提出了考虑抗弯刚度的平带驱动系统的非 线性模型，并通过多重尺度法得到了系统的解谐方程，通过求解其平衡点问题， 可以得到系统的稳态响应。最后，对本文所做的工作和得到的结果进行了总结， 并且展望需要进一步深入研究的工作。 关键词：平带驱动系统，模态分析，轴向运动粱，耦合振动，固有频率，模态函数 a b s t r a c t ： s e r p e n t i n eb e l td r i v e sw i t hal o n g ，f l a t ，m u l t i - r i b b e db e l ta r ew i d e l yu s e di nt h ea u t o m o b i l e i n d u s t r yf o rp a s s e n g e rv e h i c l e sa n dh e a v yd u t yt r u c k s w i t has i n g l eb e l t ，t h ee n g i n ep o w e ri s d e l i v e r e df r o mt h ec r a n k s h a f tt oa l lo ft h ei n d i v i d u a la c c e s s o r i e s ( a i rc o n d i t i o n e r , a l t e m a t o r , p o w e rs t e e r i n g ，w a t e rp u m p ，e t c ) t om a i n t a i np r o p e rb e l tt e n s i o na sa c c e s s o r yl o a d sa n de n g i n e s p e e dv a r i e s ，as p r i n g l o a d e dt e n s i o n e ri si n t r o d u c e d t h e r ea r em a n ya d v a n t a g e so f t h es e r p e n t i n e b e l td r i v e so v e rt h ev - b e l t d r i v e si n c l u d i n gc o m p a c t n e s s ，l o n g e rl i f e ，a u t o m a t i ct e n s i o nl o s s c o m p e n s a t i o n ，e a s eo fa s s e m b l y , a n ds oo n am o r ec o m p l e t eu n d e r s t a n d i n go fb e l t - p u l l e y v i b r a t i o nc o u p l i n gw i l la l l o we n g i n e e r st od e s i g nf u rr e d u c e ds p a nv i b r a t i o n s f i r s t ，t h et r a n s v e r s ev i b r a t i o no fa na x i a l l ym o v i n gb e a mw i t hf i x e ds u p p e r si si n v e s t i g a t e d t h e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nf o re i g e n v a l u e si sd e r i v e d as c h e m ei sp r o p o s e dt od e r i v en a t u r a l f r e q u e n c i e sa n dm o d a lf u n c t i o n so fab e a mu n d e rt h eg i v e nb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dm o v i n g a x i a l l ya tac o n s t a n ts p e e d a n dv i b r a t i o na n ds t a b i l i t ya r ei n v e s t i g a t e df u ra na x i a l l ym o v i n g b e a mc o n s t r a i n e db yap i n n e de n da n daf i x e de n d w h e nt h ea x i a ls p e e dv a r i e sh a r m o n i c a l l y a b o u tac o n s t a n tm e a no n e ，t h em e t h o do f m u l t i p l es c a l e si sa p p l i e dt ot h ea x i a l l ym o v i n gb e a mt o d e t e r m i n et h ei n s t a b i l i t yb o u n d a r yd u et op a r a m e t r i cr e s o n a n c e n u m e r i c a ls i m u i a t i o n ss h o wt h e e f f e c t so f r e l a t e dp a r a m e t e r so nt h en a t u r a lf r e q u e n c i e sa n dt h ei n s t a b i l i t yb o u n d a r i e s s e c o n d ，t h em o d a lm e t h o di sa p p l i e dt oa n a l y z ec o u p l e dv i b r a t i o no fb e l td r i v es y s t e m s ab e l t d r i v es y s t e mi sah y b r i ds y s t e mc o n s i s t i n go fc o n t i n u o u sb e l t sm o d e l e da ss t r i n g sa sw e l la s d i s c r e t ep u l l e y sa n dat e n s i o n a la r m t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no ft h es y s t e mi sd e r i v e df r o mt h e g o v e r n i n ge q u a t i o n n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ee f f e c t so f t h et r a n s p o r ts p e e da n dt h ei n i t i a l t e n s i o no nn a t u r a lf r e q u e n c i e s t h i r d ，al i n e a rm o d e l o fs e r p e n t i n eb e l ts y s t e mi n c o r p o r a t i n gt h eb e l tb e n d i n gs t i f f n e s si s e s t a b l i s h e d l h ef i n i t eb e l tb e n d i n gs t i f f n e s sc a u s e sn o n t r i v i a lt r a n s v e r s es p a ns t e a d ys t a t e ，i n c o n t r a s tt os t r i n gm o d e l sw i t hs t r a i g h ts p a ns t e a d ys t a t e n o n t r i v i a ls p a ns t e a d ys t a t ec a u s el i n e a r s p a n - p u l l e yc o u p l i n g ，a n dac o m p u t a t i o n a lm e t h o db a s e do nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sd e v e l o p e d t oo b t a i nn a t u r a lf r e q u e n c i e sa n d m o d a lf u n c t i o n so ft h es y s t e m s i na d d i t i o n ，b a s e do nt h el i n e a rm o d e l ，t h en o n l i n e a rm o d e li sp r o p o s e d a na p p r o x i m a t ea n a l y t i c a l s o l u t i o no fc l o s e d f o r mi sa l s oo b t a i n e df u rt h ec a s eo fs m a l lb e n d i n gs t i f f a e s s b a s e do nt h e s e s o l u t i o n s ，t h ee f f e c t so fd e s i g nv a r i a b l e s0 1 1t h es t e a d ys t a t ed e f e c t i o n sa n ds p a n p u l l e yc o u p l i n g a r ei n v e s t i g a t e d f i n a l l y , t h er e s u l t so f t h et h e s i sw e r es u m m a r i z e da n dt h ef u r t h e rw o r kw a ss u g g e s t e d k e yw o r d s ：s e r p e n t i n eb e l td r i v es y s t e m ，m o d a la n a l y s i s ，a x i a l l ym o v i n gb e a m ，c o u p l i n g v i b r a t i o n ，n a t u r a lf r e q u e n c y , m o d a lf u n c t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：童建! 至 日 本论文使用授权说明 期：虹 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：重巍：至导师签名：邋日期馊! u 第一章引言 第一章引言 1 1 研究背景 作用在主动曲柄转轴上的扭矩，由于气缸内的燃烧的不均匀而产生大小或者 方向上的变化，导致轮的转动振动的产生，同时轮的振动又传递给了轮之间传动 的平带，如图1 - 1 和图1 2 所示。这种轮带耦合振动对于整个系统的动力学 行为都有巨大的影响。在某些情况下，尽管没有横向外力作用于平带上，但是由 于这种耦合效应而使平带产生了大幅横向振动。在工业生产中，这种耦合效果是 有害的：机轴的振动，直接导致轮的转动振动，间接引起平带的横向振动，从而 引起噪声，疲劳失稳和平带打滑。更好地理解平带驱动系统的耦合振动机制，将 有助于工程师们在设计时减少平带的所产生有害振动和噪声，图1 3 所示的为在 实验室中用来测试平带驱动系统噪声的设备f 2 。 为了正确地描述整个系统的动力学行为，在模型建立的时候要考虑轮的离散 的运动也要考虑平带的连续的运动，从而产生了一个耦合的离散一连续模型。先 前的大多数研究都集中在轮的转动运动上，把平带仅仅看作是联系各个轮的弦 线。这样的离散模型并不能真实地反映系统的运动，特别是在平带和轮的耦合比 较强烈的情况下。因此，引进一个考虑了轮的转动运动和平带的轴向运动的混杂 模型将会更好地描述平带驱动系统的动力学特性。 由于引擎的高转速导致平带的轴向运动速度比较大，因此平带驱动系统具有 轴向运动介质的陀螺系统特性。很多工业上的应用都可以归为陀螺系统，例如伐 木用的电锯，立体声中的磁带，纺织机械，打印机和复印机等纸制品处理设备。 由于数学上的复杂性，以往的文献很少研究这类混杂的陀螺系统，因此需要提出 新的数学模型来描述该系统，同时也需要发展新的解析和数值方法来解决其中的 问题，例如找出某特定运动速度时的平衡位置，解决相应的本征值问题，各参数 对模态函数的影响，以及系统的动态响应等。因此，发展混杂系统的数学方法是 本文的主要研究工作之一。 第一章引言 图l l 平带驱动系统( 实验设备) 图1 2 汽车引擎( 轮带! 沤动) 图1 3 实验室中研究噪声的模型 1 2 研究进展 在这一节，将给出相关文献的综述。该综述分为两个部分，第一部分主要讨 论轴向运动材料的相关问题，平带驱动系统中的自由带可以归为这一类；第二部 分讨论关于整个平带驱动系统。 一、轴向运动材料 平带驱动系统中的传动带可以归轴向运动材料，关于这类材料的研究相当 多。已进行的研究包括静平衡位置，自由振动，动态相应和稳定性分析。在此方 第一章引言 面的研究大多数都集中在轴向运动材料的横向振动，提出可铰支边界条件下的弦 线或者梁模型。这些纯粹的连续模型由于不考虑带两端轮的转动振动，而无法描 述轮带之间的相互作用。其中文献 3 ，4 对这类轴向运动材料有详细的综述。 对于轴向运动系统( 陀螺系统) ，其固有频率是依赖轴向运动速度且其特征函 数是复数形式的5 ，这意味着系统中不同部分的相位角在同一个振动模式中也 不同的( 因此，不同部分即使在单一模态激励下也不是同时通过静平衡位置的) 。 这种特性是由于材料的轴向运动速度产生的。轴向运动速度导致两个对流加速度 项：向心加速度项和科氏加速项，这是静态响应系统所没有的特性。陀螺系统的 规范形式是m u 。+ g u 。+ k u = f 其中m 和k 是对称的自伴算子，g 是反对称的 自伴算子6 1 。 本文的主要工作是将平带的抗弯刚度引进到整个平带驱动系统，其大小相对 轴向张力来说是小量。整个平带可以模型化为一轴向运动的弦线，或者是一轴向 运动的e u l e r - b e m o u l l i 梁。本文的工作是找到了一种可以方便地求解梁模型的固 有频率和特征函数的数值方法。因此在这里将介绍一下以往文献中研究从弦线模 型转变为梁模型的工作。p e l l i c a n o ； d z i r i l l i 7 研究了轴向运动梁的大振幅非线性 振动，由于考虑了抗弯刚度，在梁的两端处产生了边界层，他们运用奇异摄动法 ( 合成展开匹配法) 来处理。6 z ，p a k d e m i r l i 和o z k a y a 矛1 用多尺度法研究了小抗弯 刚度变速运动梁的稳定性 8 】。o z k a y a 和p a k d e m i r l i 将多尺度法和匹配渐进展开法 相结合，构造了小抗弯刚度梁的非共振边界层解 9 。o z 矛1 p a k d e m i r l i 以及0 z 应用 多尺度法分别计算了两端铰支和两端固支情况下的稳定边界 1 0 ，1 l 】。p a r k e r 署1 l i n 用一阶g a l e r k i n 截断方法得到了离散的控制方程，然后用摄动法分析了梁轴向 应力扰动的影n 自e 1 2 1 。o z k a v a ； 口o z 利用人工神经网络算法计算了变速运动梁的稳 定边界 1 3 1 。s u w e k e n 平f l h o r s s e n 1 4 用多尺度法研究g a l e r k i n 离散后的控制方 程，分析了其在两端铰支情况下稳定性。陈立群和杨晓东分析了受混合边界约束 下轴向变速运动黏弹性粱的稳定性 1 5 。 二、平带驱动系统 对于平带驱动系统，以往研究中相当多的工作都是研究轮的转动运动，轮之 间通过模型为弦线的带来连接，而且没有考虑带的横向振动。这种没有陀螺系统 的特性的离散模型相对来说比较简单，在以往的文献中已有相当多的研究。通过 第一章引言 引进了很多因素例如轴承的阻尼，张紧臂的c o u l o m b 摩擦力等来描述系统的动 力学特性【1 6 ，1 7 。由于没有考虑带的横向振动，而这种振动可能很大同时又和 轮相互作用，因此这些模型仅仅是整个平带驱动系统的近似模型 1 8 。 以上两种模型分别代表了平带驱动系统中两种典型的振动：1 ) 单根平带的 横向振动，2 ) 轮的转动振动。相比较之下，以往文献中很少研究带和轮的耦合 振动。而考虑了连续部件( 平带) 和离散部件( 轮) 之间相互作用的模型更为复 杂且没有进展。关于这类混杂模型的研究晚于前两种模型，最早研究的是简单的 有两条带和两个轮构成的锯条系统。m o t e 和w u 1 9 在实验中首先注意到了带和 轮之间的耦合振动。w a n g 和m o t e 2 0 建立了解析的模型来研究包含抗弯刚度的 金属带的线性耦合机制。( 尽管已有很多文献研究了锯条系统，大多数把轮看作 带的铰支支撑，这使得带和轮的运动相解耦) 。h w a n g 和p e r k i n s 2 1 ，2 2 】主要研究 了当超过临界稳定速度时轴向运动梁的响应，并把他们的理论应用到轮带系统， 研究了整个混杂系统的响应。 由于平带驱动系统由更多的滑轮组成，此外还引进了张紧机构，其模型比两 轮系统要复杂得多。u l s o y 等人【2 3 考虑了系统的参数稳定性，提出在一定的工 作条件下，梁内张力的波动将会导致带的大幅横向振动。文献 1 2 1 中，在研究单 根梁的参激振动的稳定性时也发现了类似的现象。但是带的边界条件是经过特殊 处理的，消除了带和轮的转动振动之间的相互作用。对于电力传送带的自由和受 迫振动的研究，a b r a t e 3 第一次提出了通过考虑几何非线性和引进张紧机构来研 究整个平带驱动系统。b e i k m a n n 等人 2 4 ，2 5 将带看作运动弦线，研究了包含了 所有必需部件的典型的三轮模型，该模型很好地描述了现实中的平带驱动系统。 他们发现了张紧轮的转动振动和相邻的两根带的横向振动之间存在一种线性耦 合，这种耦合来自张紧轮改变了相邻带的边界点。z h a n g 和z u 2 6 ) 以及z h a n g 2 7 】 通过引进了带的阻尼进一步改进了这个模型，并给出了混杂系统的复模态分析方 法。p a r k e r 2 8 通过发展了一种空间离散的方法将上述模型推广到n 个轮的情形。 b e i k r n a n n 等 2 9 用模态截断和数值方法研究非线性耦合振动。他们利用线性振动 分析得到的模态函数进行模态展开而将式离散化，取3 阶模态将式截断为常微分 方程组，然后与式联立用r u n g e k u t t a 法进行数值仿真。研究发现一种强耦合机 制，转动占优模态导致动态张力的涨落，通过1 ：2 内共振激起带的大幅横向振动。 4 第一章引言 这一结果也得到实验的验证。z h a n g 和z u 用多尺度法分析非线性耦合振动 3 0 ， 他们直接用多尺度法研究连续体的振动，发现2 阶空问解与系统的线性模态函数 不同，因此该方法能得到比基于系统模态函数展开方法更准确的结果。特别是 1 ：1 共振的情形，两种方法存在显著差别，对于某些调谐函数，系统出现h o p f 分岔，表明系统可能存在复杂的分岔现象。陈立群和z u 3 1 1 对轮带系统的转动振 动和横向振动进行了综述并展望了今后研究的方向。 在实际情况中，横向振动往往发生在那些远离张紧轮的带上。以往的模型都 不能解释这种现象，这意味着带的横向振动可能是由于一种未知的轮带耦合机 制所产生。找到这种耦合机制，研究在不同工况下的作用并解释系统的动力学行 为将是本文的主要工作。 当模型建立之后，解析或者数值求解这种混杂的连续一离散模型也是一项艰巨 的任务。直到现在，处理混杂模型的数学方法和工具还很少，下列文献中的方法 对本文的工作尤为重要：p a r k e r 和m o t e l 3 2 发展了一种算子形式来研究纺锤的振 动，由此传统的算子形式可以作用在扩展的变量上。通过恰当地定义内积算子， 系统可以简化为一种规范的陀螺系统，由此可使用传统的分析方法( g a l e r k i n 离 散法，摄动法等) 。对于平带驱动系统，引入扩展的算子形式可以更好地研究既 包含离散结构( 轮) 又包含连续结构( 带) 。b e i k e m a n n 2 5 用扩展的算子形式描 述了特征值问题，并证明这些算子满足保守陀螺系统的对称反对称性质。但是 在自由振动分析时，他没用使用这种算子形式而是使用了改进了的h o l e r 迭代法。 1 3 研究内容 第一章介绍了本研究课题的工程应用背景以及前人的工作。第二章研究了轴 向运动梁的横向振动和参激振动问题。第三章研究了基于弦线模型的平带驱动系 统的轮带耦合振动问题，给出了系统固有频率与轴向运动速度之间的关系，以 及相应的振动模态函数。第四章研究了基于梁模型的平带驱动系统的模态分析， 得到了系统固有频率与轴向运动速度之间的关系以及各轮带的振动模态。第五章 在第四章的基础上，引入了非线性项，研究了平带驱动系统在l ：1 内共振情况下 的稳态响应。 第一章引言 1 4 研究意义 1 所建立的平带驱动系统模型，有效地解释在实验中观察到的轮带耦合振 动现象。研究了由于引进抗弯刚度而引起的轮一带耦合，并且可以用于解决由于 这类耦合机制引起带的大幅横向振动。 2 本文计算得到固有频率和模态函数对于平带驱动系统的进一步研究有着 极大帮助。在研究稳态响应，特征值问题以及动态响应中发展出来的理论和数值 方法可以推广到其他的连续离散系统。 3 通过本文的工作，可以为平带驱动系统的设计者提供设计指导。 第二章轴向运动梁的参激振动 第二章轴向运动梁的参激振动 2 1 前言 目前研究较多的轴向运动连续体主要是弦线和梁，虽然弦线和梁同属一维连 续体，但两者仍有若干实质性区别。就力学模型而言，弦线不具有抗弯刚度，必 须承受充分大的轴向拉力，且其静平衡位形为直线；而梁具有抗弯刚度，可以承 受轴向拉力或压力，静平衡位形可能是直线或曲线。就数学模型而言，两者有相 同的惯性项和陀螺项，但刚度项不同，而且弦线数学模型中必须考虑非线性项才 能反映材料的本构关系。因此，在具有陀螺连续体共性的同时，与轴向运动弦线 相比，轴向运动梁的研究存在具有特性的问题。例如，轴向运动屈曲梁的振动， 更类似于轴向运动绳索( 不具有抗弯刚度且轴向力较小而具有下垂的一维连续 体) 而不是轴向运动弦线。又例如，一端自由另一端在固定滑道中滑动是一类具 有工程重要性的变长度轴向运动梁问题，但轴向运动弦线不存在相应的问题。轴 向运动梁的建模必须考虑更多的因素，如梁截面的转动效应：同时，梁的数学模 型的复杂性也给横向振动的分析和控制带来技术上的困难，例如，线性轴向运动 粱的固有频率和复模态函数必须借助数值方法得到，使得在线性模态解的基础上 近似解析分析和g a l e r k i n 截断增加了困难。 尽管对轴向运动连续体的研究历史可以上溯到1 8 8 5 年a i k e n 的实验观测和 分析 3 3 】，但相关研究受到广泛关注并成为活跃的领域开始于上一世纪后半叶。 一系列优秀的综述反映了不同时期的研究进展 3 ，4 ，3 4 ，3 5 。陈立群己综述了轴 向运动弦线的横向振动及其控制的工作 3 l ，3 6 ，3 7 。陈立群和杨晓东分析了受混 合边界约束轴向变速运动梁的固有频率和运动稳定性 3 8 1 。刘芳和陈立群使用复 模态分析和频域分析的方法，研究了轴向运动黏弹性梁的黏弹性系数、轴向力和 运动速度对固有频率和衰减系数的影响 3 9 ，4 0 。本节研究在一端铰支一端固支 情况下，计算得到了匀速轴向运动梁的固有频率和模态函数，并利用多尺度法分 析了变速运动梁在和式组合共振情况时的稳定区域。 2 2 轴向运动梁的动力学模型 讨论轴向运动e u l e r - b e r n o u l i 梁的横向振动，设梁以速度v 做轴向运动，其长 度为，可以建立如下无量纲运动方程【4 1 第二章轴向运动梁的参激振动 谛+ 2 f v v + t + v 2 r w “+ ( v 2 一1 ) = 0 ( 2 1 ) 其中，w 是横向位移，v 是轴向速度，由的表示w 对时间变量f 的偏导数，w 表示对w 空间变量工的偏导数，v ，是抗弯刚度，2 v 和v 2 w ”两项分别代表了 c o r i o l i s 加速度项和向心加速度项。当谚= 0 时，方程( 2 1 ) 退化为轴向运动弦 线的控制方程 4 2 。 w ( x ：t ) i 一i图2 - 1 一端铰支一端固支的边界条件 w ，f ) i - 一1 一l 图2 - 2 两端固支的边界条件 w ( x ，f ) f 图2 - 3 两端铰支的边界条件 对于一端铰支端固支梁的边界条件是： w ( o ，f ) = w ( 1 ，f ) = 0w ”( o ，f ) = w ( 1 ，t ) = 0 ( 2 - 2 a ) 两端铰支和两端固支的边界条件： 第二章轴向运动梁的参激振动 h o ，t ) = w ( 1 ，t ) = 0 杪( 0 ，t ) = ( 1 ，t ) = 0 w ( 0 ，f ) = w ( 1 ，t ) = 0w r ( o ，t ) = ( 1 ，t ) = 0 2 3 轴向运动梁的振动模态及固有频率 考虑梁以速度v 0 做匀速轴向运动时，方程( 2 1 ) 可简化为： ( 2 2 b ) ( 2 2 c ) b + 2 w v o + v 1 2 w “+ ( h 2 1 ) ，= 0 ( 2 3 ) 其解可写成如下形式： 训h ，) = 4 ( ，) e “。( j ) + 互( 咖。”j ：( j ) ( 2 4 ) 可以得到关于固有频率的微分方程 v 2 r j 。i ”+ ( 诟一1 ) l + 2 i v o c o y 一匕= 0 ( 2 - 5 ) 其中0 3 。是固有振动频率，是模态函数，且匕满足下列边界条件： l ( 0 ) = 匕( 1 ) = 0 ，l ( o ) = e ( i ) = 0 ( 2 - 6 ) 设频率方程( 2 - 5 ) 的解为如下形式： l ( x ) = c i 。( e n 1 + c 2 。e 岛一一c 3 。e 岛一十c 4 。e 慨一) ( 2 - 7 ) 其中氏( k = 1 , 2 ，3 ，4 ) 是式( 2 5 ) 的特征方程 砖卢：+ ( 1 一瑶) 卢：一2 a ，v o f f 一= 0 ，雄= 1 ，2 ，3 ( 2 8 ) 的4 个根。将解( 2 7 ) 带入边界条件( 2 6 ) ，可以得到以下矩阵方程 1 成 e i , 0 3 一 i 屈。e 弛一 1 c 2 。 c 3 。 c 4 。 ( 2 9 ) 为求得上述方程组的非平凡解，边界条件( 2 6 ) 的系数矩阵的行列式必须为 0 ，从而得到下列补充方程 e “几帼j ( 既一眩) ( 届。一层。) 一e “枷一( 聪一玩) ( 屈。一p 4 。) + e “氏 “( 院一彪) ( 岛。一屈。) + e i ( , 0 2 + f l j ) ( 既一彪) ( a 。一屈。) 一e “6 。风( 眩一既) ( 届。一屈，) + e “几邯2 j ( 威一彪) ( 属。一屈。) ：0 ， 咿 。雎护阶焘挣 ，。 慨 。既拶阶 第二章轴向运动粱的参激振动 通过计算方程( 2 - 8 ) 和( 2 1 0 ) 可以得到国。和其中固有频率的计算在 下面的部分会有涉及。考虑到一端铰支一端固支粱的边界条件( 2 6 ) ，我们可以 得到系数c 2 。、c 3 。和c 4 。有如下形式 ，一e 妒。1 ( 届。一屈。) ( 屈。+ 屈。) + e 旧“( 一i + ：) 1 ”一e 幌“( 屈。一屈。) ( 屈。+ 屈。) + e ( 一：+ 卢：) ，一一e 帆( 届。一反。) ( 以。+ 反。) + e 妒2 “( 成一卢j ) “再瓦刁顶万硒万两再万 g 。1c 2 。一c 3 。 ( 2 1 1 ) 这时，模态函数( x ) 可以写成 e ( j ) = c l 。【e ”“。 + e i 岛。，! ! ：! 丛! 二鱼! 坚鱼! 鱼! 生! i ：! 二壁：生：! 一e 帆”( 屁。一尼。) ( 岛。+ 履。) + e ( 一p ：+ ：) 。蔫篝鬻嚣鬻 协 e 恍1 ( 岛。一反。) ( 履。+ 屈。) + e 9 “( 一卢：+ 卢：) + 。t 风，( 一1 一竺：! 鱼! 二鱼! ! ! 鱼! 鱼! ! ! ：竺! 二壁：；生： 、 一e 圳“( 岛。屈。) ( 屈。+ 屈。) + e 垆”( 一声：+ 成) 一e 幌“( 届。一履。) ( 岛。+ 屈。) + e 垆2 4 ( ：一卢：) 、 e 1 b ”( 岛。一屈。) ( 屐。+ 屈。) + e 鸭”( - p i o + p ：) ” 2 4 固有频率的数值计算 注意到方程( 2 - 8 ) 和( 2 - 9 ) 为关于的印。超越方程，有无穷多个解。由于式 ( 2 1 0 ) 中不显含，现有的方程数值解法不能直接应用，本文采用分区间寻 根的思路解决该问题a 首先选取计算初始值。= 吼代入式( 2 8 ) ，数值求解4 次代数方程解得数值解展( 国，) ，( 尼= 1 , 2 ，3 ，4 ) ，再将。和f l 。( c o ，) 代入式( 2 - 9 ) ，验 证是否成立，如果成立则。是所求的解，否则取珊= 0 3 。+ 甜重复上述过程。 由方程( 2 - 8 ) 和( 2 - 9 ) 可以解出( o n 和屈( 国。) ，( n = l ，2 ，3 ，k = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，代 第二章轴向运动粱的参激振动 入方程( 2 1 1 ) 可以将c l 。c 2 。和c h 用c 4 。表示，由模态的归一化确定c 4 。，进而 确定c c 2 。和c 伽将c 代入式( 2 1 2 ) 并分离实部和虚部，可以求得轴向运动 梁第h 阶模态函数的实部和虚部。 固有频率 在固有频率的计算中取v ，= o 1 。两端固定梁前4 阶固有频率随轴向运动速度 变化如图l 中实线所示，而两端铰支梁的前4 阶固有频率随轴向运动速度变化如 图l 中虚线所示。后者与( w i c k e r ta n dm o t e1 9 9 0 ) 中相应结果一致，说明本文 计算方法及数值实现的正确性。数值结果表明，各阶固有频率均随轴向速度增加 而减小。在相同参数条件下，两端固定轴向运动梁的各阶固有频率均大于两端铰 支轴向运动梁的固有频率。 w 24681 u“1 q 图2 - 4 固有频率随轴向速度变化 p s ：为了与文献【4 2 相对照，本图中y 轴坐标为。v ，x 轴坐标为v v j 模态函数 在计算模态函数时取v ，= 0 1 和v 0 = 0 7 。前4 阶模态函数如图2 - 5 所示，其 中实线和虚线分别表示模态函数的实部和虚部。 图2 - 5 a 第l 阶模态函数的实部和虚部图2 5 b 第2 阶模态函数的实部和虚部 第二章轴向运动梁的参激振动 图2 5 c 第3 阶模态函数的实部和虚部图2 5 d 第4 阶模态函数的实部和虚部 抗弯刚度对固有频率的影响 图2 - 6 示不同给定抗弯刚度下前4 阶固有频率随轴向速度的变化。梁的抗弯 刚度的增加，使梁的固有频率变大。随着梁的轴向运动速度的断增加，梁的固有 频率减小。 幽2 - 6 前四阶频率随着抗弯刚度增大的变化 2 5 铰支固支条件下的稳定性 设运动梁的轴向速度v 围绕平均速度v o 做微小的周期性脉动，当这个脉动频 率接近固有频率的2 倍或某两固有频率组合值时，轴向运动梁会出现参激共振现 象而导致在零平衡位置失去稳定性。当脉动频率接近系统的某阶固有频率的2 倍时而发生的共振响应称之为次谐波共振；当脉动频率接近某两阶固有频率的之 和时而发生的共振响应称之为和式组合共振。在这里我们研究变速轴向运动梁的 和式组合共振问题。 假设轴向速度v 是随着时间t 简谐变化，其主要部分是不变量v o ，因此v 可 第二章轴向运动梁的参激振动 以写成 v = ”o + 甜is i n q t ( 2 - 1 3 ) 其中提小参数，部1 和口代表相应的扰动振幅和扰动频率。将( 2 - 1 3 ) 代入( 2 1 ) 并保持各项一阶近似，可以得到 伽+ 2 谛+ ( 2 1 ) “，+ 七2 w i ”+ e ( v i f 2 w c o s f l t + 2 v l s i n f 2 t + 2 v o y l w s i n f t ) = 0 ( 2 1 4 ) 对式( 2 1 4 ) 应用多尺度法，假设其解的一阶表达式有如下形式： w ( x ，f ：) = w o ( x ，兀，z ) + 凸q ( x ，r 0 ，互) + ( 2 1 5 ) 其中t o = t 和乃= 岛分别是快变尺度和慢变尺度时间。将等式( 2 1 5 ) 代入方 程( 2 - 1 4 ) ，并归并嘲同次幂项，得到 0 0 ) ：d ；w 0 + 2 v o d o 嵋+ ( v ；一1 ) w g + 七2 ，略= 0 ( 2 1 6 ) d ( f ) ：喀w i + 2 v o d o w j + ( v ；一1 ) 嵋+ 七2 叫”= - 2 d o d 】w o 一2 v o d l w o 一2 v ls i nf 2 t o d o 嵋一2 v o v ls i nf j t o 嵋一q v lc o sf 2 t o “ ( 2 1 7 ) 在这里可以发现式( 2 1 6 ) 与式( 2 1 ) 形式相同。 考虑第i t 和第n 阶模态的和式参数共振。此时，速度扰动频率可写作 妇= 埘。+ 珊。+ 盯 ( 2 1 8 ) 其中g 为解谐参数。则一阶近似方程( 2 1 6 ) 的解可写为 w o ( x ，磊，正；s ) = 爿。( 正) e i 。t o ( x ) + a ( 墨) e “m “匕( x ) + c c ( 2 - 1 9 ) 其中l 由式( 2 1 2 ) 给出。将等式( 2 ，1 9 ) 代入方程( 2 1 7 ) 并利用关系式( 2 1 8 ) 可得： d 0 2 w 1 + 2 v 0 d o w i + ( v g i ) w 7 + 2 w f ” = 卜2 d l a 。( i 出。l + v o ) + ( ( 。一圭q ) 露+ i v o 霹) 瓦v ，e 1 啊) e “ ( 2 2 0 ) + 一2 d l a 。( i o j 。r o + v 0 砭) + ( ( q 一喜q ) 露+ i v o 窃瓦v l e 。啊) e + c c + n s t 因此，可解性条件为 第二章轴向运动粱的参激振动 d l a 。+ 弱v l 瓦e 。叽= 0 ，d l a 。+ 9 4 v l 瓦e 1 啊= 0 ( 2 2 1 ) 9 3 - 一掣u j 3 m n 牟一确：一；型 u “- ! n 兰- m 竺- - ；( 2 - 2 2 )9 32 一j i ：1 i j i j ：j 丽9 42 一j i ：i c _ i j i j i ：j i 而2 - 2 2 引入变换： a 。= b n e 啊”，a m = 阮e 啊7 2 ( 2 2 3 ) 将式( 2 2 3 ) 代入方程( 2 2 1 ) 得到 i 。+ i 要b 。+ 3 v l 瓦：0 ，d i b ，一。+ 9 4 v l b n ：0 (224)d b 9 3 0d b + i - s 9 4 0 i 。+ i b 。+ 曰。= ， 。 = ( 2 - 假设方程( 2 2 4 ) 有如下形式的解： b 。；b 。e “，b ，= ke 碣 ( 2 2 5 ) 其中“和k 都是实数，将等式( 2 - 2 5 ) 代入方程( 2 2 3 ) 可解出 五= 干一( 盯2 4 ) + 9 3 爵v l 2 ( 2 2 6 ) 若根号下表达式为正，则存在大于零的旯解，此时系统不稳定，因此稳定性 盯= t - 2 v 1 4 9 3 舀 ( 2 2 7 ) 由式( 2 1 2 ) 和( 2 2 2 ) ，式( 2 2 7 ) 可通过数值计算确定参数共振时的稳定 边界。图2 - 7 示在v o = 0 5 时不同抗弯刚度v 对稳定区域的影响。图2 - 8 示v ，= 0 2 时稳定区域的边界不同平均轴向速度对应的稳定边界，图2 - 9 为相应的3 维图， 4 第二章轴向运动梁的参激振动 ，l = ：暑“ f| _! ! 兰! 图2 - 7v ，对稳定区域的影响 图2 - 8v o 稳定区域的影响( v f = 0 2 ) 2 6 小结 图2 - 9 稳定区域的3 维图( = 0 2 ) 在这章中，研究了一端铰支一端固支的e u l e r - b e r n o u l i 梁的轴向运动的横向 振动问题。首先研究了在匀速运动情况下梁的横向振动，通过改进的代数寻根方 法，求得了不同抗弯刚度v ，情况下的前四阶固有频率q 与轴向运动速度v 之间 的关系。可以看到，固有频率甜。随着抗弯刚度v ，的增加而增加，随着速度v o 的 增加而减小。同时研究了轴向运动速度v 的小扰动对系统的稳定性的影响，计算 并得到稳定区域的边界，在分析中考虑了任意两个模态的和式组合共振，从数值 作图上可以看出速度变化幅度v 的减小将扩大稳定区域。 第三章平带驱动系统的横向耦合振动：弦线模型 第三章平带驱动系统的横向耦合振动：弦线模型 3 1 引言 平带系统由轴向运动柔性平带和转动刚性滑轮构成，在汽车工业中有广泛应 用。对该系统地研究吸引了众多学者的兴趣 3 1 ，3 6 1 。一个典型的平带驱动系统 可模型化为轴向运动的弦线和转动的质量，其中弦线横向振动和质量的转动振动 相耦合。u l s o y 等考虑了带的横向振动与张紧滑轮振动的耦合，发现张力涨落导 致参数振动不稳定性，产生了带的大幅横向振动 2 3 1 。b e r i k m a n n 等采用基于 h o l z e r 方法的双重迭代求解本征值问题，研究了平带系统的线性耦合振动，结果 与实验值吻合 2 5 1 。他们还用模态截断和数值方法研究非线性耦合振动，发现一 种强耦合机制，转动占优模态导致动态张力的涨落，通过1 ：2 内共振激起带的大 幅横向振动，这一结果也得到实验的验证【2 9 。z h a n g 和z u 发展模态分析方法研 究平带系统线性耦合振动，得到对任意激励的响应和对简谐激励的稳态响应，得 到的数值结果与已有实验值吻合 4 3 1 。他们还推广多尺度法到混杂系统而分析了 平带系统非线性耦合振动的自参数共振 3 0 和内共振 4 4 ，其结果得到实验验证。 对于计及离散粘性阻尼的平带系统，z h a n g 和z u 等建立混杂系统的复模态分析 方法得到对任