（应用数学专业论文）外dirichlet逆散射问题的惟一性及稳定性.pdf

硕士学位论文 n a s t e r st h e s i s 摘要 本文主要讨论在r 2 中如下逆散射问题的惟一性及稳定性： u + 尼2 t | = 0 “= 0 1 1 黑( 筹 r o o ” z r 2 万， z r i 尼札8 ) = o ，r = 这是由时间调和声波产生的外d i r i c h l e th e l m h o l t z 方程其中d 是平面瓞2 上的 有界光滑区域，r 为其边界，后c 为波数，整场为t z = 札+ 矿，其中矿表示散射 波，u 为入射波 本文的目的是研究上述逆散射问题的惟一性与稳定性，即利用散射场的信息 来惟一确定散射体，并且逆散射问题的稳定性是利用解及其扰动解来近似控制边 界得到的 对于逆散射问题的惟一性，我们给出了多种情形下的惟一性而对于稳定性的 证明，首先得出散射问题变分形式的弱解及其相应的扰动解方程，再利用介质导数 的性质，证明边界可由散射问题的解来近似控制 关键词：惟一性；稳定性；日e f m d f t z 方程：逆散射问题 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，r ed i s c u s st h eu n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h ei n v e r s eh e l m h o l t z e q u a t i o ni nt h et w o d i m e n s i o n a ls p a c e ： 纛三：。， z r 2 面， z r ， 7 = w h e r edc 瓞2i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs u 币c i e n t l ys m o o t hb o u n d a r yr 后c i saw a v en u h l b e r t h ea i mo ft 1 1 i sp a p e ri st os t u d yt h eu n i q u e n e s sa n ds 七a b n i t yo ft h ea b o v ei n v e r s es c a t t c r i r l gp r o b l e m b ye m p l o y i n gt h ek n c l w ni n f 6 r m a t i o no fs c a t t e r i n g6 e l dt o c o m d l e t e l vd e t e r i n i n et h es c a t t e r e r ，t h e nu s i n gt h es o l u t i o no ft h es c a t t e r i n gp r o b l e m a n dt h ec o r r e s p o n d i n gp e r t u r b e ds o l u t i o nt oa p p r o x i m a t e l yc o n t r o lt h eb 。u n d a r yt o g e t h es l a b j 】ic yu ft l l e i i l v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e i i j f 0 rt h eu n i q u e n e s so ft h ei n v e r s ep r o b l e m ，w eg e tt h ec o n c l u s i o no fs o m e c a s e s f b r t h ep r ( ) o f ( ) fth cs t a b 订i t y ，w e6 r s t i yg e tt h e v e a ks o l l 】t i o n w i t hv a r i a t i ( ) n a lp a t t e r n a n dt 1 1 ec o i r ( j s p o r l ( “n ge q l l a t i o no fs o l u t i o np e r t u r b e d ，t h e ne m p l o yt h em a t e r i a l r p r i v a t i v pt r lp r n v f f h ph n l l n r i a r yr a nh pa 1 1 p r n x i m a t p l yr n n t r 0 1 1 p f l k e yw o r d s ：u n i q u e n e s s ； s t a b i l i t y ；h e l m h o l t ze q u a t i o n ； i n v e r s es c a t t e r l n g p r o b l e m 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：降厦 日期：矽昭年月岁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的伞部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或手1 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：睁匆 日期：碱年月岁日 导师签名： 尹f 日期：z g 年6 月3 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。圃意迨塞握童后进卮! 旦主生；旦二生；旦三生缝鱼! 作者签名：p 象男 日期：矽暗年6 月歹日 导师签名：号1 讲一 日期：8 年6 月弓日 硕士学位论文 m a s t b r jst h e s i g 第一节绪论 在声波和电磁波的逆散射问题中，通过远场模( 即远场信息) 来确定未知物体 的边界以及相关的重要参数有着广泛的运用，如人体内部病变的诊断、生物体内 部信息的无损提取、地下矿藏( 如石油) 的勘察、地震预报、遥感探测、水坝、飞机 及其它物体内部损伤的无损探测以及物质内部( 如原子核内部) 结构和运动的研究 等等( 见文献1 3 】) ，但该逆散射问题的研究在很大程度上依赖于相应的正散射 问题，正散射问题的解的存在性、惟一性等性质方面的研究结果比较多，可参考文 献f 1 1 ，f 3 】一 6 正散射问题的研究为逆散射的数据处理提供了一种良好的理论框架， 在此基础上，逆散射问题解的存在性、惟一性相应地有了较多的文章，也得出了一 些不错的结果，取得了很大进展( 见文献【3 】，【5 】，【7 】，【8 】及后面提及的文献) ，但对其 稳定性的严格的理论研究方面的文章却不是很多( 见文献【9 1 0 】， 3 ，1 0 ，2 1 】) ，例如， ，s 口七俐y 在1 9 9 2 年对于完全非线性逆问题给出了一个稳定性估计的结果( 见文 献f 9 1 ) ，冯立新和马富明在洞穴研究的基础上提出了洞穴逆散射问题解的惟一性与 局部稳定性( 见文献 2 1 】) 在本文中，我们考虑在r 2 中，下述逆散射问题( 参见附录) 的惟一性及稳定 性： 0 兰：，克2 u = 0 三主：2 万 c 1 ， 这里的整场为u = u + u s ，其中u ( z ) = e 讯哥d ( z r 2 ) 表示入射波，u 8 表示散射 波，且散射波满足下列的s d m m e 7 ，e f d 辐射条件： l i m ( 豢一i 七u 3 ) = o ，r = 川( 1 2 ) d 是平面r 2 上的有界光滑区域，r 为其边界，是一条光滑的闭曲线t = = r ， 七c 为波数，七0 ，m 尼0 ，当，m 七= o 时，七 0 这个问题分为两个方面：正散射问题与逆散射问题正散射问题指的是：在一 种均匀的媒介中( r 2 空间中) 有一个有限的物体( 假设为d ) ，若用一种声波去探 测它，当入射的声波碰到该物体时，必然会产生散射，我们可用一种设备在较远处 接收到散射波的信息，也即满足这里的方程( 1 1 ) 和( 1 2 ) 在不引起混淆的情况下， 硕士学位论文 1 0 【a s t e r st h e s i s 可直接把( 1 1 ) 和( 1 2 ) 合为一个方程( 在本文的后面都这么表示此问题) ： i u + 忌2 缸= o ，z r 2 一， u = o ， z r ，( 1 3 ) 【熙( 筹一姚5 ) = o ，r = 所以该正散射问题也就是给定散射场在边界上的信息和边界条件的自然 性质，找到散射波及无穷远处的信息，即无穷远场对于问题( 1 3 ) 的适定性分 析，d c o l t o n 和r k r e s s 在文献【1 3 】中作了很详细的证明 反过来，我们考虑的逆散射问题是给定对于一个或多个入射平面波的无穷远 形式，要去确定散射物的形状( 即其边界及重要参数) 众所周知，逆散射问题是不 适定的 我们以对逆散射问题的唯一性的结果作为开始，也即，研究问题是否能够通过 足够的无穷远场信息来惟一确定散射体的边界 下面给出本文的两个主要的惟一性结论分别对于固定的波数、具有无穷多个 相异入射方向的平面波和对于多个不同的波数、具有一个固定的入射方向的平面 波得出的惟一性结果 这里用bd = 1 ，2 ) 表示满足上面条件的两个区域，用o 。( 圣；d ，七) 表示与 入射方向d ，波数克以及d j 对应的远场，也将吻o o ( 2 ；d ，) 简写为( 奎；( 2 ) 或 ( 岔；后) 定理2 1如果对于固定的波数后，使得对于具有无穷多个相异入射方向 厶= ( c o s ，s i l l 以)( o o ，用表示 面杀丽丌、鲁嗓鲥五i i 石五西丽丌、百i + 五乒庇2 的整数点对( m ，佗) 的数目如果对+ 1 个不同的波数佛足惫is 惫2 ，和一个 固定的入射方向d 有礼1 ( 圣；) = “2 ( 2 ；) ，则d 1 = d 2 在本文的最后，我们导出了该逆散射问题的稳定性定理及其证明。稳定性的研 究是非常重要的，因为实际中我们无法得到准确的测量数据，而稳定性的分析能让 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 我们知道这些数据在多大程度上是可信的，这对于实际中的测量数据的准确程度 有很重要的指导意义。 本文在参考文献【2 l 】的基础上，得出了问题( 1 3 ) 相应的稳定性结果如下，不 同点在于：把散射体一般化为瓞2 中的有界光滑区域，在这个有界光滑区域上得出 了稳定性结果： 定理3 1设边界r 是满足上面假设条件的曲线，并假设扰动边界n = z ( z 1 ) + 愚，( z 1 ) ：o z 1 6 ) ，o 九7 功与( ，) ( z 1 ) o ，o e z 1 【o ，6 】成 立，则 d ( 1 1 ，r h ) cl l t | 一缸h ( a b r ) 其中c 是与九无关的常数，= ( ，l ，忱) 表示r 的单位外法向 全文安排如下： 第一节介绍了外d j r i c h l e t 逆散射相关问题研究的历史进展，述叙了本文的主要 结果。 第二节利用散射场的远场信息，对不同情形入射的平面波均得出了逆问题的惟 一性定理并给出了证明。 第三节对边界作微小的扰动，得到相应的散射解及扰动解，利用介质导数给出主 要的稳定性结论并详细加以证明。 第四节附录，对于第二，三部分中的部分知识点作出了必要的理论解释。 3 第二节逆散射问题的惟一性 陵二卜蠢悸 ( 2 1 ) 这里的整场为札= u + 乱s ，其中( z ) = e 淞一，z 酞2 表示入射波，表示散射 波 解的存在性在多处得到明确阐述( 参见 3 ，5 】) ，现在我们来看看其惟一性。 本文中用u 表示散射场也s 的远场，熟知u 5 和u o o 之间有如下的关系( 参见 附录勿) ： o i 七l t l1 矿 洱一卜谪札一幺d 动知南h ， p 卜 d 描述了入射波的传播方向，七表示波数现在研究在什么条件下区域d 可由 远场信息惟一确定，即研究逆问题的惟一性。首先建立一些引理 2 1引理 下面的引理2 1 建立了散射场和它的远场之间的一一对应关系 引理2 1设u s c 2 ( 瓞2 万) 是肌概 d 耽方程u 8 + 七2 “8 = 0 的一个解，且 满足j ， 1 i m f ( z ) 1 2 d s = o ( 2 2 ) 一。- ，a b ( r ) 这里b ( r ) 表示以r 为半径的圆面，且使得万b ( r ) 则u 8 = 0 ，z r 2 万 证明：对充分大的r ，有 乱3 ( z ) = a n ( r ) 互( c 。s 口) n = o ，z = r ( c o s 护，s i n 9 )( 2 3 ) 其中 死( ) ) - 表示规范正交的c h e b y s h e v 多项式序列，系数o n ( r ) 为 n n ( r ) = z 2 ”u 8 ( r c 。s 口，rs i n p ) 7 k ( c 。s 9 ) d p 4 ( 2 4 ) 且满足： 口( r ) l 铭。( z ) 1 2 d s = r 薹l a n ( r ) 2 由假设( 1 1 ) 知：对于都有 l i m7 io n ( 吲2 = o 因乱s c 2 ，故可以在积分号下求微分，利用： ( + 尼2 ) u 3 = 0 2 丽+ ；爵+ 丽 可得： 景。几。r ，+ 吾导a 几。r ，+ 。尼z 一；，n 几c r ，：。景州卅吾知卅渺一孙= 。 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 设 ( r ) = 磁( r ) + 如磁( r ) ( 2 7 ) 其中职( r ) 和联( r ) 是方程( 2 6 ) 的两个线性无关的解，将( 2 7 ) 式代入( 2 5 ) 式 并使用砩( r ) 和砩( r ) 的渐近性质( 参见附录留) ，易知：c n = 如= o ，因此在 充分大的a b ( r ) 上让s = 0 进而由解析性在r 2 面上让5 = 0 口 引理2 2设u s ( z ) c 2 ( r 2 万) 是矗e f m 允d 娩方程满足辐射条件的一个 解，若它的远场消失，即u o 。( 金) = o ，比q = ( c o sp ，s i n 臼) ，o 口 2 丌) ，则 乱8 = 0 ，z 跫2 面 证明：由远场的定义： 矿 d 砷2 焉“一氡d 砷知南h l 圳一o 。 可推出： l 同s = a 喇鲫阳圳r 一 l 链3 ( z ) 2 幽= l 铭( 2 ( 移) ) 1 2 础+ o ( 去) ， 7 一o o - ，a b o ) ，0 v 此时假设条件u o o ( 仝) = 0 q ) 暗含了( 2 2 ) 是被满足的，故由引理2 1 知本引 理得证 口 5 硕士学位论文 m a s t b r st h e s i s 2 2惟一性 下面用功d = 1 ，2 ) 表示满足上面条件的两个区域，用o 。( 宝；d ，角) 表示与 入射方向d ，波数竞以及功对应的远场，也将吻( 2 ；d ，) 简写为吻( 2 ；d ) 或 o o ( 圣；七) 下面我们给出两个惟一性结果：定理2 1 和定理2 2 如下的定理2 1 就给出了 对于固定的波数和无穷多个入射方向的平面波逆散射问题的惟一性 定理2 1如果对于固定的波数南，使得对于具有无穷多个相异入射方向 厶= ( c o s 以，s i n 靠)( o o 满足万cb 旦，令q r = b r 万，整 场札耽( q r ) 是( 3 1 ) 的解，在q j r 上运用格林公式，则钆满足： 上r ( v “。v 2 刎虻z b r 嘉础 ( 3 2 ) 对所有的可明( q j r ) = ( 可h 1 ( q r ) ：u | r = o ) 我们用己：日 ( a b r ) h 一 ( a b j r ) 表示眈r i c 忍f e 一e u m 彻肌映射( 参见 【1 4 】) ： 均h 等 这里叫是在r 2 瓦中的d i r i c h l e t 外问题的惟一解具有边界数据叫i a b r = 9 由 ( 3 2 ) 我们得到散射问题的一个弱解表达式： 8 ( u ，秒) = 厶r ( v u 。v 雷一尼2 u 面) d z 一( l 乱，u ) a b r = 厶b r 移( 筹一三让) d s = ( ，钉) h - ( q r ) ( 3 3 ) 对于所有的秒扁( q r ) ，u ( z ) = e 诀c i z 为入射场，( ，) r 表示日 ( r ) 中的对偶 运算： ( 叩) r = z u 础 9 硕士学位论文 i 队s t e r st h e s i s 且这里的，日1 ( q r ) 由磁e s z 表示定理( 见【1 5 】) 给定 由文献【14 】知钍魂( q r ) 是( 3 3 ) 的惟一解设边界r 的参数表示为 r = 名( z 1 ) = ( z 1 ( z 1 ) ，勿( z 1 ) ) ， o z 1 6 并且z 2 ( o ) = z 2 ( 6 ) = o ，r c 2 对于任意实向量场厂= ( ，厶) c 2 ( r ；r 2 ) ，这 里，我们固定区域的两端，当边界进行扰动时，我们可以一分为二地看作上半边界 扰动，下半边界也扰动，为了记号的方便，不妨把上半边界及下半边界的扰动曲线 都记为： 1 1 = z ( z 1 ) + 凫，( z 1 ) ：n z 1 6 ) ，o o 充分小，厶( 8 ) = 厶( 6 ) = 0 ，且满足： ( ，王，) ( z 1 ) o ， o e z 1 陋，6 】( 3 5 ) = ( 1 ，屹) 表示r 的单位外法向，显然，当九_ o 时，在日o u s d d 7 ，距离意义下， r 九收敛到r 而从( 3 5 ) 式可知存在常数c 1 ，q o ，使得 g 危d ( f ，r _ f 1 ) c 毫危( 3 6 ) 设d ，l 是扰动的区域，社_ 7 l 是在相应区域【准中散射问题的解，则与之相应的变分问 题如下： 侈( 让 ，秽) = 如盖( v 钆，l 。v 雷一七2 u | i l 移) 如一( 三u ， ) 阳r = r 亏( 筹一l 让i ) 如 ( 3 7 ) 这里讹扁( q 瓮) ，q 瓮= b r 面 当危_ o 充分小时，则札i i l 是( 3 7 ) 在魂( q 灸) 中的惟一解【3 ，5 】延拓，c 1 ( 豆r ) ，使得对于izi 譬( 西b 晏) 满足 ，( z 1 ) = o ，且i i ，j j c ( 繇) ci i ，i | c ( r ) ( c o ，不依赖于，) 本节的主要结论是下面关于逆散射问题的局部稳定性定理： 定理3 1 设r 是满足前面条件的曲线，并假设( 3 4 ) 与( 3 5 ) 成立，则可得到 如下的稳定性结论? d ( r ，r ) ci i 乱一t 正 l i h ( a b r ) ( 3 8 ) 其中c 是与愚无关的常数 1 0 硕士学位论文 l a s t e r st h e s i s 为了证明定理3 1 ，我们需要引入介质导数的概念( 参考【1 0 】) 设x 是r 2 中 无穷次光滑的截断函数，满足0 x 1 并且在r 的某一邻域内x = 1 ，在略大一 些的邻域外x = 0 定义： a ( z ) = z + x ( z ) ，( z 1 ) ，( o 允o )( 3 9 ) 则易验证加是从q r 到q 瓮的一个微分同胚( 参见【1 4 ) ，其中充分小 对固定的x ，定义介质导数 u x = 溉芈 ( 3 1 0 ) 其中极限在h 1 ( q r ) 意义下成立( 见文献 1 0 j ) 为了证明定理3 1 ，我们还需要下面几个引理： 引理3 1问题( 3 7 ) 的解“ 硎( q 瓮) 可表示为 札 o 加= “+ 仳x + 2 札2 其中余项满足 i l 让2 ， i i 1 ( q r ) c ， o 茎愚。 而且豇x 魂( q r ) 是下面方程的解j 这里 舀( 呶； ) = c ( u ，口) c ( 钆，口) = 【v 面v ( ( x ，) - v “) 一七2 移( ( x ，) v “) 】如，嗣( q r ) ，q a ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 证明：现对于，( z 1 ) c 2 ( r ；r 2 ) ，我们选择一个延拓： ，( z 1 ) c 2 ( r 2 万；r 2 ) ，且当lz 1l 譬时，( z 1 ) = o 我们已有微分同胚 砂矗：q 冗卜寸q 磊，使得 ( z ) = z + 愚x ( z ) ，( z 1 ) ， o 0 勿h a n k e l 函数及其部分性质( 见文献 3 ，5 ，1 1 】) 定义4 1 设厶，k 分别表示佗阶b e s s e 2 函数和n 阶e 叫m o 伽；函数，且 k c 亡，= 要t t n 主+ c ，厶c 亡，一妻薹掣c 詈，n 一2 p 一昙妻嘉( 妒仞刊+ 州) ( 1 ) 7 r 台p ! ( n + p ) ! 、2 7h 吖州r7 其中矽( o ) = o ，砂) = 袅：，去，p = 1 ，2 ，c = l i m p o o ( 象：。杀一l n p ) 为 欧拉常数，则称哦1 - 2 ) ：厶土i k 为第一类和第二类佗阶肌础e f 函数 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理4 1如上述定义的五k n 七e f 函数有如下的渐近性质? ：居蚓喇) 1 + d ( t _ 。 ：居蚓唰) 1 + d ( t _ 够二维h e l m h o l t z 方程的基本解的表达形式 h e l m h o l t z 方程：札+ 尼2 札= 0 的基本解由下式给定： 圣( z ，可) ：丢h 5 1 ( 七i z 一岁i ) ，z 可 是由上面所定义的日口n 南f e 函数表出的 勿散射解与无穷远场之间的关系( 参考文献【3 ，5 1 ) 定理4 2对于肌概危d 耽方程外问题的每个辐射解u s 都有一个向外的渐近 行为： p i 七i z i1 矿( 州，七) 2 焉让o o ( 训，卅o 南) l z 卜 对所有方向圣= 南一致成立，这里的u o 。函数是定义在单位圆面q 上的，是矿 的无穷远场形式 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】c o l t o nd a n dc o y l ej 冗e c e 耐d e e 却m e 死幻轨i 舢e 倦e 口c o u s 挽c8 t e 死叼忱d 阿，s i a m r e 们e w ，4 2 ( 3 ) ( 2 0 0 0 ) ，3 6 9 - 4 1 4 【2 】丁科，宋守根，逆散射理论的发展及应用前景【j 】，地球物理学进展，2 0 ( 3 ) ( 2 0 0 5 ) ，6 6 1 6 6 6 【3 】c o l t o nd a n dk r e s sr 砌u e 倦en c d 让s i cn 砌尉e c m m n 9 佗e 芒i cs c o 纰而叼孔e d 阿，n e w y o r k ：s p r i n g v e r l a g ，1 9 9 1 【4 】c h a n d l e rw i l d es n a n db oz h a n gau n 幻乱e 凡e s sr e s 让f ，d 7 s c o 扰e n 如6 1 i 研凡讹：叼u 咖 s “r ，0 c e s ，s i a mja p p lm a t h ，5 8 ( 6 ) ( 1 9 9 8 ) ，1 7 7 4 1 7 9 0 【5 】c o l t o n d a n dk r e s sr h 叼r 口fe 口u o 挽d nm e 犰。幽饥s c o e n 叼眈阿， n e w y o r k ：w i l e y ，1 9 8 3 【6 】k i r s c ha a n dk r e s sr 研z 幻u e n e s s 饥伽t ，e r s ed 6 s n c z es t e 死佗9 ， i n v e r s ep r o b _ l e i l l s ，9 ( 1 9 9 3 ) ，2 8 5 2 9 9 【7 】c o l t o nd a n ds l e e m a n 己梳i 口u e n e s s 地。咒m 5 如r 沈e 碗秒e r s ep r 0 6 f e m 吖口c d t 正s “cs z e 卜 i 哆9 ，i m aja p p lm a t h ，3 1 ( 3 ) ( 1 9 8 3 ) ，2 5 3 2 5 9 l m o n c ha e t 盯芒o n 仃l e 愚d d 加7 s d f i 凡9f ei n 秒e r s es c o e 死佗9p ，0 6 f e 7 n ，d r s d 让咒d - 愚n ，d 0 6 s o c f e ，i n v e r s ep r o b l e m s ，1 2 ( 1 9 9 6 ) ，3 0 9 3 2 3 【9 】v i c t o ri s a k o v s n 6 主屁亡剪e s i ，n o e s 加rd 6 s 口c f e si 佗i 凡t ，e r s es c 8 亡芒e n 礼g ，j c o m p u t a p p l m a t h 4 2 ( 1 9 9 2 ) ，7 9 8 8 【1 0 】 e l s c h n e rj a n ds c h m i d tg 觑u e 倦es e n 哪，d r 粥n d d i cs t 刑c t u 他s ：s t 0 6 i 如匆d ，p d 如俘d 佗以 饥t e 咖c e s ，i n v e r s ep r o b l e m s ，1 7 ( 2 0 0 1 ) ，1 8 1 7 - 1 8 2 9 【1 l 】k r e s sr l i 礼e 凹饥叼m fe g 心口t 幻n s ，n e wy k s p r i n 分、厂e r l a g ，1 9 8 0 【1 2 】李家春，周显初，数学物理中的渐近方法【m 】，北京：科学出版社，2 0 0 2 13 】l e i sr j h i t i n f6 d u 竹d n r w 可口也ep r d 6 f e 仃i si 佗7 n n e 7 n 口扼c d fp 可s i c s ，n e wy _ o r k ：w i l e y ，1 9 8 6 【1 4 】a k i r s c h ：z 现e d d m o i 佗d e n 口口i 口e 口礼d t 正，d 6 i # 巾如c o i o n si nl 佗t ，e 瑚es t t e 厄礼9 脆e o 阿，i n v e r s ep r o b l e i l l s ，9 ( 1 9 9 3 ) ，8 1 9 6 【1 5 】刘继军，不适定问题的正则化方法及应用【m 】，北京：科学出版社，2 0 0 5 1 8 f 16 】k r e 鹤r 蚰dz i l ma d nt 危en t i m e n fs d 轧t i d n 吖t e 他d i m e i o n 口zi 舢e