（运筹学与控制论专业论文）图的独立数、连通度与hamilton连通性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 c h v 6 t a 卜e r d 6 s 定理证明了下述结论：设g 为刀阶图且刀3 。如果水) 口( g ) ， 则g 是h 锄i l t o n 图；如果r ( g ) 口( g ) ，则g 是h 锄i l t o n 连通图。j a c o b s o n 等人 通过改变c h v 6 t a 卜e r d 6 s 定理的连通度和独立数，增加图的最小度条件得到了下面 定理： ( i ) 设g 为n 阶图，刀足够大，七3 为正整数。如果，书) 2 + l ， ) ( 刀+ 七z 一2 七址，且万( g ) 口( g ) + 七一2 ，则g 是h 锄i l t o n 连通图； ( i i ) 设g 为拧阶图，疗足够大， 七= 3 或4 。如果巾) 七，万( g ) g + j 2 2 七址， 且有万( g ) 口( g ) + 七一2 ，则g 是h 锄i l t o n 连通图。 在本文中，我们将证明以下结论：设g 为刀阶图且拧足够大，七= 5 ，如果 k ( g ) 后，万( g ) g + | | ：一2 七址，且有万( g ) 口( g ) + 七一2 ，则g 是h 锄i l t o n 连通图。 关键词：独立数；连通度；h 锄i l t o n 连通图 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s a b s t r a c t t kc h v 矗：t a l e r d 6 st l l e 0 瑚璐i m p l y 也a ti fgi sag 硒p h0 fo r d e f 刀3 诵血 d p ) 口( g )，t h e ngi ah 缸n n t o n i o 玛锄di fr ( g ) 口( g )，们b e ngi s h a m i l t o 日 c 0 皿e c t e d j a c o b s o na n dh i st e ；珊h a s9 0 tt 1 1 e s er e 龇l t s 必b e l o wb y 璐吨av 撕撕o f t l l ec 0 删删i v 毋锄di i l d 印e i l d e n c en 眦1 1 b e rc o n d i t i o 璐o ft h ec h v 矗l a i - e r d 6 s 伍e 0 蚓咀s 衍t 1 1a 似e r m i i l i m m nd e g r e e 锄di i l d e p c m d e n c en n _ b e rc o n d i 在o n ： ( i ) mgb ea 舯p ho fs u 伍c i 础yl 鹕eo r d e rn 觚d 七3ap o s i t i v ei n t e g 盯 蛐c hn l a t 巾) 4 七2 + l ，万( g ) g + 七2 2 七址i f ) 口( g ) + 七一2 ，m 吼g i sm e 卿h h a i l l i l t 0 心伽o c t e d ； ( i i ) l e tgb ea 鼬o fs i l 伍c i e n u yl 嘴eo r d e rn 姐d 七= 30 r4 跚c h 也a t 巾) 芝j i ，啦) g + 七2 2 j i 址，h 万( g ) 口( g ) + j i 一2m gi sh 锄i l t 伽稍e c t 缸 i n 也i sp 印e r ，w e 谢ns h o w 血a t ：l e tgb ea 脚ho fs u 伍c i e n 廿yl a 增eo r d e rn 1 d 七= 5s u c h 也a t r ( g ) 七，万( g ) g + 七z 一2 七址，i f 艿( g ) 口( g ) + 七一2 岫g i sh 锄i n d n c o n n e c t e d k e yw o r d s ：i i l d e p c n d e n c em m i b e f ；c 0 m 旧c t i v i 锣；h a 血l t o n c o m l e c t e d 硕士学位论文 【a s t e r st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：绍童企 日期：加踔石月l 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：窥罐钤 日期：知口掉6 月2 ，日 导师签名：堋棼在 日期：沁吠侔名月2 ，日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交c a l i s 高校学位论文全文数据库中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童诠塞握变压溢厦；旦主生i 旦= 生；旦三生蕴查。 作者签名：套魄旋 日期：晰易月明 导师签名：拥铬 日期：珈占年6 月21 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 1 1 符号说明 i 卅 l y 蚓到q l e 蚓驯g 0 口( g ) r ( g ) 万( g ) g o ) 如o ) 以 例 1 2 研究背景及现状 第一节引言 集合x 的元素个数 图g 的阶数 图g 的边数 图g 的点独立数 图g 的连通度 图g 的最小度 图g 中点1 ，的邻域 点v 在图g 中的点度 聊阶完全图 不大于七的最大整数 h 锄i l t o n 问题从所谓“周游世界问题 的一个关于十二面体的数学游戏发源。 该问题历经百年，吸引了众多图论研究者的关注。早在1 9 5 2 年d i r a c 首先给出了 有关h 锄i l t o n 图的度条件：设g 为n 阶图，刀3 ，若j ( g ) 叫2 ，则g 为h 锄i l t o n 图。 此后，更多关于h 锄i l t o n 图性质的定理相继被证明，如0 r e 等人于1 9 6 0 年给 出了证明图的h a i i l t o n 性的经典结论。有关h 锄i l t o n 图性质可以通过边参数或连 通性等多方面条件进行研究，但是如果我们改变图的连通度与独立点数并且降低其 他相关条件，如何考虑图的h 锄i l t o n 性和h 锄i l t o n 连通性呢? 在上世纪八十年代， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 李饶和朱永津老师已经证明了在2 连通或3 连通的条件下，独立数的和与图的 h 锄i lt o n 性的关系。最近c h v 6 t a 卜e r d 6 s ，j a c o b s o n 等人通过调整图的连通度，最 小度与独立点数条件得到了图的h 锄i l t o n 性和h 锄i l t o n 连通性。 我们可以看出图论界对图的h 锄i l t o n 性和h 锄订t o n 连通性的研究已经非常深 入，通过度条件和独立数条件研究h 锄i l t o n 性不断取得进展。本文继续对图的连 通度和独立点数与图的h 锄i l t o n 连通性的关系进行探讨。 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 1 基本概念 第二节概述 本文仅考虑简单图，文中未加定义的概念和符号参见 1 是g = 缈，e ) 中的一个圈，若过g 的每个点一次且仅仅一次，则我们称是 图g 中的h 锄订t o n 圈( 简称h 圈) 。若图g 中有h 圈，则称g 为h 锄i l t o n 图( 简 称h _ 图) 如果对v 甜，1 ，y ( g ) ，g 存在一条连接点”，1 ，的h 锄i l t o n 路，则称图g 为 h 锄i l t o n 连通图( 简称h 一连通图) 下面我们定义图的加法运算： g l + g ：= 帆u 矿：，e u 晟u b 地处b = ；n ，i ”形，v 玫j 如果d y ( g ) ，则o ) 为点d 在g 中的所有邻点，且d 0 ) = l 0 】， q ( ，g ) = m i n p 0 】y 矿( g 游， 吒( g ) = m i l l 匿：。d “) l h ，v ：以) 为g 的独立集 其中2 七口( g ) 给定正整数旯和圈c ，如果对g c 后的每一个连通分图的顶点数都小于a ，则 称圈c 为图g 中的么一圈。 2 2 已知结论 d i r a c 最早证明的有关h 锄i l t o n 性的结论： 定理1 - 1 ( 3 ) g 为力阶图，刀3 ，若万( g ) 形2 ，则g 为h 锄i l t o n 图。 0 r e 在1 9 6 0 年得到下述有关h 锄i l t o n 性的经典结论： 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 定理1 2 ( 1 1 ) 设g 为刀阶图，且吒刀，则g 为h 一图。 定理1 3 ( 1 1 ) 设g 为刀阶图，且吒刀+ 1 ，则g 为h 连通图。 李饶等人对h 石g g k v i s t 和n i c o g h o s s i a n 证明结果改进，得到下述定理： 定理1 4 ( 6 ) 设g 为刀阶2 一连通图，且吒刀+ ) ，则g 为h _ 图。 朱永津老师利用研究2 一连通图的h 锄i l t o n 连通性，得到以下几个结论： 定理1 5 ( 1 2 ) 设g 为刀阶2 一连通图，且吧刀+ r ( g ) + 1 ，若甜，1 ，y ( g ) ，且函，y 不是g 的割集，则g 中存在从“到1 ，的h - 路。 完全二部图如川g 3 ) 说明了定理1 4 的下界是最好可能。 定理1 6 ( 1 2 ) 设g 为拧阶3 一连通图，且吗刀+ q + 1 ，则g 为h - 连通图。 c h v d t a 卜e r d 6 s 利用图的连通度和点独立数研究图的h 锄i l t o n 性和h 锄i l t o n 连通性，证明了下述经典结论： 定理1 7 ( 4 ) 设g 为刀阶图，刀3 ，若k ( g ) 口( g ) ，则g 为卜图。 定理1 8 ( 4 ) 设g 为拧阶图，力3 ，若水) 口( g ) ，则g 为h - 连通图。 b o n d y 给出了与c h v 6 t a 卜e r d 6 s 定理相类似的结论： 定理1 9 ( 5 ) 设g 为，l 阶图，刀3 ，若r ( g ) 口( g ) 一1 ，则g 中存在h 锄i l t o n 路。 g o u l d 和j a c o b s o n 在c h v 6 t a 卜e r d 6 s 和b o n d y 的证明结果基础上进一步增加了 图的连通度，独立数和最小度的关系限制，得到了下面的定理和猜想。这里均要求 图的阶数足够大： 定理1 1 0 ( 1 5 ) 设g 为疗阶图，刀足够大，七为正整数且七2 ，使得e ( g ) 七， 万( p ) g + 七2 一七一1 ) 传+ 1 ) ，若万( p ) 口( g ) + 七一2 ，贝l j g 为h - 图。 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 此定理的条件很严格，已经不能被降低。我们考察图g ，对正整数r 2 ， g = + + 1 心。班钉，这里刀暑七m o d ( 七+ 1 ) ，因为g 一缸后有七+ 1 个分部，所以 图g 为非h - 图。此处图g 的连通度为巾) = 七，口( g ) = 七+ l 万( g ) ，但是最小度为 万( g ) = g + 七2 一七一l + 1 ) ，条件降低。 结合定理1 1 0 和定理1 8 ，可以得到下面的猜想： 猜想1 1 l ( 1 5 ) 设g 为刀阶图，刀足够大，七为正整数且七3 ，使得如) 七， 万( g ) b + 七2 2 七班，若万( g ) 口( g ) + 七一2 ，则g 为h 连通图。 对于猜想1 1 1 的证明g o u l d 和j a c o b s o n 已经证明了两个部分结果，第一个结 果与猜想具有相同的最小度和独立数条件，并且所要得出的结论也相同，但是它对 图的连通度要求更高。第二个结论证明了当七= 3 或4 时猜想1 1 1 成立。 定理1 1 2 ( 1 5 ) 设g 为刀阶图，刀足够大，七为正整数且七3 ，使得 ) 4 后2 + 1 ，万( g ) g + 七2 2 j | 址。如果万( g ) 口( g ) + 七一2 ，则g 是h - 连通图。 定理1 1 3 ( 1 5 ) 设g 为刀阶图，且行足够大，七= 3 或4 ，使水) 后， 万( g ) g + 七2 2 七址。如果艿( g ) 口( g ) + 七一2 ，则g 是h - 连通图。 猜想1 1 1 的证明并不完整，其中当正整数5 r 4 七2 时图g 的h - 连通性仍不 确定。有待继续证明。 2 3 主要结论 本文主要是对猜想1 1 1 迸一步进行证明，在定理1 1 3 的基础上将正整数七扩 大到5 ，仍然保证图的h _ 连通性。 定理1 1 4 如果g 为职阶图，疗足够大，七= 5 ，使r ( g ) 后， 万( g ) g + 七2 2 七址。如果万( g ) 口( g ) + 七一2 ，则g 是h 连通图 5 3 1 有关引理 第三节主要结论的证明 为了证明定理1 1 4 ，我们先证明f 述两个引理： 引理1 1 5 设g 为刀阶图，集合s 是图g 的最小点割集，c 为g s 的一个连通分图， 则g 中存在s c 匹配或者饱和s 或者饱和c 。 证明：我们对集合s 的阶i 刮和连通分图c 的阶i q 的大小关系分情况讨论： 情形l ：若l 酬ic i ，则图g 中存在s c 匹配饱和集合s 中的所有点。否则，由h a l l 定理，了s 中，个不同点而，屯，而，使得i c “) u c g ：) u u c “】，一l ， 其中，1 ，为正整数。 不妨令l c k ) u c g ：) u u c ( ，】：= 涉。，y ：， ，p ，一l 。可知此时 g g k ，x ：，而 ) 一饥，y ：，p j 不连通， 而集合 一k ，x ：，西) ) + k ，y ：，p 中元素的个数小于集合l 剐，与集合s 是图 g 的最小点割集矛盾! 情形2 ：若l 纠 l c l ，则图g 中存在s c 匹配饱和集合c 。 不妨取集合s 的划分s = 叙，岛) ，使i 墨l = i c l ，考虑图g 一是，根据情形1 ，则 存在墨一c 匹配饱和s ，同时也饱和c 。 引理1 1 6 设g 为刀阶图，集合s 是图g 的最小点割集，c l ，c 2 ，c 为 g s 的连通分支，满足： ( i ) s = i s i f + 1 ，i 纠3 ( i i ) 眇心) i s ，f = 1 ，2 ，f 6 ( i i i ) c 为h 锄i l t o n 连通图，扣1 ，2 ，f 则对任意的x ，y y ( g ) ，下述结论之一成立： ( a ) 存在连接x ，y 的过g s 中所有点及s 中至少f 一1 个点的路； ( b ) jj a ，2 ， ，使得x ，y y 缸) 并且万心) i g i 2 ， 所以c l 为h - 连通。取丑为c l 中连接x 到y 。的h 一路，取最= 弘：毛，故e ) 成立。 如图5 所示，g 存在连接x ，y 的经过c l ，c 2 中所有点以及集合s 中至少f 一1 个点，该路为x 鬲) ，五玉，毛夏y 。 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 图5 若万心) 形5 + 3 ，口( g ) 万( g ) 一3 ，且5 r ( g ) 1 0 0 。 因此，对每个连通分支g 均有： 万( c f ) 形5 + 3 一s ，f = l ，2 ，f 由此得i g i 形5 + 4 一j ，净l ，2 ，f 如果f 6 ，则l c i g s ) f ，对vv c | ，d ( v ) 0 一s 珈+ j 一1 形5 ，与图g 的最小度条件万( g ) 形5 + 3 矛盾! 因此，r 5 。 情形l ：r = 5 由得形5 + 2 j 一1 6 i c l i i c 2 l l c 3 i i c 4 i l c 5 l 形5 + 4 一s ，由此得 2 j 一1 6 4 一s ，所以j 7 。 此时艿心) 5 + 3 一s l c i _ 3 s + 1 3 由于疗充分大，g s 的每个分部q 都几乎为完全图且即使在去掉少数几个顶 点后它们仍能保持h _ 连通性。由于s 为图g 的极小点割集，s 与每个分部c 之间均 存在一个j 一匹配。因为阁= j 7 ，根据引理1 1 6 知g 中存在一条从x 到y 的路尸 能连接g s 的所有顶点以及集合s 中的至少两个顶点。在这种情况下，可得 1 3 i j p l 刀一s + 2 4 形5 + 4 。 情形2 ：f = 4 此时，我们有2 形5 + 2 s 一1 2 i c lj i c 2 l | c 3j | c 4 l 形5 + 4 一s ，同样 万心) 5 + 3 一s ，扛1 4 。由定理1 1 ( 3 ) 可知，若存在f 1 4 ， 有| c j l 2 5 + 8 2 s ，则该分部g 为h 一连通的。分析可知分部c 2 ，c 3 ，g 均为h 连通的，若i c l i 2 叫5 + 8 2 s 则c l 同样为卜连通图。 若2 5 + 8 2 j 4 ，5 所以c l 为h _ 连通图时结论成立。 下面我们能考虑c l 为非h - 连通图的情况。此时| c l f 2 形5 + 8 2 s ，令s 7 ，因 为c l 为非h - 连通的，考虑它的连通度情况： 当r ( a ) 2 ，则存在一个割集s ，若p i = 1 或2 ，使得c l s 有两个分部c l ， c l 。，此时每个分部的最小度为至少形5 一j ，因此这两个分部c l ，c l 。均为几乎完全 图，结合之前分析得到c 2 ，c 3 ，c 4 为h _ 连通图，可知割集s 与每个分部c l ，c l 。 之间都存在着墨一2 条独立边匹配，且割集s 与每个g ，c 3 ，c 4 之间存在着s 一匹配。 因此，在这种g s 有四个分部c l ，c 2 ，c 3 ，q 的情况下，类似于引理1 1 6 1 4 硕士学位论文 n 【a s t e r st h e s i s 易证任一对点工与y ，存在一条从x 到y 的路p 至少有力一s 个顶点。 下面我们考虑r ( r c l ) 3 。 当如) 3 时，由定理a 以及定理1 1 ( 3 ) 的结论，可知在q 中存在一个顶 点数大于2 5 + 8 2 s 的圈c ，从割集s 到圈c 存在s 条内部点不交的路，选择这s 条点不交的边与圈c 相交的邻点中距离最短的两个顶点，考虑点对x 与y 如果点对x 与y 不在c 2 ，g ，c 4 中，则存在一条从x 到y 的路经过c ：，c 3 ，c 4 的 所有顶点，集合s 中的至少两个顶点以及圈c 中除开0 c i s ) s 后的所有顶点，因 此这条路至少有 3 似5 + 5 一s ) + 2 + 【( 2 5 + 8 2 s ) 一( ( 2 ，5 + 8 2 s s ) s ) 】 = 3 5 + 5 一j ) + 2 + g 1 ) ( 2 ，5 + 8 2 s ) s l 1 4 形1 5 + 1 3 7 6 一1 4 3 4 形5 + 4 即至少有4 叫5 + 4 个顶点组成。 如果点对x 与y 均在c l 中，则由定理c 、推论d 及引理1 1 6 ，可知在c l 中存在 一条从x 到y 的路上至少有2 形5 + 8 2 j 个顶点。正如圈中的情况一样，存在一条从 x 到j ，的路经过c 2 ，c 3 ，q 的所有顶点，集合s 中的至少两个顶点以及路上中除 开0 三卜s 协个顶点后的所有顶点，同样的方法得该路长至少为 1 4 ，1 5 + 2 4 1 3 吖3 4 叫5 + 4 。 如果x g 且y 正c l ，则应用引理1 1 6 的结论可知从点x 到c l 中的某点z 存在 长度至少为2 形5 + 8 2 s 的路q ，则从x 到y 的路可以由q 的所有顶点以及g ，c 3 ， a 的所有顶点形成，因此该路的长度至少为4 叫5 + 4 。 f = 4 的情况讨论完毕1 1 s 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 情形3 ：f = 3 则3 ，z 5 + j 一8 | c l l | c 2 i i c 3 i ，z 5 + 4 一s 且艿心) 5 + 3 一s ，对f = l 3 。分 析可知c 3 必定满足形5 + 5 一j i c 3 i 2 5 + 8 2 s ，所以c 3 为h - 连通的。再对c 2 ， c l 的阶分情况讨论： 如果5 + 5 一j k l | c l i 2 形5 + 8 2 j ，则分图g ，q 均为肛连通的。满 足引理1 1 6 的条件，故点对x 与y 之间存在着一条路p ，能连接c l ，c 2 ，c 3 的几 乎所有顶点以及集合s 中的至少2 个顶点，此时职一s + 2 4 形5 + 4 。 如果2 形5 + 8 2 s 形5 + 4 一s ，因万心) 5 + 3 一s ，f = 1 ，2 ， 若形5 + 4 一s ( g + 1 ) ( 形5 + 3 一g ) + l 式隐含不等式9 2 一( 衫5 + 3 ) g + ( 4 形5 4 ) o ，即( g 一4 一5 + 1 ) o 。 当4 g 5 1 ) 时，g 不满足不等式； 当g = 1 ，则点“在p 中至少有艿( g ) 个邻点，而p 为最长路，u + u 函 为g 中独 立集。p + u 缸】i 万( g ) 口( g ) ，与已知条件矛盾! 当g = 2 ，则点“，在尸中至少有万( g ) 一1 个邻点，因为u y ，所以 pu 矿i 万( g ) ，类似于g = l ，可得口( g ) 万( g ) ，矛盾! 因此g 3 且s 2 ，当【，y 时，我们可得 以一g 肌i u i + i 矿f i 形i + g l 形i + u i + l 叫一2 l 形1 ) 一1 1 8 式整理为刀一垡小2 l u i + 2 i 叫+ ( g 一3 】形| _ 1 因为刀 2 m + 2 | 叫，可知m 形1 2 ，否则，存在矛 盾! 令r 为p 中，个顶点组成的集合，r 中的每个顶点在集合s = s u v 中都至少 有两个顶点，且s 中两个不同顶点间的距离都至少为g + 1 ) 2 ，如果，万( g ) 一j ， 则p 中存在至少万( g ) 一j 1 个不同的区间，每个区间有至少b + 1 ) 2 个顶点，在q 中 无邻点，且其中有一个区间中含有至少g 个顶点，可得路尸长度m 为： 刀一g m p ( g ) 一s 一2 + 1 ) 2 + g + 艿( g ) 一j 此式隐含着不等式s 2 一p ( g ) 一5 b 一3 万( g ) + 2 + 2 ，l 一4 9 o ，但是，当 4 s 3 3 时，矛盾! 因此我们假设， 何3 聊2 ) + 4 ，矛盾! 七：5 的证明完成! 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 结束语 本文主要研究图的图的h 锄i l t o n 性和h 锄i l t i o n 连通性。图的连通度与独立 数存在一定严格关系时可以证明图为h _ 图或h _ 连通图。并更加深入地探讨了增加 图的最小度的限制，在图的独立数与连通度之间的达到一定条件可以满足图的 h 锄i l t o n 性和h 锄i l t i o n 连通性。但是我们还需要考虑的是，对于一般的正整数 七6 ，保持最小度与独立数连通度关系不变，是否能仍然保证图的h - 连通性。作 者还将进一步进行探索。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【l 】r d i e s t e l ，g f a p h 皿e 0 2 n de d i t i o n s p 血g e r ，2 0 0 0 【2 】r h 逛西而s t 孤l dg g n i c o g h o s s i a n ，ar e m a r ko nh a m i l t o n i a nc y c l e s ，j c 锄b i n r n 赋呵s e r b3 0 ( 1 9 8 1 ) ，1 1 8 一1 2 0 【3 】g a d i i l a c ，s o m e l e 0 础n so na b s 昀c tg r a l ) l l s ，p c l 0 n d o nm a m s 0 c 2 ( 19 5 2 ) ， 6 9 8 1 【4 】v c h v 矗l a la n dp e r d 6 s ，an 0 i 钯0 nh a m i n o n i 觚c 硫豳，d i s 耐em 甜1 2 ( 19 7 2 ) ， 1 1 l 1 1 3 【5 】j a b o n d y ，l o n g e s tp 劬a n dc y c l e si l lg 畹p l l so fh i 曲d e g 眦，r e 湖r c l lr 印o n c o i 汛1 6 - 8 0 ，u i l i v e r s 畸o f w | a t c i r l o o ，w l t e r l o o ，o n t a i i o ，1 9 8 0 【6 】d b a u e r ，h j b r o e r s 锄，i 乙l i a n dh j v e l d m 锄ag e n e r a l i z a t i o no far e s l l l to f h 趣g k v i s ta i l dn i c o 曲o s s i a n ，j c o m b i n n e o 巧s e r b 4 7 ( 19 8 9 ) ，2 3 7 2 4 3 【7 】g c da n dl l e s i l i a k ，g 胁p ha n dd i g r a p h s ，c h a p m a i la i l dh a l l ，l o n d o n ，( 19 9 6 ) 【8 】h e n o m o t o ，l o n gp a 缸孤dl a 唱ec y c l e si nf i i l i t eg r a p 量l s ，j g 印h1 1 1 e 0 呼8 ( 19 8 4 ) ， 2 8 7 3 0 1 【9 】p f r a i s ，岛- c y c l e sa n d m e ：i ra p p l i c 撕。嬲f o rh 如m t o n i 锄c y c l 懿，n 6 s ed ed o c t o m t 抛，u i l i v e r s 黼d ep 撕s s u d ( 1 9 8 6 ) 【1 0 】k o t a ，c y c l e st h r o u 曲p r e s 嘶b c dv e r t i c e s 、) l ，i n ll a r g ed e g r e e 舳玛d i s c r e t cm a 眈 1 4 5 ( 1 9 9 5 ) ，2 0 1 - 2 1 0 【1 1 】o o r e ，n o t eo nh 锄i l t o nc i 剃i t s ，a m e r - m a 吐1 m o n t h l y6 7 ( 19 6 0 ) ，5 5 1 2 】朱永津，王中兴，科学通报第2 0 期，1 9 9 2 【13 】o o r e ，o ，j m a m p u r e s ，a p p l ，4 2 ( 19 6