（概率论与数理统计专业论文）两样本指数随机变量次序统计量间隔的随机性质.pdf

摘要 本文主要研究了两样本指数随机变量次序统计量间隔的随机比较和相依 性设x l ，x 2 ， ，x 。为独立的指数随机变量当i = 1 ，p ，x 。的失效率 为a ；当j = p + 1 ， ，n ，玛的失效率为”，其中l 茎p ( n 令d 。( a ，”) = x 。一x q 。为次序统计量x l 。弼。兰茎。的第2 个间隔，2 = 1 ，其中约定x 0 ：。；0 本文将要证明：间隔向量( d l 。d 2 ，n ，d 一) 为m t p 2 相依，这一工作加强了k h a l e d i & k o c h a r ( 2 0 0 0 ) 的结论；证明 了( d 1 。( 2 ，a + ) ，风。( 2 ，a ) ) s l r ( d 1 ：。( l ，a 4 ) ，d 。：。( l ，a + ) ) ， ，茎 a 曼沁，这里s 1 r 表示多维似然比序同时给出了一个反例说明上述随机比 较结果当” h a 2 时一般不成立 关键词：似然比序；m t p 2 ；t p 2 ；次序统计量；间隔、积和式、指数随机变量 a b s t r a c t l e tx 1 ，x 2 ，b ei n d e p e n d e n te x p o n e n t i a lr a n d o mv a r i a b l e ss u c h t h a t 五h a sh a z a r dr a t eaf o rz = 1 ，pa n d 咒h a sh a z a r dr a t e ”f o r j = p + 1 ，n ，w h e r ei p nd e n o t eb yd i ：。( a ，”) 一砥：。一五一l 。 t h e i t hs p a c i n go f t h eo r d e rs t a t i s t i c s x ln x 2 ：ns - ) ：n ，i = 1 ，n ， w h e r e 讯：n 0 i ti ss h o w nt h a tt h es p a c i n g s ( d 1 m ，d 2 m dn ) a r e m t p 2 ，s t r e n g t h e n i n go n er e s u l to fk h a l e d ia n dk o c h a r ( 2 0 0 0 ) ，a n dt h a t ( d l ：n ( a 2 ，a + ) ，d 。：。( a 2 ，”) ) s h ( t 9 1 。( a l ，a + ) ，d 。：。( 1 ，a + ) ) f o ra 1s ”s 2 ，w h e r e kd e n o t e st h em u l t i v a r i a t el i k e l i h o o dr a t i oo r d e r ac o u n - t e r e x a m p l ei sa l s og i v e nt os h o wt h a tt h i sc o m p a r i s o nr e s u l ti si ng e n e r a ln o t t r u ef o r ” 】 a 2 k e y w o r d s ：l i k e h h o o dr a t i oo r d e r ，m u l t i v a r i a t el i k e l i h o o dr a t i oo r d e r ，t p 2 m t p 2 ，o r d e rs t a t i s t i c s s p a c i n g s ，e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n s ，p e r m a n e n t 致谢 我自2 0 0 2 年从管理科学专业转入概率论与数理统计专业，开始接受该 专业训练这期间在导师胡太忠教授的指导下，从事相依性及随机比较理论 的学习和研究我能够转到概率论与数理统计专业学习并顺利完成学业，和 胡老师给予我的大力支持与热情指导是分不开的在学习工作中。胡老师的 渊博学识，严谨态度使我受益良多；他不仅传授我大量专业知识，还教给我 学研结合的方法本文正是在胡老师悉心指导下完成的，从论文选题，到得 出初步结果，以至反复修改、最后成文都凝聚了他大量的心血在此我谨向 胡老师致以崇高的敬意和衷心的感谢! 在这三年里，系里的各位老师在学业和生活上给了我很多指导和关照， 在此向他们表示深深的谢意 感谢与我一起生活了三年或七年的同学们感谢陈子锦同学、王文杰同 学和王明治同学，你们在学习上给了我很多帮助 最后我要特别感谢我的父母和亲人，我能够安心学习并顺利完成学业同 他们多年来的全力支持是分不开的 第1 章引言 本文主要研究了两样本指数随机变量次序统计量问隔的随机比较和相 依性首先给出该问题的一般模型 定义1 0 1 设x l ，) 为p 个参数为a 的独立同分布的指数随机变量， 墨+ 1 ，x 。为q 个参数为”的独立同分布指数随机变量，其中n = p + q 且所有变量相互独立记x 1 ：。x 2 ：。- - 五。为x 1 ，墨，的次序统 计量第i 个间隔定义为 b 。( a ，”) = 墨：。一置- l 。f o ri = 1 ，n ， 此处) c o 。i0 为7 简化记号，我们有时用d ：。代替n 。( ，”) 指数分布在数理统计、概率论、可靠性理论、随机服务系统等领域中有 非常重要的应用指数分布具有良好的性质，即无记忆性在可靠性寿命检验 中，间隔表示受测试的元件相邻两次失效之间的时间间隔因此，对其次序统 计量间隔的相依结构和随机比较的研究是一个十分有意义的课题k h a l e d i k o c h a r ( 2 0 0 0 ) 证明了当p = n 一1 和q = 1 时，( d 1 ：。，d 。) 是m t p 2 ( 2 阶多维全正性) 相依的但对于更一般的情形，p 2 和q 2 ，他们仅证 明了对于每个i = 1 ，n 一1 ，( d h ，d m 。) 是t p a ( 2 阶全正性) 相依的 有关相依概念的定义将在第二章中给出 本文的目的是研究在一般情况下，即p 2 和q 2 时，两样本指数随 机变量次序统计量间隔向量( d 。，d 。：。) 的m t p z 性质，见第三章；同 时研究两样本的参数分别为 和”时候，间隔在多维似然比序意义下的随 机比较，见第四章特别地，我们证明：当a 。s ”a 2 时， ( d 1 ：。( a 2 ，a + ) ，巩。( a 2 ，a + ) ) 茎i r ( d 1 ：。( a t ，a + ) ，d 。：。( a 1 ，a + ) )( 1 1 ) 成立，以及当n 曼a 曼越时 ( ，) 1 。遐) ， ，d 一( a ，e ) ) 兰h ( d 1 。( ， ：) ， ，玩：。n ) )( 12 ) 2 0 0 5 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第l 章引言 成立我们也给出了一个反例来说明( 11 ) 和( 1 2 ) 分别当r a ， 2 和 a 嫡 s ) 对任意 的t 关于s 单调递增i t 是关于s 随机递增的，记作s i ( t i s ) ，如果p r ( t t l s = s ) 对任意的 t 关于s 单调递增 定义2 1 4 设x = ( x 1 ，x 。) 为一个随机向量，我们称 x 关于序列条件递增( c i s ) ，如果对任意t 和任意= 1 ，n 一1 ， p r 【x k + 1 t l x , = z ”，x k = z 】 关于( x l ，z ) 单调递增； x 是正相协的( p a ) ，如果， eb ( x ) 9 z ( x ) 】e 扫- ( x ) 】- e 卯( x ) 】 对所有单调递增函数9 1 ，9 2 都成立，其中假定期望存在有限 t n 和m t p 2 分别是二维和多维随机变量正相依性概念中最强的，他 们蕴涵其他的相依概念 命题2 1 5 俾a r l o w 曰p r o s c h a n ，i 9 s 1 ) t p 2 ( 只t ) 辛s i ( t 旧辱：骤昌= 辛a ( 只t ) 昔p q 。( s 命韪2 1 6 ( k a r l i ndr i n o t t ，1 9 8 0 ) m t p 2 = j c i s = p a 设函数廿( z ，1 ) ：z y 一腑+ 是连续可导的，则曲的t p 2 性质等价于 此m 彘始兰帅劫争( 砒v ( 训) 从y 如果函数妒( x ) ：爿 舻一瓣+ 是m t p 2 的，则对任意1 茎i ，sn ， ( 。z ，；z “j ) 是关于( z 。) 是t p 2 的，即妒( x ) 是两两t p 2 的但驴( x ) 是 两两t p 2 性质是不能推出曲( x ) m t p 2 性质以下命题说明在一定条件下这 两者是等价的 2 0 0 5 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第6 页 第2 章基本概念和预备知识22 几个常用随机序的定义 命题2 1 7 佃l o c kdt m g ，1 9 8 1 ；k a r i i n8r i n o t t ，1 9 8 砂 如果随机向量 x 的支撑为格点得伊px 和y 都属于x 的支撑，则x v y 和x a y 也属于 x 的支撑j ，则x 为m t p 2 当且仅当它的概率密度函数f ( x ) 在n 一2 个变 量取定情况下关于任意一对变量是t p 2 的 2 2 几个常用随机序的定义 我们经常会遇到对两个随机变量进行比较的问题，最常见的是比较二者 的均值和方差但是在某些情况下，随机变量的均值和方差是不存在的，而 且这种仅建立在两个数字基础上的大小比较带给我们的信息实在太少在实 际应用中，我们常常拥有足够多的信息量而希望能对两个随机变量的大小程 度和变动程度进行更精细的比较，由此导致了一系列随机序的产生这里我 们先介绍几个一维随机序 定义2 2 1 阿s h a k e d 拶s h a n t h i k u m a 51 9 9 4 ，第一章j 设x ，y 为两个 随机变量，分别具有分布函数，g 如果芦( z ) 百( z ) ，忱霈，或者对任意递增的实函数都有e 【i j i ( x ) s e 【妒( y ) 1 ，则称x 在一般随机序的意义下小于y ，记为x ! 。y 如果百( z ) ( z ) 关于z 单调递增，则称x 在失效率序意义下小于， 记为x s h ，y 如果x 和y 的概率密度函数存在，分别记为f ( x ) 和9 ( z ) ，且9 扛) ，扛) 关于z z ：a ( z ) o ) 单调递增，则称x 在似然率序意义下小于y ， 记为x l 。y 上面定义中的三个一维随机序之间的关系如下： x l ，y x h f y ：= = x 曼吼y 下面给出本文主要内容所涉及的多维似然比序的定义令妒，妒2 为两 个定义于龙的非负函数，若满足 砂2 ( xv y ) 妒i ( x a y ) 砂l ( x ) w z ( y ) vx ，y 爿 ( 2 1 ) 2 0 0 5 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第7 页 第2 章基本概念和预备知识2 2 几个常用随机序的定义 则记 砂1s l ，咖 定义2 2 2 设妒1 和砂2 分别为n 维随机向量x 和y 的联台概率密度函 数若咖l l 。妒2 ，我们称x 在多维似然比序意义下小于y 记作 x l r y 在随机比较理论中，多维似然比序可以推出其他的一些重要的多维随机 序，例如通常的多维随机序s s t 随机向量x = ( x 1 ，蕊) 称为在一般随 机序意义下小于另一个随机向量y = ( k ，k ) ，若对任意的单调增函数 毋：验。一跄，e 庐( x ) ls e ( x ) 】，记为x 。t y ( 见s h a k e d s h a n t h i k u m a r ， 1 9 9 4 ) 随机向量之间的多维似然比序蕴涵了各向量对应分量之间的一维似然 比序 命题2 2 3 ( k a r l i n 日r i n o t t ，1 9 8 0 ) 设x = ( x 1 ，x 。) 和y = ( y l ， - 一，k ) 为两个n 维随机向量，则 x 1 ，y 爿x i - l ，ki = 1 ，一，n 以下引理给出了判别两个定义于zc 舻上的两个非负函数咖和如 满足妒。s k 咖的一个有效的方法 引理2 2 4 设砂l 和如为定义于zc 瓣”上的两个非负函数，满足对任意 x 爿及任意一对整数1 t ，z ；，9 ；+ l ，鲒) z ；j x k + 1 ，z n ) ，z ；，g h l ，罅) 。-。-。-。一 ，x k + l ，) ，玑，；+ l ， 妒i ( y l y k ，x k + l ，z n ) 瓠，城+ l ，蝣) ，y k ，。 + l ，z n ) ，鲰，g ；+ l ，蝣) ，y k ，z + 1 ，z n ) ，弧，g ；+ 1 ，蝣) ，弧，。k + 1 ，x ) ，弧，醵+ l ，蝣) 妒1 ( y l 妒2 ( z ：，轨 咖( z ：，妇 碥) 妒1 ( v 1 砂2 【z i ，y 2 妒2 ( z ：，掣2 y k ，x k + l 鲰，玉1 ， x n ) 咖( y 1 簖) 妒l ( y 1 ， 如( z ；，y 2 ，y k ，z + 1 1 x n ) 妒1 ( y l 其中第一个不等式由如的m t p 2 性质得到；对于第二个不等式，我们先固 定y 2 ，y 女，然后在砂l 和咖中对剩下的n k + 1 个变量应用条件假设即 得( 注意分母都是非零的) 其次，我们假设( 2 3 ) 对= 1 成立，则吵1 是m t p 2 的我们可以作如 下类似于上述的分解： 2 p 2 ( xv y ) 妒1 ( x ，y ) 曲2 ( x ) 妒1 ( y ) 曲2 ( z ：，茁i ，城+ ” o _ 一 忱【z ；z i ，z k + l ， 妒1 ( 9 l ，z ；，z ；，9 玉l 城) z 。) 竺! 塑! 兰! ：! ! i ! 里! ! 妒l ( 9 l ，z ；，z ：，h l g ：) 妒1 ( y 1 ，k ，z + 1 z 。) 鳐) x 。) 城) 2 0 0 5 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第9 页 第2 章基本概念和预奋知识 22 几个常用随机序的定义 这样我们就完成了引理的证明i 2 0 0 5 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第l o 页 第2 章基本概念和预备知识5 23 和和式 2 3 积和式 积和式( p e r m a n e n t ) 是证明本文主要绪论的重要工具，本节中我们首先 给出积和式的定义，然后介绍如何利用积和式表示独立非齐次随机变量次序 统计量的联合或边际概率密度函数 定义2 3 1 设a = ( o i ，) 是一个n n 型矩阵，则a 的积和式定义为 n p e r ( a ) = i i ， 口i = l 其中，是关于( i ，2 ，哟的所有置鹱矿= p ( 1 ) ，盯( n ) ) 求和 设d ”，d 。为俨上的向量，我们用【d 1 ，d 。j 表述n n 型矩阵 ( d ，氐) 的积和式积和式 1 8 ，$ ，l l7 】2j 表示其中有r 1 个d l ，q 个d 2 ，依次类推如果r i = 1 ，4 我们不再特意标出 n ；如果r 。= 0 ，则理解为d 。没有出现在这个积和式之中 i 匮置，x 。为独立的随机变量( 不一定非负) ，同时设 ，只和e 分别为置的概率密度函数、分布函数和生存函数，i = 1 ，列向量 ( ，1 ( z ) ， ( 。) ) 简记为f ( ) 。f 忙) 表示列向量( e ( z ) ，r ( z ) hf ( z ) 表示剜向量( 凡( z ) ，f 。( z ) ) 7 当随机变量的分布不全相同时，积和式可用来表示它们次序统计量的 联合概率密度函数有关这方面的详细论述，请参见b a p a t b 昭( 19 8 9 ) ， b a p a t k o c h a r ( 1 9 9 4 ，h u z h u w e i ( 2 0 0 1 ) 和h u z h u ( 2 0 0 3 ) 设11m n 2 ”msn ，我们可以很方便地用积和式来表示 ( 置， ，) f 。) 的联合概率密度函数： ( 墨。，x 。) 的联合概率密度函数： d + 。( s l ，s m ) = 。，m 融，印a 掣，郫。卜r c s 以剥? 江t ， 2 0 0 5 年5 月中国科学拉术大学硕士学位论文 第1 1 页 第2 章基本概念和预备知识 2 3 积和式 其中5 l ( s m ，且 耳。，。= c ”一，c n 一”。，t 亟c 吒一一。一，z 一1 c zs ， 特别，( x ，。，弱：。，：。) 的联合概率密度函数可以用积和式表示为 咖( s 1 ，8 2 ，品) = f ( s 1 ) ，f ( s 2 ) ，f ( s 。) ，s 1 s 2 s 。 3 1 引理 第3 章间隔的m t p 2 性质 设x - ，耳为p 个失效率为a 的指数随机变量，k + l ，为另外 q 个失效率为a + 的指数随机变量，= p + 9 ，且所有变量相互独立 令e m 代表元素都为1 的m 维列向量，且记 6 一”一a ， s 女= ， ( 3 1 ) e = 1 其中x = ( z 1 ，) 雌和= 1 ，m 由式( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，我们可以得 到( d z 。，d 2 ：d 。) 的联合概率密度函数为 眠“班 ( 。蒜耄) ，( ”) e - ) s 2 e p10 ) e - a s e p1 3 ， 其中x 霹通过对前p 行作l a p l a c e 展开，我们得到，对每一对固定的整 数1s i j n ，有 乳 ( 岛，；x 。， c s 棚 其中0 s 一f 茎p 此处是对满足如下条件的( k l ，也，b ) 求和 k l b l isb i + l - k 。 j 墨b - v + l - - b ) ( 3 5 ) 更进一步，从( 3 5 ) 得 这里 o h ，= e x p ( 一j d 甄一6 巧) o i ”n 翌o 乎) ，f u( 3 6 ) 。 1 ，：眈。“叁1 k 1 - ( p - - ( t t = l 。；2 ) ： 唧f 蓬。h 、) s 1 ( k l ( ，t = 1 ： 唧f a 壹。h 、) j 女l p i ，p 墨n j 十1 ，0 f 一j i 记z + = o12 ) 对任意( fv ) z i 使得( 1 v ) 掣“，我们约定a f 。= 0 为了证明本章的主要结论，我们需要如下的三个引理 2 0 0 5 年5 月 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 4 页 第3 章问隔的m t p 2 性质 3 l 引理 引理3 1 i 给定1s jsn ，设n 2 由( 3 8 ) 定义假设当i 0 时 o 2 ) = 0 则 n ”，f z ) 为一个p f 2 序列，即d 翌关于( f ，) z ；为t p 2 的，这里z = 0 ，士1 ，4 - 2 ，) 证明：不失一般性，我们假定6 = i 和i = 1 将e l 记作屿( j ) 我们通 过对j 兰2 作归纳来完成此引理的证明 首先易见，当j = 2 时， 2 ( f ) ，f z ) 是p f 2 的假设对某个j 2 ， ( f ) ，f z ) 是p f 2 的则 w j ( 0 2 ”j ( f + i ) 2 叱( f 一1 ) ，v f 0 ( 3 i 0 ) 因此 屿( f ) w j ( 1 1 ) w j ( + i ) t ( f 一2 ) ， v f 之i ，( 3 1 1 ) 这是因为对某个f l ，( t ) = 0 可以推出w j ( r + 1 ) = 0 为了证明 屿+ 1 ( 0 ，f z ) 为p f 2 ，就必须验证： 2 叱+ 1 ( 2 ) 】2 w 3 + 1 ( f + i ) w j + 1 ( 1 1 ) ，vl i ( 3 1 2 ) 如果式( 31 2 ) 右边是正的，那么，通过对( 3 8 ) 中的k t 取条件，( 3 1 2 ) 等 价于 h ( 2 ) + w a z 1 ) e 3 ， 2 h ( f + 1 ) + ( f ) e 。， u o ( f 1 ) + t q ( f 一2 ) e 。】， 或 ( f ) 】2 一屿( 2 + 1 ) w a z 一1 ) ) + e 2 5 “ ( f 一1 ) 3 2 一屿( f ) 屿( f 一2 ) ) + e “ 屿( f ) 屿( f 一1 ) 一毗( f + 1 ) 屿( f 一2 ) 兰0 ， 后者可从( 3i 0 ) 和( 3 1 1 ) 推出这样我“1 就完成了该引理的证明i 引理3 1 2 ( k a r 2 i n ，1 9 6 8 ，p ，j 刀设爿，丁和w 为全序空间如果，( 。，t ) 在乘积空间疋xt 上关于( z ，t ) 为t p 2 的，9 ( ，w ) 在乘积空问t w 上 关干( t ，w ) 为t p 2 的，则 ， ( z ，w ) = ，( z ，) 9 ( z ，w ) 西( t ) 2 0 0 5 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 5 页 第3 章间隔的m t p 2 性质3 1 引理 关于( z ，w ) 也为t p 2 的，这里o ( t ) 是一个口一有限测度 引理3 1 3 设 a i j ，( i ，j ) z ；) 为实值序列，满足当i j 时a i j = 0 ，当 i j 时a i j 0 定义 n c z ，= 壹t = 0e“(u-兰on ：，e ”9 ) ，v c z ，”，畔 ( 砌) = e “护) ，v ( 训) 畔 如果a i j 关于( i ，j ) z ；为t p 2 的，则 扛，y ) 关于( x ，y ) 哦为t p 2 的 证明：注意到 ( z ，y ) 可以改写成 h ( x 朋= 争( 西u = 0a 江埘 ，) = 产 钆e ) ( 3 1 3 ) f = o 因为e 。”关于( z ，y ) 蹰2 为t p 2 的，对表达式( 3 + 1 3 ) 两次应用引理3 1 2 就 可以得到 ( 置y ) 关于( z ，y ) 为t p 2 的_ 2 0 0 5 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 第3 章间隔的m t p 2 性质3 2 主要结果和证明 3 2 主要结果和证明 有了前面三个引理的准备的，我们下面就很容易证明两样本指数变量闻 隔向量( d 1 。d 2 ：，d 一) 的m t p 2 性质 定理3 2 1 设x l ，_ ) f 2 ，墨为独立的指数随机变量，其中前p 个墨的 失效率为 ，后面q = n p 个随机变量玛的失效率为”则 ( d l ：。，d 2 ：。，z k ：。) 为m t p 2 相依 证明：记g ( x ) 为( d ，。，d 2 ：，_ d 一) 的联合概率密度函数，则g ( x ) 有 格点支撑g 毪由命题2 1 7 知，我们只要证明对每一对整数1 i j n ， g ( x i ，x j ；x ( i j ) 关于( x i ，) 畔为t p 2 ，或等价证明 h ( x m = 莎l = 0 ( 厶v = 0 ”) ，v ) = 产( n ”) 关于( z ，”) 嚷为t p 2 ，这里。由( 3 6 ) 一( 39 ) 定义根据引理3 1 1 ，o ；兰 关于( f ，v ) z 辜为t p 2 ，因此，a l ，关于( f ，p ) z ；为t p 2 再利用引理 3l3 ，我们就可以证明h 关于( z ，y ) 为t p 2 的这样我们就完成了定理的证 明i 注记：对于p = n 一1 和q = 1 的情况，k h a l e d i k o c h a r ( 2 0 0 0 ) 证明了定理 32 1 对于更加一般的p 三2 和q 兰2 ，他们只证明了( 毋：。，皿+ 1 。) 是t p 2 的，其中i = 1 ，n 一1 他们的证明是基于k o c h a r & k o r w a r ( 1 9 9 6 ) 得出 的( d ：。，d z 。：d ) 和( 皿。，d m ：。) 的联合概率密度函数的解析表达， 所以略显冗长而在使用了积和式这一有效工具之后，我们的证明要比他们 的证明更加简单和直接同时，定理3 2 1 的结果比他们的结果更强 引理3 2 2 ( k h a l e d igk o c h a n2 0 0 叫设随机变量x ，y 的方差存在有限， 则 c o v ( x y y ) 0 哥w r ( x ) s v a r ( y ) 2 0 0 5 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第1 7 页 第3 章问隔的m t p 2 性质5 32 主要结果和证明 证明：不等式c o v ( x 一一y ) 0 可以推出c o v ( x ，y ) v a r ( x ) ，而后 者又可以推出 丽v a t ( x t ) p 2 ( x ，y ) 1 引理得证i 推论3 2 3 在定理，2 1 的条件下，有 v a t ( x 1 。) v a r ( x 2 ：。) - sv a r ( x 。) 证明：根据定理3 2 1 得( d 1 ：。，d 。：。) 是m t p 2 相依的由命题2 16 知( d l ：。，d 札：。) 是相协的于是对i = 1 ，n 一1 ，有 c 州也“，轴扣c ”( 蚤i - i ) 。 再利用引理3 2 2 即可证明本推论 第4 章间隔的随机比较 在本章中，我们主要考察两样本指数随机变量次序统计量间隔的多维似 然比序方面的一个结果 4 1 主要结果和证明 设x l ，j ，2 ，五。为独立的指数随机变量，其中前p 个置的失效率为 ， 后面q = n p 个随机变量玛的失效率为”以口l ：。( a ，a + ) ，巩。( a ，”) 记x ，x 。次序统计量的间隔下面我们对不同的a 和”研究间隔在似 然比序意义下的随机比较 定理4 1 1 设x l ，恐，+ ，如上所定义则 ( a ) 对任意nsa 弼， ( d i ：。( a ，a ；) ，d 。( a ， ；) ) l ，( d l ：。( ，a ：) ，d 。：。( a ， i ) ) ( b ) 对任意a 1 a sa 2 ， ( d i ：。( a 2 ，r ) ，口：。( a 2 ，r ) ) k ( d i 。( a t ，r ) ，d ( 1 ，”) ) ( 41 ) ( 4 2 ) 证明：我们这里只给出( b ) 部分的证明，( o ) 部分的证明是类似的( 实际上， 两个部分是等价的) 假定a 1 茎”茎a 2 ，且令乱= ”一a 。，一= 1 ，2 则 文0 ，如0 由引理2 24 和定理3 2 1 知，欲证明( 4 2 ) ，我们只要证明对 任意的一对整数( i ，j ) ，1 i jsn ，有 或 口 2 ， ( ”j ；x ( 。，j ) l 。q a l , a * ( ，：x ( j ) ， vx g 墨， ( 43 ) 砉e f 6 1 z2 ( 妻c z 。e ”6 1 z ，) ，_r_j、 vm 6 。 ， 神 e 8， 2 0 0 5 年5 月中国科学技术大学硕4 - 学位论文第1 9 1 1 1 第4 章间隔的随机比较4i 主要结果和证明 丢pe f 6 1 。z v “( 妄c z 。e ”6 1 z ，v n ) 静“( 扣晒恤) ( 44 ) 对x ，y = ( 驰，协；x ( 。1 ) 啦都成立，这里利用了概率密度肌一( x ) 表达式 ( 3 2 ) ， c f ，= a l ，( a 1 ，r ) 兰0 ，= a l 。( a 2 ，”) 0 ， 函数m 一( ，) 由( 3 4 ) 定义因为盈0 ，如0 且x ，y 雌，所以( 4 4 ) 是 显然成立的这样我们就完成了定理的证明_ 由定理4 1 1 的证明过程，我们得到如下推论， 推论4 12 设1 j n 则 ( a ) 当a ；a 兰 ；时， ( d ，。( a ， ；) ，d j 。( a ，a ；) ) i d f ：。( a ，a ；) ，v f i ，卅 墨t r 【( 毋：。( ，墨) ，b 。( a ， ：) ) l d f 。( a ，n ) ，v f i ，讣 ( b ) 当抽茎”a 2 时， f ( d ：n ( a z ，r ) ，功。( a 2 ，r ) ) id j 。( 九，a + ) ，v 2 2 ，j 氮 ( 皿：n ( a ，r ) ，d j 。( h ， ) ) id j 。( - ，”) ，z ，n 推论4 1 3 对任意1 兰i 茎n ， ( a ) 当砖sas 越时， d 。( a 苞) s l ，织。( a ，n ) ( b ) 当a 1 a + sa 2 时， n 。( a 2 + ) - l 。( 皿。( 1 ，a + ) 证明：由定理411 和命题2 23 立即可得i 2 0 0 5 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第2 0 页 第4 章问隔的随机比较42 一个反例 4 2 一个反例 下面我们通过一个例子来说明( 41 ) 和( 42 ) 分别当 i 越和 ” a 1 0 i ( 45 ) ( z ) 当z 0 时即不递增，也不递减 e o 妇+ e 一5 。 e 一0 k + e 一1 5 。 我们现在还是不知道( 4 1 ) 和( 4 2 ) 分别当k k a 和a l a 2 ” 时是否成立但是我们验证了当n = 2 ，3 时结论是正确的 例4 2 2 当a l 茎a 2 r 时，有 d k ：2 ( a 2 ，r ) 曼l r d k 2 ( 1 ，”) ， 膏= 1 ，2p + g = 2 d k ：3 ( a 2 ，r ) - l ，d k3 ( a l ，r ) ，女= 1 ，2 ，3 ；p 4 - g = 3 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 利用k o c h a r k o r w a r ( 1 9 9 6 ) 中有关d 。的概率密度表达式，对于三 个不同参数的指数随机变量x l ，x 2 ，玛，有 ，如。( z ) 嵩 等e m 2 椭k + 等e 哪m 出 1 + 2 + bla 2 a 3 。 1 沁。 + 等e _ 【 1 十 2 ) 2 卜地独 2 0 0 5 年5 月 中国科学技术大学硕士学位论文第2 1 页 第4 章间隔的随机比较 4 2 - - d a 静 刚z ，= 蒜 孝赫e - a 1 x 杂赫e - 2 z + 杀耥a 3 a 3e 砘。卜比独 。( a 1 +) ( 2 +) 。j = 。” 我们就可以直接验证( 4 6 ) 和( 4 7 ) 参考文献 【1 b a p a t ，r ba n db e g ，m i ( 1 9 8 9 ) o r d e rs t a t i s t i c sf o rn o n i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e dv a r i a b l e sa n dp e r m a n e n t s s a n k h y ds e t a5 1 ，7 8 9 3 2 b a p a t ，r b a n dk o c h a r ，s c ( 1 9 9 4 ) o nl i k e l i h o o d - r a t i oo r d e r i n go f o r d e rs t a t i s t i c s l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s1 9 9 ，2 8 1 2 9 1 3 】b a r l o w ，r e a n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 8 1 ) s t a t i s t i c a lt h e o r yo fr e l i a b i l i t y a n dl 咖t e s t i n g t ob e g i nw i t h ，s i l v e rs p r i n g ，m d 4 b l o c k ，h w a n dt i n g ，ml ( 1 9 8 1 ) s o m ec o n c e p t so fm u l t i v a r i a t ed e - p e n d e n c e c o m m u n i c a t i o n si ns t a t i s t i c s ，p 州a t 巩e o 叫a n dm e t h o d s 1 0 ，7 4 9 - 7 6 2 5 je s a r y ，j d a n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 7 2 ) r e l a t i o n sa m o n gs o m en o t i o n so f b i v a r i a t ed e p e n d e n c e a n n a l so fm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s4 3 ，6 5 1 6 5 5 6 】h u ，t a n dz h u ，z ( 2 0 0 3 ) s t o c h a s t i cc o m p a r i s o n so fo r d e rs t a t i s t i c s f r o mt w os a m p l e ss o u t h e a s ta s i a nb u l