（计算数学专业论文）一类chemostat食物链模型解的研究.pdf

一类c h e m o s t a t 食物链模型解的研究 王 治国 摘要c h e m o s t a t 是一类工业反应器，这类反应器不只局限于化学反应，它 广泛应用于微生物培养，废料处理，生物制药，食品加工等领域c h e m o s t a t 是 一种能观测性和能控性很强的装置，只要适当地调节反应器内各个反应物的浓度 或者调节其它控制参数就可以达到预期的目标可见对c h e m o s t a t 模型的研究十 分必要借助于数学方法对这类系统进行建模，分析，控制和优化，这对反应器 的设计，生产成本的降低等都有着十分重要的意义 本文主要研究一类未搅拌的c h e m o s t a t 食物链模型，在这个系统中除了包 含营养物以外，还有一个食饵物种和一个捕食物种食饵物种的增长依赖于营养 物和捕食物种的浓度，c h e m o s t a t 食物链模型的数学描述如下： & = d o a s a u l f l ( s ) ， u l t = d l a u l + d ( 仳l ( s ) 一k 1 ) 一厶让2 ，2 ( 牡1 ) ，( 。，t ) nx ( 0 ，o 。) u 2 = d 2 a u 2 + 6 ( 坳，2 ( 1 ) 一2 ) ， 边界条件为 董o z ) s 算，r 一、 ( 州) a qx ( o ，。) ， 鬻+ r i ( x ) u i = 0 ( i = 1 ，2 ) ， p ”“7 ” 非负初始条件为 s ( x ，0 ) = s o ( 。) ，t t i ( x ，0 ) = u t o ( i = 1 ，2 ) 这里s ( t ) ，让- ( t ) ，让2 ( t ) 是营养物s 和食饵物种t 1 ，以及捕食物种u 2 在t 时刻的浓 度，q 为冗“m 1 ) 中的有界开区域。边界充分光滑，盔为物种啦的死亡率， 和，2 分别为营养物s 和食饵物种钍1 的生长率，a 和b 分别为物种u 1 和? 2 2 的最大生长率由方程组可以看出，物种“l 以营养物s 为食，物种奶捕食物种 珏，u 。和s 之问不存在捕食关系，因而构成一个单向食物链 本文分两部分就c h e m o s t a t 食物链模型解的性质进行了讨论 第一章讨论了两个物种的死亡率可以忽略不计，以及相同的边界条件下解 的性质根据方程的特点，可以通过降低系统的维数使问题简化为捕食- 食饵模 型来处理运用极值原理，上下解，分歧理论等方法讨论了该模型平衡态解的性 质我们给出了共存解存在的充分必要条件，并证明了共存解在适当条件下是稳 定的 第二章讨论了不忽略物种死亡率条件下解的性质，使得对该问题的研究更具 实际意义不幸的是不能象第一章那样可以降低系统的维数，从而加大了研究的 难度但是我们可以证明该系统在满足适当的条件下存在个紧的全局吸引子， 系统的平衡态解都包含于该吸引子之内在证明系统存在全局吸引子的过程中需 要对解作估计，这也对后面利用度理论证明平衡态共存解提供了保障对单物种 情形我们也作了详细的分析，给出了单物种平衡态解的存在性，稳定性，以及唯 一性的条件 关键词：c h e m o s t a t 模型不动点指数全局吸弓f 子分歧点耗散 t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es t e a d y s t a t es o l u t i o n s t oak i n do ff o o d c h a i nc h e m o s t a tm o d e l w a n gz h i g u o a b s t r a c tt h ec h e m o s t a ti sa na p p a r a t u su s u a l l yu s e di nt h ec h e m i c a le n g i n e e r i n g ，i ta l s os e r v e s a sar e a c t o ru s e di nm i c r o o r g a n i s m sc u l t u r e ，w a s t et r e a t m e n t ，b i o l o g yp h a r m a c y , a n d f o o dp r o c e s s i n ge t c t h ec h e m o s t a ti saw e l lc o n t r o l l e da n dw e l l o b s e r v e da p p a r a t u s ，w ec a ng e to u re x p e c t e dg o a l sb yc o n t r o l l i n gs o m em i c r o o r g a n i s m sc o n c e n t r a t i o no ra d j u s t i n gs o m ep a r a m e t e r si nt h es y s t e m o b v i o u s l y , s t u d i e s o nc h e m o s t a th a v eb e c a m ev e r yn e c e s s a r y d e p e n d i n go nm a t h e m a t i c a lm e t h o d s t om o d e l ，a n a l y z e ，c o n t r o l ，a n do p t i m i z et h es y s t e m ，w h i c hh a v ev e r yi m p o r t a n t s i g n i f i c a n c ei nt h er e a c t o rd e s i g n i n ga n dt h ec o s to fp r o d u c t i o nd e c r e a s i n g t h i sp a p e rd e a l sw i t ha nh a s t i r r e dc h e m o s t a tf o o d - c h a i nm o d e lw i t ha s i n g l e n u t r i e n t ，o n ep r e d a t o ra n do n ep r e yp o p u l a t i o n s ，w h e r et h ep r e yc o n c e n t r a t i o ni s c h a n g i n gw i t ht h ec o n c e n t r a t i o no fn u t r i e n ta n dp r e d a t o r t h ec h e m o s t a tm o d e l c a nb ed e p i c t e di nm a t h e m a t i c a l l ya sf o l l o w i n g s ： s t = d o a s a u l f l ( s ) ， u l t = d l a u l + o ( 让l ( s ) 一七1 ) 一6 u 2 丘( u 1 ) u 2 t = d o a u ：+ 6 ( 钍2 ，2 ( 让1 ) 一k s ) ， w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s 簧+ r o ( z ) s = s o ， 鬻+ r i ( x ) u l = 0 ( i = 1 ，2 ) ， a n dn o n n e g a t i v ei n i t i a lc o n d i t i o n s ( 茁，t ) n ( 0 ，o 。) ( z ，t ) a q ( 0 ，0 0 ) s ( x ，0 ) = s o ( z ) ，u i ( x ，0 ) = u i o ( i = 1 ，2 ) h e r es ( t ) ，u l ( t ) ，u 2 ( t ) a r et h ec o n c e n t r a t i o n so ft h en u t r i e n t ，p r e y , p r e d a t o ra tt i m e tr e s p e c t i v e l y ，qi sab o u n d e dd o m a i ni n 刀( 礼21 ) w i t hs u f f i c i e n t l ys m o o t hb o u n d a r ya q ，d oi st h ed i f f u s i v ec o e f f i c i e n tf o rt h en u t r i e n ts ，喀i st h er a n d o mm o t i l i t y c o e f f i c i e n to fm i c r o b i a lp o p u l a t i o n 讹w i t hd e a t hr a t e s 七l ， a n dh a r et h eg r o w t h r a t eo fsa n d 仳ir e s p e c t i v e l y , na n d6a r et h em a x i r a u mg r o w t hr a t e so fu la n du s r e s p e c t i v e l y f r o mt h ee q u a t i o n sw e c a n g e tt h a tt lp r e y so ns a n d “2p r e y so nu 1 t h e r ea r en o td i r e c tr e l a t i o n s h i pb e t w e e n1 1 2a n ds ，t h e r e f o r ，t h es y s t e mf o r m sa s i m p l ef o o d - c h a i n i i i t h ew h o l ep a p e ri sm a d eu po fl w os e c t i o n sa n dt h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n st o t h eu n s t i r r e dc h e m o s t a ts y s t e m si s i n v e s t i g a t e d i np a r to n e ，w ea s s u m et h a tt h en u t r i e n ta n dt w om i c r o b i a lp o p u l a t i o n sd i f f u s e i nt h em e d i u mw i t hn od e a t hr a t e ，a n de q u a l l yb o u n d a r yc o n d i t i o n s b e c a u s eo f t h es u mo fc o n c e n t r a t i o ni nt h ec h e m o s t a ti sac e r t a i nf u n c t i o n ，w h i c ha l l o w su st o e l i m i n a t et h en u t r i e n tf r o mt h es y s t e m ，a n dr e d u c et h es y s t e mt op r e y p r e d a t o r m o d e l b ya p p l y i n gm a x i m u mp r i n c i p l e ，m e t h o d so ft h em o n o t o n ea n db i f u r c a t i o n f r o mas i m p l ee i g e n v a l u ew ed i s c u s se q u i l i b r i u mo ft h es y s t e m t h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n so ft h ec h e m o s t a t m o d e la r ee s t a b l i s h e d ，a n ds o m el o c a ls t a b i l i t yr e s u l t sf o rt h ep o s i t i v es o l u t i o n sa r e o b t a i n e d i np a r tt w o ，w ed r o pt h ea s s u m p t i o no ft h en u t r i e n ta n dm i c r o b i a lp o p u l a - t i o u s d i f f u s i n gi n t h em e d i u mw i t hr i od e a t hr a t ea n dc o m m o ns e to fb o u n d a r y c o n d i t i o n s ，w h i c hm a k e sv e r yi m p o r t a n tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e u n f o r t u n a t e l y , i n t h ep r e s e n tc a s e ，w ec a l ln o tr e d u c et h es y s t e mt ot w om i c r o o r g a n i s m s t h e r e - f o r e ，t h em a t h e m a t i c a lc o m p l i c a t i o n si n t r o d u c e db yd r o p p i n g t h e s ea s s u m p t i o n sa r e e x t e n s i v e h o w e v e r ，i ti ss t i l lp o s s i b l et os h o wt h ee x i s t e n c eo fac o m p a c tg l o b a l a t t r a c t o rf o rt h em o d e la n dt og e ts o m er e s u l t so nt h es t e a d ys t a t es o l u t i o n sc o n t a i n e di nt h ea t t r a c t o r ，t h ep r i o r ie s t i m a t ei so b t a i n e di nt h ep r o c e s s i n go ft h e p r o o f t h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a la t t r a _ t ：t o r ，w h i c hm a k e su sp o s s i b l yu s eo ft h ef i x e d p o i n ti n d e xt og e tas u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n s o ft h ec h e m o s t a tm o d e l i na d d i t i o n ，c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c e ，s t a b i l i t y , a n d u n i q u e n e s so fs i n g l e - p o p u l a t i o ne q u a t i o n se q u i l i b r i u ma r ee s t a b l i s h e d k e y w o r d sc h e m o s t a tm o d e l f i x e dp o i n ti n d e x g l o b a l a t t r a c t o rb i f u r c a t i o n p o i n td i s s i p a t i v e 学位论文独创性声明 v 。 7 2 l o 本入声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：日期 前言 从数学的角度来讲，一个反应扩散系统可以用如下偏微分方程来描述： 瓦o c = ，( c r ，芦) + d a c ， 其中g 表示反应物浓度矢量；“代表系统控制参量的总和；，代表系统的动力 学函数；d 是扩散系统矩阵；为拉普拉斯算子 反应扩散系统不仅仅局限于化学反应系统，其应用范围遍及许多学科，例 如：生态系统，疾病的传染，人口迁移等都可以演化为反应扩散方程，可以说反 应扩散方程是描写自然界运动的基本方程之一本文讨论去除均匀搅拌假设的 c h e m o s t a t 模型就是一类反应扩散方程 在给出方程之前，先介绍c h e m o s t a t 及其结构，这对我们进一步认识c h e m o - s t a t 模型有一定的帮助c h e m o s t a t 是一类工业反应器，通常称为搅拌釜式反应 器( 也简称为c s t r ) c h e m o s t a t 装置由三个相连容器组成第一个容器称为喂 养容器( f e e db o t t l e ) ，盛装微生物生长所需的营养液营养液的主要成分是营养基 ( n u t r i e n t ) ，其浓度保持不变，以单位时间流量f 输入到第二个容器第二个容器 称之为培养容器( c u l t u r ev e s s e l ) ，它的容积固定，内装有待培养的微生物，并装备 有搅拌器和供氧设置第三个容器称为溢流装置( o v e r f l o wv e s s e l ) ，培养容器中的 液体物质一一养料和微生物的混合物以与输入速率相等的速率f 输出到这个容 器，以保持培养容器的容积不变 基本的c h e m o s t a t 食物链模型是通过下面三个非线性的常微分方程给出的 s t = ( s o s ) d o t 1 鲁 ( s ) ， 牡l t = “l ( 口 ( s ) 一d i ) 一“2 告，2 ( ”1 ) ， 2 t = u 2 ( b f 2 ( u 1 ) 一d 2 ) 这里s ( t ) ，t 。( t ) ，地( t ) 是营养物s 和捕食物种“l ，u 2 在t 时刻的浓度，铲是营 养物的输入浓度，d i 0 = 0 ，1 ，2 ) 为稀释率，f l ( s ) = ：丽s 为营养物s 的生长率， 如( “1 ) = a 且一为物种1 的生长率，。和分别是物种l 和u 2 的最大生长率，+ t c l b m ( i = l ，2 ) 是产出常数由方程可以看出，该c h e m o s t a t 食物链模型包含了一个 捕食物种2 和一个食饵物种u 1 ，物种珏- 以营养物s 为食，物种缸2 捕食u 1 对 该系统的研究有着十分重要的实际意义例如：利用微生物处理工业废料过程当 中，用细菌来分解有机废料，利用一种叫做纤毛虫的浮游生物控制细菌的数量， 从而限制了细菌无限增长带来的二次污染 上面的c h e m o s t a t 模型都是在均匀搅拌的反应器中进行的，在这篇文章中 我们去除c h e m o s t a t 中均匀搅拌的假设，考虑了分子扩散的影响作用，此时微生 物的种群密度不仅与时间有关，而且和空间位置有关描述c h e m o s t a t 中微生物 生长的数学模型不再是常微分方程，而是下面的反应扩散方程组： s t = d o a s o u l ( s ) ， 1 t = d l a u l + 口( 1 ( s ) 一k 1 ) 一6 u 2 厶( “1 ) ，( 。，t ) q ( 0 ，。o ) u 2 t = d 2 a u 2 + b ( u 2 k ( u 1 ) 一2 ) ， 边界条件为 初始条件为 嚣+ ? 恩：铲，一1 们佃) a n ( o ，o 。) - i - 0 i 豁n ( 石) 撕= ( = l ，2 ) ， ”“”“”叫 s ( x ，0 ) = 岛( z ) ，呲( z ，0 ) = u i o ( i = 1 ，2 ) 涉及非均匀竞争c h e m o s t a t 模型的研究很多，这对我们借鉴其方法来进一 步研究以上模型大有裨益文献f 1 1 ，1 8 ，2 4 1 用分歧理论，度理论等方法对非均匀 c h e m o s t a t 中两种微生物竞争单一有限营养基的数学模型给出了相当完备的数 学分析，主要结果是在某些适当的条件下，系统以稳定的正平衡态形式共存是 可能的，且系统的所有解都收敛到这样一个稳定的正平衡态解更多的分析见 1 2 ，1 5 ，1 6 ，1 9 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 9 】 对均匀搅拌c h e m o s t a t 食物链模型文献 3 0 】作了相当完备的分析，作者通 过巧妙地构造l y a p u n o v 函数分析了该系统的全局稳定性，同时也给出了该系统 持久性的条件对无搅拌食物链模型有人也作了一些研究t 在文献 3 l 】中，作者 讨论了以上系统是周期函数的情形，主要利用度理论证明了该系统在满足适当条 件下具有共存懈，且该共存解具有一致持久性；在文献 1 0 】中，作者利用分歧理 论讨论了该系统在空间为一维时解的共存性以及持久性我们感兴趣的是平衡态 系统解的结构，解的全局性质因为微生物的存亡与否与该系统是否可以持续利 用至关重要，从经济上来看就是能否最大限度地节省成本 2 第一章捕食c h e m o s t a t 模型分歧解的 存在性和稳定性分析 士 置 c h e m o s t a t 模型的研究对商用微生物的生产，污水处理，生物制药，食品加 工以及其它领域都有重要的作用，因此人们对其进行了广泛深入地研究对这类 模型的生物和化学等背景h l s m i t h 和pw a l t m a n 等人在文献( 6 j 6 有详细的叙 述目前关于竞争c h e m o s t a t 模型的研究成果颇丰，而关于其它类型的c h e m o s t a t 模型研究文献并不多见基本的c h e m o s t a t 食物链模型是通过下面三个非线性的 常微分方程描述的 s t = ( s o s ) d o u l 羔 ( s ) ， u l t = u , ( a k ( s ) 一d 1 ) 一珏2 击，2 ( 1 ) ，( 1 1 1 ) u 2 t = u = ( b k ( 让i ) 一玩) 这里s ( t ) ，t 1 ( t ) ，u 2 ( t ) 是营养物s 和捕食物种，z 在t 时刻的浓度，s o 是营 养物的输入浓度，n 0 = o ，1 ，2 ) 为稀释率， ( s ) = i 为营养物s 的生长率， k c u t ) = 若啬为物种 - 的生长率，口和b 分别是物种u l 和乜：的最大生长率， o i ( i = l ，2 ) 是m i c h a e l i s - m e n t e n 常数，( i = 1 ，2 ) 是产出常数 在文献f 1 0 ，3 1 1 中，作者去除了均匀搅拌的假设，讨论了这个模型在非均匀 搅拌系统中的情形忽略物种“t ，u z 的死亡率，对参数无量纲化后方程化为： s t = d 0 s a u l f l ( s ) ， u l t = d i a u l + a u a f l ( 鄙一舰2 正( u i ) u 2 t = d 2 a u 2 十b u 2 ，2 沁1 ) ， ( 口，t ) qx ( 0 ，o 。) ，( i 1 2 ) ( 1 1 3 ) s ( x ，0 ) = 岛( z ) ，u i ( x ，0 ) = ? q o ( i = 1 ，2 ) ( 1 1 4 ) 我们感兴趣的是平衡态系统正解的结构，由于平衡态方程对扩散系数具有吸 收性，所以方程( 1 1 2 ) 对应的平衡态方程可以表示为： s a u l f l ( s ) = 0 ， a u z + a u l f l ( 3 ) 一6 2 ，2 ( 钍】) = 0 ， 。q ， ( 1 1 5 ) a u 2 + 阮2 ，2 ( u t ) = 0 ， 3 s 0陋 印 i l “ 铲o | = 端 + 件篓瓤黻 躲 躲 边 初 边界条件为 筮：燃叠o 。( i 一1 。、 茁锄 ( 1 1 _ 6 ) 鬻+ r ( z ) u _= ，2 ) ， “ p 。w 对，l ( s ) 作如下延拓： 五( s ) = 乏兽i ( 磬+ ，) 一；，；三 为方便起见我们仍用 ( s ) 来表示五( s ) ， 下面对系统( 1 1 5 ) 一( 1 1 6 ) 作简化，令z = s - t - 1 1 , 1 + u 2 ，则。满足 a z = 0 ，z n ， 舞+ r ( x ) z = s 。，z d q ， 由线性椭圆方程的性质可得z ( z ) 存在且唯一基于z ( x ) 方程( 1 1 5 ) 可简化为如 下两个方程的形式： 恕“+ a “l a h ( z _ 二1 0 刈2 ) 地2 ，2 ( u 1 ) = o ， z q ， ( 1 1 7 ) “2 十6 2 正( “1 ) = ， 山k4 钆 、l 上“ 边界条件为 杀+ r ( z ) u 一0 0 = 1 ，2 ) ， z 御 ( 1 1 8 ) 显然，系统( 1 1 7 ) 一( 1 1 8 ) 是一类捕食模型我们关心的是乎衡态问题( 1 1 5 ) 一 ( 1 _ 1 6 ) 正解的存在性和稳定性，可以转化为求解( 1 1 7 ) - ( 1 _ 1 8 ) 正解的存在性和 稳定性下面用单重特征值分歧定理证明系统正解的存在性，用全局分歧定理证 明其共存解的全局分歧性，最后讨论系统共存解的稳定性 1 2 预备知识 关于特征值的比较原理和变分性质 引理1 2 1 设特征值问题 默磐0 0 z 篇j ( 1 。- 1 ) 箬+ r 咖= ， z a q o “1 其中q ( x ) e ( 丽) ，q ( x ) 0 ，那么( 1 2 1 ) 的所有特征值可排列为 0 k ( g ) 0 ，z 行， 且比较原理成立：对于j l ，若q ( 茁) 矿( 石) ，z 孬，则a j ( q ) a ，( q ，) 1 如果 q ( x ) 口( z ) ，则有a j ( q ) o 和一个g 1 曲线( a ，妒) ：( 一最6 ) 叶r z 使得 i ) a ( o ) = a 1 ， i i ) 妒( o ) = 0 ， i i j ) 对扣f 0 ，b o 满足i k ( b ) 在0 b b o - c 上可逆假如i ( 丁( b ，o ) ，o ) 在( b o 一；，b o ) 和( b o ，6 0 + ) 上为常数，并且满足当 6 b o 一 b l b o b 2 b o + e 时i f f ( b , ，) ，0 ) i ( t ( 6 2 ，- ) ，o ) ，那么方程让= t ( b ，u ) 在( b u ) 平面内存在一个连通分支e ，并且 ( i ) c 连接点，0 ) 和点( 5 ，o ) ，且i 一( 5 ) 不可逆； 或者 ( i i ) c 从点( b o ，0 ) 出发，在r x 中伸向无穷 1 3 单物种的平衡态解 由方程( 1 1 2 ) 可知物种 u 2 捕食物种乱若“- 不存在，“。肯定不能存在 而若u 2 不存在，钍1 可能继续生存我们去掉捕食者u 2 ，考虑单物种u 。的情形 鲁u l + + r a ( z u ) l 札f 】l ：z - - ，“1 ) = 0 z z e 砌r o , 0 ( 1 圳 鬻+ r ( z ) 札1 = ， z 砌 。j 假设 u 1 是方程( 1 3 1 ) 的解，那么方程( 1 1 7 ) 具有形如( u l ，0 ) 的半平凡解 引理1 3 1 若u 1 ( 0 ) 是方程( 1 3 1 ) 的一个非负解，则在孬上有0 u 1 若存在点z o 孬使得3 ，( 上o ) = 0 由极 值原理可知必有a q ，而在边界处根据h o p f 边界引理可知爨i x o a 1 ，则方程( 1 3 1 ) 存 在唯一正解日。 证明设面= 2 ，由引理1 3 1 可知z 是方程( 1 3 1 ) 的一个上解令型= 砸( z ) ， 其中6 0 是一个常数，庐( 卫) o 是方程( 1 3 3 ) 中主特征值a l 所对应的规范化 主特征函数，把u 带入方程( 1 3 1 ) 左边得 a u + n 丝 0 一盟) = d 西f 扣一a 1 ) ( z ) 一o ( ，l ( 石) 一 ( z 一巧) 】 = d l ( 口一a 1 ) ( z ) 一o d 爿( z 一卢d ) 】，( 0 0 充分小则有 a u + d 些 ( z 一蓟 0 ，。q ， 等+ r ( z 也= 0 ， $ a q 因此，u = 6 西( z ) 是方程( 1 3 1 ) 的一个下解利用单调方法可知，方程( 1 3 1 ) 存在 极大解“+ 和极小解u 一，满足笪u 一矿西由引理1 3 1 知u , 1 0 ，所以存在 充分小的j o ，使得方程( 1 3 1 ) 的非平凡解满足型兰u l 面( z q ) 根据极大解 的定义知0 t 1s 矿，z 甄考虑积分i 兰矗( u 1 _ a u + 一矿a u l _ ) d x = 厶n ( u 1 1 0 u i + 一 u + 鬻) = 0 另一方面由方程( 1 3 1 ) 知，= 矗a u , + u l ( f l ( z u , 1 ) 一f l ( z 一+ ) ) 出 由于0 0 且满足( 1 3 1 ) ，利用k r e i n r u t m a n 定理得算子上o = + 口 ( z 一日。) 的主特征值p l ( ) 在g 刍g ( b c 为齐次第三边界条件) 上为o ，以 为其对应的主特征函数，所以有p l ( 三1 ) a i ，则f 是c 1 函数，显然f ( 。，以) = 0 且f r e c h e t 导数d f ( a ，以) = l 1 8 由引理1 3 3 和隐函数定理可知在a 的邻域内存在c 1 函数就。：r - - # 四c ( 两使得 u ，i 。：。= 0 。，f ( s ，) = 0 ，而且8 _ 是从( a 1 ，+ o o ) 到g c ( 孬) 的一个映射，由 ( 8 ，“。) 是接近( a ，0 。) 的唯一解可得以：对a 是连续可微的 令= d 吃如，对方程( 1 3 1 ) 两边关于n 微分 l l q 。= + a 叩a ( f l ( z 一艮) 一o a 爿0 一以) ) = 一o a f l ( z 一0 。) p 1 证明由极值原理可知当u l 0 且钍0 时u l 0 对( 1 1 7 ) 的第一个方程 两边同时乘以u l ，然后q 上积分有 z i v 灶t1 2 如+ l “z ) 钍 d s a 1 同理可证b 1 引理1 4 2 设札2 的最大生长率b 固定，并且满足b 弘1 ，则方程 a u 2 + b f 2 ( o 。) 乱2 = 0 ，x q ， 9 等州咖。= 0 ，z 触 存在唯一正解如 证明类似引理i 3 2 可证 引理1 43 若( u 1 ，札2 ) 是( 1 1 7 ) 的非负解，且u l ，吐2 0 ，那么 i ) 0 i 以，0 她兰巩； i i ) 0 札l + 仳2 0 所以 0 l 以，0 珏2 0 b i i ) 先证u 1 + t t 2 0 ，这 与边界条件器+ r ( z ) ! ，i 。：。= 0 相矛盾! 由极值原理可知当y ( x ) 0 且( o ) 0 时可( z ) 0 ，所以u 1 + u 2 0 综上可得0 u 1 + u 2 z 证毕 a ( o o w ) + a ( o o 一叫) ( 。一( 以一w ) x ) 一b x f u ( o 。一w ) = 0 x + b x 五( ( 如一 ) ) = 0 1 0 掉换中之砷 l1 列入代 z y 一 o 以 0 ，当b ( 1 ，p l + d ) 时方程( 1 1 7 ) 存在正解 证明设 l ( i i ，0 ，0 ) = d g ( 。，x ) ( p l ，0 ，0 ) ( 1 4 。3 ) 一rl k ( a f l ( z 一以) 一口以，i 0 一以) ) 一k ( a o f ；( z 一以) + p 1 ，2 ( 以) ) 、 一l 0 1 一芦i ，2 ( 以)l 则 l ( z z ，0 ，o ) ( 埘，x ) r = ( w k ( a f l ( z 一以) 一a o o f ；( z 如) ) 叫一k ( a o , j ( z 一以) + p 1 尼( 目。) ) _ x ，x p 1 k ( a ( o 。) ) x ) t ， 那么l ( p l ，o ，o ) ( 叫，x ) r = 0 等价于 a w + o ( ( z 一以) 一以爿如一以) ) 叫+ ( a o r , f i ( z 以) + p l ，2 ( 以) ) x = 0 ， a x + p 1 ，2 ( 以) = 0 ， 边界条件为 器 ( 卫) 叫- o ，嘉+ 巾) x = 0 ，蚝m 设肛l 所对应的主特征函数为：( = x 1 ，w = w l = 一l t l ( a o 。刖。一0 。) + p ，f 2 ( 以) x z ) ，其中l 1 = + ( 如一以) 一如，f ( z 一以) ) ，因此( 工( 胁，0 ，o ) ) = s p a n s ( w l ，) ( 1 ) ) 设工+ ( p l ，0 ，0 ) 为l ( 卢1 ，0 ，0 ) 的共轭算予，其中 工+ ( “t ，。，。) = ( 1l 黝( - 。0 4 ) 以- ) a + o a 弘f 。i ，2 ( z ( 以- - ) o ) l k 品，2 ( 以) ) ， 则 三+ ( p l ，0 ，o ) ( 训，) ( ) t = ( 一a k ( f l ( z 一以) 一以一( z 一以) ) ， 一k ( o o j i ( z 一0 ) + p 1 ，2 ( 如) ) 叫+ x 一肛l k ( 五( 以) ) x ) t 令p ( p 1 ，0 ，o ) ( 叫，) ( ) r = 0 ，由于肛l 为主特征值，从而i v l = 0 ，所以n ( l ( p l ，0 ，o ) ) = s p a n s ( 0 ，x 1 ) ) 由f r e d h o l d m ：i f l r ( l ( p 1 ，0 ，o ) ) = ( 叫，) ( ) x ：，n x x t d x = o ) ，所以咒( 卢1 ，0 ，o ) ) 的余维为1 另一方面 工i l ，0 ，o ) ( 训1 ，x 1 ) = d ( 。，x ) g l ，0 ，o ) ( 叫，x 1 ) = ( 一k ( 正