（一般力学与力学基础专业论文）大变形多体系统刚柔耦合动力学建模理论研究.pdf

上海交通大学 学位论文原创性声明 7 i 人郑重声旧：所i 交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 ：作所取得 阳成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或 摧写过的作1 成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 抓明。本人+ ，e 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：尤超蓝 日期：2 0 0 6 年6 月3 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 “学位论文作者完氽了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留升向国家 1r 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交 j j 人学可以将本学能论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采川影印、 纠印或扫描7 辱复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位沦文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论定作者签名：尤超蓝指导教师签名：洪嘉振 日期：2 0 0 6 年6 月3 日日期：2 0 0 6 年6 月3 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 本文研究的工程背景及其意义 柔性多体系统( f l e x i b l em u l t i b o d ys y s t e m ) 是指由多个刚体或柔性体通过一定方式相互连 接构成的复杂系统，柔性多体系统动力学是研究这种复杂系统在经历大范围刚体运动与柔性 体变形运动之间相互耦合时的动力学行为刚体运动与变形运动的同时出现及其相互耦合正 是柔性多体系统的核心特征，这个特征使得其动力学行为不仅区别于多刚体系统动力学，也 区别于传统的结构动力学由于构件在自身变形的同时，在空间经历大范围刚体运动，且两 种运动相互影响，强烈耦合，与一般简单动力学系统不同，它是一个多输出的无穷维、时变、 高度非线性的复杂系统，因此柔性多体系统动力学是经典动力学、连续介质力学，计算动力 学和现代控制理论等多门学科交叉的边缘性新学科 柔性多体系统动力学是在航空航天、机器人、地面车辆、机械系统和兵器工业等向轻质、 高速、高精度、大型和复杂方向发展，以提高运作效率、减小能量耗损和适应复杂运行环境 能力等高新技术工程应用和市场竞争的背景下发展起来的，并与迅速发展起来的计算机技术 是密不可分的在航天器、机器人、车辆、机械与兵器等工程领域中，系统的研制将面临两 大类问题一类是涉及这些复杂系统的结构强度分析，多少年来，由于计算结构力学的理论 与计算方法的研究不断深入，应用软件系统的成功开发，并已广泛应用于工程结构的计算机 辅助分析，大大推动了新产品的开发与设计的周期可以说，对这类问题的求解目前已基本 成熟另一类问题是要解决这类复杂系统的运动学、动力学与控制性态问题这类系统的特 征是系统的各部件存在大范围的相对运动，这些部件相互连接方式的拓扑与约束形式多种多 样，受力的情况除了外力与系统各部件的相互作用外还可能存在复杂的控制环节其共性是 系统由存在相对运动的多个物体组成，故称为多体系统( m u l t i b o d ys y s t e m ) 随着国民经济和 国防技术的需要，多体系统的构型越来越复杂，规模越来越庞大在运动学、动力学与控制 性态的分析与优化中迫使工程技术人员重复进行复杂而费时的建模工作，加上还需对这些模 型进行数值计算以及处理大量涉及时间历程的数据分析，如何对不同的拓扑、不同的约束、 不同的受力与控制环节的多体系统建立通用的程式化动力学模型及处理这些数学模型的计 算方法，这些都已成为工程预研与设计的大难题开发多体系统动力学通用的软件系统，充 分利用计算机的潜能是解决上述难题的唯一途径6 0 年代开始，国外发达国家因高新技术发 展的需求，系统各部件以刚体为假设的多刚体系统动力学的研究得到飞速发展到7 0 年代 末年代初多刚体系统动力学计算机辅助分析软件系统在国外已达到商品化水平，广泛应 用于上述工程领域的动力学与控制性态的分析与优化。 然而，当前工程中复杂多体系统的部分构件已采用轻质柔性材料，系统的运行速度加快， 运行精度的要求越来越高，系统的动力学性态越来越复杂部件作刚体假设的多刚体系统动 力学已无法解释系统复杂的动力学性态忽略柔性体变形影响的设计有时会导致灾难性的后 上海交通大学博士学位论文 果例如，对于航天器，美国第一颗人造卫星“探险者i 号”，正是由于忽略了4 根鞭状天线 的弹性效应而导致卫星入轨后产生翻转失控：“国际通讯卫星v 号”由于柔性太阳能帆板扭振 频率与驱动系统发生谐振而导致帆板停转和打滑对于高速运行的工业用机械手，构件的弹 性变形对机构的抓取或定位等动作的精度和稳定性有着重要影响，忽略弹性变形会导致动作 精度的降低或失灵对于高速运行的铁道车辆系统，车厢和转向架构成的整车是典型的刚 柔耦合动力学系统，在列车的运行横向稳定性以及曲线通过能力分析中不但要考虑车厢及转 向系统构件的柔性，还应考虑轨道、授电的弓网与整车系统的耦合。对该问题动力学与控制 的研究目前已是国家高速机车车辆攻关的重要课题上述工程对象的设计必须考虑部件大范 围运动和构件本身变形的耦合，这类系统的力学模型称为柔性多体系统或刚柔混合多体系 统考虑刚柔藕合效应的柔性多体系统动力学研究在高技术、工业现代化和国防技术的发展 具有强烈的应用背景与重要的应用价值其研究成果将为上述领域工程设计中提供的理论基 础、有效的计算机辅助分析的建模理论及计算方法等研究成果，无疑能提高工程项目的预研、 设计与优化的效率，对减少重大工程项目的投资风险等将产生巨大的经济效益 1 2 柔性多体系统刚一柔耦合动力学的发展历史 柔性多体系统刚柔耦合动力学的本质特征是柔性体的变形运动与大范围刚体运动的同 时出现及其耦合，这个特征使其不仅区别于多刚体系统动力学，也区别于传统的结构动力学 柔性多体系统刚柔耦合动力学是多刚体系统动力学和结构动力学综合与推广从动力学角度 讲，刚体是柔性体的特殊情况因此，在讨论柔性多体系统刚柔耦合动力学发展时，必然会 首先涉及到多刚体系统动力学 1 2 1 多刚体系统动力学 多体系统动力学的研究就是始于多刚体系统动力学六十年代中期，f e m h c 一1 jh o 呔2 j r o b e r s o n 4 1 等人卓有成效的工作，莫定了多刚体系统动力学发展的理论基础他们针对由多 个刚体组成的力学模型，研究程式化的求解方法，以便实现计算机自动建立方程和求解1 9 7 7 年，w i t t e n b u r g 舻多刚体系统动力学 ( d y n a m i c so f s y s t e mo f r i g i db o d i e s ) 1 5 1 的问世和i u t a m 主持的多刚体系统动力学研讨会的召开，标志着这门学科的基本理论体系已经形成随着理 论体系的形成，许多大型通用的计算机软件不断涌现并在商业化方面取得了巨大的成功，这 标志着多刚体系统动力学从成熟的理论走向了为工程实际服务的阶段 多刚体系统动力学代表性的方法有r o b e r s o n - w i t t e n b u r g 方法1 】、旋量方法【6 j ，变分方 法r 玎、k a n e 方法i l 】和拉氏方法等短短几年内许多大型通用计算机软件不断涌现，并在 商业化方面取得很大成功 7 0 年代中后期，随着构件尺寸增大，结构重量减轻，结构剐度的减弱以及运行速度的提 高。多刚体模型已在不同的应用领域显示出了局限性，航天器飞行的稳定性、姿态控制、交 会对接的需求和失败的教训，以及轻质高速的机械臂和车辆等复杂机械系统的高性能、高精 度设计的要求，一些原先从事多刚体系统动力学研究的学者开始转向考虑变形效应的柔性多 体系统刚柔耦台动力学的研究 2 第一章绪论 柔性多体系统刚柔耦合动力学的研究大致可分为如下四个阶段：( 1 ) 运动弹性动力学 ( k e d ) 方法先通过多刚体系统动力学分析构件运动性态，加上构件的惯量特性，以惯性力 的形式加到构件上，然后根据惯性力和系统外力对构件进行弹性变形和强度分析该方法的 实质上是将柔性多体系统动力学问题转变成多刚体系统动力学与结构动力学的简单叠加，忽 略了二者之问的耦合( 2 ) 传统混合坐标方法该方法首先对柔性构件建立一个浮动坐标系， 将构件的位形认为是浮动坐标系的大范围刚体运动与相对于该坐标系的变形的叠加提出了 用浮动坐标系作大范围运动的刚体坐标与柔性体的节点坐标( 或模态坐标) 建立动力学模型 在具体建模的过程中先将构件的浮动坐标系固化，弹性变形按无大范围运动时的边界条件下 的结构动力学有限元( 或模态) 进行离散，将大范围运动变量和描述变形运动的变量纳入同一 动力学方程中求解，因此考虑了大范围运动与柔性体变形运动之间的相互耦合混合坐标建 模方法虽然考虑了构件弹性变形与大范围运动的相互影响，但对低频的大范围刚体运动和高 频的柔性体变形运动之间的耦合处理得过于简单从实质上这种方法是一种零次近似的刚 柔耦合【，j ( 3 ) 。动力刚化”问题的研究1 9 8 7 年，k a n c 【l o 对作大范围运动弹性粱进行了研 究，指出了在采用零次近似耦合模型处理高速旋转的悬臂粱的动力学分析中将产生发散的错 误的结论，并提出了“动力刚化”的概念传统混合坐标建模方法得到系统动力学方程中刚 度阵为置= 置+ 置。，其中五。负定，在大范围运动为高速旋转的情况下系统出现负刚度 而与工程实际相符的系统刚度阵应为k = e + 置m + 五m ，且动力刚度项置d = 置m + 置m 为正定近十几年来，国内外研究的核心是对上述模型采用各种方法“捕捉”动力刚度项， 以期对传统混合坐标模型进行修正，得到了高速旋转的悬臂梁不发散的结果( 4 ) 一般刚柔 耦合动力学问题的研究“动力刚化”这个问题有其特殊性，所研究的对象大都是大范围运 动给定情况下的柔性梁或板这只是刚柔耦合动力学的一种特例情况，其实质是一个非惯性 系下的结构动力学问题对刚柔耦合动力学的研究更重要的是对大范围运动未知的刚柔耦 合系统的研究柔性多体系统刚柔耦合动力学建模，应该从分析力学和连续介质力学的基本 原理出发，找出多刚体系统动力学和结构动力学所作的假设或理想条件在柔性多体系统中的 不合理性，然后建立较高次近似的刚柔耦合动力学的理论。这样不仅能得到正确反映这种耦 合的动力刚度项，而且还能揭示这种祸合效应是否对系统动力学性质还具有其它影响 下面将详细叙述柔性多体系统刚柔耦合动力学研究的四个发展阶段 1 2 2 运动一弹性动力学( k e d ) 方法 柔性多体系统首先是在航天和机械两大领域内得以发展。两个领域所研究的对象各有特 点，所以研究的方法也各具特色大多数航天器呈树状结构，作三维运动；而大多数机械系 统中含有闭环子系统，作平面运动八十年代以前，柔性多体系统动力学在两个领域中相互 独立地发展，科学家们发展了适合于各自领域应用的动力学分析方法 高速机械系统中某些构件的柔性变形对系统动力学性质的影响在6 0 年代初就受到重视 柔性机械动力学早期的研究可分为两大类：1 ) 将系统中的柔性构件视为无限自由度连续体模 型，由此得到一组描述系统动力学响应的非线性偏微分方程组，其研究对象往往为简单系统 上海交通大学博士学位论文 2 ) 通过有限单元法将柔性体离散为有限自由度的离散模型，为柔性多体系统动力学程式化建 模提供了可能 机械系统中考虑构件的弹性变形始于分析构件的强度、系统的运行精度及其振动产生的 噪声对周围环境的影响传统的分析方法起源于机械振动分析方法，所以最初普遍采用这样 的假设：假定弹性变形对系统大范围刚体运动不产生影响而用多刚体系统模型得到的惯性力 与外力来计算其对构件的弹性变形运动的影响，从而得到弹性变形运动的准静态解，这就是 机构动力学中最早出现的所谓运动弹性静力分析张e s k i n c t o c l a s t os t a t i c s ) 或准静态分析 ( q u a s i s t a 如a n a l y s i sm 劬o d ) 【“】其动力学方程形式为 置，窖r = q r m ，茸， ( 1 2 1 ) 其中置，为构件的结构刚度阵，g r 为构件的弹性变形坐标阵， f ，坑，q r 分别为等效惯性 力和外力由于准静态分析法在处理方法上的粗略，不可能在机械动力学中得到广泛的应用 1 9 7 1 年，w i n f v ”在此基础上提出了运动弹性动力学方法，即k e d 方法 ( k n e t o - e l a s t o d y n a m i c sm e t h o d ) 其动力学方程形式为 乡弘等 ( 1 2 2 ) m f ir + kg q f = q r mp 4 ， 、 i 其中肘0 ，肘，为系统刚体运动和弹性运动的质量阵，q ，q r 分别为外力阵 k e d 方法实际上是将多刚体动力学与结构动力学进行简单的叠加，先对系统进行多刚体 动力学分析，计算出与惯性力有关的刚体运动的加速度，然后再进行结构动力学分析k e d 方法的缺点在于没有考虑柔性体变形运动对大范围刚体运动的影响和他们之间的相互耦合 作用，对于轻质、大柔度的现代机械系统，k e d 方法用于高精度分析的局限性日益暴露出来， 已不能满足工程实际的需要 1 2 3 传统混合坐标方法 为了考虑柔性构件弹性变形运动和大范围刚体运动相互间的影响，m e i r o v i t c h 1 ( 用混合 坐标法( 未正式命名) 建立了带有柔性构件的航天器的动力学方程l i k i n s 【”1 最早提出混合 坐标的概念，首先对柔性构件建立一个浮动坐标系，将柔性构件的位形认为是浮动坐标系的 大范围刚体运动与其相对于该浮动坐标系变形运动的合成提出了用作大范围刚体运动的坐 标与柔性体变形运动的节点坐标( 或模态坐标) 建立系统的动力学方程在具体建模的过程 中先将构件的浮动坐标系固化，弹性变形按无大范围运动时理想边界条件下的结构动力学有 限元( 或模态) 进行离散，其基本的描述形式为 p 2 p o w l( 1 2 3 ) 脚= 圣j ao ru = 肋i 。 其中，p 、p 。分别表示变形前后构件上任一点相对浮动坐标系的矢径，口为变形位移矢径， 币、口分别为模态阵和模态坐标阵，| v 、口分别为形函数阵和节点坐标阵利用力学的基本 原理如j o u r d a i n 速度变分原理、l a g n m g e 方程或k c 方程可建立系统的数学模型和动力学 4 第一章绪论 方程其动力学方程形式为 臣坼帆j l v s j ：乃o 黝q r = 黝 m z 棚 其中g = 【玑。口，。r 表示大范围剐体运动的坐标变量和柔性体弹性变形运动坐标变量，混 合坐标方法的特点就是将大范围刚体运动变量和描述弹性变形运动的变量纳入同一动力学 方程中求解，因此考虑了大范围刚体运动与柔性体变形运动之间的相互耦合 混合坐标法在柔性多体系统动力学中得到了广泛的应用，l i k i n s 等【1 6 ”l 用k a n e 方法程式 化地建立了树状拓扑结构的柔性多体动力学方程，并编制了相应的动力学分析软件 t r e e t o p s 用于柔性多体动力学计算机辅助建模。 b o l a n d 等 1 8 , 1 9 1 直接发展了多刚体系统动力学r _ w 方法，用d a l e m b c r t 原理建立了任意 树状柔性体及含闭环的柔性多体系统动力学方程，并进一步导出供动力学分析的线性化方 程 m e i r o v i t c h 2 0 利用混合坐标法建立了转动柔性体动力学方程，并进行了特征值分析。将 由他发展的准坐标形式的拉氏方程推广到了柔性多体系统【2 l 】，他还在多目标飞行器的重新定 位与控制方面做了深入细致的工作 i i o 和h o o k e r 针对内联多刚体末端为柔性体的树状多体航天器动力学进行了研究h o 2 2 1 用拉式方法和n e 法建立了各个构件的动力学方程，并提出了用直接通路法( d i r e c tp a t h m e t h o d ) 将各物体的运动学量转换到一个指定的主体上，消去物体问的约束力后得到系统的动 力学方程h o 【瑚又建立了物体均为柔性体的树状多体航天器动力学控制方程，并通过摄动法 ( p e r t u r b a n o nm 劬o d ) 对动力学方程线性化，在此基础上研制了a l l f l e x 通用软件，该软件 能充分利用结构动力学分析程序产生的模态信息h o o k e r l 2 4 也应用了直接通路法描述系统的 拓扑结构，并采用了嵌套方法自动消去约束反力来建立柔性多体系统的动力学方程 k e 【”i 对复杂航天器建模的各种动力学原理进行了理论上的比较，并指出了k a n t 方法 在柔性多体系统建模上的优越性 c a v i n 2 6 1 平均轴系作为浮动坐标系，应用变分原理导出系统动力学方程，由于平均轴 系的引入减弱了动力学方程中大范围刚体运动与柔性体变形运动之间的耦合 y o o 和h s , u g 2 7 ；g j 用结构动力学中的静力修正模态和正则振动模态来描述柔性体的变 形。通过若干数值实验，比较了不同阶数的静力修正模态及其选取方法对数值仿真结果的影 响在此基础上，y o o 和l - i a u g 2 9 】用有限元方法求得静力修正模态和正则振动模态，用e u l e r 四元素描述柔性体的大范围转动，应用虚功原理推导系统的动力学方程，并开发了著名动力 学软件d a d s ( d y n a m i ca n a l y s i sa n dd e s i g ns y s t e m ) k i m 和h a u g 3 0 , 3 1 在用铰相对坐标建立多刚体系统动力学模型的基础上，采用铰相对坐 标加模态坐标的方法，对柔性体用集中质量有限元进行离散，用虚功原理建立了开环和闭环 的柔性多体系统的动力学模型 s i m o 等 3 2 - 3 5 针对柔性多体卫星，提出了应用被叠加的刚体运动具有不变特性的几何精确 理论，直接在惯性坐标系中应用结构动力学分析方法，回避了作大范围刚体运动的浮动坐标 上海交通大学博士学位论文 系的选取 s h a b a n a 等 3 6 - 3 $ 1 用绝对坐标法建立了柔性多体系统的动力学模型，用一致质量有限元方 法对柔性体进行离散，柔性体的大范围转动用e u l e r 四元素来描述在绝对节点坐标方程中， 没有使用无限小或有限小的转动来作为节点坐标有限元的位形是用在惯性系下的绝对位移 坐标和广义转角来定义的，使用这套坐标，梁单元和板单元就可以作为等参单元来处理其 粱单元上任意一点在惯性系下的位矢为 ，= s ( 1 2 5 ) 其中。f 代表由绝对位移坐标和广义转角组成的单元节点坐标阵，j 称作单元整体形函数 佑l o b a ls h a p ef u n c t i o n ) ，以表示与浮动坐标系中的局部形函数的不同整体形函数s 中包含 了刚体运动模态由于节点坐标是在惯性系下定义的，离心力和科氏力均为零，由此可以得 到一个非常简单的非动力耦台的常值质量阵，其形式与线性结构动力学中的质量阵相同另 一方面，形成的刚度阵却是非线性的这说明整体刚性运动与小变形的耦合并没有被除掉， 而是从质量矩阵转移到刚度矩阵中绝对坐标方法具有程式化好、编程方便的优点，还特别 适合于处理大变形问题但是该方法广义坐标和约束方程较多，计算工作量较大，对复杂系 统计算效率很低特别地，即使是小变形运动的物体，也必须当作几何非线性问题来对待， 适用非线性连续介质力学的方法来处理相对坐标方法具有动力学方程广义坐标和约束方程 少，计算效率高的优点，但是程式化较绝对坐标方法差随着理论研究的深入和应用领域的 扩展，绝对坐标法逐渐显示出其重要性，应用也越来越广泛 8 0 年代以来，航天、机器人和车辆工程等领域的学者开展了广泛的交流与合作，不仅使 柔性多体系统动力学的理论研究不断深化与完善，也使许多以多体理论为核心的大型通用软 件不断涌现，其中包括著名的a d a m s 、d a d s 、m e d y n a 等这些软件均在商业化方面取 得很大的成功，其应用领域十分广泛1 9 9 0 年出版的m u l t i b o d ys y s t e mh a n d b o o k 全面地介 绍了世界范围内1 7 个研究团体的研究工作和所流行的多种大型通用软件，其中包括 a d a m s 、d a d s 、t r e e t o p s 、a l l f l e x 等 从本世纪七十年代开始，国际上关于柔性多体系统动力学的研究已经开展了近三十年， 尽管取得了一些成果，但到目前为止，还远没有达到多刚体系统动力学的研究水平究其原 因主要是人们对于柔性体的大范围运动与弹性变形耦合机理的把握上和处理方法上还很不 成熟混合坐标建模方法虽然考虑了柔性体的大范围运动和变形运动的相互耦合，但从实质 上这种方法是柔性多体系统动力学的一种零次近似的耦合唧，存在以下几方面的问题：首先， 在柔性体的离散过程中直接套用了以线性小变形位移为基本前提的结构动力学分析结果，忽 略了某些在结构动力学中对动力学性态影响很小的纵横振动耦合变形量，从而忽略了与耦合 变形量有关的附加刚度项在小变形线性理论中，变形的各个分量被假定为相互独立的在 大范围运动为低速的情况下，各变形分量之间的耦合产生的附加刚度项的影响很小，但随着 大范围运动的速度和加速度增大，附加刚度项将对系统的动力学性态产生明显的、甚至是决 定性的影响其次，在柔性体浮动坐标系和模态的选择上具有很大的随意性对于一个给定 的柔性多体系统可以选用不同的浮动坐标系和不同的模态。同时也可能得到不同的结果，但 6 第一章绪论 如何比较这些结果的准确性并以此来确定一个最可靠的近似模型，目前尚没有一般的规则可 寻另外，在离散过程中使用了没有大范围运动的结构动力学的振动频率和模态振型，与考 虑大范围运动的振动频率和模态振型存在着一定的差异，这个差异在大范围运动的角速度很 小时不表现出来，但随着大范围运动的角速度的增大，模态振型的差异将对计算结果的精度 产生一定的影响 1 2 4 动力刚化问题的研究 传统混合坐标建模方法对低频的大范围刚体运动和高频的柔性体小变形运动之间的耦 合处理得过于简单，所以只适用于大范围刚体运动为低速的情形随着柔性航天器、柔性机 械臂等柔性多体系统在轻质、高速、重载和高精度等工程技术方面的发展，而在传统混合坐 标法建模理论上的动力学仿真将对之失效，甚至产生完全错误的结论因此对大范围刚体运 动和柔性体小变形运动之间的耦合进行合理的描述及寻求一种适用于对存在大范围刚体运 动的弹性体变形运动的离散方法，建立一个适合于现代工程技术需要的柔性多体系统的较精 确的近似耦合模型显得十分必要 1 9 8 7 年，k a n c 1 1 对作大范围刚体运动弹性粱进行了研究指出在大范围刚体运动为高 速旋转时，传统混合坐标建模方法得到弹性粱的变形将无限增大的结果，与实际情况相反 为此，k c 对弹性梁的变形作了比较精确的描述( 包括了弯曲变形、剪切变形和扭曲变形) ， 得到的该系统的动力学模型的刚度项为k = 置。+ 置。，其中五。为结构同有刚度，置。为与 高速旋转角速度有关的刚度项，且为正定由于j l 为正刚度且随转动角速度的增大而增加， 变形收敛，与实际情形一致k a n e 指出随着旋转角速度增加将引起系统刚度增加的现象，首 次提出“动力刚化( d y n a m i cs t i f f e n i n g ) ”这个概念 k e 将“动力刚化”这一问题的提出，引起了各国学者的普遍关注，1 9 8 9 年，b n 叫e e k e d 9 l 对作大范围刚体运动的弹性薄板进行了研究。b a u t a g h o u h o l 、h a e n n g 4 ”、h a n e g u d 0 2 1 、 p a d i l a 4 3 1 采用类似方法对弹性梁的变形位移场进行了精确的描述，采用有限元法或假设模态 法对系统的动力学性质进行了分析所得到的结果表明人们在关于柔性多体系统耦合动力学 机理的认识上以及所描述对象数学模型的准确性上有待进一步的深入研究 近十多年以来，学者们围绕动力刚度项置。的存在及其与系统运动的关系进行了大量的 研究，以期对传统混合坐标模型进行修正采用了不同的方法。概括起来有如下几种； 1 非线性有限元法 非线性有限元方法是在结构动力学非线性有限元的基础上，将柔性体的大范围空间运动 及弹性变形不加区分地采用相对惯性坐标系的节点位移来表示。s i m o 和q u o c “4 5 等认为 增加的动力刚度项置。是由于柔性体的大应变而引起在结构动力学非线性有限元方法的基 础上，将柔性体的大范围运动及其变形运动统一采用相对惯性坐标系的节点位移来表示，得 到的动力学方程中包含了由于大应变带来的非线性项，然后作一假设将该项化作与大范围运 动有关的动力刚度项，发展了能够处理小变形大应变柔性体的非线性有限元模型，但以上方 7 上海交通大学博士学位论文 法仅限于梁式构件h s i a o 和y a ng 【删对e u l e r 粱作了精确的运动学描述，保留了变形速度 的耦合项，在有限元方程中，保留了二次项 非线性有限元方法的优点是可充分应用现有的非线性有限元分析软件，但因系统的广义 坐标为有限元节点坐标，无法利用模态综合技术来压缩自由度由此得到的动力学方程广义 坐标数目非常庞大，计算效率较低，无法应用到复杂的柔性多体系统动力学分析 2 附加刚度法 附加刚度法又称为附加几何刚度法或附加运动刚度法这种方法认为在建立变形体的运 动学关系时不能采用传统线性关系，而要考虑几何非线性，解决的方法则多种多样，有的从 考虑高阶应变能入手，有的则是考虑大范围运动引起的“预加载”效应，还有的则是直接附 加一个几何刚度阵这些方法的实质是一样的，都是考虑了几何非线性引起的几何刚度的影 响，其最终效果都是在系统刚度阵中添加一项与运动有关的刚度阵这也是应用最广的一种 修正方法 ( 1 ) 几何非线性法 几何非线性法认为应变和变形位移之间应为非线性关系，如果在柔性体的位移应变关系 中过早地进行线性化处理，得到的柔性体的刚度阵为常值阵，不能反映柔性体的刚度、运动 状况和应变状态的关系，而实际上柔性体的刚度阵应为其运动状况和应力状态的函数因此 应保留非线性的位移一应变关系，应用有限元方法得到因大范围空间运动引起的附加刚度 对于弹性平面粱，非中线上任意一点的应变和变形位移的关系为 = 警一y 軎+ 三c 2 m z 回 其中，。，v 0 为中线上对应点的纵向和横向变形，因此，应变势能也是非线性的b a k r 和 s h a b a n a l 4 7 j 在应变势能中保留了3 次非线性项，不计4 次非线性项，应变势能为 u = 主r 剧0 2 d x + 圭r 豇c 2 d x + 主r 剧警0 2 d x m z 刀 m a y o “j 在应变势能中保留了4 次非线性项，应变势能为 = 三r 剧0 2 出+ 三r 嘞2 d x + 三f 尉警一渤 ! r 三以( 翁d x 2 由4、苏7 由应变势能可以得到刚度矩阵 k = 凰+ k lc a ) ( 1 2 9 ) 其中，瓦为通常的模态刚度阵，为常值阵，k i 扣) 为几何非线性刚度阵，是模态坐标的函 数m a y o 通过对曲柄连杆机构进行数值仿真计算发现，当大范围运动的角速度较低时，4 次非线性项的影响很小，当大范围运动的角速度较高时，4 次非线性项的影响不能忽略 b 第一章绪论 h a e r i n g l 4 s q ，d a m m i s o 用几何非线性法对平面粱进行了刚一柔耦合动力学研究，s h a 一” 研究了空间粱，认为其刚度阵是变形广义坐标4 的无穷级数，根据细长梁的位移一应变特性， 其刚度阵可采用t a i l o r 展开形式表示为 11 k ) = 瓦十素五g ) + 去五b 0 ) ( 1 2 1 0 ) 二：j ： 其中如( 口) 为模态坐标4 的线性函数，置口0 ) 为4 的二次函数，并且得到了置g ( 口) 、瓦( 口) 的显式表达式几何非线性法得到的动力学方程的形式为 衙+ 俄+ 【k o + 置l ( 口) 】口= q ( 1 2 1 1 ) 由于五0 ) 与4 有关，计算时需要不断地迭代求解。计算时间较长 在机构领域，t u r c i c 5 2 捌用实验验证了几何刚度z e i l e r 和b u t t r i l l l u 利用有限元软件中 的几何刚度阵解决了瞬态角速度对旋转柔性结构的动力学影响d a m a r e n 5 5 用几何刚度法对 平面梁进行了刚柔耦合动力学研究 i d c r 【“。1 推导了粱状结构运动方程，用几何刚度阵来解释惯性项和单元横向变形之间的 动力耦合置的表达式为 置( 国) = 五o + 置j ( ) ( 1 2 1 2 ) 其中，k d ( 国) 为动力刚度矩阵，只是k d ( ) 无显式表达，必须借助于有限元方法以得到数 值结果 z l l u 四1 也从非线性的位移应变关系出发，得到了均质薄板的动力刚度矩阵，其结果较为 繁琐c h r i s t c n s c n l c c 【叫利用非线性应变位移关系推导出了有限元公式，在计算过程的每 一步中都需要重新计算刚度矩阵m o d i 【6 1 1 也是直接使用几何刚度阵来解决“动力刚化”问 题的 由于几何刚度阵是基于瞬时节点位移的，因此计算量非常大后来b 蜘 “1 针对几 何刚度阵提出了一种新的计算方法：预先将浮动坐标系大范围运动所产生的惯性力分为十= 个惯性力以及九个惯性力偶，用有限元程序计算出单位动刚度矩阵，在实际仿真过程中，将 每个积分时刻的大范围运动学参数作为权值，就可得到其动刚度矩阵，提高了计算效率具 体步骤是：( 1 ) 首先确定结构的载荷分布情况( 包括惯性力引起的载荷) ：( 2 ) 用有限元程序求 解相应的静力平衡问题，以获得单元应力状态：( 3 ) 根据应力状态计算出单元几何刚度阵r y u k i n l 脚1 在此基础上进一步考虑了约束反力对几何刚度阵的影响，用参考应力和非线性应变 位移关系推导了动力刚化项 ( 2 ) 初应力法 l i k i n s “l 采用非线性应变位移关系来处理运动学约束，并将轴向应力作为振动问题中的 一个预加载荷作用来考虑c r a i g 叫在1 9 6 3 年曾用这种方法研究过旋转梁的振动后来 c m e 【明和l o b i z 6 9 也用这种方法来处理过风力涡轮机的振动，它们借助了大型有限元软件 m c s n a s t r a n 的非线性功能，通过计算几何刚度阵来得到系统的稳态响应l a u r e n s o n 7 0 1 通过引入几何刚度阵来解释离心加速度产生的“预加载”效应后来l a u r e n n i ”1 又完善了 9 上海交通大学博士学位论文 这种方法w a l l n p p f 7 。州认为动力刚化现象实质上是柔性体的刚度随着其应力状态的变化而 变化，柔性体的内部应力越大，其动力刚化现象越明显因此可以类比求解几何非线性问题 时采用的初应力矩阵，根据柔性部件所受的分布惯性力及外力等产生的预应力求出相应的初 应力矩阵，用于弥补运动刚度设a j 为初应力，应力和应变的关系为 仃= 盯o 4 - 日s ( 1 2 1 3 ) 变形势能为 u = 砜+ u m ( 1 2 1 4 ) 其中，u o 为通常线性的势能项，【k 为 【，盹= 【，矗c r o 矗 ( 1 2 1 5 ) 上式中，为应变的非线性项通过未变形的初始状态，计算由惯性力、铰支力和外力所 形成的初应力所对应的几何刚度阵可见，预加初始应力法与几何刚度法在实质上是一致的， 都是考虑了几何非线性问题 附加刚度法适用于任意柔性体且动力刚度阵可以一次形成，无需重复迭代求解，计算效 率高，是目前应用最为广泛的方法 3 几何变形约束法 k a n e “”1 对作大范围运动的悬臂梁的变形位移作了较精确的几何描述： 抖归r ”( 2 + 静2 1 i d o - ( 1 2 1 6 ) 其中，j 是中线上一点的轴向伸长，得到线性的变形势能表达式为 u = 三r 尉2 d x + 三r 致碍2 d x + 三r 嚷b 。d x m z t 乃 几何变形约束方法的特点是将非中线上一点的纵向变形位移用中线上对应点的轴向伸 长j 和耦合变形项表示，对j 、“3 0 进行离散因此，得到离散化的动力学方程为 埘+ g a + 【置o + 孟0 ( ) 】口= q ( 1 2 1 8 ) 由于疋是常值阵，计算效率较高在此基础上，b a n 刑7 5 】碜 究了作大范围运动的板，但这 种方法难以推广到柔性多体系统h a e r i n 扩研究了使用这种方法来处理不同边界条件的柔性 粱时的建模及模态选取的问题在该方法中，对于不同的边界条件，广义模态坐标的选取需 要慎重对待 4 变形耦合方法 z h a n g h u s t o n 【7 7 7 l 认为柔性体刚度的减弱是由于在运动学关系中过早地对变形的广 义坐标进行了线性化，忽略了导致刚度增加的非线性项因此，为了保留弹性变形耦合的非 线性特征，将柔性体的变形场用广义坐标的二阶小量进行描述 l o 第一章绪论 q = 西o a j + 口j ( 1 2 1 9 ) 将上式代入非线性的应变和变形位移的关系式，利用小变形假设 a 谚 q = i 土口， ( 1 2 2 0 ) 可得到耦合模态形函数y 么的表达式，最终形成一致线性化的动力学方程由于此方法局限 于将变形场用模态形函数岛来表示，其计算精度取决于模态形函数嚷和真实模态形函数的 近似程度，而且取几阶模态也较难确定 为了将此方法与有限元法相结合，王建民 8 1 , 8 2 将梁单元内任意点的位移表示为单元节点 位移的非线性插值形式 砘 “2 蚝 8 一h 5 t 2 弋 ：n 8 + i o i ( 1 2 2 1 ) 【 o j 将上式代入非线性的应变和变形位移的关系式，利用小变形假设 毛。掣0 2 2 2 ) 求出单元耦合形函数阵为 h ：一f 孕1 婴+ 丛1 o n 3 ) d 盯 ( 1 2 2 3 ) 丑、8 0 8 仃 a c t0 口 由于单元耦合模态形函数和变形位移只满足部分边界条件，不能保证有限元各单元节点 变形位移的连续性 5 伪势场方法 在研究旋转梁( 例如直升机翼片) 的动力学阎题时，一些学者认为应当考虑粱的离心势能 其具体做法是：先按照传统线性理论建模，然后将柔性粱在离心场中的势能补偿到系统能量 表达式中去，在此基础上推导系统的动力学方程这种方法最早由m e i r o v i t c h t s o l 提出来，随 后被许多学者采纳，如y i g i t f 1 】和a 1 b e d o o r e 8 2 均采用该方法来处理粱的旋转刚化问题这种 方法的推导过程仍然是在惯性系下进行的，因此在对有大范围运动的物体的建模过程中( 如多 刚体系统) ，并不需要对离心场的势能做任何额外的计算因为在对物体的运动关系作了精确 的描述后，在物体的动能中已经包含了离心效应，因此该建模方法在理论上是不严格的 6 子结构法 w u h a u g s 3 、h o p k i n s t u l 、l i u l i e 0 蜘等认为柔性体大变形所产生的几何非线性是 产生具有增加的动力刚度髟。的主要原因该方法将柔性体分成若干个子结构，虽然柔性体 整体的位移一应变关系是非线性的，但是在子结构内部，位移一应变的线性化假设仍然成立 上海交通大学博士学位论文 用假设模态法或线性有限元处理子结构的内部变形，子结构边界公共节点通过定义其位移约 束方程来表示相邻子结构之问的位移协调性，这相当于把柔性体的位移用广义坐标的分段函 数表示应用已有的柔性多体系统动力学模型，只要合理地划分子结构，就可较好地解决动 力刚化问题这种方法的优点是对现有的柔性多体系统动力学模型和分析软件不作任何修改 就可以计及柔性体的动力刚化效应，但其结果明显依赖于子结构的数目，且在子结构的对接 面上必须引入约束方程以满足变形的连续性，对复杂的大型结构，此方法的计算工作量非常 大 7 有限段法 w i t t e n b u r gf 5 】最早提出了有限段( f i n i t e 肿t ) 的基本概念，然而真正深入研究限段方法 并将其应用于柔性体动力学仿真中的却是h u s t o n 及其合作者m ”j 后来a m i r o u c h e h u s t o n 等【8 s - g o ! 将其进一步发展，w a n g h u s u ) n 1 9 1 1 研究了如何确定两个相邻段之间的弹簧系数，并 使其能够适用于变截面梁。c o n n e l l y h u s t o n 剐又进一步完善了有限段方法有限段方法 的基本思想是：将梁式柔性构件离散为有限个刚体段，段间用三个扭转弹簧、三个线弹簧以 及与之相应的六个阻尼器相连接这样，用离散的粱段来描述了柔性体的惯性特征，用段间 的弹簧和阻尼器来代表柔性体的弹性和阻尼特性，并可建立由段间相对速率为广义速率的动 力学方程粱段柔性的表达不是相对于柔性体的体坐标系，而是相对于段坐标系，从而可以 用粱段问的小变形表达整个柔性体的大变形柔性体经过有限段方法离散后，可视为带有关 节柔性( 刚度，阻尼) 的多刚体系统，无须修改方程即可借助于现有的、很成熟的非线性多刚 体动力学理论( 或软件) 进行求解，自然计及了几何非线性的影响，包含了动力刚度项 有限段方法是很令人感兴趣的，因为它可以借用现成的多刚体程序来处理具有细长形状 的柔性体，其缺点是处理三维问题时计算效率较低，前处理过程也比较复杂，并且目前的有 限段方法仅仅局限于粱式构件 上述几种方法都是基于1 h 1 1 c 提出的“动力刚化”问题，采用不同的近似方法去捕捉( 文 献上普遍采用c a p t u r i n g 一词) 这种现象，捕捉的重点是增加的动力刚度项置m 或与其具有相 同的性质没有从严格的力学原理出发，去研究大范围刚体运动与柔性体小变形运动之间的 耦合机理及寻找这种耦合效应对柔性多体系统动力学性质的影响且以上方法基于不同的近 似方法，都得到了增加的动力刚度项j 0 或类似于它相同性质的项，形式各异，只适用于它 们各自特别的场合，因此对于柔性多体动力学中刚柔耦合问题的实质一直存在争议另外， 以上方法与传统混合坐标法一样沿用了结构动力学中无大范围运动弹性结构的振动固有频 率及模态振型，没有考虑大范围运动对弹性结构振动频率与模态的影响 1 2 5 一般刚一柔耦合动力学问题的研究 “动力刚化”这个问题有其特殊性，所研究的对象大都是大范围运动给定情况下的柔性 粱或板这只是刚柔耦合动力学的一种特例情况，其实质是一个非惯性系下的结构动力学问 题对刚。柔耦合动力学的研究更重要的是对大范围运动未知的刚柔耦合系统的研究柔性 1 2 第一章绪论 多体系统刚柔耦合动力学建模，应该从分析力学和连续介质力学的基本原理出发，找出多刚 体系统动力学和结构动力学所作的假设或理想条件在柔性多体系统中的不合理性，然后建立 较高次近似的刚柔耦合动力学的理论，这样不仅能得到正确反映这种耦合的动力刚度项。而 且还能揭示这种耦合效应是否对系统动力学性质还具有其它影响 几年来，上海交通大学在国家自然科学基金委重点项目的资助下开展了柔性多体系统刚 柔耦合建模理论研究的第四阶段的研究工作对刚柔耦合动力学建模理论、离散方法、实 验研究，仿真软件和控制方法等方面开展了许多工作，并取得了一系列成果： 1 在建模理论的研究方面 初步认清刚一柔耦合动力学建模理论的关键问题，针对大范围运动为已知的非惯性系下的 梁和板 9 4 - 9 ”，从连续介质力学和分析动力学出发，找出了零次近似模型中所忽略的中线( 面) 耦合变形量，解释了非惯性系下的转动弹性梁和板产生动力刚化的原因及其动力学实质蒋 丽忠等【，7 1 根据中面耦合变形量，建立了作大范围运动弹性薄板刚柔耦合一次近似的动力学模 型，并对作大范围运动弹性薄板的非线性动力学性质进行了定性分析，比较了耦合动力学模 型与几何非线性动力学模型的动力学性质的差异，从而验证了几何非线性并不是作大范围运 动弹性构件产生所谓的“动力刚化”的原因及几何非线性方法在研究“动力刚化”中所作的 假设是不合理的刘锦阳【，”将这种方法与有限元离散结合起来，定量地研究了非惯性系下的 转动弹性粱的动力学特性。为了确定零次近似模型的适用范围，引入与转速和基点加速度有 关的耦合系数，提出了零次近似模型的适用判据，即耦合系数c t ， 上海交通大学博士学位论文 图3 4 旋转悬臂粱动力学模型 f i g 3 4 c m t i l e v e rb e a ma t t a c h i n gt oar o t a t i n gb a s e 柔性梁的具体物理参数与文献【1 o 相同：长度f = 8 m ，截面积4 = 7 2 9 6 8 x 1 0 5 m 2 ， 截面惯量矩j = 8 2 1 8 9 x 1 0 4 a 4 ，密度p = 2 7 6 6 6 7 x 1 0 3 k g m ，弹性模量 t i m e ( i ) 图3 5 粱端点的y 方向变形位移 f i g 3 5 d e f o r m a t i o nd i s p l a c e m e n t0 1 1t h eb e a me n di n y d i r e c t i o n ( = 4 r a d s ) 第三章作大范围运动平面柔性粱的刚一柔耦合动力学 图3 6 文献 6 5 1 0 ：的粱的末端横向变形位