（信号与信息处理专业论文）基于双正交小波包的图像压缩研究.pdf

摘要 基于双正交小波包的图像压缩研究 作者简介：程文波，男，1 9 7 9 年0 3 月出生，2 0 0 5 年0 9 月师从于成都理工大学 信息工程学院李灿平副教授，于2 0 0 8 年0 6 月获硕士学位。 摘要 小波变换不仅可以去除图像数据中的相关性，而且提供了利用人眼视觉特性 的良好机制，因此基于小波变换的图像压缩技术己成为当前的研究热点。论文详 细研究了基于双正交小波包的静态图像压缩方法及其改进。 论文首先通过对小波分析理论的梳理，引出双正交小波包的分解和重构算 法，其中包括对小波变换及其重要性质，多分辨率分析方法，二维m a l l a t 快速分 解与重构算法，小波包算法等的详细介绍。 接着，对小波静态图像压缩中的几个关键环节进行探讨，其中包括图像质量 的评价标准，滤波器的选择，分解级数的确定，小波包图像压缩系统，以及边界 问题等。同时提出采用改进的双局部阈值方法进行图像压缩，即幅值局部阈值和 空间局部阈值方法，并给出了具体的实旌方案。 最后进行了大量的仿真实验，首先确定图像压缩中所使用的小波基，基于图 压缩的最优小波基选择很复杂，从平滑性、滤波器长度等设计标准选择来看，一 般选择具有线性相位的双正交小波基；然后是确定最佳分解的级数，一般选择小 波分解、重构级数为3 或4 级；最后是利用选取的小波基和确定的分解层数，结合 提出的改进阈值方法，进行标准测试图像1 e n a 和实际指纹图像的压缩仿真和对比 性分析。实验数据统计结果表明，使用该方法进行图像压缩，不仅可以获得较高 的p s n r ( 峰值信噪比) ，还可以得到较理想的压缩比。 实验过程中发现，在压缩比相同的情况下，新的压缩方法在时间消耗和重构 图像质量方面均优于经典方法。压缩比提高了2 倍左右，而其重构图像的人眼视 觉质量与传统方法相当。另外，该压缩方法运算过程中所需存储量小和算法简单 的特点，适宜硬件实现，而且便于并行处理，如果用数字信号处理器( d s p ) 实现 压缩算法，可进一步提高压缩速度，实现用于图像数据在高保真情况下的实时压 缩。 关键词：双正交小波小波包双局部阈值方法图像压缩 成都理工大学硕士学位论文 r e s e a r c ho f i m a g ec o m p r e s s i o nb a s e do n b i o r t h 0 9 0 n a lw a v e l e 专p a e k e t i n t r o d u 嘶o no fa u t h o r ：c h e n gw e n b o ，m a l e ，b o mi n0 9o f l 9 7 9 ，w a s 鲫眦e d t 魏em a s t e rf 沁掇c 魏e 珏g 一现珏越v e 您i t yo fl e e h o l o g yw 弱s et 落暖w a s 鑫s s i s 耄a 戤 p r o f e s s o rl ic a n p i n g a b s t r a c t t h ew a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nc a np v i d eag o o dm e c h a n i s mt oe x p l o r eh u m a n v i s u 越s y 或e 搬，w h i l e 至tr e 撤o v e sl h ed a 圭ae o f f e l a t i o ni ni 礅a g e 。s ol l 地i 礁鑫g e c o m p r e s s i o nb a s e do nw a v e l c tt r a n s f o r m a t i o nh a sb e c a m er e s e a r c h i n g - h o t s p o ti n r e e e n ty e a r s 王nt 董l i sd i s s e f t a 专i o n ，i m 鲳譬m p r e s s i o nm e t h o da n di m p r o v e dm e t h o d b a s e do nb i - o f t h o g o n a lwa _ v e l e tp a c k e tw a sd i s c i u s s e di nd e t a i l 。 f i r s t i y ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e dt h e o 呵o ft h ew a v e l e ta n a l y s i si nd e t a i l ，f e t c h e d 鑫l g o r i o fd e e o l 珏p o s ea n dc o f 坤o s eo fb i o l 懂o g o 薤a lw a v e l 戎p a c k e s ，i n e l u d i n 鏊 t r a n s f o r mo fw a v e l e ta n di m p o r t a n tq u a l i t y ，m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i & t w o d i m e n s i o n m a l l a tf a s ta i g o f i t h mo fd e c o m p o s ea n d c o m p o s e ，a l g o r i t h mo ft h ew a v e l e tp a c k e t s 弧羚毽s o m e 娃违i e a lp a 式i 姐l 瑟sw 鑫s 糟s e a f 馥b a s e do 巍l h ew 鑫v e l e t 建教i ei 燃鑫g e c o m p r e s s i o 玛i n c l u d i n gg r a d eo fq u a l i t yo fi m a g e ，c h o i c eo ff i l t e r ，t h ec o n f i r m a t i o no f d e c o m p o s i t i o ns a g e s ，s y s t e mo ft h ew a v e i e tp a c k e t si m a g ec o m p r e s s i o n ，q u e s t i o no f b o t l n d 越xe t e a sw e l l ，an e wm e t h o di sp r e s e n t e db 鑫s e do ni m p f o v e dt w o 1 0 c a l t h r e s h o l da l g o r i t h m t h ew a v e i e tc o e m c i e n t s m a g n i t u d ea n ds p a t i a lr 9 9 u l a r i t y ，a n d g i v e s 魏ee o 魏e r e t es e h e 礅e f i n a l l y e x p e r i m e n t si n c l u d e dt h es e l e c t i o no fb e s tb i o r t l l o g o n a lw a v e l e tb a s i s ，t h e c o n f i r m a t i o no fd e c o m p o s i t i o ns t a g e s ，i m a g e c o i n p r e s s i o na n da n a l y s i sb a s e do n i 戮p f o v e dt k e 豳o l 纛掇e 耄魏o d 。s l a 基鹱i e ss h o w s 壤ei 黻p f o v e 莲爨e 耄h o d 蘸o lo 曩kc a 嚣 o b t a i nt h eb e s tp s n rb u tc a no b t a i nh 碴hr a t i o 。c o m p r e s s i o n t h r o u 曲e x t e n s i v ee x p e r i m e n t s ，t h cr e s u l t ss h o wt h a tt h en e wc o m p r e s s i o n m e 鼍h o di sm o 犯e f 掩c t i v e 也a nt h eo l h e f s ，疑i 擞p v e st h e 瓣p f e s s i o 珏斌i ob y2t i 耀e s ， t h eh u m a n sv i s u a le 日e c t so f t h er e c o n s t r u c t e di m a g ea r ec l o s et og e n e r a la l g o r i t h m s i n 稚d i 耄i o 毽l 鼍l en e wc o m p r e s s i o nm e t h o di ss i m p l e ，a n d 壤em e m o r yr e q u i r e m e 嫩i n t h eo p e f a t i o np r o c e s si sl o w e ta n di ti s 最t f o fp a r a l l e lo p t i m i z i n gp f o g f e s s ，t h e c o m p r e s s i o ns p e e dc a nb ea d v a n c e db yu s i n gd s 只a n d “a l s oc a nb ei m p l e m e n t i 掇连g e 特蠢l i 黻ec o 黻p f e s s i o nw i t 蠢l 至耄t l ei n 稻隧a 专i o nl o s e s k e yw o r d s ：b i o r t h o g o n a lw a e l e t w a v e l e tp a c k e t st w 0 - l o c a lt h r e s h o l dm e t h o d l 搬a g ec o m p s s l o 热， 殛 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得越壑堡王叁堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 似怛 善年r 月彤尽 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡王太堂有关保蜜、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛壑翌工盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学健论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：彳彩互以敦 学位论文作者导师签名：李豫以零 枷3 年，月以臣 第1 章引言 1 1 选题的意义和背景 第1 章引言 随着科学技术特别是计算机技术的发展以及互联网的普及，许多应用领域都 存在海量数据存储、处理和传输的问题。 如一幅未经压缩的6 4 0 书4 8 0 像素的2 4 位彩色静态图像要求大约7 3 孤纳t 的 存储容量，每秒传输3 0 幅这样未压缩的全运动视频图像，1 0 秒内要求的存储容 量达到2 2 1 g b t ，带宽为2 2 1 m b t s e c 。在这种情况下，即便有足够的存储空间可 用，由于数据的传输速度和网络带宽的限制，实时地传输大量的图像和视频节目 也是不可能的。 在航天遥感领域，随着航天遥感技术的迅速发展，遥感数据量日益庞大。如 s s t ( s p a c es o l a rt e l e s c o p e ，空间太阳望远镜科学卫星) 和数百个能谱、频谱接收 通道，每天获取的数据量为1 7 3 0 g b ，经数据处理后的数据约为5 0g b 。当卫星 过境时，每天可传输的数据量仅为1 0 g b ，所以图像数据必须进行5 倍以上的压 缩，才能满足整个数据下传到地面的要求，以求在地面得到更多的信息。因此 s s t 获取的数据量和信道传输能力之间的矛盾相当突出。如果卫星的地面分辨 率优于l m 时，图像数据量还将巨增，并由此带来了数据存储和传输的问题。 因此，在现有的技术条件下，为了达到数据的快速或实时处理、传输与存储， 提高通信能力，唯一的解决办法就是对多媒体数据进行有效的压缩处理。图像压 缩研究的目的就是寻求高压缩比的方法，并且要求图像在压缩、传输、恢复过程 失真较小等等。随着信息技术的发展，图像压缩研究和应用已经成为通信技术、 介质存贮技术、多媒体计算机技术等的关键环节，也是信息技术中最为活跃的领 域之一。 小波之所以在信号处理领域具有很大的优势，在于小波变换可以获得信号的 多分辨率描述，和具有丰富的小波基以适应具有不同特征的信号，已经成为分析 研究非平稳信号的有力工具。小波分析方法用于信号与图像压缩具有压缩比高， 压缩速度快，压缩后保持信号与图像的特征不变，且在传递过程中可以抗干扰等 特点，在诸如图像压缩、信号去噪、自适应滤波等领域已经得到了广泛的应用， 是当前最为活跃的应用研究领域之一，并逐步形成为一门极具生命力的新学科。 1 2 国内外小波研究现状及开问题 从历史上追溯，小波分析的原始思想形成于2 0 世纪初，即用一个函数的伸缩 成都璎工大学硕士学位论文 及平移构成f 港) 丞数空闻的一组基，此丞数称为小波。第一个小波是由h a a r 在 1 9 l o 年提出的，他在一篇描述抽象h i l b 雕空间特性的论文中绘出了一个由核函数 产生的r 俄) 函数空间的一组正交基。1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和p a l e y 开发出一种利用 八度音阶将频率分组的方法，这是按二进制对频率成分进行分组的傅立叶分析思 想的最早起源。l 舛6 年，渤b o 蠼出加窗傅立叶交换，可以反映信号在任意局部 范围的频率特性。 经过数学家、物理学家、地理学家半个多世纪的共同努力，h 舱r 系已经发展 成为统一的理论框架，使小波分析成为傅立叶分析发展史上一个新的里程碑( 文 献【l 】有较详尽的论述) 。直到2 0 世纪8 0 年代中期由一批数学家领导的“f f 麟h s c h o o l 小组为小波分析奠定了坚实的数学基础，d 踟b e c h i e s 在文献【2 】中很好地 总结了小波分析的发展历史。 小波变换是瘟法国地质物理学家m q r l e t 于1 9 8 0 年提出的，随麓，饱与法国理 论物理学家g f e o s s m a n 共同提出连续小波变换的几何体系，其基础是平移秽伸缩 下的不变性【3 】，这使得能够将一个信号分解成对空间和尺度的独立贡献，同时又 不损失原有信号的信息。1 9 8 2 年，s 的m b e r g ：给出了一个无限支撑的、正交的逐 段多项式小波。b 被l e 和l e 搬鑫f i e 也分别独立地构造了类似的小波。1 9 8 5 年，法匡 数学家m e y e r 给出；一个指数衰减的任意阶可导小波。1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 基于离 散滤波器迭代方法构造了紧支撑标准正交小波基，即一系列的具有任意选定正则 性的、有限支撑的、歪交的尺度蘧数和小波，并将当时所有正交小波的构造统一 起来，为以后的构造设定了框架【4 1 。随后她又发表了长篇综述“t e nl e c 孵e s 雌 w a v e l e t s 1 5 1 ，对小波理论的发展和推广起到了积极的作用，该文成为目前小波 理论研究的最重要的文献之一。 1 9 8 9 年m a l l 鑫t 将计算机视觉领域内多尺度分析的思想引入小波分析中，提出 多分辨率分析( m u l t i r e s 0 1 u t i o na n a l y s i s ，m r a ) 的概念，用多分辨率分析定义小波， 给出了构造正交小波基的一般方法和与f f t 相应的快速小波算法( 刚t ) 一m a l l a t 算法，并将它应用予图像分析和完全重构垮l 。它健许多以前分散在各应用领域里 研究的小波成果有可能统一在同一理论框架下。同年m e v 毂嬲版的小波与算子 是目前较权威较系统的小波理论著作。 1 9 9 2 年，在小波变换的基础上，r ，r c o i 黼a n 和m v w i c k e r h a u s e f 进一步提出 了小波包( w a v e l e 毒p a c k 嘞的概念1 7 一l ，并在数学上作了严密的推导。利用推广的 二尺度方程，原来的尺度函数和小波可以生成一族包括原小波基在内的“小波包 蹈数。通过弓l 入s h a n n o n 熵作为信号处理应用中对不同小波包基函数的选定准则， 为信号进行鲁适应频带划分提供了工具f 7 、9 l 。同年，a c o 抽魏和1 d 雒b e e h i e s 提出 了“双正交小波概念，即对同一信号。厂g p ( r ) ，其分析小波和综合小波可以 是两组不同的函数系【l o 】。 2 第l 章引言 1 9 9 3 至1 9 9 4 年间，产生了基于m e d i 和p p ：v a i d y a n a t h a n 各自独立提出的多 采样率数字信号处理器、广义镜像滤波器组和共轭正交镜像滤波器理论【1 1 0 2 l 的 m 带小波，它有一个尺度函数和m - 1 个小波函数【l 文1 4 1 。同时，由于实际信号均是 有限支撑的，为了很好地刻画信号，避免出现譬如周期化处理引入的边界效应和 失真，许多学者从不同的角度提出了小波的思想和构造方法【”、m 】。 随着小波理论的深入和发展，小波应用和产业的建立也成为一种趋势。各种 以小波理论研究和应用为主的公司和研究小组相继成立，如i d a u b e c i l i e s 领导的 b e l l 实验室小波小组、d l d o n o h o 领导的s t a n f b r d 大学的小波与统计学中心、 g o p i n a t h 和b u m l s 领导的砒c e 大学的小波与多滤波器组中心以及w i c k e r h 锄s e r 等 的小波包应用研究中心。而“w a v e l e td i l ；e s t ”成为i n t 锄e t 上发行最广的专业期 刊之一。 国内对小波的研究起步相对较晚，1 9 9 4 年形成国内的小波研究高潮，并在 信号的去噪和图像的压缩、机械故障检测等方面取得了较大的进展。目前，国内 的小波著作数量开始增加，如潘泉等著的小波滤波方法及应用，秦前清、杨宗凯 编著的实用小波分析，程正兴编著的小波分析算法与应用，杨福生编著的小波变 换的工程分析与应用，李建平主编的小波分析与信号处理一理论、应用及软件实 现等等。我国目前发表的小波学术论文以在各种领域的应用性文章居多，如小波 在图像处理和压缩中的应用，小波在模式识别与特征提取中的应用，小波在故障 诊断和去噪中的应用，小波在地球物理勘探中的应用等等。 小波基础理论方面的研究主要有小波算法的研究，量化方法的研究。发表小 波学术论文的期刊主要有中国科学、电子学报、信号处理、通信 学报、图像识别与自动化、计算机学报、中国图像图形学报、计 算机应用与发展以及部分大学学报等。从公开发表的应用性文章的内容看，主 要可分为两大部分，一部分是利用小波分析对信号进行消噪处理，以提高解释方 法的分辨率，这一部分包括小波变换用于信噪分离、弱信号的提取以及信号奇异 点与奇异度的测定和多尺度边缘检测与重构；另一部分是利用小波分析做图像或 数据压缩。北京大学、清华大学、武汉大学、中科院数学研究所、浙江大学等先 后开展了有关的研究工作。现在我国有一批年轻的博士和硕士正在努力攻关，期 待取得小波及其应用研究的突破性进展。 小波分析虽然在许多应用领域已经取得了阶段性成果，但在真正意义上，其 理论研究和应用开发的春天仍还未到来，主要原因如下： ( 1 ) 小波理论框架尚待进一步完善，对小波滤波机理的认识也有待深入，除 一维小波理论比较成熟以外，高维小波、向量小波的理论还远非人们所期待的那 样，特别是各类小波，如正交小波、双正交小波及向量小波、二进小波、离散小 波的构造和性质尚待更深入的研究； ( 2 ) 最优小波基的选取方法研究。虽然国内外已有一些最优基选取方法的研 3 成都理工大学硕乏学位论文 究，傻缺乏系统规范的最佳小波基的选取方法，郎针对不同的闫题能最优地选择 不同的小波基以实现最好的应用效果。由于不存在一种小波基能适应所有的情 况，因此，小波基的优化选择将始终是小波理论研究的重要内容； ( 3 ) 目前小波分析软件远不如有限差分方法( f d m ) 、有限元方法、边界 元方法( e e m ) 等软件成熟和完善，更无大型系统权威的小波分析软件，作为商品 的高水平小波分析软件几乎没有； ( 4 ) 小波分析的应用范围虽然很广，但真正取得极佳应用效果的领域并不多， 需要挖掘有前景的应耀领域。小波滤波应用的广泛性霹有效性仍有很大的发展空 阅，有许多问题亟待解决。 ( 5 ) 目前有关小波滤波的研究成果散布于国内外各种学术期刊及书籍，尚未 觅到国内外在这一领域有比较全面系统的研究专著。 ( 6 ) 目前基于小波变换的图像压缩编码主要或基本上套用b 蹦b e e l l i e s 小波基， 所采用的图像主要是b a b a r a 、l e n a 、g b l d i l i l l 、w o m 觚等广泛使用的测试图像， 针对某一领域的具体应用，缺乏对小波变换理论与实际应用相结合的研究。 ( 7 ) 计算时闻、压缩倍数和失真程度银难辨证的统一。对现西构造出来的几 种重要的小波基很难找到系统论述其构造过程、正交性、支撑区阅、对称性以及 消失矩的权威论述，给其应用带来较大的困难。 1 3 本文的主要工作 本文针对目前小波图像压缩所存在的问题，综合利用数字图像处理、小波分 析理论、模式识别等方面的知识，系统、深入地研究了双正交小波的图像分解与 重构算法。主要目标是探求新的方法，提高图像压缩的综合性能。论文选择图像 压缩为基点，以标准测试图像和实际指纹图像为作用对象，对小波包理论和应用 作进步的探究。论文主要工 乍如下： l ，对小波分析方法的文献进行整理，以期达到较系统地反映从f 挑疵f 变换 到小波包理论的发展演化过程。并针对研究对象，重点突出对二维情况的理论梳 理和概括，尤其是对小波在二维信号分解与重构算法作了详细的介绍： 2 对小波图像压缩中的几个关键环节佟了深入地探究，其中包括小波最优 基的选取方法、边界处理问题、小波包分解层数的确定，阈值的选取等等，并针 对阈值处理提出了改进的双局部阂值方法； 3 深入研究了双芷交小波、小波包在圈像压缩中的分解与重构算法，构造 了基于s h a n n o n 熵准则的双正交小波最优基，改进了图像压缩的频带保留策略， 并结合运用于图像压缩中，同时给出了实验仿真结果； 4 分析对毙研究了双正交小波和双正交小波包在标准图像和指纹图像压缩 中的性能，得出了基于双正交小波基在标准测试图像及实际指纹图像压缩中的分 | 1 第l 章雩| 言 解层数，并给出了实验仿真的数据统计结果； 5 。运用改进阕值方法和改进频带保留策略，结合最佳分解层数，对标准测 试图像及实际指纹图像进行了仿真试验，结果表明该方法不仅可带来较高的压缩 比，也获得较满意的峰值信噪比。实验同时还得出双正交小波包在边缘突变检测 方面具有优良性能这一结论。 6 在结尾部分对所做的工作进行了总结，并指出工作中存在的不足并提出 改进意见。 l 。4 本文的组织 根据以上工作内容，本文分4 章展开论述： 第l 章为绻论，其中分绍了研究图像压缩的重要性与必要性，接着对小波理 论研究与应用的国内现状及开问题进行了整理，最后给出了本文的研究方向和主 要工作； 第2 章为小波变换理论，通过对小波分析方法的把握，较为系统地会绍了小 波变换的基本理论，其中包括小波变换的重要性质，时频分析特征，多分辨率 分析等，并重点介绍了双正交小波和双正交小波包的基础理论及其分解与重构算 法； 第3 章为图像压缩实现的预备部分，主要涉及图像质量评价，最优基选取， 分解层数确定，边界及阈值处理等，重点研究了最优基选取方法，分解层数问题 和阑值处理方法改进； 第4 章为双正交小波包的图像压缩实现环节，运用本文的理论与方法既对标 准测试图像l e n a 进行了实验，也对指纹图像对象进行了测试，并给出了实验的 统计参数和结论。 最后为结语帮展望，对全文工作进行总结，分析了目前研究工彳乍中需要进一 步完善的地方，并指出今后工作的研究重点和未来图像压缩发展的新方向。 成都瑗工大学硕士学位论文 第2 章小波变换理论 小波分析獭狲e l 式a 熬l y 羹s ) 概念最早提如予1 9 7 4 年a 钮o f l 哟，真正意义上发 展起步于1 9 8 6 年( m e y e r ) 。它是在现代调和分析的基础上建构起来的一个新兴的 学科，是当今泛函分析、调和分析、时频分析、逼近论等交叉融合的结晶，其基 础理论知识涉及到傅立时分析、信号与系统、数字信号处理等诸方面，同时具有 理论深刻和应用十分广泛的双重意义。本章主要对小波变换的基础理论进行详细 介绍，为后续章节作理论铺垫。 2 。l 小波预备知识 定义2 一l 一个内积空闯是一个赋范线性空间，也是一个具有交换不变量的 度量空闻 = ( 泓) 彬 ( 1 1 ) 定义2 。2 平方可积函数空间 岔( 尺) = 似) ：似f ) 1 2 功 ( 1 - 2 ) l 最 j 定义2 3 平方可积离散序列空间 z 2 = x = ( 萎，镑”，钳) ：时 。o ( 1 3 ) l j 蝴 j 定义2 0 线性赋范空阀 设x 为一线性空间，若对于帆x 有一个确定的非负实数恻l 与它对应，并 满足： ( 1 ) 慨石，f o ，当且仅当x = 护时，例l = o ； ( 2 ) v 舅x 及五式，| | 允x l = | 旯| | | x l ； ( 3 ) v 蔓夕x ，| 每+ y l | | x l + l y l ； 则称例| 为x 的范数，x 为线性赋范空闻。 定义2 5 希尔伯特空间( h i l b e f t 空间) 设x 为复数域c 上的线性空间，若从x 彳到c 中定义一个函数( ，) ，使 对觇，y ，z x ，满足： ( 1 ) ( x ，y ) = i y ，x ) ； ( 2 ) v 口，c ，有口x + 励，：) = 口( t z ) + 少，z ) ； 6 第2 章小波变换理论 ( 3 ) x ，z ) o ，当且仅当x = 秒时，有( x ，x ) = o ； 则称函数( ，) 为x 中的内积，定义了内积的空间x ，称为内积空间。在内积 空间中，定义范数l f 1 | 。完备的内积空间称为h i l b 叫空间。 定义2 6 设气( f ) 为一函数序列，x 表示气( f ) 所有可能的线性组合构成的集 合，即 r、 x = ( 项f ，r 七z ( 1 4 ) l 七 j 称x 为由序列气p ) 张成的线性空间，记作： x = 即册( ( f ) ) ( 1 5 ) 也即对比( f ) 石，有g ) = 嚷气( f )( 1 6 ) 定义2 7 基底 若o ) 是线性无关的，使得对于岵x ，式( 1 6 ) 中的系数q 取唯一值，称 气( f ) ) 拓：为空间x 的一个基底。 定义2 8 正交 y 为内积空间x 的两个元素，若( x ，y ) = o ，则x ，y 正交，用x 上y 表示。 定义2 9 标准( 规范) 正交系 若内积空间x 中元素列 巳) 满足： ( 彬。) = 0 胖以 ( 1 - 7 ) l l 历2 刀 则称 巳) 为x 中的标准( 规范) 正交系 定义2 1 0 完全标准正交系 设x 为内积空间， 巳) 为x 中的一个标准正交系，若x x ，x 上仍= 1 ，2 ，) ， 则必有x = 口。换句话说，x 中不再存在非零元素，使它与所有的巳正交，则称 巳) 为x 中的完全标准正交系。 定理2 1 设k ) 伽= l 2 ，) 为h i l b e n 空间x 中的标准正交系，且令 m = 印册 ；”= 1 ，2 ，) ，则下列四个条件是等价的： ( 1 ) ( p 。) 为x 的完全标准正交系( 1 8 ) ( 2 燃 ( 1 9 ) ( 3 ) 对协x ，2 = | ( t ) 1 2 ，口绷l 等式)( 1 1 0 ) 7 成都瑗工大学硕学位论文 ( 4 ) 对x ，x = ( 墨) p 。 ( 1 1 1 ) ”l 称式( 1 一1 1 ) 为x 关于完全标准正交系的傅立叶展开，( x ，) 称为傅立叶展开系 数。其几何意义是：x 等于它的各分量( x ，p 。) p 。之向量和。 由上定理可知，只要找到这种正交系，则空间中的任意元素均可表示为一个傅 立叶级数的形式； g ) = 嚷气) ，其中嚷= g ) ，( f ) ) ( 1 一1 2 ) 聋 称为傅立叶级数。 定义2 1 1 双正交基 有的情况下，基底 之闻并不满足式( 1 - 7 ) 的正交关系。、对于这种情况， 弓| 入瓣偶基兹鳓的概念： 岛) ，蟊) ) = 艿p 露)( 1 - 1 3 ) 则可得到形如式( 1 1 1 ) 的函数分析和综合公式： g ) = ( g o ) ，瓦( f ) ) ( f ) ( 1 1 4 ) 晕 由于这里正交性存在于展开系和对偶系之间，所以这种基称为双正交基。 幽正交基和双正交基的概念可知，若函数序列气( f ) 是空间x 的一组正交基， 剡对于任意蹑数g gx ，可按照( 1 一1 1 ) 式将其展开；若函数序列气( f ) 是空间x 的一组双正交基，则对于任意函数g g ) x ，可按照( 1 1 4 ) 式将其展开。在这两 种展开形式下，其展开系数是唯一的。因为无论正交基还是双正交基，它们的基 元素之间都是不相关的。 定义2 一1 2 框架疆r 鑫翔妨 如果一个函数序列嫉( f ) 是相关的，并且仍然允许空间x 中的元素按照( 1 。1 4 ) 展开，此时称这个函数序列帆) 为框架。若希望框架下的展开系数( g o ) ，o ) ) 能 够很好地表述原信号，则在两域( 原始信号和展开域) 之间必须有一个能量对应 关系，相似子正交基的p a f s e v a i 定理式( 1 1 ，对于框架，登须满足： 设h 为一个琢掩哦空闻， 虬擎) ；泐为珏中的一个逶数序列，若对于夥嚣， 存在0 么尽 ，使褥下述不等式成立： 。 么2 l 似峨) 卜君2 ( h 5 ) 到称 够o ) ) 纰为一个框架；称常数么，雪分别为框架的上、下界。 定义2 一1 3紧框架( 墨g 艇鼢e ) 若4 = 层，则称此框架为一个紧框架，此时式( 1 1 5 ) 变为： 3 第2 章小波变换理论 艺吩) i 2 = 么岬 由上式可推得：= 彳_ ( ，鼽。需要特别指出，满足上式的紧框架 ( f ) ) 尬一般并非正交的。 定义2 1 4r e i s z 基 若框架 ：刀z ) 为线性无关的，则称之为r e i s z 基，框架和r e i s z 基完全 依赖于以上不等式( 2 - 1 5 ) 。若( ，帆) = o 对于每一个刀z 成立，则= o 。r e i s z 基可以通过( h m 正交化得到正交基，即h i l b e r t 基。 2 2 小波分析的基本理论 实际应用中的信号通常有如下特征：它们既是时限的( t i m e 1 i m i t e d ) 又是带限 的( b a n d 1 i m i t e d ) 。时限信号可用块函数( 如6 函数) 集合有效表示，但块函数在频 域上是无限的；带限信号可用f o u r i e r 变换的基函数有效表示，但c o s 函数和s i n 函数在时域上是无限的。我们需要在时域和频域的函数集合之间寻求一种折中方 案，而能满足这种要求的就是小波方法。下面就小波理论的发展演化逐一介绍。 2 2 1 傅立叶变换到q i b o r 变换 2 2 1 1 傅立叶变换 傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析。傅立叶分析真 正用于图像信号处理是在l8 2 2 年法国数学家傅里叶( j f o u r i e r ) 发表研究热传导 理论的“热的力学分析 之后。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，有如 下定义式： 可( f ) p 僻) ，厂o ) = q p 艰。州砷 其中气= 去f 膏妙2 们恸 ( 2 - 1 ) 傅立叶变换的定义如下： f 0 u r i e r 变换：夕劬) = e o 矿皿毋 ( 2 - 2 ) f 。研e r 逆变换：厂o ) 2 去j ：夕徊弘皿如 ( 2 3 ) 式中，r 职) 为平方可积的实数空间( 能量有限的信号空间) ，o ) 为原始信 号。 9 戒都理工大学硕士学位论文 在进行信号频谱分析时，傅立时变换是利用在两个方向上都无限伸展的正弦 曲线波作为正交基函数，把周期函数展成傅立时级数，把非周期避数展成傅立叶 积分，这样可以反映整个信号的时间频谱特性，较好地揭示平稳信号的特征。然 而在实际应用中，大多数信号都含有反映信号重要特征的非稳态成分，在对这类 信号的局部频域特征进行表现时，傅立时变换就显得无能为力了。对予信号的分 析，傅立叶分析理论存在不足的主要原因是： ( 1 ) 三角基函数作为具有一定周期、一定波形的光滑函数，对于存在间断点 的信号进行近似时会搬现& b b s 现象，对于一般的非周期信号三角基近似经常不 是最优选择。由于三角基函数的频谱点等距分布，因此对于具有突变性质的鼍 平 稳信号更是显得无能为力。 ( 2 ) 三角基函数在时域上不能局部亿，无法实现时域上的局部分析。另外， 三角基作为定义在整个时闻轴上的函数对于短时发生的信号进行分析时还可能 出现不必要的误差或增加计算复杂度。 ( 3 ) 经典的傅立叶积分不能同时进行时域与频域分析。因为信号经傅立叶变 换嚣，时间特征消失，只钝进行频率信息的分析。 2 2 。1 2g a b o f 变换 为了能够利用傅立叶变换提取信号在局部时间间隔内的频谱信息，1 9 4 6 年， d g a b o r 提出了信号的时频局部化分析方法，即所谓的g a b o r 变换( 窗口f o u r i e r 变换) 。其基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立时变换分析每 一个时间间隔，以便确定该时间间隔内的频谱信息。 g a b o r 变换的定义式如下： v 厂) g r 嘏) ，g ，( 国，r ) = i 。( f ) g o r 弦1 科衍 ( 2 4 ) 式中g o ) 满足o l 。k ) 1 2 衍佃，称为时间窗函数。 在上式中，口。科起着频限的作用，g o ) 起着时限的作用。随着时间彳的变化， 荸) 所确定的“时闻窗栉在轴上移动，使，8 ) “逐渐进行分析。g ，和，f ) 大 致反映了。厂) 在时刻f 、频率为圆的“信号成分 的相对含量。 1 一 其逆变换为：歹) = 去j - j ：g 细，f 溶一f 弦础如如 ( 2 5 ) q 曲o f 加窗f 纛e f 变换的缺点是窗霞的大小和形状不能随频率两变化，也 即其时间分辨率和频率分辨率对于确定的窗函数是不变的。丽在实际应用中，反 映信号的高频成份需要窄的时间窗，反映信号的低频成份需要宽的时间窗，此时 窟墨傅里时变换仍然缺乏对信号的自适应性，依然只能停留在对平稳信号的处理 匕。 l o 第2 章小波变换理论 2 2 2 连续小波变换及重要性质 小波变换继承和发展了鼬o r 加窗f o u r i e r 变换的思想，同时又克服了窗口 的大小和形状不能随频率而变化的缺点，因而是比较理想的信号分析工具。小波 分析的主要思想就是将一个信号分解成函数来表示：= 彬，可见， 为了用极少的系数来有效地表示信号，选择一类适当的与表达的数据特征相 匹配的函数是极为重要的。 2 2 2 1 连续小波变换 连续小波变换c w t ( c o n t i n u o u sw 孵e l e t 亿m s f o m ) 也称为积分小波变换。 夥( f ) r ( 尺) ，r 冰) 为满足f 忡i o ) f 2 魂 o 为尺度因子，6 为平移因子， l 占为归一化因子，保证( f ) 的能量与口和6 无关。小波函数是一个双窗口函数， 其窗口面积与虬，。相同，但形状随1 i 口i ( 与角频率等价) 的变化而变化。当1 h 越 大时，时间窗就越小，而频宽就越大，且6 的窗口中心向h 增大的方向移动， 这正好符合信号分析中对于高频信号需要的窄的时间窗，对于低频信号需要宽的 时间窗的要求，从而提高信号分辨率的要求。因此，小波变换不但具有良好的聚 焦特性，而且解决了鼬o r 加窗f o u r i e r 变换中窗口大小不能随频率变化的缺点， 从而可以更好地描述信号的瞬态和奇异性。 叭 i 舛入 vdv 3v ； 夕l 懒“卜扒 v d vv3v ，7 圈2 - 1 尺度因子口和平移因子6 的作用 成都璎王大学硬学位论文 对予一个函数以f ( d 叠( 霆) ) ，若它的频谱痧徊) 满是如下条件： 巳= e 瞥 ( 2 _ 8 ) 则其小波逆变换存在。其逆变换i c w t 为： ( d = 击e 窘e c 嘿 6 ) 虬“f ) 面 ( 2 - 9 ) 称y ( f ) 为容许小波函数，巳( c 0 应是有限的正数) 为容许性条件( a d m i s s i b l e c o n d i t i o n ) ，g 限制了能作为小波函数少( f ) 的类。 若还要求沙( f ) 是一个窗函数，那么叭f ) 还必须属于口职) ，即： j 。i 少( f ) 印 o o ( 2 - 1 0 ) 出式2 8 可知，矿在原点必定为零，郎： 沙( o ) = l 以f 弦= o ( 2 - 1 1 ) 这表明汐) 具有波动性( 正受部分相互抵消) ，因而吠f ) 可以描述为像波一样 震荡衰减的函数。 二维情况下( 如图像数据) ，对于三维函数w ( x ，y ) r 职2 ) ，( x ，j ，) 的二维 连续小波交换( 2 d c w t ) 定义如下： c 啊 ，k 屯) = e e ，( x ，夕) 噍岛 ，夕) 蚴= ( ( 鼍y ) ，虬，岛) ( 2 一1 2 ) 其逆交换( 2 d i c w t ) 为： 。 歹( 为力= 击f 亨e e e 吁国，气芬) 虬蚺( t 触哆 g _ 1 3 ) 其帆鹕加南攻等，学卜枷是个两维基本小波嘁口 是小波函数伸缩尺度，毛屯表示在两个维度上的平移。 2 2 2 2 连续小波变换的重要性质 性质l ( 冗余性) ：连续小波变换中存在信息表述的冗余度，可改写成卷积的 形式即 c 吗 = 击e 八d 杪( 等) 馥= i 口| l 2 ，( z ) 宰咋i ( 2 1 4 ) 其中雌i ( f ) = i 口r 1 旷( 一f 口) ，所以小波变换可以看成是信号和滤波器的卷积运 算。从工程上看，蜕l 可理解成高通滤波器。 由于小波变换的核函数虼。) 存在许多可能的选择，因此由连续小波变换恢 第2 章小波变换理论 复原信号的重构公式不是唯一的。尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳 定性，但也增加了分析和解释小波变换的结果的困难。 性质2 ( 容许性) ：对式( 2 - 6 ) 定义的( f ) 的小波变换，能由式( 2 9 ) 反演出) 的 充要条件是式( 2 8 ) ，式( 2 8 ) 即是容许性条件。 性质3 ( 能量比例性) ：在允许性条件下，小波变换幅度的平方的积分与信号 能量成正比。即 e 睾e i c 眄 6 ) i 动= o e i o ) 胁 ( 2 - 1 5 ) 此关系与正交变换中p a r s e v a l 定理相对应。 性质4 ( 正则性) ：原则上认为，满足容许条件的沙( f ) 便可作为基本小波，但 实际上要求要更高，即还应满足所谓“正则性 条件，以保证痧) 在频域上表 现更好的局部性能。为达到这一目的，要求p 嘿( 口，6 ) i 随尺度口的减小而迅速减 小。这就意味着要求( f ) 的前刀阶原点矩等于零，而且拧愈高愈好，即要求： i 尸y o 矽= o ，m = l ，2 ，聆( 2 - 1 6 ) 这意味着在频域上痧 ) 在仞= o 处有，2 阶零点，即痧 ) = 彩”哦 ) ，疵o ， 这样一来消除了( f ) 在多项式展开中以) 项在小波变换中的贡献，以便突 出高阶起伏和高阶导数中可能存在的奇异点，使小波变换反映信号的高阶( 细节) 变化。 性质5 ( 重建性) ：重建性指的是重建核和重建核方程。重建核方程是小波变 换又一重要性质，它说明了小波变换的冗余性，即在口一6 半平面上各点小波变 换的值总是相关的。在( 口0 ，玩) 处的小波变换值c 嘿 ，6 ) 总可以表示成半平面 上其它各处的小波变换的总贡献： c 啊( 口o ，) = ，警，c 哆( 口，6 ) 毛瓴，玩；口，6 瑚 ( 2 - 1 7 ) 式中巧( 口o ，；口，6 ) = 手e ，虼。渺 。 【| ， = 专二击 等 去少 等卜= 丐l 忑l 寻j 忑少【- 了j 班 = 寺( ，6 0 ( f ) 虻a p ) ) 巧是小波函数，( f ) 与虬，。( f ) 的内积，它反映了两者的