1.3 二项式定理学案三份.doc

高二数学导学案 人教A版选修23第一章计数原理 印数： 540 份 送印时间： 月 日 班级 姓名 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程 一、课前准备（预习教材P32 P35，找出疑惑之处）复习1：写出二项式定理的公式： 公式中叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项. 在展开式中，共有 项，各项次数都为 ，的次数规律是 ，的次数规律是 ，各项系数分别是 .复习2：求 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.二、新课导学探究任务一：杨辉三角 问题1：在展开式中，当n1，2，3，时，各项的二项式系数有何规律？ 新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是 探究任务二 二项式系数的性质 问题2：设函数，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n6为例）新知2：二项式系数的性质 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 ，图象的对称轴是 .试试： 在(ab)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )A 第项 B 第项 C 第项 D 第项 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n . 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.试试： 在(1+x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可） 在(1-x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 . （用符号表示即可）二项式系数的和：在展开式中，若，则可得到 即 典型例题例1求的展开式中系数最大的项变式：在二项式(x-1)的展开式中, 求二项式系数最大的系数的项； 求项系数最小的项和最大的项.小结：在展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.例2 证明：在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.变式： 化简: ; 求和：.小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.练习：若，则 ， ， . 知识拓展早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里这个表称为杨辉三角。杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 课后作业 1. 二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（ ） A. 第n项 B. 第n+1项 C. 第n项与第n+1项 D. 当n为奇数时，是第n项与第n+1项；当n为偶数时，是第n+1项2. 若252，则n的值为（ ）A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 9或103. 若的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A. 10 B. 20 C. 30 D. 1204(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是（ ）A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.10245在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）A.0 B. C. D.6. 在的展开式中，系数最大的项是第 项；7. 在的展开式中，二项式系数最大的是第 项，系数最小的项是第 项；8. 计算= 9. 若，则 10. 若的展开式中所有项的系数和为1024，求展开式中二项式系数最大的项11. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.12.若的展开式中奇数项的系数和为256，求展开式中的系数.13.已知（的展开式中，第3项的系数比第二项的系数大70，求（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）二项式系数的和；（3）所有项系数的和.1.3.3 “杨辉三角”与二项式系数的性质2 学习目标 1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质；2. 熟练掌握二项式系数各项和的推导方法；3.会把二项式定理推广到两个以上二项式展开式的情况. 学习过程 一、课前准备（预习教材P36 P37，找出疑惑之处）复习1： 展开式中叫做第 项的 系数，通项公式是 ，展开式中共有 项. 二项式系数的三个性质：对称性是指 增减性：当r满足 时，是增函数；最值：当n是偶数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；当n是奇数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；复习2：求的展开式中的系数及它的二项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.二、新课导学探究任务一：整除性问题，余数问题问题：除以100的余数是多少？新知：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧，余数要为正整数.试试：（1） 除以7的余数是 （2）除以7的余数是多少？ 典型例题例1 用二项式定理证明：能被整除.例2 （1）展开式中系数最大的项是 （2）的展开式中的各项系数之和为 . 例3 设,求:(1)的值；(2)的值. 动手试试练1. 展开式中的系数.练2. 如果，则 . 课后作业 1. 设n为奇数，则被9除的余数是（ ） A.1 B.0 C.-2 D.72. +，则（ ）A B. C. D.3. 若,则的值为（ ）A.1 B.1 C.0 D.24. 若对于任意实数x，有成立，则为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125. 若今天是星期三，再过是星期 .6. 的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 .7. 的展开式中只有第