（一般力学与力学基础专业论文）斜拉索参数振动及斜拉桥有限元分析.pdf

西南交通大学硕士研究生论文第j 页 摘要 斜拉索现已广泛应用于各种工程结构，如斜拉桥、塔桅结构以及悬索桥等。 斜拉索是斜拉桥的主要受力构件之一，由于其大柔度、小质量和小阻尼等特点， 在外界因素的激励下极易发生多种形式的有害振动，因此，准确分析斜拉桥的 静、动力特性并进行振动控制是斜拉桥设计的重要工作之一。 本文对斜拉索振动的基本概念以及斜拉索的动力特性进行了详细的介绍， 对斜拉索的参数振动的机理进行了简要阐述，分析了斜拉索在端激励作用下， 斜拉索的各项参数对索的参数振动的影响。通过索桥耦合振动的分析，研究了 斜拉索与桥面的耦合特性，详细分析了索与桥各项参数对索桥耦台振动的影响。 通过数值计算发现，当索与桥频率比为2 倍关系时，索或桥的微小振动也可能 引起索的较大幅度振动，通过增加拉索或桥面的阻尼比可以有效地抑制斜拉索 的参数振动。本文还对斜拉索的制振措施进行了介绍。 本文还以实际斜拉桥为例，介绍了斜拉桥有限元建模应该考虑的问题，并 对在建模和分析时斜拉索的模拟进行了简要介绍。介绍了斜拉桥如何模拟施工 脱架，并对桥梁的动力特性进行分析，分析桥梁在车辆过桥时桥梁的动力响应， 介绍在实际工程实验中测定索的自振频率及桥自振频率的方法。 关键词斜拉索；参数振动；耦合振动；制振措施；有限元方法 西南交通大学硕士研究生论文第1 i 页 a b s t r a c t t h es t a yc a b l ei sw i l d l y 印p l i e di ne n g i n e e r i n gs 仃u c m r e s ，伽ha sc a b l e s 诅y e d b r i d g e s ，s u s p e n s i o n 晰d g e se t c t h es t a yc a b i ei so n eo f t l l ep d n c i p a if o r c em e m b e r s o fc a b l e s t a y e db r i d g e s u n d e rm ei m p e t u so fe x t e m a lf a c t o r s ，i tw 0 1 l l db e v u l n e r a b l et oav 捌e t yo fh a 玎n 如lv i b f a t i o n ，o w 缸gt oi t s p r o p e n i e so fh i 曲 n e x i b i l i t y ，l i t t l ew e i g h ta i l dd a m p s o ，t h ea c c u r a t ea n a l y s i so f b o t hm es t a t i ca n d d y n 锄i cf e a t l _ l r e si sv e 巧i m p o n a l l tf o rt h ed e s 远no fc a b l e si nc a b l e s t a y e db r i d g e s t h eb a s i cc o n c e p t i o n so fv i b r a t i o na n dd ”锄i cc h a m c t e r i s t i co fs t a yc a b l e sa r e p a n i c u l a rp r e s e n t e d ，a 1 1 dt h em e c h a n i s m so ft 王1 ep a r a m e t c rv i b r a t i o na r eb r i e n y a n a l y z e d t h ei n n u e n c eo fv a r i o u sp a r 锄e t e r so fs t a y c a b l ef o rt h ep a r 锄e t e r v i b 枷o ni sa n a l y z e du n d e rt h ee x t e m a le x c “a t i o no nt h ec a b l ee n d t h ec o u p l 血g c h 眦c t e r i s t i co f s t a yc a b i ea n dt h ei n n u e n c eo f t l l ev 撕o u sp a r 锄e t e r so fs t a yc a b l e a i l d b r i d g ef o r 廿1 ec o u p l e dv i b 删o na r ei n v e s t i g a t e d i tf o l l o w sf r o mm en 啪e r i c a l c o m p u t a t 王o nt h a tw e a ke x c i t a t i o no nt h ec a b l eo f d g e s u r f a c ec a nl e a dt h eg r e a t 仃a n s v e r s ev i b r a t i o no fc a b l e ，w 血e nt h e 丘e q u e n c yo fe x c i t a t i o na c t i n go nt h c b d 畦e s u r f a c ei st w i c ea sl a 唱ea st h a to fs e l f - e x c i t e d - v i b r a t i o no fc a b l e t h ep a r a m e t e r v i b r a t i o nc a l lb er e s t r i c t e db yi n c r e a s m gm ed a m po fc a b l eo rb r i d g es l 】r f k e t h e o t l l e rv i b r a t i o nt y p eo fc a b l ea 1 1 ds o m em e a s u r e sr e s t r i c t i n gv i b r a t i o no fv a r i o u ss t a y c a b l ea r ep r o p o s e d i na d d i t i o n ，廿1 ep m b l e m sa 1 1 dm e t h o d si i le s t a b l i s h i n gt h ef i r d t ee l e m e n tm o d e l o f t h ec a b i e - s t a y e db r i d g ea r ei n v e s t i g a t c d ，a 1 1 dt l l em e m o d so f n u m e r i c a ls i m u l a t i o n v i b r a t i o no fc a b l ea r eb r i e n yp r o p o s e d ni si n v e s t i g a t e dh o wt os i m u l a t et h e p m c e s s o fc a b l e s t a y e d b r i d g e t 0b ep u l l e do f ri t s 妊l c k e t n l ed y n a n l i c c h a r a c t e r i s t i ca i l dm ed y n a m i cr e s p o n s eo fc a b l e - s t a y e db r i d g ea r ea n a l y z e dm 此 c a s eo fn l ev e h i c l eb y p a s s i n g 也eb r i 延e f u r t h e m l o r e ，t 1 1 em e a s u r e st od e t e n n i n e t h en a t u r eo ff h q u e n a yo fc a b l ea 1 1 db r i d g ei np r a c t i c ee n 百n e e r i n ga r ep r o p o s e d k e y w o r d s ：s t a y c a _ b l e ，p a r 锄e t e rv i b r a t i o n ，c o u p l e dv i b r a t i o n ， r c s t r i c t i n g m e a s u r e s f i n i t ee l e m e mm e 吐l o d 西南交通大学硕士研究生论文第1 页 第1 章绪论 1 1 引言 斜拉桥作为一种由索、塔和梁组成的组合体系桥梁结构，以其跨越能力 大，造型美观而成为现代桥梁工程中发展最快、最具有竞争力的桥型之一。 斜拉桥作为现代交通工程中广泛采用的桥梁体系，正起着目益重要的作用， 尤其是在跨海跨江交通工程中具有显著的优势，大跨度斜拉桥是其技术发展 的一个重要方面。自二战后第一座现代化斜拉桥出现，随着有限元法的出现 和计算机技术的发展，高强度优质新型钢材的大量生产，模型试验技术和预 应力混凝土技术的飞速发展，现代斜拉桥的跨度越来越大，世界上最大跨度 的斜拉桥是日本的多多罗桥，主跨达8 9 0 米：我国最大跨度的斜拉桥是南京 长江二桥，主跨为6 2 8 米。随着斜拉桥跨度的不断增大，因斜拉索较长，自 重引起的垂度也较大，同时对整个斜拉桥而言，几何大变形问题也比较突出， 斜拉桥的几何非性线也显得较为复杂。 随着斜拉桥跨度的不断增加，大跨度拉索应用也日益广泛。由于静载荷 时对拉索的利用效率较高，使得斜拉桥在经济上具有较强的竞争力，但大跨度 的拉索所面临的动态问题也更为突出。拉索是斜拉桥的主要受力构件，因它 的轻、柔和低阻尼等特点，在风、地震、车辆等荷载作用下，各种振动问题很容 易发生。任一根斜拉索丧失承载力，都会导致斜拉桥的整体失稳和破坏，因 此，斜拉索的安全性必须予以高度的重视。通过对已建成或在建的斜拉桥的 观测表明，即使在微风微雨的情况下，个别拉索有时会发生十分剧烈的大幅 振动【l “。1 9 8 8 年，比利时b e n a h i n 桥和w 抽d r e 桥在风荷载作用下，其中9 根索发生了振幅1m 以上的大幅振动【4 】，荷兰的e r a s m u s 桥在开通不到两个月 便由于索的大幅振动和桥面的明显振动而被迫关闭【5 】，而我国的南浦大桥在 1 9 9 4 、1 9 9 5 年先后三次因拉索的振动而导致减振器的脱落，杨浦大桥也在1 9 9 5 年4 月曾发生2 9 、3 0 号索因振动而碰撞的情况。这种振动对桥梁的安全性与 耐久性产生了很大的危害，它可能引起索的疲劳断裂，在索锚接合处产生疲劳 西南交通大学硕士研究生论文第2 页 裂纹，破坏索的防腐系统，严重的还会造成索失效。索的振动无疑更会引起行 人的不舒适感和对桥梁安全性的怀疑。因此，各国学者从八十年代初就对桥梁 的拉索振动进行了研究，并提出了多种不同的振动机理，并基于不同的机理 提出了不同的制振措施，如风雨振动，二次轴向流振动，三维旋涡脱落及尾 流驰振1 5j 等等。但至今对斜拉桥拉索的振动机理并未研究清楚，原因是拉索 的振动是一种综合性现象，它不只与风雨作用引起拉索表面的气动特性有关， 还与桥梁结构的整体特性有关，即与桥梁整体的参数振动【6 】有关。 1 2 斜拉索参数振动机理与研究现状 参数振动系统是指激励依赖于时间且作为参数出现在控制方程中，这种 振动系统的一个特征就是系统中的参数是随时间而变化的。与外激励系统不 同的是，在参数激励系统中，当激励的频率与系统某阶固有频率成倍数关系时， 小的激励也可激发很大的系统晌应1 6 j 。参数振动是引起拉索发生大幅振动的 原因之一，在风荷载或车辆荷载作用下，使桥面或桥塔产生振动，当振动频 率接近于索的固有振动频率两倍时，拉索将产生大幅参数振动。 对斜拉桥拉索参数振动的研究方法，按激励形式的不同，可以分为两大类： 第一类是理想激励系统，即激励的幅值和频率不受响应的影响，在振动过程 中，按指定的方式变化，这种激励也称为理想能源，认为桥面的质量远大于索 的质量，忽略索的振动对桥面的影响；第二类是非理想激励系统，即激励的 幅值和频率在响应过程中不断变化，认为桥面的振动与索的振动是相互耦合 的，建立索桥耦合振动系统，比第一类方法多一个自由度。文献 6 中提出了斜 拉桥拉索的参数振动问题，简单地应用单个质量块来模拟连续系统的拉索，并 用精细时程积分进行了数值分析，得出了拉索在桥面振动下产生参数振动的 可能性。文献 7 】中用一竖直弦模拟斜拉索来考虑拉索的参数振动，同时考虑 了桥质量与刚度的作用，建立了索桥耦合振动模型，通过数值分析得到了与 文献【6 相一致的结论。a p o i n t od ac o s t a 【8 】等用第一类方法，由h a r n i l i t o n 原 理导出了斜拉索在竖向激励下的非线性振动方程，研究了不同倾角的索产生 参数振动时的振幅及索内力。t a ga _ c a 9 l 研究了索的一阶参数振动，把索认为是 无重量的弦( 不计垂度的影响) ，导出了无量纲的m a t h i c u 方程。k o v a c s 1 0 l 西南交通大学硕士研究生论文第3 页 曾指出，当激励的频率是索的固有振动频率的2 倍时，索的振动特性是不稳 定的，同时他还给出了简单的最大振幅公式。m i c h e l r l o g e u x 【1 1 】建立了索桥 相互作用的两质量模型，重点研究了强迫振动，认为当索桥的固有频率很接 近时，索端小的横向振动可以使索产生极大的振幅。在以上分析的基础上， 文献 1 2 考虑了索的垂度，并在由于大位移引起的几何非线性及桥面质量运动 而导致的索内力的变化等因素的情况下，推导了索的非线性振动方程并通过 对各种参数的实际拉索进行数值求解，得出了影响索桥耦合振动的各种因素。 通过国内外学者对参数振动研究表明，斜拉索参数振动的影响因素主要 有以下几个：桥面的振动水平；斜拉索的倾角大小；斜拉索与桥面振动频率 的比值大小；桥面的振动幅值的大小会影响拉索的频率；斜拉索的张力水平； 通过对斜拉索的参数振动的分析，研究建立适当的力学模型，找到引起振动 的主要因素，并能从中得到某些抑制拉索振动的启示，是非常有工程实际意 义的。 1 3 斜拉索的应用与非线性特征 斜拉索在现代工程结构中应用广泛，目前用的最多有斜拉桥、悬索桥、 桅杆结构等。体育场和飞机场场馆的很多设施也都可以看到斜拉索的存在。 斜拉索在斜拉桥的应用中是作为主要的承重结构来使用。斜拉索设置的合理 性，斜拉索索力的优化情况都对斜拉桥整体结构的稳定与安全起着关键作用。 对于桅杆结构而言，斜拉索可以保证杆身的直立与稳定。对桅杆结构常采用 在三个方向布设斜拉索，这种布置比较经济。对于体育场与飞机场场馆的中 所用的斜拉索既是受力构件又是美观与造型的需要。 索与其它刚性的结构构件不同，它有以下特点： 1 、索没有弯曲和抗压刚度，只能承受拉力。 2 、索的抗拉刚度的大小除与其本身的载面特性有关外，还与其自重及 外部作用有关。 3 、伴随着较小的应变和应力，索会产生很大的位移，体现了较强的非 线性特征。 4 、索会产生松驰和应力损失。 西南交通大学硕士研究生论文第4 页 因为索有以上特性，使得索结构具有完全不同于传统刚性结构的特点。 主要表现为，张拉结构外形的形成很大程度上取决于对索的张拉过程，并且 张拉结构从施工开始就具有不可忽略的几何非线性效应。 斜拉桥的桥型很早就有，但是直到近五十年才得到广泛的应用。主要因 为早期制作斜拉索的材料强度比较低，不能施加预应力，以致在车辆及风载 等作用下，拉索容易断裂，最后导致整个桥梁的倒塌。随着高强钢材的发展， 并于1 9 5 5 年在瑞典建成了第一座现代斜拉桥，从而揭开了现代斜拉桥建设的 序幕。由此可见斜拉桥的结构性能的好坏，关键在于斜拉索。 斜拉索在斜拉桥应用中，由于柔度大、质量小以及阻尼小等特点其非线 性特征非常明显。 1 、对于大跨斜拉桥，斜拉索的自重引起的垂度效应；斜拉索的垂度变 化与应力无关，完全是几何变化的结果，受斜拉索内张力、斜拉索长度和重 力的控制； 2 、斜拉索与梁共同作用，对于外部激励的不同反应会引起较复杂的非 线性现象； 3 、斜拉索的拉力与弦向变形之间也不是线性的关系： 4 、大变形效应； 5 、弯矩与轴力的组合效应。由于斜拉索的拉力使得其它构件处于弯矩 与轴力的组合作用下，这些构件即使在材料满足胡克定律的情况下也会呈现 出非线性特性。 由于以上斜拉索的非线性特性，较长的斜拉索在受到风雨激励、以及塔 或桥面的振动时容易产生较大的振幅，同时可能呈现强烈的非线性行为如： 出现极限环、发生分岔以及混沌等。 1 4 斜拉索非线性动力学研究现状 斜拉索作为一种柔、轻及高强度特征的结构，在工程结构中经常用作受 拉构件。随着要求桥梁跨度的越来越大，一般的桥梁不能满足要求，于是斜 拉桥及悬索桥得到迅速发展，同时对于高耸结构的高度越来越高，于是斜拉 索广泛用于此类结构，起到主要受力及稳定整体结构的作用。斜拉索的非线 西南交通大学硕士研究生论文第5 页 性来源于材料非线性、大变形及垂度引起的几何非线性等因素，其动力学行 为非常复杂，其一直是数学、力学与工程界研究的重点领域。1 9 7 8 年 n a g u c l l i 在2 4 届结构工程讨论会上发表了实验结果，证实了以往的结果。 通过求解非线性方程，发现参数振动发生在= 2 珊? 屈，如= 1 ，2 ，3 ) ，其中 ? 为索振动频率。1 9 7 9 年y a m a g u c h i 【1 3 和i t o 在基于三个假设的前提下研究 了斜拉索的三维动力学问题，结果表明即使 是线性问题也比较复杂。1 9 8 7 年p e 蹦n s 和m o t e 【1 4 】研究了运动的弹性索的三 维振动。1 9 8 1 年n a g u c h i 和i t o 【1 5 】又研究了在谐波激励情况下的时间历程问 题，他们的研究结果表明，斜拉索的动力学性质受几何参数和物理参数的影 响较大，其中几何参数有垂跨比、倾角、物理参数有水平张力、弹性模量、 斜拉索的模截面积、密度。1 9 8 4 年l u o n g o 【1 6 】在索的动力方程中引入高次项， 在拉索大幅振动时，对索的振动特性有很大影响。推导了索在平衡位置附近 振动的动力方程，利用假设简化及g a l e r k i n 法对面内运动的偏微分方程进行 了转化，采用非线性动力学中的l i n d s t e d t p o i n c a r e 法讨论了保留四次摄动项 的方程而得到近似解。进而得到了闭合形式的频率一起振振幅关系。1 9 8 4 年 r c g a 等【17 】研究了水平悬链的面内运动，发现了几何非线性的硬化或软化现 象。对面内对称及反对称模态讨论了频率一起振振幅关系。1 9 8 5 年a l _ n o u r y 【l 驯 讨论了抛物线索的面内面外振动的非线性耦合，主要研究了在横向及竖向谐 振激励作用下，由内共振引起的无阻尼的非面内响应。1 9 8 7 年b e n e d e t t i n i 在考虑了拉索由于伸长引起的三次非线性及静力平衡状态时的曲率引起的四 次非线性项的前提下，研究了在谐振激励作用下引起的面内响应。1 9 9 1 年， r a o 和i y e n g a r 【2 0 1 研究了在周期激励作用下斜拉索的内共振和非线性响应。 1 9 9 9 年，p i l i p e c h i l k ，i b r a l l i m 2 1 1 研究了浅悬索的非线性模态相互作用。自1 9 9 8 年以来，x u ，y u 【2 2 0 3 1 专门研究了斜拉索装有阻尼器条件下斜拉索的非线性振动 控制问题，并取得了一致的结果。1 9 9 2 年，p e r k i l l s 2 4 】研究了强迫激励与参数 激励联合作用下弹性斜拉索多模态相互作用的非线性动力响应，通过理论和 实验指出：支座的激励会引起面外及面内参数振动，同时引起面内对称模态 西南交通大学硕士研究生论文第6 页 的谐振。1 9 9 3 年，b e n i t o ，p a c h c c o ，f u i i n o 和s u l e k h 【25 j 等又进一步研究了考虑粘 性阻尼时斜拉索的曲线形状。1 9 9 5 年，b e n e d e 岫1 i ，r e g a 和a l a g g i o 【2 6 研究了 在多种内共振条件下四自由度模型悬索的非线性振动。我们很多学者在大跨 度桥梁中斜拉索的风雨激振问题开展了广泛的研究。同济大学顾明课题组在 此领域内也获得了较好的研究成果 2 7 ，2 8 ，2 9 。湖南大学赵跃华课题组就斜拉 桥的非线性动力学模型的研究也取得了很好的成果 3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 】。浙江大学孙 炳楠课题组就斜拉桥的参数振动也进行了细致的研究 3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 。 在斜拉索动力学研究过程中，经历了从静力学到动力学，从线性理论到 非线性理论，从考虑直线索到考虑垂度效应的几个过程。斜拉索的非线性动 力学研究主要在以下几个方面：l 、斜拉索的大变形；2 、斜拉索的垂度效应： 3 、动力响应；4 、外共振形态，包括主共振，参数振动等；5 、斜拉索各参数 对动力响应的影响：6 、斜拉索的振动与控制。 1 5 本文的主要工作 斜拉索的振动是非常复杂的，索的几何参数与物理参数以及斜拉桥的所 受激励情况，斜拉桥整体的固有频率与索的频率的比值等因素都有可能影响 索的振动。由于大跨斜拉桥的斜拉索的非线性动力现象比较明显，非线性振 动分析变得非常重要，对工程设计有实际意义。本文在查阅大量文献后，在 已有成果的基础上进行分析论证，本文主要完成了以下工作： 1 、深入分析了斜拉索的振动的机理，介绍了斜拉索振动特性，对斜拉 索振动的基本概念以及斜拉索振动的控制措施进行详细的介绍。 2 、对斜拉索参数振动进行详细分析。用n e 、v t o n 法建立斜拉索非线性动 力学方程，利用g a l e r k i n 法离散为常微分方程组，利用谐波法分析动不稳定 区间，运用r u l l g e k u t t a 法进行数值分析，进一步了解几何参数与物理参数对 斜拉索振动的影响。 3 、建立了索桥耦合分析方程，充分考虑了拉索的垂度效应，对拉索的 多模态利用g a l e r k i n 法离散。研究了索桥耦合振动中，各参数如索的拉力、 索的倾角、桥与索的振动频率等对索桥耦合参数共振的影响。 4 、分析了斜拉桥在有限元建模时要考虑的各种因素及相应采取的方法， 西南交通大学硕士研究生论文第7 页 通过大型有限元分析软件a n s y s 以及桥梁专用软件m i d a s 对某实际工程进 行全桥建模，介绍如何模拟施工脱架，并对桥梁的动力特性进行分析，分析 桥梁在车辆过桥时桥梁的动力响应，介绍在实际工程实验中测定索的自振频 率及桥自振频率的方法，以及与有限元分析的结果进行对比。 西南交通大学硕士研究生论文第8 页 第2 章斜拉索结构动力特性 2 1 引言 对斜拉桥进行动力响应分析时，首先要了解它的动力特性，吲为斜拉桥 的主要受力构件为斜拉索，斜拉索又由于轻、柔和高强度等特性，其几何参 数与物理参数的改变都会对斜拉索的振动产生影响，作为整体构件一部分的 斜拉索的动力特性的变化与斜拉桥整体的振动有密切关系，反过来，斜拉桥 在受到外部激励的情况下，如汽车的强迫振动等，都会引起斜拉索的振动， 甚至引起斜拉索的大幅振动，从而引起桥梁的破坏。 斜拉桥的自振特性包括两部分内容：其一为结构的总体的动力特性，在 分析中将斜拉索处理为一个受轴向拉力的杆单元，其弹性模量必须考虑垂度 影响进行修正；另一部分则指斜拉索的自身局部振动问题，作为斜拉索支承 点的结构总体的振动将会使斜拉索中的轴向拉力发生周期变化，当结构的总 体频率和某一斜拉索的横向局部振动频率成倍数关系时，将会引发斜拉索的 自激参数共振，造成斜拉索大振幅的局部振动。斜拉索的动力特性可以用来 估算斜拉索的张力，在工程实测中就是利用测试斜拉索的固有频率柬测估算 斜拉索的索力。 2 2 斜拉索的振动特性 2 2 1 水平张紧索的横向振动 研究斜拉索的振动，先从考虑一水平张紧索的振动来研究。索的模型如 研究斜拉索的振动，先从考虑一水平张紧索的振动来研究。索的模型如 图所示； 图2 1 水平张紧索的横向振动 k 西南交通大学硕士研究生论文第9 页 通过图可得静力平衡方程为： ( 丁+ 刀) 。0 8 ( 口+ 如) 一丁0 0 8 口= ”( 2 t 1 ) l ( 丁+ 玎) s 血( 口+ 如) 一丁s i n 口= 一晕幽 、。 由( 2 1 ) 第一式可得： p + d ，) c o s 0 + 出) = r c o s 日= s 式中，丁为索的轴向张力，7 1 = 生，+ 刀= _ 旦_ _ - ：s 为索的弦向 c o s 口c o s ( a + d 口 张力；玎为垂直均布荷载( 含自重) ，对于集中荷载则等效为沿弧长的均布荷 载。 由式( 2 1 ) 解得 s - 辔( 口+ 如) 一s f 私= 一g 出 ( 2 2 ) 因为： 留( + d 打) z 辔口+ d ( 据曰) ( 2 3 ) 式( 2 2 ) 可化为： 因为 式( 2 5 ) 代入式( 2 4 ) 可得 s d q g = 一q d s ( 2 4 ) 增口= 竿( 出) 2 + ( 咖) 2 ：( 西) 2( 2 5 ) 黜 s 旦障1 出l 出 s 磐：一g c 抚。 1 两一。1 1 + l 刮 陌 ( 2 6 ) 拉索在作横向微小振动时，其动力平衡方程可表示为： k 茹意黧篙篇翟三景嚣三拼 【( r + 孝+ ( 玎) s i n ( 日+ d 口) 一( r + 孝) s i i l 口+ g 幽= ，”西拼 、 其中亭为微小振动时索的张力变化量，“( x ，f ) 为拉索的横向振动位移函数，m 为索的质量的线密度。 西南交通大学硕士研究生论文第1 0 页 同( 2 2 ) 由式( 2 7 ) 可得： ( s + s 1 ) t a n ( 口+ d d ) 一( s + s 1 ) t a n ( 口) + q d ，= ， c 西拼 ( 2 8 ) 由上式可得： ( s + s 1 ) d t a n ( 口) + q d ，= 刀f d ，拼 因为： t a n 1 ：生+ 坐 幽盘 可得： s “”+ s 。( y ”+ “”) 一研并= o( 2 9 ) 上式中“表示对z 的二次求导，表示对时间f 的二次求导。由于s “为 高阶小量，故可以省略，( 2 9 ) 式可化为： 5 钆”+ 墨y ”一删订= o ( 2 1 0 ) 在一般情况下，张紧索的横向振动过程中拉力增量s 不大，可略去其影 响。式( 2 1 0 ) 可简化为： 拈c 2 器 ( 2 1 1 ) 其中：。：、阻 若只考虑线性影响，则上式为线性方程，所以变量可以分离，且振动是简谐 的，方程解可写为【3 8 l ： “( x ，f ) = 吼( x ) ( 4 。c o s 峨hb 。s i n r ) ( 2 1 2 ) 其中，为固有振动频率：纸( x ) 为振型函数；彳。和玩是由拉索边界条件确 定的系数。 将式( 2 1 2 ) 代入方程( 2 11 ) ，得振型方程为： 学每们 若是考虑拉索两端是固定不动的，有 吼( o ) = ( f ) = 0 于是，有 识( x ) ：d s i n 型 c 西南交通大学硕士研究生论文第11 页 因为，s i n 型：o ，所以可得： 型：玎石：1 ，2 ，3 ) 由此可得，拉索横向振动的固有频率 = 孚= 芋摆( 删鼬) ( 2 1 3 ) 2 _ 丁。了i 。1 ，2 ，3 一) 3 ) 反代可求得拉索的索力： s ：芸砖：等露( ：l ，2 ，3 ，) ( 2 1 4 ) 疗。聆。n z 为各阶工程频率，基本可以实测到，工程上所用的索力测试仪器就是根据 此原理来反求得到索力的。 2 2 2 斜拉索的横向固有振动 实际斜拉索中的拉索具有一定的自重和刚度，并斜置成一定倾角，如图 2 2 所示，坐标原点设在左支承点d ，而x 轴取印方向，其法向作为y 轴且 朝下方为正，目与，分别为斜拉索的倾角和弦长。对斜拉索横向自振分析研究 时，做如下基本假设【1 2 】： ( 1 ) 斜拉索是理想柔性体，索的材料符合h o o k e 定律； ( 2 ) 斜拉索是小垂度的( d ， 1 1 0 ) ； ( 3 ) 斜拉索的几何形状可用抛物线来表示； ( 4 ) 斜拉索平面外振动不产生动张力增量。 ( 曲 s + x 图2 2 斜拉索的横向振动 西南交通大学硕士研究生论文第12 页 斜拉索的几何形状可通过式( 2 6 ) 求得： y = 詈 c n ( 罢) 一c n 詈( 吾一x c ：t s ， 上式为水平索的悬链线方程，但是求解过程中所取的索单元为斜向单元，因 此只需要对索的质量密度变化为g c o s 护就可以了。根据基本假设，对于小垂 度( ， 1 1 0 ) 的索可做以下近似： 出。出f 塑1 。o l 咖 代入式( 2 6 ) ，( 2 ，1 5 ) 可得静力平衡方程及斜拉索的抛物线方程 s 掣：一g( 2 1 6 ) y 2 去( 腑一x 2 ) ( 2 r 1 7 ) 与小平张紧索的横向振动相类似，可求得振动方程，斜拉索空间自由振动分 为索的平面内振动、索平面外振动、索的弦向振动。如图2 2 所示可得，根据 达朗贝尔原理可写出索质点的平面内振动的自由振动方程推导如下： 如图2 2 中所示，“，w 分别为索沿弦向、平面内垂直弦向的位移：，毒分别为 索的轴向张力及其振动时增量；臼为索与地面夹角；埘为单位长度索质量：x ， y 为坐标：s 和s 为索的弦向张力及其振动时增量。 据平衡条件则有： r = s 妻眚= s 妄s 窘一帽c 。s 口 g ，s ， 对于沿索弦向发生“位移时的振动方程为 仃+ d 罢+ 窘西+ 罢+ 窘西) _ p + 孝括+ 刳= m 出窘+ 朋姆s i m 上式化简可得下式： 昙 p + 孝( 妄+ 罢 = 珑睾+ 馏s i n 盘 c z z 同理可得垂直弦向发生w 位移时的振动方程为 昙p + 毒】( 罢+ 罢) ) = m 窘一懈c o s a c z z o ， 西南交通大学硕士研究生论文第13 页 把( 2 1 8 ) 式代八( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 式，并取：出z 出。略去高阶微量司得索的平面 内振动方程： s 窘一卅害蝎窘= 。 ( z 埘) s 窘一m 警蝎害蝎窘= 。 ( ：怂) 缸2 西2。函2出2 、 忽略动张力增量的影响，可得； s 氅一卅粤：o s 害一挚蝎窘一o ( 2 2 s ) 6 可叫矿- 斧刮 旧) 根据索的变形条件有： + f 芸挚砘一圭半w 。+ 半f w 出( 2 2 。)0 玉自苏矗”2s ” s 、 上式表明，索在发生沿弦向、平面内垂直弦向的位移时索的变形，上式第一 式表示发生沿弦向发生位移时引起的应变的积分，第二式表示发生垂直索弦 向位移时引起的弦向应变的积分。 代入索的自由振动边界条件 “( o ) = w ( o ) = 0“( ，) = “o 妒( ，) = w o 设变形后的长度，。= h 则可得最终索的变形协调方程为： 鼠= 竿”圭半掣w 。+ 学掣f 础 s ， 式中，b ，彳分别为索的弹性模量和截面积。 上式中前两项很小，基本可以忽略，对于每三项在索产生面内对称振动 时较大，是索动张力增量的主要来源。因此式( 2 2 5 ) 可化为如下表示： 弘等笋瓯“f 础 ( 2 2 6 ) r 7 5 南 、7 斜拉索平面内振动分为反对称振动和对称振动，在这里主要考虑斜拉索 的面内对称振动。索作面内对称振动，有附加的张力产生，s 0 。令， w = 谛p 州，s = s p 州。代入式( 2 2 3 ) 第三式得： s 窘+ m 霹茹= 学s ( 2 2 7 ) 出2 6 s 、 西南交通大学硕士研究生论文第14 页 代入边界条件谛( o ) = 影( ，) = o ，解得振型为 茹；= 墨 器牛a n ( 争( 卢加。s ( 刮 式中 卢= 志 由式( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 及( 2 _ 2 8 ) ，可得到索面内对称振动频率的超越方程为： 式中 t a n ( 守譬一砉( 譬) 3 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 归咖洲f 剖 b ，。， 式( 2 2 9 ) 中，当卯 4 石2 时振型如图所示。 九2 4 兀2 图2 3 索对称振动振型 从图中可看出，当0 a 2 4 厅2 时，振动曲线接近于正弦波：随着丑2 增大 则在曲线两端出现反弯点，其中斧= 4 万2 为临界点。当4 石2 矛 o 。时，索的 振型在两端出现负值，随着名继续增大，负值区逐渐向中间扩展。当矛寸o o 时，由式( 2 3 0 ) 可知索的e 爿较大，此时索变形趋近于零。 2 2 ，3 斜拉索的刚度计算 斜拉索相对于索塔而言相当于有一定的刚度的拉压杆，索的受力随索的 变形而变化，具有很强的非线性，可以引用折算刚度来简化索的计算，通过 反复迭代确定其精度，此种简化计算只能适用于受拉不能受压的直线拉杆代 替索。 首先求解索的变形方程，在桥面受力荷载作用下，索从初始状态d 变化 到工作状态0 ，如图2 4 所示。设玩、彳分别为索弹性模量和截面积；吼、 譬，分别为素初始状态和工作状态下的桥面受力荷载及自重在垂直于弦向分量 的两者之和，s ，索长变化后的索力。 图2 4 索的变形示意图 西南交通大学硕士研究生论文第1 6 页 由于索拉力变化而产生的索变形增量为 f 1 。南$ ，喝) 在工作状态下，则要先求曲线方程，如图示 ( 2 3 1 ) ( a ) ( b ) 图2 5 索的受力分析图 上图表示受均布荷载g 作用的索。在索上切出一微段，其水平长度为出， 索的张力为丁，水平分力为s ，出微段单元上的内力和外力如图2 5 ( b ) 所 示。可由平衡条件可知： 工= o 警出= o ( a ) m 罢卜翔出+ 础= 。 假设s 为常量由式( b ) 可得： 窘一多 ( z m ) 出2s 7 积分两次得 y = 一羔x 2 + c l x + c 2 。 2 s 1 根据图2 5 可得： y = 丢州叫+ 竽x f 2 r 3 3 1 西南交通大学硕士研究生论文第17 页 如图所示索中点的最大挠度为厂，中点坐标_ y 为y = 厂+ 导，代入式( 2 3 3 ) 得索的挠度与水平张力关系为： s ：篓 ( 2 3 4 ) 8 厂 、7 索的长度船的计算可由索的微段长度积分而得，由图2 5 ( b ) 可知： 凼= 压丽= s = f ( 1 + 掰 将式( 2 3 3 ) 代入上式可得索的长度为： 川 + 等+ 剥 上式两边求导得： 妒= 杀；幽 上式说明对于小垂度而言，较小索长变化将引起显著的垂度的变化， 较大垂度而言，索长变化也会引起比较明显的垂度变化。 根据式( 2 | 3 5 ) 得到索挠度引起的变形增量为 也十鲁+ 斟士+ 等+ 鞠 根据索的抛物线方程，索的跨中挠度为厂= 簧，代入上式可得： 弼 柳 行 叨 亿 以 酚 b 西南交通大学硕士研究生论文第18 页 鸲= 涨 2 - ( 训 s s ， 索由于温度变化引起的变形增量为： f 3 = d 缸 ( 2 3 9 ) 式中，占、岔分别为索线膨胀系数及温差。 如图2 4 所示： 由此可得索由于变形引起的节点水平位移为： 制( 州册督强怍 b 4 对上式求导可得： 啬= 去要+ 赤 a ， 嬲，1 2 c o s 订s ?e 4 c o s a 。 由图2 4 可得索的静力刚度： e ：孕：拿。口 ( 2 4 2 ) 由此可得索的最终静力刚度为 耻器 ( 2 t 4 3 ) 根据上述分析过程可以看出，索的静力刚度由两部分贡献：一部分是 由于索拉应力引起；另一部分是由于索的几何非线性引起。因此可写成： k = = 产t ( 2 4 4 ) k ek g 式中 k 。= 也加0 8 2 形 ( 2 t 4 5 ) 耻t z ( 湖詈 2 ( 2 4 6 ) 西南交通大学硕士研究生论文第19 页 索在振动时，在索的平面内垂直于弦向的对称振动会在张拉状态的索内 产生弦向张力增量，索节点单位位移时产生的张力增量的水平分量即为索的 动力弹性刚度。 将索面内对称振动方程代入索变形协调方程得： 龄= 份啦 ( 譬) + 矧3 ( 等c o s 2 口 将上式代入( 2 2 8 ) 式可得索面内对称振动振型 m g l 28 2 j 亍 据图2 5 所示，可得 髟= s c o s 叫v 由式( 2 4 6 ) 和式( 2 4 8 ) 可得索的动力刚度为 4 3 s l 2 心+ 艄3 博z 3 ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 2 3 斜拉索的自激振动 在工程实际中，对已建和在建的斜拉桥的观测表明，在无风或风荷载很 小的情况下，个别拉索有时会发生十分剧烈的横向振动，而这种振动十分有 害，可能会造成拉索根部的疲劳破坏。产生索大幅振动的原因主要是桥面振 动而激发的拉索的横向振动频率与桥面某一阶自振频率在一定范围内相匹配 时，拉索将可能产生自激共振现象。 k o c s 第一次用自激振动来说明拉索振动的机理。压杆在受到周期变化 西南交通大学硕士研究生论文第2 0 页 的轴向动荷载作用下的动力失稳就是一种自激共振现象。在斜拉桥中，拉索 的上端锚固在索塔上，下端则与桥面相连接，当桥面以桥梁总体弯曲基频 作 简谐振动时，斜拉索以正= o 5 五的频率作横向振动与之相适应，从而发生耦 合振动，如图2 6 所示。 ，乒2 丘 l正横向 l 、， 一4 v ， 2 五纵向 |r 广八八 f v vv 图2 6 斜拉索的自激共振【3 9 】 若忽略斜拉索的微小垂度和阻尼的影响，拉索的横向振动可表示为： y g ，r ) = ks i n 军s i n ( 2 矾f )( 2 ，4 9 ) l 索力将以频率2 正发生周期性的变化，索力增量为： 丛( f ) = 心一s i n ( 4 矾f ) 振动频率与桥面相同。这一索力变化将在拉索中引起随时间变化的横向荷载 增量： g g ，r ) = 一s o 砂”0 ，f ) ( 2 5 0 ) 将( 2 4 9 ) 代入上式，得： g g ，f ) 丛。s m ( 。矾文手) 2 k s ；n 芋s ；n ( 2 矾r ) 西南交通大学硕士研究生论文第2 1 页 = ( 爿2 丛一圭 c 。s ( 2 矾r ) 一c 。s ( 6 矾r ) 】s i n 孚 ( z 引) 括号中的第一项相当于一个与速度成正比的负阻尼项，因为， ，= ( 2 矾峨c 。s ( 2 矾r ) s i n 芋 括号中的第二项只是一个修正项，可略去不计。于是，拉索振动方程可近似 地写成 彬吨少咄 ( 苛等岁 删喝少饼等川 嘲 把上式与带阻尼的拉索振动方程 ， p + 砂一瓯y ”= o 相比较可得负阻尼系数 。：一2 告 ( 2 5 3 ) l ，4 矾 、。 拉索的基频为，五= 去j 鲁，由此可得相应的对数衰减率： j = 矗一氧鲁 2 峨 2l s oj 、 。 由上式可得，索力的相对变化率越大，则等效的负阻尼也愈大。 当兀= 2 正时，发生自激共振时的解将取决于拉索本身的初始阻尼是否 能够消耗由桥面支承点所输入的负阻尼能量。求解方程( 2 5 1 ) 可得拉索横向动 位移为 瞄s i n 芋 e 冲匕等砂蚓- g s s ， 上式表示为一个发散的不稳定的自激振动。当桥面的激励频率t 并不正好是 西南交通大学硕士研究生论文第2 2 页 2 正时，也会出现不稳定现象，其不稳定区随垒挚增加而扩大：拉索中实际 存在着阻尼，相应的有阻尼强迫振动方程为 删+ 砂一氐y ”= 却。s i n 孚c 。s 2 斫 ( 2 5 6 ) 根据强迫振动原理，可得共振时最大振幅值为 k g ，r l 丫 百l - j 由式( 2 5 2 ) 可知却。= ( 手) 2 k 争，可得共振区的判别条件为 箜唑， 氐z 蕊 ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) 在实际斜拉桥中的拉索并不像上面所简化的那样受到一个周期变化索力 的作用，而是一种支承激励。拉索的振动和作为支承点的索塔和桥面的振动 是相互牵制的。如果结构振动不发散，拉索的横向振动也不可能出现一般自 激共振所具有的发散现象，而是一种限幅的自激共振。在共振区，拉索将发 生较大振幅的横向振动。 最。 岛 l cl 图2 7 索自激共振的判别区间 4 0 】 西南交通大学硕士研究生论文第2 3 页 拉索的横向振幅和其支承端点的纵向振幅之间存在下列关系： ，= z 4 = 三f ) 2 出= 圭( 手) 2 爿；圭 式中，4 。为拉索的横向振幅：4 为拉索两端即桥面和桥塔之间沿拉索方向的 相对振幅。于是，有 爿。= 二2 4 6 ， ( 2 5 9 ) 通过上式可以得到，斜拉索的长度较长时，桥面或桥塔发生微振动也可 能使索产生大幅振动，因此对于索的自激振动应采取措施进行制振。 2 4 本章小结 本章主要对斜拉索的结构特性进行介绍，分析了水平张紧索的横向振 动，斜拉索的横向振动及斜拉索的刚度计算，并对拉索的自激振动进行了分 析。通过对斜拉索的结构特性的分析，介绍了索的动力平衡方程的建立，索 的频率的近似计算方法，索在振动分析中常用的抛物线方程和悬链线方程， 并对拉索自激振动的共振区间进行分析。 西南交通大学硕士研究生论文第2 4 页 第3 章斜拉索非线性振动中的参数振动 3 1 引言 当运动微分方程的系数( 质量、阻尼和刚度等) 随着时间变化时，结构系统 就有可能产生参数振动。 在实际工程结构中，当受压杆件受到周期性轴向力作