（应用数学专业论文）时标上二阶非线性中立型动力方程解的振动性.pdf

摘要 随着科学技术的发展和方程的研究，人们发现微分方程的很多结果可以直接应用到 差分方程上去，但在某些结论上，微分方程与差分方程又有着本质的不同这时，人们将目 光放在了这样的问题上：能不能找到一个新生事物，使得在它上建立的方程能将微分方程 与差分方程统一起来呢? 在】9 8 8 年s t e f a nh i l g e r 提出时标的概念以后，时标上的动力方 程越来越受到人们的关注因为它将连续和离散两种情况统一起来，并且推广为更普遍的 情形最近时标上二阶中立型动力方程解的振动性问题受到普遍关注受到这方面研究工 作的启发，在这篇文章中，我们考虑时标，上的二阶非线性中立型动力方程 ( o ( ) ( z ( ) 一p z ( 夕( z ) ) ) ) + ，( t ，z ( 7 - ( ) ) ) = o( 1 1 ) 解的振动性我们总假设如下条件成立： ( 且) o ( z ) o ，伊赤s = 。，n ( z ) g d ( t ：r ) ； ( 凰) p r + ，7 - ( 亡) ，夕( t ) g d ( f ， ) ，夕( ) z ，7 - ( t ) t 且夕( t ) ，r ( t ) 是非减的，j i m 夕( t ) = j i m7 ( t ) = o o ； t + ( 凰) ，g d 口r ，r ) ，且掣口( t ) o ， o ) ，且g ( z ) 不恒为零； ( 凰) 夕2 ( t ) = 夕( 9 ( t ) ) ，9 仇( t ) = 9 ( 矿- 1 ( t ) ) ，夕- 1 是夕的反函数，且夕2 ( t ) = 夕_ 1 ( 夕1 ( 芒) ) ， 9 一m ( t ) = 9 1 ( 夕一m + 1 ( t ) ) 根据文章内容，本文分为以下几个部分： 第一部分是引言，主要介绍时标上动力方程的研究背景 第二部分是文章的主体，主要有以下部分组成： ( 1 ) 预备知识，主要介绍时标上的基本定义、函数运算法则 ( 2 ) 相关引理，通过对方程( 1 1 ) 作r i c c a t i 变换，得到了若干时标上融c c a t i 型不等式，即 非振动解所满足的必要条件 ( 3 ) 振动解的存在性定理 ( 4 ) 通过例子来验证结论的正确性 第三部分是结论 关键词：时标非线性动力方程中立型项振动性 i i i a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft e c h n 0 1 0 9 ya n ds t u d y i n go fe q u a t i o n s ，p e o p l e6 n dt h a tm a n yr e s u l t sc o n c e m i n gd i f i 色r e n t i a le q u a “o n sc a i t yo v e rq u i t ee a s i l yt oc o r r e s p o n d i n gr e s u l t sf 6 rd i f f i 劲- - e n c ee q u a t i o n s ，w h i l eo t h e rr e s u l t ss e e mt ob ec o m p l e t e l yd i f f e r e n ti nn a t u r ef 沁mt h e i rc o n t i n u o u sc o u n t e 印a r t s t h e na t t e n t i o ni sp a i dt ot h ep r o b l e m ：c a nw ef i n dan e wt h i n gt h a te q u a t i o n s b u i l to ni tu n i f yt h ed i f 艳r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f 伦r e n c ee q u a t i o n s ? a f 【e rs t e f a nh i l g e ri n t r o d u c e dt h et h e o r yo ft i m es c a l e si nl9 8 8 ，m o r ea n dm o r ei n t e r e s ti sp a i do nd y n a m i ce q u a t i o n s o nt i m es c a l e s b e c a u s ei th a m o n i z e st h ec o n t i n u o u sa n dt h ed i s c r e t e ，a l s oe x t e n d st on o n n a l c a s e r e c e n t l ym u c ha t t e n t i o ni sa t t r a c t e db yq u e s t i o n so fo s c i l l a t o r ys 0 1 u t i o n sf o rs e c o n do r d e r d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s ，s t i m u l a t e db yt h ew o r ki nt h i sa r e a i n t h i sp a p e r w ec o n s i d e ro s c i l l a t i o no fs o 】u t i o n sf o rt h es e c o n do r d e rn o n l i n e a rn e u t r a l d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s w r ea s s u m e t h a t ( 凰) ( o ( t ) ( z ( 亡) 一p z ( 夕( t ) ) ) ) + 厂( t ，z ( 7 ( t ) ) ) = o( 1 1 ) n ( t ) o ，r 南s = 。，o ( t ) c r r d ( ：r ) ； p r + ，7 - ( ) ，夕( t ) g d ( ， ) ，夕( t ) t ，7 - ( t ) ta n d9 ( t ) ，丁( t ) a r en o n d e c r e a s i n g ，j i m9 ( t ) = j i m7 ( t ) = ； t _ o oz d 。 ( 风) ，g d 口r ，r ) ，a n d 掣g ( 亡) o ， o ) ，a n dg ( t ) i sn o ta l w a y se q u a lt oz e r o ； ( 日4 )9 2 ( ) = 夕( 9 ( t ) ) ，9 m ( t ) = 夕( 夕m 一1 ( t ) ) ，9 1i si n v e r s ef u n c t i o no f 夕，a n d 夕一2 ( t ) = 夕- 1 ( 夕_ 1 ( t ) ) ，夕一( t ) = 夕1 ( 夕一“( t ) ) a c c o r d i n gt ot h ec o n t e n t s ，w ed i v i d et h i sp a p e ri n t os e v e r a lp a r t sa sf o l l o w s ： p a r to n ei st h ep e r f a c e ，t h eb a c k g r o u n do fd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e si sm a i n l yi n t r d - d u c e d p a nt w oi st h eb o d yo ft h ep a s s a g e ，c o n t a i n st h ef 0 1 1 0 w i n gp a r t s ： ( 1 ) w ei n t r o d u c eas u n ，e yt ot h eb a s i cn o t i o n so nt i m es c a i e s ( 2 ) r e l a t e d1 e m m a s ，b yr i c c a t is u b s t i t u t i o no ne q u a t i o n ( 1 1 ) ，w eg e ts e v e r a l 础c c a t ii n e q u a t i o n s o nt i m es c a l e st h a tn o n o s c i l l a t o r ys 0 1 u t i o n sm u s ts a t i s f y ( 3 ) t h et h e o r yo fe x i s t e n c eo fo s c i l l a t o r ys 0 1 u t i o n s ( 4 ) v e r i f yt h ev a l i d i t yo ft h ec o n c l u s i o nb ye x a m p l e s p a 九t h r e ei st h ec o n c l u s i o n i v k e yw o r d s ：t i m es c a l e sn o n l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n n e u t r a 】t e 彻o s c i l l a t i o n v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文时标上二阶非线性中立型动力方程解的振动性，是在 导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：泌好侈 侈矿彩年岁月伊日 特撕确兰c ：姗融 似矽年j 月钞日 。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：蜘 纱嘭年月伽日 指导教师( 签名) ： 伊多年t 月钞日 1 1 引言 随着微分方程和差分方程的研究逐渐深入，人们发现微分方程的很多结果可以直接 应用到差分方程上去但在某些结论上，微分方程与差分方程又有着本质的不同。这时，人 们将目光放在了这样的问题上：能不能找到一个新生事物，使得在它上建立的方程能将微 分方程与差分方程统一起来呢? 1 9 8 8 年，s t e f a nh i l g e r 在他的博士论文中首次提出时标的 概念：时标是实数集的任意非空闭子集，记为参看文献 1 0 自此，时标上的动力方程 越来越受到人们的关注它不仅将传统的微分方程与差分方程包含其中，避免了一次在微 分方程中，一次在差分方程中两次重复证明，而且建立了时标上的更普遍的理论可见统 一与推广是时标的两大特性，它不仅将连续与离散的的情形统一起来，而且将它们推广为 更普遍的理论 实际生活中有许多时标的例子例如，一年生植物的繁殖模型，假设该植物的数量在某 一季节是连续的，而在冬季会全部死亡，但他们的种子又会在新的季节生根发芽，成为不交 叉的种群数量 s t e f a nh i l g e r 建立了时标上导数、微分和积分的概念，并给出了一些基本的运算法 则人们在此基础上对时标上的方程各个方面进行了详细的阐述，参看文献 4 ，6 ，7 】本 文所用的关于时标的导数和积分的运算及一些记号均来自于b o h n e r 和p e t e r s o n 所著的 d y n 锄i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s 一书，参看文献 4 最近对时标动力方程的振动性有 很多研究，对于一阶、二阶的动力方程已经得到了许多结果，参看文献 8 ，9 本文基于差 分方程振动解的存在性研究，参看文献 1 ，2 ，3 】，考虑时标t 上的二阶非线性中立型动力 方程 ( o ( t ) ( z ( t ) 一p z ( 夕( t ) ) ) ) + 厂( t ，z ( 丁( t ) ) ) = o( 1 1 ) 解的振动性 我们总假设如下条件成立： ( 日1 ) o ( t ) o ，r 赤s = ，o ( t ) g d ( t ，瓞) ； ( 日2 ) p r + ，下( t ) ，9 ( t ) g d ( ， ，t ) ，夕( t ) t ，丁( t ) t 且夕( t ) ，丁( t ) 是非减的，恕夕( t ) = j i m7 - ( t ) = ； + o 。 ( 日3 ) 厂g d ( ，r r ) ，且掣口( t ) o ：( z o ) ，且g ( t ) 不恒为零； ( 日4 ) 夕2 ( t ) = 9 ( 夕( f ) ) ：夕m ( t ) = 夕( 9 竹1 - 1 ( t ) ) ，夕1 是夕的反函数，且夕一2 ( t ) = 9 1 ( 夕一1 ( t ) ) ， 夕一m ( t ) = 夕- 1 ( 夕一m “( t ) ) 本文的主要目的是通过对方程( 1 1 ) 做r i c c a t i 变换来得到方程振动的一系列充分条 件 在此之前，我们规定如果一个实值函数z ( ) 满足方程，就称z ( t ) 为方程的一个解如 果一个非平凡解z ( t ) 既不最终为正也不最终为负，则称z ( t ) 为振动的如果方程的所有 解为振动的则称这个方程为振动的这里我们把方程的解限制在【z ，) t 上且满足对任意 t o 乞，s u p l z ( t ) i ：亡 亡o ) o 2 9 1 预备知识 在本节我们给出时标的定义和时标上的一些基本概念及运算法则 时标t 为实数集的任意非空闭子集，例如r z ：n ，即实数集，整数集，自然数集等都是 时标 定义1 1 设为时标，对t ，定义前跳算子仃：t _ ，仃( t ) ：= i n f s t ：s t ，后移 算子p ：_ ，p ( t ) ：= s u p s i ：s t ，则称f 是右疏的，而如果p ( t ) o ，jt 的 一个邻域u ( 即u = ( t 一6 ，t + 6 ) n ，其中占 o ) 使得对所有s u ，有i ，( 盯( t ) ) 一 厂( s ) 一，( t ) p ( t ) 一s l e l 口( t ) 一s i ，则称- 厂( ) 为厂在t 点的导数，我们说如果对所 有芒俨，厂( ) 存在则称，在畔上是可导的( 简称可导) 引理1 5 设，：j i r ，f 铲，有下列结论成立j ( 1 ) 如果厂在t 点可导，则，在t 点连续 ( 2 ) 如果，在t 点连续，且z 是右疏的，则，在点可导且 归掣 ( 3 ) 如果t 是右稠的，则，在点可导当且仅当 l i m 型二地2 s + t 一s 存在且为有限值这时 厂( ) = l i m 型二型 。、7 8 _ + t t s ( 4 ) 如果，在亡点可导，则，( 盯( ) ) = 厂( t ) + p ( t ) ，( 亡) 引理1 6 如果，夕：- 醍在亡俨上可导，则 ( 1 ) ( ，+ 9 ) ( 亡) = ，( 亡) + 9 ( 亡) ( 2 ) ( q ，) ( t ) = q 厂( t ) ，q 乏 ，9 ) ( t ) = 挣) = 挣) = ，o ) 9 ( t ) + 厂( 盯( t ) ) 夕 ，( t ) 夕( t ) 一厂( 亡) 9 ( t ) 9 ( t ) 夕( 盯( t ) ) 夕盯( t ) 厂( ) 一，盯( z ) 夕( z 夕( t ) 夕( 盯( t ) ) 0 ) = ，( t ) 夕 ) + ，0 ) 9 ( 口 ) ) 其中夕( t ) 夕( 仃( 亡) ) o ! ，其中夕( 亡) 夕( 盯( t ) ) o 定义1 7 若连续函数厂：t 斗r 在d ( 可微区域) 上是准可微的，是指如果dc 俨，t 七d 是可数集且没有的右疏点，同时，在每一个d 上可徽 定义1 8 我们称一个函数p ： - r 是回归的，只需满足对于任意的t 俨，有 1 + p ( t 切( t ) 0 在本文中，所有面归和右稠连续的函数，：斗r 组成的集合记作 冗= 冗( - ) = 冗( ，r ) 我们将冗中所有的正回归元素定义为冗+ ： 冗+ = 冗+ ( ，r ) = p 冗：1 + p ( t 切( ) o ，t r ) 定义1 9 设f ：_ r ，厂：一风如果对所有俨，有f ( t ) = ，( t ) ，则称f 是，的一 个原函数 定义1 1 0 设，( t ) 的原函数为f ( 亡) ，口，6 ，定义国比c 砂积分如下： 6m 皿叫6 ) _ 附 如果s u p - l = ，。，6 j ，且恕r 厂( 亡) t 存在定义广义积分如下： z ，( 亡) t2 恕z ，( t ) 六 ，- d 4 引理1 1 1 令o ，6 面并且，c ，d f i ) 如果t = 九z = h 惫：七z ) ，其中矗 o ，贝0 惭，如果k ，6 由孤立点组成则 6，ct，t=蔓：二：三。， o 6 引理1 1 2 设a 畔，6 - ，：l 卫俨一r 在( ，z ) 点连绕其中t 畔，z 口，且 厂( 艺，) 在陋，( ) k 上是r d 连续的如果对比 o ，存在t 的一个与7 - ( 丁 o ，盯( t ) t ) 无 关的邻域u ，使得对所有s u ，有 ，( 口( t ) ，7 - ) 一，( s ，丁) 一厂( 亡，7 _ ) ( 盯( t ) 一s ) i e i 仃( 亡) 一s 其中，表示，对第一个变量求导则 例若北) ：= z 邢，帕丁，灿钾) = “甜若h ( t ) t ，( t ，7 - ) 7 - + | 厂( 口( t ) ，t ) j 仲，帕丁，则垆( 归，( 印) 丁一他( 巩n 产d 定义1 1 3 如果p 死，则我们定义指数函数如下： 唧( z ，s ) =e z p ( 。p ( 下) ( p ( 丁) ) 丁) s ，j 其中矗( z ) = 丢l 叼( 1 + z 九) ， o 指数函数有下列重要的运算性质佃，q 冗j ： f ) e o ( ，s ) 三1 及( t ，t ) 三1 j i ue p ( 盯( t ) ，s ) = ( 1 + p ( t ) p ( ) ) e p ( ，s ) j 叫赤= e p ( t ，s ) i f v je p ( t ，s ) = 去= e 9 p ( s ，t ) ? v je p ( t ，s ) e p ( s ，r ) = e p ( t ：r ) i v i je p ( z ，s ) e g ( t ：s ) = e p 。q ( z ，s ) i 5 玎玎玎 ” 厂 6 一 器难 睫。屯 z ，fj玎玎0 。 厂，m v f 砂搿= 勺e 口( t ，s ) i v 所j ( 赤) = 一躺 假设y = p ( ) 可是回归的，且固定o 则印( ，) 是初始值问题 可= p ( t ) 可，可( o ) = 1 在俨上的一个解 注：若p 死则当t s 时，有e p ( t ，s ) 1 6 5 2 1 相关引理 2 时标上二阶动力方程解的振动性问题 为了得到我们的主要结果，首先需要建立一些相关引理 引理2 1 1 假设z ( t ) 是方程( 1 1 ) 的一个最终正解且不满足z ( ) 妒( 夕( t ) ) ，设 2 ( t ) = z ( t ) 一p z ( 夕( t ) )( 2 1 1 ) 贝0 ( n ( t ) z ( 亡) ) o ，z ( t ) 0 ，z ( t ) o 证明：由( 1 1 ) 和( 2 1 1 ) 我们得到 ( n ( ) z ( t ) ) + ，( t ，z ( 丁( t ) ) ) = o 由( 且3 ) 得到 ( 口( t ) z ( t ) ) 0 所以我们知道户( t ) 最终是定号的，即户( t ) 0 或z ( t ) 0 我们断定最终z ( t ) o 若否，由( 1 1 ) 我们知道存在t o 和f 0 使得当t o 时，有 n ( 芒) 严( t ) o 引理得证 口 引理2 1 2 若引理2 1 1 的假设成立，则对于任意非负整数m ，都存在一数t 1 o ，使 得尉c c a t i 型不等式( 2 1 2 ) 有正解 让( z ) + q ( t ) + 兰l 皇三笔攀。，t t ， ( 2 1 2 ) 其中q ( z ) = g ( t ) 矿 证明：由已知将( 2 1 1 ) 代入( 1 1 ) 中得 ( o ( t ) z ( f ) ) + g ( z ) z ( 丁( t ) ) o 7 依次类推，可得 ( o ( t ) z ( t ) ) + 口( 艺) z ( 7 - ( t ) ) + 册( t ) z ( 夕( 丁( 亡) ) ) o ( n ( ) z ( t ) ) + g ( t ) 乏二矿z ( 夕( 丁( t ) ) ) + 矿+ 1 口( t ) z ( 夕m + 1 ( 丁( t ) ) ) o i = o 当t 足够大时，有 ( o ( t ) z ( t ) ) + 口( t ) 矿z ( 矿( 7 ( 亡) ) ) o 定义 邮，= 端 显然有u ( t ) 0 且 一归型剑鼍篇错群甜型 一 ( o ( 亡) z ( 亡) ) ( o ( ) z ( t ) ) 盯z ( 9 m ( 丁( ) ) ) ( 9 m ( 7 _ ( ) ) ) z ( 夕m ( 丁( 亡) ) )z 盯( 9 仇( 7 ( t ) ) )z ( 9 m ( 7 ( t ) ) ) 细争叫邢m 翳鞴i = 0 一、o、。，7 so 所以让( z ) 是非增的则 以州t ，姜矿+ 驾黼铲外 引理得证口 引理2 1 3 若引理2 1 2 的假设成立则存在一数亡2 亡1 使得下面的不等式( 2 1 3 ) 有 正解： 乱( t ) 昂( 亡) + 兰兰三簧鞯s ，亡亡2 ( 2 1 3 ) 并且 晶( t ) = q ( s ) s o 或 户( 亡) o 若否，我们假设户( ) 0 使得当 亡+ 时，有 o ( 芒) 户( t ) 一j 两边同时由扩到t 积分，得 础h ) o 引理得证 口 注意如果。( 芝) 是方程( 1 1 ) 的一个最终负解，对于引理2 1 2 2 1 6 我们有相同的结 论所以为了使证明更简单，在下面的证明中我们只给出了最终正解的相关结论 1 2 5 2 2 振动解的存在性 这一节，我们给出方程( 1 1 ) 的振动解的存在性定理，这里我们总假设s u p = o 。，即 考虑t t o ：。) 丌，t o t 定理2 2 1 如果对于方程( 1 1 ) 有如下条件成立 ， 口( s ) s = 。 ( 2 2 1 ) ，f 则方程( 1 ，1 ) 的每一个解或振动或最终满足i z ( t ) i p l z ( 9 ( t ) ) 1 证明：设z ( t ) 是方程( 1 1 ) 的一个最终正解且不满足f z ( t ) l p i z ( 夕( 亡) ) 1 由引理2 1 3 可知 酬s ) s 。 与( 2 2 1 ) 矛盾所以方程( 1 1 ) 的每一个解或振动或最终满足i z ( t ) i p l z ( 9 ( t ) ) 1 ， 定理得证 口 定理2 2 2 假设存在一个非负整数仇，使得 r ( 。) 2j ( 删s o 由引理2 1 4 ，我们知道 厂。塑梨掣r ，( 叫) s o 由引理2 1 5 的证明，可得 鼬脚，( 1 + r 丽稀鬻糕糯s ) 。 对不等式两边积分，其中t t l ，可得 r 最“让，孔r 婶。，( ，+ r 鬲可若警鸯岩害裔s ) u 取七= 七o ，则有 “让，u r 泖。，( 1 + r 鬲可若等墨筹篡箝痧让 与( 2 2 5 ) 矛盾所以方程( 1 1 ) 的每一个解或振动或最终满足i z ( t ) lsp z ( 9 ( t ) ) | 定理得证n 定理2 2 6 假设0 p 1 且条件( 2 2 1 ) 一( 2 2 5 ) 中至少有一个成立，并且存在非负整数 后，使得夕一七( 7 - ( t ) ) 盯( t ) ，又有( 2 2 6 ) 成立 - i 黑p 厶高。咖灿幻掣 亿2 q 则方程( 1 1 ) 的每一个解都是振动的 证明：假设相反，我们设z ( t ) 是方程( 1 1 ) 的一个最终正解，由( 2 2 1 ) 一( 2 2 5 ) 中的一个可 知f z ( 艺) f p f z ( 夕( ) 汁又o p 1 ，则z ( ) 是有界的最终正解，且满足i z ( ) isp z ( 夕( t ) ) f 由引理2 1 6 可知z ( t ) 0 由( 1 1 ) ，( 2 1 1 ) 可得 咖+ 警比弋丁沪警础- 1 ( 丁) ) 0 定理其余部分的证明与定理2 2 6 的证明类 似口 1 7 z j 修于 例1 考虑时标l ：磁： 何：扎姚) 上的方程 ( 邢) 1 z ( 厕) ) 跳+ 赤z ( 厢) = o ( 2 3 1 ) 其中 。t ，。( 亡) = 1 ，p5 2 ，g ( 。) = 丽希，7 ( 。) = t 2 一l ， 、艺十上 郎) = 厕川归而( 厕= 锶 容易验证 础，= 如，争址，击姜2 = 率 令m = o ，则马( 2 ) = o o 而 墨塑三譬婆g 掣e ：野。，。圳。，。枷，( s ，) s 上i 丽丽矿e 型铬铲i s j s ，i o o = ! 焉( 痧可) ( 7 - ( s ) ) e 2 p 0 ( 厕舯) ) ( s ，t ) s = 厂南舞e 印8 燮型号辫螋舭s = 南锶e 印磊，吲帮心 = ，0 0 南篇妒黔+ 2 啄争， = 。磊，等妒黔+ 2 窨细 由定理2 2 2 ，( 2 3 1 ) 的每一个解是振动或是满足i z ( t ) i p i z ( 夕( t ) ) 1 例2 考虑时标= 忍z = 七：忌z ，o 上的方程 其中 1 8 ( ( 邢) 一如( t 一2 硼) + 去雄一4 九) = o ( 2 3 2 ) p = 九2 ，夕( t ) = 亡一2 危，7 i ( ) = t 一4 九， 令天= 1 有 ，、 1 n ( s ) 2 一 s ，、 1 删2 万 i 篇以巾，高! 咖m s = n 罂p e 。 s 。三蚍s 划絮心篓扣 = n 罂p 厶净壶+ + 南汹 = l i ms u p t 斗 砉一1 i = 半 妣挣南卜+ 南， - i 黑p 等( 2 +t + 二 t 一2 一九 薹奶肚辔21 一口1 可见满足条件2 2 6 ，可得方程( 2 3 2 ) 的每一个解都是振动的 1 9 结论 本文讨论了二阶非线性中立型动力方程 ( n ) ( z ( t ) 一p z ( 夕( t ) ) ) ) + ，( t ，z ( 7 - ( t ) ) ) = o( 1 1 ) 的振动解的存在性问题，主要是通过构造r i c 加变换和时标上的导数运算公式得到一系 列励c c o 疵不等式，即方程非振动解的必要条件，进而得到方程振动解的充分条件文中又 对0 p 1 三种情况进行了讨论，但对p 0 的情况还有待解决 因为对时标的动力系统的研究还处于开始阶段，许多问题还需继续研究，比如当阶数 为分数次的时候方程的性质还没有形成完整的理论 参考文献 【】 z g z h a n ga n dx 。j ，l v ，o s c i l l a t i o n c r i t e r j ao fs e c o n do r d e rn e u t r a 】 d i f f e r e n c ee a u a t i o n s c o m p u t i n gv 6 1 13 ( 2 0 0 3 ) ，n o 】一2 ，p p 12 5 13 8 1 s z c h e na n dl i e r b e ，o s c i l l a t i o nr e s u l t sf o rs e c o n d o r d e rs c a l a ra n dm a t r i xd i f f e r e n c e e q u a t i o n ，c o m p u t e r sm a t h a p p l i c 2 8 ( 1 3j ，5 5 6 9 ，( 19 9 4 ) 3 】p j y w 6 n ga n dr p a g a n v a l ，o s c i l l a t i o nt h e o r e m sa n de x i s t e n c eo fp o s i t i v em o n o p n 曼s 9 1 u 互9 n s 虫s e c o n d o r d e rn o n l i n e a u rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，m a t h c o 而p u t m o d e l l i n g 2 1 ( 3 ) ，6 3 8 4 ，( 1 9 9 5 ) 4 口 【4 】m b o h n e r ，a p e t e r s o n ，d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s a ni n 仃o d u t i o nw i t h a p p l i c a t j o n s ，b ir 】幽苞u s e rb o s t o n ，m a 。2 0 0 1 【5 】z s z a f h n s k i a n db s z m a n d a ，o s c i l l a t i o nc 五t e af 研s o m en o n l i n e a r d i f 弛r e n c e e q u a t i o n s ，a p p l m a t h c o m p u t 8 3 ，4 3 5 2 ，( 19 9 7 ) z g z h a n ga n dq l l i ，o s c j l l a t i o nt h e o r e m sf o rs e c o n d o r d e ra d v a n c e df u n c t i o n a ld i f ! f e r e n c ee q u a t i o n s ，c o m p u t e rm a t h a p p l i c 3 6 ( 6 ) ，】一】8 ，( j9 9 8 ) 7 】z z h a n ga n dj l z h a n g ，o s c i i i a t i o nc t e af o rs e c o n d o r d e rf u n c t i o na 】d i = 琵r e n c ee q u a t i o n sw i t h ”s u m m a t i o ns m a l l ”c o e 衔c i e n t ，c o m p u t e r sm a t h a p p l i c 3 8 ( 1 ) ，2 5 31 ，( 19 9 9 ) ： 【8 z g z h a n ga n dy h y u ，0 s c i l l a t i o no fs